空间曲面及方程

二、平面和球面 （1）平面
设有三元一次方程
Ax B y C z D 0 ( A2 B2 C2 0)
此方程称为平面的一 ( A2 B2 C2 0)
特殊情形 • 当 D = 0 时, A x + B y + C z = 0 表示 通过原点的平面;
双曲抛物面（马鞍面） 用截痕法讨论：
设 p 0, q 0
z
图形如下：
o y
x
（三）双曲面
x2 a2

y2 b2

z2 c2
1
单叶双曲面
（1）用坐标面 xoy (z 0) 与曲面相截
截得中心在原点 O(0,0,0) 的椭圆.

x2 a2

y2 b2

1
z 0
x2 a2
常见的曲面：平面、球面、柱面、旋转曲面、 二次曲面
下面介绍一些常见的曲面,主要讨论 一下两个问题：
（1）根据曲面上动点的特性建立曲 面的方程F（x，y，z）=0
（2）根据方程F（x，y，z）=0的特点，讨 论该方程所表示曲面的形状
常见的曲面：平面、球面、柱面、旋转曲面、 二次曲面
方程 F(x,y,z)=0 决定了空间直角坐标系上的一张曲面.
x2 y2 z2
x2 a2

y2 a2

z2 c2

1
四、二次曲面
二次曲面的定义： 三元二次方程所表示的曲面称为二次曲面．
相应地平面被称为一次曲面． 讨论二次曲面性状的截痕法：
用坐标面和平行于坐标面的平面与曲面 相截，考察其交线（即截痕）的形状，然后 加以综合，从而了解曲面的全貌． 以下用截痕法讨论几种特殊的二次曲面．

1
旋 转
椭
绕z 轴旋转
x2 a2
y2

z2 c2
1
球 面
（3）抛物线 y2 2 pz 绕z 轴； x 0
x2 y2 2 pz 旋转抛物面
例 2 直线 L绕另一条与 L相交的直线旋转一周，
所得旋转曲面叫圆锥面．两直线的交点叫圆锥面
的顶点，两直线的夹角

0



2
（一）椭球面
x2 a2

y2 b2

z2 c2

1
椭球面与
三个坐标面 的交线：

x2

a2

y2 b2

1,
z 0
z

x2 a2

z2 c2

1 ,

y

0

y2 b2

z2 c2

1.

x 0
x
o
y
椭球面与平面 z z1 的交线为椭圆

a 2

的一条曲线的圆柱面
一般地,在三维空间
z
方程 F(x, y) 0 表示柱面,
母线:平行于 z 轴;
x
准线:xoy 面上的曲线 l1.
l1
y z l2
方程 G( y, z) 0 表示柱面, 母线:平行于 x 轴;
y x
准线:yoz 面上的曲线 l2.
z
方程 H (z, x) 0 表示柱面, l3
化简得所求方程 2x 6 y 2z 7 0.
例2. 求通过 x 轴和点( 4, – 3, – 1) 的平面方程.
解: 因平面通过 x 轴 , 故 A D 0
设所求平面方程为
By Cz 0 代入已知点 (4, 3, 1)得
化简,得所求平面方程
想一想：
通过x轴：A=D=0 通过y轴:B=D=0 通过z轴： C=D=O
解 设M( x, y, z)是球面上任一点，
根据题意有 | MM0 | R
x x0 2 y y0 2 z z0 2 R 所求方程为 x x0 2 y y0 2 z z0 2 R2
特殊地：球心在原点时方程为 x2 y2 z2 R2
例 4 设平面与x, y, z 三轴分别交于P(a,0,0)、 Q(0,b,0)、R(0,0,c)（其中a 0 ，b 0，c 0 ），
求此平面方程.
解 设平面为 Ax By Cz D 0,
aA D 0, 将三点坐标代入得 bB D 0,
cC D 0,
表示准线圆C,
C
o
M1
y
在圆C上任取一点 M1(x, y,0), 过此点作 x
平行z轴的直线l ,对任意 z ,点M (x, y, z)
l
的坐标也满足方程 x2 y2 R2
沿曲线C平行于z 轴的一切直线所形成的曲面称为圆
柱面.其上所有点的坐标都满足此方程, 故在空间
x2 y2 R2 表示母线平行于z轴,准线C是xOy平面上
c
2
x2 (c2
z12
)

b2 c2
y2 (c2
z12
)

1
z z1
| z1 | c
同理与平面 x x1 和 y y1 的交线也是椭圆.
椭圆截面的大小随平面位置的变化而变化.
椭球面的几种特殊情况：
(1) a b,
x2 a2

y2 a2

z2 c2

1
旋转椭球面
由椭圆
x2 a2

z2 c2
1绕
z 轴旋转而成．
方程可写为
x2 y2 a2

z2 c2
1
(2) a b c,
x2 a2

y2 a2

z2 a2

1
球面
方程可写为 x2 y2 z2 a2.
（二）抛物面
x2 y2 z （ p 与 q 同号） 2 p 2q
椭圆抛物面
x2 y2 z（ p 与 q 同号） 2 p 2q
叫圆锥面的
半顶角．试建立顶点在坐标原点，旋转轴为z 轴，
半顶角为 的圆锥面方程． z
解 yoz面上直线方程为 z y cot
圆锥面方程
z x2 y2 cot x
M1(0, y1, z1 )

o
y
M( x, y, z)
（1）球面 （2）圆锥面 （3）旋转双曲面
x2 y2 z2 1
例 1 已知 A(1,2,3)，B(2,1,4)，求线段 AB的
垂直平分面的方程. 解 设M ( x, y, z)是所求平面上任一点，
根据题意有 | MA || MB |,
x 12 y 22 z 32
x 22 y 12 z 42 ,

y2 b2

z2 c2

1
双叶双曲面
o
y
x
小结
❖ 常见的曲面：
❖ 平面（方程的特点是什么）
❖
球面（方程的特点是什么）
❖ 柱面（方程的特点是什么）
❖
旋转曲面（方程的特点是什么）
❖
二次曲面（如何大概了解图形全貌）
AD, BD, C D.
a
b
c
将A D, B D, C D,
a
b
c
代入所设方程得
x y z 1 平面的截距式方程 a bc
x轴上截距 y轴上截距 z 轴上截距
（2）球面
例 2 建立球心在点 M0 ( x0 , y0 , z0 )、半径为 R 的球面方程.
得方程 f x2 y2 , z 0,
yoz坐标面上的已知曲线 f ( y, z) 0绕z 轴旋
转一周的旋转曲面方程.
同理： yoz 坐标面上的已知曲线 f ( y, z) 0 绕 y 轴旋转一周的旋转曲面方程为
f y, x2 z2 0.
例1 将下列各曲线绕对应的轴旋转一周，求 生成的旋转曲面的方程．
一、空间曲面方程概念
❖ 曲面的实例： 水桶的表面
台灯的罩子面 反光镜的镜面，
管道的外表面 锥面等．
曲面在空间解析几何中被看成是点的几何轨迹．
曲面方程的定义：
如果曲面S 与三元方程F ( x, y, z) 0有下述关系： （1）曲面S 上任一点的坐标都满足方程； （2）不在曲面S 上的点的坐标都不满足方程； 那么，方程F ( x, y, z) 0 就叫做曲面S 的方程， 而曲面S 就叫做方程的图形．
• 当 A = 0 时,平面平行于 x 轴;
• A x+C z+D = 0 表示 平行于 y 轴的平面; • A x+B y+D = 0 表示 平行于 z 轴的平面; • C z + D = 0 表示平行于 xOy 面 的平面; • A x + D =0 表示平行于 yOz 面 的平面； • B y + D = 0 表示 平行于 zOx 面 的平面.
母线:平行于 y 轴;
x
y
准线:xoz 面上的曲线
l3.
柱面举例
z
o x
x2 a2

y2 b2
1
椭圆柱面. x
z
y2 2x
y
o
抛物柱面 x
z o
y
平面
y
y x
2、旋转曲面
定义 以一条平 面曲线C 绕其平面 上的一条直线L 旋 转所成的曲面称为 旋转曲面.
这条定直线叫旋转 曲面的轴．
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旋转过程中的特征：
三、柱面与旋转曲面
1、柱面
定义 平行于定直线并沿定曲线C 移动的直线L 所形成的曲面称为柱面.