3-1高等数学同济大学第六版本
同济第六版高等数学教材pdf文档
同济第六版高等数学教材pdf文档同济大学第六版高等数学教材PDF文档数学是一门广泛应用于各个领域的学科，也是很多学生在学习过程中遇到的难题之一。
为了提供更好的教学资源和辅助学习工具，同济大学编写了第六版高等数学教材，并提供了PDF文档的电子版本供学生使用。
同济大学的高等数学教材是一本经典的教材，在教育界具有很高的声誉。
第六版的教材经过了全面的修订和更新，内容更加丰富，涵盖了高等数学的各个分支和重要概念。
教材的编写者是经验丰富的教授和专家，他们在数学教育领域拥有广泛的知识和经验。
PDF文档是一种电子文档格式，与传统的纸质书籍相比，具有很多优势。
首先，PDF文档可以在电脑、平板电脑、手机等多种设备上进行阅读，方便学生随时随地进行学习。
其次，PDF文档具有搜索功能，学生可以通过关键词快速查找到需要的知识点，提高学习效率。
此外，PDF文档还可以进行标注和批注，学生可以在文档中进行重要内容的标记和笔记，方便复习和回顾。
同济大学提供高等数学教材的PDF文档，为学生提供了便捷的学习资源。
学生可以通过在同济大学官方网站或其他合法渠道进行下载，获取到完整的教材内容。
同时，为了方便学生学习，同济大学还提供了答案和解析的附录，学生可以通过对照答案检查自己的学习情况，并理解解题思路和方法。
在使用同济大学高等数学教材的PDF文档时，我们需要注意以下几点。
首先，由于该教材是版权所有，学生应该遵守版权法律的规定，不得非法传播和使用。
其次，学生应该认真阅读教材的内容，根据自己的学习进度和需要进行学习和复习。
此外，如果学生在学习过程中遇到困难或问题，应该及时向老师和同学寻求帮助，共同解决问题。
综上所述，同济大学第六版高等数学教材的PDF文档是学生学习高等数学的重要资源。
通过利用这一资源，学生可以更加便捷地学习和理解数学知识，提高数学水平。
但同时也要注意合法使用教材，遵守版权法律的规定。
希望同济大学的高等数学教材能够帮助到更多的学生，促进他们在数学学习中取得更好的成绩。
同济大学数学系《高等数学》(第6版)上册笔记和课后习题(含考研真题)详解-微分中值定理与导数的应用(
在带有佩亚诺型余项的泰勒公式中，如果取 x0＝0，则有带有佩亚诺型余项的麦克劳林 公式：
。 如 果 存 在 正 实数 M 使得 区 间 （ -r， r ） 里 的任意 x 都 有
，如果当 n 趋向于无穷大时，
，则
，那么 。
可得近似公式：
。
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四、函数的单调性 微分中值定理，强调了函数值与导数之间的关系。这部分主要介绍如何通过函数的导数 来判定函数的单调性或凹凸性等性质。 1．单调性的判定 【定理】设函数 y＝f（x）在[a，b]上连续，在（a，b）内可导。 （1）如果在（a，b）内 f＇（x）＞0，那么函数 y＝f（x）在[a，b]上单调增加； （2）如果在（a，b）内 f＇（x）＜0，那么函数 y＝f（x）在[a，b]上单调减少； 如果把这个判定法中的闭区间换成其他各种区间（包括无穷区间），那么结论也成立。 这是函数单调性判定的一个最基本也是最重要的法则。
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那么在（a，b）内至少有一点 ε，使等式
成立。
拉格朗日中值公式是柯西中值公式的特殊形式。
二、洛必达法则 洛必达法则在求函数极限过程中，有重要作用，在考研试题中也经常出现。一般，洛必 达法则针对 或 形式的极限公式。下面我们主要介绍相关定理及引入一些例题，方便读 者更进一步理解洛必达法则的应用。 1．x→a 【定理】设 （1）当 x→a 时，函数 f（x）及 F（x）都趋于零； （2）在点 a 的某去心邻域内，f＇（x）及 F＇（x）都存在且 F＇（x）≠0；
（3）Biblioteka 存在（或为无穷大），那么
。
高等数学同济第六版教材pdf
高等数学同济第六版教材pdf 高等数学是大学理工科专业中必修的重要课程之一，对于培养学生的逻辑思维和分析问题的能力具有重要意义。
而同济大学的《高等数学》第六版教材在教学界具有很高的声誉和影响力。
对于学习这门课程的学生来说，拥有一本全面且详细的教材十分重要。
在这里，我将介绍并推荐同济第六版教材的PDF版本，帮助大家更好地学习高等数学。
第一部分：教材简介同济大学的《高等数学》第六版教材由同济大学出版社出版，作者为王立平等。
这本教材共分为上下两册，内容涵盖了高等数学的基础知识以及一些较为深入的内容。
教材的编写风格通俗易懂，逻辑清晰，注重理论与实践相结合。
并且，该教材还融入了一些生活中的实际问题，帮助学生将数学理论应用于实际情境中。
第二部分：教材内容概览《高等数学》第六版教材共包含十章内容，分别是函数与极限、微分学、微分中值定理与导数的应用、不定积分、定积分与柯西公式、定积分应用、微分方程、无穷级数、向量代数与空间解析几何、多元函数微分学与多元函数积分学。
每章内容都有详细的讲解和大量的习题，帮助学生巩固知识并提高解题能力。
第三部分：PDF版本介绍同济大学的《高等数学》第六版教材的PDF版本是在线阅读和下载的电子书籍。
相比于纸质版教材，PDF版本有以下几个优点：1. 方便携带：由于PDF版本可以保存在电子设备中，学生可以随时随地进行学习，解决了携带纸质教材的不便。
2. 搜索功能：PDF版本具有搜索功能，可以快速定位特定的知识点或者习题，提高学习效率。
3. 多媒体支持：PDF版本可以嵌入图片、音频和视频等多媒体元素，使学习过程更加生动有趣。
4. 环保节约：PDF版本无需印刷和运输，节约了纸张资源，符合现代社会的可持续发展理念。
第四部分：获取PDF版本方法要获取同济大学《高等数学》第六版教材的PDF版本，可以通过以下途径进行：1. 在线教育平台：许多在线教育平台提供免费或付费的电子教材下载服务，学生可以登录平台并搜索《高等数学》第六版教材进行获取。
高等数学主要版本教材
高等数学主要版本教材高等数学作为大学的一门基础课程，对于学生的数学素养和逻辑思维能力的培养具有重要意义。
不同于中学的数学教学，高等数学的内容更加深入和抽象，因此教材的选择对于学生的学习效果具有决定性的影响。
本文将就高等数学主要版本教材进行探究和分析，并提出一些建议。
一、教材一：《高等数学》（第六版），同济大学出版社同济大学出版社的《高等数学》（第六版）是目前国内高等数学教材中最主要的版本之一。
该教材以数学分析为主线，全面系统地阐述了高等数学的基本概念、理论和方法。
教材内容丰富，涵盖了微积分、线性代数、概率统计等多个领域，并且难度层次适宜，能够满足大多数高校本科数学专业的教学需求。
该教材的编写特点是注重理论与实践的结合。
每一章的开始都有一幅生活中的实例，通过具体问题引入数学概念和方法，增强了学生的兴趣和理解。
同时，教材注重基本概念的讲解和推理证明的引导，可以帮助学生建立扎实的数学基础和逻辑思维能力。
二、教材二：《数学分析》（第二版），高等教育出版社高等教育出版社的《数学分析》（第二版）是在国内多所高校使用的一本主要版本教材。
该教材注重数学分析的方法和技巧，以及概念的严密性和推导的准确性。
教材所涉及的内容包括微积分、级数、向量和多元函数等，并对这些概念和方法进行了详细的阐述。
教材的编写风格注重推导和证明的完整性，对于数学公式和定理的推导过程进行了详细的描述和解释，能够帮助学生建立起严谨的数学思维和证明能力。
此外，教材还提供了大量的练习题和例题，能够帮助学生巩固所学的知识并培养解决实际问题的能力。
三、教材三：《高等数学》（第七版），人民教育出版社人民教育出版社的《高等数学》（第七版）是一本经典的高等数学教材，深受广大学生和教师的喜爱。
该教材继承了前几版教材的特点，强调数学思维、积累和应用，通过具体的应用问题引导学生掌握数学分析的基本方法。
该教材的编写风格干练简练，语言通俗易懂，条理清晰，符合大学生的学习习惯。
第六版高等数学同济版教材
第六版高等数学同济版教材第一章函数与极限函数是数学中的一种基本概念，描述了一种输入和输出之间的关系。
在高等数学中，函数的概念被广泛应用于各个分支领域，如微积分、线性代数等。
本章将介绍函数的定义、性质以及与极限的关系。
1.1 函数的定义函数是一种映射关系，将一个集合的元素映射到另一个集合。
在数学中，常用符号表示函数，如f(x)，其中x为自变量，f(x)为对应的函数值。
函数的定义包括定义域、值域和对应关系。
1.2 函数的性质函数具有多个性质，如奇偶性、周期性、单调性等。
奇偶性指函数关于原点的对称性，周期性指函数在一定区间内重复出现的性质，单调性指函数随自变量变化的方向性。
1.3 极限的概念极限是函数与自变量趋于某个值时的特殊性质。
在同济版教材中，极限的定义包括数列极限和函数极限。
数列极限是指数列中的数值随着序号的增加逐渐接近某个值，函数极限是指函数在某个点附近的取值逐渐趋近于某个值。
第二章一元函数微分学一元函数微分学是高等数学中的重要分支，涵盖了函数的导数与微分以及相关应用。
本章将介绍导数的定义、运算法则以及一些典型函数的导数计算方法。
2.1 导数的定义导数描述了函数在某一点附近的变化率，可以理解为函数曲线在该点处的切线斜率。
导数的定义包括了函数的极限和斜率的概念，可以通过极限计算得到。
2.2 导数的运算法则导数具有多个运算法则，如和差法则、乘法法则、链式法则等。
这些法则用于简化函数导数的计算步骤，提高计算效率。
2.3 典型函数的导数计算一些常见函数的导数计算方法被广泛应用于微分学中。
如幂函数、指数函数、对数函数等，它们的导数计算方法需要掌握并灵活运用。
第三章函数的应用函数的应用十分广泛，可以用于解决实际问题、描述自然现象以及进行科学建模等。
本章将介绍一些常见的函数应用领域，并探讨如何将数学理论与实际问题相结合。
3.1 函数建模函数建模是将实际问题转化为数学模型的过程，通过构建适当的函数关系，描述问题的规律和特征。
高等数学教材六版同济大学
高等数学教材六版同济大学高等数学是大学阶段数学教育的重要组成部分，其教材的选择对于学生的学习和掌握数学知识具有至关重要的影响。
同济大学出版社出版的《高等数学》教材第六版是在前几版的基础上进行了全面的修订和更新。
本文将从教材在内容设计、语言表达和教学方法等方面的特点进行探讨，以及对于教学效果的评价。
一、内容设计《高等数学》教材六版同济大学在内容设计上力求科学系统、结构完整、层次清晰。
教材按照数列与极限、微积分、多元函数与微积分、曲线积分与曲面积分、常微分方程等模块进行划分，每个模块下又有多个章节，以确保学生可以按照系统的顺序学习和掌握知识。
同时，教材还减少了一些难度较大或过于专业的内容，根据当前数学教育的需求和学生的实际情况进行了适度的精简。
二、语言表达教材的语言表达是影响学生理解和掌握知识的重要因素。
《高等数学》教材六版同济大学在语言表达上力求准确简明、通俗易懂。
教材使用了通俗的语言，避免过多的数学符号和专业名词，力求让学生能够轻松理解和消化知识。
同时，教材还合理设置了很多例题和习题，通过具体实例的引导，帮助学生更好地理解和应用所学的数学知识。
三、教学方法《高等数学》教材六版同济大学在教学方法上强调理论联系实际、因材施教。
教材在每个章节都融入了大量的实际问题和应用背景，旨在帮助学生理解数学知识与现实生活的联系。
此外，教材还提供了一些解题技巧和思维方法，帮助学生培养良好的数学思维和解决问题的能力。
同时，教材还针对不同学生的学习特点和水平，设置了不同难度和类型的习题，以巩固和提高学生对于知识的掌握程度。
评价《高等数学》教材六版同济大学作为一种教学工具，在教学实践中受到了广大师生的肯定。
教材的内容设计合理，覆盖了高等数学的各个重要知识点，层次清晰，条理清楚。
同时，教材的语言表达简明通俗，容易理解，符合学生的接受水平。
教材提供的大量例题和习题，为学生的巩固和提高提供了可行的途径。
此外，教材还注重培养学生的数学思维和问题解决能力，增强了学生对数学学科的兴趣和掌握能力。
高等数学同济六版教材
高等数学同济六版教材高等数学是大学数学教育的重要组成部分，而同济大学编写的《高等数学》六版教材则是其中备受瞩目的经典之作。
本文将通过对高等数学同济六版教材的介绍和评价，帮助读者更好地了解和选择这本教材。
一、教材概述高等数学同济六版教材是针对大学本科高等数学教学而编写的一套教材系列，该教材由同济大学数学系编写并出版。
全套教材共分为上下两册，涵盖了数学分析、微分方程、空间解析几何、多元函数微积分等课程内容。
这套教材的编写立足于数学基本概念和基本原理的讲解，注重培养学生的数学思维和解题能力。
二、教材特点1. 系统性和完整性：高等数学同济六版教材从数学的基础概念开始，循序渐进地引入各个数学分支的知识。
教材内容结构合理，章节之间有着明确的逻辑关系，构成了一个科学完整的数学知识体系。
2. 知识清晰和逻辑性：教材在讲解数学知识时，注重概念的明确解释和理论的准确阐述。
数学推导和证明的过程详细清晰，逻辑性强，有助于学生深入理解数学的基本原理和方法。
3. 难度适中和实用性：教材在难度控制上适中，既考虑了数学基础的夯实，又具备一定的拓展性和深入性。
教材中融入了大量的实例和应用问题，使数学理论与实际问题相结合，提高了学生解决实际问题的能力。
4. 纸质优良和版式美观：高等数学同济六版教材采用了优质的纸张和印刷技术，使阅读体验更加舒适。
同时，教材的版式设计简洁美观，重点内容和例题清晰突出，方便学生查阅和理解。
三、教材的使用建议1. 学习过程中的配套教材：高等数学同济六版教材是一本经典教材，但在学习过程中不可避免地会遇到难点和疑惑。
此时，学生可以配套使用一些高等数学的辅导教材，如习题集、解题指南等，以巩固和加深对教材内容的理解。
2. 多做习题和实例题：教材的每一章都附有大量的习题和实例题，在学习过程中应主动参与，积极完成习题和实例题的练习，以提高数学思维和解题能力。
3. 多使用参考资料：除了教材本身，学生还可以查阅一些高等数学的参考资料和网络课程，扩展自己的数学知识面，了解更多的数学应用场景和问题解决方法。
高等数学第六版上下册全同济大学出版社
B ABAc
y
特例: R R 记 R2
为平面上的全体点集
高等数学第六版上下册全同济大学 出版社
B AB
OA x
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二、 映射
引例1.
某校学生的集合
学号的集合
按一定规则查号
某教室座位
某班学生的集合
的集合
按一定规则入座
高等数学第六版上下册全同济大学 出版社
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引例2.
引例3.
(点集) (点集)
向 y 轴投影
高等数学第六版上下册全同济大学 出版社
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定义4. 设 X , Y 是两个非空集合, 若存在一个对应规
则 f , 使得
有唯一确定的
与之对应, 则称
f 为从 X 到 Y 的映射, 记作 f : X Y.
引例2
高等数学第六版上下册全同济大学 出版社
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例1. 海伦公式
(满射)
例2. 如图所示,
对应阴影部分的面积
则在数集
自身之间定义了一种映射 (满射)
例3. 如图所示, 则有 r
高等数学第六版上下册全同济大学 出版社
(满射)
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说明:
映射又称为算子. 在不同数学分支中有不同的惯用
y 1 x
值域 f (D) [0, ) y 2 x
f
(Leabharlann 1 2)21 2
2
O
f
(
1 t
)
11 , t
2, t
0t 1 t 1
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因此确有 使
3对函数f(x)sinx及F(x)xcosx在区间 上验证柯西中值定理的正确性
解因为f(x)sinx及F(x)xcosx在区间 上连续在 可导且F(x)1sinx在 内不为0所以由柯西中值定理知至少存在一点 使得
令 即
化简得 易证 所以 在 内有解即确实存在 ,使得
因为nbn1(ab)nn1(ab)nan1(ab)
所以nbn1(ab)anbnnan1(ab)
10设ab0证明
证明设f(x)lnx则f(x)在区间[ba]上连续在区间(ba)内可导由拉格朗日中值定理存在(ba)使
f(a)f(b)f()(ab)即
因为ba所以
即
11证明下列不等式
(1)|arctanaarctanb||ab|
故
5不用求出函数f(x)(x1)(x2)(x3)(x4)的导数，说明方程f(x)0有几个实根并指出它们所在的区间
解由于f(x)在[12]上连续在(12)内可导且f(1)f(2)0所以由罗尔定理可知存在1(12)使f(1)0同理存在2(23)使f(2)0存在3(34)使f(3)0显然1、2、3都是方程f(x)0的根注意到方程f(x)0是三次方程它至多能有三个实根现已发现它的三个实根故它们也就是方程f(x)0的全部根
(2)当x1时exex
证明(1)设f(x)arctanx则f(x)在[ab]上连续在(ab)内可导由拉格朗日中值定理存在(ab)使
f(b)f(a)f()(ba)即
所以 即|arctanaarctanb||ab|
(2)设f(x)ex则f(x)在区间[1x]上连续在区间(1x)内可导由拉格朗日中值定理存在(1x)使
13设f(x)、g(x)在[ab]上连续在(ab)内可导证明在(ab)内有一点使
解设 则(x)在[ab]上连续在(ab)内可导由拉格朗日中值定理存在(ab)使
(b)(a)()(ba)
即
因此
14证明若函数f(x)在()内满足关系式f(x)f(x)且f(0)1则f(x)ex
证明令 则在()内有
所以在()内(x)为常数
f(x)f(1)f()(x1)即exee(x1)
因为1所以
exee(x1)e(x1)即exex
12证明方程x5x10只有一个正根
证明设f(x)x5x1则f(x)是[0)内的连续函数
因为f(0)1f(1)1f(0)f(1)0所以函数在(01)内至少有一个零点即x5x10至少有一个正根
假如方程至少有两个正根则由罗尔定理f(x)存在零点但f(x)5x410矛盾这说明方程只能有一个正根
因此(x)(0)1从而f(x)ex
15设函数yf(x)在x0的某邻域内具有n阶导数且f(0)f(0)f(n1)(0)0试用柯西中值定理证明
(01)
证明根据柯西中值定理
(1介于0与x之间)
(2介于0与1之间)
(3介于0与2之间)
依次下去可得
(n介于0与n1之间)
所以
由于n可以表示为nx(01)所以 (01)
又由于f(x)在[12]上连续在(12)内可导且f(1)f(2)0根据罗尔定理至少存在一点(12)(x1x3)使f()0
9设ab0n1证明
nbn1(ab)anbnnan1(ab)
证明设f(x)xn则f(x)在[ba]上连续在(ba)内可导由拉格朗日中值定理存在(ba)使
f(a)f(b)f()(ab)即anbnnn1(ab)
4试证明对函数ypx2qxr应用拉格朗日中值定理时所求得的点 总是位于区间的正中间
证明因为函数ypx2qxr在闭区间[ab]上连续在开区间(ab)内可导由拉格朗日中值定理至少存在一点(ab)使得y(b)y(a)y()(ba)即
(pb2qbr)(pa2qar)(2pq)(ba)
化间上式得
p(ba)(ba)2p(ba)
习题31
1验证罗尔定理对函数yln sinx在区间 上的正确性
解因为yln sinx在区间 上连续在 内可导且 ,所以由罗尔定理知至少存在一点 使得y()cot0
由y(x)cotx0得
因此确有 使y()cot0
2验证拉格朗日中值定理对函数y4x35x2x2在区间[01]上的正确性
解因为y4x35x2x2在区间[01]上连续在(01)内可导由拉格朗日中值定理知至少存在一点(01)使
a0nxn1a1(n1)xn2an10
必有一个小于x0的正根
8若函数f(x)在(ab)内具有二阶导数且f(x1)f(x2)f(x3)其中ax1x2x3b证明
在(x1x3)内至少有一点使得f()0
证明由于f(x)在[x1x2]上连续在(x1x2)内可导且f(x1)f(x2)根据罗尔定理至少存在一点1(x1x2)使f(1)0同理存在一点2(x2x3)使f(2)0
6证明恒等式 (1x1)
证明设f(x)arcsinxarccosx因为
所以fa0xna1xn1an1x0有一个正根x0证明方程
a0nxn1a1(n1)xn2an10
必有一个小于x0的正根
证明设F(x)a0xna1xn1an1x由于F(x)在[0x0]上连续在(0x0)内可导且F(0)F(x0)0根据罗尔定理至少存在一点(0x0)使F()0即方程