5空间曲面及其方程
2021研究生考试-高等数学考点解读及习题特训
） U(Pc,,8) = {<x,y)IO < �（x-x0 问y-yo )2 ＜δ
(1）内点 (2）外点 (3）边界点 开集，闭集，连通集，区域，闭区域，有界集，无界集．
二、多元函数的概念
二元函数：设D是 R2 的一个非空子集，称映射 f:D →R为定义在D上的二元函数，通
no
＋ 飞．，， z
在 xOy 面上的投影方程．
y 求 ｛匕 的 交 线 C
案 UA抽
zx＝ ． fl4111、
y 2 － 叮／缸
nu
－y叫／－
AU
在古I) 例4设一 个立体由上半球面 z＝ 乒三亨利恍而 z＝
所围成，求它在 xOy
而上的投i；在．
答案
zx rlll〈lll
2 －
E
VJ
、，．
＝ AU
【旋转曲面方程求法】
IF(x,y)=O
( 1)坐标面上的曲线｛ I z=v
绕x轴旋转的曲面方程为 F(x，土石可？°）＝0;
绕y轴的旋转曲面方程为 F（±乒亏豆，y)=O.
I F(x,y,z) = 0,
Ix= /(z),
l lY (2）空间曲线｛ G(x,y,z) = 0, 绕z轴旋转的曲面方程，先从方程组中解出｛
xα 面上的投影．
习题10.求旋转抛物面 z=r+y(O 三z 三4）在三坐标面上的投影．
习题参考答案
习题1【答案】 x+y-3z-4=0. 习题2【答案】 9y-z-2=0. 习题3【答案】一x-一-20－＝一y一-3 2一＝一z-一1 4－．
习题4【答案】 Sx- 9y- 22z -59 = 0.
lf(x,y)-AI < e
空间解析几何的曲线与曲面的方程表示
空间解析几何的曲线与曲面的方程表示在空间解析几何中，曲线与曲面的方程表示是非常重要的概念。
通过方程，我们可以描述和研究曲线和曲面的特性、性质以及它们与其他几何对象之间的关系。
本文将介绍空间解析几何中曲线与曲面的方程表示方法。
一、曲线的方程表示在空间中，曲线可以通过参数方程、一般方程和轨迹方程进行表示。
1. 参数方程：曲线的参数方程表示为：x = f(t), y = g(t), z = h(t)其中，x，y和z分别是曲线上某一点的坐标，f(t)，g(t)和h(t)是参数方程。
通过改变参数t的取值范围，我们可以得到曲线上的各个点坐标。
2. 一般方程：曲线的一般方程表示为：F(x, y, z) = 0其中，F(x, y, z)是曲线上的点(x, y, z)所满足的关系式。
3. 轨迹方程：曲线的轨迹方程表示为：F(x, y, z, k) = 0其中，(x, y, z)是曲线上的点，k是参数。
二、曲面的方程表示在空间中，曲面可以通过隐式方程、一般方程和参数方程进行表示。
1. 隐式方程：曲面的隐式方程表示为：F(x, y, z) = 0其中，F(x, y, z)是曲面上的点(x, y, z)所满足的关系式。
2. 一般方程：曲面的一般方程表示为：Ax + By + Cz + D = 0其中，A，B，C和D是常数，(x, y, z)是曲面上的点。
3. 参数方程：曲面的参数方程表示为：x = f(u, v), y = g(u, v), z = h(u, v)其中，(u, v)是参数，f(u, v)，g(u, v)和h(u, v)是参数方程。
通过改变参数u和v的取值范围，我们可以得到曲面上的各个点坐标。
总结：通过以上介绍，我们了解了空间解析几何中曲线与曲面的方程表示方法。
曲线可以通过参数方程、一般方程和轨迹方程描述，而曲面可以通过隐式方程、一般方程和参数方程描述。
这些方程可以帮助我们研究曲线与曲面的性质、特性以及它们与其他几何对象之间的关系。
空间曲面及其方程
116 .
3
3 9
例4 方程 z ( x 1)2 ( y 2)2 1的图形是怎样的？
解 根据题意有 z 1
z
用平面z c去截图形得圆：
( x 1)2 ( y 2)2 1 c (c 1)
当平面z c 上下移动时，
c
得到一系列圆
o
y
圆心在(1,2, c)，半径为 1 c x
同理： xoz 坐标面上的已知曲线 f ( x, z) 0 绕
z 轴旋转一周的旋转曲面方程为
f x2 y2 , z 0.
同理： xoz 坐标面上的已知曲线 f ( x, z) 0 绕
x 轴旋转一周的旋转曲面方程为 f x, y2 z2 0.
例6 yoz坐标面上的直线 z a,绕y(za轴旋0)转，试求所得 旋转曲面方程。
的顶点，两直线的夹角
0
2
叫圆锥面的
半顶角．试建立顶点在坐标原点，旋转轴为 z
轴，半顶角为 的圆锥面方程． z
解 yoz 面上直线方程为 z y cot
圆锥面方程
z x 2 y2 cot x
M1(0, y1, z1 )
o
y
M ( x, y, z)
例6 将下列各曲线绕对应的轴旋转一周，求
的准线为xoz平面上的抛物线x2=4z,这类柱面为抛物
柱面。
旋转曲面： 一平面曲线C绕同一平面上的定直线L旋转一周所成 的曲面称为旋转曲面。曲线C称为旋转曲面的母线，直 线L称为旋转曲面的轴。
在这里只研究坐标平
面内的曲线绕该平面内 的坐标轴旋转产生
的曲面。
问题： 设f ( y, z) 0是yoz平面内的一条曲线，绕
平面实际上也是一个柱面，是以xoy平面上的直线 x+y-1=0为准线，而母线平行于oz轴的柱面。
空间曲线与空间曲面学习总结
空间曲线与空间曲面的学习总结王德才201121102340电子商务1133班一、曲面方程1 曲面方程的概念及一般方程如果曲面S与三元方程F(x, y, z)=0 (1)有下述关系：（1）曲面S上任一点的坐标都满足方程(1)；（2）不在曲面S上的点的坐标都不满足方程(1)，那末，方程(1)就叫做曲面S的方程，而曲面S就叫做方程(1)的图形。
2. 平面方程的几种形式（1）一般形式：Ax+By+Cy+D=0，其中{A，B，C}是平面法向，。
（2）点法式方程：（3）截距式方程：（4）三点式方程：已知平面过空间三点，，，则平面方程为3.几种特殊的曲面方程（1）球面方程：空间中与一定点的距离为定值的动点的轨迹。
定点称为球心，定距离称为半径。
球面也可以看成是由半圆绕着它的直径旋转一周所形成的曲面。
，0≤θ≤2π，0≤φ≤π（2）旋转曲面方程定义：曲线C绕定直线旋转一周所形成的曲面称为旋转曲面。
其中C——母线轴，与垂直的任一平面与旋转曲面交成一圆——维圆，过的任一平面与旋转曲面交成一圆——经线（子午线）注：旋转曲面的母线不唯一，它的任一经线均是其母线。
设平面曲线z轴旋转,则旋转曲线方程为角坐标系中，只含两个变量的二次方程一般总表示一个二次柱面或者两个平面。
若一动直线沿已知曲线C移动，且始终与某一定直线平行，则这样形成的曲面称为柱面。
曲线C称为准线。
动直线L称为母线。
F（x，y）=0 表示母线平行于z轴的柱面。
F（y，z）=0 表示母线平行于x轴的柱面。
F（x，z）=0 表示母线平行于y轴的柱面。
母线平行与坐标轴的柱面方程为不完全的三元方程,如F(y, z)=0就表示母线平行与x轴,准线为.二空间曲线的方程1、普通方程（1）定义:设L为空间曲线,空间中建立了坐标系之后,若L上任一点M(x,y,z)的坐标都满足方程组,而且凡坐标满足方程组的点都在曲线L上,L的普通方程,又称一般方程,记作(图2.8)注: 1°在空间坐标系下,任一曲线的方程定是两方程联立而成的方程组; 2°用方程组去表达曲线,其几何意义是将曲线看成了二曲面的交线（如图2.8）;3°空间曲线的方程不唯一(但它们同解),如均表示z轴（2）用曲线的射影柱面的方程来表达曲线以曲线L为准线,母线平行于坐标轴的柱面称为L的射影柱面,若记L的三射影柱面的方程为 (x,y)=0,则便是L的用射影柱面表达的方程若已知曲线只需从L的方程中,分别消去x,y,z便三射影柱面的方程(y,z)=0, (z,x)=0,例:设有曲线试求L的射影柱面,并用射影柱面方程表达曲线.解:从L的方程中分别消去x,y,z得到z²-4y=4z,x²+z²=4z,x²+4z=0它们即为L的射影柱面,而便均是L的用射影柱面表达的方程注:利用方程(2)即可作出L的草图2、参数方程:（1）定义:设L为一空间曲线，r=r(t),t∈A为一元矢函数,在空间坐标系下，∈L，∈A，（t），∈A，必有P∈L，使r（t），则称r=r（t），t∈A为曲线L的矢量式参数方程，记作L=r=r（t），t∈A，t ——参数若点r（t）={x（t），y（t），z（t）}∈A为L的坐标式参数方程注：空间曲线的参数方程中，仅有一个参数，而曲面的参数方程中，有两个参数，所以习惯上，称曲线是单参数的，而曲面是双参数的。
空间中曲线与曲面方程
空间中曲线与曲面方程在三维空间中，曲线和曲面是几何学中重要的概念，在数学和物理学等领域有广泛的应用。
曲线是指在空间中表示为一系列点的集合，而曲面是在空间中表示为一系列点的集合的一个二维面。
本文将就空间中曲线与曲面方程进行探讨。
一、空间曲线的方程在三维空间中，曲线可以用参数方程或者一般方程来表示。
参数方程是指将曲线的坐标用参数表示，例如(x(t), y(t), z(t))。
每个参数t对应曲线上的一个点。
一般方程则是通过给出曲线上的点满足的关系式来表示，例如F(x, y, z) = 0。
参数方程的优势在于可以轻松描述曲线的形状，通常直接从曲线的定义出发，选择合适的参数方程。
而一般方程则更适合用于描述曲线的性质和特征。
二、空间曲面的方程空间中的曲面可以用参数方程、一般方程或者隐函数方程来表示。
参数方程类似于曲线的参数方程，将曲面上的点用参数表示，例如(x(u, v), y(u, v), z(u, v))。
每个参数对应曲面上的一个点。
一般方程则通过给出曲面上的点满足的关系式来表示，例如F(x, y, z) = 0。
隐函数方程则将曲面的方程化简为一个关于x、y、z的方程，例如F(x, y, z) = 0。
选择曲面的方程格式取决于具体的问题和需求。
参数方程可以直观地描述曲面的形状，适用于绘制和计算曲面上的点。
一般方程和隐函数方程更适合用于分析曲面的性质和特征。
三、曲线和曲面的方程求解对于空间中的曲线和曲面方程，求解其解析式是数学中一个重要的问题。
有时可以通过直接求解得到解析式，有时需要借助计算机和数值方法进行求解。
对于一些简单的曲线和曲面方程，可以通过代数运算得到解析式。
例如对于一条直线，可以通过给出直线上两点的坐标，然后通过两点间的直线方程求解出直线的解析式。
对于一些复杂的曲线和曲面方程，可以通过数值方法进行求解，如迭代法、线性插值等，以获得近似解。
四、曲线和曲面方程的应用曲线和曲面方程在数学和物理学中有广泛的应用。
空间曲面及方程
曲面在空间解析几何中被看成是点的几何轨迹．
曲面方程的定义：
如果曲面S 与三元方程F ( x , y , z ) 0 有下述关系：
（1 ）曲面 S 上任一点的坐标都满足方程； （2 ）不在曲面 S 上的点的坐标都不满足方程； 那么，方程 F ( x , y , z ) 0 就叫做曲面S 的方程， 而曲面 S 就叫做方程的图形．
例如方程 在xoy面上， 表示的曲面 :
z
M
1
o C 表示准线圆C, M
y
在圆C上任取一点 M 1 ( x, y,0) , 过此点作 x 平行z轴的直线l ,对任意 z ,点 M ( x, y, z )
的坐标也满足方程 x y R
一切直线所形成的曲面称为圆 柱面.其上所有点的坐标都满足此方程, 故在空间
2 2 2
化简得所求方程 2 x 6 y 2 z 7 0.
例2. 求通过 x 轴和点( 4, – 3, – 1) 的平面方程. 解: 因平面通过 x 轴 , 故 A D 0
设所求平面方程为
By Cz 0
代入已知点 (4 , 3 , 1) 得
化简,得所求平面方程
f y,
x 2 z 2 0.
例1 将下列各曲线绕对应的轴旋转一周，求 生成的旋转曲面的方程．
x z x 轴和 z 轴； （1）双曲线 2 2 1 分别绕 a c
x2 y2 z2 绕 x 轴旋转 2 1 2 a c x y z 2 1 绕 z 轴旋转 2 a c
• A x+C z+D = 0 表示 平行于 y 轴的平面;
• A x+B y+D = 0 表示 平行于 z 轴的平面; • C z + D = 0 表示 平行于 xOy 面 的平面; • A x + D =0 表示 平行于 yOz 面 的平面； • B y + D = 0 表示 平行于 zOx 面 的平面.
空间曲线及其方程
1第四节空间曲线及其方程⎩⎨⎧==0),,(0),,(z y x G z y x F 曲线上的点都满足方程，不在曲线上的点不能同时满足两个方程.xozy1S 2S C空间曲线C 可看作空间两曲面的交线.特点：一、空间曲线的一般方程2方程组表示怎样的曲线？⎩⎨⎧=++=+6332122z y x y x 解122=+y x 表示圆柱面，6332=++z y x 表示平面，⎩⎨⎧=++=+6332122z y x y x 交线为椭圆.例13方程组表示怎样的曲线？⎪⎩⎪⎨⎧=+---=4)2(222222a y a x y x a z 解222yx a z --=上半球面,4)2(222a y a x =+-母线平行于z 轴的圆柱面,交线如图.例2Oxyz准线为xOy 面上的圆, 圆心在点.2),0,2(a a 半径为4⎩⎨⎧==0),,(0),,(z y x G z y x F 消去变量z 后得：0),(=y x H 曲线关于的投影柱面xoy 设空间曲线的一般方程：以此空间曲线为准线，垂直于所投影的坐标面.投影柱面的特征：二、空间曲线在坐标面上的投影如图:投影曲线的研究过程.投影柱面空间曲线投影曲线56类似地：可定义空间曲线在其他坐标面上的投影⎩⎨⎧==00),(x z y R ⎩⎨⎧==00),(y z x T 面上的投影曲线,yoz 面上的投影曲线,xoz ⎩⎨⎧==00),(z y x H 空间曲线在面上的投影曲线xoy7求曲线在坐标面上的投影.⎪⎩⎪⎨⎧==++211222z z y x （1）消去变量z 后得,4322=+y x 在面上的投影为xoy ,04322⎪⎩⎪⎨⎧==+z y x 解例38求曲线在坐标面上的投影.⎪⎩⎪⎨⎧==++211222z z y x 解例3所以在面上的投影为线段.xoz ;23||,021≤⎪⎩⎪⎨⎧==x y z （3）同理在面上的投影也为线段.yoz .23||,021≤⎪⎩⎪⎨⎧==y x z (2) 因为曲线在平面上，21=z9求曲线⎪⎩⎪⎨⎧+=--=)(342222y x z yx z 在xOy 面上的投影.消去z 得：122=+y x ,所求投影为圆周⎩⎨⎧==+0122z y x . 注：所围立体在xy 面上的投影为：122≤+y x .即上半球面与圆锥面的交线.解例4。
第三节 空间曲面及方程
即
( x x0 )2 ( y y0 )2 ( z z0 )2 R
x2+y2+z2=R2
故球面方程为: (x-x0)2+(y-y0)2+(z-z0)2=R2 特别,当M0在原点时,球面方程为: 球面方程的一般式为: x2+y2+z2+Ax+By+Cz+D=0 其特征为: (1) x2, y2, z2系数相同； (2)无 xy , xz, yz项。 例: x2+y2+z2 -2x+4z -4=0 配方得(x-1)2+y2+(z+2)2=32
缺谁,母线平行谁
a
o
b y
y a o
x
x
14
柱面
z
(3) 抛物柱面: y2 =2x
母线平行于z 轴,
o x y z
准线为xoy 面上的抛物线:
(4) 平面: y-2z=0 母线平行于x 轴,
y2 =2x
。
y-2z=0
•
准线为yoz 面上的直线: y-2z=0 。
x
y
o
x2 y2 ——— =1 (1) 椭圆柱面: ——— + a2 b2
M•
任取曲面S上点M(x, y, z), 其点必是由曲线L上点M0(x0, y0, z0) 绕 z 轴转旋转而来. 则有: z=z0; x2+ y2 =y0; 因为f (y0, z0)=0, x
• M0
S
L
y
所以f ( x2+ y2 , z)=0.
6
旋转曲面
2、设yoz面上曲线 L: f (y, z)=0 绕 z 轴旋转一周, 所成曲面的方程为:
4-5空间曲面及其方程
再如： 再如
抛物柱面
y 2 = 2 px
13
五、小结
曲面方程的概念 F ( x , y , z ) = 0. 柱面的概念(母线、准线). 旋转曲面的概念及其方程求法. .
作业： 作业：P127习题 4-5 习题 2；3 ；
14
六、思考题
指出下列方程在空间解析几何中表示什么图形？
(1) x 2 = 2 y;
π 叫圆锥面的半顶角 半顶角．． 叫圆锥面的半顶角．． 2
8
练习： 将下列各曲线绕对应的轴旋转一周， 练习： 将下列各曲线绕对应的轴旋转一周，求生成
的旋转曲面的方程． 的旋转曲面的方程．
x2 z2 （1）双曲线 2 − 2 = 1分别绕 x 轴和 z 轴； 双 a c 旋 2 2 2 x y + z 转 绕 x 轴旋转 − =1 2 2
1 1
(1) z = z 1
o x
y
（2）点 M 到 z 轴的距离 d =
x 2 + y 2 =| y1 |
即 y1 = ± x 2 + y 2因 M 1 ( 0, y1 , z1 )在曲线 C 上，故 f ( y1 , z1 ) = 0 将 z1 = z , y1 = ± x 2 + y 2 代入 f ( y1 , z1 ) = 0
=R
( x − x0 )2 + ( y − y0 )2 + (z − z0 )2 = R 2 所求方程为
标准方 程
特殊地： 特殊地：球心在原点时方程为 x 2 + y 2 + z 2 = R 2
3
一般方程 Ax2 + Ay2 + Az2 + Dx + Ey + Fz +G = 0 特点： 特点： （1）是三元二次方程
高等数学(下) 第5讲 理论-2课时
z
y o xz
交
2
线
o
y
为：
oy
3 x
x
z a2 x2 y2
例2
方程组
(
x
a )2 2
y2
a2 表示怎样的曲线？ 4
解 z a2 x2 y2
表示上半球面,
(x
a )2
y2
a
2
表示圆柱面,
2
4
交线如图：
例3
曲线
一、空间曲线的一般方程
空间曲线C可看作空间两曲面的交线.
F ( x, y, z) 0 S1
G(x, y,z) 0 S2
空间曲线的一般方程 x
z
S1
S2
C
o
y
例1
方程组
x2
y2 1 表示怎样的曲线？
2x 3z 6
z
解 x2 y2 1 表示母线
平行于z轴的圆柱面：
o
y
x
3. 双曲柱面（一支）
y2 x2 1
z
b2 a2
b
o
y
x
六、空间区域简图
例1 由曲面 z 6 x2 y2 与 z x2 y2 围成一个 空间区域, 试作出它的简图.
例2 由曲面 x 0, y 0, z 0, x y 1, y2 z2 1 围 成一个空间区域(在第I卦限部分), 试作出它的简图.
定义3 平行于某定直线的直线L并沿定曲线 C 移动 所 形成的轨迹叫做柱面.
下面我们来分析一下方程
在空间表示怎样的曲面 .
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根据题意有 |M0M |R
x x 0 2 y y 0 2 z z 0 2 R 所求方程为 x x 0 2 y y 0 2 z z 0 2 R 2
特殊地：球心在原点时方程为 x2y2z2R2
面方程为
z
若取
o
y
圆心在(1,2, c)，半径为 1 c x
半径随c的增大而增大. 图形上不封顶，下封底．
以上几例表明研究空间曲面有两个基本问题： （1）已知曲面作为点的轨迹时，求曲面方程．
（讨论旋转曲面） （2）已知坐标间的关系式，研究曲面形状．
（讨论柱面、二次曲面）
二 几种常见曲面
z 引例. 分析方程 x2y2R2表示怎样的曲面 .
y2 b2
x2 a2
1
双曲柱面 // z 轴
x2 2pz 抛物柱面 // y 轴
2 旋转面
定义 以一条平面曲线绕其平面上的 一条直线旋转一周所成的曲面称为旋 转曲面. 这条定直线叫旋转曲面的轴．
旋转面的方程
曲线 C
f ( y, z) 0
x
0
绕 z轴
z
C o
y
旋转面的方程
曲线 C
f ( y, z) 0
即x2 a2
by22
cz22
1
例 3求 与 原 点 O 及 M 0 (2 ,3 ,4 )的 距 离 之 比 为 1 :2 的
点 的 全 体 所 组 成 的 曲 面 方 程 .
解 设 M ( x, y, z)是曲面上任一点，
根据题意有 | MO| 1, | MM0 | 2
x2y2z2
1,
x22y32z42 2
试建立顶点在原点, 旋转轴为z 轴, 半顶角为
的圆锥面方程.
z
解: 在yoz面上直线L 的方程为
zycot
x2y2R2 表示圆柱面
1 柱面
平行定直线并沿定曲线 C 移动的直线 l 形成
C
的轨迹叫做柱面. C 叫做准线, l 叫做母线.
l
一般柱面 F(x,y)=0
(不含z)
F(x,y)=0表示母线平行于z轴的柱面
z 曲面S上每一点都满足方程；
母线
x F( x,y )=0 准线 z= 0
M (x,y,z) 0
o
y
x
双曲柱面
z
x2 z2
a2 b2 1
o
y
x
抛物柱面
z
y2 2px
o
y x
从柱面方程看柱面的特征：
只含 x, y而缺z的方程F ( x, y) 0，在空间直
角坐标系中表示母线平行于 z 轴的柱面，其准
线为 xoy面上曲线C .
（其他类推）
实 例
y2 b2
z2 c2
1
椭圆柱面 // x 轴
那么，方程F ( x, y, z) 0就叫做曲面 S 的方程， 而曲面 S 就叫做方程的图形．
曲面上的点(x,y,z)的坐标可以表示为两个 变量u,v的函数，即
x x(u,v)
y
y(u,v)
z z ( u , v )
也是曲面的方程，称为曲面的参数方程，其 中u,v为参数。
例 1 建立球心在点 M0 ( x0 , y0 , z0 )、半径为 R 的球面方程.
得方程 fx 2 y 2 ,z 0 ,
yoz 坐标面上的已知曲线 f ( y, z) 0绕z 轴旋
转一周的旋转曲面方程.
同理： yoz 坐标面上的已知曲线 f ( y, z) 0 绕 y 轴旋转一周的旋转曲面方程为
fy , x 2 z 2 0 .
例
写出xoy面上的曲线by22
z2 c2
x
0
.
绕 z轴
x
z o
C
y
旋转面的方程 z
曲线 C
f ( y, z) 0
x
0
绕 z轴
旋转一周得旋转曲面 S
M(x,y,z) S
f (y1, z1)=0
S
z1 z
| y1 | MP x2 y2
S： f( x2y2,z)0
x
P M
z
o
N (0, y1,z1) .
z1 C
y1
y
将 z z 1 , y 1 x 2 y 2代入 f(y1,z1)0
1
绕 y 轴旋转的曲面方程
及绕z 轴旋转的旋转曲面方。程
绕
y 轴的曲面方程面方程为：
x2 b2
y2
cz22
1
3 锥面
以直线通过一定点，
z
一条固定曲线移动所
准线
产生的曲面成为锥面。
动直线 母线
定点
顶点
顶点 0
y
x
固定线 准线
准线为圆周的锥面称为圆锥面。 顶点在原点的圆锥面称为正圆锥面。
Mar. 8 Wed. §6 曲面及其方程
曲面方程的概念 几种常见曲面：柱面，旋转曲面 二次曲面
一 曲面方程的概念
曲面的实例： 水桶的表面、台灯的罩子面等． 曲面在空间解析几何中被看成是点的几何轨迹．
曲面方程的定义：
如果曲面 S 与三元方程F ( x, y, z) 0有下述关系：
(1) 曲面S上任一点的坐标都满足方程； (2) 不在曲面S上的点的坐标都不满足方程；
M
解:在 xoy 面上，x2y2R2 表示圆C, C o
在圆C上任取一点 M 1(x,y,0),过此点作
M1
y
x
平行 z 轴的直线 l , 对任意 z , 点M(x,y,z)
l
的坐标也满足方程 x2y2R2
沿曲线C平行于 z 轴的一切直线所形成的曲面称为圆
柱面. 其上所有点的坐标都满足此方程, 故在空间
和
为参数，则球
z
x Rsin cos .
y
R
sin
sin
z Rcos
x
x
R
0
M(R,,)
y
N
例2求曲面 :zxycbacssoiinns.scions,,002的
一般方程；
解 x s ic n o ,ys s ic n o ,z sc os
a
b
c
ax22
y2 b2
cz22
s2 ic n 2 o ss 2 is n 2 i n c2 o1s
所求方程为 x2 2y12 z4 211 . 6
3
3 9
例4 方程 z (x 1 )2 (y 2 )2 1 的图形是怎样的？
解 根据题意有 z1
z
用平面z c去截图形得圆：
( x 1 ) 2 ( y 2 ) 2 1 c( c 1 )
当平面 z c上下移动时，得到
c
一系列圆
S
y
N (x, y, 0)
点N满足方程，故点M满足方程
曲面S外的每一点都不满足方程
一般柱面 F(y, z)=0
(不含x)
z 准线
F( y, z )=0
x= 0
母线 0 y
x
F(y,z)=0表示母线平行于x轴的柱面
柱面举例
z
z
y2 2x
平面
o
y
o
y
x
x
抛物柱面
yx
椭圆柱面 z
x2 y2 1
a2 b2