运输问题模型.pptx
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第7章运输问题.pptx
一季度 二季度 三季度 四季度
生产能力（台） 单位成本（万元）
25
10.8
35
11.1
30
11.0
10
11.3
管理运筹学
8
§3 运输问题的应用
解： 设 xij为第 i 季度生产的第 j 季度交货的柴油机数目，那么应满足：
交货：x11
= 10
生产：x11 + x12 + x13 + x14 ≤ 25
山西盂县 河北临城
需要量
一区 1.80 1.60 3000
二区 1.70 1.50 1000
三区 1.55 1.75 2000
产量 4000 1500
由于需大于供，经院研究决定一区供应量可减少0--300吨，二区必须满 足需求量，三区供应量不少于1500吨，试求总费用为最低的调运方案。
解： 根据题意，作出产销平衡与运价表：
第七章 运 输 问 题
• §1 运 输 模 型 • §2 运输问题的计算机求解 • §3 运输问题的应用 • §4* 运输问题的表上作业法
管理运筹学
1
§1 运 输 模 型
例1、某公司从两个产地A1、A2将物品运往三个销地B1、B2、B3，各产地 的产量、各销地的销量和各产地运往各销地每件物品的运费如下表所
s.t.
xij = si i = 1,2,…,m
j=1
m
xij = dj j = 1,2,…,n
i=1
xij ≥ 0 (i = 1,2,…,m ; j = 1,2,…,n) • 变化：
1）有时目标函数求最大。如求利润最大或营业额最大等；
2）当某些运输线路上的能力有限制时，在模型中直接加入约束条件
《管理运筹学》课件05-运输模型PPT课件
26
.
5.2 表上作业法
调整非优方案的一般步骤与规则
1°进基变量的确定——规则Ⅰ
按
min {σij︱σij< 0 } = σlk
确定xlk进基。
若有多个σlk同时最小，则选其中最小运价min{clk} 所对应的那个 xlk进基; 又若有多个这样的clk同时最小， 则从中任选一个clk对应xlk的 进基。进而画出进基变量xlk的闭回路及奇偶点。
个数，即m+n-1个 。
(2) 可行：满足所有约束条件。 (3) 表中不存在“以画圈数字为顶点的闭回路”。
16
.
5.2 表上作业法
A1 A2 A3
销量
画圈数字为顶点的闭回路
B1
6
B2 31
B3 21
B4 53
72
5
8
4
3
22 9
71
2
3
1
4
产量
5 2 3
17
.
5.2 表上作业法
二、最大差额法 步骤如下：
1 3 1 1 55
列3
1
61
差
2
1
19
.
5.2 表上作业法
5.2.2 最优性检验 一、位势法 在初始方案表中, 可将基变量所在格的运价cij分解为两部分
ui + vj = cij
其中ui代表产地Ai所在行的行位势量，vj代表销地Bj所在列 的列位势量，cij为画圈数字所在格的运价。
所有ui，vj的值确定以后，可以证明，σij可按下式计算：
(2) 在确定为最小元素的某一空格上，若该变量 xij = min { ai, bj } = 0
此时也不能保留该空格，而必须把 0 填上并画圈。 (3) 最后一个空格必须画圈，即便该格的xij= 0也要
最新第四章-运输问题课件PPT
产量 B4
A1
18
14
17
12
100
A2
5
8
13
15
100
A3
17
7
12
9
150
销量
50
70
60
80
❖ 请问，应如何调运产品，使得总运费最少？
❖ 总销量>总产量
❖ 某公司有从三个产地A1，A2，A3，将物品运送到五个销地B1， B2，B3，B4， B5，各产地的产量、各销地的销量、各产地到各 销地的单位运价如下表所示：
20
A3
80
销量
80
B2
B3
120
40
100
30
50
110
140
120
B4 110 90 60 140
产量
160 100 220
❖ 请问，应如何调运产品，使得总运费最少？
闭回路法检验解的最优性
从每一个非基变量的空格出发，构造闭回路。若非基
变量所对应的检验数 ij 0 ，则当前解即为最优解。
其中：
3
6
5
6
❖ 请用最小元素法确定初始基本可行解，并用闭回路法检验初始基 本可行解是否为最优解。
2.表上作业法（产销不平衡的运输问题）
❖ 总产量>总销量
某公司有从三个产地A1，A2，A3，将物品运送到三个销地B1 ，B2，B3，各产地的产量、各销地的销量、各产地到各销地的单 位运价如下表所示：
销地
产地
销地 产地
A1 A2 销量
B1 7 10 300
B2 6 4 350
B3 8 5 250
产量
400 200
运筹学-第三章-运输问题ppt课件
45
46
首先建立电子表格
47
区域名称
产量 单位运价 实际产量 实际销量 销量 运输量 总费用
单元格 I9:I11 C4:F6 G9:G11 C12:F12 C14:F14 C9:F11
I14
48
49
Excel 求解结果为：
50
9
§3-2 表上作业法(运输单纯形法)
表上作业法的计算步骤： 1. 确定初始方案，即找出初始基可行解； 2. 求非基变量检验数，判断最优； 3. 用闭回路法调整； 4. 重复2, 3 ，直至求出最优解。
10
一、确定初始基可行解(两种方法)
1. 最小元素法(“就近调运”) 1)找到运价中最小的元素，确定供销关系；
34
解：
v 该问题要求满足不同顾客的需求(采购量)，即最小采购 量实际供给量最大采购量。三个工厂的总产量为20000件， 4个顾客的最低采购量为12000件，最高采购量为30000件， 大于总产量。为保持产销平衡，虚拟一个工厂4，其产量 为10000件。
v 由于每个顾客的需求分为必须满足和不一定满足两部分， 故将其视为两个顾客。必须满足的顾客其采购量不能由虚 拟工厂提供，令其单位利润为M (M为任意大正数)，不 一定满足的顾客其采购量能由虚拟工厂提供，令其单位利 润为0。由此可得该问题的产销平衡及单位利润表，如表324所示。
§3-1 运输问题的数学模型
一、示例 例1
4
二、运输问题描述
v 有m 个产地Ai ，产量为 ai, i=1,2, …m (sources) v 供n 个销地 Bj , 需求量 bj, j=1,2, …n (destinations)
v 已知 Ai到 Bj的单位运价为 cij v 问如何调运使总运费最小？
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首先建立电子表格
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区域名称
产量 单位运价 实际产量 实际销量 销量 运输量 总费用
单元格 I9:I11 C4:F6 G9:G11 C12:F12 C14:F14 C9:F11
I14
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Excel 求解结果为：
50
9
§3-2 表上作业法(运输单纯形法)
表上作业法的计算步骤： 1. 确定初始方案，即找出初始基可行解； 2. 求非基变量检验数，判断最优； 3. 用闭回路法调整； 4. 重复2, 3 ，直至求出最优解。
10
一、确定初始基可行解(两种方法)
1. 最小元素法(“就近调运”) 1)找到运价中最小的元素，确定供销关系；
34
解：
v 该问题要求满足不同顾客的需求(采购量)，即最小采购 量实际供给量最大采购量。三个工厂的总产量为20000件， 4个顾客的最低采购量为12000件，最高采购量为30000件， 大于总产量。为保持产销平衡，虚拟一个工厂4，其产量 为10000件。
v 由于每个顾客的需求分为必须满足和不一定满足两部分， 故将其视为两个顾客。必须满足的顾客其采购量不能由虚 拟工厂提供，令其单位利润为M (M为任意大正数)，不 一定满足的顾客其采购量能由虚拟工厂提供，令其单位利 润为0。由此可得该问题的产销平衡及单位利润表，如表324所示。
§3-1 运输问题的数学模型
一、示例 例1
4
二、运输问题描述
v 有m 个产地Ai ，产量为 ai, i=1,2, …m (sources) v 供n 个销地 Bj , 需求量 bj, j=1,2, …n (destinations)
v 已知 Ai到 Bj的单位运价为 cij v 问如何调运使总运费最小？
第三章 运输问题 运筹学 PPT课件
定理： 若变量组 x ,x , i1j1 i2j2 ,xisjs
(s= m+n-1)是运输问题的基变量，xij是一个非
基变量，则变量组 xij,xi1j1,xi2j2, ,xisjs
中存在包含xij 的唯一闭回路。
14
§2 求解运输问题的表上作业法
运输问题是一种特殊的线性规划问题， 根据其特殊性设计的表上作业法，仍然重复 单纯形法的思想，但验证最优标准和可行性 的方法有些变化，其求解步骤如下： （1）给出初始基可行解； （2）检验是否是最优解，如果是最优解， 则计算结束；否则转入（3）； （3）确定进基变量和出基变量，求出新的 基可行解，返回（2）。
推论： 若变量组 xi1j1,xi2j2, ,xirjr
中有一个部分组构成闭回路，则该变量 组对应的系数列向量线性相关。
推论：m+n-1个变量构成基变量的充要 条件是不含闭回路。
13
若变量组中某一个变量是其所在行或所 在列中包含在该变量组中的唯一变量，则称 这个变量是变量组的孤立点。
不包含任何闭回路的变量组中必有孤立点。
n
xij ai
j 1
m行
1
1
1
1
1
1
1 1 1
m
xij b j
i 1
n行
1
1
1 1
1
1
1
1
7 1
该矩阵的元素全部是0或1。每一列 只有两个元素为1，其余为0。若用Pij表示 xij的系数列向量，则在Pij中第i个和第m+j 个元素为1，其余为0。即
0
1
5
产销平衡的运输问题
m
n
ai bj
i1
j 1
(s= m+n-1)是运输问题的基变量，xij是一个非
基变量，则变量组 xij,xi1j1,xi2j2, ,xisjs
中存在包含xij 的唯一闭回路。
14
§2 求解运输问题的表上作业法
运输问题是一种特殊的线性规划问题， 根据其特殊性设计的表上作业法，仍然重复 单纯形法的思想，但验证最优标准和可行性 的方法有些变化，其求解步骤如下： （1）给出初始基可行解； （2）检验是否是最优解，如果是最优解， 则计算结束；否则转入（3）； （3）确定进基变量和出基变量，求出新的 基可行解，返回（2）。
推论： 若变量组 xi1j1,xi2j2, ,xirjr
中有一个部分组构成闭回路，则该变量 组对应的系数列向量线性相关。
推论：m+n-1个变量构成基变量的充要 条件是不含闭回路。
13
若变量组中某一个变量是其所在行或所 在列中包含在该变量组中的唯一变量，则称 这个变量是变量组的孤立点。
不包含任何闭回路的变量组中必有孤立点。
n
xij ai
j 1
m行
1
1
1
1
1
1
1 1 1
m
xij b j
i 1
n行
1
1
1 1
1
1
1
1
7 1
该矩阵的元素全部是0或1。每一列 只有两个元素为1，其余为0。若用Pij表示 xij的系数列向量，则在Pij中第i个和第m+j 个元素为1，其余为0。即
0
1
5
产销平衡的运输问题
m
n
ai bj
i1
j 1
运输问题(运筹学教学)演示课件.ppt
精选课件
2、求检验数--闭回路法: 例1
销地 产地
B1 3
B2 11
B3 3
B4
ai
10
注: 1)数字格检 验数均为0
A1
④
③
7 2)空格检验数
1
2
A2
③1
9
2
①
8
以某空格为起点，用水平或垂直
4 线往前划，每碰到一个数字格转
1
-1
90。，然后继续前进，直到回到起
7
4
10
5
A3
⑥
③
9 点。根据回路计算该空格对应变
精选课件
用网络优化软件
运费 一区1 一区2 二区 三区1 三区2 供应量
山西盂县 1.65 1.65 1.7 1.75 1.75 4000
河北临城 1.6 1.6 1.65 1.7
1.7 1500
假想地点 M
0
M
M
0
500
6000 需求量 2700 300 1000 1500 500
6000
精选课件
运输问题的表格表示
需求地
1
供应地
16
28
35
合计 13
2
7 4 9 21
3
5 2 10 9
4
3 7 6 7
合计
25 10 15
精选课件
运输问题线性规划模型
min z = 6x11 + 7x12 + 5x13 + 3x14 + 8x21 + 4x22 + 2x23 + 7x24 + 5x31 + 9x32 +10x33 + 6x34
2、求检验数--闭回路法: 例1
销地 产地
B1 3
B2 11
B3 3
B4
ai
10
注: 1)数字格检 验数均为0
A1
④
③
7 2)空格检验数
1
2
A2
③1
9
2
①
8
以某空格为起点，用水平或垂直
4 线往前划，每碰到一个数字格转
1
-1
90。，然后继续前进，直到回到起
7
4
10
5
A3
⑥
③
9 点。根据回路计算该空格对应变
精选课件
用网络优化软件
运费 一区1 一区2 二区 三区1 三区2 供应量
山西盂县 1.65 1.65 1.7 1.75 1.75 4000
河北临城 1.6 1.6 1.65 1.7
1.7 1500
假想地点 M
0
M
M
0
500
6000 需求量 2700 300 1000 1500 500
6000
精选课件
运输问题的表格表示
需求地
1
供应地
16
28
35
合计 13
2
7 4 9 21
3
5 2 10 9
4
3 7 6 7
合计
25 10 15
精选课件
运输问题线性规划模型
min z = 6x11 + 7x12 + 5x13 + 3x14 + 8x21 + 4x22 + 2x23 + 7x24 + 5x31 + 9x32 +10x33 + 6x34
第3章+线性规划(运输问题)PPT课件
精选PPT课件
21
初前例始中：可最行小元解素法的求初获始得解
1
2
3
4
9
12
9
6
1
30
20
7 2
3
7
7
40
20
6
5
3
40
9
11
10
dj
40
40
60
20
0
0
40
0
10
0 精选PPT课件
si 50 30 0 60 20 0 50 10 0
22
伏格尔法
思路：一产地的产品假如不能按最小运费就近 供应，就考虑次小运费，这就有一个差额。差 额越大，说明不能按最小运费调运时，运费增 加越多，因而，对差额最大处，就应当采用最 小运费调运。
具体计算过程在表中进行
精选PPT课件
33
位势及检验数的计算
1
2
3
4
ui
9
12
9 -7 6 -12
1
0
40
10
77 3
7
7 -2
2
-9
30
30
3
6 4509
11
-7
30
20
vj
9
12
16
18
注：格子中，带数字为基本可行解，不带数字为
检验数
精选PPT课件
34
闭回路法
一个可以作为表上作业法初始方案的表中， 共有m+n-1个实格和mn-(m+n-1)个空格。 从一个空格出发，沿水平或竖直方向前进，
精选PPT课件
36
在闭回路中，转向之处称为顶点。从空格算起第奇 数转向的称为奇数顶点，第偶数次转向的称为偶数 顶点。
运输问题模型和表上作业法步骤 PPT课件
s.t. x11 x12 x13 x14
14
供 应
x21 x 22 x 23 x24
27 地
约
x 31 x 32 x 33 x 34 19 束
x11
x21
x31
x12
x22
x32
x13
x23
x33
x14
x24
x34
22 需
13 求
12
地 约
13 束
x11 x12 x13 x14 x 21 x 22 x 23 x 24 x31 x32 x33 x34
表2—2
销地
产地
B1
B2
B3
B4
A1
x11
x12
A2
x21
x24
A3
x32
x34
x11、 x12、 x32、 x34、 x24、 x21 构成一个闭回路. 这里有： i1 = 1， i2 = 3， i3 = 2；j1 = 1， j2 = 2， j3 = 4. 若把闭回路 的顶点在表中画出, 并且把相邻两个变量用一条直线相连
Transportation Problem 运输问题
运输问题的表示 网络图、线性规划模型、运输表 初始基础可行解 西北角法、最小元素法 非基变量的检验数 闭回路法、对偶变量法 确定进基变量，调整运量，确定离基 变量
运输问题
人们在从事生产活动中，不可避免地要进 行物资调运工作。如某时期内将生产基 地的煤、钢铁、粮食等各类物资，分别 运到需要这些物资的地区，根据各地的 生产量和需要量及各地之间的运输费用， 如何制定一个运输方案，使总的运输费 用最小。这样的问题称为运输问题。
A 0 0 0 0 1 1
1 0 1 0 1 0
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nn
min z
cij xij
i1 j1
n
xij ai , i 1,, m
j 1
s.t.
n
xij bj , j 1,, n
xij
i 1
0,i
1,, m;
j
1,, n
运输问题本质是一个线性规划问题
运输问题变量比较多，系数矩阵为0-1 矩阵，其中大部分元素为零。计算运 输问题我们有比单纯形法更好的专门 求解运输问题的算法。
9 5,2,0 7,3,0
B1
B2
B3
B4
产量
A1 A2 A3 销量
×
×
4
2
9
10
7
3
×
×
2
1
3
4
2
×
3
4
×
8
4
2
5
3 ,0
8,5 4，0 6,4,0
9,5 5,2,0 7,3,0
填上x14=4后,第4列自然 被去掉
记住每填一个数据减少一 行或一列。
B1
B2
B3
B4
产量
A1 A2 A3 销量
×
i1 j1
n
xij ai , i 1,, m
j 1
s.t.
n
xij bj , j 1,, n
xij
i 1
0,i
1,, m;
j
1,, n
2. 产大于销问题的数学模型
销大于产时，
ai bj
i
j
各个销地的需求一定能够得到满足， 但各个产地的物资不一定全部运走。 运输问题的数学模型为
产销不平衡运输问题也有类似的 Lingo模型
产销平衡运输问题的初始解
1. 西北角法 在运价表的西北角选择运量和销量中
的较小数作为运量（初始基变量）， 每确定一个初始基变量后，划去需求 变成零的剩余列元素或划去运量变成 零的剩余行元素。
B1
B2
B3
B4
产量
A1
3
2
A2
×
1 A3
×8
9
10
7 9,6
5
×
4
2
9
10
7
3
×
×
2
1
3
4
2
×
3
4
×
8
4
2
5
3 ,0
8,5 4，0 6,4,0
9,5 5,2,0 7,3,0
3. 位势法求检验数
对每个基变量xij，计算ui和vj，使
ui+vj=cij
其中u1=0
A1 u1=0 A2
A3
销量
B1
B2
B3
B4
产量
V2=9
V4=7
×
5
×
4
2
9
10
7 9,5
3
×
×
9
10
×
3
4
4
4
2
8
4，0
79 2 5，2 5 7，3 6
B1
B2
B3
B4
产量
A1 A2 A3 销量
×
×
2
9
10
7
3
×
×
2
1
3
4
2
×
4
8
4
2
5
3 ,0
8
4，0 6,4
9 5,2,0 7，3
B1
B2
B3
B4
产量
A1 A2 A3 销量
×
×
2
9
10
7
3
×
×
2
1
3
4
2
×
3
4
×
8
4
2
5
3 ,0
8,5 4，0 6,4
中的较小数作为运量（初始基变量）， 每确定一个初始基变量后，划去需求 变成零的剩余列元素或划去运量变成 零的剩余行元素。
B1
B2
B3
B4
产量
A1 A2 A3 销量
× 2
3 1
× 8
3 ,0
9
10
3
4
4
2
8
4
79 2 5，2 57 6
B1
B2
B3
B4
产量
A1 A2 A3 销量
× 2
3 1
× 8
3 ,0
杭州电子科技大学
运输问题模型
杭州电子科技大学
数学教研室
沈灏
二0一0年四月
运输问题的一般描述
设某种物资有m个产地A1,A2,…,Am， 和n个销地B1,B2,…,Bn,其中Ai的产量 为ai,Bj的销量为bj，产地Ai运往销地 Bj的单位运价Cij,i=1,2,…,m;j=1,2,…,n. 求尽可能满足销地需求且总费用最小的 运输方案。
3
4
25
4
2
57
销量
3 ,0
8
4
6
B1
B2
B3
B4
产量
A1
3
6
×
×
2
A2
×
9
10
7 9,6,0
1
3
4
25
A3
×8
4
2
57
销量
3 ,0
8,2 4
6
B1
B2
B3
B4
产量
A1 A2 A3 销量
3
6
×
×
2
9
10
7 9,6,0
×
2
1
3
4
2 5,3
× 8× 4
2
3 ,0
8,2,0 4
57 6
B1
B2
B3
B4
解：设产地Ai运往销地Bj
的运量为 xij
运输问题的数学模型可以分以下3种情 况讨论：
1. 产销平衡问题
2. 销大于产问题
产大于销问题
1.产销平衡问题的数学模型
产销平衡时，
ai bj
i
j
各个产地的物资总和正好满足所有 销地的需求，运输问题的数学模型 为
nn
min z
cij xij
C=c(1,1) c(1,2) … c(1,n), c(2,1) c(2,2) … c(2,n), … c(m,1) c(m,2) … c(m,n);
enddata [OBJ]min=@sum(link(i,j):c(i,j)*x(i,j)); @for(row(i):@sum(arrange(j):x(i,j))=a(i);); @for(arrange(j):@sum(row(i):x(i,j))=b(j);); @for(link(i,j):x(i,j)>=0;); END
注意到每填一个数据恰好减少一 行或一列。
B1
B2
B3
B4
产量
A1 A2 A3 销量
3
6
×
×
2
9
10
7
×
2
3
1
3
4× 2
1
6
× 8× 4
2
5
3 ,0
8,2,0 4,1,0 6
9,6,0 5,3,0 7,6
总共填写m+n个数据
填上去的m+n个数据为基变 量
产销平衡运输问题的初始解
2. 最小元素法 选择运价表中最小运价，运量和销量
产量
A1 A2 A3 销量36××2
9
10
7
×
2
3
1
3
4× 2
9,6,0 5,3,0
× 8× 4
2
3 ,0
8,2,0 4,1
57 6
B1
B2
B3
B4
产量
A1 A2 A3 销量
3
6
×
×
2
9
10
7
×
2
3
1
3
4× 2
1
× 8× 4
2
5
3 ,0
8,2,0 4,1,0 6
9,6,0 5,3,0 7,6
填上x33=1后,自然少去一列(第 3列),这时不要再去掉第3行。
产销平衡运输问题的求解
定理 产销平衡运输问题一定
存在最优解 。
产销平衡运输问题的Lingo模型
MODEL: sets: row/1..m/:a; arrange/1..n/:b; link(row,arrange):c,x; endsets data: a=a(1) a(2) … a(m); b=b(1) b(2) … b(n);
×
2
1
3
i1 j1
n
xij ai , i 1,, m
j 1
s.t.
n
xij bj , j 1,, n
xij
i 1
0,i
1,, m;
j
1,, n
2. 销大于产问题的数学模型
销大于产时，
ai bj
i
j
各个销地的需求不一定能够得到 满足，运输问题的数学模型为
nn
min z
cij xij