高等数学第七版下册 同济 部分知识点

( )
的计算

1 当 = C即有( ) = ( + ) = ( + )
○



1
——sxd
( )

亦然
2 当 = (, )即有 ( ) = + ( + )


→ 平面法线
→
0




平面上的向量
椭圆锥面
2 2
+
= 2
2 2
椭圆球面
2 2 2
+
+ =1
2 2 2
单叶双曲面
2 2 2
+
− =1
2 2 2
双叶双曲面
2 2 2
−
− =1
2 2 2
椭圆抛物面
2 2
+
=
2 2
双曲抛物面

2 ()
∭ (, , ) = ∫ ∫

Ω
2 (,)
∫
1 ()
(, , )
1 (,)
=
三重积分转化为柱坐标计算 { =
=
⇒ ∭ (, , ) = ∭ (, , )

1 () ≤ ≤ 2 ()， ≤ ≤



y
d
2 ()
∬ (, ) = ∫ ∫
(, )
1 ()
= 1 ()
∬ (, ) = ∬ (, )


D
= 2 ()
a

x
D 与 2 或 2有关就可用
○




= + ( + )

方向导数 │
(0 ,0 )
= (0 , 0 ) cos + (0 , 0 ) cos ，其中cos ，cos 是方向的方向余
弦
梯度grad(0 , 0 ) =▽(0 , 0 ) = (0 , 0 ) → + (0 , 0 ) →
对坐标的曲面积分：
∬ + +
∑
= ∬ [(, ), , ] + ∬ [, (, ), ] + ∬ [, , (, )]



符号为∑的外侧平面法向量与投影面垂直的轴所成的角α所定cosα > 0 取正，cosα < 0 取负
2
有些可能不是很正确，重要的还是看书的例题会做题，好好复习，天天向上 (๑╹◡╹)ﾉ"""
2
=1
傅里叶系数：
1
∫ ()
( = 1,2,3, … )
−
1
= ∫ () cos ( = 1,2,3, … )
−
1
= ∫ () sin ( = 1,2,3, … )
−
0 =
∞
∞
=1
=1
0
()为偶函数有正弦级数 ∑ sin ，()为偶奇函数有余弦级数 + ∑ cos

(2)!
∞

=

()
=∑
(−∞ < < +∞)
!
=0
∞
1
= ∑(−1) 2 (−1 < < 1)
1 + 2
=0
∞
= ∑
=0
(−1) 2+1

(−1 ≤ ≤ 1)
2 + 1
傅里叶级数：
∞
0
+ ∑( cos + sin )


三元函数 = (, , ) 全微分 = + +
抽象函数的 z 偏导
= (, )， = (, )， = (, )
2
( ) ( )
=
+




=
+
= +
= ()
2 = ()，(0 ≤ ≤ )有： ∫ (, ) = ∫ [, ()]√1 + ′2 () (0 ≤ )
○


0
对坐标的曲线积分，(, )与(, )在有向曲线弧 L 上有定义且连续，L 的参数方程为
= ()

1{
○
一阶连续偏导数，其中 L 是 D 的取正向的边界曲线，则有

∬( + ) = ∮ +



对面积的曲面积分：
∬ (, , ) = ∬ [, , (, , )]√1 + 2 (, ) + 2 (, )
∑

为∑在面上的投影
2 2
−
=
2 2
lim () = (0 )
连续多元初等函数在0 的极限
→0
+ 1 − 1
1
1
√ + 1 − 1
=
lim
=
lim
=
(,)→(0,0)
(,)→(0,0) (√ + 1 + 1)
(,)→(0,0) √ + 1 + 1

2
lim



→

= |


→




→


| = |






+ |
| →





+ |
| →


→= → + → + →




=→
| →



→

→ ⊥→ 且 → ⊥→

平面的点法式方程→ →
0
二次曲面



=0
→= → + → + →
有： ∫ (, ) + (, ) = ∫ {[(), ()]′() + [(), ()]′()}
= ()

2 = ()有： ∫ (, ) + (, ) = ∫ {[, ()] + [, ()]′()}
○


当
=

时，起点与终点也相同时，沿不同路径的对坐标曲线积分的值相同

两类曲线积分之间的转换∫ + = ∫( + )
′()
′()
= ()
， =
， =
{
= ()
√′2 + ′2
√′2 + ′2
格林公式：设闭区域 D 由分段光滑的曲线 L 围成，若函数 P(x,y)及 Q(x,y)在 D 上具有
=0
当|| < 1时，级数收敛
当|| > 1时，级数发散
当|| = 1时，级数发散
∞
1
调和级数 ∑ 发散

=1
基本性质：
∞
∞
如果级数 ∑ 收敛于和 s ，那么级数 ∑ 也收敛于和 (为常数)
=1
∞
=1
∞
∞
∑ = ， ∑ = ，那么 ∑ （ ） = ±
高数下 部分知识点
→ =→ −→


模|| = √ 2 + 2 + 2

→ 与轴：
方向角
与 y 轴:β

csc =
方向余弦

||
=
与 z 轴：γ

||
=

||
→

→→
=

||||
→

θ
→ ×→ = （ → + → + → ）× （ → + → + → ）
Ω
Ω
Ω 与 2 或 2 或 2 有关就可用
对弧长的曲线积分，(, )在曲线弧 L 上有定义且连续，L 的参数方程为
= ()

1{
○
，( ≤ ≤ )有： ∫ (, ) = ∫ [(), ()]√′2 () + ′2 () ( < )
两类曲面积分的联系：
∬ + + = ∬( + + )
∑
=
∑
−
， =
√1 + 2 + 2
−
√1 + 2 + 2
， =
1
√1 + 2 + 2
等比级数：
∞
∑ = + + 2 + ⋯ + + ⋯
=1
=1
当级数收敛有 → 0
=1
审敛法：
∞
正项级数 ∑ 收敛的充要条件：和数列{ }有界
=1

比值审敛法 lim
→∞
+1
= ， < 1 收敛， > 1 发散， = 1 都有可能

极限审敛： lim = > 0 ，当 = 1 发散，当 > 1 收敛
=1
=1
=1
∞
幂级数展开式：
= ∑
=0
∞
1
= ∑
!
(−∞ < < +∞)
=0
∞
(−1) 2+1
(−∞ < < +∞)
= ∑