常见的曲面及其方程
83曲面及其方程
一般地,在空间解析几何
z
方程 F(x, y) 0 表示 柱面,
母线 平行于 z 轴;
x 准线 xoy 面上的曲线 l1 : F ( x, y) 0
l1
y
z
l2
方程 G( y, z) 0 表示柱面,
y
母线 平行于 x 轴;
x
准线 yoz 面上的曲线 l2 : G( y, z) 0
观察柱面的形 成过程:
准线
C
母线
17
柱面演示
播放
18
例如: 考虑方程 x2 + y2 = R 2 所表示的曲面.
在xoy面上, x2 + y2 = R2 表示以 原点O为圆心, 半径为R的圆.
曲面可以看作是由平行 于 z 轴的直线L沿xoy面上的 圆x2 + y2 = R2 移动而形成, 称 该曲面为圆柱面.
相应地平面被称为一次曲面． 讨论二次曲面性状的截痕法：
用坐标面和平行于坐标面的平面与曲面相截, 考察其交线(即截痕)的形状, 然后加以综合, 从而 了解曲面的全貌．
以下用截痕法讨论几种常见的二次曲面．
24
(1) 椭球面
z
x2 a2
y2 b2
z2 c2
1
O y
1 用坐标面z = 0 , x = 0和 x y = 0去截割,分别得椭圆
z x2 y2 cot
两边平方
z2 a2( x2 y2 )
o
y
x
---圆锥面的标准方程
13
y2 z2
例6 以 曲 线
a
2
c2
1 为母线,
y 0
各种曲面的方程
各种曲面的方程
1. 球面方程
球面是一种非常常见的曲面，它的方程为：
(x-a)² + (y-b)² + (z-c)² = r²
其中，a、b、c分别为球心的坐标，r为球的半径。
这个方程描述了一个以(a,b,c)为球心，半径为r的球面。
球面在几何学中有着广泛的应用，比如在计算机图形学中，球面可以用来表示三维空间中的物体表面，比如球体、球形天体等等。
2. 椭球面方程
椭球面是一种比球面更加复杂的曲面，它的方程为：
(x/a)² + (y/b)² + (z/c)² = 1
其中，a、b、c分别为椭球面在x、y、z轴上的半轴长度。
这个方程描述了一个以原点为中心，半轴长度分别为a、b、c的椭球面。
椭球面在几何学中也有着广泛的应用，比如在地球科学中，椭球面可以用来表示地球的形状，以及计算地球的重力场等等。
3. 双曲面方程
双曲面是一种非常特殊的曲面，它的方程为：
(x/a)² + (y/b)² - (z/c)² = 1
其中，a、b、c分别为双曲面在x、y、z轴上的半轴长度。
这个方程描述了一个以原点为中心，半轴长度分别为a、b、c的双曲面。
双曲面在几何学中也有着广泛的应用，比如在物理学中，双曲面可以用来表示电磁场中的等势面，以及计算电场、磁场等等。
曲面方程是几何学中非常重要的一部分，它们可以用来描述各种不同形状的曲面，以及在各种不同领域中的应用。
常用曲线和曲面的方程及其性质
常用曲线和曲面的方程及其性质曲线和曲面在三维空间中是常见的数学对象。
它们的方程可以通过几何性质描述它们的性质。
本文将介绍一些常用的曲线和曲面方程及其性质。
一、曲线方程1. 直线方程直线是一种最基本的曲线，它的方程可以写成一般式和斜截式两种形式。
一般式：$Ax+By+C=0$；斜截式：$y=kx+b$，其中$k$是直线的斜率，$b$是截距。
直线的斜率表示的是直线倾斜的程度，斜率越大表示直线越陡峭。
斜率等于零表示直线水平，而无限大则表示直线垂直于$x$轴。
2. 圆的方程圆是一种具有球面对称性质的曲线，它的方程可以写成两种形式：标准式和一般式。
标准式：$(x-a)^2+(y-b)^2=r^2$，其中$(a,b)$为圆心坐标，$r$为半径长度。
一般式：$x^2+y^2+Ax+By+C=0$，其中$A,B,C$是常数。
圆的标准式方程可以通过圆心和半径来描述圆的几何性质；而一般式方程则可以通过求圆的中心和半径来转化为标准式方程。
3. 椭圆的方程椭圆是一种内离于两个焦点的平面曲线，它的方程可以写成一般式和标准式两种形式。
标准式：$\frac{(x-a)^2}{a^2}+\frac{(y-b)^2}{b^2}=1$，其中$(a,b)$为椭圆中心坐标，$a$是横轴半径，$b$是纵轴半径。
一般式：$Ax^2+By^2+Cx+Dy+E=0$，其中$A,B,C,D,E$是常数。
椭圆的标准式方程中的$a$和$b$决定了椭圆的形状和大小。
当$a=b$时，椭圆变成了圆。
4. 抛物线的方程抛物线是一种开口朝上或朝下的U形曲线，它的方程可以写成两种形式：标准式和一般式。
标准式：$y=ax^2$，其中$a$是抛物线的参数。
一般式：$Ax^2+By+C=0$，其中$A,B,C$是常数。
抛物线的标准式方程中的参数$a$可以决定抛物线的开口方向，当$a>0$时开口向上，$a<0$时则开口向下。
5. 双曲线的方程双曲线是一种形状类似于抛物线的曲线，但它却有两个分支。
第七节常见曲面的方程及图形
第七节常见曲⾯的⽅程及图形第七节常见曲⾯的⽅程及图形Equation and Graph of Surface教学⽬的: 了解常见的空间曲线的标准⽅程并知道它们的图像.课题: 曲⾯及其⽅程;常见的曲⾯⽅程及其图形.教学重点: 空间曲⾯的图形及其⽅程教学难点: 常见空间曲线的图形及⽅程教学⽅法: 精讲常见曲⾯的⽅程及图形教学内容:⼀、曲⾯及其⽅程空间任⼀曲⾯都可以看作点的集合.在空间直⾓坐标系中,如果曲⾯S 上的任⼀点(,,)M x y z 的坐标满⾜三元⽅程(,,)0F x y z =,不在曲⾯上的点的坐标都不满⾜该⽅程,那么就称该⽅程是曲⾯S 的⽅程,⽽曲⾯S 是该⽅程的图形或轨迹.【例1】⼀平⾯垂直平分两点(1,2,3)A 和(2,1,4)B -间的线段,求该平⾯的⽅程.解显然所求平⾯是与A 及B 等距离的点的轨迹.在平⾯上任取⼀点(,,)M x y z ,则有MA MB =,⽽MA MB ==两边平⽅,化简,即得所求平⾯的⽅程 26270x y z -+-=⼆、常见的曲⾯⽅程及其图形1.球⾯⽅程空间动点到⼀定点的距离等于常数,此动点的轨迹即为球⾯.定点叫做球⼼,常数叫做球的半径.设球⼼在点(,,)C a b c ,半径为r ,在球⾯上任取⼀点(,,)M x y z ,有MC r =,即r =两边平⽅得2222()()()x a y b z c r -+-+-= (1)此⽅程即为所求的球⾯⽅程.当(1)式中0a b c ===,即球⼼在原点,半径为r 时,(1)式可化为2222x y z r ++=【例2】下列⽅程表⽰什么曲⾯?(1)2222440x y z x y ++---=(2)2222450x y z x y ++--+= (3)2222460x y z x y ++--+=解将⽅程左端配⽅(1) 222(1)(2)9x y z -+-+=,表⽰以点(1,2,0)C 为球⼼,半径3r =的球⾯;(2) 222(1)(2)0x y z -+-+=,由于此⽅程只有唯⼀的⼀组解:1,2,0x y z ===,即它表⽰⼀点(1,2,0);(3) 222(1)(2)1x y z -+-+=-,这时,空间任⼀点坐标都不满⾜⽅程,即没有⼏何图像,称之为虚球⾯.2.母线平⾏于坐标轴的柱⾯⽅程设⽅程中不含某⼀坐标,如不含竖坐标z ,即(,)0F x y = (2)它在xOy 坐标⾯上的图形是⼀条曲线L ,由于⽅程中不含z ,故在空间中⼀切与L 上的点(,,0)P x y 有相同纵坐标的点(,,)M x y z 均满⾜⽅程,也就是说,经过L 上的任⼀点P ⽽平⾏于z 轴的直线上的⼀切点的坐标均满⾜⽅程.反之,如果''''(,,)M x y z 与曲线L 上的任何点不具有相同的横、纵坐标,则点'M 的坐标必不满⾜⽅程(2).满⾜⽅程(2)的点的全体构成⼀曲⾯,它是由平⾏与z 轴的直线沿xOy 平⾯上的曲线L 移动⽽形成的,这种曲⾯叫做柱⾯.曲⾯L 叫做准线,形成柱⾯的直线叫做柱⾯的母线.因此⽅程(2)在空间的图像是母线平⾏于z 轴的柱⾯.同样地,⽅程(,)0F y z =的图像是母线平⾏于x 轴的柱⾯;⽅程(,)0F x z =的图像是母线平⾏于y 轴的柱⾯.(1) ⽅程 22221x y a b+= (3) 表⽰柱⾯,它的准线为xOy ⾯上的椭圆,母线平⾏于z 轴,称之为椭圆抛物⾯.在⽅程(3)中,当a b r ==,即222x y r +=时,它表⽰圆柱⾯.(2) ⽅程22221x y a b-=表⽰准线为xOy ⾯上的双曲线,母线平⾏于z 轴的柱⾯,称之为双曲圆柱⾯.(3) ⽅程22y Px =表⽰准线为xOy ⾯上的抛物线,母线平⾏于z 轴的柱⾯,称之为抛物柱⾯.3.旋转曲⾯旋转曲⾯是由⼀条平⾯曲线绕其平⾯上的⼀条直线旋转⼀周⽽成的.这条直线叫做该旋转曲⾯的旋转轴,这条平⾯曲线叫做旋转曲⾯的母线.设在yOz 平⾯上的曲线C 的⽅程为(,)0F y z =,把曲线C 绕z 轴旋转⼀周,就得到⼀个以z 轴为轴的旋转曲⾯.它的⽅程可以这样求得:设1111(,,)M x y z 为曲线C 上任⼀点,则有11(,)0F y z =,当曲线C 旋转时,点1M 转到点(,,)M x y z ,这时1z z =,点M 和1M 到z 轴的距离相等,即1y =把11,z z y ==代⼊11(,)0F y z =得()0F z =这就是所求的旋转曲⾯的⽅程.同理,xOy 平⾯上的曲线(,)0F x y =绕y 轴旋转⼀周,所得旋转曲⾯⽅程为()0F y =xOz 平⾯上的曲线(,)0F x z =绕x 轴旋转⼀周,所得旋转曲⾯⽅程为(,0F x =⽅程22z x y =+是yOz 平⾯上的抛物线2z y =绕z 轴旋转⼀周⽽成的旋转曲⾯,称为旋转抛物⾯.4.常见的⼆次曲⾯及其⽅程(1) 椭球⾯⽅程2222221x y z a b c ++=所表⽰的曲⾯叫做椭球⾯.(2) 单叶双曲⾯⽅程2222221x y z a b c +-=所表⽰的曲⾯叫做单叶双曲⾯.(3) 双叶双曲⾯⽅程2222221x y z a b c-+=-所表⽰的曲⾯叫做双叶双曲⾯.特别的,2220x y z -+=所表⽰的曲⾯叫做圆锥⾯.(4) 抛物⾯(a) 椭圆抛物⾯⽅程22(,0)22x y z p q p q =+>所表⽰的曲⾯叫做椭圆抛物⾯.(b) 双曲抛物⾯⽅程22(,0)22x y z p q p q=-+>所表⽰的曲⾯叫做双曲抛物⾯,也叫马鞍⾯.课堂练习:1. 指出下列各⽅程表⽰什么曲⾯.(1)2221x y z ++=(2)21x = (3)22z x y =+ (4)222231x y z ++=⼩结:学习了常见曲⾯的⽅程及其图形,包括球⾯、柱⾯、旋转曲⾯、⼆次曲⾯等.要求了解常见空间曲线的标准⽅程并指导它们的图像。
高等数学第七章：曲面及其方程
4/21
旋转过程中的特征：
如图 设 M (x, y, z),
(1) z z1
（2）点M 到z 轴的距离
z
d M1(0, y1, z1)
M f ( y,z) 0
o
y
d x2 y2 | y1 | x
将 z z1 6; 7 ;
（1）双曲线
x2 a2
z2 c2
1分别绕 x轴和z轴；
绕x 轴旋转
x2 a2
y2 c2
z2
1
旋 转
双
绕z 轴旋转
x2 a2
y2
z2 c2
1
曲 面
x
y z
y2
（2）椭圆
a
2
z2 c2
1绕 y 轴和z轴；
x 0
绕 y 轴旋转
y2 a2
x2 c2
z2
1
0
2
叫圆锥面的
半顶角．试建立顶点在坐标原点，旋转轴为z 轴，
半顶角为 的圆锥面方程． z
解 yoz面上直线方程为 z y cot
圆锥面方程
z x2 y2 cot x
M1(0, y1, z1 )
o
y
M( x, y, z)
例6 将下列各曲线绕对应的轴旋转一周， 求生成的旋转曲面的方程．
4/21
二、旋转曲面
定义 以一条平面 曲线绕其平面上的 一条直线旋转一周 所成的曲面称为旋 转曲面. 这条定直线叫旋转 曲面的轴．
4/21
大学数学_7_4 曲面与曲线
O
x 图7-34
y
例 6 一动点 M 在圆柱面 x 2 y 2 a 2 上以角速度 绕 z 轴旋转时，同时又以线速度 v 沿平行于 z 轴的正方 向上升，( , v都是常数) ， 则点 M 的几何轨迹叫做螺旋线 （7-35） ，试建立其参数方程. z 解 取时间 t 为参数，设t 0 时动 点在点 A( a,0,0) 处，在 t 时刻，动点在 点 M ( x, y , z ) 处.过点 M 作 xOy 面的 ' 垂线，则垂足为 M ( x, y,0) .由于 O My AOM ' t , MM ' vt , M’ x 故 x a cos AOM ' a cos t , 图7-35 y a sin AOM ' a sin t , z MM ' vt , x a cos t , 所以螺旋线的参数方程为： y a sin t , z vt.
求曲线： 2 2 z x y 2 2 z x y 在 xOy 面上的投影方程. 例7
从曲线 的方程中消去 z，得 x2 y 2 x2 y 2 , 化简后，得 ( x 2 y 2 )( x 2 y 2 1) 0, 因为 x 2 y 2 0 ，所在曲线 关于 xOy 面的投影柱面方程为 x2 y2 1 （是圆柱面） ，在 xOy 面的投影方程为 1 2 2 x y 2 z 0 （是 xOy 面上的圆）. 解
Hale Waihona Puke y2 z2 例 2 将 yOz 面上的椭圆 2 2 1分别绕 z 轴和 y 轴 a b 旋转，求所形成的旋转曲面方程. 解 绕 z 轴旋转而形成的旋转曲面（图 7-28）方程 为 x2 y 2 z 2 z 1 ， a2 b2 b x2 y 2 z 2 2 2 1. 即 2 a a b a 绕 y 轴旋转而形成的旋转曲面方程为 y y 2 x2 z 2 a 1， 2 2 x a b 图7-28 x2 y 2 z 2 2 2 1. 即 2 b a b
曲面及其方程
高等数学
第三节 曲面及其方程
一、曲面方程的概念 二、旋转曲面 三、柱面 四、二次曲面
China Institute of Industrial Relations
中国劳动关系学院
高等数学
一、曲面方程的概念
曲面的实例： 水桶的表面、台灯的罩子面等． 曲面在空间解析几何中被看成是点的几何轨迹． 曲面方程的定义：
x 2 y 1 z 4 ,
2 2 2
化简得所求方程 2 x 6 y 2 z 7 0.
China Institute of Industrial Relations
中国劳动关系学院
高等数学
2 2
例4 方程 z ( x 1) ( y 2) 1的图形是怎样的？ 解 根据题意有 z 1
只含 x, y 而缺 z 的方程 F ( x , y ) 0 ，在 空间直角坐标系中表示母线平行于 z 轴的柱 面，其准线为 xoy面上曲线C . （其他类推）
2 2
实 例
y z 2 1 椭圆柱面 // x 轴 2 b c x2 y2 2 1 双曲柱面 // z 轴 2 a b 2 抛物柱面 // y 轴 x 2 pz
解
设 M ( x , y , z ) 是曲面上任一点，
| MO | 1 , 根据题意有 | MM 0 | 2 x2 y2 z2
x 2 y 3 z 4
2 2
2
2
1 , 2
2
2 4 116 2 . 所求方程为 x y 1 z 3 3 9
China Institute of Industrial Relations
同济版高等数学第六版课件第八章第五节曲面及其方程
直纹曲面在建筑设计中的应用
总结词
设计曲面建筑外观
VS
详细描述
直纹曲面方程在建筑设计中用于描述复杂 的曲面结构。通过直纹曲面，建筑师可以 创造出独特且富有艺术感的建筑外观。直 纹曲面在建筑设计中的广泛应用，不仅提 高了建筑的审美价值，也为建筑师提供了 更多的创作空间。
方程
锥面的方程通常表示为 x^2 + y^2 = r^2(z)，其中 (x, y) 是平面上的点，r 是锥顶到平面的距离，z 是锥面的参数。
性质
锥面是一个非对称的曲面，在锥顶处曲率为无穷大。
旋转曲面
定义
旋转曲面是由一条平面曲线绕 一条直线旋转一周所形成的曲
面。
方程
旋转曲面的方程通常表示为 x = x(t), y = y(t), z = z(t)，其 中 t 是参数，x(t), y(t), z(t) 是
非标准曲面
定义
01
非标准曲面是指不符合常规形式的曲面，如参数曲面、隐式曲
面等。
性质
02
非标准曲面具有一些特殊的几何性质，如曲率、法向量等，这
些性质有助于理解曲面的几何结构。
应用
03
非标准曲面在计算机图形学、计算几何等领域有广泛的应用，
如动画设计、虚拟现实、游戏开发等。
曲面的微分性质
定义
曲面的微分性质是指曲面在局部的几何性质，如切线、法线、曲率 等。
给定的平面曲线。
性质
旋转曲面是一个具有旋转对称 性的曲面，其曲率随旋转角度
而变化。
直纹曲面
定义
直纹曲面是由一条直线按一定方式移动所形成的曲面 。
方程
直纹曲面的方程通常表示为 z = f(x, y)，其中 f(x, y) 是给定的函数，(x, y) 是平面上的点。
高等数学6(6)曲面及其方程
p 0,q 0
21
特殊地 当p q时, 方程变为
x2 y2 z ( p 0)
旋转抛物面
2p 2p
x2 y2 z 2 p 2q
(由 xOz面上的抛物线 x2 2 pz 绕z轴旋转
而成的)
用平面 z z1 (z1 0)去截这曲面,截痕为圆.
x2
y2
2 pz1
z z1
当 z1变动时，这种圆 的中心都在 z 轴上.
特点是: 平方项有一个取负号,另两个取正号.
z z
O
x
yx
O
y
炼油厂、炼焦厂的冷却塔就是单叶双曲面
的形状.
24
x2 a2
y2 b2
z2 c2
1
单叶双曲面
z
类似地, 方程
x 2 a2
y2 b2
z2 c2
1
O
ax22
y2 b2
z2 c2
1
x
y
亦表示 单叶双曲面.
想一想 以上两方程的图形是与此图形 一样吗?
f ( y, x2 z2 ) 0
4
例3 直线L绕另一条与L相交的直线旋转一周
所得旋转曲面称为圆锥面. 两直线的交点称为
圆锥面的顶点, 两直线的夹角 (0 )称为
2 圆锥面的半顶角. 试建立顶点在坐标原点O, 旋
转轴为z轴,半顶角为 的圆锥面的方程.
解 yOz面上直线方程为 z
z
z y cot
z z1
当z1 0时,截痕退缩为原点;当z1 0时, 截痕不存在. 原点叫做椭圆抛物面的顶点.
19
x2 y2 z 2 p 2q
(2) 用坐标面 xOz( y 0)去截这曲面, 截痕为抛物线.
常见曲面方程总结(一)
常见曲面方程总结(一)前言•引言：曲面是数学中的重要概念，广泛应用于计算机图形学、工程设计等领域。
在形状设计和模拟中，掌握常见曲面方程是非常重要的基础知识。
本文将介绍几种常见的曲面方程，并分析其特性和应用场景。
正文一、球面方程•定义：球面是由到定点距离相等于固定半径的点所组成的曲面。
它的方程一般可以表示为：(x-a)² + (y-b)² + (z-c)² = r²，其中(a,b,c)为球心坐标，r为半径。
•特性：球面是空间中对称性最高的曲面，具有旋转对称性、轴对称性和平面对称性。
•应用：球面方程广泛应用于计算机图形学中的三维建模，如球体、球形光源等。
二、圆柱面方程•定义：圆柱面是围绕某条直线旋转而形成的曲面。
它的方程可以表示为：(x-a)² + (y-b)² = r²，其中(a,b)为圆心坐标，r为半径。
•特性：圆柱面在与旋转轴垂直的方向上是无限延伸的，而在旋转轴方向上是有限长度的。
•应用：圆柱面方程常用于描述圆柱体、柱形物体等实际物体的几何特征。
三、锥面方程•定义：锥面是由定点到平面上所有点的连线所组成的曲面。
它的方程可以表示为：(x-a)² + (y-b)² = z²，其中(a,b)为锥顶坐标。
•特性：锥面在平面上形成对称的圆锥形状，而在垂直于平面的方向上是无限延伸的。
•应用：锥面方程常用于描述圆锥体、棱锥体等实际物体的几何特征。
四、椭球面方程•定义：椭球面是由到两个定点的距离之和等于常数的点所组成的曲面。
它的方程可以表示为：(x-a)²/r₁² + (y-b)²/r₂² + (z-c)²/r₃² = 1，其中(a,b,c)为椭球中心坐标，r₁、r₂、r₃为轴长。
•特性：椭球面可以是旋转椭球、扁椭球或球体等不同形状，取决于轴长的比值。
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即
( x x0 )2 ( y y0 )2 ( z z0 )2 R2
z
特别,当M在原点时,球面方程为
x2 y 2 z 2 R2
z R x y
2 2 2
M0
M
表示上(下)球面 .
x
l1
y
z
l2
y
母线 平行于 x 轴; 准线 yoz 面上的曲线 l2.
方程 H ( z, x) 0 表示 柱面,
z
x
l3
x
母线 平行于 y 轴;
y
准线 xoz 面上的曲线 l3.
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3.旋转曲面
定义2. 一条平面曲线 绕其平面上一条定直线旋转
一周 所形成的曲面叫做旋转曲面. 该定直线称为旋转
2 2 2
Gx Hy Iz J 0 (二次项系数不全为 0 ) 的图形通常为二次曲面.其基本类型有: 椭球面、抛物面、双曲面、锥面 适当选取直角坐标系可得它们的标准方程下 , 面仅
就几种常见标准型的特点进行介绍 . 研究二次曲面特性的基本方法: 截痕法
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x2 2 y 2 2 y 0 z0
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例6
求曲线
2 2 2 x y z 1, 2 2 z x y
关于 xoy 面的投影柱面及投影的方程。 解 将方程组中的第二个方程代入第一个方程，得
曲线 关于 xoy 面的投影柱面的方程为
z
( p , q 同号)
特别,当 p = q 时为绕 z 轴的旋转抛物面.
y
x
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三、曲线
1.曲线方程 空间曲线可视为两曲面的交线,其一般方程为方程组
F ( x, y, z ) 0 G( x, y, z ) 0 例如,方程组
G ( x, y , z ) 0 L F ( x, y , z ) 0
z
S2
S1
x y 1 2 x 3z 6
2 2 C.
o
1 y
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x
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又如,方程组 z a2 x2 y 2 2 2 x y ax 0
表示上半球面与圆柱面的交线C.
z
a y
x
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z z1 , x y y1
2 2
M ( x, y, z )
M1 (0, y1 , z1 )
o
y
故旋转曲面方程为
f ( x2 y 2 , z) 0
x
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思考：当曲线 C 绕 y 轴旋转时，方程如何？
z
C : f ( y, z ) 0
o x
y
f ( y, x z ) 0
A(a,0,0) 处， 时动点在 解 取时间t 为参数，设t=0 动点在点 M ( x, y, z ) 处，过点M 作xoy 面的垂线，则
垂足的坐标为 M ( x, y, 0) 由于 AOM 是动点在时间t 内转过的角度，而线段 MM 的长 MM 是时间t内动 点上升的高度，所以经过时间t，得
2.空间曲线在坐标面上的投影
设空间曲线 C 的一般方程为
消去 z 得投影柱面
H ( x, y) 0 z0
H ( x, y) 0
F ( x, y, z ) 0 G( x, y, z ) 0
z
C
y
则C 在xoy 面上的投影曲线 C´为
消去 x 得C 在yoz 面上的投影曲线方程 x R( y, z ) 0
柱面. 其上所有点的坐标都满足此方程, 故在空间
x2 y 2 R2 表示圆柱面
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定义3. 平行定直线并沿定曲线 C 移动的直线l 形成 的轨迹叫做柱面. C 叫做准线, l叫做母线. 2 z y 2 x 表示抛物柱面,
母线平行于 z 轴; 准线为xoy 面上的抛物线. x 2 y2 1 表示母线平行于
x0
C
T ( x, z ) 0 y0
消去y 得C 在zox 面上的投影曲线方程
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例如,
x y z 1 C: 2 2 2 x ( y 1) ( z 1) 1
2 2 2
z
C
在xoy 面上的投影曲线方程为
o x
1
y
轴 . 例如 :
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建立yoz面上曲线C 绕 z 轴旋转所成曲面的方程: 给定 yoz 面上曲线 C: f ( y, z) 0 若点
M1 (0, y1 , z1 ) C,
则有
z
C
f ( y1 , z1 ) 0
当绕 z 轴旋转时, 该点转到 M ( x, y, z ) , 则有
2 2
x2 z 2 2 2 1 c a y0
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x2 y 2 z 2 2 2 1 2 a b c
x
a2 c2 2 2 2 1
( a, b, c 为正数)
(3) 截痕: 与 z z1 ( z1 c)的交线为椭圆：
(c z ) y
x a( y z )
2 2
例4
求 yoz 面上的直线 z ky(k 0) 绕z轴
旋转一周而成的圆锥面的方程。
z
y
解
即
所求圆锥面的方程为
z k x2 y 2
O
2
z k (x y )
2 2 2
x
二、二次曲面 三元二次方程
Ax By Cz Dxy Eyx Fzx
M
令 t , b
v
x a cos y a sin z b
x
o
y
当 2 时， 上升高度 h 2 b, 称为螺距 .
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例5
2 2 2 x y a 设一动点M 在圆柱面 上以角速度
绕z 轴旋转，同时又以线速度 v 沿平行于z 轴的正方 向上升( , v都是常数) 则点M的几何轨迹叫做螺旋线 （图7-34），试图建立其参数方程。
b2 c2 2 2 2 1
z
(c z )
1
同样 y y1 ( y1 b ) 及 x x1 ( x1 a ) 的截痕 也为椭圆. (4) 当 a＝b 时为旋转椭球面; 当a＝b＝c 时为球面.
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z z1
2.椭圆抛物面 x2 y 2 z 2 p 2q
AOM t ,
MM vt
从而
x a cos AOM a cos t , y a sin AOM a sin t , z MM vt.
因此螺旋线的参数方程为
x a cos t , y a sin t , z vt .
z
M
2 2 2
表示怎样的曲面 .
解:在 xoy 面上， x y R 表示圆C, C 在圆C上任取一点 M1 ( x, y,0), 过此点作 x 平行z轴的直线l, 对任意z, 点M ( x, y, z) 的坐标也满足方程 x2 y 2 R2
o
M1
l
y
沿曲线C平行于 z 轴的一切直线所形成的曲面称为圆
第四节曲面及其方程
•几种常见的曲面及其 方程 •二次曲面 •曲线
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第四节曲面及其方程
•几种常见的曲面及其 方程 •二次曲面 •曲线
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一、几种常见的曲面及其方程
1.球面 动点为 M ( x, y, z ), 定点为 M 0 ( x0 , y0 , z0 ) ， 定值为 R 由两点间距离公式得
a b
2 2
o x
z
C
y
z
z 轴的椭圆柱面. z 轴的平面. (且 z 轴在平面上) x
x y 0 表示母线平行于
o
y
o x
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y
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一般地,在三维空间
方程 F ( x, y) 0 表示 柱面,
z
母线 平行于 z 轴; 准线 xoy 面上的曲线 l1.
方程 G( y, z) 0 表示 柱面,
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空间曲线的参数方程 将曲线C上的动点坐标x, y, z表示成参 数t 的函数: x x (t ) 称它为空间曲线的 y y (t ) 参数方程. z z (t )
z
例如,圆柱螺旋线的参数方程为
x a cos t y a sin t z vt
1. 椭球面 x2 y 2 z 2 2 2 1 ( a, b, c 为正数) 2 a b c
(1)范围： x a,
y b,
z c
(2)与坐标面的交线：椭圆
x2 y 2 2 2 1 , 黄a b z0
y z 2 2 1 绿 b c , 红 x0