空间曲面及其方程
空间曲线及其方程
当给定t t1 时，就得到曲线上的一个点 ( x1 , y1 , z1 )，随着参数的变化可得到曲线上的全
部点.
例 3 如果空间一点 M 在圆柱面 x2 y2 a2上以
角速度 绕z轴旋转，同时又以线速度v沿平行于z 轴的正方向上升（其中 、v都是常数），那么点
M 构成的图形叫做螺旋线．试建立其参数方程．
螺距 h 2b
三、空间曲线在坐标面上的投影
（以后在求三重积分和曲面积分时需要确定 一个立体或曲面在坐标面上的投影）
z
问题：求已知曲线C在xoy面上的 C •( x, y, z)
投影曲线C的方程.
注意：一个点与其在xoy面上的 投影点的x,y坐标相同.
o
y
x C •( x, y,0)
所以求曲线在xoy面上的投影曲线的方程就是 求原曲线上点x,y坐标的关系.
z
o 1y x
要点:
第四节 空间曲线及其方程
空间曲线的一般方程:
F(x, y, z) 0 C : G( x, y, z) 0
空间曲线可看作两个曲面的交线.
x x(t)
空间曲线的参数方程:
y
y(t )
z z(t)
空间曲线在坐标面上的投影: 注意一个点与其投影
点的x,y 坐标相同.
消去变量z 得：H ( x, y) 0 投影柱面
第四节
第七章
空间曲线及其方程
一、空间曲线的一般方程 二、空间曲线的参数方程 三、空间曲线在坐标面上的投影
一、空间曲线的一般方程
空间曲线可看作两个空间曲面的交线.
曲面S1 : F ( x, y, z) 0 曲面S2 : G( x, y, z) 0
曲 线C
:
高等数学第七章：曲面及其方程
4/21
旋转过程中的特征：
如图 设 M (x, y, z),
(1) z z1
（2）点M 到z 轴的距离
z
d M1(0, y1, z1)
M f ( y,z) 0
o
y
d x2 y2 | y1 | x
将 z z1 6; 7 ;
（1）双曲线
x2 a2
z2 c2
1分别绕 x轴和z轴；
绕x 轴旋转
x2 a2
y2 c2
z2
1
旋 转
双
绕z 轴旋转
x2 a2
y2
z2 c2
1
曲 面
x
y z
y2
（2）椭圆
a
2
z2 c2
1绕 y 轴和z轴；
x 0
绕 y 轴旋转
y2 a2
x2 c2
z2
1
0
2
叫圆锥面的
半顶角．试建立顶点在坐标原点，旋转轴为z 轴，
半顶角为 的圆锥面方程． z
解 yoz面上直线方程为 z y cot
圆锥面方程
z x2 y2 cot x
M1(0, y1, z1 )
o
y
M( x, y, z)
例6 将下列各曲线绕对应的轴旋转一周， 求生成的旋转曲面的方程．
4/21
二、旋转曲面
定义 以一条平面 曲线绕其平面上的 一条直线旋转一周 所成的曲面称为旋 转曲面. 这条定直线叫旋转 曲面的轴．
4/21
大学数学_7_4 曲面与曲线
O
x 图7-34
y
例 6 一动点 M 在圆柱面 x 2 y 2 a 2 上以角速度 绕 z 轴旋转时，同时又以线速度 v 沿平行于 z 轴的正方 向上升，( , v都是常数) ， 则点 M 的几何轨迹叫做螺旋线 （7-35） ，试建立其参数方程. z 解 取时间 t 为参数，设t 0 时动 点在点 A( a,0,0) 处，在 t 时刻，动点在 点 M ( x, y , z ) 处.过点 M 作 xOy 面的 ' 垂线，则垂足为 M ( x, y,0) .由于 O My AOM ' t , MM ' vt , M’ x 故 x a cos AOM ' a cos t , 图7-35 y a sin AOM ' a sin t , z MM ' vt , x a cos t , 所以螺旋线的参数方程为： y a sin t , z vt.
求曲线： 2 2 z x y 2 2 z x y 在 xOy 面上的投影方程. 例7
从曲线 的方程中消去 z，得 x2 y 2 x2 y 2 , 化简后，得 ( x 2 y 2 )( x 2 y 2 1) 0, 因为 x 2 y 2 0 ，所在曲线 关于 xOy 面的投影柱面方程为 x2 y2 1 （是圆柱面） ，在 xOy 面的投影方程为 1 2 2 x y 2 z 0 （是 xOy 面上的圆）. 解
Hale Waihona Puke y2 z2 例 2 将 yOz 面上的椭圆 2 2 1分别绕 z 轴和 y 轴 a b 旋转，求所形成的旋转曲面方程. 解 绕 z 轴旋转而形成的旋转曲面（图 7-28）方程 为 x2 y 2 z 2 z 1 ， a2 b2 b x2 y 2 z 2 2 2 1. 即 2 a a b a 绕 y 轴旋转而形成的旋转曲面方程为 y y 2 x2 z 2 a 1， 2 2 x a b 图7-28 x2 y 2 z 2 2 2 1. 即 2 b a b
空间曲面及其方程
116 .
3
3 9
例4 方程 z ( x 1)2 ( y 2)2 1的图形是怎样的？
解 根据题意有 z 1
z
用平面z c去截图形得圆：
( x 1)2 ( y 2)2 1 c (c 1)
当平面z c 上下移动时，
c
得到一系列圆
o
y
圆心在(1,2, c)，半径为 1 c x
同理： xoz 坐标面上的已知曲线 f ( x, z) 0 绕
z 轴旋转一周的旋转曲面方程为
f x2 y2 , z 0.
同理： xoz 坐标面上的已知曲线 f ( x, z) 0 绕
x 轴旋转一周的旋转曲面方程为 f x, y2 z2 0.
例6 yoz坐标面上的直线 z a,绕y(za轴旋0)转，试求所得 旋转曲面方程。
的顶点，两直线的夹角
0
2
叫圆锥面的
半顶角．试建立顶点在坐标原点，旋转轴为 z
轴，半顶角为 的圆锥面方程． z
解 yoz 面上直线方程为 z y cot
圆锥面方程
z x 2 y2 cot x
M1(0, y1, z1 )
o
y
M ( x, y, z)
例6 将下列各曲线绕对应的轴旋转一周，求
的准线为xoz平面上的抛物线x2=4z,这类柱面为抛物
柱面。
旋转曲面： 一平面曲线C绕同一平面上的定直线L旋转一周所成 的曲面称为旋转曲面。曲线C称为旋转曲面的母线，直 线L称为旋转曲面的轴。
在这里只研究坐标平
面内的曲线绕该平面内 的坐标轴旋转产生
的曲面。
问题： 设f ( y, z) 0是yoz平面内的一条曲线，绕
平面实际上也是一个柱面，是以xoy平面上的直线 x+y-1=0为准线，而母线平行于oz轴的柱面。
空间曲面及方程
曲面在空间解析几何中被看成是点的几何轨迹．
曲面方程的定义：
如果曲面S 与三元方程F ( x , y , z ) 0 有下述关系：
（1 ）曲面 S 上任一点的坐标都满足方程； （2 ）不在曲面 S 上的点的坐标都不满足方程； 那么，方程 F ( x , y , z ) 0 就叫做曲面S 的方程， 而曲面 S 就叫做方程的图形．
例如方程 在xoy面上， 表示的曲面 :
z
M
1
o C 表示准线圆C, M
y
在圆C上任取一点 M 1 ( x, y,0) , 过此点作 x 平行z轴的直线l ,对任意 z ,点 M ( x, y, z )
的坐标也满足方程 x y R
一切直线所形成的曲面称为圆 柱面.其上所有点的坐标都满足此方程, 故在空间
2 2 2
化简得所求方程 2 x 6 y 2 z 7 0.
例2. 求通过 x 轴和点( 4, – 3, – 1) 的平面方程. 解: 因平面通过 x 轴 , 故 A D 0
设所求平面方程为
By Cz 0
代入已知点 (4 , 3 , 1) 得
化简,得所求平面方程
f y,
x 2 z 2 0.
例1 将下列各曲线绕对应的轴旋转一周，求 生成的旋转曲面的方程．
x z x 轴和 z 轴； （1）双曲线 2 2 1 分别绕 a c
x2 y2 z2 绕 x 轴旋转 2 1 2 a c x y z 2 1 绕 z 轴旋转 2 a c
• A x+C z+D = 0 表示 平行于 y 轴的平面;
• A x+B y+D = 0 表示 平行于 z 轴的平面; • C z + D = 0 表示 平行于 xOy 面 的平面; • A x + D =0 表示 平行于 yOz 面 的平面； • B y + D = 0 表示 平行于 zOx 面 的平面.
第3讲空间解析几何—曲面、曲线及其方程
第3讲 空间解析几何—曲面、曲线及其方程本节主要内容第三节 曲面及其方程1 曲面方程的概念2 旋转曲面3 柱 面 4二次曲面第四节 空间曲线及其方程1 空间曲线的一般方程2 空间曲线的参数方程3 空间曲线在坐标面上的投影讲解提纲：第七章 空间解析几何与向量代数第三节 曲面及其方程一、 曲面方程的概念空间曲面研究的两个基本问题是：1．已知曲面上的点所满足的几何条件，建立曲面的方程;2．已知曲面方程，研究曲面的几何形状.二、旋转曲面以一条平面曲线绕其平面上的一条直线旋转一周形成的曲面叫做旋转曲面，旋转曲线和定直线分别叫做旋转曲面的母线和轴。
三、柱面平行于定直线并沿定曲线C 移动的直线L 形成的轨迹叫做柱面，定曲线C 叫做柱面的准线，动直线L 叫做柱面的母线。
四、二次曲面三元二次方程0),,(=z y x F 所表示的曲面称为二次曲面。
例题选讲：曲面方程的概念例1 建立球心在点),,(0000z y x M 、半径为R 的球面方程. 解：易得球面方程为2222000()()()x x y y z z R -+-+-=例2 求与原点O 及)4,3,2(0M 的距离之比为1:2的点的全体所组成的曲面方程. 解：易得曲面方程为22224116()(1)()339x y z +++++=。
例3 已知()1,2,3,A ()2,1,4,B - 求线段AB 的垂直平分面的方程.解：设点(,,)M x y z 为所求平面上的任一点，由 A M B M ==整理得26270x y z -+-=。
例4方程2222440x y z x y z ++-++=表示怎样的曲面？旋转曲面例5 将xOz 坐标面上的抛物线25z x =分别绕x 轴旋转一周，求所生成的旋转曲面的方程.解：易得旋转曲面的方程225y z x +=例6 直线L 绕另一条与L 相交的定直线旋转一周, 所得旋转曲面称为叫圆锥面. 两直线的交点称为圆锥面的顶点, 两直线的夹角α)20(πα<<称为圆锥面的半顶角. 试建立顶点在坐标原点, 旋转轴为z 轴, 半顶角为α的圆锥面方程解：在yoz 坐标平面上，直线L 的方程为 c o tz y α= 可得圆锥面的方程为2222()z x y α=+柱面例7 分别求母线平行于x 轴和y 轴，且通过曲线222222216x y z x y z ⎧++=⎨-+=⎩的柱面方程.解：母线平行于x 轴的柱面方程：22316y z -= 母线平行于y 轴的柱面方程：223216x z += 二次曲面.椭球面：1222222=++cz b y a x )0,0,0(>>>c b a抛物面椭圆抛物面 qy p x z 2222+= （同号与q p ）双曲抛物面 z qy p x =+-2222 ( p 与q 同号)双曲面单叶双曲面 1222222=-+c z b y a x )0,0,0(>>>c b a双叶双曲面 1222222-=-+c z b y a x )0,0,0(>>>c b a二次锥面 0222222=-+cz b y a x例8 由曲面,0,0,0===z y x 1,122=+=+z y y x 围成的空间区域(在第一卦限部分), 作它的简图.课堂练习 1.求直线11:121x y z L --==绕z 轴旋转所得到的旋转曲面的方程. 2.指出方程221x y -=及22z x =-所表示的曲面. 3 方程()()22234z x y =-+--的图形是怎样的?第四节 空间曲线及其方程一、 空间曲线的一般方程 ⎩⎨⎧==0),,(0),,(z y x G z y x F二、空间曲线的参数方程 ⎪⎩⎪⎨⎧===)()()(t z z t y y t x x三、 空间曲线在坐标面上的投影⇒⎩⎨⎧==.0),,(,0),,(z y x G z y x F ⇒=0),(y x H ⎩⎨⎧==00),(z y x H例题选讲：空间曲线的一般方程例1方程组 221493x y y ⎧+=⎪⎨⎪=⎩表示怎样的曲线?空间曲线的参数方程例2 若空间一点M 在圆柱面222a y x =+上以角速度ω绕z 轴旋转, 同时又以线速度v 沿平行于z 轴的正方向上升 (其中ω、v 是常数), 则点M 构成的图形叫做螺旋线. 试建立其参数方程.解：取时间t 为参数，在t=0时，动点位于x 轴上的一点(,0,0)A a 处。
空间曲线及其方程
-0.5 -1
0
x
0
1
2
0.5
1
y
0.1
0.05
x
z
0
-0.05 x
-1
-0.1
-0.5
0
0.25
0.5
0.75
1
0
0.5 y
1
例6
求曲线 C:z z
4x2 y2 3(x2 y2)
z
在 xoy 面上的投影曲线.
解: 从方程组消去 z, 得
x2 y2 1.
Co
x
所以曲线C在 xoy 面的投影曲线为
2
4
xa2a2cots
y
a 2
sint
(0t2)
za
1 2
12
c
ots
三、空间曲线在坐标面上的投影
设空间曲线 C的一般方程为
z
F(x, y,z) 0, G(x, y,z) 0.
C
y
从 方 程 组 中 消z去 后变 得量 到 方 程
H(x, y)0.
x C
当x、y和z满 足 方 程 , x组 、y必 时定 满 足, 方 这 说 明C曲 上线 的 所 有 点 都 所在 表由 示方 的程 面 上 .
y2
4x
0.
例1 方程组 x2y2 1, 表示怎样的 ? 曲线
2x3z6
z
解 因为 x2y21表示圆, 柱面
2
C
2x3z6表 示 平. 面
x2 y2 2x3z
1 表 6
示
二
者
的.
交线o
10
10
x
5
第三节 空间曲面及方程
即
( x x0 )2 ( y y0 )2 ( z z0 )2 R
x2+y2+z2=R2
故球面方程为: (x-x0)2+(y-y0)2+(z-z0)2=R2 特别,当M0在原点时,球面方程为: 球面方程的一般式为: x2+y2+z2+Ax+By+Cz+D=0 其特征为: (1) x2, y2, z2系数相同； (2)无 xy , xz, yz项。 例: x2+y2+z2 -2x+4z -4=0 配方得(x-1)2+y2+(z+2)2=32
缺谁,母线平行谁
a
o
b y
y a o
x
x
14
柱面
z
(3) 抛物柱面: y2 =2x
母线平行于z 轴,
o x y z
准线为xoy 面上的抛物线:
(4) 平面: y-2z=0 母线平行于x 轴,
y2 =2x
。
y-2z=0
•
准线为yoz 面上的直线: y-2z=0 。
x
y
o
x2 y2 ——— =1 (1) 椭圆柱面: ——— + a2 b2
M•
任取曲面S上点M(x, y, z), 其点必是由曲线L上点M0(x0, y0, z0) 绕 z 轴转旋转而来. 则有: z=z0; x2+ y2 =y0; 因为f (y0, z0)=0, x
• M0
S
L
y
所以f ( x2+ y2 , z)=0.
6
旋转曲面
2、设yoz面上曲线 L: f (y, z)=0 绕 z 轴旋转一周, 所成曲面的方程为:
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这里的t , .
x a sin , 例如：圆 y 0, 绕z轴旋转一周所得的球面 方程 z a cos
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x a sin cos x a sin cos z a cos
8.4.5二次曲面
三元二次方程 F x, y, z 0所表示的曲面称为二次 曲面， 而把平面称为一次曲面 .
4
以上表明作为点的几何轨迹的曲面都可以 用它的点的坐标方程来表示.反之，变量x,y,z 之间的方程通常表示一个曲面，因此，在空间 解析几何中关于曲面的研究，主要有下列两个 基本问题：
（1）已知一空间曲面，建立其方程； （2）已知坐标x,y,z之间的一个方程， 研究这个方程表示的曲面形状。
5
练习： 8-4 题1； 题3
Page 23
24
25
26
27
六 双叶双曲面
x y z 2 1 2 2 a b c
2 2 2
28
作业：8-4 题2，题6，题9（1）（3）
29
2 2 2
表示球面 .
6ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
8.4.2 旋转曲面
7
8
9
例题3. 将下列各曲线绕对应的 轴旋转一周，求 生成的旋转曲面的方程 .
x2 z 2 1xoz面上的双曲线 2 2 1分别绕x轴 a c 和z轴；
10
11
例题4 直线L绕另一条与 L相交的直线旋转一周 所得的旋转曲面叫圆锥 面，两直线的交点为圆
下面我们一块来看看常见的二次曲面的标准方程.
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Page 22
x2 z2 椭球面是xoz面上的椭圆 2 2 1绕z轴旋转一周， a b x2 y2 z2 所得的曲面为旋转椭球 面 2 1, 2 a c b x2 y2 z2 再沿着y轴方向伸缩 倍，得到 2 2 2 1. a a b c
8.4空间曲面及其方程
8.4.1 曲面方程的概念； 8.4.2旋转曲面； 8.4.3柱面； 8.4.4空间曲面的参数方程； 8.4.5二次曲面
8.4.1曲面方程的概念
Page 2
例题1 设有点A1,2,1和B3,1,4, 求到A, B距离相等的 点的轨迹方程。
解： 由题意知，线段AB的垂直平分面为所 求点的轨迹。
锥面的顶点，两直线的 夹角 0 叫圆锥 2 面的半顶角 .试建立顶点在坐标原点 O，旋转轴为
z轴，半顶角为 的圆锥面方程 .
z
12
练习： 8-4 题4 ，题5
8-4 题4答案： 解：z 2 5 x绕着x轴旋转一周， x没有发生变化， 得到的旋转曲面方程为 即y 2 z 2 5 x.
设P（x,y,z)为所求平面上任意 一点，由于 AP BP
x 1 y 2 z 1
2 2 2
x 32 y 12 z 42 .
化简整理得 2 x y 5 z 10 0.
3
例题2 求到定点M 0 x0 , y0 , z0 为定长R的点的轨迹方程 .
8 - 4题1答案： 设P为所求平面上的一点， 则有 PP 1 PP 2， 得
x 22 y 32 z 12
x 42 y 52 z 62 ,
化简整理得 4 x 4 y 10z 63 0.
8 - 4题3 原方程x 2 y 2 z 2 2 x 4 y 2 z 0可化为 x 2 2 x 1 y 2 4 y 4 z 2 2 z 1 6, 即 x 1 y 2 z 1 6,
y z
2
2
2
5 x,
题5答案：
圆x 2 z 2 9绕z轴旋转一周， z没有发生变化，
得到的旋转曲面方程为
x y
2
2
z
2
2
9,
即x 2 y 2 z 2 9.
13
8.4.3 柱面
14
15
16
17
18
8.4.4空间曲面的参数方程
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曲面的参数方程通常含 有两个参数的方程， 形如 y y s, t z z s, t . x xs, t