同济版高等数学件曲面及其方程

2?2 ? ?y ? 3?2 ?
?z ?
4?2
?
1 ,
2
所求方程为
?? x ? 2 ??2 ? ?y ? 1?2 ? ?? z ? 4 ??2 ? 116 .
? 3?
? 3? 9
例 3 已知 A(1,2,3)， B(2,? 1,4)，求线段 AB的垂直平分面 的方程.
解 设 M ( x, y, z)是所求平面上任一点， 根据题意有 | MA|? | MB |,
z1 C
y1
y
x
将 z ? z1 , y1 ? ?代入x 2 ? y2
? ? 得方程 S : f ? x2 ? y2 , z ? 0,
f ( y1 , z1 ) ? 0
即得 yoz坐标面上的已知曲线 f ( y, z) ? 0绕z轴旋转一周
的旋转曲面方程.
由此可知：在曲线 C 的方程 f ( y, z) ? 0中将 y改成
? x2
? ?
a
2
?
y2 b2
?
1
?? z ? 0
绕 y 轴旋转一周
y
o
a
x
上题双曲线
绕 y 轴旋转一周
得单叶旋转双曲面 x2 ? y2 ? z2 ? 1 a2 b2 a2
z
y
o
a
x
旋转锥面
x
两条相交直线
?? x 2 ?a2
?
y2 =0
b2
?? z = 0
绕 x 轴一周
o
y
旋转锥面
两条相交直线
?? x 2 ?a2
?
y2 b2
=0
?? z = 0
绕 x 轴一周
.
x
z
o
y
旋转锥面 两条相交直线
?? x 2 ?a2
?
?? z = 0
y2 b2 = 0
绕 x 轴一周
得旋转锥面
x2 ? a2
y2 ? z2 b2 .
?0
.
z
o
y
旋转抛物面
z
抛物线
? y2 ?
?
az
? x? 0
绕 z 轴一周
o
z
特殊地：球心在原点时方程为 x 2 ? y2 ? z2 ? R2
例 2 求与原点 O及 M 0 (2,3,4)的距离之比为 1 : 2的点的
全体所组成的曲面方程 .
解 设 M ( x, y, z)是曲面上任一点，根据题意有 | MO | ? 1 ,
| MM 0 | 2
?x
?
x2 ? y2 ? z2
?x ? 1?2 ? ?y ? 2?2 ? ?z ? 3?2 ? ?x ? 2?2 ? ?y ? 1?2 ? ?z ? 4?2 ,
化简得所求方程 2x ? 6 y ? 2z ? 7 ? 0.
例4 方程 z ? ( x ? 1)2 ? 的( y图? 2形)2 是? 1怎的？
解 根据题意有 z ? ?1
例：双叶旋转双曲面
hyperboloid of revolution of two sheet s
双曲线
?? ?
x a
2 2
?
y2 b2
?1
?? z ? 0
绕 x 轴旋转一周
x
0
y
例双叶旋转双曲面
hyperboloid of revolution Of two sheets
双曲线
?? ?
x2 a2
z
用平面 z ? c去截图形得圆：
( x ? 1)2 ? ( y ? 2)2 ? 1 ? c (c ? ? 1)
c
o
y
x
当平面 z ? c上心在(1,2, c)，半径为 1 ? c
半径随 c的增大而增大 .
c
图形上不封顶，下封底．
o
y
x
以上几例表明研究空间曲面有 两个基本问题 ： （1）已知曲面作为点的轨迹时，求曲面方程 ．
? x2 ? z2 ，便得曲线C 绕 y轴旋转所成的旋转 曲面
方程为
f ( y,? x 2 ? z2 ) ? 0
同理：xoz平面上的曲线 f ( x, z) ? 0绕 x 轴旋转所成的旋转曲
面方程为 f ( x,? y2 ? z2 ) ? 0， xoy平面上的曲线 f(x,y)? 0
绕 y 轴旋转所成的旋转曲面方程为 f (? x2 ? z2, y) ? 0
（讨论旋转曲面） （2）已知坐标间的关系式，研究曲面形状．
（讨论柱面、二次曲面）
二、旋转曲面
定义 以一条平面曲线 绕其平面上的一条直线 旋转一周所成的曲面称 为旋转曲面.
这条定直线叫旋转
曲面的轴．
播放
旋转曲面的方程
曲线 C
绕z 轴
? f ( y, z) ? 0
? ?x
?
0
z
C o
y
旋转曲面的方程
旋转抛物面
抛物线
? ? ?
y2 x
? ?
az 0
绕 z 轴一周
.
o
x
旋转抛物面
抛物线
? ? ?
y2 x
? ?
az 0
绕 z 轴一周
生活中见过这个曲面吗？ z 得旋转抛物面
z ? x2 ? y2 a
.
o
y
x
例
卫星接收装置
.
直线 L绕另一条与 L相交的直线旋转一周，所得
旋转曲面叫 圆锥面．两直线的交点叫圆锥面的 顶点，
曲线 ? f ( y, z) ? 0
C
? ?
x
?
0
绕 z轴
x
z
C o
y
旋转曲面的方程
曲线 C
? f ( y, z) ? 0
? ?
x
?
0
绕 z轴
旋转一周得旋转曲面 S
? M(x,y,z) ? S
S
f (y1, z1)=0
z1 ? z
| y1 |? MP ? x 2 ? y2
z
P M
z
o
N (0, y1 , z1 ) .
以下给出几例常见的曲面 . 例 1 建立球心在点 M 0 ( x0 , y0 , z0 )、半径为R 的球面方程.
解 设 M ( x, y, z)是球面上任一点，根据题意有 | MM 0 |? R
即 ?x ? x0 ?2 ? ?y ? y0 ?2 ? ?z ? z0 ?2 ? R 所求方程为 ?x ? x0 ?2 ? ?y ? y0 ?2 ? ?z ? z0 ?2 ? R2
一、曲面方程的概念
曲面的实例： 水桶的表面、台灯的罩子面等．
曲面在空间解析几何中被看成是点的几何轨迹．
曲面方程的定义：
如果曲面 S 与三元方程 F ( x, y, z) ? 0有下述关系：
（1）曲面 S 上任一点的坐标都满足方程； （2）不在曲面 S 上的点的坐标都不满足方程； 那么，方程 F ( x, y, z) ? 0 就叫做曲面 S 的方程，而 曲面 S 就叫做方程的图形．
两直线的夹角 ?
???0
?
?
?
? 2
???叫圆锥面的 半顶角．
例 5 试建立顶点在坐标原点，旋转轴为 z轴，半顶
?
y2 b2
?1
?? z ? 0
绕 x 轴旋转一周
x
z
0
y
双曲线
?? ?
x2 a2
?
y2 b2
?1
?? z ? 0
绕 x 轴旋转一周
得双叶旋转双曲面
x2 a2
?
y2 ? z2 b2
?. 1
x
z
0
y
例. 单叶旋转双曲面
hyperboloid of revolution
上题o双f o曲n线e sheet