(完整word版)同济大学版高等数学期末考试试卷
高等数学2期末复习题与答案(可编辑修改word版)
x 2 + y 2 - 1 3 1- y 2《高等数学》2 期末复习题一、填空题：1. 函 数 z = + ln(3 - x 2 - y 2 ) 的 定 义 域 是 1≦X^2+Y^2<3 . 2.设 z = (1 + x ) y, 则∂z =∂y(1+ x ) yln(1+ x ) .3.函数 z = ln(1+ x 2 + y 2 ) 在点(1, 2) 的全微分dz = 1dx + 2 dy(1,2)3 34．设 f (x + y , xy ) = x 2 + y 2 , 则 f (x , y ) =.设 f (x + y , y) = x 2 - y 2 , 则 f (x , y ) = .x5. 设 z = e u sin v 而 u = xy v = x + y 则 ∂z =∂ye xy [x sin(x + y ) + cos(x + y )]6. 函数 z = x 2 + y 2 在点（1，2）处沿从点（1，2）到点（2，2 + ）的方向导数是1+ 222 y 17. 改换积分次序⎰0dy ⎰y 2f (x , y )dx =； ⎰0 dy ⎰y -1f (x , y )dx = .8. 若 L 是抛物线 y 2 = x 上从点 A (1,-1) 到点 B (1,1) 的一段弧，则⎰xydx =L9. 微分方程(1+ e 2x )dy + ye 2x dx = 0 的通解为.二、选择题： 1.lim ( x , y )→(2,0) tan(xy )y 等于 （）（上下求导）A ．2，B. 12C.0D.不存在2. 函 数 z = 的定义域是（ D ）A． {(x , y ) x ≥ 0, y ≥ 0} C. {(x , y ) y ≥ 0, x 2 ≥ y }B. {(x , y ) x 2 ≥ y } D． {(x , y ) x ≥ 0, y ≥ 0, x 2 ≥ y }3 x - y23.∂f (x , y ) | ∂x( x0 ,y 0 ) = （ B ）A. lim ∆x →0 f (x 0 + ∆x , y 0 + ∆y ) - f (x 0 , y 0 )∆xB. lim∆x →0f (x 0 + ∆x , y 0 ) - f (x 0 , y 0 )∆xC. lim ∆x →0 f (x 0 + ∆x , y 0 + ∆y ) - f (x 0 + ∆x , y 0 )∆xD. lim∆x →0 f (x 0 + ∆x , y 0 ) ∆x5. 设 z = F (x 2 + y 2 ) ，且 F 具有导数，则∂z + ∂z= （D ）∂x ∂yA. 2x + 2 y ；B. (2x + 2 y )F (x 2 + y 2 ) ；C. (2x - 2 y )F '(x 2 + y 2 ) ；D. (2x + 2 y )F '(x 2 + y 2 ) .6. 曲线 x = a cos t ， y = a sin t ， z = amt ，在 t = 处的切向量是 （ D ）4A ． (1,1, 2)B. (-1,1, 2)C. (1,1, 2m )D. (-1,1, 2m )7. 对于函数 f (x , y ) = x 2 + xy ，原点(0,0)（ A ）A ．是驻点但不是极值点B.不是驻点C.是极大值点D.是极小值点8．设 I= ⎰⎰5Dx 2 + y 2 -1dxdy ， 其中 D 是圆环1 ≤ x 2 + y 2 ≤ 4 所确定的闭区域， 则必有（ ） A ．I 大于零 B.I 小于零C.I 等于零D.I 不等于零，但符号不能确定。
高数下期末考试试题及答案解析
WORD 格式整理⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯名⋯姓⋯⋯⋯⋯．⋯号⋯学⋯⋯线封号序密过超号班要学教不纸题卷试答⋯学⋯大峡．三⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯2017 学年春季学期《高等数学Ⅰ（二）》期末考试试卷（A）注意：1、本试卷共3页；2、考试时间110 分钟； 3 、姓名、学号必须写在指定地方题号一二三四总分得分阅卷人得分一、单项选择题（ 8 个小题，每小题 2 分，共 16 分）将每题的正确答案的代号 A、 B、 C或 D 填入下表中．题号12345678答案1．已知 a 与 b都是非零向量，且满足a b a b ，则必有（）.(A)a b0(B) a b0(C) a b0(D)a b02. 极限 lim( x2y2 )sin212().x0x yy0(A) 0(B) 1(C) 2(D)不存在3．下列函数中， df f 的是 ().（ A） f (x, y)xy（ B） f (x, y)x y c0 ,c0为实数（ C） f (x, y)x2y2（ D） f (x, y)e x y4．函数 f ( x, y)xy (3x y) ，原点 (0,0)是 f (x, y) 的 ().（ A）驻点与极值点（ B）驻点，非极值点（ C）极值点，非驻点（ D）非驻点，非极值点5 ．设平面区域 D : (x1)2( y 1)2 2 ，若 I 1x yd， I 2x y d ，D4D4I 33x yd，则有（） .4D（ A） I1I2I3（ B） I 1I 2I 3（ C） I 2I1I 3（ D） I 3 I 1I 26．设椭圆 L ：x2y 21的周长为 l ，则(3x2 4 y2 )ds（） .43Ll3l4l12l(A)(B)(C)(D)7．设级数a n为交错级数， a n0 (n) ，则（） .n 1(A) 该级数收敛(B)该级数发散(C) 该级数可能收敛也可能发散(D)该级数绝对收敛8. 下列四个命题中，正确的命题是（） .（ A）若级数a n发散，则级数a n2也发散n 1n 1（ B）若级数an2发散，则级数a n也发散n 1n 1（ C）若级数an2收敛，则级数a n也收敛n 1n 1（ D）若级数| a n |收敛，则级数an2也收敛n 1n 1阅卷人得分二、填空题 (7 个小题，每小题 2 分，共 14 分) ．3x 4 y2z60a 为.1. 直线3y z a与 z 轴相交，则常数x02．设 f ( x, y)ln( xy ), 则 fy(1,0)___________.x3．函数 f (x, y)x y 在 (3, 4) 处沿增加最快的方向的方向导数为.4．设 D : x2y22x ，二重积分( x y)d=.D5．设 f x 是连续函数，{( x, y , z) | 0z9x2y2 } ， f (x 2y 2 )dv 在的三次积分为.6. 幂级数( 1)n 1x n的收敛域是.n!n 17. 将函数 f ( x)1,x0为周期延拓后，其傅里叶级数在点1x2,0 x以 2于.专业资料值得拥有--学习资料分享----⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯名⋯姓⋯⋯⋯⋯．⋯号⋯学⋯⋯线封号序密过超号班要学教不纸题卷试答⋯学⋯大峡．三⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯阅卷人得分三、综合解答题一（ 5 个小题，每小题7 分，共 35 分，解答题应写出文字说明、证明过程或演算步骤）1．设 u xf ( x, x) ，其中 f 有连续的一阶偏导数，求u ，u．y x y解：4．设是由曲面z xy, y x, x 1 及 z 0 所围成的空间闭区域，求 I xy2 z3dxdydz .解：2．求曲面 e z z xy 3 在点 (2,1,0) 处的切平面方程及法线方程．解：5．求幂级数nx n 1的和函数 S(x) ，并求级数n n的和．n 1n 1 2解：3. 交换积分次序，并计算二次积分dxxsin y dy．y解：专业资料值得拥有--学习资料分享----⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯名⋯姓⋯⋯⋯⋯．⋯号⋯学⋯⋯线封号序密过超号班要学教不纸题卷试答⋯学⋯大．峡三⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯阅卷人得分四、综合解答题二（ 5 个小题，每小题7 分，共 35 分，解答题应写出文字说明、证明过程或演算步骤）1.从斜边长为 1 的一切直角三角形中，求有最大周长的直角三角形．解4．计算xdS ，为平面x y z 1在第一卦限部分.解：2．计算积分( x2y2 )d s，其中 L 为圆周 x2y2ax ( a0 ) ．L解：5．利用高斯公式计算对坐标的曲面积分蝌dxdy + dydz + dzdx，S其中为圆锥面 z2x2y2介于平面 z0 及 z 1之间的部分的下侧解：3．利用格林公式，计算曲线积分 I(x2y 2)d x (x 2xy)dy ，其中 L 是由抛物线 y x2和Lx y2所围成的区域 D 的正向边界曲线．yy x2x y2D专业资料值得拥有O x--学习资料分享----2017 学年春季学期《高等数学Ⅰ（二）》期末考试试卷(A)答案及评分标准一、单项选择题（8 个小题，每小题 2 分，共 16 分）题号12345678答案D A B B A D C D1．已知 a 与 b 都是非零向量，且满足a b a b ，则必有（D）(A) a b0 ；(B)a b 0 ；(C) a b0 ； (D) a b0 ．2. 极限 lim( x2y2 )sin212( A )x0x yy0(A) 0；(B) 1；(C) 2；(D)不存在 .3．下列函数中， df f 的是 ( B )；（ A） f ( x, y)xy ；（ B） f ( x, y)x y c0 , c0为实数；（ C） f (x, y)x2y2；（ D） f (x, y)e x y.4．函数 f ( x, y)xy (3x y) ，原点 (0,0)是 f (x, y) 的 ( B).（A）驻点与极值点；（B）驻点，非极值点；（C）极值点，非驻点；（ D）非驻点，非极值点 .5 ．设平面区域 D： ( x 1)2( y 1)2 2 ，若 I1x y d ， I2x ydD4D4WORD 格式整理3 x yd ，则有（ A）I 34D（A） I 1I2I 3；（B） I 1I2I 3；（ C） I 2I1I 3；（D） I 36．设椭圆 L ：x2y 21的周长为 l ，则(3 x24y 2 )ds（ D）43L(A) l ；(B)3l；(C)4l ；(D)12l7．设级数a n为交错级数， a n0(n) ，则（C）n 1(A) 该级数收敛；(B)该级数发散；(C) 该级数可能收敛也可能发散；(D)该级数绝对收敛．8. 下列四个命题中，正确的命题是（D）（ A）若级数a n发散，则级数an2也发散；n1n 1（ B）若级数an2发散，则级数a n也发散；n1n 1（ C）若级数an2收敛，则级数a n也收敛；n1n 1（ D）若级数| a n |收敛，则级数a n2也收敛．n1n 1二、填空题 (7 个小题，每小题 2 分，共 14 分 ) ．3x 4 y2z60a 为31. 直线3y z a与 z 轴相交，则常数。
同济大学高等数学考试试题pdf
A. ( f (b) − f (a))( g(b) − g(a)) < 0
B.
f '(x) g '(x) < 0
C. ∫ f (x)dx∫ g(x)dx < 0
b
b
D. ∫a f (x)dx∫a g(x)dx < 0
9) If F (x) is an antiderivative of f (x) , C is any constant, then ____ is correct.
A. F (x) = C∫ f (x)dx
C. F '(x) = f (x) +C
x
∫ B. F (x) = f (x)dx C
D. F (x) = lim f (x + h) − f (x)
h→∞
h
10) a and b are in the domains of f (x) and g(x) , then ___ is correct.
7) If l= im f (x) li= m f '(x) 0, lim f ''(x) ≠ 0 but exists, then ________.
x→a
x→a
x→a
A. lim f (x) = 0, x→a f '(x)
B. lim f (x) ≠ 0 but exists, x→a f '(x)
C. lim f (x) = ∞, x→a f '(x)
D. lim f (x) ≠ ∞ but does not exist. x→a f '(x)
8) If f (x) is a continuous on interval [a,b], then in [a,b], f (x) at least have_ __
9高等数学同济大学第六版本Word版
习题9-21 计算下列二重积分:(1)⎰⎰+Dd y x σ)(22, 其中D {(xy )| |x |1 |y |1};解 积分区域可表示为D1x 1 1y 1 于是⎰⎰+Dd y x σ)(22y d y x dx ⎰⎰--+=111122)(x d y y x ⎰--+=111132]31[ x d x ⎰-+=112)312(113]3232[-+=x x 38=(2)⎰⎰+Dd y x σ)23(, 其中D 是由两坐标轴及直线x +y =2所围成的闭区域:解 积分区域可表示为D 0x 2 0y 2x 于是⎰⎰+Dd y x σ)23(y d y x dx x⎰⎰-+=2020)23(dx y xy x ⎰-+=2022]3[ dx x x ⎰-+=202)224(0232]324[x x x -+=320=(3)⎰⎰++Dd y y x x σ)3(223, 其中D {(x y )| 0x 1, 0y 1}解 ⎰⎰++Dd y y x x σ)3(323⎰⎰++=1032310)3(dx y y x x dy ⎰++=1001334]4[dy x y y x x ⎰++=103)41(dy y y 0142]424[y y y ++=1412141=++=(4)⎰⎰+Dd y x x σ)cos(, 其中D 是顶点分别为(0, 0), (p , 0), 和(p , p )的三角形闭区域.解 积分区域可表示为Dx 0y x 于是,⎰⎰+Dd y x x σ)cos(⎰⎰+=x dy y x xdx 0)cos(π⎰+=π)][sin(dx y x x x⎰-=π0)sin 2(sin dx x x x ⎰--=π0)cos 2cos 21(x x xd+--=0|)cos 2cos 21(πx x x dx x x ⎰-π0)cos 2cos 21(π23-=2. 画出积分区域, 并计算下列二重积分:(1)⎰⎰Dd y x σ, 其中D 是由两条抛物线xy = 2x y =所围成的闭区域;解 积分区域图如并且D{(xy )| 0x 1 x y x ≤≤2} 于是⎰⎰Dd y x σ⎰⎰=102dy y x dx xx⎰=10223]32[dx y x x x 556)3232(10447=-=⎰dx x x(2)⎰⎰Dd xy σ2, 其中D 是由圆周x 2+y 2=4及y 轴所围成的右半闭区域;解 积分区域图如 并且D{(xy )| 2y 2 240y x -≤≤} 于是⎰⎰⎰⎰⎰----=22402240222222]21[dy y x dx xy dy d xy y y Dσ1564]10132[)212(22225342=-=-=--⎰y y dy y y (3)⎰⎰+Dy x d e σ, 其中D {(x y )| |x ||y |1}解 积分区域图如 并且 D {(x y )| 1x 0 x 1y x 1}{(x y )| 0x 1x 1y x 1} 于是 ⎰⎰⎰⎰⎰⎰+--+---++=111111x x y xx x yxDyx dy e dx e dy e dx e d eσ⎰⎰+---+--+=1110111][][dy e e dx e e x x y x x x y x ⎰⎰---+-+-=11201112)()(dx e e dx e ex x 101201112]21[]21[---+-+-=x x e ex x e e =e -e -1(4)⎰⎰-+Dd x y x σ)(22, 其中D 是由直线y =2, y =x 及y =2x 轴所围成的闭区域解 积分区域图如并且D{(xy )| 0y 2 y x y ≤≤21} 于是⎰⎰⎰⎰⎰-+=-+=-+2022232222022]2131[)()(dy x x y x dx x y x dy d x y x y y y y Dσ613)832419(2023=-=⎰dy y y3. 如果二重积分⎰⎰Ddxdy y x f ),(的被积函数f (x , y )是两个函数f 1(x )及f 2(y )的乘积, 即f (x , y )= f 1(x )f 2(y ), 积分区域D {(x y )| a x b , c y d },证明这个二重积分等于两个单积分的乘积, 即])([])([)()(2121dy y f dx x f dxdy y f x f dcbaD⎰⎰⎰⎰⋅=⋅证明 dxdy y f x f dy y f x f dx dxdy y f x f dcb a d cb aD⎰⎰⎰⎰⎰⎰⋅=⋅=⋅])()([)()()()(212121而 ⎰⎰=⋅dcd cdyy f x f dy y f x f )()()()(2121故 dxdy y f x f dxdy y f x f b adcD⎰⎰⎰⎰=⋅])()([)()(2121由于⎰dcdy y f )(2的值是一常数因而可提到积分号的外面于是得])([])([)()(2121dy y f dx x f dxdy y f x f dcbaD⎰⎰⎰⎰⋅=⋅4. 化二重积分⎰⎰=Dd y x f I σ),(为二次积分(分别列出对两个变量先后次序不同的两个二次积分), 其中积分区域D 是:(1)由直线y =x 及抛物线y 2=4x 所围成的闭区域; 解积分区域如图所示并且D {(x y )|x y x x 2 ,40≤≤≤≤} 或D {(x y )| y x y y ≤≤≤≤241 ,40}所以 ⎰⎰=xxdy y x f dx I 240),(或⎰⎰=yy dxy x f dy I 4402),((2)由x 轴及半圆周x 2+y 2=r 2(y 0)所围成的闭区域;解积分区域如图所示并且D {(x y )|220 ,x r y r x r -≤≤≤≤-} 或D{(xy )| 2222 ,0y r x y r r y -≤≤--≤≤}所以 ⎰⎰--=220),(x r r rdyy x f dx I 或⎰⎰---=2222),(0y r y r r dx y x f dy I(3)由直线y =x , x =2及双曲线x y 1=(x >0)所围成的闭区域;解积分区域如图所示并且D {(x y )|x y x x ≤≤≤≤1 ,21}或D{(xy )| 21 ,121≤≤-≤≤x yy }{(x y )|2 ,21≤≤≤≤x y y }所以 ⎰⎰=xxdyy x f dx I 1),(21或⎰⎰⎰⎰+=22121121),(),(yydxy x f dy dx y x f dy I(4)环形闭区域{(x , y )| 1x 2+y 24}.解 如图所示 用直线x =-1和x =1可将积分区域D 分成四部分, 分别记做D 1, D 2, D 3, D 4 于是⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰+++=4321),(),(),(),(D D D D d y x f d y x f d y x f d y x f I σσσσ⎰⎰⎰⎰--------+=222244411112),(),(x x x x dy y x f dx dy y x f dx⎰⎰⎰⎰--------++222214442111),(),(x x x x dy y x f dx dy y x f dx用直线y =1, 和y =-1可将积分区域D 分成四部分, 分别记做D 1, D 2, D 3, D 4,如图所示. 于是⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰+++=4321),(),(),(),(D D D D d y x f d y x f d y x f d y x f I σσσσ⎰⎰⎰⎰--------+=222244141121),(),(y y y y dx y x f dy dx y x f dy⎰⎰⎰⎰--------++222241441211),(),(y y y y dx y x f dy dx y x f dy5 设f (x , y )在D 上连续, 其中D 是由直线y =x 、y =a 及x =b (b >a )围成的闭区域,证明:⎰⎰⎰⎰=bybaxabadx y x f dy dy y x f dx ),(),(.证明 积分区域如图所示 并且积分区域可表示为D {(x y )|a x b a y x } 或D {(x y )|a y by x b } 于是 ⎰⎰Dd y x f σ),(⎰⎰=xab adyy x f dx ),( 或⎰⎰Dd y x f σ),(⎰⎰=byb a dxy x f dy ),(因此 ⎰⎰⎰⎰=byb ax ab adx y x f dy dy y x f dx ),(),(.6 改换下列二次积分的积分次序(1)⎰⎰ydx y x f dy 01),(;解 由根据积分限可得积分区域D {(x y )|0y 1 0x y } 如图因为积分区域还可以表示为D {(x y )|0x 1 x y 1} 所以 ⎰⎰⎰⎰=111),(),(xydyy x f dx dx y x f dy(2)⎰⎰yydx y x f dy 2202),(;解由根据积分限可得积分区域D{(x y)|0y2y2x2y}如图图.(5)⎰⎰exdy y x f dx 1ln 0),(;解 由根据积分限可得积分区域D ={(x , y )|1£x £e , 0£y £ln x }, 如图. 因为积分区域还可以表示为D ={(x , y )|0£y £1, e y £x £ e }, 所以 ⎰⎰ex dy y x f dx 1ln 0),(⎰⎰=10),(eey dx y x f dy}arcsin 2 ,01|),{(π≤≤-≤≤-=x y y y x D}arcsin arcsin ,10|),{(y x y y y x -≤≤≤≤⋃π,7. 设平面薄片所占的闭区域D 由直线x +y =2, y =x 和x 轴所围成, 它的面密度为m (x , y )=x 2+y 2, 求该薄片的质量. 解 如图, 该薄片的质量为⎰⎰=Dd y x M σμ),(⎰⎰+=Dd y x σ)(22⎰⎰-+=10222)(yydx y x dy⎰⎰--=Ddxdy y x V )326(⎰⎰--=110)326(dy y x dx10. 求由曲面z =x 2+2y 2及z =6-2x 2-y 2所围成的立体的体积.解 由⎩⎨⎧--=+=2222262y x z y x z 消去z , 得x 2+2y 2=6-2x 2-y 2, 即x 2+y 2=2, 故立体在x O y 面上的投影区域为x 2+y 2£2, 因为积分区域关于x 及y 轴均对称, 并且被积函数关于x , y 都是偶函数, 所以⎰⎰+---=Dd y x y x V σ)]2()26[(2222⎰⎰--=Dd y x σ)336(22⎰⎰---=2202220)2(12x dy y x dx π6)2(8232=-=⎰dx x .11 画出积分区域把积分⎰⎰Ddxdy y x f ),(表示为极坐标形式的二次积分,其中积分区域D 是:(1){(x , y )| x 2+y 2a 2}(a >0); 解积分区域D 如图 因为D {( )|02 0a } 所以⎰⎰⎰⎰=DDd d f dxdy y x f θρρθρθρ)sin ,cos (),(⎰⎰=πρρθρθρθ20)sin ,cos (d f d a(2){(x , y )|x 2+y 22x };解 积分区域D 如图因为}cos 20 ,22|),{(θρπθπθρ≤≤≤≤-=D 所以⎰⎰⎰⎰=DDd d f dxdy y x f θρρθρθρ)sin ,cos (),(⎰⎰-=22cos 20)sin ,cos (ππθρρθρθρθd f d(3){(x , y )| a 2x 2+y 2b 2}, 其中0a <b 解 积分区域D 如图 因为D {( )|02 a b } 所以⎰⎰⎰⎰=DDd d f dxdy y x f θρρθρθρ)sin ,cos (),(⎰⎰=πρρθρθρθ20)sin ,cos (bad f d(4){(x , y )| 0y 1-x , 0x 1}.解 积分区域D 如图因为}sin cos 10 ,20|),{(θθρπθθρ+≤≤≤≤=D 所以⎰⎰⎰⎰=DDd d f dxdy y x f θρρθρθρ)sin ,cos (),(⎰⎰+=θθρρθρθρθπsin cos 1020)sin ,cos (d f d12 化下列二次积分为极坐标形式的二次积分:(1)⎰⎰11),(dy y x f dx ;解 积分区域D 如图所示 因为}csc 0 ,24|),{(}sec 0 ,40|),{(θρπθπθρθρπθθρ≤≤≤≤⋃≤≤≤≤=D所以 ⎰⎰⎰⎰⎰⎰==DDd d f d y x f dy y x f dx θρρθρθρσ)sin ,cos (),(),(101⎰⎰=40sec 0)sin ,cos (πθρρθρθρθd f d ⎰⎰+24csc 0)sin ,cos (ππθρρθρθρθd f d(2)⎰⎰+xxdy y x f dx 32220)(;解 积分区域D 如图所示并且}sec 20 ,34|),{(θρπθπθρ≤≤≤≤=D所示 ⎰⎰⎰⎰⎰⎰=+=+x xDDd d f d y x f dy y x f dx 3222220)()()(θρρρσ⎰⎰=34sec 20)(ππθρρρθd f d(3)⎰⎰--21110),(x xdy y x f dx ;解 积分区域D 如图所示并且}1sin cos 1 ,20|),{(≤≤+≤≤=ρθθπθθρD所以 ⎰⎰⎰⎰⎰⎰--==10112)sin ,cos (),(),(x xDDd d f d y x f dy y x f dx θρρθρθρσ⎰⎰+=2sin cos 101)sin ,cos (πθθρρθρθρθd f d(4)⎰⎰21),(x dy y x f dx .解 积分区域D 如图所示 并且}sec tan sec ,40|),{(θρθθπθθρ≤≤≤≤=D所以 ⎰⎰2010),(x dy y x f dx ⎰⎰⎰⎰==DDd d f d y x f θρρθρθρσ)sin ,cos (),(⎰⎰=40sec tan sec )sin ,cos (πθθθρρθρθρθd f d13 把下列积分化为极坐标形式, 并计算积分值: (1)⎰⎰-+2202220)(x ax ady y x dx ;解 积分区域D 如图所示 因为}cos 20 ,20|),{(θρπθθρa D ≤≤≤≤= 所以⎰⎰-+2202220)(x ax ady y x dx ⎰⎰⋅=Dd d θρρρ2⎰⎰⋅=20cos 202πθρρρθa d d ⎰=2044cos 4πθθd a 443a π=(2)⎰⎰+xa dy y x dx 0220;解 积分区域D 如图所示 因为}sec 0 ,40|),{(θρπθθρa D ≤≤≤≤= 所以⎰⎰⎰⎰⋅=+Dxad d dy y x dx θρρρ0220⎰⎰⋅=40sec 0πθρρρθa d d ⎰=4033sec 3πθθd a )]12ln(2[63++=a(3)⎰⎰-+xxdy y xdx 221221)(;解 积分区域D 如图所示 因为}tan sec 0 ,40|),{(θθρπθθρ≤≤≤≤=D 所以⎰⎰⎰⎰⋅=+--Dxx d d dy y xdx θρρρ21212212)(12tan sec 40tan sec 02140-==⋅=⎰⎰⎰-πθθπθθθρρρθd d d(4)⎰⎰-+220220)(y a a dx y x dy .解 积分区域D 如图所示因为}0 ,20|),{(a D ≤≤≤≤=ρπθθρ 所以⎰⎰⎰⎰⋅=+-Dy a a d d dx y x dy θρρρ22222)(420028a d d aπρρρθπ=⋅=⎰⎰14. 利用极坐标计算下列各题: (1)⎰⎰+Dy xd e σ22，其中D 是由圆周x 2+y 2=4所围成的闭区域;解 在极坐标下D ={(r , q )|0£q £2p , 0£r £2}, 所以⎰⎰⎰⎰=+DDy x d d e d e θρρσρ222)1()1(2124420202-=-⋅==⎰⎰e e d e d ππρρθπρ.(2)⎰⎰++Dd y x σ)1ln(22，其中D 是由圆周x 2+y 2=1及坐标轴所围成的在第一象限内的闭区域;解 在极坐标下}10 ,20|),{(≤≤≤≤=ρπθθρD , 所以⎰⎰⎰⎰+=++DDd d d y x θρρρσ)1ln()1ln(222)12ln 2(41)12ln 2(212)1ln(20102-=-⋅=+=⎰⎰πρρρθπd d .(3)σd xy Darctan⎰⎰, 其中D 是由圆周x 2+y 2=4, x 2+y 2=1及直线y =0, y =x 所围成的第一象限内的闭区域.解 在极坐标下}21 ,40|),{(≤≤≤≤=ρπθθρD , 所以⎰⎰⎰⎰⎰⎰⋅=⋅=DDDd d d d d xyθρρθθρρθσ)arctan(tan arctan⎰⎰⋅=4021πρρθθd d ⎰⎰==40321643ππρρθθd d . 15 选用适当的坐标计算下列各题: (1)dxdy y x D22⎰⎰，其中D 是由直线x =2，y =x 及曲线xy =1所围成的闭区域解 因为积分区域可表示为}1 ,21|),{(x y x x y x D ≤≤≤≤=, 所以dxdy y x D22⎰⎰dy ydx x x x ⎰⎰=211221⎰-=213)(dx x x 49=(2)⎰⎰++--Dd y x y x σ222211, 其中D 是由圆周x 2+y 2=1及坐标轴所围成的在第一象限内的闭区域;解 在极坐标下}10 ,20|),{(≤≤≤≤=ρπθθρD , 所以⎰⎰⎰⎰⋅+-=++--DDd d d y x y x θρρρρσ2222221111)2(811102220-=+-=⎰⎰ππρρρρθπd d(3)⎰⎰+Dd y x σ)(22 其中D 是由直线y =x , y =x +a , y =a , y =3a (a >0)所围成的闭区域;解 因为积分区域可表示为D {(x y )|ay 3a y a x y }, 所以⎰⎰+Dd y x σ)(22⎰⎰-+=aaya y dx y x dy 322)(4332214)312(a dy a y a ay aa =+-=⎰(4)σd y x D22+⎰⎰ 其中D 是圆环形闭区域{(x , y )| a 2x 2+y 2b 2}解 在极坐标下D{()|02 a b }, 所以σd y x D 22+⎰⎰)(3233202a b dr r d ba -==⎰⎰πθπ16 设平面薄片所占的闭区域D 由螺线2上一段弧(20πθ≤≤)与直线2πθ=所围成, 它的面密度为(x , y )=x 2+y 2. 求这薄片的质量.解 区域如图所示 在极坐标下}20 ,20|),{(θρπθθρ≤≤≤≤=D 所以所求质量⎰⎰⎰⎰⋅==Dd d d y x M 20202),(πθρρρθσμ⎰==254404ππθθd17 求由平面y =0 y =kx (k >0) z =0以及球心在原点、半径为R 的上半球面所围成的在第一卦限内的立体的体积解 此立体在xOy 面上的投影区域D {(x y )|0arctan k0R } ⎰⎰--=Ddxdy y x R V 222kR d R d kRarctan 313arctan 022=-=⎰⎰ρρρθ18 计算以xOy 平面上圆域x 2+y 2=ax 围成的闭区域为底 而以曲面z =x 2+y 2为顶的曲顶柱体的体积解 曲顶柱体在xOy 面上的投影区域为D {(x y )|x 2y 2ax } 在极坐标下}cos 0 ,22|),{(θρπθπθρa D ≤≤≤≤-= 所以⎰⎰≤++=axy x dxdy y xV 22)(22πθθρρρθππθππ422cos 022442323cos 4a d a d d a ==⋅=⎰⎰⎰--（注：可编辑下载，若有不当之处，请指正，谢谢!）。
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范文范例参考《高数》试卷1（上）一．选择题（将答案代号填入括号内，每题 3 分，共 30 分）.1．下列各组函数中，是相同的函数的是（）.（A ）f x ln x2和 g x2ln x（ B）（C ）f x x 和g x2x（D ）f x| x | 和g x x2f x| x |g x1和xsin x 4 2x02．函数f x ln 1x在 x 0 处连续，则a（） .a x0（A ）0（ B）1（D）2（C）143．曲线y x ln x 的平行于直线 x y 1 0 的切线方程为（） .（A ）y x 1（ B）y( x 1)（C ）y ln x 1x 1（D）y x 4．设函数f x| x |，则函数在点x0 处（） .（A ）连续且可导（ B）连续且可微（ C ）连续不可导（ D）不连续不可微5．点x0 是函数y x4的（）.（A ）驻点但非极值点（B）拐点（C）驻点且是拐点（D）驻点且是极值点6．曲线y1） .的渐近线情况是（| x |（A ）只有水平渐近线（ B）只有垂直渐近线（ C ）既有水平渐近线又有垂直渐近线（D ）既无水平渐近线又无垂直渐近线7．f11）. x x2dx 的结果是（（A ）1C1C1C （D） f1f（ B）f（ C ）f C x x x x8．dxxe e x的结果是（）.（A ）arctane xC（）arctan exC（C）xexC（D）xex)CB e ln( e9．下列定积分为零的是（） .（A ）4arctanx dx（B）4x arcsin x dx （C） 1e x e x1x2x sin x dx 1x212dx （D）44110 ．设f x为连续函数，则1f 2x dx 等于（） . 0（A ）f 2f0（B）1f 11 f 0 （C）1f 2 f 0 （D） f 1 f 0 22二．填空题（每题 4 分，共 20 分）f x e 2x1x0在 x 0处连续，则 a1．设函数x.a x02．已知曲线 y f x在 x 2 处的切线的倾斜角为5，则 f2. 6x3． y的垂直渐近线有条.x 2 14．dx. x 1ln2 x5．2x4 sin x cosx dx.2WORD 格式整理范文范例参考三．计算（每小题 5 分，共 30分）1．求极限12 xx sin x① lim x② limx x e x2x x 012．求曲线y ln x y 所确定的隐函数的导数y x.3．求不定积分①dx②dx a0③ xe x dxx1x 3x2a2四．应用题（每题10 分，共 20 分）1．作出函数y x33x2的图像.2．求曲线y22x 和直线 y x 4 所围图形的面积.WORD 格式整理范文范例参考《高数》试卷 1 参考答案一．选择题1．B 2．B 3．A 4．C 5．D 6．C 7． D 8．A 9．A 10． C二．填空题1． 22 ．3 ２４． arctanln x c５．２３．3三．计算题１① e 2② 12. y x16 xy 13. ① 1 ln |x 1| C ② ln | x 2a 2x | C③ e x x 1 C2x 3四．应用题１．略２．S 18《高数》试卷2（上）一. 选择题 ( 将答案代号填入括号内 ,每题 3 分,共 30 分 )1.下列各组函数中 ,是相同函数的是 ().(A)f xx 和 g xx 2(B)f xx 2 1 和 y x 1x 1(C)f xx 和 g xx(sin 2 x cos 2 x)(D)f xln x 2 和 g x2ln xsin 2 x 1x1 x12.设函数 fx2x 1，则 limf x（）.x 2x11x1(A) 0(B)1(C)2(D) 不存在3.设函数 y f x 在点 x 0 处可导，且 fx >0, 曲线则 yf x 在点 x 0 , f x 0处的切线的倾斜角为 {}.(A)0 (B)2(C)锐角(D)钝角4.曲线 y ln x 上某点的切线平行于直线 y 2x 3 ,则该点坐标是 ().(A)2,ln1(B)2, ln1(C)1,ln 2(D)1 , ln 222225.函数y x2e x及图象在1,2 内是().(A) 单调减少且是凸的(B)单调增加且是凸的(C) 单调减少且是凹的(D) 单调增加且是凹的6.以下结论正确的是 ().(A)若 x0为函数y f x的驻点 ,则x0必为函数y f x的极值点 .(B)函数 y f x 导数不存在的点,一定不是函数 y f x的极值点 .(C)若函数 y f x在 x0处取得极值,且f x0存在,则必有 f x0=0.(D)若函数 y f x在 x0处连续,则f x0一定存在 .WORD 格式整理范文范例参考17.设函数 y f x的一个原函数为x2e x,则f x=().1111(A) 2 x 1 e x(B)2x e x(C)2x 1 e x(D)2xe x8.若 f x dx F x c ,则 sin xf cosx dx().(A) F sin x c(B)F sin x c(C)F cos x c(D)F cos x c9.设 F x1f xdx =().为连续函数 , 则2(A) f1f0(B) 2f1f0(C)2 f 2f0 (D) 2 f1f0210. 定积分ba b 在几何上的表示(). dxa(A) 线段长b a(B)线段长 a b (C)矩形面积a b 1 (D)矩形面积b a1二.填空题 (每题 4 分,共 20 分)ln1x2x 0, 在x01.设 f x1cos x连续 ,则a =________.a x02.设 y sin 2x ,则 dy_________________ d sin x .3.函数 yx1的水平和垂直渐近线共有_______条 . x214.不定积分x ln xdx______________________.5.定积分1x2 sin x1___________. 11x2dx三.计算题 (每小题 5 分,共 30分 )1.求下列极限 :① lim12x 1② lim2arctanxx1x 0xx2.求由方程 y1xe y所确定的隐函数的导数y x.3.求下列不定积分 :① tan x sec3xdx②dx a0③x2e x dxx2a2四.应用题 (每题 10 分,共 20 分)1.作出函数 y1x3x 的图象.(要求列出表格)32.计算由两条抛物线：y2x, y x2所围成的图形的面积.WORD 格式整理范文范例参考《高数》试卷 2 参考答案一.选择题： CDCDB CADDD二填空题： 1. －2 2. 2sin x 3.3 4.1x2 ln x1x2c 5.242三. 计算题： 1.2②1 2.y e y① ex y23.① sec3 x c② ln x2a2x c③ x22x 2 e x c3四.应用题： 1.略 2.S 13《高数》试卷3（上）一、填空题 (每小题 3分,共 24分)1.函数 y1的定义域为 ________________________.9x22.设函数 f x sin 4x , x0则当 a =_________时, f x 在 x0处连续 .x,a,x03.函数 f (x)x2x21的无穷型间断点为 ________________. 3x24.设 f ( x) 可导,y f (e x ) ,则 y____________.5.limx21_________________. 2x2x5x6.1x3 sin 2 x dx =______________.1 x4x217.d x2e t dt_______________________.dx 08.y y y30 是_______阶微分方程.二、求下列极限 ( 每小题 5 分,共15分)xx 1x311.lim e;2.lim;3.lim12.x 0sin x x 3x9x2x 三、求下列导数或微分 (每小题 5分, 共15分)1.yx x,求 y (0) . 2.y e cos x ,求 dy . 2求dy.3.设 xy e x y ,dx四、求下列积分(每小题 5分, 共15分)1.12sin x dx . 2.x ln(1x)dx . x3.1e2x dx五、 (8 分 )求曲线xtcost在 t处的切线与法线方程 . y12WORD 格式整理范文范例参考六、 (8 分 )求由曲线 yx 21, 直线 y 0, x 0 和 x 1所围成的平面图形的面积 , 以及此图形绕 y 轴旋转所得旋转体的体积 .七、 (8 分 )求微分方程 y 6 y13 y 0 的通解 .八、 (7 分 )求微分方程 yy e x 满足初始条件 y 10的特解.x《高数》试卷 3 参考答案一． 1． x 32. a 43. x 24. e x f '(e x )5.16.07. 2 xe x 28. 二阶2二 .1.原式 = lim x1x 0x2. lim11 x 3 x3 63.原式 = lim[(11 11)2 x ] 2 e 2x2x三 .1.2.y'212)2, y '(0)(x2dysin xe cos x dx3.两边对 x 求写： yxy ' e x y (1 y ')e x yyxy yy 'e x yx xyx四.1.原式 = lim x2cos x Cx2212.原式 = lim(1)xx)2x)]x)d (lim(1 2x d [lim(12x= x22lim(1 x)1 1 x dx x lim(1 x) 1 ( x 11 ) dx22 x 2 21 x=x22lim(1 x) 1 [ xx lim(1 x)]C22 23.原式 =11 2 x2 x 1 1 20 e d (2 x) 1 e 0( e 1)222五.dysin tdy t1 且 t2 , y 1dxdx2切线： y1 x,即 y x 122法线： y1( x),即 y x 122六. S11 21320 ( x1)dx ( xx) 022V11)2dx12x21)dx(x2( x4( x 52 x 2 x) 10 285 315七.特征方程 : r 2 6r 13 0r 3 2iye 3 x (C 1 cos2 x C 2 sin 2 x)11dxxdx八. y e xdx C )( e e x1 xC ][ (x 1e)x由 y x 1 0,C0y x 1 e xx《高数》试卷4（上）WORD 格式整理范文范例参考一、选择题（每小题 3 分）1、函数 y ln(1 x) x 2 的定义域是（） . A2,1B2,1C 2,1D2,12、极限 lim e x的值是（） .xA 、B 、C 、D 、 不存在3、 limsin(x 1) （ ） .x 1 1 x 2 1 1A 、 1B 、 0C 、2D 、24、曲线 y x 3x 2 在点 (1,0) 处的切线方程是（）A 、 y2( x1)B 、 y 4( x 1)C 、 y 4x 1D 、 y 3( x 1)5、下列各微分式正确的是（ ） .A 、 xdx d (x 2 )B 、 cos 2xdx d(sin 2x)C 、 dx d (5 x)D 、 d (x 2 ) (dx) 26、设f (x)dx2 cosxC ，则f ( x) （） .2A 、 sin xB 、22 ln x ） .7、dx （xxxxsinC 、 sinC D 、 2 sin222A 、2 1ln 2x CB 、 1( 2 ln x) 2Cx 2 22C 、 ln 2 ln xC1 ln xCD 、x 28、曲线 y x 2 ， x 1 ， y0 所围成的图形绕y 轴旋转所得旋转体体积 V（） .1 x 4dx1ydyA 、B 、1(1y) dy1(1 x 4)dxC 、D 、1e xdx9、e x（） .11 e2 e1 e1 2eA 、 ln2B 、 lnC 、 lnD 、 ln23210 、微分方程 yy y2e 2 x 的一个特解为（） .A 、 y3 e 2x B 、 y3 e x C 、 y2 xe 2 x D 、 y2 e 2 x7777二、填空题（每小题4 分）1、设函数 y xe x ，则 y；2 、如果 lim3sin mx2 , 则 m .x 0 2x313cos xdx3、 x；14、微分方程 y 4 y 4 y0 的通解是.5、函数 f ( x) x 2 x在区间0,4上的最大值是，最小值是；三、计算题（每小题 5 分）1、求极限lim 1 x 1 x ； 2 、求y 1cot 2 x ln sin x 的导数；x 0x2 WORD 格式整理范文范例参考x314 、求不定积分dx；3、求函数y的微分；xx3111eln x dx ；dy x5、求定积分6、解方程1；e dx y 1 x2四、应用题（每小题10 分）1、求抛物线y x 2与y 2 x 2所围成的平面图形的面积.2、利用导数作出函数y 3x2x3的图象.参考答案一、 1、C；2、D；3、C ；4、B；5、C ；6、B；7、B；8、A ；9、A ；10、D；二、 1、(x2)e x； 2 、4；3、0； 4 、y(C1 C 2 x)e 2 x；5、8，0 9三、1、 1 ； 2 、cot 3 x ； 3 、 6 x2dx ； 4 、2 x 1 2 ln(1x 1) C ；5、2(21) ；6、y2 2 1 x2 C ；( x31) 2e四、1、8；32、图略《高数》试卷5（上）一、选择题（每小题 3 分）1、函数 y2x1的定义域是（） . lg( x 1)A 、2,10,B、1,0( 0,)C 、(1,0)(0,)D、( 1,)2、下列各式中，极限存在的是（） .A 、x B、lim arctan x C 、lim sin x D 、lim 2x l i mc o sx0x x x3、 lim (x) x（） .x 1 xA 、e B、e2 C 、1 D 、1e4、曲线 y x ln x 的平行于直线x y 1 0 的切线方程是（） .A 、y x B、y(ln x1)( x1)C 、y x1D、y(x1)5、已知 y xsin 3x，则 dy（） .A 、( cos3x3sin 3x)dx B、(sin 3x3x cos3x)dxC 、(cos 3x sin 3x)dxD 、(sin 3x x cos3x)dx6、下列等式成立的是（） .WORD 格式整理范文范例参考A 、x dx1x 1 CB 、 a x dx a x ln x C11C 、cosxdxsin x CD 、 tan xdxCx 217、计算e sin x sin xcos xdx 的结果中正确的是（） .A 、 e sin x CB 、 e sin x cos x CC 、 e sin x sin x CD 、 e sin x (sin x 1) C8、曲线 yx 2 ， x1 ， y0 所围成的图形绕 x 轴旋转所得旋转体体积 V（）.1x 4dx1A 、B 、ydy1 (1 y) dy1 (1 x 4)dxC 、D 、a a 2x 2dx （） . 9、设 a ﹥ 0 ，则A 、 a2B 、 a2C 、 1a2D 、 1a 224410 、方程（）是一阶线性微分方程 .A 、 x 2ylnyB 、 y e x y 0xC 、 (1x 2 ) yy sin yD 、 xy dx ( y 2 6x)dy 0二、填空题（每小题 4 分）1、设 f ( x)e x 1, x， lim f ( x)；，则有 lim f (x)ax b, xx 0 x 02、设 y xe x ，则 y；3、函数 f ( x)ln(1x 2 ) 在区间1,2 的最大值是，最小值是；14、 x 3cos xdx；15、微分方程y 3 y 2 y 0 的通解是.三、计算题（每小题 5 分）1、求极限 lim (11 x23 ) ； x 1x x 22、求y1 x2 arccosx 的导数；3、求函数 yx 的微分；1 x 24、求不定积分1dx ；x 2ln x5、求定积分eln x dx ；1e6、求方程x2y xy y 满足初始条件y( 1 ) 4 的特解.2WORD 格式整理范文范例参考四、应用题（每小题10 分）1、求由曲线y 2 x2和直线x y 0 所围成的平面图形的面积.2、利用导数作出函数y x 36x 29x 4的图象.参考答案（ B 卷）一、 1、B；2、A；3、D；4、C ；5、B；6、C ；7、 D；8、 A；9、D；10、B.二、 1、 2 ， b ； 2 、( x2)e x； 3 、ln 5 ， 0 ；4、 0 ；5、C1e x C 2 e2x.三、1、1； 2 、arccos1； 3 、1dx；x x3 1 x2(1 x2 ) 1 x 24、2 2 ln x C ；1)；2215、2(2 6 、y e x；e x四、 1、92、图略；2WORD 格式整理。
同济大学高等数学考试题
同济大学高等数学考试题高等数学(上)期中考试试卷 1(答卷时间为 120 分钟)一.选择题(每小题 4 分)1.以下条件中( )不是函数 f ( x) 在 x0 处连续的充分条件.(A) lim f ( x) , lim f ( x0 ) (B) lim f ( x) , f ( x0 ) x x0 ，0 x x0 0 x x0(C) f ,( x0 ) 存在 (D) f ( x) 在 x0 可微2.以下条件中( )是函数 f ( x) 在 x0 处有导数的必要且充分条件. (A) f ( x) 在 x0 处连续 (B) f ( x) 在 x0 处可微分f (x0 ， x) f (x0 x) lim f ,( x) 存在 (D)存在 (C) lim x 0 x x0x 1 的( )间断点. 3. x , 1是函数 f ( x) , sin x (A)可去 (B)跳跃 (C)无穷 (D)振荡4.设函数 f ( x) 在闭区间 [a, b] 上连续并在开区间 (a, b) 内可导，如果在 ( a , b ) 内). f ,( x) , 0 ，那么必有((A)在 [ a , b ] 上 f ( x) , 0 [ a , b ] 上 f ( x) 单调增加 (B)在(C)在 [ a , b ] 上 f ( x) 单调减少 (D)在 [ a , b ] 上 f ( x) 是凸的5.设函数). f ( x) , ( x 2 3x ， 2) sin x ，则方程 f ,( x) , 0 在 ( 0 , ) 内根的个数为( (A)0 个 (B)至多 1 个 (C) 2 个 (D) 至少 3 个二.求下列极限(每题 5 分)ln b (1 ， ax) ax ， b sin x ( a , 0 ). ( c , 0 ). 1. lim 2. lim x 0 x sin ax cx ， d cos x1 a sin x x2 4. lim . 3. lim e x 1 x ( a , 0 ). x x 0 x三.求下列函数的导数(每题 6 分)x 1. y , ln tan cos x ln(tan x,求) y, . 22.设 F ( x) 是可导的单调函数，满足 F ,( x) , 0 ， F (0) , 0 .方程F ( xy) , F ( x) ， F ( y)dy 确定了隐函数 y , y( x) ，求 . dx x,0d 2 y ,,x , ln 1 ， t 2 确定的函数，求 . 3.设 y , y( x) 是参数方程 , dx 2 ,; y , arctan tx , 0 ,ln(x ， e) ( a , 0 )，问 a 取何值时 f ,(0) 存在,. 4.设函数 f ( x) , , x x , 0 ;a x e 四.(8 分)证明:当 x , 0 时有 e , x ，且仅当 x , e 时成立等式. 五.(8 分)假定足球门宽度为 4 米，在距离右门柱 6 米处一球员沿垂直于底线的方向带1球前进，问:他在离底线几米的地方将获得最大的射门张角,4 6, x六.(10 分)设函数 f ( x) 在区间 [a, b] 上连续，在区间 (a, b) 内有二阶导数 .如果 f (a) , f (b) 且存在 c (a, b) 使得 f (c) , f (a) ，证明在 (a, b) 内至少有一点 , ，使得. f ,,(, ) , 0七.(10 分)已知函数 y , f ( x) 为一指数函数与一幂函数之积，满足: (1) lim f ( x) , 0 ， lim f ( x) , ， ; x ， x(2) y , f ( x) 在 ( ,， ) 内的图形只有一条水平切线与一个拐点. 试写出f ( x) 的表达式.高等数学(上)期中考试试卷 2(答卷时间为 120 分钟)一.填空题(每小题 4 分)x , 0 ,,(1 sin 1x x )在 x , 0 连续，则 a , . 1.已知函数 f ( x) , , x , 0 ,;a1 2. x , 0 是函数 f ( x) , 的间断点.(可去.跳跃.无穷.振荡) 1 e x ，1 f ( x0 3, ) f ( x0 ) , . 3.若 f ,( x0 ) , 1 ，则 lim , 0 2,2 ). 4.函数 f ( x) , ( x 3x ， 2) sin x 在 ( 0 , ) 内的驻点的个数为( (A)0 个 (B)至多 1 个 (C) 2 个 (D) 至少3 个5.设 a , 0 ，若 lim ax 2 ， bx ， c ， dx , e ，则 a 与 d 的关系是 . x ，二.计算题(每题 6 分), 1 1 ,, . 1.求 lim, x 0 , ln(1 ， x) x ,12.求 lim，cos x，x 2 x 0x 3. y , ln tan cos x ln(tan x,求) y, . 22,,x , e t cos t d 2 y 确定的函数，求 4.设 y , y( x) 是参数方程 , dx 2 ,; y , t sin e tsin x cos x 5.求 dx . ， 1 ， sin 4 xdx 6.求， x x 2 1三.(8 分)证明:当 0 , x , 时有 sin x ， tan x , 2 x .2f ( x) 有二阶导数，且 f (0) , 0 ，又满足方程 f ,( x) ， f ( x) ,x ，证四.(8 分)设函数明 f (0) 是极值，并说出它是极大值还是极小值,m n 五.(8 分)设 a 和 b 是任意两个满足 ab , 1的正数，试求 a ， b 的最小值(其中常数 m n , 0 ) ` 六.(10 分)设函数 f ( x) 在区间 [ 0 , 1 ]上可导，且 0 , f ( x) , 1，证明 , ( 0 , 1 ) ，使得 f (, ) , , ;又若 f ,( x) , 1( x ( 0 , 1 ) )，证明这样的 , 是唯一的.七.(10 分)(1)设 (an ) n,1 是单调增加的正数列，在什么条件下，存在极限lim a n , n1 n n n n ， a ，试用夹逼准则证明，， (2)对上述数列 (a n ) n,1 ，令 xn , a1 ， a2 ， nlim xn , lim a n . n n3高等数学(上)期末考试试卷 1(答卷时间为 120 分钟)一.填空题(每题 4 分)1.函数 f ( x) 在 [ a , b ] 上有界是 f ( x) 在 [ a , b ] 上可积的条件，函数 f ( x)条件. 在 [ a , b ] 上连续是 f ( x) 在 [ a , b ] 上可积的1 2.函数 y , ，它是间断点. 的间断点为 x = 1 ， tan x3.当 x 0 时，把以下的无穷小: x (A) a ，a ,1 0,， a; , 1(B) x sin x ;(C)1 cos 4 x ; (D) ln(1 ， x )，，，按 x 的低阶至高阶重新排列是 .(以字母表示)1 ,2 1(n 1) , ， sin 4. lim dx = . ,, = ， 0 ,,sin n ， sin n ， n n n1 5.设函数 f ( x) 在闭区间 [ 0 , 1 ] 上连续，且 f ( x)dx , 0 ，则存在 x0 (0,1) ，使， 0f ( x0 ) ， f (1 x0 ) , 0 .证法如下:x 1 令 F ( x , )f (t)dt ， x [0,1] ，则 F ( x) 在闭区间 [0,1]上连续，在开区间， f (t )dt ，， 0 1 x，故根据微分学中的定理知， (0,1) 内，且 F (0) , ， F (1) ,x0 (0,1) 使得 F ,( x0 ) , f ( x0 ) ， f (1 x0 ) , 0 ，证毕.二.计算题(每题 6 分)1c x 1.若 lim (1 ， x) , e 2 ，求 c 的值. x 0y 2.设 y , y( x) 是由方程 e ， y , sin( xy) 确定的隐函数，求 y, . x 2 t 2 ，e ， 1 dt ， 0 3.求极限 lim . x 0 ln(1 ， x 6 )ln x 4.求 dx ， x4 2 5.求 x)dx . ， x(sin ，x cos 2 ， dx 6.求 2 ， x 4 x 2 1x 2 1 三.(8 分)设 f ( x) , ， e t dt ，求， f ( x)dx 1 0x 四(8 分)设函数 f ( x )在区间 [ 0 , 1 ]上连续，且 f ( x ,) 1，证明方程 2 x f (t )dt , 1 . 0 ，在开区间 (0,1 ) 内有且仅有一个根.1 2 所围成的图形绕直线 y , 1旋转而成的五.(8 分)求由抛物线 y , 2 x 与直线 x , 2 立体的体积.12 x 2 ，其线密度为， , k y ，R(k , R) 求六.(8 分)设半圆形材料的方程为 y ,该材料的质量.七.(12 分)在一高为 4 的椭圆底柱形容器内储存某种液体，并将容器水平放置，如果x 2 ， y 2 , 1(单位:m)，问: 椭圆方程为 4(1)液面在 y( 1 , y , 1) 时，容器内液体的体积V与 y 的函数关系是什么, y(2)如果容器内储满了液体后以每分钟 0.16m3 的速度将液体从容器顶端抽出，当液面在 y , 0 时，液面O x 下降的速度是每分钟多少 m,)，抽完全部液体 (3)如果液体的比重为 1( N m 3需作多少功,高等数学(上)期末考试试卷 2(答卷时间为 120 分钟)一.填空题(每小题 4 分)条件;导数 f ,( x0 ) 存在是函 1.极限 lim f ( x) 存在是函数 f ( x) 在x0 处连续的 x x0条件. ——填入适当的字母即可: 数 f ( x) 在 x0 处连续的(B)必要 (A)充分(C)充分且必要 (D)既不充分也不必要f ( 2h) f ( h) 2.若 f ,(0) , 1，则 lim , . ,h 3.设 f ( x) , x( x1)(2 x 1)(3x 1) (nx 1) ，则 f ,,( x) 在 ( 0 , 1 ) 内有个零点. 0， [ 1 ， xf (sin x)]d x , 4.设 f ( x )是 [ 1 , 1 ]上连续的偶函数，则 .5.平面过点 ( 1 , 1 , 1 ) ， ( 2 , 2 , 2 ) 和 ( 1 , 1 , 2 ) ，则该平面的法向量为 .二.基本题(每小题 7 分)(须有计算步骤)2 x ln(1 ， t)dt， 0 1.求极限 lim . x 0 1 cos x， 4 2.求定积分 x tan 2 xdx . 0 y 2 3.设 y , y( x) 是方程 e ， e t dt x 1 , 0 确定的隐函数，证明 y , y( x) 是单调增加 y ，函数并求 y, x,0 .1 u 3 4.求反常积分 du . ， 0 1 u 22m n 三.(10 分)设 a 和 b 是任意两个满足 a ， b , 1 的正数，试求 a , b 的最大值(其中常数 m n , 0 ) ` 3 四.(10 分)一酒杯的容器部分是由曲线 y , x ( 0 , x , 2 ，单位:cm)绕 y 轴旋转 3 而成，若把满杯的饮料吸入杯口上方2cm 的嘴中，要做多少功,(饮料的密度为 1g/cm )五.(10 分)教材中有一例叙述了用定积分换元法可得等式xf (sin x)dx , f (sin x)dx . ， 0 2 ，0如果将上式左端的积分上限换成 (2k 1) ( k Z )，则将有怎样的结果,进一步设kTf ( x) 是周期为 T 的连续的偶函数，， xf (x)dx 将有怎样相应的表达式,六(10 分)设动点 M ( x , y , z) 到 xOy 面的距离与其到定点 (1 , 1 , 1 ) 的距离相等，M .2 的轨迹为 , .若 L 是 , 和柱面 2 z , y 的交线在 xOy 面上的投影曲线，求 L 上对应于1 , x ,2 的一段弧的长度.xf 0 (t )dt ， 0 . ( x) 是 [ 0 , ， ) 上的连续的单调增加函数，函数 f ( x) , 七.(12 分)设 f 0 1 x(1)如何补充定义 f1 ( x) 在 x , 0 的值，使得补充定义后的函数(仍记为f1 ( x) )在 [ 0 , ， )上连续,2)证明( f1 ( x) , f 0 ( x) ( x , 0 )且 f1 ( x) 也是 [ 0 , ， ) 上的连续的单调增加函数;x x x f1 (t )dt f 2 (t)dt f n 1 (t )dt ，，， 0 0 0 ，则对任意的( x) , ( x) , ( x) , ，…， f n (3)若 f 2 ， f 3 x x xx , 0 ，极限 lim fn ( x) 存在. n3高等数学(下)期中考试试卷 1(答卷时间为 120 分钟)一.填空题(每小题 6 分)1.有关多元函数的各性质:(A)连续;(B)可微分;(C)可偏导;(D)各偏导数连续，它们的关系是怎样的,若用记号“ X , Y ”表示由 X 可推得 Y ，则) ,( , ( )( . ) , , ) ;(2 2 ，该点处各方向导数中的最 2.函数 f ( x, y) , x xy ， y 在点 ( 1 , 1 ) 处的梯度为大值是 .，平面曲线 3.设函数 F ( x, y) 可微，则柱面 F(x, y) , 0 在点 (x, y, z) 处的法向为,F(x, y , 0 )在点 ( x, y) 处的切向量为 . , z , 0 ; 1 4.设函数 f ( x, y) 连续，则二次积分 f ( x, y)dy , . ， dx， sin x 2 1 f ( x, y)dx ; (A) (B) ， dy，， dy， 0 ，arcsin y 1 ，arcsin y f ( x, y)dx ; (C) (D) ，dy，， dy， 0二.(6 分)试就方程 F ( x, y, z) , 0 可确定有连续偏导的函数 y , y( z, x) ，正确叙述隐函数存在定理.三.计算题(每小题 8 分)1.设 z , z( x, y) 是由方程 f ( x z , y z) , 0 所确定的隐函数，其中 f (u, v) 具有连续的偏导数f f z z 且， , 0 ，求，的值. y u v x2. 设二元函数 f (u, v) 有连续的偏导数，且 f u (1,0) , fv (1,0) , 1 . 又函数 u , u( x, y) 与,x , au ， bv 2 2 ( a ， b , 0 )确定，求复合函数 z , f [u( x, y),v( x, y)]的偏导 v , v( x, y )由方程组 , ; y , au bvz z 数， . x y ( x, y ),( a , a ) ( x, y ),( a , a )2 2 3.已知曲面 z , 1 x y 上的点 P 处的切平面平行于平面 2 x ， 2 y ，z , 1，求点 P 处的切平面方程.x 3 4 计算二重积分: x 为边界的曲边三，， sin y d, ，其中 D 是以直线y , x ， y , 2 和曲线 y , D角形区域.2 2 2 2 5.求曲线积分 ( x ， y )dx ， ( x y )dy ， L 为曲线 y , 1 | 1 x | 沿 x 从 0 增大到 2 的方向. ， L五.(10 分)球面被一平面分割为两部分，面积小的那部分称为“球冠”;同时，垂直于平面的直径被该平面分割为两段，短的一段之长度称为球冠的高. 证明:球半径为 R 高为 h 的球冠的面积与整1个球面面积之比为 h : 2R .六(10 分)设线材 L 的形状为锥面曲线，其方程为:x , t cos t ，y , t sin t ，z , t( 0 , t , 2 )，其线密度， ( x, y, z) , z ，试求 L 的质量.2 2点的引力.高等数学(下)期中考试试卷 2(答卷时间为 120 分钟)一.简答题(每小题 8 分),, x2,tcost;xz 2.方程 xy z ln y ， e , 1在点 (0 , 1 , 1 ) 的某邻域内可否确定导数连续的隐函数 z , z( x, y) 或y , y( z, x) 或 x , x( y, z) ,为什么,3.不需要具体求解，指出解决下列问题的两条不同的解题思路:x 2 y 2 z 2 设椭球面 a 2 b c小距离.3f x (1 ,1) .2u 二.(8 分)设函数 f 具有二阶连续的偏导数， u , f ( xy , x ， y) 求 . x y三.(8 分)设变量 x , y , z 满足方程 z , f ( x, y) 及 g ( x, y, z) ,0 ，其中 f 与 g 均具有连续的偏dy 导数，求 . dx,xyz , 0, 在点 (0，，) 处的切线与法平面的方程. 四.(8 分)求曲线 , 2 D y 2 五.(8 分)计算积分) ，， e，其中 D 是顶点分别为 ( 0 , 0 ) . ( 1 , 1 ) . ( 0 , 1 ) 的三角形区域. dxdy2 2 2 ) 2 ， ( y 2 ) 2 , 9 上的最大值和最小值.2 22 x 2 ， y 2 , 1000 上的点.(1)问: z 在点 M ( x, y) 处沿什么方向的增长率最大，并求出此增长率; .2)攀岩活动要山脚处找一最陡的位置作为攀岩的起点，即在该等量线上找一点 M 使得上述增 (长率最大，请写出该点的坐标.2 2七.(10 分)求密度为 , 的均匀柱体 x ， y , 1 ， 0 , z , 1，对位于点 M ( 0 , 0 , 2 ) 的单位质处的切平面，与平面 x ， y ， z , 0 平行.(1)写出曲面 , 的方程并求出点 M 的坐标;2, 3 , 1 处的切线方程. 1.求曲线 , y , 3 ， sin 2t 在点,z , 1 ， cos 3t， 2 ， 2 , 1与平面 Ax ， By ， Cz ， D , 0 没有交点，求椭球面与平面之间的最 4.设函数 z , f ( x, y) 具有二阶连续的偏导数， y , x 是 f 的一条等高线，若 f y (1 ,1) , 1，求1 1;x y 1 , 0六.(8 分)求函数 z , x ， y 在圆 ( x七 . ( 14 分 ) 设一座山的方程为 z , 1000 2x y ， M ( x, y )是山脚 z , 0 即等量线八(14 分) 设曲面 , 是双曲线 z 4 y , 2( z , 0 的一支)绕 z 轴旋转而成，曲面上一点 M .2 2 (2)若 , 是 , . ，和柱面 ,，1 yx 围成的立体，求 , 的体积.3高等数学(下)期末考试试卷 1(答卷时间为 120 分钟)一.简答题(每小题 5 分，要求:简洁.明确)2 2 1.函数 z , y x 在点 (1 , 1) 处沿什么方向有最大的增长率，该增长率为多少, xz 2.设函数 F (x, y, z ,) (z ， 1) ln y ， e 1，为什么方程 F(x, y, z) , 0在点 M(1, 1, 0) 的某个邻域内可以确定一个可微的二元函数 z , z( x, y) ,2 3 3.曲线 x , t 1 , y , t ， 1 , z , t 在点 P(0 , 2 , 1) 处的切线方程是什么,2 y2 4.设平面区域 D : x2 ， ,1 (a , 0,b , 0) ,积分，， (ax3 ， by 5 ， c)dxdy 是多少, b2 a D n n 5.级数的收敛域是什么, 2 n 2 ， 1 xn,0 ,,e x ， 1, 0 , x , , ) ，问级 6.设函数 f ( x) , , 的傅里叶系数为a0 , a n , bn (n , 1,2,3,,;e x 1, , x , 02 ，数 a0 ,n 1 a n 的和是多少, 2二.计算积分2 1.(8 分) I , sin x dx ， dy， y x 2 y 2 , 1 ( y , 0) 取逆时针方2.(8 分) I , ( x ， y)dx ， ( y x)dy ， L 为上半椭圆 x 2 ，， b2 a L向.z , y 2 , ,(0 , z , 2) 绕 z 轴旋转而成的曲面. 三.(12 分)设 , 是由曲线 ,;x , 0(1)写出 , 的方程和 , 取外侧(即朝着 z 轴负方向的一侧)的单位法向量;2 )dzdx ， (8 y ， 1) zdxdy . (2)对(1)中的定向曲面 , ，求积分I , ，,， 4(1 y2 2 2 四.(10 分)求微分方程 (1 ， x ) y, , xy ， x y 的通解x (0 , x , ) 展成正弦级数. 五.(10 分)把函数 f ( x , )2六.应用题x 2 y 2 z 2 1.(10 分)求曲面， 2 ， 2 , 1 (a , 0, b , 0, c , 0) 在第一卦限的切平面，使 a 2 b c该切平面与三个坐标面围成的四面体的体积为最小，并写出该四面体的体积.2.(12 分)设 , 是由曲面 z , ln x 2 ， y 2 与平面 z , 0 , z , 1所围成的立体. 求:(1) , 的体积V ;(2) , 的表面积 A .1高等数学(下)期末考试试卷 2(答卷时间为 120 分钟)一.填空题(每小题 4 分)z z 1.函数 z , f ( x, y )的偏导数在区域 D 内连续是 z , f ( x, y) 在D 内可微的与 x y条件.(充分，必要，充要)2.函数 z , f ( x, y) 在点 ( x0 , y 0 ) 处沿 l , {cos， , cos , }的方向导数可以用公式f , f x ( x0 , y0 ) cos，， f y ( x0 , y0 ) cos , 来计算的充分条件为 z , f ( x, y) 在点 l.(连续，偏导数存在，可微分) ( x0 , y 0 ) 处x x 3.若三阶常系数齐次线性微分方程有解 y1 , e . y2 , xe . y3 , ex，则该微分方程为 .0.5 , x , 1 ,x ，则它的傅里叶 4.周期为 2 的函数 f ( x) 在一个周期内的表达式为 , 1 , x , 0.5 ;1级数在 x , 3.5 处的和为 .n x 5.幂级数 . ln n 的收敛域是 n,2二.(8 分)设函数 f (u, v) 有二阶连续的偏导数，且 f u (0,0) , 1， f v (0,0) , 1 . 函数x 2 z z , f . xy , ，求 x y y ( x, y, )( 0 , 1 )2 2 三.(8 分)求抛物面 z , x ， y 到平面 x ， y ， z ， 1 , 0 的最近距离.四.计算下列积分:(每题 8 分)2 x1. d, ，其中 D 为三直线 y , 0 . y , x 与 x , 1所围成的平面区域. ，， e D2.，,， xydydz ， yzdzdx ， zxdxdy ，其中 , 是平面 x , 0, y , 0, z , 0 及 x ， y ， z , 1所围成的四面体的边界面的外侧., y z , 0 ，从 z 轴正向看去，沿逆时针方向. 3. xyz dz ，其中 , 是曲线 , 2 2 2 ， ;x ， y ， z , 1 ,五.级数( 1) n 1 1.(8 分)设 an 是等差数列，公差 d , 0 ，s n , a1 ， a2 ，， a n .问:级数 s n n,1是绝对收敛还是条件收敛或是发散的,说明理由.( 1)n 1 2 n x 的收敛域与和函数 s( x) . 2.(12 分)求幂级数 n ,1 2n 1六.微分方程1.(8 分)求微分方程 xy, ， y , x ln x 的通解.2.(12 分)设函数 f ( x) 有二阶连续的导数且 f (0) , 0 ， f ,(0) , 1 .如果积分2 f ( x)] y dx ， [ f ,( x) ， y] dy ， [ x L2L 的路径无关，求 f ( x) . 与3。
(完整word版)高等数学测试及答案(第四章)
高等数学测试（第四章）一. 选择题（每小题3分，共30分）1. 已知函数2(1)x +为()f x 的一个原函数，则下列函数中（ ）是()f x 的原函数。
A 21x -B 21x +C 22x x -D 22x x + 2. 若函数ln x x为()f x 的一个原函数，则不定积分()xf x dx '⎰=（ ） A 1ln x C x -+ B 1ln x C x ++ C 12ln x C x -+ D 12ln x C x ++ 3. 已知函数()f x 在(,)-∞+∞内可导，且恒有()f x '=0，又有(1)1f -=，则函数()f x =（ ） A 1 B -1 C 0 D x4. 若函数()f x 的一个原函数为ln x ，则一阶导数()f x '=（ ）A 1xB 21x- C ln x D ln x x 5. 若)(x f 的导函数是x sin ，则)(x f 有一个原函数为（ ）A 1+x sin ；B x sin 1-；C 1+x cos ；D x cos 1-．6. 设F )(x 是)(x f 的一个原函数，则下列各式正确的是（其中常数0>a ）（ ）A ．⎰+=c ax F a dx ax f x )(ln 1)(ln 1 B ．⎰+=c ax aF dx ax f x)(ln )(ln 1 C ．⎰+=c ax F x dx ax f x )(ln 1)(ln 1 D ．⎰+=c ax F dx ax f x )(ln )(ln 1 7.()xf x dx ''=⎰ ( )A.()()xf x f x dx '-⎰B. ()()xf x f x C ''-+C.()()xf x f x C '-+D. ()()f x xf x C '-+8.下列式子中正确的是（ ）A ．()()x F x dF =⎰B ．()()C x F x dF d +=⎰C ．()()dx x f dx x f dx d =⎰D ．()()dx x f dx x f d =⎰ 9.若()()x G x F '='，k 为任意常数，则（ ）A ．()()k x F x G =+B ．()()k x F x G =-C ．()()0=-x F x GD ．()()()()'='⎰⎰dx x G dx x F10.若()x f '为连续函数，则()⎰='dx x f 2( ) A ．()C x f +2 B ．()C x f + C ．()C x f +221 D ．()C x f +22 二. 填空题（每小题4分，共20分）11．若ln ()x df x dx x =，则()_______f x =． 12．若2[()]2()cos d f x f x xdx =，且(0)1f =，则()______f x =____． 13. 2()____________1()f x dx f x '=+⎰． 14. =⎰dx x x x ___________________． 15. d dx x =⎪⎭⎫ ⎝⎛+211___________________． 三. 计算题16．（5分）计算22(1)dx x x +⎰． 17．（5分）计算 1x dx e +⎰．18．（5分）计算 321x dx x +⎰． 19．（5分）计算dx x x ⎰arctan ．20．（5分）计算⎰21．（5分）计算 23x x e dx ⎰．22．（10分）计算 cos ax I e bxdx =⎰．23．（10分）设ln(1)(ln )x f x x +=，求()f x dx ⎰．.高等数学测试题（四）不定积分部分一. 选择题 1—5 DCABB 6—10 DCDBC二. 填空题11． 2ln 1()ln 2x f x dx x C x ==+⎰. 12． ()sin 1f x x =+ 13. 22()()arctan ()1()1()f x df x dx f x C f x f x '==+++⎰⎰. 14. C x +815158. 15. C x x +-1. 二. 计算题16．（5分）计算 22(1)dx x x +⎰.【解析】原式=22111()arctan 1dx x C x x x-=--++⎰. 17．（5分）计算 1x dx e +⎰. 【解析】原式=(1)ln(1)1xx x e dx x e C e-=-+++⎰. 18．（5分）计算 321x dx x +⎰. 【解析】原式=22211()ln(1)122x x dx x x C x -=-+++⎰. 19．（5分）计算dx x x ⎰arctan .【解析】原式=dx x x x dx x x x x dx x ⎰⎰⎰⎪⎭⎫ ⎝⎛+-+=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+-=22222211121arctan 211arctan 21arctan 21 ()C x x x x +-+=arctan arctan 212. 20．（5分）计算⎰【解析】设 t =原式=5253261166(arctan )1t t dt dt t t C C t t t +-==-+=++⎰⎰. 21．（5分）计算23x x e dx ⎰. 【解析】原式=22222222111()()222x x x x x e dx x d e x e e C ==-+⎰⎰. 22．（10分）计算 cos ax I e bxdx =⎰. 【解析】 222221cos sin 1(sin sin )1sin cos 1sin (cos cos )1sin cos ax ax ax ax ax ax ax ax ax ax ax I e bxdx e d bx b e bx a e bxdx ba e bx e d bxb ba e bx e bx a e bxdxb ba a e bx e bx Ib b b===-=+=+-=+-⎰⎰⎰⎰⎰22(sin cos )axe I b bx a bx C a b=+++ 23．（10分）设ln(1)(ln )x f x x+=，求()f x dx ⎰. 【解析】由ln(1)(ln )x f x x+=得ln(1)()x x e f x e +=， 所以ln(1)()ln(1)x x x x e f x dx dx e de e-+==-+⎰⎰⎰ ln(1)1x x x e dx e e +=-++⎰ln(1)1x x x x e e dx e e --+=-++⎰ ln(1)(1)1x x x x e d e e e --++=--+⎰ln(1)ln(1)x x x e e C e-+=--++ ln(1)ln(1)x x xe e x C e +=--+++．。
(word完整版)高等数学习题集及答案
1,1],且是单调递减的是【 】
B.y arccosx
D.y arccot x
若数列收敛，则极限唯一
若函数f (x)在x x0处的左右极限都存在，则
当变量x 0时，与x2等价的无穷小量是
B.1 cos2x
A .sinx
x1是函数f (x)
A.无穷间断点
C.跳跃间断点
下列命题正确的是
当x→0时,
A.无穷பைடு நூலகம்量
x 0是函数
连续点
设数列的通项
A. xn发散
2极限limxx1
A.若f (x0) A，
C.
f (x)在此点处的极限存在
】
ln 1 x2
D.
e2x1
x 2的
x1
】.
B.
D.
可去间断点
连续点
】
lim f(x)
x x0
C.若lim f (x)存在，则极限唯一x x0
B.
D.
若lim f (x) A，则
x x0
以上说法都不正确
f (x0) A
当变量x 0时，与x2等价的无穷小量是
A.连续点
f (x)
B.
C.
3
x
D.
2的x2x 2可去间断点
x 2是函数f (x)
A.连续点
3
xx
2
x2x 2
B.可去间断点
x 2是函数f (x)
x24
x2x 2
若{un}有界，若{un}收敛，
{un}收敛
{un}有界
若{un}无界，若{un}单调有界，则{un}收敛
{un}发散
e3
C.无穷间断点
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《高数》试卷1（上）
一．选择题（将答案代号填入括号内，每题3分，共30分）.
1．下列各组函数中，是相同的函数的是（ ）.
（A ）()()2ln 2ln f x x g x x == 和 （B ）()||f x x = 和 (
)g x =（C ）()f x x = 和 (
)2
g x =
（D ）()||
x f x x
=
和 ()g x =1 2．函数()
00x f x a x ≠=⎨⎪
=⎩ 在0x =处连续，则a =（ ）.
（A ）0 （B ）1
4
（C ）1 （D ）2
3．曲线ln y x x =的平行于直线10x y -+=的切线方程为（ ）.
（A ）1y x =- （B ）(1)y x =-+ （C ）()()ln 11y x x =-- （D ）y x = 4．设函数()||f x x =，则函数在点0x =处（ ）.
（A ）连续且可导 （B ）连续且可微 （C ）连续不可导 （D ）不连续不可微
5．点0x =是函数4
y x =的（ ）.
（A ）驻点但非极值点 （B ）拐点 （C ）驻点且是拐点 （D ）驻点且是极值点
6．曲线1
||
y x =
的渐近线情况是（ ）. （A ）只有水平渐近线 （B ）只有垂直渐近线 （C ）既有水平渐近线又有垂直渐近线 （D ）既无水平渐近线又无垂直渐近线 7．
211
f dx x x
⎛⎫' ⎪⎝⎭⎰
的结果是（ ）. （A ）1f C x ⎛⎫
-+ ⎪⎝⎭
（B ）1f C x ⎛⎫
--+ ⎪⎝⎭
（C ）1f C x ⎛⎫
+ ⎪⎝⎭
（D ）1f C x ⎛⎫
-+ ⎪⎝⎭
8．
x x dx
e e -+⎰的结果是（ ）.
（A ）arctan x
e C + （B ）arctan x
e
C -+ （C ）x x e e C --+ （
D ）ln()x x e e C -++
9．下列定积分为零的是（ ）.
（A ）424arctan 1x dx x π
π-+⎰ （B ）44
arcsin x x dx ππ-⎰ （C ）112x x
e e dx --+⎰ （D ）()121sin x x x dx -+⎰ 10．设()
f x 为连续函数，则()1
2f x dx '⎰等于（ ）.
（A ）()()20f f - （B ）
()()11102f f -⎡⎤⎣⎦（C ）()()1
202f f -⎡⎤⎣
⎦（D ）()()10f f -
二．填空题（每题4分，共20分）
1．设函数()21
00x e x f x x a x -⎧-≠⎪
=⎨⎪=⎩
在0x =处连续，则a =
.
2．已知曲线()y f x =在2x =处的切线的倾斜角为5
6
π，则()2f '=.
3．2
1
x
y x =-的垂直渐近线有条. 4．
()21ln dx
x x =
+⎰.
5．
()4
22
sin cos x
x x dx π
π
-
+=
⎰.
三．计算（每小题5分，共30分） 1．求极限
①21lim x
x x x →∞+⎛⎫
⎪⎝⎭ ②()
2
0sin 1
lim x x x x x e →-- 2．求曲线()ln y x y =+所确定的隐函数的导数x y '. 3．求不定积分 ①
()()13dx x x ++⎰
②()0a > ③x xe dx -⎰
四．应用题（每题10分，共20分） 1． 作出函数3
2
3y x x =-的图像.
2．求曲线2
2y x =和直线4y x =-所围图形的面积.
《高数》试卷1参考答案
一．选择题
1．B 2．B 3．A 4．C 5．D 6．C 7．D 8．A 9．A 10．C 二．填空题
1．2-2．
3
3
-３．２４．arctanln x c
+５．２
三．计算题
１①2e②1
6
2.
1
1
x
y
x y
'=
+-
3. ①11
ln||
23
x
C
x
+
+
+
②22
ln||
x a x C
-++③()1
x
e x C
-
-++
四．应用题
１．略２．18
S=。