同济版高等数学件曲面及其方程
高等数学(下)教案曲面及其方程
高等数学(下)教案曲面及其方程教学目标：1. 理解曲面的概念，掌握曲面的基本性质。
2. 学习曲面的方程表示方法，掌握常见曲面的方程。
3. 能够利用曲面方程进行曲面的绘制和分析。
教学内容：一、曲面的概念与基本性质1. 曲面的定义2. 曲面的基本性质2.1 曲面的导数2.2 曲面的切线和法线2.3 曲面的曲率2.4 曲面的切平面和法平面二、曲面的方程表示方法1. 参数方程表示法2.1 参数方程的定义2.2 参数方程的求导和积分2. 普通方程表示法2.1 普通方程的定义2.2 普通方程的求导和积分3. 柱面和二次曲面的方程3.1 柱面的方程3.2 二次曲面的方程三、常见曲面的方程1. 圆锥面的方程2. 椭圆面的方程3. 双曲面的方程4. 抛物面的方程5. 直纹面的方程四、曲面的绘制和分析1. 利用参数方程绘制曲面2. 利用普通方程绘制曲面3. 曲面的切线和法线分析4. 曲面的曲率分析5. 曲面的切平面和法平面分析教学方法：1. 采用多媒体教学，通过图形和动画展示曲面的形状和性质。
2. 通过例题讲解和练习，使学生掌握曲面方程的求解和分析方法。
3. 引导学生运用曲面方程解决实际问题，提高学生的应用能力。
教学评价：1. 课堂讲解和练习的参与度。
2. 学生对曲面方程的掌握程度。
3. 学生能够运用曲面方程进行曲面的绘制和分析。
教学资源：1. 教学PPT和动画演示。
2. 曲面方程的相关教材和参考书。
3. 计算机软件进行曲面的绘制和分析。
六、曲面的切平面和法线1. 切平面的定义与性质6.1 切平面的定义6.2 切平面的性质2. 法线的定义与性质6.3 法线的定义6.4 法线的性质3. 切平面和法线的求法6.5 切平面和法线的求法七、曲面的曲率1. 曲率的定义与性质7.1 曲率的定义7.2 曲率的性质2. 曲率的计算7.3 曲率的计算方法3. 曲面的弯曲程度分析7.4 曲面的弯曲程度分析八、曲面的绘制与分析实例1. 实例一：圆锥面的绘制与分析8.1 圆锥面的参数方程8.2 圆锥面的普通方程8.3 圆锥面的切平面和法线分析2. 实例二：椭圆面的绘制与分析8.4 椭圆面的参数方程8.5 椭圆面的普通方程8.6 椭圆面的切平面和法线分析3. 实例三：双曲面的绘制与分析8.7 双曲面的参数方程8.8 双曲面的普通方程8.9 双曲面的切平面和法线分析九、曲面在实际问题中的应用1. 曲面在工程中的应用9.1 曲面在机械设计中的应用9.2 曲面在建筑设计中的应用2. 曲面在自然科学中的应用9.3 曲面在光学中的应用9.4 曲面在声学中的应用十、复习与练习1. 复习本章内容10.1 复习曲面的概念与基本性质10.2 复习曲面的方程表示方法10.3 复习常见曲面的方程2. 课堂练习10.4 完成课堂练习题3. 课后作业10.5 布置课后作业教学方法：1. 采用案例教学法，通过具体实例讲解曲面的绘制与分析方法。
高等数学上册第七章第五节 曲面及其方程
0z 3
在
yOz面上的投影
z
3y2 ,
xOy面上的圆 x 2 y 2 R2
叫做它的准线，平行于 z 轴的直线 l 叫做它的母线。 其实在 yOz 面内的一条直线: y R, 绕z轴旋转而成的旋转
曲面就是该圆柱面,则圆柱面方程为: x 2 y 2 R. 即
x2 y2 R2.
9
P11
定义: 平行于定直线并沿定曲线C平行移动的直线 l形成的轨迹
方程 Fx, y 0, 在空间 z
Fx, y 0,
直角坐标系中表示：
o 母线平行于 z 轴的柱面,
其准线是 xOy 面上的曲线
y
C : Fx, y 0.
x
C
方程 Gx,z 0, 在空间
直角坐标系中表示：
方程中缺哪个字母，母线 平行于相应的轴。
母线平行于 y轴的柱面, 其准线是 xOz 面上的曲线
1
在空间解析几何中关于曲面的研究,有下列两个基本问题: (1) 已知曲面点的几何轨迹，求曲面的方程； (2) 已知曲面的方程，求这方程所表示的曲面的形状。
1、球面方程
例1 建立球心在 M 0 x0 , y0 , z0 ,
半径为 R 的球面 S 的方程.
解：Mx, y, z S M0M R
M0 M x x0 2 y y0 2 z z0 2 ,
xz 0
o
x
y
12
小 结：
1.曲面的概念
2.球面方程 x x0 2 y y0 2 z z0 2 R2
3.平面方程 Ax By Cz D 0 作业:习题7-5
4.旋转曲面
作业纸P50
设 C : f y, z 0 yoz面
下次交P49-50
同济-高等数学-第三版(7.7) 第七节 空间曲线及其方程
曲面 1 , 2 的交线 C 上。
由于消元法不会改变方程组的解，为求曲线 C 向坐
标面的投影柱面只需在曲线 C 的一般式方程中消去相 应的变量即可。
• 曲线 C 向 xOy 坐标面投影
F x, y, z 0 , C: G x, y, z 0 .
消去变量 z
得投影柱面
1 2
z
C
xy
2
yz : H2 y, z 0
H2 y, z 0 , C yz : x 0.
• 曲线 C 向 zOx 坐标面投影
F x, y, z 0 , C: G x, y, z 0 .
消去变量 y 得投影柱面 联立 y = 0 得投影曲线
zx : H3 x, z 0
接反映为其坐标 x ,y ,z 间的某个关系式，而是表现为与 运动过程相关的某个参数 t 的函数。 例如，运动过程中动点 M( x ,y ,z )的坐标总是时间 t 的函数。于是就有了所谓参数方程的概念。
参数方程的一般形式为 t , x C : y t , t z t .
z
含有缺变量 y 的柱面方程
x 2 + y 2 = a 2 ，因而它就是 曲线 C 向 xOz 平面投影的 投影柱面方程。直接写出 投影曲线方程有
x 2 y 2 a 2, C xy : z0.
高等数学第七章：曲面及其方程
4/21
旋转过程中的特征：
如图 设 M (x, y, z),
(1) z z1
（2）点M 到z 轴的距离
z
d M1(0, y1, z1)
M f ( y,z) 0
o
y
d x2 y2 | y1 | x
将 z z1 6; 7 ;
（1）双曲线
x2 a2
z2 c2
1分别绕 x轴和z轴；
绕x 轴旋转
x2 a2
y2 c2
z2
1
旋 转
双
绕z 轴旋转
x2 a2
y2
z2 c2
1
曲 面
x
y z
y2
（2）椭圆
a
2
z2 c2
1绕 y 轴和z轴；
x 0
绕 y 轴旋转
y2 a2
x2 c2
z2
1
0
2
叫圆锥面的
半顶角．试建立顶点在坐标原点，旋转轴为z 轴，
半顶角为 的圆锥面方程． z
解 yoz面上直线方程为 z y cot
圆锥面方程
z x2 y2 cot x
M1(0, y1, z1 )
o
y
M( x, y, z)
例6 将下列各曲线绕对应的轴旋转一周， 求生成的旋转曲面的方程．
4/21
二、旋转曲面
定义 以一条平面 曲线绕其平面上的 一条直线旋转一周 所成的曲面称为旋 转曲面. 这条定直线叫旋转 曲面的轴．
4/21
同济版高等数学教材详解
同济版高等数学教材详解同济大学出版社出版的《高等数学》教材是大学教学中常用的一本教材。
本篇文章将对该教材进行详解，帮助读者更好地理解和学习高等数学知识。
一、教材结构《高等数学》教材由全书目录、前言、正文和附录四部分组成。
其中，正文部分包括基础篇、提高篇和拓展篇，共分为十二章。
每一章都由若干节组成，每一节又包含了重要的概念、原理和解题方法等。
二、基础篇详解基础篇包括了数列与级数、函数与极限、微分学、积分学等内容，这些内容是高等数学学习的基础，对于理解后续章节的内容至关重要。
1. 数列与级数数列与级数是数学中重要的内容之一，本书对其进行了详细的讲解。
其中包括等差数列与等比数列的概念、性质及求和公式；级数的概念、性质及常见的级数判别法等。
通过学习这一章的内容，读者可以深入理解数列与级数的概念，掌握求和公式和级数求和的方法。
2. 函数与极限函数与极限是微积分的基础。
本章主要介绍了函数的极限及其性质，包括无穷小量、无穷大量和函数极限的运算法则等。
此外，还介绍了常见的极限计算方法，如洛必达法则等。
通过学习这一章的内容，读者可以建立对函数极限的概念和运算法则的理解，并能熟练地应用到实际问题中。
3. 微分学微分学是函数学的一部分，主要研究函数的变化率和变化规律。
本章主要介绍了函数的导数及其应用，包括导数的定义、性质、导数的运算法则以及相关的微分中值定理等。
此外，还介绍了常见的函数的极值判断方法，如一阶导数、二阶导数的判别法等。
通过学习这一章的内容，读者可以掌握函数的导数及其应用，并能灵活运用到实际问题中。
4. 积分学积分学是微积分的另一部分，主要研究函数的积分与求面积、求体积等问题。
本章主要介绍了不定积分和定积分的定义与性质，包括基本积分公式、换元积分法、分部积分法等。
此外，还介绍了常见的定积分应用，如求曲线的弧长、平面图形的面积等。
通过学习这一章的内容，读者可以理解积分的概念与性质，并能应用到实际问题中。
三、提高篇详解提高篇是在基础篇的基础上进一步拓展和深化数学知识的内容。
同济版大一高数第十一章第五节对坐标曲面积分
n (cos , cos , cos ) dS n dS (d ydz, dzdx, dxd y)
高等数学
第二十五讲
1
第十一章 第五节 对坐标的曲面积分
一、有向曲面及曲面元素的投影 二、 对坐标的曲面积分的概念与性质
三、对坐标的曲面积分的计算法
四、两类曲面积分的联系
2
一、有向曲面及曲面元素的投影
• 曲面分类
双侧曲面
单侧曲面
曲面分内侧和 外侧
莫比乌斯带
(单侧曲面的典型)
曲面分左侧和 右侧
曲面分上侧和 下侧
y
x
的顶部 1 : z a ( x a , y a ) 取上侧 2 2 2 的底部 2 : z a ( x a , y a ) 取下侧 2 2 2
3 a
( z x) d x d y 2 a ( x) d x d y Dx y 2
1 2
xy xy
2 2
2 0
Dx y Dx y
xy 1 x y d x d y
2 2
z
o Dx y x
r sin cos 1 r rd rd
2 2
2
sin d sin
1
0
r
2
1 r d r
2
2
2 15
1 y 1
33
例2：计算
: z 1 x y 2 z 0 的上侧。 z zd xd y 1 x 2 y 2 d xd y 解：
26
3. 性质 (1) 若
P d y d z Q d z d x R d x d y A n d S A d S
同济版高等数学件曲面及其方程
?z ?
4?2
?
1 ,
2
所求方程为
?? x ? 2 ??2 ? ?y ? 1?2 ? ?? z ? 4 ??2 ? 116 .
? 3?
? 3? 9
例 3 已知 A(1,2,3)， B(2,? 1,4)，求线段 AB的垂直平分面 的方程.
解 设 M ( x, y, z)是所求平面上任一点， 根据题意有 | MA|? | MB |,
z1 C
y1
y
x
将 z ? z1 , y1 ? ?代入x 2 ? y2
? ? 得方程 S : f ? x2 ? y2 , z ? 0,
f ( y1 , z1 ) ? 0
即得 yoz坐标面上的已知曲线 f ( y, z) ? 0绕z轴旋转一周
的旋转曲面方程.
由此可知：在曲线 C 的方程 f ( y, z) ? 0中将 y改成
? x2
? ?
a
2
?
y2 b2
?
1
?? z ? 0
绕 y 轴旋转一周
y
o
a
x
上题双曲线
绕 y 轴旋转一周
得单叶旋转双曲面 x2 ? y2 ? z2 ? 1 a2 b2 a2
z
y
o
a
x
旋转锥面
x
两条相交直线
?? x 2 ?a2
?
y2 =0
b2
?? z = 0
绕 x 轴一周
o
y
旋转锥面
两条相交直线
?? x 2 ?a2
?
y2 b2
=0
?? z = 0
绕 x 轴一周
.
x
同济版高等数学第六版课件第八章第五节曲面及其方程
直纹曲面在建筑设计中的应用
总结词
设计曲面建筑外观
VS
详细描述
直纹曲面方程在建筑设计中用于描述复杂 的曲面结构。通过直纹曲面，建筑师可以 创造出独特且富有艺术感的建筑外观。直 纹曲面在建筑设计中的广泛应用，不仅提 高了建筑的审美价值，也为建筑师提供了 更多的创作空间。
方程
锥面的方程通常表示为 x^2 + y^2 = r^2(z)，其中 (x, y) 是平面上的点，r 是锥顶到平面的距离，z 是锥面的参数。
性质
锥面是一个非对称的曲面，在锥顶处曲率为无穷大。
旋转曲面
定义
旋转曲面是由一条平面曲线绕 一条直线旋转一周所形成的曲
面。
方程
旋转曲面的方程通常表示为 x = x(t), y = y(t), z = z(t)，其 中 t 是参数，x(t), y(t), z(t) 是
非标准曲面
定义
01
非标准曲面是指不符合常规形式的曲面，如参数曲面、隐式曲
面等。
性质
02
非标准曲面具有一些特殊的几何性质，如曲率、法向量等，这
些性质有助于理解曲面的几何结构。
应用
03
非标准曲面在计算机图形学、计算几何等领域有广泛的应用，
如动画设计、虚拟现实、游戏开发等。
曲面的微分性质
定义
曲面的微分性质是指曲面在局部的几何性质，如切线、法线、曲率 等。
给定的平面曲线。
性质
旋转曲面是一个具有旋转对称 性的曲面，其曲率随旋转角度
而变化。
直纹曲面
定义
直纹曲面是由一条直线按一定方式移动所形成的曲面 。
方程
直纹曲面的方程通常表示为 z = f(x, y)，其中 f(x, y) 是给定的函数，(x, y) 是平面上的点。
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.
x
z
o
y
旋转锥面 两条相交直线
x 2 y 2 = 0
a2
b2
z = 0
绕 x 轴一周
得旋转锥面
x2 y2 z2
0
a2
b2 .
.
z
o
y
旋转抛物面
z
抛物线
y 2 az
x0
绕 z 轴一周
o
z
旋转抛物面
抛物线
y 2 az
x0
这条定直线叫旋转
曲面的轴．
播放
旋转曲面的方程
曲线 C
绕z 轴
f ( y, z) 0
x
0
z
C o
y
旋转曲面的方程
曲线 f ( y, z) 0
C
x
0
绕z轴
z
C o
y
x
旋转曲面的方程
曲线 C
f ( y, z) 0
x
0
绕 z轴
旋转一周得旋转曲面 S
M(x,y,z) S
叫圆锥面的半顶角．
例 5 试建立顶点在坐标原点，旋转轴为z 轴，半顶
角为 的圆锥面方程．
z
解 yoz面上直线方程为
绕 z 轴一周
.
o
x
旋转抛物面
抛物线
y 2 az
x0
绕 z 轴一周
生活中见过这个曲面吗？ z 得旋转抛物面
x2 y2 z
a
.
o
y
x
例
卫星接收装置
.
直线 L绕另一条与 L相交的直线旋转一周，所得
旋转曲面叫圆锥面．两直线的交点叫圆锥面的顶点，
两直线的夹角
0
2
x2 y2
双曲线
a
2
b2
1
z 0
绕 x 轴旋转一周
x
z
0
y
双曲线
x2
a
2
y2 b2
1
z 0
绕 x 轴旋转一周
得双叶旋转双曲面
x2 y2 z2 a 2 b2 . 1
x
z
0
y
例. 单叶旋转双曲面
hyperboloid of revolution
上题o双f o曲n线e sheet
一、曲面方程的概念
曲面的实例： 水桶的表面、台灯的罩子面等．
曲面在空间解析几何中被看成是点的几何轨迹．
曲面方程的定义：
如果曲面S 与三元方程F(x, y, z) 0有下述关系：
（1）曲面 S 上任一点的坐标都满足方程；
（2）不在曲面S 上的点的坐标都不满足方程； 那么，方程 F(x, y,z) 0就叫做曲面 S 的方程，而 曲面 S 就叫做方程的图形．
z
得到一系列圆
圆心在(1,2, c)，半径为 1 c
半径随c 的增大而增大.
c
图形上不封顶，下封底．
o
y
x
以上几例表明研究空间曲面有两个基本问题： （1）已知曲面作为点的轨迹时，求曲面方程．
（讨论旋转曲面） （2）已知坐标间的关系式，研究曲面形状．
（讨论柱面、二次曲面）
二、旋转曲面
定义 以一条平面曲线 绕其平面上的一条直线 旋转一周所成的曲面称 为旋转曲面.
S
f (y1, z1)=0
z1 z
| y1 | MP x 2 y 2
z
P M
z
o
N (0, y1 , z1 ) .
z1 C
y1
y
x
将 z z1, y1 代x入2 y2
f ( y1, z1 ) 0
得方程 S : f x2 y2 , z 0,
即得 yoz坐标面上的已知曲线 f ( y, z) 0绕z 轴旋转一周
化简得所求方程 2x 6 y 2z 7 0.
例4 方程 z ( x 1)2 的( y 图 2形)2 是1怎的？
z
解 根据题意有 z 1
用平面z c去截图形得圆：
( x 1)2 ( y 2)2 1 c (c 1)
c
o
y
x
当平面z c上下移动时，
的旋转曲面方程.
由此可知：在曲线C 的方程 f ( y, z) 0中将 y 改成 x2 z2 ，便得曲线C 绕 y 轴旋转所成的旋转曲面
方程为 f ( y, x2 z2 ) 0
同理：xoz 平面上的曲线 f (x, z) 0绕 x 轴旋转所成的旋转曲
面方程为 f ( x, y2 z2 ) 0， xoy 平面上的曲线 f (x, y) 0
所求方程为
x
2
2
Байду номын сангаас
y
12
z
4
2
116
.
3
3 9
例 3 已知 A(1,2,3)，B(2,1,4)，求线段 AB的垂直平分面 的方程.
解 设 M( x, y, z)是所求平面上任一点， 根据题意有 | MA|| MB |,
x 12 y 22 z 32 x 22 y 12 z 42 ,
绕 y 轴旋转所成的旋转曲面方程为 f ( x2 z2 , y) 0
例：双叶旋转双曲面
hyperboloid of revolution of two sheet s
双曲线
x2
a
2
y2 b2
1
z 0
绕 x 轴旋转一周
x
0
y
例双叶旋转双曲面
hyperboloid of revolution Of two sheets
特殊地：球心在原点时方程为 x2 y2 z2 R2
例 2 求与原点O及 M0(2,3,4)的距离之比为1: 2的点的
全体所组成的曲面方程.
解 设 M( x, y, z)是曲面上任一点，根据题意有 | MO | 1 , | MM0 | 2
x2 y2 z2
1,
x 22 y 32 z 42 2
x2 y2
a
2
b2
1
z 0
绕 y 轴旋转一周
y
o
a
x
上题双曲线
绕 y 轴旋转一周
得单叶旋转双曲面 x2 y2 z2 a2 b2 a2 1
z
y
o
a
x
旋转锥面
x
两条相交直线
x 2 a2
y2 b2
=0
z = 0
绕 x 轴一周
o
y
旋转锥面 两条相交直线
x 2 y 2 = 0 a2 b2 z = 0
以下给出几例常见的曲面. 例 1 建立球心在点 M0( x0 , y0 , z0 )、半径为 R的球面方程.
解 设 M( x, y, z)是球面上任一点，根据题意有 | MM0 | R
即 x x0 2 y y0 2 z z0 2 R 所求方程为 x x0 2 y y0 2 z z0 2 R2