高等数学(同济第六版)上册期末复习重点
高等数学(同济6版)重要笔记
b> 0, c> 0 曲面的图形一般说来，若绝对值级数发散，不能断定原级数也发散．根值审敛法根据判定绝对值级数发散，不趋于零，从而原级数也是发散的．n u +++n u +++1lim 1n n nu u ρ+→∞=>11.n -♦ 幂级数求和幂级数求和的基本思路利用分析运算性质把幂级数求和的问题转化为几何级数的1(1n x x +++=-常用函数的麦克劳林展开式牢记级数的一般项，n 从零开始．, (,!n x x n +++∈-∞21(1), 2(1,11]n nx n x +++∈+--+21(1), (,)(21)!n nx x n +++-+∈-∞+∞+2(1), (,)(2)!nnx x n ++-+∈-∞+∞牢记级数的一般项，n 从零开始．常用的麦克劳林展开式（P.283例6）(1(1)(1), )!,1 nm m m n mx x n x --∈+++-+(1,1), n x x ++∈-+(1()1,1), n n x x ∈+-+-+函数展开成幂级数的方法2⎩非周期函数的傅里叶级数展开式0).+(),(,).(0)(0),2f x x f f x πππππ∈--+-+=±♦ 奇延拓和偶延拓设f (x )在区间[0, π] 上满足狄利克雷充分性条件，则可按下列两种方式把f (x )延拓到(−π, 0]上，得到定义在(−π, π]上的函数F (x )．❝奇延拓⇒正弦级数❝偶延拓⇒余弦级数奇延拓和偶延拓(),0()0,0.(),0f x x F x x f x x ππ<≤⎧⎪==⎨⎪---<<⎩(),0().(),0f x x F x f x x ππ≤≤⎧=⎨--<<⎩变为−π≤z ≤2π的周期函数）2,).3,)。
高数A(上)总复习(同济六版)-cxz
《高等数学》上册期末总复习1、 极限求法：1、 四则运算法则：极限存在才可拆开求【约分、通分、有理化】2、 复合运算法则（变量替换法）；一般是尽可能将变化过程变换为：3、 初等函数的连续性（代入法）： ；4、 两个重要极限：构造法1），【构造式：】2）（或）；【构造式：】5、 无穷小的性质：有界函数与无穷小的乘积仍为无穷小；6、 存在准则：1）夹逼准则、2）单调有界准则；7、 等价无穷小：只适用于积商式，不适用于和差式【待等价的函数应与剩余部分之间是积商关系】当时，,(为常数))8、 洛必达法则：未定式或：直接利用法则；：取倒数；：通分；：取对数.9、 泰勒公式(麦克劳林公式)：只能用于解决型；其它情况必须通过换元变为型.10、导数或定积分定义*:未定式：等价无穷小洛必达法则泰勒公式1）【导数定义】设在点处可导，则.2）【定积分定义】设在上可积，则；2、 函数的连续性1、 函数在点处连续；2、 间断点：1）第一类间断点：可去，跳跃；2）第二类间断点：无穷，振荡.3、 连续函数的运算性质：连续函数的加减乘除仍为连续函数；连续函数的复合仍为连续函数4、 初等函数的连续性：一切初等函数在其定义区间内处处连续5、 闭区间上连续函数的性质：1）有界性；2）最大值最小值定理；3）零点定理【闭上连续两端异号零点在开内】；4）介值定理及其推论.3、 导数与微分分段点处连续性判断或求导必须用定义。
开区间内才可以用导数公式。
1、 定义：1）；2）；特别注意此处记号的书写3）；4）2、 求导法则：【必须牢记14个基本导数公式】1） 显函数：①、四则运算法则： ；②、复合函数的求导法则：设都可导，则的导数为，或③、对数求导法则（特别适用于幂指函数）：，（化简），2） 参数方程：，，，以此类推.3） 隐函数：（方程两边同时对自变量求导）3、 高阶导数：等；莱布尼兹公式4、 微分：5、 关系：可微与可导等价；可导必连续，反之未必.6、 抽象函数的求导：注意、之别4、 导数的应用1、 曲线的切线与法线方程：，，；2、 微分中值定理：首先必须验证定理的条件是否满足，然后根据定理下结论！1）罗尔定理：；【依结论构造辅助函数】2）拉格朗日中值定理：；【同一函数在两点上相减都可能用到此定理】3）柯西中值定理：；4）泰勒中值定理：3、 泰勒公式：熟悉5个常见带Peano型余项的麦克劳林公式4、 函数的单调性【一阶导符号判定】、极值、最值及其函数图形的凹凸性【二阶导符号判定】、拐点和渐近线拐点的判断类似于极值点的判断，只是前者利用二阶导数的符号，后者利用一阶导数符号5、 不等式的证明：1）单调性；2）最值；3）凹凸性；6、 方程根的存在性及唯一性(结合以下3点讨论)：1）零点定理；2）罗尔定理；3）单调性；7、 恒等式的证明：若在区间I上，则在区间I上五、积分：不定积分，定积分，反常积分【必须牢记13个基本积分公式】1、 常用性质：线性性质，区间可加性，定积分中值定理【】，定积分的奇偶对称性、周期性【与起点无关】；【定积分是与积分变量无关的常数】2、 常用公式：【此类公式或题目常用换元或】3、 设，即为的原函数，则有与牛顿-莱布尼兹公式：4、 换元法：1）第一类（凑微分法）；2）第二类：三角代换，倒代换，根式代换等5、 分部积分法:反对幂指三【先将后者凑微分】 ；或先将较易积分者凑微分6、 变上限积分的导数：， 【视为复合函数】，其中连续，可导，为常数，积分中的表达式必须与无关，若有关须先换元7、 有理函数的积分【假分式用除法化为多项式加真分式，真分式因式分解加待定系数法化为部分分式】附：可化为有理函数的积分①有理三角函数：万能代换；②简单根式：线性函数或分式函数的根式直接代换，开方不同则取最小公倍数开方8、 反常积分：无穷限的反常积分或瑕积分，广义牛顿-莱布尼兹公式，特别注意瑕点在积分区间内部的瑕积分瑕点的判定：，则即为瑕点。
关于高等数学同济第六版上册期末复习重点
关于高等数学同济第六版上册期末复习重点标准化管理部编码-[99968T-6889628-J68568-1689N]第一章：1、极限（夹逼准则）2、连续（学会用定义证明一个函数连续，判断间断点类型）第二章：1、导数（学会用定义证明一个函数是否可导）注：连续不一定可导，可导一定连续2、求导法则（背）3、求导公式也可以是微分公式第三章：1、微分中值定理（一定要熟悉并灵活运用--第一节）2、洛必达法则3、泰勒公式拉格朗日中值定理4、曲线凹凸性、极值（高中学过，不需要过多复习）5、曲率公式曲率半径第四章、第五章：积分不定积分：1、两类换元法 2、分部积分法（注意加C ）定积分： 1、定义 2、反常积分第六章：定积分的应用主要有几类：极坐标、求做功、求面积、求体积、求弧长第七章：向量问题不会有很难1、方向余弦2、向量积3、空间直线（两直线的夹角、线面夹角、求直线方程） 3、空间平面4、空间旋转面（柱面）第一章函数与极限1、函数的有界性在定义域内有f(x)≥K1则函数f(x)在定义域上有下界，K1 为下界；如果有f(x)≤K2，则有上界，K2称为上界。
函数f(x)在定义域内有界的充分必要条件是在定义域内既有上界又有下界。
2、数列的极限定理(极限的唯一性)数列{xn}不能同时收敛于两个不同的极限。
定理(收敛数列的有界性)如果数列{xn}收敛，那么数列 {xn}一定有界。
如果数列{xn}无界，那么数列{xn}一定发散；但如果数列{xn}有界，却不能断定数列{xn}一定收敛，例如数列 1，-1，1，-1，(-1)n+1…该数列有界但是发散，所以数列有界是数列收敛的必要条件而不是充分条件。
定理(收敛数列与其子数列的关系)如果数列{xn}收敛于a，那么它的任一子数列也收敛于a.如果数列{xn}有两个子数列收敛于不同的极限，那么数列{xn}是发散的，如数列 1，-1，1，-1，(-1)n+1…中子数列{x2k-1}收敛于1，{xnk}收敛于-1，{xn}却是发散的；同时一个发散的数列的子数列也有可能是收敛的。
高等教育数学[同济第六版](上册)期末复习重点
期末复习重点](https://img.taocdn.com/s3/m/5594ae27f18583d0496459dc.png)
第一章：1、极限（夹逼准则）2、连续（学会用定义证明一个函数连续，判断间断点类型）第二章：1、导数（学会用定义证明一个函数是否可导）注：连续不一定可导，可导一定连续2、求导法则（背）3、求导公式也可以是微分公式第三章：1、微分中值定理（一定要熟悉并灵活运用--第一节）2、洛必达法则3、泰勒公式拉格朗日中值定理4、曲线凹凸性、极值（高中学过，不需要过多复习）5、曲率公式曲率半径第四章、第五章：积分不定积分：1、两类换元法 2、分部积分法（注意加C ）定积分： 1、定义 2、反常积分第六章：定积分的应用主要有几类：极坐标、求做功、求面积、求体积、求弧长第七章：向量问题不会有很难1、方向余弦2、向量积3、空间直线（两直线的夹角、线面夹角、求直线方程） 3、空间平面4、空间旋转面（柱面）第一章函数与极限1、函数的有界性在定义域内有f(x)≥K1则函数f(x)在定义域上有下界，K1 为下界；如果有f(x)≤K2，则有上界，K2称为上界。
函数f(x)在定义域内有界的充分必要条件是在定义域内既有上界又有下界。
2、数列的极限定理(极限的唯一性)数列{xn}不能同时收敛于两个不同的极限。
定理(收敛数列的有界性)如果数列{xn}收敛，那么数列 {xn}一定有界。
如果数列{xn}无界，那么数列{xn}一定发散；但如果数列{xn}有界，却不能断定数列{xn}一定收敛，例如数列 1，-1，1，-1，(-1)n+1…该数列有界但是发散，所以数列有界是数列收敛的必要条件而不是充分条件。
定理(收敛数列与其子数列的关系)如果数列{xn}收敛于a，那么它的任一子数列也收敛于a.如果数列{xn}有两个子数列收敛于不同的极限，那么数列{xn}是发散的，如数列 1，-1，1，-1，(-1)n+1…中子数列{x2k-1}收敛于1，{xnk}收敛于-1，{xn}却是发散的；同时一个发散的数列的子数列也有可能是收敛的。
3、函数的极限函数极限的定义中0<|x-x0|表示x≠x0，所以x→x0时f(x)有没有极限与f(x)在点x0有没有定义无关。
高等数学(同济六版)上册总结
高等数学知识纲要一、定义1、基本初等函数、初等函数2、极限（数列、函数）理解定义3、无穷小与无穷大4、函数连续与间断（点、区间）5、导数与微分（点、区间）6、原函数与不定积分7、定积分理解定义二、性质1、极限的性质2、收敛函数的性质3、闭区间上连续函数性质4、中值定理5、不定积分与定积分的性质三、关系1、数列（函数）敛散性与有界性之间2、收敛数列及其子数列之间3、函数极限与左右极限4、无穷小与无穷大5、连续与可导、可导与可微6、驻点与极值点、极值之间、极值与最值之间7、连续与可积四、计算（极限、导数、积分）五、应用1.导数的几何意义应用（切线、法线方程）2.导数的应用（单调性、凹凸性、极值、最值）3.定积分的应用极限的运算运算法则（四则、复合、换序）1、 特殊极限1sin lim ,1sin lim ,1sin lim 000===→→→uux x x x u x x 对比0sin lim =∞→x x x e ue x e x uu xx x x =+=+=+∞→→∞→)11(lim ,)1(lim ,)11(lim 10 2、 等价无穷小当0→x 时，kx kx kx kx arctan ,arcsin ,tan ,sin ～kxx cos 1-～22x ,11-+nx ～nx3、 有理函数的极限?)()(lim0=→x Q x P x x当0)(0≠x Q 时, )()()()(lim000x Q x P x Q x P x x =→. 当0)(0=x Q 且0)(0≠x P 时, ∞=→)()(lim0x Q x P x x .当Q (x 0)=P (x 0)=0时, 先将分子分母的公因式(x -x 0)约去. ⎪⎩⎪⎨⎧>∞=<=+⋅⋅⋅+++⋅⋅⋅++--∞→mn m n b a mn b x b x b a x a x a mm m n n n x 0 lim 00110110 4、导数定义 若)(0x f '存在，则=+-→hh x f x f h )()(lim000)(0x f '-. =--+→hh x f h x f h )()5(lim000)(60x f '5、罗比达法则（00或∞∞型，∞⋅0、∞-∞、00、∞1、0∞型的未定式）1.0)3562(lim 20142013=-+∞→x x x 2.535sec 53cos 3lim 5tan 3sin lim 2-==→→x x x x x x ππ3. e x x xx x x xx =+=+⋅→→sin sin 101)sin 1(lim )sin 1(lim4. =-+=-→-→xx xx x x111111)11(lim lim 1-e .5.=+-=+++-⋅+∞→-∞→xx x x x x xx x 633361)631(lim )63(lim 3-e .6.2211)1(4lim 145lim 11=⋅--=---→→x x x x x x x 7.21)1cos ()1(cos 2lim )1cos )(1(cos 1cos lim )1(cos 1cos lim 2000-=+-=+--=--→→→x x x x x x x x x x x x x 8.3232lim 2sin 3)1(cos tan lim )1sin 1)(11(tan sin lim 22020320-=⋅⋅-=⋅-=-+-+-→→→xx x x xx x x x x xx x x x216lim 2sin tan sin lim 2)1sin 1(tan sin limsin 1tan 1sin 1lim33020202-==-=-+-=-++-+→→→→x x x x x x x x x x xx x x x x x x x10.81)2(4sin cos lim )2(sin ln lim 222-=--=-→→x x x x x x x ππππ 11.2111lim )1112(lim 2121-=--=---→→x x x x x x 12.1lim )(sin lim )ln(sin lim )ln(sin 0===→→→x x x x xx x xe e x13. ex xe xdt e xdte xx x t x xt x 212sin lim limlim222cos 02cos 121cos 0==--→-→-→⎰⎰导数与微分的运算练习1.已知1sin +=x xey ，求22dxy d . y d dy 2,解：1)cos (sin ++=x e x x dxdy ，122cos 2+=x xe dx y d dx e x x dy x 1)cos (sin ++=，212cos 2dx xe y d x +=2.已知⎩⎨⎧==te y t e x tt cos sin 求3π=t 时dx dy的值. （参看P112-5.6.7） 解：tt tt t e t e t e t e t x t y dx dy tt t t sin cos sin cos sin cos sin cos )()(+-=+-=''=，所以3π=t 时=dxdy23-. 3.已知0333=-+xy y x ,求dxdy .（参看P111-1）解：0333322=--+dxdy x y dx dy yx ，x y x y dx dy --=224.已知xy e yx 2=+,求dxdy .解： dx dy x y dx dy e yx 22)1(+=++，xxy xyy dx dy --=5.已知5ln 2+=x x y ,求dxdy .解：xx x e x ln =于是有)1(ln )()(ln +='='x x e x x x x x 故)1(ln 2+=x x dxdy x（或先用对数求导法求x x y =的导数） 6.x x y sin = ，求y '.解：等式两端取自然对数得x x y ln sin ln =，等式两端对x 求导，得xx x x y y sin ))(ln (cos +='，⎥⎦⎤⎢⎣⎡+=⎥⎦⎤⎢⎣⎡+='x x x x x x x x x y y x sin ))(ln (cos sin ))(ln (cos sin 练习：1cos sin +=xx y ，求y '. 7、()()54132+-+=x x x y 求'y解：两端同时取自然对数 得()()()1ln 53ln 42ln 21ln +--++=x x x y两端同时对x 求导 得153421211'+--++=⋅x x x y y故()()()()⎥⎦⎤⎢⎣⎡+--+++-+=⎥⎦⎤⎢⎣⎡+--++=1534221132153422154'x x x x x x x x x y y 8.32)3()2(1-++=x x x y ，求y '.解：等式两端取自然对数得[])3ln(3)2ln(2)1ln(21ln --+-+=x x x y等式两端对x求导，得)332211(21--+-+='x x x y y ，)332211()3()2(12132--+-+-++='x x x x x x y （对数求导法参看P112-4）9. ⎰-=2)(x tdt e x f ，x e dxdudt e du d x f u x u u t 2)(20-=-=⋅='⎰=22xxe -10.⎰⎰⎰⎰⎰+-+=+++=+=xx x x x xdt t dt t dt t dt t dt t x f 011111)(222xx x dt t dt t x f x x +-+='+-'+='⎰⎰1)2(1)1()1()(202（对数求导法参看P243-5）积分的计算练习1.dxx x ⎰-1tan cos12解：dxx x ⎰-1tan cos 12=)1(tan 1tan 1--⎰x d x =C x +-1tan 22.计算不定积分⎰xx dxsin cos .解：==⋅=⎰⎰⎰x xd xxx dx x x dx tan tan sec cos sin sin cos 2C x +tan ln 3.计算不定积分dx x x x⎰+2)ln (ln 1. 解： ==+⎰⎰)ln ()ln (1)ln (ln 122x x d x x dx x x x C xx +-ln 1（凑微分参看P207习题4-2和P253第1题）4.⎰-10dx xe x=⎰--10)(xe xd =[]dx exexx ⎰--+-101=[]e e e e ex 21)11(1110-=+-+-=-+--（分部积分参看P212习题4-3和P254第7题）5.dx xx ⎰--145解：令tdt dx t x t x 2,5,52-=-==-，2,1,3,4===-=t x t x dx xx ⎰--145=38532)5(2)2(5233232232-=⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=-=--⎰⎰t t dt t dt t t t6.dx x 2312)1(-⎰+解：令4,1;0,0,sec ,tan 2π======t x t x tdt dx t xdx x 23102)1(-⎰+=22sin cos )(sec sec )tan 1(4040401223402====+⎰⎰⎰--ππππttdt dt t tdt t （提示：t a x x a t a x x a tan ,;sin ,2222=+=-）7、dx x x x ⎰+--6512解：dx x x x ⎰+--6512=()()⎰⎰+-+--=⎪⎭⎫ ⎝⎛-+--=---C x x dx x x dx x x x 3ln 22ln 3221321 （提示：设32)3)(2(1-+-=---x Bx A x x x 通分求出A,B ） 8.⎰⎰+---=---dx x x x dx x x x )1()1(352)1)(1(52622 ⎰⎥⎦⎤⎢⎣⎡+-----=dx x x x )1(1)1(1)1(1522 C x x x +--+--=)1(5211ln 52 （提示：设)1()1(1)1()1(322++-+-=+--x C x B x A x x x 通分求出A,B,C ） （有理函数积分参看P215例1.2.3）9.计算由x y x y ==、32所围成的图形的面积.（参看P284习题6-2） 解解方程组⎩⎨⎧==xy x y 32可得⎩⎨⎧==00y x ，⎩⎨⎧==33y x所求面积为21)3(212=-=⎰-dy y y a 10.求曲线2223336x y +=所围成的图形, 绕x 轴旋转, 计算所得旋转体的体积.解：星形线的参数方程⎩⎨⎧==t a y ta x 33sin cos ， 上半平面图形对应π≤≤t 0，第一象限对应20π≤≤t ，注意上下限对应的t 值 ⎰⎰⎰===2422233sin cos 34)cos ()sin (44ππtdt t at a d t a ydx A a2206204283]sin sin [12a tdt tdt a πππ=-=⎰⎰.当a=6时，旋转体体积为272π （参看P285第13题）证明：P74-2.3；P134-6.9.10.11;P153-5。
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方法2 . 利用莱布尼兹求导公式
x e x (n) n e x (n1)
uv
(n)
u(((n11)))vnn(xxneuxn(n)e1n)vx(1)nn(1ne2! x1)
u(n2)v
uv(n)
例9. 设 y x 1 , 求 y(n) . x 1
解:
y
1
2 x 1
1
2(x
1)1
y 2 (1)( x 1)2
0
11
1 et
d
t
1
01
1
t
d
t
[
t
ln(1
e
t
)]
0 1
ln(1 t)
1 0
ln(1 e)
例9. 已知 f ( x)
x sin t d t , 求
f (x)dx .
0 t
0
解: 由已知条件得
f (0) 0 , f ( x) sin x
x
0
f (x)dx
x
f (x) 0
2
0
1 2
1
0
x
1
1
dx
2
1
x
1
1
dx
可见原积分发散.
发散
例6. 求 11x2 arctan x 2 1 x2 dx .
奇函数
偶函数
解: 利用“偶倍奇零”再, 令 x sin t, 得
原式 4
1
1 x2 dx 4
2 cos2 t d t
0
0
例7.
已知
x
f
( x) dx
arcsin
(包括对数微分法) (3) 参数方程求一阶、二阶导数 ; (4) 用导数定义求特殊点的导数值 ; (5) 计算 n 阶导数 . 例题分析
高等数学同济六版考试课本知识及习题重点
数学（三）具体学习内容（与以上表格中的任务代码相对应）任务名称：MIII-JC1-01a（数学三，高等数学，基础阶段，01任务，a任务）时间复习章节复习知识点习题章节习题重难点题大纲要求2.5小时第1章第1节映射与函数函数的概念★函数的有界性★★、单调性、周期性和奇偶性★复合函数、反函数、分段函数和隐函数★初等函数具体概念和形式，函数关系的建立★习题1-14(1)(3)(7)(9)，5(1)(2)，7(1)，8★，9(2)★，15(1)，15(4)★，18★8，9(2)，15(4)，181.理解函数的概念，掌握函数的表示法，会建立应用问题的函数关系.2.了解函数的有界性、单调性、周期性和奇偶性.3.理解复合函数及分段函数的概念，了解反函数及隐函数的概念.4.掌握基本初等函数的性质及其图形，了解初等函数的概念.5.理解极限的概念，理解函数左极限与右极限的概念以及函数极限存在与左极限、右极限之间的关系.6.掌握极限的性质及四则运2.5小时第1章第2节数列的极限数列极限的定义★数列极限的性质(唯一性、有界性、保号性) ★习题1-21(1)(4)(8)第1章第3节函数的极限函数极限的概念★函数的左极限、右极限与极限的存在性★★函数极限的基本性质（唯一性、局部有界性、局部保号性、不等式性质，函数极限与数列极限的关系等）★习题1-31，3，4★42.5小时第1章第4节无穷小与无穷大无穷小与无穷大的定义★无穷小与无穷大之间的关系★习题1-41，4，5第1章第5节极限运算法则极限的运算法则(6个定理以及一些推论)★习题1-51(1)(3)(6)(10)，1(11)★，2(1)★，3(1)★，4(2)(4)★，5(1) (3)★1(11)，2(1)，3(1)，4(2)(4)，5(1)(3)算法则.任务名称：MIII-JC1-02a（数学三，高等数学，基础阶段，02任务，a任务）时间复习章节复习知识点习题章节习题重难点题大纲要求2.5小时第1章第6节极限存在准则两个重要极限函数极限存在的两个准则（夹逼定理、单调有界数列必有极限）★两个重要极限（注意极限成立的条件，熟悉等价表达式）★利用函数极限求数列极限★习题1-61(1)，1(6)★，2(1)，2(3)★，4(2)(3)★1(6)，2(3)，4(2)(3)1.掌握极限存在的两个准则，并会利用它们求极限，掌握利用两个重要极限求极限的方法.2.理解无穷小量、无穷大量的概念，掌握无穷小量的比较方法，会用等价无穷小量求极限.3.理解函数连续性的概念（含左连续与右连续），会判别函数间断点的类型.4.了解连续函数的性质和初等函数的连续性，理解闭区间上连续函数的性质（有界性、最大值和最小值定理、介值定理），并会应用这些第1章第7节无穷小的比较无穷小阶的概念（同阶无穷小、等价无穷小、高阶无穷小、低阶无穷小、k阶无穷小）及其应用★★★★★一些重要的等价无穷小以及它们的性质和确定方法★习题1-71，2，3(2)★，4(3)(4)★3(2)，4(3)(4)2.5小时第1章第8节函数的连续性与间断点函数的连续性，函数的间断点的定义与分类（第一类间断点与第二类间断点）判断函数的连续性和间断点的类型★★习题1-81，2(1)，3(1)★，4★，5★3(1)，4，5第1章第9节连续函数的运算与初等函数的连续性连续函数的、和、差、积、商的连续性★反函数与复合函数的连续性★初等函数的连续性★★习题1-91，3(4)，3(6)★，4(5)(6)★，5，63(6)，4(5)(6)2.5小时第1章第10节闭区间上连续函数的性质有界性与最大值最小值定理★★★零点定理与介值定理(零点定理对于证明根的存在是非常重要的一种方法)★★★习题1-101，3★3性质.第1章总复习题总结归纳本章的基本概念、基本定理、基本公式、基本方法总复习题一1，2，3(2)，9(2)(4)，9(6)★，11★，12★，13★9(6)，11，12，13任务名称：MIII-JC1-03a（数学三，高等数学，基础阶段，03任务，a任务）时间复习章节复习知识点习题章节习题重难点题大纲要求2小时第1章总结归纳错题的知识点、题型《考研数学学习进程监控习题汇编》高数第一章2.5小时第2章第1节导数概念导数的定义★、几何意义★★★单侧与双侧可导的关系★可导与连续之间的关系★函数的可导性，导函数，奇偶函数与周期函数的导数的性质★★按照定义求导及其适用的情形，利用导数定义求极限★会求平面曲线的切线方程和法线方程★习题2-13★，6(1)(3)★，7，8★，9(1)(4)(7)，11，13，16(1)★，173，6(1)(3)，8，16(1)1. 理解导数的概念及可导性与连续性之间的关系，了解导数的几何意义与经济意义（含边际与弹性的概念），会求平面曲线的切线方程和法线方程.2.掌握基本初等函数的导数公式、导数的四则运算法则及复合函数的求导法则，会求分段函数的导数.2.5小时第2章第2节函数的求导法则导数的四则运算公式（和、差、积、商）反函数的求导公式★复合函数的求导法则习题2-22(1)(6)(7)(9)，3 (3)，4，7(1)(3)(6)，7(8)★，8(8)★，9★，10(2)★，11(2)(4)7(8)，8(8)，9，10(2)，11(10)★基本初等函数的导数公式★分段函数的求导★(6)(8)，11(10)★任务名称：MIII-JC1-04a（数学三，高等数学，基础阶段，04任务，a任务）时间复习章节复习知识点习题章节习题重难点题大纲要求2.5小时第2章第3节高阶导数高阶导数★n阶导数的求法（归纳法，莱布尼兹公式）★★习题2-33，4★，10 (2)★，11(1)(3)★4，10 (2)，11(1)(3)1.了解高阶导数的概念，会求简单函数的高阶导数.2.会求反函数与隐函数的导数.3. 了解微分的概念、导数与微分之间的关系以及一阶微分形式的不变性，会求函数的微分.第2章第4节隐函数的导数隐函数的求导方法，对数求导法★习题2-41，2，3，4(1)(2)★，104(1)(2)2.5小时第2章第5节函数的微分函数微分的定义，几何意义★基本初等函数的微分公式★微分运算法则，微分形式不变性★★一元函数微分在函数近似计算中的应用习题2-51，2，3(1)(4)，3(7)(10)★，4(1)(3)(5)(7)，5，6★3(7)(10)，63小时第2章总结归纳错题的知识点、题型《考研数学学习进程监控习题汇编》高数第二章任务名称：MIII-JC1-05a（数学三，高等数学，基础阶段，05任务，a任务）时间复习章节复习知识点习题章节习题重难点题大纲要求2.5小时第2章总复习题二总结归纳本章的基本概念、基本定理、基本公式、基本方法总复习题二1★，2，3★，6(1)，7★，8(1)(3)，8(5)★，9(1)，1，3，7，8(5)，1111★，12(2)，13，162.5小时第3章第1节微分中值定理费马定理、罗尔定理★、拉格朗日定理★★、柯西定理及其几何意义★构造辅助函数习题3-14，5，6，7，8，9★，11★，12，159，111.理解罗尔(Rolle)定理、拉格朗日(Lagrange)中值定理，了解泰勒(Taylor)定理、柯西(Cauchy)中值定理，掌握这四个定理的简单应用.2.会用洛必达法则求极限.2.5小时第3章第2节洛必达法则洛必达法则及其应用★★★★习题3-21(1)(3)(5) (6)(12)，1(15)★，2★，4★1(15)，2，4任务名称：MIII-JC1-06a（数学三，高等数学，基础阶段，06任务，a任务）时间复习章节复习知识点习题章节习题重难点题大纲要求2.5小时第3章第3节泰勒公式泰勒中值定理★麦克劳林展开式★习题3-32，3，4★，5★，6，7，10(1)，10(3)★4，5，10(3)1.掌握函数单调性的判别方法，了解函数极值的概念，掌握函数极值、最大值和最小值的求法及其应用.2.会用导数判断函数图形的凹凸性（注：在区间内，设函数具有二阶导数. 当时，的图形是凹的；当时，的图形是凸的），会求函数图形的拐点和渐近线.2.5小时第3章第4节函数的单调性与曲线的凹凸性函数的单调区间★★，极值点函数的凹凸区间，拐点★渐进线★习题3-43(3)，3(6)★，5(1)(4)，5(3)★，6★，9(2)(4)，9(5)★，10(1)，10(3)★，12，153(6)，5(3)，6，9(5)，10(3)2.5小时第3章第5节函数的极值与最大值最小值函数极值的存在性：一个必要条件，两个充分条件最大值最小值问题★★★函数类的最值问题和应用类的最值问题★习题3—51(1)(5)，1(8)(9)★，4(1)，4(3)★，5，6，10，11★，141(8)(9)，4(3)，11任务名称：MIII-JC1-07a（数学三，高等数学，基础阶段，07任务，a任务）时间复习章节复习知识点习题章节习题重难点题大纲要求2.5小时第3章第6节函数图形的描述利用导数作函数图形（一般出选择题）：★函数的间断点、和的零点和不存在的点，渐近线由各个区间内和的符号确定图形的升降性、凹凸性，极值点、拐点习题3-61，4★P165例141.会描绘简单函数的图形.2.5小时第3章总复习题三总结归纳本章的基本概念、基本定理、基本公式、基本方法总复习题三1，2(1)，2(2)★，4★，6，9★，10(1)(3)，11(3)，12，17★，19★2(2)，4，9，17，192小时第3章总结归纳错题的知识点、题型《考研数学学习进程监控习题汇编》高数第三章任务名称：MIII-JC1-08a（数学三，高等数学，基础阶段，08任务，a任务）时间复习章节复习知识点习题章节习题重难点题大纲要求2.5小时第4章第1节不定积分的概念与性质原函数和不定积分的概念与基本性质（之间的关系，求不定积分与求微分或求导数的关系）★基本的积分公式★原函数的存在性、几何意义★习题4-12(1)(2)(7)(10)(13)(14)(18) (21)(25)，5★51.理解原函数与不定积分的概念，掌握不定积分的基本性质和基本积分公式.2.掌握不定积分的换元积分法.2.5小时第4章第2节换元积分法第一类换元积分法（凑微分法）★习题4-22(1)(3)(6)(9)(12)(15)(18) (24)(26)(30)(33)，2(21)★2(21)2.5小时第4章第2节第二类换元积分法★★习题4-22(36)，2(37) (44)★P201例21，P205例242(37)(44)换元积分法任务名称：MIII-JC1-09a（数学三，高等数学，基础阶段，09任务，a任务）时间复习章节复习知识点习题章节习题重难点题大纲要求2.5小时第4章第3节分部积分法分部积分法★习题4-31，2，3，4，6★，11，16，17，20★，24★6，20，241.掌握不定积分的分部积分法.2.5小时第4章总复习题四总结归纳本章的基本概念、基本定理、基本公式、基本方法总复习题四1，2，5，8，10★，15★，16，19，21★，23，33★，35，3810，15，21，332小时第4章总结归纳错题的知识点、题型《考研数学学习进程监控习题汇编》高数第四章任务名称：MIII-JC1-10a（数学三，高等数学，基础阶段，10任务，a任务）时间复习章节复习知识点习题章节习题重难点题大纲要求2.5小时第5章第1节定积分的概念与性质定积分的定义与性质(7个性质)★★★函数可积的两个充分条件★习题5—13(3)(4)，11★，12(2)★，13(5)11，12(2)1.了解定积分的概念和基本性质，了解定积分中值定理.2.理解积分上限的函数并会求它的导数，掌握牛顿-莱布尼茨公式.3. 掌握定积分的换元积分法与分部积分法.4. 了解反常积分的概念，会计算反常积分.总复习题五3(1)，14第5章第2节微积分的基本公式积分上限函数及其导数★牛顿-莱布尼兹公式★习题5—22，3，4，5(3)★，6(6)(12)，7(4)，8(1)，10★，12★5(3)，10，12总复习题五4(2)★，8(1)，114(2)2.5小时第5章第3节定积分的换元法和分部积分法定积分的换元法★★定积分的分部积分法★★★习题5—31(9)(15)(24)，1(21)★，2，5★，6★，7(7)，7(10)★1(21)，5，6，7(10)总复习题五5(1)★，6，10(1)(4)5(1)第5章第4节反常积分无穷限的反常积分★无界函数的反常积分★习题5—41(5)(7)，2★2总复习题五1(1)(2)(4)，2(2)(4)，10(8)10(8)★2小时第5章总结归纳错题的知识点、题型《考研数学学习进程监控习题汇编》高数第五章任务名称：MIII-JC1-11a（数学三，高等数学，基础阶段，11任务，a任务）时间复习章节复习知识点习题章节习题重难点题大纲要求2.5小时第6章第1节定积分的元素法元素法 1. 会利用定积分计算平面图形的面积、旋转体的体积和函数的平均值.2. 会利用定积分求解简单的经济应用问题.第6章第2节定积分在几何学上的应用平面图形的面积（直角坐标情形、极坐标情形）★★旋转体的体积★★习题6—21(1)(4)，2(1)，3，5(1)，7，6★，8(2)★，11，14，15(3)★，19★6，8(2)，15(3)，19第6章总复习题总结归纳本章的基本概念、基本定理、基本公式、基本方法总复习题六2，3★32小时第6章总结归纳错题的知识点、题型《考研数学学习进程监控习题汇编》高数第六章2.5小时第7章第1节微分方程的基本概念微分方程的基本概念：微分方程，微分方程的阶、解、通解、初始条件、特解★习题7—11(1)(4)，2(3) (4)，4(2)，5(1)，61.了解微分方程及其阶、解、通解、初始条件和特解等概念.2.掌握变量可分离的微分方程、齐次微分方程的求解方法.第7章第2节可分离变量的微分方程可分离变量的微分方程的概念及其解法★★习题7—21(1)(3)(5)(8)，3，4，6★6第7章第3节齐次方程齐次微分方程的形式及其解法★习题7—31(1)(4)，2(1)，3任务名称：MIII-JC1-12a（数学三，高等数学，基础阶段，12任务，a任务）时间复习章节复习知识点习题章节习题重难点题大纲要求2.5小时第7章第4节一阶线性微分方程一阶线性微分方程的形式和解法★★习题7—41(1)(4)，1(10)★，2(1)★1(10)，2(1)1.一阶线性微分方程的求解方法.2. 了解线性微分方程解的性质及解的结构定理.3.会解二阶常系数齐次线性微分方程.会解自由项为多项式、指数函数、正弦函数、余弦函数的二阶常系数非齐次线性微分方程.4.会用微分方程解决一些简单的应用问题.第7章第6节高阶线性微分方程二阶线性微分方程的解的结构：齐次线性微分方程和非齐次线性微分方程的解的性质★习题7—61(1)(3)(6)(9)，4(2)(4)第7章第7节常系数齐次线性微分方程特征方程，特征方程的根与微分方程通解中的对应项★二阶常系数齐次线性微分方程的通解★习题7—71(1)(5)，2(1)(4)2.5小时第7章第8节常系数非齐次线性微分方程二阶常系数非齐次线性微分方程，其中自由项为：多项式、指数函数、正弦函数、余弦函数★习题7—81(1)(7)，1(3)(9)★，2(1)★，2(2)，6★1(3)(9),2(1), 6第7章总复习题总结归纳本章的基本概念、基本定理、基本公式、基本方法总复习题七1，2，3(1)(2)(7)，3(3)(6)★，4(3)(4)★，73(3)(6),4(3)(4)3小时第7章总结归纳错题的知识点、题型《考研数学学习进程监控习题汇编》高数第七章任务名称：MIII-JC1-13a（数学三，高等数学，基础阶段，13任务，a任务）时间复习章节复习知识点习题章节习题重难点题大纲要求2.5小时第9章第1节多元函二元函数的极限、连续性、有界性与最大值最小值定理、介值定理习题9—12,5 (2)(4),6(1)(4),7(1),81.了解多元函数的概念，了解二元函数的几何意义.数的基本概念2.了解二元函数的极限与连续的概念，了解有界闭区域上二元连续函数的性质.3.了解多元函数偏导数与全微分的概念,会求多元复合函数一阶、二阶偏导数，会求全微分.2.5小时第9章第2节偏导数偏导数的概念，高阶偏导数的求解习题9—21(4)(5),1(6)★,4,6(2)★,9(1)1(6),6(2)第9章第3节全微分全微分的定义，可微分的必要条件和充分条件习题9—31(1)(4),3,52.5小时第9章第4节多元复合函数的求导法则多元复合函数求导法则（共3个定理）全导数习题9—42,6,8(1)(3)★,9,11★,12(2)(3)★8(1)(3),11,12(2)(3)任务名称：MIII-JC1-14a（数学三，高等数学，基础阶段，14任务，a任务）时间复习章节复习知识点习题章节习题重难点题大纲要求2.5小时第9章第5节隐函数的求导公式一个方程的情形（定理1，定理2）习题9—52,3,5,8★81.会求多元隐函数的偏导数.2.了解多元函数极值和条件极值的概念，掌握多元函数极值存在的必要条件，了解二元函数极值存在的充分条件，会求二元函数的极值，会用拉格朗日乘数法求条件极值，会求简单多元函数的最大值和最小值，并会解决简单的应用问2.5小时第9章第8节多元函数的极值及其求法多元函数极值、极值点的概念多元函数极值的必要条件、充分条件条件极值，拉格朗日乘数法习题9—81,3,5,7,9,11★112.5小时第9章总复习题总结归纳本章的基本概念、基本定理、基本公式、基本方法总复习题九1,3,5★,6(2),9,11★,175,11题.任务名称：MIII-JC1-15a（数学三，高等数学，基础阶段，15任务，a任务）时间复习章节复习知识点习题章节习题重难点题大纲要求3小时第9章总结归纳单元测试题中错题的知识点、题型《考研数学学习进程监控习题汇编》高数第九章2.5小时第10章第1节二重积分的概念与性质二重积分的定义、几何意义和物理意义二重积分的性质（6个）二重积分的中值定理习题10—14(2)(3),5(2)(4)1.了解二重积分的概念与基本性质.2. 掌握二重积分的计算方法（直角坐标，极坐标）.3. 了解无界区域上较简单的反常二重积分并会计算.2.5小时第10章第2节二重积分的计算法利用直角坐标计算二重积分习题10—21(2),2(3)(4),4(1),4(3)★,6(2)(4),6(5)★4(3),6(5)任务名称：MIII-JC1-16a（数学三，高等数学，基础阶段，16任务，a任务）时间复习章节复习知识点习题章节习题重难点题大纲要求2.5小时第10章第2节二重积分的计算法利用极坐标计算二重积分习题10—211(2),12(1)★,12(3),13(1)★,13(2),14(1),15(2)★,15(4)12(1),13(1),15(2)1. 掌握二重积分的计算方法（直角坐标，极坐标）.2.5小时第10章总复习题总结归纳本章的基本概念、基本定理、基本公式、基本方法总复习题十2(1),2(4)★,3(1),3(2)★,5★,6★2(4),3(2),5,63小时第10章总结归纳单元测试题中错题《考研数学学习进程监控习题汇编》高数第十章的知识点、题型任务名称：MIII-JC1-17a（数学三，高等数学，基础阶段，17任务，a任务）时间复习章节复习知识点习题章节习题重难点题大纲要求2.5小时第12章第1节常数项级数的概念和性质常数项级数的概念收敛级数的基本性质等比级数（几何级数）敛散性的判别级数收敛的必要条件习题12—11(1)(4),2(3)(4),3(1),4(1)(2)(5)1.了解级数的收敛与发散.收敛级数的和的概念.2.了解级数的基本性质和级数收敛的必要条件，掌握几何级数及级数的收敛与发散的条件，掌握正项级数收敛性的比较判别法和比值判别法.3.了解任意项级数绝对收敛与条件收敛的概念以及绝对收敛与收敛的关系，了解交错级数的莱布尼茨判别法.4.会求幂级数的收敛半径、收敛区间及收敛域.5.了解幂级数在其收敛区间内的基本性质（和函数的连续性、逐项求导和逐项积分），会求简单幂级数在其收敛区间内的和函数.2.5小时第12章第2节常数项级数的审敛法正项级数及其审敛法（正项级数收敛的充要条件，比较审敛法及其推论、比较审敛法的极限形式，比值审敛法、根值审敛法，极限审敛法）p级数敛散性的判别交错级数及其审敛法（莱布尼茨定理）绝对收敛与条件收敛习题12—21(1)(4),1(5)★,2(1)(4) ,3(1)(3),4(1)(3)(5),5(2)(3),5(5)★1(5),5(5)2.5小时第12章第3节幂级数函数项级数的概念幂级数及其收敛性（阿贝尔习题12—31(1)(2)(3),1(6)★,2(1)(2)★1(6),2(1)(2)定理及其推论，幂级数的收敛半径）幂级数的运算（幂级数的和函数的性质）任务名称：MIII-JC1-18a（数学三，高等数学，基础阶段，18任务，a任务）时间复习章节复习知识点习题章节习题重难点题大纲要求2.5小时第12章第4节函数展开成幂级数泰勒级数、麦克劳林级数把函数展开成幂级数的步骤、、、、的麦克劳林展开式习题12—42(1)(2),2(4)(6)★2(4)(6)1.了解 , , , 及的麦克劳林（Maclaurin）展开式.2.5小时第12章总复习题总结归纳本章的基本概念、基本定理、基本公式、基本方法总复习题十二1,2(1)(2),1(5)★,4★,5(1)★,5(2) ,7(1)(4),8(1)(3)★,10(2)★1(5),4,5(1),8(1)(3),10(2)3小时第12章总结归纳单元测试题中错题的知识点、题型《考研数学学习进程监控习题汇编》高数第十二章。
同济大学高等数学第六版上册总复习PPT
y f ( x 0 x ) f ( x 0 ) A x o( x )
则称函数
y f ( x ) 在点 x 0 可微 ， 记 dy
x x0
A x
定理
函数f ( x )在点x 0 可微的充要条件是函数 f ( x )
在点x 0 处可导, 且 A f ( x 0 ).
定理1(最大值和最小值定理) 闭区间上的连续函数
y
一定有最大值和最小值.
f ( x 1 ) min f m f ( x 2 ) max f M
M
y f ( x)
a
o
x1
x2
b
x
m
推论(有界性定理) 在闭区间上连续的函数一定 在该区间上有界.
定理 2 (零点定理)
且 f ( a ) 与 f ( b ) 异号(即 f ( a )
f x0
,
f x 0 0
x0
(2)、罗尔中值定理
如果函数 f ( x )
(1)在闭区间[a , b]上连续,
(2)在开区间 ( a , b ) 内可导,
(3)在区间端点的函数值相等，即 f ( a ) f ( b ) ,
那末在 ( a , b ) 内至少有一点 ( a b ) ,
应用 (如果下列各极限存在) 1.若 则
~ ,
lim
lim
或
lim
lim
2 .若
lim c 0
则
lim
lim
c
或
lim
lim
c
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大一期末高数（同济第六版）复习提纲（精选5篇）
大一期末高数（同济第六版）复习提纲（精选5篇）第一篇：大一期末高数(同济第六版)复习提纲高数一期末考试复习大纲题型：解答题（共12小题）类型：求极限、求导数及微分（包括导数的应用）、求不定积分、求定积分（包括定积分的应用）、求解微分方程具体知识点第一章数列的极限、函数的极限（以上只需掌握求极限方法、极限定义了解即可）无穷小与无穷大、极限运算法则、极限存在准则，两个重要极限无穷小的比较、函数的连续性、连续函数的运算和初等函数的连续性第二章导数定义及几何意义、函数的求导法则、高阶导数、隐函数导数、参数方程所确定的函数的导数（会求二阶导数）、函数的微分公式第三章洛必达法则、函数的单调性与曲线的凹凸性、函数的极值与最值第四章求不定积分（换元法、分部积分法）、有理函数的积分第五章微积分基本公式、定积分的换元法和分部积分法第六章定积分在几何学上的应用第七章可分离变量微分方程、齐次方程、一阶线性微分方程第二篇：高数复习提纲第一章1、极限（夹逼准则）2、连续（学会用定义证明一个函数连续，判断间断点类型）第二章1、导数（学会用定义证明一个函数是否可导）注：连续不一定可导，可导一定连续2、求导法则（背）3、求导公式也可以是微分公式第三章1、微分中值定理（一定要熟悉并灵活运用--第一节）2、洛必达法则3、泰勒公式拉格朗日中值定理4、曲线凹凸性、极值（高中学过，不需要过多复习）5、曲率公式曲率半径第四章、五章不定积分：1、两类换元法2、分部积分法（注意加C）定积分：1、定义2、反常积分第六章：定积分的应用主要有几类：极坐标、求做功、求面积、求体积、求弧长第三篇：高数(上)(复习提纲)《高等数学I》复习提纲一、基本概念、公式、法则：“极限，连续，导数，微分，积分”的定义、性质--------基础1、导数(微分)部分：无穷小之间的比较（高阶、同阶、等价、k 阶），常见的等价无穷小（x→0）,两个重要极限，初等函数的连续性，闭区间上连续函数的介值定理，基本初等函数的求导公式，复合函数求导的链式法则，求极限的洛必达法则，微分中值定理（Rolle、Lagrange、Cauchy），泰勒公式（特别地，麦克劳林公式），函数的单调性与凹凸性，极值存在的必要条件与充分条件，曲线的水平（竖直）渐近线，平面曲线（直角坐标系、极坐标系、参数方程）的曲率公式、弧微分公式；求极限夹逼准则，可导与连续的关系，可导与可微的关系。
同济六版高等数学上册总结共17页word资料
同济六版高等数学上册总结第一章 函数与极限一. 函数的概念1．用变上、下限积分表示的函数（1） y ⎰=xdt t f 0)(，其中)(x f 连续，则，)(x f dxdy= （2）⎰=)()()(x x dt t f y ϕφ，其中)(),(x x φϕ可导，)(t f 连续，则)())(()())((''x x f x x f dxdyφφϕϕ-= 2 两个无穷小的比较 设0)(lim ,0)(lim ==x g x f 且l x g x f =)()(lim（1）l = 0，称f (x )是比g (x )高阶的无穷小，记以f (x) = 0[)(x g ]，称g(x)是比f(x)低阶的无穷小。
（2）l ≠ 0，称f (x )与g (x )是同阶无穷小。
（3）l = 1，称f (x )与g (x )是等价无穷小，记以f (x ) ~ g (x ) 3 常见的等价无穷小 当x →0时sin x ~ x ，tan x ~ x ，x arcsin ~ x ，x arccos ~ x1− cos x ~ 2/2^x ， x e −1 ~ x ，)1ln(x + ~ x ，1)1(-+αx ~ x α 二 求极限的方法1．利用极限的四则运算和幂指数运算法则（1）若n n x x ≤+1（n 为整数），且m x n ≥，则A n x n =∞→lim 存在（单调递减有下界，极限存在）（2）若n n x x ≥+1，且m x n ≤，则A n x n =∞→lim存在（单调递增有上界，极限存在）2．两个准则准则1．单调有界数列极限一定存在准则2．（夹逼定理）设g (x ) ≤ f (x ) ≤ h (x ) 若A x h A x g ==)(lim ,)(lim ，则A x f =)(lim3．两个重要公式公式11sin lim0=→xxx公式2e x x x =+→/10)1(lim4．用无穷小重要性质和等价无穷小代换 5．用泰勒公式（比用等价无穷小更深刻）当x 0→时，有以下公式，可当做等价无穷小更深层次)()!12()1(...!5!3sin )(!...!3!2112125332++++-+++-=++++++=n n nn nxx o n x x x x x x o n x x x x e )(!2)1(...!4!21cos 2242n n n x o n x x x x +-+++-= )()1(...32)1ln(132n nn x o nx x x x x +-++-=++ )(!))1()...(1(...!2)1(1)1(2n n x o x n n x x x +---++-++=+ααααααα)(12)1(...53arctan 1212153+++++-+-+-=n n n x o n x x x x x 6．洛必达法则定理1 设函数)(x f 、)(x F 满足下列条件：（1）0)(lim 0=→x f x x ，0)(lim 0=→x F x x ；（2）)(x f 与)(x F 在0x 的某一去心邻域内可导，且0)(≠'x F ；（3）)()(lim0x F x f x x ''→存在（或为无穷大），则 这个定理说明：当)()(lim 0x F x f x x ''→存在时，)()(lim 0x F x f x x →也存在且等于)()(lim 0x F x f x x ''→；当)()(lim 0x F x f x x ''→为无穷大时，)()(lim 0x F x f x x →也是无穷大． 这种在一定条件下通过分子分母分别求导再求极限来确定未定式的极限值的方法称为洛必达（H L 'ospital ）法则.例1计算极限0e 1lim x x x→-.解 该极限属于“00”型不定式，于是由洛必达法则，得0e 1lim x x x→-0e lim 11x x →==. 例2计算极限0sin lim sin x axbx→．解 该极限属于“00”型不定式，于是由洛必达法则，得00sin cos lim lim sin cos x x ax a ax a bx b bx b→→==． 注 若(),()f x g x ''仍满足定理的条件，则可以继续应用洛必达法则，即()()()lim lim lim ()()()x a x a x a f x f x f x g x g x g x →→→'''==='''L二、∞∞型未定式定理2 设函数)(x f 、)(x F 满足下列条件： （1）∞=→)(lim 0x f x x ，∞=→)(lim 0x F x x ；（2）)(x f 与)(x F 在0x 的某一去心邻域内可导，且0)(≠'x F ；（3）)()(lim0x F x f x x ''→存在（或为无穷大），则 注：上述关于0x x →时未定式∞∞型的洛必达法则，对于∞→x 时未定式∞∞型同样适用．例3计算极限lim (0)nxx x n e →+∞>．解 所求问题是∞∞型未定式，连续n 次施行洛必达法则，有lim e n x x x →+∞1lim e n x x nx -→+∞=2(1)lim e n x x n n x -→+∞-= !lim 0ex x n →+∞===L ． 使用洛必达法则时必须注意以下几点：)()(lim)()(lim 00x F x f x F x f x x x x ''=→→)()(lim )()(lim 00x F x f x F x f x x x x ''=→→（1）洛必达法则只能适用于“00”和“∞∞”型的未定式，其它的未定式须先化简变形成“00”或“∞∞”型才能运用该法则；（2）只要条件具备，可以连续应用洛必达法则；（3）洛必达法则的条件是充分的，但不必要．因此，在该法则失效时并不能断定原极限不存在．7．利用导数定义求极限 基本公式)()()(lim0'000x f xx f x x f x =∆-∆+→∆(如果存在）8．利用定积分定义求极限基本格式⎰∑==∞→11)()(1lim dx x f n kf n n k n （如果存在）三．函数的间断点的分类函数的间断点分为两类：（1）第一类间断点设0x 是函数y = f (x )的间断点。
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高等数学(同济第六版)上册期末复习重点第一章：1、极限（夹逼准则）2、连续（学会用定义证明一个函数连续，判断间断点类型）第二章：1、导数（学会用定义证明一个函数是否可导）注：连续不一定可导，可导一定连续2、求导法则（背）3、求导公式也可以是微分公式第三章：1、微分中值定理（一定要熟悉并灵活运用--第一节）2、洛必达法则3、泰勒公式拉格朗日中值定理4、曲线凹凸性、极值（高中学过，不需要过多复习）5、曲率公式曲率半径第四章、第五章：积分不定积分：1、两类换元法 2、分部积分法（注意加C ）定积分： 1、定义 2、反常积分第六章：定积分的应用主要有几类：极坐标、求做功、求面积、求体积、求弧长第七章：向量问题不会有很难1、方向余弦2、向量积3、空间直线（两直线的夹角、线面夹角、求直线方程）4、空间平面5、空间旋转面（柱面）第一章函数与极限1、函数的有界性在定义域内有f(x)≥K1则函数f(x)在定义域上有下界，K1 为下界；如果有f(x)≤K2，则有上界，K2称为上界。
函数f(x)在定义域内有界的充分必要条件是在定义域内既有上界又有下界。
2、数列的极限定理(极限的唯一性)数列{xn}不能同时收敛于两个不同的极限。
定理(收敛数列的有界性)如果数列{xn}收敛，那么数列{xn}一定有界。
如果数列{xn}无界，那么数列{xn}一定发散；但如果数列{xn}有界，却不能断定数列{xn}一定收敛，例如数列1，-1，1，-1，(-1)n+1…该数列有界但是发散，所以数列有界是数列收敛的必要条件而不是充分条件。
定理(收敛数列与其子数列的关系)如果数列{xn}收敛于a，那么它的任一子数列也收敛于a.如果数列{xn}有两个子数列收敛于不同的极限，那么数列{xn}是发散的，如数列1，-1，1，-1，(-1)n+1…中子数列{x2k-1}收敛于1，{xnk}收敛于-1，{xn}却是发散的；同时一个发散的数列的子数列也有可能是收敛的。
3、函数的极限函数极限的定义中0<|x-x0|表示x≠x0，所以x→x0时f(x)有没有极限与f(x)在点x0有没有定义无关。
定理(极限的局部保号性)如果lim(x→x0)时f(x)=A，而且A>0(或A<0)，就存在着点那么x0的某一去心邻域，当x在该邻域内时就有f(x)>0(或f(x)>0)，反之也成立。
函数f(x)当x→x0时极限存在的充分必要条件是左极限右极限各自存在并且相等，即f(x0-0)=f(x0+0)，若不相等则limf(x)不存在。
一般的说，如果lim(x→∞)f(x)=c，则直线y=c是函数y=f(x)的图形水平渐近线。
如果lim(x→x0)f(x)=∞，则直线x=x0是函数y=f(x)图形的铅直渐近线。
4、极限运算法则定理有限个无穷小之和也是无穷小；有界函数与无穷小的乘积是无穷小；常数与无穷小的乘积是无穷小；有限个无穷小的乘积也是无穷小；定理如果F1(x)≥F2(x)，而limF1(x)=a，limF2(x)=b，那么a≥b.5、极限存在准则两个重要极限lim(x→0)(sinx/x)=1；lim(x→∞)(1+1/x)x=1.夹逼准则如果数列{xn}、{yn}、{zn}满足下列条件：yn≤xn≤zn且limyn=a，limzn=a，那么limxn=a，对于函数该准则也成立。
单调有界数列必有极限。
6、函数的连续性设函数y=f(x)在点x0的某一邻域内有定义，如果函数f(x)当x→x0时的极限存在，且等于它在点x0处的函数值f(x0)，即lim(x→x0)f(x)=f(x0)，那么就称函数f(x)在点x0处连续。
不连续情形：1、在点x=x0没有定义；2、虽在x=x0有定义但lim(x→x0)f(x)不存在；3、虽在x=x0有定义且lim(x→x0)f(x)存在，但lim(x→x0)f(x)≠f(x0)时则称函数在x0处不连续或间断。
如果x0是函数f(x)的间断点，但左极限及右极限都存在，则称x0为函数f(x)的第一类间断点(左右极限相等者称可去间断点，不相等者称为跳跃间断点)。
非第一类间断点的任何间断点都称为第二类间断点(无穷间断点和震荡间断点)。
定理有限个在某点连续的函数的和、积、商(分母不为0)是个在该点连续的函数。
定理如果函数f(x)在区间Ix上单调增加或减少且连续，那么它的反函数x=f(y)在对应的区间Iy={y|y=f(x)，x∈Ix}上单调增加或减少且连续。
反三角函数在他们的定义域内都是连续的。
定理(最大值最小值定理)在闭区间上连续的函数在该区间上一定有最大值和最小值。
如果函数在开区间内连续或函数在闭区间上有间断点，那么函数在该区间上就不一定有最大值和最小值。
定理(有界性定理)在闭区间上连续的函数一定在该区间上有界，即m≤f(x)≤M.定理(零点定理)设函数f(x)在闭区间[a，b]上连续，且f(a)与f(b)异号(即f(a)×f(b)<0)，那么在开区间(a，b)内至少有函数f(x)的一个零点，即至少有一点ξ(a<ξ<b）。
推论在闭区间上连续的函数必取得介于最大值M 与最小值m之间的任何值。
第二章导数与微分1、导数存在的充分必要条件函数f(x)在点x0处可导的充分必要条件是在点x0处的左极限lim(h→-0)[f(x0+h)-f(x0)]/h及右极限lim(h→+0) [f(x0+h)-f(x0)]/h都存在且相等，即左导数f-′(x0)右导数f+′(x0)存在相等。
2、函数f(x)在点x0处可导=>函数在该点处连续；函数f(x)在点x0处连续≠>在该点可导。
即函数在某点连续是函数在该点可导的必要条件而不是充分条件。
3、原函数可导则反函数也可导，且反函数的导数是原函数导数的倒数。
4、函数f(x)在点x0处可微=>函数在该点处可导；函数f(x)在点x0处可微的充分必要条件是函数在该点处可导。
第三章中值定理与导数的应用1、定理(罗尔定理)如果函数f(x)在闭区间[a，b]上连续，在开区间(a，b)内可导，且在区间端点的函数值相等，即f(a)=f(b)，那么在开区间(a，b)内至少有一点ξ(a<ξ<b），使的函数f（x）在该点的导数等于零：f’（ξ）= 0.2、定理(拉格朗日中值定理)如果函数f(x)在闭区间[a，b]上连续，在开区间(a，b)内可导，那么在开区间(a，b)内至少有一点ξ(a<ξ<b），使的等式f（b）-f（a）= f’（ξ）（b-a）成立即f’（ξ）= [f （b）-f（a）]/（b-a）。
3、定理(柯西中值定理)如果函数f(x)及F(x)在闭区间[a，b]上连续，在开区间(a，b)内可导，且F’(x)在(a，b)内的每一点处均不为零，那么在开区间(a，b)内至少有一点ξ，使的等式[f(b)-f(a)]/[F(b)-F(a)]=f’(ξ)/F’(ξ)成立。
4、洛必达法则应用条件只能用与未定型诸如0/0、∞/∞、0×∞、∞-∞、00、1∞、∞ 0等形式。
5、函数单调性的判定法设函数f(x)在闭区间[a，b]上连续，在开区间(a，b)内可导，那么：(1)如果在(a，b)内f’(x)>0，那么函数f(x)在[a，b]上单调增加；(2)如果在(a，b)内f’(x)<0，那么函数f(x)在[a，b]上单调减少。
如果函数在定义区间上连续，除去有限个导数不存在的点外导数存在且连续，那么只要用方程f’(x)=0的根及f’(x)不存在的点来划分函数f(x)的定义区间，就能保证f’(x)在各个部分区间内保持固定符号，因而函数f(x)在每个部分区间上单调。
6、函数的极值如果函数f(x)在区间(a，b)内有定义，x0是(a，b)内的一个点，如果存在着点x0的一个去心邻域，对于这去心邻域内的任何点x，f(x)f(x0)均成立，就称f(x0)是函数f(x)的一个极小值。
在函数取得极值处，曲线上的切线是水平的，但曲线上有水平曲线的地方，函数不一定取得极值，即可导函数的极值点必定是它的驻点(导数为0的点)，但函数的驻点却不一定是极值点。
定理(函数取得极值的必要条件)设函数f(x)在x0处可导，且在x0处取得极值，那么函数在x0的导数为零，即f’ (x0)=0.定理(函数取得极值的第一种充分条件)设函数f(x)在x0一个邻域内可导，且f’(x0)=0，那么：(1)如果当x取x0左侧临近的值时，f’(x)恒为正；当x去x0右侧临近的值时，f’(x)恒为负，那么函数f(x)在x0处取得极大值；(2)如果当x取x0左侧临近的值时，f’ (x)恒为负；当x去x0右侧临近的值时，f’(x)恒为正，那么函数f(x)在x0处取得极小值；(3)如果当x取x0左右两侧临近的值时，f’(x) 恒为正或恒为负，那么函数f(x)在x0处没有极值。
定理(函数取得极值的第二种充分条件)设函数f(x)在x0处具有二阶导数且f’ (x0)=0，f’’(x0)≠0那么：(1)当f’’(x0)<0时，函数f(x)在x0处取得极大值；(2)当f’’(x0)>0时，函数f(x)在x0处取得极小值；驻点有可能是极值点，不是驻点也有可能是极值点。
7、函数的凹凸性及其判定设f(x)在区间Ix上连续，如果对任意两点x1，x2恒有f[(x1+x2)/2]<[f(x1)+f(x1)]/2，那么称f(x)在区间Ix上图形是凹的；如果恒有f[(x1+x2)/2]>[f(x1)+f(x1)]/2，那么称f(x)在区间Ix上图形是凸的。
定理设函数f(x)在闭区间[a，b]上连续，在开区间(a，b)内具有一阶和二阶导数，那么(1)若在(a，b)内f’’(x)>0，则f(x)在闭区间[a，b]上的图形是凹的；(2)若在(a，b)内f’’(x)<0，则f(x)在闭区间[a，b]上的图形是凸的。
判断曲线拐点(凹凸分界点)的步骤(1)求出f’’(x)；(2)令f’’(x)=0，解出这方程在区间(a，b)内的实根；(3)对于(2)中解出的每一个实根x0，检查f’’(x)在x0左右两侧邻近的符号，如果f’’(x)在x0左右两侧邻近分别保持一定的符号，那么当两侧的符号相反时，点(x0，f(x0))是拐点，当两侧的符号相同时，点(x0，f(x0))不是拐点。
在做函数图形的时候，如果函数有间断点或导数不存在的点，这些点也要作为分点。
第四章不定积分1、原函数存在定理定理如果函数f(x)在区间I上连续，那么在区间I上存在可导函数F(x)，使对任一x∈I都有F’(x)=f(x)；简单的说连续函数一定有原函数。
分部积分发如果被积函数是幂函数和正余弦或幂函数和指数函数的乘积，就可以考虑用分部积分法，并设幂函数和指数函数为u，这样用一次分部积分法就可以使幂函数的幂降低一次。