曲面方程26p
曲面方程一般表达式
曲面方程一般表达式
曲面方程是描述三维空间中曲面的数学公式。
一般来说，曲面方程可以用一般表达式来表示。
一般表达式是指一个包含三个变量x、y、z的二次方程，其形式为：
Ax² + By² + Cz² + Dxy + Exz + Fyz + Gx + Hy + Iz + J = 0
其中A、B、C、D、E、F、G、H、I、J是常数，且A、B、C不全为0。
这个方程描述了一个三维空间中的曲面，它的形状和大小取决于方程中的系数。
例如，当A、B、C都为正数时，曲面是一个椭球体；当A、B、C中有一个为0时，曲面是一个抛物面或一个圆锥面；当A、B、C中有两个为0时，曲面是一个平面或一个圆柱面。
曲面方程的一般表达式可以用来解决许多实际问题。
例如，在物理学中，曲面方程可以用来描述电场、磁场、重力场等物理现象；在工程学中，曲面方程可以用来设计汽车、飞机、船舶等产品的外形；在计算机图形学中，曲面方程可以用来生成三维模型，实现真实感渲染等。
曲面方程的求解是一个复杂的数学问题。
一般来说，可以通过数值计算或解析方法来求解。
数值计算是指通过计算机程序来求解方程的数值解，这种方法适用于一般表达式比较简单的情况。
解析方法
是指通过数学推导来求解方程的解析解，这种方法适用于一般表达式比较复杂的情况。
曲面方程的一般表达式是描述三维空间中曲面的重要工具，它在许多领域都有广泛的应用。
常用曲线和曲面的方程及其性质
常用曲线和曲面的方程及其性质曲线和曲面在三维空间中是常见的数学对象。
它们的方程可以通过几何性质描述它们的性质。
本文将介绍一些常用的曲线和曲面方程及其性质。
一、曲线方程1. 直线方程直线是一种最基本的曲线，它的方程可以写成一般式和斜截式两种形式。
一般式：$Ax+By+C=0$；斜截式：$y=kx+b$，其中$k$是直线的斜率，$b$是截距。
直线的斜率表示的是直线倾斜的程度，斜率越大表示直线越陡峭。
斜率等于零表示直线水平，而无限大则表示直线垂直于$x$轴。
2. 圆的方程圆是一种具有球面对称性质的曲线，它的方程可以写成两种形式：标准式和一般式。
标准式：$(x-a)^2+(y-b)^2=r^2$，其中$(a,b)$为圆心坐标，$r$为半径长度。
一般式：$x^2+y^2+Ax+By+C=0$，其中$A,B,C$是常数。
圆的标准式方程可以通过圆心和半径来描述圆的几何性质；而一般式方程则可以通过求圆的中心和半径来转化为标准式方程。
3. 椭圆的方程椭圆是一种内离于两个焦点的平面曲线，它的方程可以写成一般式和标准式两种形式。
标准式：$\frac{(x-a)^2}{a^2}+\frac{(y-b)^2}{b^2}=1$，其中$(a,b)$为椭圆中心坐标，$a$是横轴半径，$b$是纵轴半径。
一般式：$Ax^2+By^2+Cx+Dy+E=0$，其中$A,B,C,D,E$是常数。
椭圆的标准式方程中的$a$和$b$决定了椭圆的形状和大小。
当$a=b$时，椭圆变成了圆。
4. 抛物线的方程抛物线是一种开口朝上或朝下的U形曲线，它的方程可以写成两种形式：标准式和一般式。
标准式：$y=ax^2$，其中$a$是抛物线的参数。
一般式：$Ax^2+By+C=0$，其中$A,B,C$是常数。
抛物线的标准式方程中的参数$a$可以决定抛物线的开口方向，当$a>0$时开口向上，$a<0$时则开口向下。
5. 双曲线的方程双曲线是一种形状类似于抛物线的曲线，但它却有两个分支。
高等数学课件D851曲面方程
曲面方程的优化方法
梯度下降法：通过迭代求解，找到最优解 牛顿法：利用二阶导数信息，加速求解过程 拟牛顿法：通过近似Hessian矩阵，提高求解效率 共轭梯度法：利用共轭梯度信息，提高求解精度
曲面方程的近似解法
泰勒级数法：将曲面方程展开为泰 勒级数，然后求解
蒙特卡洛法：使用随机采样的方法 求解曲面方程
a. 建立曲面方程的图形表示 b. 利用几何关系求解曲面方程 c. 验证求解结果
单击此处输入你的项正文，文字是您思想的提炼，请尽量言简意赅的阐述观点。
数值法求解曲面方程的案例
案例背景：求解一 个复杂的曲面方程
数值方法：采用有 限元法、边界元法 等数值方法
求解过程：建立数 学模型，进行数值 计算，得到解
数值法求解曲面方程
数值积分法：通过数值积分求 解曲面方程
差分法：通过差分求解曲面方 程
迭代法：通过迭代求解曲面方 程
牛顿法：通过牛顿法求解曲面 方程
几何建模中的应用
曲面方程在几何建模中的应用广泛，如曲面建模、曲面分析等 曲面方程可以帮助我们理解和分析曲面的性质，如曲率、方向等 曲面方程还可以帮助我们进行曲面的变形和优化，如曲面的平滑、扭曲等 曲面方程在几何建模中还可以用于曲面的渲染和可视化，如曲面的着色、光照等
曲面方程的分类
显式曲面方程：通过方 程显式表示曲面
极坐标曲面方程：通过 极坐标方程表示曲面
柱面方程：通过柱面方 程表示曲面
双曲曲面方程：通过双 曲曲面方程表示曲面
椭圆面方程：通过椭圆 面方程表示曲面
隐式曲面方程：通过方 程隐式表示曲面
参数曲面方程：通过参 数方程表示曲面
球面方程：通过球面方 程表示曲面
汇报人：
代数法求解曲面方程的案例
曲面及其方程
02
曲面的方程
曲面方程的定义
曲面方程是描述曲面上的点与三维空间中某点的关系，它可以通过几何图形或方程的形式来表示。
曲面方程的概念与性质
曲面方程的性质
曲面方程的性质取决于曲面的形状和特性，例如对称性、连续性、光滑性等。
曲面方程的变量
曲面方程通常由两个或三个变量构成，这些变量可以是坐标系中的x、y、z值或其他参数。
曲面在航空航天中的应用
THANKS
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短程线
曲面上的测地线与短程线
04
曲面的分类与性质
定义
性质
方程
平面的性质与特征
定义
球面是一种以定点为中心，半径为定长的封闭曲面。
性质
球面的法线与半径垂直，且通过球心的法线有两个。
方程
球面的方程通常采用球心坐标和半径表示，即(x - h)2 + (y - k)2 + (z - l)2 = r2，其中(h, k, l)是球心的坐标，r是球的半径。
在机械设计中，曲面可以用来创建平滑、流线型的形状，同时还可以实现功能性的要求，例如引导气流、提供结构强度等。
曲面可以由专业的CAD软件创建，这些软件通常提供了丰富的曲面功能，例如拉伸、旋转、扫描等操作。
03
曲面在建筑设计中还可以用来解决物理问题，例如引导光线、遮阳、排水等。
曲面在建筑设计中的应用
01
在建筑设计中，曲面被广泛应用于创造富有艺术感和流动感的建筑外形。
02
通过使用曲面，建筑师可以创造出平滑的建筑立面，以及具有自然形态的室内空间。
在航空航天领域，曲面被广泛应用于飞机和火箭的设计中。
曲面可以用来创建平滑、符合空气动力学的机身外形，同时还可以实现高效的空气动力学性能。
常见曲面方程
常见曲面方程常见曲面方程曲面是三维空间中的一种图形，它可以用数学方程来描述。
在实际应用中，我们经常需要用到各种曲面方程来建立模型，进行计算和分析。
本文将介绍一些常见的曲面方程及其特点。
一、二次曲面1. 球面球面是以某个点为圆心，在空间中任意半径的圆所围成的几何体。
它的方程为：$$(x-a)^2+(y-b)^2+(z-c)^2=r^2$$其中 $(a,b,c)$ 是球心坐标，$r$ 是半径。
球面具有以下特点：① 对称性：球面对称于以其圆心为中心的任意平面。
② 等距性：从球心到球面上任意一点的距离都相等。
③ 曲率：球面上任意一点处的曲率半径都相等。
2. 椭球面椭球面是一个类似于椭圆形状的三维几何体。
它的方程为：$$\frac{(x-a)^2}{a^2}+\frac{(y-b)^2}{b^2}+\frac{(z-c)^2}{c^2}=1$$其中 $(a,b,c)$ 是椭球中心坐标，$a,b,c$ 分别是椭球在 $x,y,z$ 轴上的半轴长度。
椭球面具有以下特点：① 对称性：椭球面对称于以其中心为中心的任意平面。
② 等距性：从椭球中心到表面上任意一点的距离都相等。
③ 曲率：椭球面上不同点处的曲率半径不同。
3. 椭圆抛物面椭圆抛物面是一个类似于抛物线形状的三维几何体。
它的方程为：$$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=z$$其中 $a,b$ 分别是抛物线在 $x,y$ 轴上的半轴长度。
椭圆抛物面具有以下特点：① 对称性：椭圆抛物面对称于以其顶点为中心的平面，且对称轴与$z$ 轴平行。
② 焦点性质：椭圆抛物线具有焦点性质，即从焦点出发的光线经过反射后汇聚于另一个焦点。
③ 曲率：不同位置处曲率半径不同，但沿着其主轴方向曲率半径相等。
4. 双曲抛物面双曲抛物面是一个类似于双曲线形状的三维几何体。
它的方程为：$$\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=z$$其中 $a,b$ 分别是双曲线在 $x,y$ 轴上的半轴长度。
常见曲面公式
常见曲面公式嘿，咱们今天来聊聊常见的曲面公式。
先从简单的说起，像球面方程，大家应该不陌生吧。
你想想看，一个足球，那就是个标准的球面。
球面方程的一般形式就是$(x - a)^2 + (y - b)^2 + (z - c)^2 = r^2$，这里的$(a,b,c)$是球心的坐标，$r$就是半径啦。
我记得有一次，我带着一群小朋友去操场上玩，看到一个小朋友在踢足球。
我就问他们：“你们知道这个足球的表面用数学公式怎么表示吗？”小朋友们都一脸茫然地看着我。
我就给他们慢慢解释，看着他们似懂非懂的小表情，真是可爱极了。
再来说说圆柱面方程。
圆柱面就像咱们平常看到的柱子，它的方程形式也有特点。
假如圆柱面的轴是沿着 z 轴，半径为 r ，高度没有限制，那方程就是$x^2 + y^2 = r^2$ 。
有一回，我去逛商场，看到大厅里有一个巨大的圆柱型装饰，特别漂亮。
我当时就在想，这要是让学生们来分析这个圆柱面的方程，估计能加深他们对知识的理解。
圆锥面方程相对复杂一点，但也别害怕。
它的一般方程形式和参数方程形式都有各自的特点和用途。
记得有一次给学生们讲圆锥面方程，有个学生怎么都理解不了，我就拿了一个圆锥形的纸帽，一点点给他比划解释，最后他终于明白了，那开心的样子让我也特别有成就感。
还有旋转曲面方程，这可是个有趣的家伙。
比如说，把一条曲线绕着某条轴旋转，就能得到一个旋转曲面。
就像我们生活中的很多东西，比如花瓶，很多就是旋转曲面的形状。
上次我在公园里看到一个卖花瓶的小摊，那些花瓶形状各异，我就在心里琢磨着它们对应的旋转曲面方程。
总之，这些常见的曲面公式在我们的生活中无处不在。
只要我们留心观察，就能发现数学的魅力。
从小学到高中的教材里，这些曲面公式是逐步深入学习的。
刚开始可能只是简单的了解，随着学习的深入，要求掌握的程度也越来越高。
但不管怎样，只要我们带着兴趣去学，就会发现数学并不枯燥，反而充满了乐趣。
希望大家以后看到各种曲面的东西，都能想到咱们学过的这些公式，用数学的眼光去欣赏这个世界。
常见曲面方程总结(一)
常见曲面方程总结(一)前言•引言：曲面是数学中的重要概念，广泛应用于计算机图形学、工程设计等领域。
在形状设计和模拟中，掌握常见曲面方程是非常重要的基础知识。
本文将介绍几种常见的曲面方程，并分析其特性和应用场景。
正文一、球面方程•定义：球面是由到定点距离相等于固定半径的点所组成的曲面。
它的方程一般可以表示为：(x-a)² + (y-b)² + (z-c)² = r²，其中(a,b,c)为球心坐标，r为半径。
•特性：球面是空间中对称性最高的曲面，具有旋转对称性、轴对称性和平面对称性。
•应用：球面方程广泛应用于计算机图形学中的三维建模，如球体、球形光源等。
二、圆柱面方程•定义：圆柱面是围绕某条直线旋转而形成的曲面。
它的方程可以表示为：(x-a)² + (y-b)² = r²，其中(a,b)为圆心坐标，r为半径。
•特性：圆柱面在与旋转轴垂直的方向上是无限延伸的，而在旋转轴方向上是有限长度的。
•应用：圆柱面方程常用于描述圆柱体、柱形物体等实际物体的几何特征。
三、锥面方程•定义：锥面是由定点到平面上所有点的连线所组成的曲面。
它的方程可以表示为：(x-a)² + (y-b)² = z²，其中(a,b)为锥顶坐标。
•特性：锥面在平面上形成对称的圆锥形状，而在垂直于平面的方向上是无限延伸的。
•应用：锥面方程常用于描述圆锥体、棱锥体等实际物体的几何特征。
四、椭球面方程•定义：椭球面是由到两个定点的距离之和等于常数的点所组成的曲面。
它的方程可以表示为：(x-a)²/r₁² + (y-b)²/r₂² + (z-c)²/r₃² = 1，其中(a,b,c)为椭球中心坐标，r₁、r₂、r₃为轴长。
•特性：椭球面可以是旋转椭球、扁椭球或球体等不同形状，取决于轴长的比值。
考研数学常见曲面方程
考研数学常见曲面方程考研数学中常见的曲面方程有以下几类：1. 二次曲面方程：- 平面：Ax + By + Cz + D = 0- 球面：(x - a)² + (y - b)² + (z - c)² = r²- 椭球面：(x - a)² / a² + (y - b)² / b² + (z - c)² / c² = 1 - 马鞍面：x² / a² - y² / b² + z / c = 0- 抛物面：z = ax² + by² + c- 双曲抛物面：x² / a² - y² / b² = z / c2. 旋转曲面方程：- 圆锥面：z² = x² + y²- 双曲抛物面：x² / a² - y² / b² = z / c- 双曲双曲面：x² / a² + y² / b² - z² / c² = 13. 参数方程：- 椭圆柱面：x = a cosθ, y = b sinθ, z = ct- 双曲柱面：x = a secθ, y = b tanθ, z = ct4. 其他方程：- 圆环面：(x - a)² + y² = r²- 双曲面：x² / a² + y² / b² - z² / c² = 1- 椭圆抛物面：z = ax² + by²- 双曲抛物面：x² / a² - y² / b² = z- 零亏格曲面：x³ + y³ + z³ - 3xyz = 0这些是考研数学中常见的曲面方程，但也可能会出现其他不太常见的曲面方程题目。
《曲面及其方程》PPT课件
x2 y2 z2 Ax By Cz D 0 () 其特点是：平方项系数相等，交叉项系数为零．
方程 (*) 称为球面的一般式方程， 经配方后可化为球面的标准方程．
中值定理与导数的应用
4
特别地：球心在坐标原点时， 球面方程为 x2 y2 z2 R2
中值定理与导数的应用
5
例2 求与原点O 及点 M0(2,3,4)的距离之比为1 : 2 的点的全体所组成的曲面方程．
1
双曲柱面 母线//z
轴
其在 xoy 面上的准线为
x2
a
2
y2 b2
1.
z 0
x2 2 pz 抛物柱面 母线//y 轴
其在 zox 面上的准线为
x2 2 pz
.
y 0 中值定理与导数的应用
19
椭圆柱面
x2 a2
y2 b2
1
z
母线 // z 轴，
其在 xoy 面上的
准线是椭圆
x2
母线平行于 y 轴的柱面，
其在
zox
面上的准线方程是
H ( x, z) y0
0 .
注意 x2 y2 0的图形是什么？ z 轴．
中值定理与导数的应用
18
例如
y2 z2 b2 c2 1
椭圆柱面
母线 //x 轴
其在 yoz 面上的准线为
y2
b2
z2 c2
1.
x 0
x2 a2
y2 b2
而生成的旋转面方程 f ( y, x2 z2 ) 0.
例如 yoz 面上的圆 y2 z2 R2 绕 z 轴旋转生成
球面 ( x2 y2 )2 z2 R2，即 x2 y2 z2 R2 .
一般地 xoy 面上的曲线 g( x, y) 0绕 x 轴旋转一周
高等数学曲面及其方程PPT课件
观察柱面的 形成过程:
39
三、柱面 定义 沿定曲线C 移动的动直线L 所形成的曲面称为柱面。
这条定曲线C 叫柱面的准线，动直线L叫柱面的母线。
观察柱面的 形成过程:
40
三、柱面 定义 沿定曲线C 移动的动直线L 所形成的曲面称为柱面。
这条定曲线C 叫柱面的准线，动直线L叫柱面的母线。
定义：以一条平面曲线 绕其平面上的一条直线 旋转一周所成的曲面称 为旋转曲面。这条曲线 和定直线一次称为旋转 曲面的母线和旋转轴。
23
1、yOz面上曲线C 绕 z 轴旋转所成曲面的方程:
设 yO 面 z的 C ： f曲 y,z 0线 ，点M1(0,y1,z1)在曲线C,
则 fy1,z10 (4)
z
0
母线平行于 z 轴的柱面方程为：f(x, y)0
注意：方程中缺z，表示z可以任意取值，所以方程 f(x, y)0
表示母线平行于z轴的柱面。
一般地，在空间直角坐标下 二元方程的几何图形为柱面
f(x, y)0（缺z）， 表示母线∥Z ？，准线为？的柱面。
y f(x,z)0（缺y）， 表示母线∥？，准线为？的柱面。
观察柱面的 形成过程:
41
三、柱面 定义 沿定曲线C 移动的动直线L 所形成的曲面称为柱面。
这条定曲线C 叫柱面的准线，动直线L叫柱面的母线。
观察柱面的 形成过程:
42
三、柱面 定义 沿定曲线C 移动的动直线L 所形成的曲面称为柱面。
这条定曲线C 叫柱面的准线，动直线L叫柱面的母线。
观察柱面的 形成过程:
观察柱面的 形成过程:
34
三、柱面 定义 沿定曲线C 移动的动直线L 所形成的曲面称为柱面。
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2
2
2
x a,
y b,
z c
y2 z2 1 , b2 c2 x0 x2 z 2 1 a 2 c 2 y0
(2)与坐标面的交线：椭圆
x2 y2 1, 2 2 a b z0
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x2 y2 z 2 2 2 1 ( a, b, c 为正数) 2 a b c
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二、旋转曲面
定义2. 一条平面曲线 绕其平面上一条定直线旋转
一周 所形成的曲面叫做旋转曲面. 该定直线称为旋转
轴 . 旋转的曲线称为母线. 例如 : l C
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建立yoz面上曲线C 绕 z 轴旋转所成曲面的方程: 给定 yoz 面上曲线 C: f ( y, z ) 0 若点 M1 (0, y1 , z1 ) C , 则有
z
L
M (0, y, z )
y
两边平方
x
2
z a (x y )
2 2 2
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例4. 求坐标面 xoz 上的双曲线 轴和 z 轴旋转一周所生成的旋转曲面方程.
分别绕 x
解:绕 x 轴旋转所成曲面（旋转双叶双曲面）方程为
x y z 1 2
介绍几种常见二次曲面的标准型. 研究二次曲面的基本方法是所谓的截痕法.
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1. 椭圆锥面
z
z
x2 y2 2 z 2 ( a, b 为正数 ) a2 b 在平面 z t 上的截痕为 椭圆 x2 y2 1, z t ① (at ) 2 (bt ) 2
o
xx
y y
表示上(下)球面 .
x
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M0
M
o
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y
结束
例2. 研究方程
的曲面. 解: 配方得 此方程表示: 球心为 M 0 (1, 2, 0 ) , 半径为 5 的球面. 说明: 如下形式的三元二次方程 ( A≠ 0 )
表示怎样
都可通过配方研究它的图形. 其图形可能是
一个球面 , 或点 , 或虚轨迹.
(3) 截痕:与 z z1 ( z1 c)的交线为椭圆：
x
2
2
a (1
z z1
h2 c2
)
y
2
2
z
b (1
h2 c2
)
1
同样 y y1 ( y1 b ) 及 也为椭圆.
的截痕
(4) 当 a＝b 时为旋转椭球面; 当a＝b＝c 时为球面.
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3. 双曲面 (1)单叶双曲面
在平面 x＝0 或 y＝0 上的截痕为过原点的两直线 . 可以证明, 椭圆①上任一点与原点的连线均在曲面上. (椭圆锥面也可由圆锥面经 x 或 y 方向的伸缩变换
得到, 见书 P28 )
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2. 椭球面
x y z 2 2 1 ( a, b, c 为正数 ) 2 a b c
单叶双曲面）方程为
x
y
z
x y z 2 1 2 a c
2 2 2
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三、柱面
引例. 分析方程 表示怎样的曲面 .
z
M
表示圆C, C o M1 在圆C上任取一点 M 1 ( x, y,0) , 过此点作 x 解:在 xoy 面上，
平行 z 轴的直线 l , 对任意竖坐标 z ,点 M ( x, y, z ) l 的坐标也满足方程 x 2 y 2 R 2
• 双曲面: 单叶双曲面 x2 y2 2 1 2 a b • 椭圆锥面: 双叶双曲面
x y 2 2 a b
2
2
1
x2 a2
y2 b2
z2
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思考与练习
1. 指出下列方程的图形:
方 程
x5
x y 9
2 2
平面解析几何中
空间解析几何中
平行于 y 轴的直线 平行于 yoz 面的平面 圆心在(0,0) 半径为 3 的圆 斜率为1的直线 以 z 轴为中心轴的 圆柱面 平行于 z 轴的平面
z
C
M 1 (0, y1 , z1 )
f ( y1 , z1 ) 0
当曲线C绕 z 轴旋转时,该点转到 M ( x, y, z) M ( x, y, z ) , 则有
z z1 ,
x y y1
2 2
o
y
故旋转曲面方程为
x
f ( x 2 y 2 , z) 0
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x2 a
2
y2 b
2
z2 c
2
1 单叶双曲面 1 双叶双曲面
图形
P18
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4. 抛物面
(1) 椭圆抛物面
z
x y 2 z 2 a b
2 2
特别,当 a= b 时为绕 z 轴的旋转抛物面. x (2) 双曲抛物面（马鞍面） z
y
x y 2 z 2 a b
2 2
x
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(2) 双叶双曲面
z
x y z 2 2 1 ( a, b, c 为正数 ) 2 a b c 平面 y y1 上的截痕为 双曲线
2
2
2
平面 x x1 上的截痕为 双曲线
o x
y
平面 z z1 ( z1 c)上的截痕为 椭圆
注意单叶双曲面与双叶双曲面的区别:
结束
思考：当曲线 C 绕 y 轴旋转时，方程如何？
z
C : f ( y, z ) 0
o x
y
f ( y, x z ) 0
2 2
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例3. 试建立顶点在原点, 旋转轴为z 轴, 半顶角为
的圆锥面方程.
解: 在yoz面上直线L 的方程为 绕z 轴旋转时,圆锥面的方程为
y x 1
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2. P318 题3 , 10
题10 答案: 在 xoy 面上
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y
沿曲线C平行于 z 轴的一切直线所形成的曲面称为圆
柱面. 其上所有点的坐标都满足此方程, 故在空间
x 2 y 2 R 2 表示圆柱面
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定义3. 直线l沿定曲线 C平行 移动而 形成的轨迹
叫做柱面. C 叫做准线, l 叫做母线.
表示抛物柱面,
母线平行于 z 轴;
则 F( x, y, z ) = 0 叫做曲面 S 的方程,
曲面 S 叫做方程 F( x, y, z ) = 0 的图形. 两个基本问题 :
z
S
o
(1) 已知一曲面作为点的几何轨迹时, 求曲面方程.
x
y
(2) 已知方程时 , 研究它所表示的几何形状 ( 必要时作图 )
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例1. 建立球心在点
的方程.
、半径为 R 的球面
解: 设
即
则 为球面上的任一点，
( x x0 ) 2 ( y y0 ) 2 ( z z0 ) 2 R
故球面方程为
( x x0 ) 2 ( y y0 ) 2 ( z z0 ) 2 R 2 z 特别,当M0在原点时,球面方程为
x2 y2 z 2 R2
准线： xoy 面上的曲线 l1.
x
zl 2
y
方程 G ( y, z ) 0 表示柱面,
平行于 x 轴; 母线：
准线： yoz 面上的曲线 l2.
x
z
l3
方程 H ( z, x) 0 表示柱面,
平行于 y 轴; 母线：
准线： xoz 面上的曲线 l3.
x
y
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四、二次曲面
第三节 曲面及其方程(26)
一、曲面方程的概念
二、旋转曲面
三、柱面 四、二次曲面
第八章
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一、曲面方程的概念
定义1. 如果曲面 S 与方程 F( x, y, z ) = 0 有下述关系: (1) 曲面 S 上的任意点的坐标都满足此方程; (2) 不在曲面 S 上的点的坐标不满足此方程, F ( x, y, z ) 0
三元二次方程
Ax 2 By 2 Cz 2 Dxy Eyx Fzx Gx Hy Iz J 0 (二次项系数A , B , C , D , E , F 不全为 0 )
的图形通常为二次曲面. 其基本类型有: 椭球面、抛物面、双曲面、锥面
适当选取直角坐标系可得它们的标准方程,下面仅
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2
2
2 y1 2
2) y1 b 时, 截痕为相交直线: x z 0 a c y b (或 b) 3) y1 b时, 截痕为双曲线: