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高中数学竞赛常用知识汇集
1. 公约数和最大公约数
(1)若c|a1, c|a2, · · · , c|an, 则c称为a1, a2, · · · , an的公约数.
a1, a2, · · · , an的所有公约数中最大的一个称为a1, a2, · · · , an的最大公约数. 记作(a1, a2, · · · , an).
1既不是质数也不是合数. 因此, 正整数集Z+ = {1} {质数} {合数}.
2. 大于1的整数的所有真约数中, 最小的正约数一定是质数. 3. 合数a的最小质约数不大于√a.
4. 质数有无穷多个.
m
5. 不存在这样的整系数多项式f (n) = aini, 使得对任意的自然数n, f (n)都是质数.
2. 整数n(n > 1)的标准分解式为n = m pαi i . 其中pi为质数, αi为正整数, i = 1, 2, · · · , m.
i=1
3. 约数个数定理
设d(n) = 1表示大于1的整数n的所有正约数的个数, n的标准分解式为n = m pαi i , 则
d|n
i=1
m
d(n) = (1 + αi).
i=0
6. 威尔逊(Wilson)定理
p为质数的充分必要条件是(p − 1)! ≡ −1(modp).
4 质因数分解
1. 质因数分解定理(整数的唯一分解定理)
3
每一个大于1的整数都能分解成质因数连乘积的形式, 且如果把这些质因数按照由小到大的顺序排
列(相同因数的乘积写成幂的形式), 这种分解方法是唯一的.
n
n
若m = pαi i , 则ϕ(m) = m
i=1
i=1
1
−
数学高中竞赛复习资料
数学高中竞赛复习资料数学高中竞赛复习资料数学高中竞赛是一项严谨而又具有挑战性的活动，对于参与者来说，备战是必不可少的。
为了帮助大家更好地准备数学高中竞赛，下面将介绍一些复习资料的选择和使用技巧。
一、参考书籍选择一本好的参考书籍是复习的关键。
在市面上有很多经典的数学竞赛参考书，如《数学竞赛辅导丛书》、《高中数学竞赛全套教材》等。
这些书籍内容丰富，难度适中，可以帮助我们系统地复习各个知识点。
此外，还可以参考一些历年的竞赛试题集，如《高中数学竞赛真题解析》等，通过分析历年试题，能更好地了解竞赛的出题思路和考点。
二、网络资源除了纸质书籍，网络资源也是复习的重要途径。
有许多数学竞赛的官方网站提供了大量的复习资料，如中国数学奥林匹克竞赛官方网站、各个省市的数学竞赛官方网站等。
这些网站上有竞赛的历年试题、解析和参考答案，通过做题和学习解析，可以更好地理解各个知识点和解题技巧。
此外，还可以参加一些数学竞赛的在线课程或者观看相关的视频讲解，这些资源能够帮助我们更加深入地理解数学知识。
三、刷题方法在复习过程中，刷题是必不可少的环节。
但是，如何合理地刷题才能达到事半功倍的效果呢？首先，要根据自己的实际情况选择合适的题目难度。
对于初学者来说，可以从简单的题目入手，逐渐增加难度。
其次，要注意分析解题思路和方法，不仅要会做题，还要知道为什么这样做。
可以将解题过程记录下来，遇到不会的题目可以请教老师或者同学，共同探讨解题思路。
此外，还要注意时间控制，模拟竞赛环境进行练习，提高解题速度和应对压力的能力。
四、重点知识点在复习过程中，要重点关注一些常考的知识点。
例如，函数、方程、不等式、数列、概率等。
这些知识点是数学竞赛中的热点，掌握了这些知识点，就能够在竞赛中有更好的发挥。
此外，还要注意掌握一些解题技巧，如巧用数学公式、运用几何图形进行推理等。
这些技巧能够帮助我们更快地解决问题。
五、坚持与总结复习是一个长期的过程，需要坚持和持之以恒。
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文档类资料（非纸质，全部是电子版）：H32.《2009-2017》全国高中数学联赛专题分类资料，纯word版可编辑H31.《清北学堂高中数学联赛模拟题》word高清打印版H30.《上海新星培训讲义》word高清打印版，寒春暑H29.《走向IMO2018》高清打印版H28.《名牌大学学科营与自主招生考试绿卡·物理真题篇（第2版）》超清晰可打印版+流畅版H27.《名牌大学学科营与自主招生考试绿卡·数学真题篇（第2版）》超清晰可打印版+流畅版H26.《多功能题典·高中数学竞赛》WORD可编辑（单墫熊斌）H25.《中等数学增刊2-2018年》高清晰版+流畅版+纯试题版H24.《高中数学联赛模拟试题精选2018》协作体培训教材+24套高联模拟卷高清晰版+流畅版+纯试题版H23.《中等数学增刊2-2016年》高清晰版+流畅版+纯试题版H22-《中等数学增刊1-2018年》高清晰版+流畅版+纯试题版H21-《高中奥数专题讲座》协作体培训用书+24套高联模拟卷高清晰版+流畅版+纯试题版H20-《全国高中数学联赛模拟试题精选》24套模拟卷+7套真题高清晰版+流畅版+纯试题版H19-《中等数学增刊2-2017年》高清晰版+流畅版+纯试题版H18-《2018年高中数学联赛备考手册》高清晰版+流畅版+纯试题版，方便独立测试，H17-《中等数学增刊1》2011、2012、2014、2016、2017高清晰版+流畅版+纯试题版H16-《走向IMO》2011、2013、2016H15.《多功能题典·初中数学》WORD可编辑（带几何画板，超级棒）H14.《2017年爱尖子广东中学生夏令营讲义》高清打印版H13.《高考数学压轴题的通性通法》付彬编著（非常实用）物理、化学竞赛（自招）视频资料以及语文视频网课可以加QQ购买：1694115470。
高中数学竞赛常用知识汇集
其中Ai = {qm + i|m为模, q ∈ Z}, i = 0, 1, · · · , m − 1.
m−1
m−1
所有的Ai(i = 0, 1, · · · , m − 1)满足 Ai = Z, Ai = ∅.
i=0
i=0
4. 完全剩余系
从横m的m个同余类A0, A1, · · · , Am−1中, 每一类Ai取一数ai, 则a0, a1, · · · , am−1叫做模m的一个完 全剩余系(简称模m的完系).
k
(6)若 ai = 0, b能整除a1, a2, · · · , ak中的k − 1个, 则b能整除另一个.
i=1
2 同余 1. 定义 设m为正整数, 若整数a和b被m除的余数相同, 则称a和b对模m同余, 记作a ≡ b(modm). 2. 基本性质 (1)a ≡ b(modm) ⇔ m|(b − a). (2)a ≡ b(modm) ⇔ b = km + a(k ∈ Z). (3)a ≡ a(modm). (4)若a ≡ b(modm), 则b ≡ a(modm).
最简单的模m的完全剩余系是0, 1, · · · , m − 1, 也叫做模m的最小非负完系.
显然m个相继整数构成模m的一个完系.
3 质数与合数
1. 一个大于1的整数, 如果只有1和它本身作为它的约数, 这样的正整数叫做质数(也叫素数); 如果除 了1和它本身之外还有其他的正约数, 这样的正整数叫做合数.
i=1
i=1
i=1
m
· · · , δi为非负整数, i = 1, 2, · · · , m, 则[a1, a2, · · · , an] = prii , 其中ri = max{αi, βi, · · · , δi}.
竞赛数学常用定理
1、勾股定理(毕达哥拉斯定理)2、射影定理(欧几里得定理)3、三角形的三条中线交于一点，并且，各中线被这个点分成2：1的两部分4、四边形两边中心的连线的两条对角线中心的连线交于一点5、间隔的连接六边形的边的中心所作出的两个三角形的重心是重合的。
6、三角形各边的垂直一平分线交于一点。
7、从三角形的各顶点向其对边所作的三条垂线交于一点8、设三角形ABC的外心为O，垂心为H，从O向BC边引垂线，设垂足不L，则AH=2OL9、三角形的外心，垂心，重心在同一条直线上。
10、(九点圆或欧拉圆或费尔巴赫圆)三角形中，三边中心、从各顶点向其对边所引垂线的垂足，以及垂心与各顶点连线的中点，这九个点在同一个圆上，11、欧拉定理：三角形的外心、重心、九点圆圆心、垂心依次位于同一直线(欧拉线)上12、库立奇*大上定理：(圆内接四边形的九点圆) 圆周上有四点，过其中任三点作三角形，这四个三角形的九点圆圆心都在同一圆周上，我们把过这四个九点圆圆心的圆叫做圆内接四边形的九点圆。
13、(内心)三角形的三条内角平分线交于一点，内切圆的半径公式：r=(s-a)(s-b)(s-c)ss为三角形周长的一半14、(旁心)三角形的一个内角平分线和另外两个顶点处的外角平分线交于一点15、中线定理：(巴布斯定理)设三角形ABC的边BC的中点为P，则有AB2+AC2=2(AP2+BP2)16、斯图尔特定理：P将三角形ABC的边BC内分成m:n，则有n×AB2+m×AC2=(m+n)AP2+mnm+nBC217、波罗摩及多定理：圆内接四边形ABCD的对角线互相垂直时，连接AB中点M和对角线交点E的直线垂直于CD18、阿波罗尼斯定理：到两定点A、B的距离之比为定比m:n(值不为1)的点P，位于将线段AB分成m:n的内分点C和外分点D为直径两端点的定圆周上19、托勒密定理：设四边形ABCD内接于圆，则有AB×CD+AD×BC=AC20、以任意三角形ABC的边BC、CA、AB为底边，分别向外作底角都是30度的等腰△BDC、△CEA、△AFB，则△DEF是正三角形，21、爱尔可斯定理1：若△ABC和三角形△都是正三角形，则由线段AD、BE、CF的重心构成的三角形也是正三角形。
高中数学竞赛讲义_免费_
4
C1 A I C1 B = C1 ( A U B).
证明
3 ， 余 读者自 完成
则 x ∈ A， 且 x ∈ B 或 x ∈C ， 所 1 若 x ∈ A I (B U C ) ，
x ∈ ( A I B) 或 x ∈ ( A I C ) ，
x ∈ ( A I B) U ( A I C )
之，x ∈ ( A I B ) U ( A I C ) ， 则 x ∈ ( A I B) 或 x ∈ ( A I C ) ，
k 个子集中
，否则，若 在 k 个子
A，并设 A I A1 = ∅ ，则 A1 ⊆ C1 A ， 而可
集中再添加 C1 A ，
知矛盾，所
k ≥ 2 n −1
综 ， k = 2 n −1
6．竞赛常用方法 例 题 定理 4 容斥原理 用 A 表示集合 A 的元素个数，则 A U B = A + B − A I B ,
的一元一次方程 一元 次方程的解法 含 母系数的一元一次 等式的解法，一元 次 等式的解法 含绝对值的一元一次 等式 简单的多元方程组 简单的 定方程 组 4 函数 次函数在给定 间 的最值，简单 函数的最值 含 母系数的 次函数 5 几何 角形中的边角之间的 等关系 面 等 换 角形中的边角之间的 等关系 面 等 换 角形的心 内心 外心 垂心 心 性质 相似形的概念和性质 圆，四点共圆，圆幂定理 四种命题 关系 6 逻 推理 题 抽屉原理 简单 用 简单的组合 题简单的逻 推理 题， 证法 极端原理的简 单 用 枚举法 简单 用
A U B = A, A I C = C ，求 a, m.
解 依题设， A = {1,2} ，再 因 因
x 2 − ax + a − 1 = 0 解得 x = a − 1 或 x = 1 ，
最新高中数学趣味竞赛题集锦
最新高中数学趣味竞赛题集锦最新高中数学趣味竞赛题集锦一1 、撒谎的有几人5个高中生有，她们面对学校的新闻采访说了如下的话：爱：“我还没有谈过恋爱。
” 静香：“爱撒谎了。
”玛丽：“我曾经去过昆明。
” 惠美：“玛丽在撒谎。
”千叶子：“玛丽和惠美都在撒谎。
” 那么，这5个人之中到底有几个人在撒谎呢?2、她们到底是谁有天使、恶魔、人三者，天使时刻都说真话，恶魔时时刻刻都说假话，人呢，有时候说真话，有时候说假话。
穿黑色衣服的女子说：“我不是天使。
” 穿蓝色衣服的女子说：“我不是人。
” 穿白色衣服的女子说：“我不是恶魔。
”那么，这三人到底分别是谁呢?3、半只小猫听说祖父家的波斯猫生了好多小猫，喜欢猫的我兴高采烈地来到祖父家。
可是，只剩下1只小猫了。
“一共生了几只小猫呀?” “猜猜看，要是猜中了，就把剩下的这只小猫给你。
附近的宠物店听说以后，马上来买走了所有小猫的一半和半只。
” “半只?”“是啊，然后，邻居家的老奶奶无论如何都要，所以就把剩下的一半和另外半只给了她。
这就是只剩下1只小猫的原因。
那么你想想看，一共生了几只小猫呢?4、被虫子吃掉的算式一只爱吃墨水的虫子把下图的算式中的数字全部吃掉了。
当然，没有数字的部分它没有吃(因为没有墨水)。
那么，请问原来的算式是什么样子的呢?5巧动火柴用16根火柴摆成5个正方形。
请移动2根火柴，使正形变成4。
6、折过来的角把正三角形的纸如图那样折过来时，角?的度数是多少度?7、星形角之和求星形尖端的角度之和。
8、啊!双胞胎?丈夫临死前，给有身孕的妻子留下遗言说，生的是男孩就给他财产的 2/3 、如果生的是女孩就给他财产的 2/5 、剩下的给妻子。
结果，生出来的是孪生兄妹——双胞胎。
这可难坏了妻子，3个人怎么分财产好呢?9、赠送和降价哪个更好?1罐100元的咖啡，“买5罐送1罐”和“买5罐便宜20%”这两种促销方法哪一种好呢?还是两种方法一样好?10、折成15度用折纸做成45度很简单是吧。
数学竞赛专题训练精选100题及答案
数学竞赛专题训练精选100题及答案题目1：整数方程设a和b是满足以下方程的整数：5a+3b=25。
求a和b的所有整数解。
题目2：几何题在直角三角形XYZ中，∠Z为直角，XY=10，XZ=6。
点W是边XZ上的一个点，使得ZW=8。
求∠XWY的大小。
题目3：排列组合有8个不同的水果和4个不同的盘子，你打算将这些水果放在这些盘子中。
每个盘子至少有一个水果，一共有多少种不同的分配方式？题目4：函数问题考虑函数g(x)=x^4-4x^3+6x^2-4x+1。
求g(x)的最小值以及对应的x值。
题目5：概率题一枚硬币被抛掷3次。
计算至少2次出现正面的概率。
题目6：代数方程解方程：2x^2-5x-12=0。
题目7：几何问题在平面上，有一个正方形ABCD，边长为6。
点E在边AB上，离点A的距离为2。
点F在边BC上，离点B的距离为3。
求线段EF的长度。
题目8：概率问题一副扑克牌中随机抽取5张牌，计算至少有一对的概率。
题目9：代数方程解方程：3(x-2)=5(x+1)。
题目10：几何问题在直角三角形PQR中，∠R为直角，PQ=12，PR=15。
点S是边PQ上的一个点，使得QS= 8。
求∠PSR的大小。
题目11：整数方程设m和n是满足以下方程的整数：4m+7n=38。
求m和n的所有整数解。
题目12：几何题在平行四边形ABCD中，AB=8，BC=6，∠A=120°。
求BD的长度。
题目13：排列组合有10个不同的音乐家，其中有5位小提琴手和5位钢琴家。
你打算在一排座位上让他们坐下，要求相邻的座位上不能坐同一种乐器的音乐家。
一共有多少不同的座位安排方式？题目14：函数问题考虑函数h(x)=x^2-6x+9。
求h(x)的最小值以及对应的x值。
题目15：概率题一副扑克牌中随机抽取7张牌，计算至少有两张牌相同点数的概率。
题目16：代数方程解方程：2(x+3)=4(x-1)。
题目17：几何问题在等腰三角形MNO中，∠N=∠O，NO=10，MN=6。
高中数学趣味知识竞赛题库
高中数学趣味知识竞赛题库一、选择题（1 - 10题）1. 设集合A={xx^2-3x + 2=0}，B={xax - 2=0}，若B⊆ A，则a所有可能的值构成的集合为（）- A. {1,2}- B. {1,(2)/(3)}- C. {0,1,2}- D. {0,1,(2)/(3)}- 解析：- 先求解集合A，对于方程x^2-3x + 2 = 0，因式分解得(x - 1)(x - 2)=0，解得x = 1或x = 2，所以A={1,2}。
- 因为B⊆ A，当B=varnothing时，ax-2 = 0无解，此时a = 0；当B≠varnothing时，若x=(2)/(a)=1，则a = 2；若x=(2)/(a)=2，则a = 1。
所以a所有可能的值构成的集合为{0,1,2}，答案是C。
2. 函数y=log_a(x + 3)-1(a>0,a≠1)的图象恒过定点A，若点A在直线mx+ny + 1 = 0上，其中mn>0，则(1)/(m)+(2)/(n)的最小值为（）- A. 8- B. 6- C. 4- D. 10- 解析：- 对于函数y=log_a(x + 3)-1，令x+3 = 1，即x=-2，此时y=-1，所以定点A(-2,-1)。
- 因为点A在直线mx + ny+1 = 0上，所以-2m - n+1 = 0，即2m + n = 1。
- 又因为mn>0，所以m>0,n>0。
- 则(1)/(m)+(2)/(n)=(2m +n)((1)/(m)+(2)/(n))=2+(4m)/(n)+(n)/(m)+2=(4m)/(n)+(n)/(m)+4。
- 根据基本不等式(4m)/(n)+(n)/(m)≥slant2√(frac{4m){n}×(n)/(m)} = 4，当且仅当(4m)/(n)=(n)/(m)时等号成立。
- 所以(1)/(m)+(2)/(n)≥slant4 + 4=8，答案是A。
数学竞赛25个定理
数学竞赛25个定理1. 费马大定理：对于n>2时，方程a^n+b^n=c^n没有正整数解。
2. 勾股定理：直角三角形的两条直角边的平方和等于斜边的平方。
3. 柯西不等式：对于n维向量a和b，有|a·b|≤||a||·||b||，其中||a||和||b||分别表示向量a和b的模长。
4. 无理数的存在性：根号2是一个无理数，即不可表示为有理数的分数形式。
5. 威尔逊定理：如果p是质数，则(p-1)!+1能够被p整除。
6. 欧拉公式：对于任意实数x，有e^(ix)=cosx+isinx。
7. 线性规划：在一定条件下，线性规划问题可以通过线性规划算法有效地求解。
8. 奥托-康托定理：对于任意正整数n和正整数m，可以将1~n的全排列映射到1~m的m进制数中。
9. 科赫曲线：科赫曲线是一条典型的分形曲线，具有无限细节和自相似性质。
10. 柯西-黎曼方程：复函数必须满足柯西-黎曼方程，才能够进行解析运算。
11. 供求关系：供求关系是微观经济学中的一个基本概念，描述了在市场中商品的价格和数量之间的关系。
12. 投影定理：向量b在向量a的方向上的投影等于向量a与b的内积除以向量a的模长。
13. 黎曼假设：黎曼猜想认为，所有非平凡的自然数零点都在一条竖线上，即1/2+it，其中t为实数。
14. 矩阵行列式：矩阵的行列式可以表示为对角线上的乘积减去反对角线上的乘积。
15. 平均值不等式：对于正实数a和b，有(a+b)/2≥(ab)^(1/2)。
16. 裴蜀定理：对于整数a和b，存在整数x和y，使得ax+by=(a,b)，其中(a,b)表示a和b的最大公约数。
17. 黑斯托夫定理：将一个整数的各位数字全部平方后求和所得到的数，如果最终能够得到1，则该数为幸福数；否则就会进入一个循环，永远无法得到1。
18. 莫比乌斯函数：莫比乌斯函数是数论中一种重要的函数，可以用于求解许多数论问题。
19. 皮克定理：计算凸多边形的面积需要知道其内部的点数和边上的点数，皮克定理给出了一种简单的求解方法。