6.1_空间曲面及其方程__多元函数
2021研究生考试-高等数学考点解读及习题特训
） U(Pc,,8) = {<x,y)IO < �（x-x0 问y-yo )2 ＜δ
(1）内点 (2）外点 (3）边界点 开集，闭集，连通集，区域，闭区域，有界集，无界集．
二、多元函数的概念
二元函数：设D是 R2 的一个非空子集，称映射 f:D →R为定义在D上的二元函数，通
no
＋ 飞．，， z
在 xOy 面上的投影方程．
y 求 ｛匕 的 交 线 C
案 UA抽
zx＝ ． fl4111、
y 2 － 叮／缸
nu
－y叫／－
AU
在古I) 例4设一 个立体由上半球面 z＝ 乒三亨利恍而 z＝
所围成，求它在 xOy
而上的投i；在．
答案
zx rlll〈lll
2 －
E
VJ
、，．
＝ AU
【旋转曲面方程求法】
IF(x,y)=O
( 1)坐标面上的曲线｛ I z=v
绕x轴旋转的曲面方程为 F(x，土石可？°）＝0;
绕y轴的旋转曲面方程为 F（±乒亏豆，y)=O.
I F(x,y,z) = 0,
Ix= /(z),
l lY (2）空间曲线｛ G(x,y,z) = 0, 绕z轴旋转的曲面方程，先从方程组中解出｛
xα 面上的投影．
习题10.求旋转抛物面 z=r+y(O 三z 三4）在三坐标面上的投影．
习题参考答案
习题1【答案】 x+y-3z-4=0. 习题2【答案】 9y-z-2=0. 习题3【答案】一x-一-20－＝一y一-3 2一＝一z-一1 4－．
习题4【答案】 Sx- 9y- 22z -59 = 0.
lf(x,y)-AI < e
空间曲面及其方程
空间曲面及其方程空间曲面是指在三维空间中展开的曲面，可以用方程来描述其在坐标系中的位置和形状。
空间曲面广泛应用于几何学、物理学、工程学等领域，并且在计算机图形学中也扮演着重要角色。
本文将介绍空间曲面的概念和方程，并通过几个具体的示例进行说明。
一、空间曲面的概念空间曲面是三维空间中的一个二维曲面，可以用数学方程表示。
与平面相比，空间曲面具有曲率和弯曲性，可以是任意形状的曲面，如球面、锥面、柱面等。
空间曲面可以通过参数方程或隐式方程来描述。
二、参数方程表示空间曲面空间曲面的参数方程使用参数来表示曲面上的点的位置。
例如，球面可以用参数方程表示为：x = r * sinθ * cosφy = r * sinθ * sinφz = r * cosθ其中，r为球体的半径，θ为极角（取值范围为0到π），φ为方位角（取值范围为0到2π）。
通过改变θ和φ的取值，可以得到球面上的不同点的坐标。
三、隐式方程表示空间曲面空间曲面的隐式方程是通过将曲面上的坐标点代入方程中，得到满足该方程的点的集合。
例如，球面的隐式方程可以表示为：x² + y² + z² = r²其中，r为球体的半径。
通过满足这个方程的点的集合，可以得到球面的几何形状。
四、示例：球面和圆锥面1. 球面球面是以一点为中心，半径相等的点构成的曲面。
我们可以使用参数方程或隐式方程表示球面。
例如，使用参数方程可以表示为：x = r * sinθ * cosφy = r * sinθ * sinφz = r * cosθ其中，r为球面的半径，θ为极角，φ为方位角。
通过改变θ和φ的取值，可以得到球面上的不同点的坐标。
2. 圆锥面圆锥面是由一条直线绕着一个点旋转所形成的曲面。
我们可以使用参数方程或隐式方程表示圆锥面。
例如，使用参数方程可以表示为：x = a * u * cosφy = a * u * sinφz = b * u其中，a和b为常数，u为参数，φ为方位角。
自考高等数学(一)第六章 多元函数微积分
第六章多元函数微积分6.1 空间解析几何基础知识一、空间直角坐标系三个坐标轴的正方向符合右手系。
即以右手握住z轴，当右手的四个手指从正向x轴以角度转向正向y轴时，大拇指的指向就是z轴的正向。
空间直角坐标系共有八个卦限空间的点有序数组（x,y,z）特殊点的表示：坐标轴上的点P,Q,R；坐标面上的点A，B，C；0（0，0，0）空间两点间距离公式：特殊地：若两点分别为M（x,y,z），0（0，0，0）。
二、空间中常见图形的方程1、球面已知球心M0（x0,y0,z0），半径为R，则对于球面上任意点M（x，y，z），有，称为球面方程。
特别地，以原点为球心，半径为R的球面方程是。
2、平面到两点等距离的点的轨迹就是这两点组成线段的垂直平分面。
例1、已知A（1，2，3），B（2，-1，4），求线段AB的垂直平分面的方程。
【答疑编号11060101】解：设M（x,y,z）是所求平面上任一点，根据题意有|MA|=|MB|，化简得所求方程2x-6y+2z-7=0。
x，y，z的一次方程表示的图形是一个平面。
3、柱面定义平行于定直线并沿定曲线C移动的直线L所形成的曲面称为柱面。
这条定曲线C叫柱面的准线，动直线L叫柱面的母线。
柱面举例4、二次曲面三元二次方程所表示的曲面称之为二次曲面。
（1）椭球面椭球面与三个坐标面的交线：（2）x2+y2=2pz的图形是一个旋转抛物面。
6.2 多元函数的基本概念一、准备知识1、邻域设P0（x0,y0）是xoy平面上的一个点，δ是某一正数，与点P0（x0,y0）距离小于δ的点P（x,y）的全体，称为点p0的δ邻域，记为U（P0, δ）,。
2、区域平面上的点集称为开集，如果对任意一点，都有的一个邻域。
设D是开集。
如果对于D内任何两点，都可用折线连结起来且该折线上的点都属于D，则称开集D是连通的。
连通的开集称为区域或开区域。
开区域连同它的边界一起称为闭区域。
3、n维空间设n为取定的一个自然数，我们称n元数组的全体为n维空间，而每个n元数组称为n维空间中的一个点，数x i称为该点的第i个坐标说明：n维空间的记号为R n；n维空间中两点间距离公式：设两点为特殊地当n=1，2，3时，便为数轴、平面、空间两点间的距离。
空间曲面的方程与性质
空间曲面的方程与性质空间曲面是三维空间中的曲面，它由一个或多个方程描述。
在这篇文章中，我们将讨论关于空间曲面的方程及其性质。
首先，让我们回顾一下二维平面上的曲线方程。
在二维平面上，曲线可以由一个方程描述，比如y = f(x)。
同样地，在三维空间中，空间曲面可以由一个方程描述，比如z = f(x, y)。
这是最简单的一种情况，我们可以称之为显式方程。
除了显式方程，还有一种常见的方式是用隐式方程来描述空间曲面。
隐式方程是一种通过等式关系描述空间曲面的方式，例如x^2 + y^2 +z^2 = 1是描述球面的隐式方程。
对于一个给定的点(x, y, z)，如果它满足这个等式关系，则说明该点位于球面上。
此外，参数方程也可以用来描述空间曲面。
参数方程使用参数来表示空间曲面上的点，例如x = f(u, v)，y = g(u, v)，z = h(u, v)。
通过给定参数的取值范围，可以得到曲面上的所有点。
空间曲面的性质包括曲率、切线、法线等。
曲率是曲面在某一点上弯曲的程度，可以通过曲面的二阶导数来计算。
切线是曲面上的一条直线，与曲面在该点的切平面相切。
法线是与曲面在某一点的切平面垂直的直线。
曲面还可以根据其形状进行分类。
常见的曲面包括平面、球面、柱面、圆锥面等。
平面是一种无限延伸的曲面，可以由一个点和法线方向来确定。
球面是由距离一个固定点一定距离的所有点组成的曲面。
柱面是由平行于给定直线的直线沿给定曲线移动而得到的曲面。
圆锥面则是由直线沿与给定直线平行的方向移动所得到的曲面。
在实际应用中，空间曲面的方程和性质经常用于数学、物理、计算机图形学等领域。
例如，在计算机图形学中，空间曲面的方程可以用来描述三维模型的形状，从而实现三维渲染和动画效果。
在物理学中，空间曲面的性质可以用来描述电场、重力场等现象。
总结起来，空间曲面的方程与性质是研究空间几何学的重要部分，它们可以描述曲面的形状、弯曲程度以及与其他几何对象的关系。
大一高数下册知识点汇总
大一高数下册知识点汇总在大一高等数学下学期的学习中，我们将继续学习和探索更深入的数学知识。
下面是对本学期知识点的汇总和总结。
一、向量代数1. 向量的基本概念和表示法：向量的定义，零向量，单位向量，向量的数量表示法。
2. 向量的加法和减法：向量之间的加法和减法运算，平行四边形法则，共线向量和共面向量。
3. 数乘和数量积：向量与实数的数乘运算，向量的数量积的定义和性质，向量的模长和方向余弦。
4. 向量的叉乘和向量积：向量的叉乘定义和性质，向量积的模长和方向。
二、空间解析几何1. 空间直线及其方程：空间直线的定义，向量方程和参数方程的转换，直线的方向向量和点向式方程。
2. 平面及其方程：平面的定义，平面的一般方程，点法式方程和一般法式方程。
3. 空间曲线及其方程：空间曲线的定义，参数方程，齐次方程和标准方程。
4. 空间曲面及其方程：二次曲面的方程和图像，球面和圆锥曲线的方程。
三、多元函数及其极限1. 多元函数的概念与性质：多元函数的定义，自变量和因变量的关系，函数的定义域和值域。
2. 多元函数的极限：二重极限和多重极限的概念，函数极限的性质与判定方法。
3. 偏导数：多元函数的偏导数定义，偏导数的计算方法，高阶偏导数，混合偏导数。
4. 微分：多元函数的微分及其几何意义，微分的计算方法。
四、多元函数的微分学1. 隐函数及其求导：隐函数的概念和性质，隐函数求导的方法。
2. 方向导数与梯度：方向导数的定义和计算，梯度的概念和性质。
3. 多元函数极值与条件极值：多元函数的极值判定，约束条件下的极值求解。
五、多元函数的积分学1. 重积分：二重积分的概念和性质，二重积分的计算，极坐标下的二重积分。
2. 三重积分：三重积分的概念和性质，三重积分的计算，柱面坐标和球面坐标下的三重积分。
3. 曲线与曲面积分：曲线积分的概念和计算，曲面积分的概念和计算。
六、无穷级数1. 数列极限与无穷级数：数列的极限概念和性质，常见数列的收敛与发散，无穷级数的概念和性质。
最新考研数学二知识点比例分布
考研数学二知识点分布(1)1、函数、极限、连续：(1)函数;(2)极限;(3)连续。
2、一元函数微分学：(1)导数与微分;(2)导数的计算;(3)微分中值定理;(4)导数的应用。
3、一元函数积分学：(1)不定积分;(2)定积分;(3)定积分的应用。
4、向量代数和空间解析几何：(1)向量的概念及运算;(2)空间平面方程;(3)空间直线方程;(4)空间曲面及其方程;(5)空间曲线及其方程。
5、多元函数微分学：(1)多元函数微分学的极限与连续、偏导数与全微分;(2)多元函数的极值与最值;(3)多元函数微分学的几何应用。
6、多元函数积分学：(1)二重积分;(2)三重积分;(3)曲线积分;(4)曲面积分。
7、无穷级数：(1)数项级数;(2)幂级数;(3)傅里叶级数。
8、常微分方程(1)微分方程;(2)差分方程。
考研数学二知识点分布(2)做模拟题时候，尤其是数学模拟题，建议按照考试的规定时间来，比如数学从8：30-11：30，或者9：00-12：00，要保证三个小时的时间去训练。
因为上帝只给你3小时。
在这个过程中，学会舍弃，千万不能一直卡在一道题目上半天，因小失大。
不会就跳过，要牢牢的把时间控制在自己手里，不让那些情绪酝酿开来，做题的速度决定了你对整场考试的掌控力，是你来主宰考试，还是考试时间把你拖着走。
做过以后，我们认真对答案，不必太过纠结分数多少，通过做模拟题去检验知识点的掌握情况是关键。
而且有些题出的本身就比较偏，太多的去钻研它的含义反而没有多大意义。
我们可以通过看它的解题思路回忆对应的知识点，如果知识点遗忘可以翻看课本进行补充，基础远大于有难度的题。
现阶段，不是做的题越多越好，是做的越精越好，凡是做过的，都理解透了就能取的不错的结果。
考研数学二知识点分布(3)1、高等数学(微积分)。
这部分我用的同济大学的高等数学，一共两册，是很不错的教材。
2、线性代数。
这部分的教材我依旧用的同济大学的工程数学，和经济类的数学差别并不大。
多元函数
( x, y )
{( x, y, z) | z f ( x, y), ( x, y) D}
这个点集称为二元函数的图形. 注意：二元函数的图形通常是一张曲面.
医用高等数学
z
M ( x, y, z)
y
o
x
p
y
D
x
医用高等数学
三、二元函数的极限与连续
1.二元函数的极限 定义4-2 设函数 z f ( x, y)在点P 0 ( x0 , y 0 )的某一邻域内 有定义(点 P 0 ( x0 , y 0 ) 可以除外).如果当 P( x, y ) 沿任何路径 趋近于 P 0 ( x0 , y 0 )时，函数 f ( x, y )无限趋近于一个常数 A ,则 称 f ( x, y )当 P( x, y) P0 ( x0 , y 0 ) 时 ,以 A 为极限，记作
证明 当 p( x, y)沿曲线 y kx 趋于(0, 0)时
xy kx 2 k lim 2 lim 2 2 2 2 2 x 0 x 0 x k x x y 1 k y kx 0
当k取不同的值时,所得的值不同
xy 所以 lim 不存在． x 0 x 2 y 2 y 0
P
o
在直角 M 1 NM 2 Q 及 直 角 M PN 1 N 中，使用勾股定 y 理知
2 2
x
d M 1 P PN NM 2
2
2
医用高等数学
M1 P x2 x1 , PN y2 y1 ,
NM 2 z2 z1 ,
d
M 1 P PN NM 2
医用高等数学
自变量 ( x , y ) 的取值范围称为函数的定义域.
第6章 多元函数微分学
6.4 多元复合函数微分法 6.4.1 多元复合函数微分法 设 z = f (u,v), u = u (x,y), v = v(x,y),则 , ∂z ∂f ∂u ∂f ∂v ∂z ∂f ∂u ∂f ∂v = ⋅ + ⋅ = ⋅ + ⋅ , ∂x ∂u ∂x ∂v ∂x ∂y ∂u ∂y ∂v ∂y 这是本节最重要、最好记忆的公式, 这是本节最重要、最好记忆的公式,也是应 用时最容易出错的公式.只要你不偷懒的话, 用时最容易出错的公式.只要你不偷懒的话,你 是不会出错的. 是不会出错的. 本节假设所有的抽象函数总能 满足所需要的条件. 满足所需要的条件. 的偏微商. 练习 求 z = (x2 + y2)xy 的偏微商. 提示： 提示：令u = x2 + y2, v = xy.
∂z ∂z dz = dx + dy ∂x ∂y
的偏微商与全微分. 例 求z = cos2x + 3siny的偏微商与全微分 的偏微商与全微分 ∂z ∂z 解 = −2sin 2x, = 3cos y. ∂x ∂y
∂z ∂z dz = dx + dy ∂x ∂y
= − 2sin2xdx + 3cosydy
第6章 多元函数微分学
重点： 重点：求偏微商 难点： 难点：多元复合函数微分法 多元函数极值
6.1 空间解析几何
6.1.1 空间直角坐标系
点与坐标
两点间的距离公式 间的距离公式： 间的距离公式：
d = (x1 − x2 ) + ( y1 − y2 )
2
2
间的距离公式： 间的距离公式：
d = (x1 − x2 ) + ( y1 − y2 ) + (z1 − z2 )
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r M
o
B y
A
此式称为向量 r 的坐标分解式 ,
x
N
沿三个坐标轴方向的分向量.
2019年8月15日星期四
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(5)利用坐标作向量的线性运算
设
a
(aax ,ba
y,
az ), b (ax bx ,
(bx ,by ,bz ) ay by ,az
, 为实数，则
20
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说明: 由
1
1
(x1 x2 , y1 y2 , z1 z2 )
得定比分点公式:
A
x1 x2 1
,
y1 y2 1
,
z1 z2 1
当 1时, 点 M 为 AB 的中点 ,于是得
M B
o
A
中点公式:
B
x1
2
x2
,
y1
2
故所求方程为
(x x0 )2 ( y y0 )2 (z z0 )2 R2 z
特别,当M0在原点时,球面方程为
x2 y2 z2 R2
表示上(下)球面 . o x
M0
M
y
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例2 研究方程 的曲面.
表示怎样
解: 配方得 此方程表示: 球心为
b)
MB
1 2
(
b
a
)
A
a
B
MC
1 2
(
a
b
)
MD
1 2
(
b
a
)
2019年8月15日星期四
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(4) 向量的坐标表示
在空间直角坐标系下, 任意向量 r 可用向径 OM 表示.
以
i
,
j,
k
分别表示
x,
y,
z
轴上的单位向量
,
设点
M
的坐标为
则
z OM ON NM OA OB OC C
证: “ ”. 设 a∥b , 取 ＝±
, a , b 同向时
取正号, 反向时取负号, 则 b 与 a 同向, 且
b
故 b a. 再证数 的唯一性 . 设又有 b＝ a , 则 ( ) a 0 故 0, 即 .
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2019年8月15日星期四
4
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一、空间直角坐标系
1. 空间直角坐标系的基本概念
过空间一定点 o ,由三条互相垂直的数轴按右手规则
组成一个空间直角坐标系.
• 坐标原点
Ⅲ
z z 轴(竖轴)
Ⅱ
• 坐标轴
Ⅳ
• 坐标面
• 卦限(八个) Ⅶ
x
x轴(横轴)
Ⅷ
yoz面 o xoy面
Ⅴ
Ⅰ
y
y轴(纵轴)
解: 设 M 的坐标为
如图所示
AM MB
AM OM OA MB OB OM
OM O A (OB OM )
A
M B
o
A
得 即
OM
1
1
(OA
OB
B
1
1
(x1 x2 , y1 y2 , z1 z2 )
M
2019年8月15日星期四
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“ ” 已知 b＝ a , 则 b＝0 a , b 同向 a , b 反向
a∥b
例1 设 M 为 ABCD 对角线的交点,
试用a 与b 表示 MA, MB , MC , MD.
解: a b AC
2 MA
D
C
b a BD
2 MB
bM
MA
1 2
(
a
M 2M 3 (5 7)2 (2 1)2 (3 2)2 6 M1M3 (5 4)2 (2 3)2 (3 1)2 6 M 2M3 M1M3 即 M1M 2M3 为等腰三角形 .
2019年8月15日星期四
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3、向量及其运算
2019年8月15日星期四
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定义1 如果曲面 S 与方程 F( x, y, z ) = 0 有下述关系:
(1) 曲面 S 上的任意点的坐标都满足此方程;
(2) 不在曲面 S 上的点的坐标不满足此方程,
则 F( x, y, z ) = 0 叫做曲面 S 的方程,
曲面 S 叫做方程 F( x, y, z ) = 0 的图形. 两个基本问题 :
解 由于过三个已知点的平面的法向量 n 与向量
M1M 2 、 M1M 3 都 垂 直 ， 而 M1M2 4,1,0 ， M1M3 3,2,1，设 n x, y, z ，则有：
n M1M2 x, y, z4,1,0 4x y 0
n M1M3 x, y, z3, 2,1 3x 2 y z 0
F(x, y, z) 0
z
S
(1) 已知一曲面作为点的几何轨迹时,
oy
求曲面方程.
x
(2) 已知方程时 , 研究它所表示的几何形状
( 必要时需作图 ).
2019年8月15日星期四
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例1 求动点到定点
距离为 R 的轨迹
方程. 解: 设轨迹上动点为
依题意
即
(x x0 )2 ( y y0 )2 (z z0 )2 R
解此方程组，可得 x 1, y 4, z 11 ,即所求平面的
法线向量 n 1,4, 11 .根据平面的点法式方程，所
求平面的方程为：(x 1) 4( y 1) 11(z 1) 0
2019年8月15日星期四
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二、平面的一般方程 (General Equation of a Plane)
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一、平面的点法式方程
设一平面通过已知点
且垂直于非零向
量
求该平面的方程.
任取点M (x, y, z) , 则有
M0M n
故
M0M n 0
z
M
o x
n
M0
y
①
称①式为平面的点法式方程,称 n 为平面 的法向量.
2019年8月15日星期四
30
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例 4 求过三点 M1 (1,1,1) 、 M 2 (3,2,1) 及 M 3 (4,3,2) 的 平面方程.
高等数学多媒体课件
华南农业大学理学院数学系
牛顿（Newton）
2019年8月15日星期四
1
莱布尼兹（Leibniz）
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第六章 多元函数微积分
第一部分 空间解析几何 第二部分 多元函数微分学 第三部分 二重积分
2019年8月15日星期四
2
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主要内容
第一节 第二节 第三节 第四节 第五节 第六节 第七节
向量: 既有大小, 又有方向的量称为向量 (又称矢量).
表示法: 有向线段 M1 M2 , 或 a ,
向量的模 : 向量的大小,
向径 (矢径): 起点为原点的向量.
自由向量: 与起点无关的向量. 单位向量: 模为 1 的向量, 零向量: 模为 0 的向量,
M2 M1
2019年8月15日星期四
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(x 1)2 ( y 0)2 (z 1)2 (x 0)2 ( y 1)2 (z 2)2
整理得
2x 2y 6z 3 0
该方程表示的是垂直平分线段 M1M2 的一 个平面，即线段 M1M 2 的垂直平分面.
2019年8月15日星期四
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三、空间常见的空间曲面及其方程
半径为 的球面. 说明: 如下形式的三元二次方程 ( A≠ 0 )
都可通过配方研究它的图形.
2019年8月15日星期四
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例 3 设有点 M1(1, 0,1) 与点 M 2 (0,1, 2) ，求到这 两点的距离相等的点的轨迹方程. 解 设 P(x, y, z) 是所求轨迹上的任意一点，则由 | PM1 || PM 2 | 得
解:设轨迹上的动点为 M (x, y, z), 则 AM BM , 即
(x 1)2 ( y 2)2 (z 3)2 (x 2)2 ( y 1)2 (z 4)2
化简得 说明: 动点轨迹为线段 AB 的垂直平分面.
1:显然在此平面上的点的坐标都满足此方程,
2:不在此平面上的点的坐标不满足此方程.
空间曲面及其方程 多元函数 偏导数 全微分 复合函数和隐函数的偏导数 二元函数的极值 二重积分 二重积分的应用 经济应用Ⅵ
2019年8月15日星期四
3
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第六章
第一节 空间曲面及其方程 多元函数