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数学竞赛知识点总结归纳
数学竞赛知识点总结归纳数学竞赛是广泛开展的一种竞赛性学科竞赛活动，在全国范围内得到了广泛的推广和支持。
数学竞赛知识点涉及范围广泛，内容丰富，包括数论、代数、几何、概率统计等多个方面的知识。
本文将对数学竞赛的一些重要知识点进行总结和归纳，以帮助竞赛选手更好地掌握相关知识，提高竞赛表现。
一、数论1.1 整数的性质整数的性质是数论中的基本知识。
其中包括奇数、偶数、素数、合数等概念。
奇数是指不能被2整除的数，偶数是指可以被2整除的数，素数是指除了1和本身外没有其他因数的数，合数是指除了1和本身外还有其他因数的数。
1.2 除法算法除法算法包括整除算法和余数算法。
整除算法是指对两个整数进行除法运算，结果是一个整数，没有余数。
余数算法是指对两个整数进行除法运算，结果是一个整数和一个余数。
1.3 最大公约数和最小公倍数最大公约数是指两个或多个整数中最大的公约数，最小公倍数是指两个或多个整数中最小的公倍数。
最大公约数和最小公倍数是数论中基本的概念，应用广泛。
1.4 质因数分解任何一个正整数必能由几个素数相乘而得。
这几个素数叫做这个正整数的质因数，并且这几个质因数只有一种顺序。
数学中叫做质因数分解定理。
1.5 同余定理同余定理是数论中的重要定理。
同余定理是指对于任意整数a、b、m，如果a与b对模m同余，那么a与b相减之后得到的差也对模m同余。
1.6 途中数途中数指一个数只有1和它本身两个因素，这个数称为素数。
途中数包括2、3、5、7、11、13等，它们被称为素数。
二、代数2.1 一元二次方程一元二次方程是代数中的重要概念。
一般形式为ax^2+bx+c=0，求解一元二次方程的方法有配方法、因式分解、求和差、公式法等多种。
2.2 因式分解因式分解是指将多项式分解成比较简单的乘积的过程。
因式分解是代数中常见的求解方法。
2.3 多项式的运算多项式包括加法、减法、乘法、除法等运算。
多项式的运算是代数中的基本知识，是解决多项式问题的重要方法。
初中数学竞赛知识点归纳.doc
初中数学竞赛知识点归纳一、数的整除（一）如果整数A除以整数B(B≠0)所得的商A/B是整数,那么叫做A被B整除. 0能被所有非零的整数整除.①抹去个位数②减去原个位数的2倍③其差能被7整除。
如1001100－2＝98（能被7整除）又如7007700－14＝686，68－12＝56（能被7整除）能被11整除的数的特征：①抹去个位数②减去原个位数③其差能被11整除如1001100－1＝99（能11整除）又如102851028－5＝1023102－3＝99（能11整除）二、倍数.约数1 两个整数A和B（B≠0），如果B能整除A（记作B｜A），那么A叫做B的倍数，B叫做A的约数。
例如3｜15，15是3的倍数，3是15的约数。
2 因为0除以非0的任何数都得0，所以0被非0整数整除。
0是任何非0整数的倍数，非0整数都是0的约数。
如0是7的倍数，7是0的约数。
3 整数A（A≠0）的倍数有无数多个，并且以互为相反数成对出现，0，±A，±2A，……都是A的倍数，例如5的倍数有±5，±10，……。
4 整数A（A≠0）的约数是有限个的，并且也是以互为相反数成对出现的，其中必包括±1和±A。
例如6的约数是±1，±2，±3，±6。
5 通常我们在正整数集合里研究公倍数和公约数，几正整数有最小的公倍数和最犬的公约数。
6 公约数只有1的两个正整数叫做互质数（例如15与28互质）。
7 在有余数的除法中，被除数＝除数×商数＋余数若用字母表示可记作：A＝BQ＋R，当A，B，Q，R都是整数且B≠0时，A－R能被B整除例如23＝3×7＋2则23－2能被3整除。
三、质数.合数1正整数的一种分类：质数的定义：如果一个大于1的正整数，只能被1和它本身整除，那么这个正整数叫做质数（质数也称素数）。
合数的定义：一个正整数除了能被1和本身整除外，还能被其他的正整数整除，这样的正整数叫做合数。
初二数学竞赛知识点全集
第1讲 实数（一）【知识梳理】一、非负数：正数和零统称为非负数 1、几种常见的非负数（1）实数的绝对值是非负数，即|a |≥0在数轴上，表示实数a 的点到原点的距离叫做实数a 的绝对值，用|a |来表示设a 为实数，则⎪⎩⎪⎨⎧<-=>=0)0(0)0(||a a a a a a绝对值的性质：①绝对值最小的实数是0②若a 与b 互为相反数，则|a |＝|b |；若|a |＝|b |，则a ＝±b ③对任意实数a ，则|a |≥a ， |a |≥－a ④|a ·b |＝|a |·|b |，||||||b a b a =(b ≠0) ⑤||a |－|b ||≤|a ±b |≤|a |＋|b | （2）实数的偶次幂是非负数如果a 为任意实数，则n a 2≥0（n 为自然数），当n ＝1时，2a ≥0 （3）算术平方根是非负数，即a ≥0，其中a ≥0.算术平方根的性质：()a a =2（a ≥0）||2a a =＝⎪⎩⎪⎨⎧<-=>0)0(0)0(a a a a a2、非负数的性质（1）有限个非负数的和、积、商（除数不为零）是非负数 （2）若干个非负数的和等于零，则每个加数都为零 （3）若非负数不大于零，则此非负数必为零 34a =5、利用配方法来解题：开平方或开立方时，将被开方数配成完全平方式或完全立方。
【例题精讲】◆专题一：利用非负数的性质解题： 【例1】已知实数x 、y 、z 满足0241||212=+++-+-z y z z y x ，求x ＋y ＋z 的平方根。
【巩固】1、已知2(6)0x y ++=，则x y -的值为______________；0)a ≥ 的应用 【例2】已知x 、y 是实数，且=+-+-=y x x x y 则,32112 ；a =a =的化简及应用常用方法：利用配方法将被开方数配成完全平方式或者立方式 【例4】化简：961222+-++-=x x x x y例5】若实数x 满足方程11x x -=+ = ；【巩固】1、若92=a ，42=b ，且a b b a -=-2)(，则=+2)(b a ；2、已知实数a 满足a ＋332a a +＝0，那么11a a -++= ；第2讲 实数（二）【知识梳理】 一、实数的性质1、设x 为有理数，y 为无理数，则x ＋y ，x －y 都为无理数；当x ≠0时，xy ，yxx y ,都是无理数；当x ＝0时，xy ，yx就是有理数了； 2、若x 、y 都是有理数，m 是无理数，则要使m y x +＝0成立，须使x ＝y ＝0; 3、若x 、y 、m 、n 都是有理数，n m ,都是无理数，则要使n y m x ±=±成立，须使x ＝y ，m ＝n二、实数大小的比较常用方法：直接法、利用数轴比较、平方法、同次根式下比较被开方数法、作差法、作商法 三、证明一个数是有理数的方法：证明这个数是一个有限小数或无限循环小数，或可表示成几个有理数的和、差、积、商的形式。
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初中数学竞赛知识点归纳
初中数学竞赛知识点归纳一、数的整除（一）如果整数A除以整数B(B≠0)所得的商A/B是整数,那么叫做A被B整除. 0能被所有非零的整数整除.①抹去个位数②减去原个位数的2倍③其差能被7整除。
如1001100－2＝98（能被7整除）又如7007700－14＝686，68－12＝56（能被7整除）能被11整除的数的特征：①抹去个位数②减去原个位数③其差能被11整除如1001100－1＝99（能11整除）又如102851028－5＝1023102－3＝99（能11整除）二、倍数.约数1 两个整数A和B（B≠0），如果B能整除A（记作B｜A），那么A叫做B的倍数，B叫做A的约数。
例如3｜15，15是3的倍数，3是15的约数。
2 因为0除以非0的任何数都得0，所以0被非0整数整除。
0是任何非0整数的倍数，非0整数都是0的约数。
如0是7的倍数，7是0的约数。
3 整数A（A≠0）的倍数有无数多个，并且以互为相反数成对出现，0，±A，±2A，……都是A的倍数，例如5的倍数有±5，±10，……。
4 整数A（A≠0）的约数是有限个的，并且也是以互为相反数成对出现的，其中必包括±1和±A。
例如6的约数是±1，±2，±3，±6。
5 通常我们在正整数集合里研究公倍数和公约数，几正整数有最小的公倍数和最犬的公约数。
6 公约数只有1的两个正整数叫做互质数（例如15与28互质）。
7 在有余数的除法中，被除数＝除数×商数＋余数若用字母表示可记作：A＝BQ＋R，当A，B，Q，R都是整数且B≠0时，A－R能被B整除例如23＝3×7＋2则23－2能被3整除。
三、质数.合数1正整数的一种分类：质数的定义：如果一个大于1的正整数，只能被1和它本身整除，那么这个正整数叫做质数（质数也称素数）。
合数的定义：一个正整数除了能被1和本身整除外，还能被其他的正整数整除，这样的正整数叫做合数。
数学竞赛基础知识整理(1)
数论例题( 2x^3 - 6x^2 + 11x - 6) ÷(x - 1)解：Image:MathEquation.GIF被除数：被除数的未知数应是降幂排列，抽取系数用以计算，但若题目的被除数出现，降幂次数中没有3，则在演算的过程中在该系数的位置上补上0，然后如常计算。
除数：除数中的未知数前的系数有时并不一定会是1，当出现别的系数时，如：3x – 2中的3，我们会把它变做3 (x - 2/3) ，同样以 - 来计算，但当得出结果的时候除余式外全部除以该系数。
∴答：商式Q = 2x^2 - 4x + 7余式R = 1注意：演算时，须紧记末项是余式之系数，即原被除式末项文字之系数。
商式之首项文字必较原被除式之首项文字次数少1，余依齐次式类推。
编辑本段综合除法与因式分解综合除法的依据是因式定理即若(x-a)能整除某一多项式，则(x-a)是这一多项式的一个因式。
用x－b除有理整式f(x)=A0+A1x+A2x^2+…+An-1x^n-1+AnX^n所得的余数为f(b)=a0b+a1b+a2b+…+an-1b+an(余数定理)，若f(b)=0时，f(x)有x－b的因式．用综合除法找出多项式的因式，从而分解因式的方法．例分解因式3x^3-4x^2-13x-6∴原式=(x－3)(3x+2)(x+1).说明：(1)用综合除法试商时，要由常数项和最高次项系数来决定．常数项的因数除以最高次项系数的因数的正负值都可能是除的整除商．上例中常数项是6，最高次项系数是3它们的因式可能是x±1，x±2，x±3，x±6，3x±1，3x±2．试除时先从简单的入手．(2)因式可能重复．编辑本段综合除法的办法另外告诉你一下有关综合除法的计算对这个很有帮助比如(3x^4-6x^3+4x^2-1)÷（x-1）将x-1的常数项-1做除数将被除式的每一项的系数列下来由高幂到低幂排列缺项的系数用零代替将最高项的系数落下来，用除数-1乘以落下的3，得-3，写在第二项-6下，用-6减-3写在横线下（补：若是用x-1=0的解即取x=1作为除数则是用加），再用-1乘以-3的3写在第三项4下，用4减3得1写在横线下一直除...直到最后一项得0所以就有(3x^3-6x^2+4x-1)÷（x-1）=3x^2-3x+1 0横线下的就是商式的每一项系数，而最后的一个就是余式这里商式是3x^2-3x+1，余式是0-1┃3 -6 4 -1 (用1 1┃3 -6 4 -1（-）┃ -3 3 -1 做除数（+ ) ┃ 3 -3 1┗━━━━━ ┗━━━━━3 -3 1 |0 -3 1 |0又如(4x^3-3x^2-4x-1)÷（x+1）1┃4 -3 -4 -1┃ 4 -7 3┗━━━━━4 -7 3|-4所以(4x^3-3x^2-4x-1)÷（x+1）=4x^2-7x+3……-4商式是4x^2-7x+3，余式是-4注意！！这个方法仅用于除式为x-a的形式的多项式除法约数个数法将此数分解质因数，如20=2*2*5就是分解成2、5两个质数的乘积20的约数就有1、2、2*2=4、2*5=10、5、20约数和=（1+2+2*2）*（1+5）=4221的约数和=（1+3）*（1*7）=2824的约数和=（1+2+2*2+2*2*2）*（1+3）对于一个自然数，按照一个数字约数的个数可以将自然数分为质数、合数和1，现在研究的是合数的情况。
数学竞赛基本知识集锦
常用公式由于是讲竞赛，这里就不再重复过于根底的东西，例如六种三角函数之间的转换，两角和与差的三角函数，二倍角公式等等。
但是由于如今的教材中常用公式删得太多，有些还是不能不写。
先从最根底的开始〔这些必须纯熟掌握〕： 半角公式2cos 12sinαα-±= 2cos 12cos αα+±= αααααααcos 1sin sin cos 1cos 1cos 12tan +=-=+-±=积化和差()()[]βαβαβα-++=sin sin 21cos sin ()()[]βαβαβα--+=sin sin 21sin cos ()()[]βαβαβα-++=cos cos 21cos cos ()()[]βαβαβα--+-=cos cos 21sin sin和差化积2cos2sin2sin sin βαβαβα-+=+ 2sin2cos2sin sin βαβαβα-+=-2cos 2cos 2cos cos βαβαβα-+=+ 2sin2sin 2cos cos βαβαβα-+-=- 万能公式ααα2tan 1tan 22sin += ααα22tan 1tan 12cos +-= ααα2tan 1tan 22tan -=三倍角公式()()αααααα+-=-= 60sin sin 60sin 4sin 4sin 33sin 3 ()()αααααα+-=-= 60cos cos 60cos 4cos 3cos 43cos 3二、某些特殊角的三角函数值三、三角函数求值给出一个复杂的式子，要求化简。
这样的题目经常考，而且一般化出来都是一个详细值。
要纯熟应用上面的常用式子，个人认为和差化积、积化和差是竞赛中最常用的，假设看到一些不常用的角，应当考虑用和差化积、积化和差，一般情况下直接使用不了的时候，可以考虑先乘一个三角函数，然后利用积化和差化简，最后再把这个三角函数除下去 举个例子求值：76cos74cos 72cosπππ++ 提示：乘以72sin 2π，化简后再除下去。
数学竞赛知识点总结
数学竞赛知识点总结一、数论1. 质数：质数是指只能被1和自身整除的自然数。
质数有许多特殊的性质，如朗格朗日四平方和定理、费马小定理等。
2. 素数：素数是指只有1和自身两个因数的自然数。
素数具有很多独特的性质，如欧拉公式、狄利克雷定理等。
3. 因数分解：对一个自然数进行因数分解可以得到其所有的素因数，进而可以得到其正因数的性质。
因数分解在解决二元一次方程、求最大公约数、求最小公倍数等问题中有很大的应用。
4. 同余：同余是指两个数的差能够被一个自然数整除。
同余理论是数论中重要的一部分，具有很多重要的性质和推论。
5. 约数和倍数：对一个自然数进行约数的求解可以得到其所有的因数，对一个自然数进行倍数的求解可以得到其所有的倍数。
约数和倍数在编程、数学证明等方面具有广泛的应用。
6. 最大公约数和最小公倍数：最大公约数是指两个数的公因数中最大的一个，最小公倍数是指两个数的公倍数中最小的一个。
最大公约数和最小公倍数在化简分数、约分、求解方程等方面有很多应用。
7. 质因数：一个合数可以通过质因数分解得到其所有的质因数。
质因数具有很多独特的性质，如欧拉函数、莫比乌斯函数等。
8. 模运算：模运算是指把数除以一个正整数后所得的余数。
模运算在密码学、编程等领域有很多应用。
9. 循环小数和无理数：循环小数是一类特殊的无限小数，无理数是指不能写成两个整数的比的数。
循环小数和无理数在解决方程、化简分数等方面有一定的应用。
10. 素数定理和哥德巴赫猜想：素数定理是指素数的分布规律，哥德巴赫猜想是指任何一个大于2的偶数可以被写成两个素数的和。
二、代数1. 多项式：多项式是由若干个单项式相加或相乘而成。
多项式在解方程、插值、二次函数等方面有广泛的应用。
2. 代数方程：代数方程是指含有未知数的等式。
代数方程的求解在计算机、数学证明等领域有很多应用。
3. 进制转换：进制转换是指将一个数从一种进制转换为另一种进制。
进制转换在计算机、密码学等领域有广泛的应用。
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