辽宁省沈阳市郊联体2017-2018学年高二下学期期中考试数学(文)试题 (1)

2017-2018学年度下学期沈阳市郊联体期中考试高二试题文科数学 第Ⅰ卷（共60分）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合{}1,2,3A =，{}2|9B x x =<，则AB =（ ）A ．{}2,1,0,1,2,3--B ．{}2,1,0,1,2--C ．{}1,2,3D ．{}1,22.已知直线l 经过点(2,1)P ，且与直线220x y -+=平行，那么直线l 的方程是（ ） A ．230x y --=B ．240x y +-=C ．240x y --=D ．240x y --=3.在区间,22ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上随机取一个x ，则sin x 的值介于12-与12之间的概率为（ ）A ．2πB ．13C ．12D ．234.在等差数列{}n a 中，已知4816a a +=，则该数列前11项和11S =（ ） A ．58B ．88C ．143D ．1765.已知实数x ，y 满足2,24,8,y x y x y ≥⎧⎪-≥⎨⎪+≤⎩则2z x y =+的最大值为（ ）A ．8B ．12C ．14D ．206.下列函数求导运算正确的个数为（ ） ①3(3)'3log x x e =；②21(log )'ln 2x x =；③()'x xe e =；④1()'ln x x=；⑤()'1x x xe e =+．A ．1B ．2C ．3D ．47.已知函数()f x 的导函数为'()f x ，且满足()2'(1)ln f x xf x =+，则()f x 图象在点(1,(1))M f 处的切线斜率为（ ）A ．1B ．0C ．1-D ．38.若函数2()()f x x x c =-在2x =处有极大值，则常数c 为（ ） A ．2或6B ．2C ．6D ．2-或6-9.设函数21()16ln 2f x x x =-在区间[]1,2a a -+上单调递减，则实数a 取值范围是（ ） A ．(1,3)B ．(2,3)C ．[]2,3D ．(1,2]10.已知函数21()cos 4f x x x =+，'()f x 是函数()f x 的导函数，则'()f x 的图象大致是（ ）11.函数2()ln 2f x x x x ax =+-+恰有一个零点，则实数a 的值为（ ） A ．1-B ．1C ．2D ．312.已知定义在R 上的可导函数()f x 的导函数为'()f x ，满足'()()f x f x <，且(3)f x +为偶函数，(6)1f =，则不等式()x f x e >的解集为（ ） A ．(4,)+∞B ．(0,)+∞C ．(1,)+∞D ．(,0)-∞第Ⅱ卷（共90分）二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上） 13.已知函数2y ax b =+在点(1,3)处的导数为2，则ba= ． 14.函数26()1xf x x =+在区间[]0,3的最大值为 ． 15.若函数321()(23)13f x ax ax a x =-+-+在R 上存在极值，则实数a 的取值范围是 ．16.设函数21()x f x x+=，()x x g x e =，对任意1x ，2(0,)x ∈+∞，不等式12()()1g x f x k k ≤+恒成立，则正数k 的取值范围是 ．三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 17.已知曲线31433y x =+． 求：（1）曲线在点(2,4)P 处的切线方程； （2）曲线过点(2,4)P 的切线方程．（参考数据：32234(1)(2)x x x x -+=+-） 18.已知函数()4cos sin()16f x x x π=+-．（1）求()f x 的最小正周期及单调增区间；（2）求()f x 在区间,64ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上的最大值和最小值． 19.已知函数()x f x e ax =-（a 为常数）的图象与y 轴交于点A ，曲线()y f x =在点A 处的切线斜率为1-．（1）求a 的值及函数()f x 的极值； （2）证明：当0x >时，2xx e <． 20.已知函数21()(1)(12)ln (0)2f x ax a x a x a =+-+->． （1）若2x =是函数的极值点，求a 的值及函数()f x 的极值； （2）讨论函数的单调性．21.已知函数()ln f x ax x =+，其中a R ∈．（1）若()f x 在区间[]1,2上为增函数，求a 的取值范围； （2）当a e =-时，证明：()20f x +≤； （3）当a e =-时，试判断方程ln 3|()|2x f x x =+是否有实数解，并说明理由． 22.已知函数()|21|f x x =+，()|1||23|g x a x =---． （1）当5a =-时，求()()f x g x ≤的解集；（2）若存在实数x 使得()()f x g x <成立，求实数a 的取值范围．2017-2018学年度下学期沈阳市郊联体期中考试高二试题文科数学答案一、选择题1-5:DABBC 6-10:BCCDA 11、12：DD 二、填空题13.2 14.3 15.(0,3) 16.1[,)21e +∞- 三、解答题17.解:（1）因为4(2)P ，在曲线31433y x =+上，且2y x '=， ∴在点4(2)P ，处的切线的斜率k=2|x y ='=4;∴曲线在点4(2)P ，处的切线方程为()442,y x -=-即440.x y --=（2）设曲线31433y x =+与过点4(2)P ，的切线相切于点0A x (，301433x +），则切线的斜率020|x x k y x ='==，∴切线方程为y －（301433x +）=20x （x －0x ），∵点4(2)P ，在切线上，∴42=20x －302433x +，即3200340x x -+=∴322000440x x x +-+=，即 ()200120x x +-=（）解得01x =-或02x =，∴所求的切线方程为44020x y x y --=-+=或.18.解：(1)因为1)6sin(cos 4)(-+=πx x x f所以)(x f 的最小正周期为π． 令Z k k x k ∈+≤+≤-,226222πππππ解得，,,63Z k k x k ∈+≤≤-ππππ则)(x f 的单调增区间为⎥⎦⎤⎢⎣⎡+-6,3ππππk k ，Z k ∈， （2）因为3262646πππππ≤+≤-≤≤-x x ，所以，于是时，即6,262πππ==+x x )(x f 取得最大值2；当662ππ-=+x ，即6π-=x 时，()x f 取得最小值1-．19.解：（1）因为()x f x e ax =-，所以(0)1f =，即(0,1)A ，由()x f x e ax =-，得'()x f x e a =-，又'(0)11f a =-=-，得2a =， 所以()2x f x e x =-， '()2x f x e =-， 令'()0f x =，得ln 2x =，当ln 2x <时，'()0f x <，()f x 单调递减； 当ln 2x >时，'()0f x >，()f x 单调递增，所以当ln 2x =时，()f x 取得极小值，且极小值为ln2(ln 2)2ln 22ln 4f e =-=-，无极大值．（2）令2()x g x e x =-，则'()2x g x e x =-．由（1）得'()()(ln 2)0g x f x f =≥>，故()g x 在R 上单调递增， 又(0)10g =>，因此，当0x >时，()(0)0g x g >>，即2x x e <． 20.解（1）∵()()2112f x ax a =+- ()12ln x a x +-， ∴()()()1210af x ax a x x-=++'->， 由已知()()122212a f a a -=+-+' 1202a =-=，解得14a =， 此时()2131ln 842f x x x x =-+， ()131442f x x x =-+' ()()124x x x--=， 当01x <<和2x >时， ()0f x '>， ()f x 是增函数， 当12x <<时， ()0f x '<， ()f x 是减函数，所以函数()f x 在1x =和2x =处分别取得极大值和极小值，()f x 的极大值为()1351848f =-=-，极小值为()13112ln2ln212222f =-+=-. （2）由题意得()()121af x ax a x-=+-+'()()2112ax a x a x+-+-=()()1210a a x x a x x-⎛⎫-- ⎪⎝⎭=>， ①当120a a -≤，即12a ≥时，则当01x <<时,()0f x '<,()f x 单调递减；当1x >时 ,()0f x '>,()f x 单调递增．②当1201a a -<<，即1132a <<时，则当120ax a -<<和1x >时,()0f x '>， ()f x 单调递增；当121ax a-<<时,()0f x '<,()f x 单调递减．③当121a a ->，即103a <<时，则当01x <<和12ax a->时，()0f x '>,()f x 单调递增；当121ax a-<<时，()0f x '<，()f x 单调递减． ④当121a a -=，即13a =时，()0f x '≥，()f x 在定义域()0,+∞上单调递增．…（10分） 综上：①当103a <<时，()f x 在区间121,a a -⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递减，在区间()0,1和12,a a -⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭上单调递增；②当13a =时，()f x 在定义域()0,+∞上单调递增；③当1132a <<时， ()f x 在区间12,1a a -⎛⎫⎪⎝⎭上单调递减，在区间120,a a -⎛⎫⎪⎝⎭和()1,+∞上单调递增；④当12a ≥时 ()f x 在区间()0,1上单调递减，在区间),1(+∞上单调递增．21.解：（1）因为()f x 在区间[]1,2上为增函数，所以'()0f x ≥在[]1,2x ∈上恒成立， 即1'()0f x a x =+≥，1a x≥-在[]1,2x ∈上恒成立， 则12a ≥-． （2）当a e =-时，()ln f x ex x =-+，1'()ex f x x-+=． 令'()0f x =，得1x e =， 令'()0f x >，得1(0,)x e∈，所以函数()f x 在1(0,)e单调递增； 令'()0f x <，得1(,)x e ∈+∞，所以函数()f x 在1(,)e+∞单调递减， 所以max 111()()ln 2f x f e e e e==-⋅+=-， 所以()20f x +≤成立．（3）由（2）知，max ()2f x =-，所以|()|2f x ≥．设ln 3()2x g x x =+，(0,)x ∈+∞，所以21ln '()xg x x -=． 令'()0g x =，得x e =，令'()0g x >，得(0,)x e ∈，所以函数()g x 在(0,)e 单调递增； 令'()0g x <，得(,)x e ∈+∞，所以函数()g x 在(,)e +∞单调递减， 所以max ln 313()()222e g x g e e e ==+=+<，即()2g x <， 所以|()|()f x g x >，即ln 3|()|2x f x x >+． 所以，方程ln 3|()|2x f x x =+没有实数解． 22.（1）当5a =-时，原不等式可化为21236x x ++-≤,等价于3,2(21)(23)6x x x ⎧>⎪⎨⎪++-≤⎩或⎪⎩⎪⎨⎧≤--+≤≤-6)32()12(2321x x x 或⎪⎩⎪⎨⎧≤--+--<6)32()12(21x x x 解得322x <≤或1322x -≤≤或112x -≤<-， 所以原不等式的解集为{}|12x x -≤≤. （2）21231x x a ++-<-成立()()212321234x x x x ++-≥+--=14a ∴->，∴ 3a <-或5a >,所以实数a 的取值范围是：()(),35,-∞-⋃+∞．。