2013年数学竞赛讲义——李建泉

4. 已知正实数 x, y, z 满足 x + y + z = 18xyz ，证明
x
+
y
+
z
≥1。
x2 + 2 yz +1 y2 + 2zx +1 z2 + 2xy +1
( ) ( ) ( ) 5. 已知 x, y, z 是正实数，证明
2x2 + xy + 2
2 y2 + yz + 2
2z2 + zx 2 ≥ 1。
得对于任意两两不同的三元正整数组 (i, j, k ) ，均有 (i − j ) mk + ( j − k ) mi + (k − i) mj = C ，证明 a1, a2,
是等差数列。
32.已知 {an},{bn} 均为等差数列，整数 m > 2 ，多项式 Pk ( x) = x2 + ak x + bk , k = 1, 2, , m ，若
16.已知正实数 x, y, z 满足 x + y + z = 1 ，证明 1+ yz + 1+ zx + 1+ xy ≥ 2 3 。
x
y
z
17.已知 x,
y, z 是正实数，证明
x2
+
xy y2 + 2z2
+
2x2
yz + y2
+
z2
+
x2
zx + 2y2
+
z2
≤
3 4
。
18.已知正实数 a, b, c 满足 a2 + b2 + c2 + abc = 4 ，证明 a + b + c ≤ 3 。
值。
( ) 30. 设 P1 ( x) = x2 − 2, Pn ( x) = P1 Pn−1 ( x) , n = 2,3, ，证明对任意正整数 n ，方程 Pn ( x) = x 的根
全是相异实根。
31.已知实数列 a1, a2 , ，对于每个正整数 n ，定义 mn 是从 a1 到 an 的算术平均。若存在实数 C ，使
19.设
a,
b,
c
是正实数，且
abc
+
a
+
c
=
b
，求
2 a2 +
1
−
2 b2 +1
+
3 c2 +1
的最大值。
∑ ( ) 20.设正整数 n > 2 ，α1,α2, ,αn ∈ R ，求
cos2 αi − α j 的最小值。
1≤i< j≤n
( )( ) x2 + y2 + z2 x3 + y3 + z3
Sn 的所有子集构成的集合，映射 f : P ( Sn ) → Tm 满足下列性质：对于 P ( Sn ) 的任意两个元素 X1, X 2 ，都
有 f ( X1 ∪ X 2 ) + f ( X1 ∩ X 2 ) = f ( X1 ) + f ( X 2 ) ，试求（1）当 f (φ ) = 0 时，所有这样的映射 f 的个数；
的四个点，求证 (ay1
+
by2
+
cy3
+
dy4
)2
+
( ax4
+
bx3
+
cx2
+
dx1 )2
≤
⎛ 2⎜
⎝
a2 + b2 ab
+
c2 + d cd
2
⎞ ⎟ ⎠
。
15.已知正实数 x, y, z 满足 x + y + z = 1 ，证明1 < yz + zx + xy ≤ 3 。 x + yz y + zx z + xy 2
y + zx + z z + xy + x x + yz + y
6.已知 a,b, c, d 是正实数，证明 a − b + b − c + c − d + d − a ≥ 0 。 b+c c+d d +a a+b
7.证明对于正整数 n ≥ 2 和正实数 x1, x2 , , xn ，有
( ) ( ) ( ) ⎛
+
1 2
pn ，证明存在无穷多个正整数 n ，使得方程 x2
+
pn x + qn
=
0 有两个整根。
34.若整系数二次三项式 x2 + px + q 有无理根α1,α2 ，则称其是无理的，对于所有的无理的二次三项
式，求 α1 + α2 的最小值。
35.是否存在不全为 0 的 2000 个实数（不必不同），使得我们用任意 1000 个数作为一个首一的 1000
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,n),
x0
=
1 n
(
x1
+
x2
+
+ xn ) ，证明
sin x1 isin x2 i
x1
x2
isin xn xn
≤
⎛ ⎜ ⎝
sin x0 x0
⎞n ⎟。 ⎠
29.设{an} 是实数列，且满足 a1 = t, an+1 = 4an (1− an ) , n ≥ 1，要使 a1998 = 0 ，问 t 有多少个不同的取
顶点均属于 M 。 39.已知复数 a,b, c 满足 a + b + c = 0, a = b = c = 1 ，证明对于任意复数 z, z ≤ 1，均有
3≤ z−a + z−b + z−c ≤ 4。
40.设大于
1
的正整数 a, b 互素，定义数列 x1
=
a, x2
=
b, xn
=
x2 n−1 xn−1
+ 6x2
+
x2
+
zx xy + y2
+ 6z2
≤
1 3
。
3.对于任意正实数 x, y, z ，证明
( x + y) ( z + x)( z + y) + ( y + z) ( x + y)( x + z) + ( z + x) ( y + z)( y + x) ≥ 4( xy + yz + zx) 。
P1 ( x), Pm ( x) 均没有实根，证明所有 Pk ( x)(k = 1, 2, , m) 均没有实根。
33. 设 整 数 p1, q1 满 足 方 程 x2 + p1x + q1 = 0 有 两 个 整 根 ， 对 于 所 有 正 整 数 n ， 定 义
pn+1
=
pn
+1, qn+1
=
qn
( xy + zw)( xz + yw)( xw + yz)
。
xyzw
13.设 x, y, z 为正实数， A, B,C 为 ΔABC 的三个内角，求证
x sin A + y sin B + z sin C ≤ 1 ( xy + yz + zx) x + y + z 。
2
xyz
14.设 a,b, c, d 为正实数，满足 ab + cd = 1 ，点 Pi ( xi , yi ) (i = 1, 2, 3, 4) 是以原点为圆心的单位圆周上
11.已知正整数 n ≥ 3 ，证明对于任意 n 个不全相同的实数对 ( x1, y1 ) , ( x2 , y2 ) , , ( xn , yn ) ，有
∑( ) ∑ ∑ ∑ n
xi yi+1 − xi+1 yi
i =1
≤
n i =1
⎛ ⎜ ⎜⎝
⎛ ⎜ ⎝
xi
−
n j =1
xj n
⎞2 ⎟ ⎠
⎛ + ⎜ yi
（2）当 f (φ ) = 1时，所有这样的映射 f 的个数。
43.设 A = {1, 2, , 2012}, B = {1, 2, ,19} ， S 是 A 的所有子集构成的集合，求函数 f : S → B 的个
{ } 数，使得对于所有的 A1, A2 ∈ S ，均有 f ( A1 ∩ A2 ) = min f ( A1 ) , f ( A2 ) 。
⎝
−
n j =1
yj n
⎞2 ⎟ ⎠
⎞ ⎟ ⎟⎠
。
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李建泉老师数学讲义-竞赛代数
12.设 x, y, z, w 为正实数，实数α , β ,γ ,θ 满足α + β + γ +θ = (2k +1)π , k ∈ ，证明
x sinα + y sin β + z sin γ + wsinθ ≤
≤
n。 2
9.设实数 a,b 满足 0 < a < b ，证明（1）2 ab ≤ x + y + z + ab ≤ a + b ，其中 x, y, z ∈[a,b] ；（2）
3
3 xyz
⎧⎪ ⎨
x
+
y
+
z
+