广东广雅中学高一数学必修1
广东省广雅中学、执信、六中、深外四校2024届数学高一上期末统考试题含解析
广东省广雅中学、执信、六中、深外四校2024届数学高一上期末统考试题请考生注意：1．请用2B 铅笔将选择题答案涂填在答题纸相应位置上，请用0．5毫米及以上黑色字迹的钢笔或签字笔将主观题的答案写在答题纸相应的答题区内。
写在试题卷、草稿纸上均无效。
2．答题前，认真阅读答题纸上的《注意事项》，按规定答题。
一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。
在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的 1．已知函数()f x 的图像是连续的，根据如下对应值表：函数在区间[]1,6上的零点至少有（） A.5个 B.4个 C.3个D.2个2．设,m n 是两条不同的直线，,,αβγ是三个不同的平面，给出下列四个命题： ①若m α⊥，//n α，则m n ⊥；②若//αβ，//βγ，//m α，则//m γ； ③若//m α，//n α，则//m n ；④若αγ⊥，βγ⊥，则//αβ. 其中正确命题的序号是 A.① B.②和③ C.③和④D.①和④3．我国南宋时期著名的数学家秦九韶在其著作《数书九章》中独立提出了一种求三角形面积的方法“三斜求积术”，即ABC 的面积S =,,a b c 分别为ABC 的内角,,A B C 的对边，若1b =，且tanC =ABC 的面积的最大值为（ ）A.24． “6πα=”是“3tan 3α=”的条件 A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件D.即不充分也不必要条件5．函数()()()cos 20f x x ϕϕπ=+<<在区间,66ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦单调递减，在区间,06π⎛⎫- ⎪⎝⎭上有零点，则ϕ的取值范围是 A.,62ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦B.25,36ππ⎡⎫⎪⎢⎣⎭C.2,23ππ⎛⎤⎥⎝⎦ D.,32ππ⎡⎫⎪⎢⎣⎭6．若函数2(21)2f x x x +=-，则()f x =（）A.22x x -B.241x x -+C.2135424x x -+ D.21342x x - 7．设,,x y z 为大于1的正数，且235log log log x y z ==，则12x ，13y ，15z 中最小的是A.12x B.13y C.15zD.三个数相等8．福州新港江阴港区地处福建最大海湾兴化湾西北岸，全年全日船泊进出港不受航道及潮水的限制，是迄今为止“我国少有、福建最佳”的天然良港.如图，是港区某个泊位一天中6时到18时的水深变化曲线近似满足函数3sin()y x k ωϕ=++，据此可知，这段时间水深（单位：m ）的最大值为（）A.5B.6C.8D.109．如图，把边长为4的正方形ABCD 沿对角线AC 折起，当直线BD 和平面ABC 所成的角为60︒时，三棱锥D ABC -的体积为（ ）A.1663 B.823C.863D.46310．已知集合21,01,2A =--｛，，｝，{}|(1)(2)0B x x x =-+<,则AB =（）A.{}1,0-B.{}0,1C.{}1,0,1-D.{}0,1,2二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。
人教A版数学必修一广东省广雅中学高一上学期期中考试(数学)
广东省广州市广雅中学2011-2012学年高一上学期期中考试数学试题本试卷满分为150分，考试用时120分钟。
第一部分选择题(共40分)一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.函数)1(log 21-=x y 的定义域是A ．0(,)+∞B ．1(,)+∞C ．2(,)+∞D ．12(,)2．已知{}{}1,2,3,2,4A B ==，定义{}|A B x x A x B -=∈∉且，则A B -=A.{}1,2,3B.{}2,4C.{}1,3D.{}23．下列函数中，在其定义域内既是奇函数又是增函数的是A ．R x x y ∈-=,B ．R x y x ∈=,2C ．R x x y ∈=,3D ．,y x x R =?4．已知2m >，点123(1,),(,),(1,)m y m y m y -+都在二次函数22y x x =-的图象上，则A.123y y y <<B.321y y y <<C.312y y y <<D.213y y y <<5.已知函数x e y =的图象与函数)(x f y =的图象关于直线x y =对称,则A ．()()22x f x e x R =?B ．()ln ln ()220f x x x =>C ．()()22xf x e x R =?D ．()ln ln ()220f x x x =+>6.函数(01)x y a a =<<的图象是7.设函数⎩⎨⎧<+≥+-=0,60,64)(2x x x x x x f 则不等式)1()(f x f >的解集是A ．),3()1,3(+∞⋃-B ．),2()1,3(+∞⋃-C ．),3()1,1(+∞⋃-D ．)3,1()3,(⋃--∞8.()f x 在(1,1)-上既是奇函数，又为减函数.若2(1)(1)0f t f t -+->，则t 的取值范围是A ．12t t ><-或B ．12t <<C ．21t -<<D ．12t t <>或第二部分非选择题(共110分)二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分.9.若函数 1 (0)() 4 (0)x x f x x x +≥⎧=⎨--<⎩，则()5f f -=⎡⎤⎣⎦ .10.计算222log 10log 0.04+= .11.函数()20.5log (32)f x x x =--的单调递增区间是 .12.若函数1()423x x f x +=-+的定义域为[1,1]-，则()f x 值域为 .13.已知()f x 在R 上是奇函数，且当0x ≥时，2()ln(1)f x x x =-+；则当0x <时， ()f x 的解析式为()f x = .14.方程0122=++ax x 一个根大于1，一个根小于1，则实数a 的取值范围是 .三、解答题：本大题共6小题，共80分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15．（本题满分13分） 设全集为U ，集合}6,4,2,0{=A ，{1,3,1,3}U A =--ð，{1,0,2}U B =-ð，求B A I 和B A Y16．（本题满分13分）若函数22,0()22,0x x f x x x x ⎧>⎪=⎨---≤⎪⎩， （Ⅰ）在给定的平面直角坐标系中画出函数()f x 图象；（Ⅱ）利用图象写出函数()f x 的值域、单调区间.17．（本题满分13分）已知1()log1axf xx+=-（0a>且1a≠）（Ⅰ）求()f x的定义域；（Ⅱ）判断()f x的奇偶性并证明；（Ⅲ）求使()0f x>成立的x的取值范围. 18．（本题满分14分）已知函数21 42 ay x ax=-+-+在区间[0,1]上的最大值是2，求实数a的值.19．（本题满分13分）一片森林原来面积为a，计划每年砍伐一些树，且每年砍伐面积的百分比相等，当砍伐到面积的一半时，所用时间是10年，为保护生态环境，森林面积至少要保留原面积的14，已知到今年为止，森林剩余面积为原来的2. （Ⅰ）求每年砍伐面积的百分比；（Ⅱ）到今年为止，该森林已砍伐了多少年？（Ⅲ）今后最多还能砍伐多少年？20．（本题满分14分）函数()f x 对一切实数x ，y 均有()()(21)f x y f y x y x +-=++成立，且(1)0f =． （Ⅰ）求(0)f 的值；（Ⅱ）求函数()f x 的解析式； （Ⅲ）对任意的11(0,)2x ∈，21(0,)2x ∈，都有12()2log a f x x +<成立时，求a 的取值范围．广东广雅中学2011学年度上学期期中必修1模块考试参考答案及评分标准(共3页)16．（本题满分13分）解：…………………………7分()10,012<<∴<-∴x x x …………10分123456-1-2-3-4-5-6-1-2-3-4-512345xy 010<<a 当时，由()0f x >得1011x x+<<-， 则由1101101x x x x +⎧+>⎪⎪-⎨+⎪<⎪-⎩解得01<<-x …………………………12分综上，当1a >时，使()0f x >的x 的取值范围为(0,1)；10<<a 当时，使()0f x >的x 的取值范围为(1,0)-.…………………13分（Ⅱ）设经过m 年剩余面积为原来的22，则 a x a m22)1(=-，即2110)21()21(=m ，2110=m ，解得5=m 故到今年为止，已砍伐了5年。
广东省广州市荔湾区广雅中学2017-2018学年高一上学期期中考试数学试题含答案精品
广东广雅中学2017学年度上学期其中必修1模块考试数学试卷（共4页）第Ⅰ部分基础检测（共100分）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的．1．设集合0,2,M x ，0,1N ，若N M ，则x 的值为（）．A ．2B ．0C ．1D ．不能确定【答案】C【解析】0,2,M x ，0,1N ，∵N M ，∴0M ，1M ，∴1x ．故选C ．2．已知集合2|10A x x mx ，若A R ，则实数m 的取值范围是（）．A ．2mB ．2mC ．22m ≤≤D ．22m 【答案】D【解析】2|10A x x mx 为方程210x mx 的根的集合，∵A R ，∴A ，∴240m ，解得22m ．故选D ．3．下列四个图形中，不是以x 为自变量的函数的图象是（）．A ．x y OB ． y x OC ． yx OD ．yxO【答案】C【解析】解：由函数定义知，定义域内的每一个x 都有唯一数值与之对应，A ，B ，D 选项中的图象都符合；C 项中对于大于零的x 而言，有两个不同的值与之对应，不符合函数定义．根据函数的定义中“定义域内的每一个x 都有唯一的函数值与之对应”判断．故选C ．4．设函数221,1()2,1x x f x x x x ≤则1(2)f f 的值为（）．A ．18B ．2716C ．89D ．1516【答案】D【解析】解：函数221,1()2,1x x f x x x x ≤，2(2)2224f ，则2111151(2)4416f f f ，故选D ．5．设0x 是方程2ln(1)x x 的解，则0x 在下列哪个区间内（）．A ．(0,1)B ．(1,2)C ．(2,e)D ．(3,4)【答案】B【解析】构造函数2()ln(1)f x x x ，∵(1)ln 210f ，(2)ln310f ，∴函数2()ln(1)f x x x 的零点属于区间(1,2)，即0x 属于区间(1,2)．故选B ．6．下列函数中，既是偶函数，又在(0,)单调递增的函数是（）．A ．2y xB ．||2x yC ．1y x D ．lg ||y x 【答案】D【解析】0x 时，2y x 在(0,)单调递减，||1222xx x y 在(0,)单调递减，11y x x 在(0,)单调递减，lg ||lg y x x 在(0,)单调递增．故选D ．7．函数12()2x f x 的大致图象为（）．A ．x O y 1B ．x O y 1C ．xOy1D ．xOy1【答案】A【解析】1112221()222x x x f x ，∴12()2x f x 的图象为12xy 的图象向右平移12个单位所得．故选A ．8．已知0.3a ，0.32b ，0.20.3c ，则a ，b ，c 三者的大小关系是（）．A ．b c aB ．b a cC ．a b cD ．c b a【答案】A【解析】10.220.30.30.31a c ，0.30221b，∴b c a ．故选A ．9．已知函数()f x 是定义在区间[2,2]上的偶函数，当[0,2]x 时，()f x 是减函数，如果不等式(1)()f m f m 成立，则实数m 的取值范围（）．A ．11,2B ．(1,2)C ．(,0)D ．(,1)【答案】A【解析】解：偶函数()f x 在[0,2]上是减函数，∴其在(2,0)上是增函数，由此可以得出，自变量的绝对值越小，函数值越大，∴不等式(1)()f m f m 可以变为|1|||22212m m m m ≤≤≤≤，解得11,2m．故选A ．10．已知4log 28a，5log 35b ，6log 42c ，则a ，b ，c 的大小关系为（）．A ．b c a B ．c b a C ．a c b D ．a b c【答案】B【解析】解：444log 28log (47)1log 7a ，555log 35log (57)1log 7b，666log 42log (67)1log 7c ，且654lg7lg7lg7log 7log 7log 7lg6lg5lg 4，∴c b a ．故选B ．11．对于任意两个正整数m ，n ，定义某种运算“”如下：当m ，n 都为正偶数或正奇数。
广东省广州市荔湾区广雅中学2016-2017学年高一上学期期中数学试题 Word版含解析
广东广雅中学2016学年度上学期期中必修一模块考试数学试卷（共4页）一、选择题：本大题共10题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中只有一项符合题目要求。
1．已知全集U =R ，集合{}1,1A =-，{}2|B x x x ==，则下图中的阴影部分表示的集合为（ ）．BAUA ．{}0,1B ．{}0C ．{}1D ．{}1-【答案】B【解析】{}0,1B =，阴影部分表示的是()B A B I ð， {}1A B =I ，则{}()0B A B =I ð， 故答案为B ．2．已知函数{2()log (0)3(0)x f x x x x ⎧=>⎪⎨⎪⎩≤，则14f f ⎡⎤⎛⎫= ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦（ ）．A ．9B ．19C ．9-D ．19-【答案】B 【解析】22211log (log 2)44f f f f -⎛⎫⎛⎫⎛⎫== ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭(2)f =-23-=19=．3．在同一直角坐标系中，函数()(0)a f x x x =≥，()log a g x x =的图象可能是（ ）．A ．B．C．D．【答案】D【解析】解：当01a <<时，函数()(0)a f x x x =≥，()log a g x x =的图象为：此时答案D 满足要求，当1a >时，函数()(0)a f x x x =≥，()log a g x x =的图象为：无满足要求的答案， 综上：故选D ．4．下列函数中是偶函数且在区间(0,)+∞上单调递增的是（ ）．A ．12y x =B ．3y x =C ．||2x y =D ．2|log |y x =【答案】C【解析】对于A ，定义域为[0,)+∞，非奇非偶，不满足题意； 对于B ，定义域为R ，函数为奇函数，不满足题意；对于C ，定义域为R ，函数为偶函数，且在区间(0,)+∞上单调递增，满足题意，故选C ； 对于D ，定义域为(0,)+∞，非奇非偶，不满足题意．5．已知2()22x f x x =-，则下列区间中，()0f x =有实数解的是（ ）．A ．(3,2)--B ．(1,0)-C ．(2,3)D ．(4,5)【答案】B【解析】解：∵13(1)2022f -=-=>(0)0110f =-=-<，∴在(1,0)-内方程()0f x =有实数解， 故选：B ．6．设1a >，则0.2log a ，0.2a ，0.2a 的大小关系是（ ）．A ．0.20.20.2log a a a <<B ．0.20.2log 0.2a a a <<C ．0.20.2log 0.2a a a <<D ．0.20.20.2log a a a <<【答案】C【解析】因为当1a >时，0.20.2log log 10a <=， 100.20.20.2a <<=，0.20.211a >=，所以0.20.2log 0.2a a a <<． 故本题正确答案为C ．7．为了得到函数133xy ⎛⎫=⨯ ⎪⎝⎭的图像，可以把函数13xy ⎛⎫= ⎪⎝⎭的图像（ ）．A ．向左平移1个单位长度B ．向左平移3个单位长度C ．向右平移1个单位长度D ．向右平移3个单位长度【答案】D【解析】∵函数133x y ⎛⎫=⨯ ⎪⎝⎭化成：(1)13x y -⎛⎫= ⎪⎝⎭，∴可以把函数13xy ⎛⎫= ⎪⎝⎭的图象向右平移1个单位长度得到函数133xy ⎛⎫=⨯ ⎪⎝⎭的图象，故选D ．8．函数1()2xg x ⎛⎫= ⎪⎝⎭的反函数记为()f x ，则2(4)f x -的单调区间是（ ）．A ．(,0]-∞B ．[0,)+∞C ．(2,0]-D ．[0,2)【答案】D【解析】∵()f x 与1()2xg x ⎛⎫= ⎪⎝⎭互为反函数，∴21()log log 2f x x x ==-，(0)x >．则函数22(4)log2(4)f x x -=--，，由240x ->，解得22x -<<． ∴函数的单调增区间是[0,2)． 故选：D ．9．设集合{}2|0log 1A x x =<<，{}|B x x a =<，若A B ⊆，则a 的取值范围是（ ）．A ．2a ≥B ．2a >C ．1a <D ．1a ≤【答案】A【解析】根据题意，分析可得，集合A 是不等式20log 1x <<的解集， 由20log 1x <<可得，222log 1log log 2x <<， 即12x <<，又由{}|B x x a =<，且A B ⊆， 则2a ≥； 故选A ．10．设x ∈R ，定义符合函数1,0,sgn ,0,1,0.x x x x x >⎧⎪=⎨⎪-<⎩则（ ）．A ．|||sgn |x x x =B ．||sgn ||x x x =C ．||||sgn x x x =D ．||sgn x x x =【答案】D【解析】解：对于选项A ，右边,0|sgn |0,0x x x x x ≠⎧==⎨=⎩，而左边,0||,0x x x x x ⎧==⎨-<⎩≥，显然不正确；对于选项B ，右边,0sgn ||0,0x x x x x ≠⎧==⎨=⎩，而左边,0||,0x x x x x ⎧==⎨-<⎩≥，显然不正确； 对于选项C ，右边,0||sgn 0,0x x x x x ≠⎧==⎨=⎩，而左边,0||,0x x x x ⎧==⎨-<⎩≥，显然不正确；对于选项D ，右边,0sgn 0,0,,0x x x x x x x >⎧⎪===⎨⎪-<⎩，而左边,0||,0x x x x x ⎧==⎨-<⎩≥，显然正确； 故选：D ．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分． 11．函数2()lg(31)f x x =+的定义域是__________． 【答案】1,13⎛⎫- ⎪⎝⎭【解析】解：对于函数2()lg(31)f x x +， 自变量x 需要满足10x ->且310x +>，即113x -<<，因此，本题正确答案是1,13⎛⎫- ⎪⎝⎭．12．已知幂函数226()(57)m f x m m x -=-+在区间(0,)+∞上单调递增，则实数m 的值为__________． 【答案】3【解析】由函数226()(57)m f x m m x -=-+为幂函数， 故有2571m m -+=，又幂函数在区间(0,)+∞单调递增，故有260m ->， 所以3m =．故本题正确答案为3．13．已知函数()f x 在R 上是奇函数，且当0x ≥时，2()ln(1)f x x x =-+，则当0x <时，()f x 的解析式为()f x =__________． 【答案】2ln(1)x x -+-【解析】本题主要考查函数的性质．依题意，()f x 在R 上是奇函数，且当0x ≥时， 2()ln(1)f x x x =-+，当0x <时，0x ->，则2()()ln(1)()f x x x f x -=-+-=-， 得2()ln(1)f x x x =-+-， 故填2ln(1)x x -+-．14．已知(31)4,1,()log ,1aa x a x f x x x -+⎧=⎨>⎩≤，满足对于任意实数12x x ≠，都有1212()()0f x f x x x -<-成立，则实数a 的取值范围为__________．【答案】11,73⎡⎫⎪⎢⎣⎭【解析】解：对任意的实数12x x ≠，都有1212()()0f x f x x x -<-成立，可得函数图象上任意两点连线的斜率小于0，说明函数的减函数， 可得：310013140a a a a -<⎧⎪<<⎨⎪-+⎩≥，计算得出11,73a ⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭．三、解答题：本大题共3小题，共30分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 15．（本小题满分8分）已知函数2()22f x x ax =+=，[]5,5x ∈-．（1）当1a =-时，求函数()f x 的最大值与最小值．（2）求实数a 的取值范围，使得()y f x =在区间[]5,5-上是单调函数． 【答案】见解析【解析】（1）当1a =-时，22()22(1)1f x x x x =-+=-+， []5,5x ∈-．∴1x =时，()f x 的最小值为1；5x =-时，()f x 的最大值为37．（2）函数22()()2f x x a a =++-的图象的对称轴为x a =-， ∵()f x 在区间[]5,5-上是单调函数，∴5a --≤或5a -≥．故a 的取值范围是：5a -≤或5a ≥．16．（本小题满分10分） 计算下列各式的值（1）1222301832(9.6)4272-⎛⎫⎛⎫⎛⎫---+ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭．（2）7log 2log lg25lg47-++． 【答案】见解析【解析】（1）1222301832(9.6)4272-⎛⎫⎛⎫⎛⎫---+ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭1232239221433⨯⎛⎫⎛⎫⎛⎫=--+ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭312=- 12=．（2）7log 2log lg25lg47-++ 34331log lg(254)32=+⨯+ 11242=-++ 94=．17．（本小题满分12分）已知函数()e e x xaf x =+为奇函数，其中e 是自然对数的底数． （1）求出a 的值．（2）用定义证明()f x 在(,)-∞+∞上是增函数． （3）解关于t 的不等式(1)()0f t f t -+<． 【答案】见解析【解析】（1）∵()f x 为奇函数， ∴()()f x f x =--，则e (e e )1ex x x x aa a -+=-+⇒=-． （2）任取1x ，2(,)x ∈-∞+∞，12x x <，12121211()()e e e e x x x x f x f x -=--+ 121212(e 1)(e e )0e x x x x x x +++-=<，12()()f x f x <，即()f x 在(,)-∞+∞上是增函数． （3）(1)()0f t f t -+<， (1)()1f t f t t t -<-⇒->-，12t <．第二部分能力检测（共50分）四、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共10分．18．某食品的保鲜时间y （单位：时间）与储存温度x （单位：℃）满足函数关系kx b y e +=，（ 2.718e =L 为自然对数的底数，k ，b 为常数）．若食品在0℃的保险时间设计192小时，在22℃的保险时间是48小时，该食品在33℃的保鲜时间是__________小时．【答案】24【解析】∵某食品的保鲜时间y （单位：时间）与储存温度x （单位：℃）满足函数关系kx b y e +=（k ，b 是常数）．该食品在0℃的保险时间设计192小时，在22℃的保险时间是48小时，∴2219248b k b e e +⎧=⎪⎨=⎪⎩， 解得224811924k e ==， ∴1112k e =， ∴该食品在33℃的保鲜时间3331131()192242k bk b y e e e +⎛⎫==⋅=⋅= ⎪⎝⎭． 故答案为：24．19．若函数()|22|x f x b =--有两个零点，则实数b 的取值范围为__________．【答案】02b <<【解析】作函数()|22|x g x =-的图象如下，∵函数()|22|x f x b =--有两个零点，结合图象可知，02b <<．五、解答题：本大题共3小题，共40分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．20．（本小题满分12分）设()f x 是定义在(,0)(0,)-∞+∞U 上的函数，满足()()()f xy f x f y =+，当1x >时，()0f x <． （1）求(1)f 的值，试证明()f x 是偶函数．（2）证明()f x 在(0,)+∞上单调递减．（3）若(3)1f =-，()(8)2f x f x +--≥，求x 的取值范围．【答案】见解析【解析】解：（1）∵()()()f xy f x f y =+令1x y ==得(1)(1)f f =∴(1)0f =．令1x y ==-，，(1)(1)0f f -==，(1)0f -=，令1y =-，则()()(1)()f x f x f f x -=+-=．即()f x 是定义在(,0)(0,)-∞+∞U 上的偶函数．（2）∵()()()f xy f x f y =+， ∴()()y f f y f x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭， 设1x ，2(0,)x ∈+∞，12x x <，2211()()x f x f x f x ⎛⎫-= ⎪⎝⎭， ∵211x x >， 则210x f x ⎛⎫< ⎪⎝⎭， 即21()()f x f x <，即()f x 在(0,)+∞上单调递减．（3）∵(3)1f =-，∴(9)2(3)2f f ==-，∴[]()(8)(8)(9)f x f x f x x f +-=-≥，∵()f x 为偶函数，且在(0,)+∞上单调递减，∴|(8)|9(8)0x x x x -⎧⎨-≠⎩≤，综上，x 的取值范围为[1,0)(0,4[4(8,9]-U U U ．21．（本小题满分14分）已知函数2(21)423f x x x -=-+．（1）求函数()f x 的解析式．（2）若关于x 的方程()(12)22f x m x m =-+-有两个实根，其中一个实根在区间(1,0)-内，另一个实根在区间(1,2)内，求实数m 的取值范围．（3）是否存在实数k ，使得函数2(log )f x 的定义域为[],a b （其中2a ≥）时，值域为[]22log ,log k a k b ，若存在，求出k 的取值范围，若不存在，说明理由．【答案】见解析【解析】（1）∵2(21)423f x x x -=-+，∴2(21)(21)213f x x x -=-+-+，则函数()f x 的解析式为2()3f x x x =++．（2）∵2()3(12)22f x x x m x m =++=-+-，∴22120x mx m +++=，∵方程有两个实根，且1(1,0)x ∈-，2(1,2)x ∈， ∴244(12)0(1)051(0)062(1)0(2)0m m f f m f f ⎧∆=-+>⎪->⎪⎪<⇒-<<-⎨⎪<⎪>⎪⎩． 则实数m 的取值范围为51,62⎛⎫-- ⎪⎝⎭． （3）222222111(log )(lg )log 3(log )24f x x x x =++=++， ∵[],(2)a b a ∈≥，∴2log 1x ≥，则2(log )f x 在[],x a b ∈单调递增，即2222(log )lg 3log x x k x ++=有两个不相同的根，且1x ，2x 都大于等于2，222(log )(1)log 30x k x +-+=，x =2，5k -5k >且72k ≤矛盾， 即不存在k 使其成立．22．（本小题满分14分）已知二次函数2()f x ax bx c =++（a ，b ，c 均为实数），满足(1)0f -=，对于任意实数x 都有21()2x x f x +≤≤恒成立． （1）求(1)f 的值．（2）求()f x 的解析式．（3）当n ∈R 时，讨论函数()2(g x x =+[],2n n +上的最大值．【答案】见解析【解析】解：（1）∵21()2x x f x +≤≤， ∴1(1)1f ≤≤，即(1)1f =．（2）∵(1)0f -=，(1)1f =， ∴0112a b c b a b c -+=⎧⇒=⎨++=⎩，12a c +=， ∵()f x x ≥，∴21122ax x a x ++-≥， 21022x ax a -+=≥恒成立， 则011140442a a a a >⎧⎪⇒=⎨⎛⎫∆=-- ⎪⎪⎝⎭⎩≤， 即()f x 的解析式为211()424x f x x =++． （3）()2((1)|1|g x x x x =++-， 如图所示：则1︒20n +≤，2n -≤，则2x n =+时，2max ()43g x n n =---， 2︒22n -<<时，max ()1g x =， 3︒2n ，2max ()43g x n n =++。
广州市荔湾广雅必修第一册第三单元《函数概念与性质》检测(有答案解析)
一、选择题1．已知函数()y f x =的部分图象如图所示，则函数()y f x =的解析式可能为（ ）A ．()()()sin 222x xf x x -=⋅+ B ．()()()sin 222x xf x x -=⋅- C ．()()()cos 222xxf x x -=⋅+ D ．()()()cos 222xxf x x -=⋅-2．已知定义在0,上的函数()f x ，f x 是()f x 的导函数，满足()()0xf x f x '-<，且()2f ＝2，则()0x x f e e ->的解集是（ ）A ．()20,eB ．()ln2+∞,C ．()ln2-∞,D ．()2e +∞,3．已知()2xf x x =+，[](),M a b a b =<，(){}4,N yy f x x M ==∈∣，则使得MN 的实数对(),a b 有（ ）A ．0个B ．1个C ．2个D ．3个4．已知,A B 是平面内两个定点，平面内满足PA PB a ⋅=(a 为大于0的常数)的点P 的轨迹称为卡西尼卵形线，它是以发现土星卫星的天文学家乔凡尼·卡西尼的名字命名.当,A B 坐标分别为(1,0)-，(1,0)，且1a =时，卡西尼卵形线大致为（ ）A ．B ．C ．D ．5．定义在R 偶函数()f x 满足()()22f x f x -=-+，对[]12,0,4x x ∀∈，12x x ≠，都有()()12120f x f x x x ->-，则有（ ）A ．()()()192120211978f f f =<B ．()()()192119782021f f f <<C ．()()()192120211978f f f <<D ．()()()202119781921f f f <<6．已知定义在R 上的偶函数()f x 满足：当0x ≥时，()2x f x =，且(2)(3)f x af x +≤-对一切x ∈R 恒成立，则实数a 的取值范围为（ ） A ．1,32⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭B ．1,32⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦C ．[32,)+∞D ．(0,32]7．设函数()f x 是定义R 在上的偶函数，且对任意的x ∈R 恒有(1)(1)f x f x +=-，已知当[0,1]x ∈时，1()2x f x -=，若32a f ⎛=⎫ ⎪⎝⎭，()30.5b f -=，()60.7c f =，则,,a b c的大小关系是（ ） A ．a b c >> B ．a c b >> C ．b a c >>D ．c b a >>8．已知定义在R 上的函数()f x ，满足()()()3f m n f m f n +=+-，且0x >时，()3f x <，则下列说法不正确的是（ ）A ．()()6f x f x +-=B ．()y f x =在R 上单调递减C ．若()10f =，()()22190f x x f x ++--->的解集()1,0-D ．若()69f =-，则123164f ⎛⎫= ⎪⎝⎭9．已知幂函数2242()(1)mm f x m x -+=-在(0,)+∞上单调递增，函数()2xg x t =-，任意1[1,6)x ∈时，总存在2[1,6)x ∈使得()()12f x g x =，则t 的取值范围是（ ）A ．128t <<B ．128t ≤≤C ．28t >或1t <D ．28t ≥或1t ≤10．下列函数中，是奇函数且在()0,∞+上单调递增的是（ ）A ．y =B ．2log y x =C ．1y x x=+D ．5y x =11．若函数()f x 同时满足：①定义域内存在实数x ，使得()()0f x f x ⋅-<；②对于定义域内任意1x ，2x ，当12x x ≠时，恒有()()()12120x x f x f x -⋅->⎡⎤⎣⎦；则称函数()f x 为“DM 函数”．下列函数中是“DM 函数”的为（ ）A ．()3f x x =B ．()sin f x x =C ．()1x f x e-=D ．()ln f x x =12．已知函数2()2+1,[0,2]f x x x x =-+∈，函数()1,[1,1]g x ax x =-∈-，对于任意1[0,2]x ∈，总存在2[1,1]x ∈-，使得21()()g x f x =成立，则实数a 的取值范围是（ ）A ．(,3]-∞-B ．[3,)+∞C ．(,3][3,)-∞-+∞D ．(,3)(3,)-∞-⋃+∞13．设函数()()1xf x x R x=-∈+，区间[,]M a b =，集合{(),}N y y f x x M ==∈，则使M N 成立的实数对(,)a b 有（ ）A ．0个B ．1个C ．2个D ．无数个14．若函数2()|2|f x x a x =+-在(0,)+∞上单调递增，则实数a 的取值范围是（ ）A ．[]4,0-B ．(],0-∞C ．(],4-∞-D ．(,4][0,)-∞-+∞15．已知函数1212log ,18()2,12x x x f x x ⎧+≤<⎪=⎨⎪≤≤⎩，若()()()f a f b a b =<，则b a -的取值范围为（ ） A ．30,2⎛⎤ ⎥⎝⎦B ．70,4⎛⎤ ⎥⎝⎦C ．90,8⎛⎤ ⎥⎝⎦D ．150,8⎛⎤⎥⎝⎦二、填空题16．设()xf x a x =+，若()36f =，则不等式()()21f x f x ->的解集为____________.17．对于正整数k ,设函数[][]()k f x kx k x =-，其中[]a 表示不超过a 的最大整数，设24()()()g x f x f x =+，则()g x 的值域为_________.18．定义在[0,)+∞上的函数()y f x =满足：（1）(2)0f =；（2）当02x <<时，()0f x ≠；（3）任意的,0x y >总有()(())()f x y f x f y f y +=⋅⋅成立．则1(3)2f f ⎛⎫+= ⎪⎝⎭__________．19．设211()2,21xx f x x x=+-∈+R ，则使得(32)(2)f x f x -<成立的x 的取值范围为____________________.20．已知函数()y f x =是奇函数，当0x <时，2()(R)f x x ax a =+∈，(2)6f =，则a = .21．设函数()3,111,1x x f x x x x <⎧⎪=⎨-+≥⎪⎩，，则不等式()()26f x f x ->-的解集为____________.22．函数()f x 的定义域为R ，满足(1)2()f x f x +=，且当(0,1]x ∈时，()(1)f x x x =-，若对任意的(,]x m ∈-∞，都有8()9f x ≥-，则m 的取值范围是_______参考答案23．幂函数()()2231mm f x a x --=-(),a m N ∈为偶函数，且在()0,∞+上是减函数，则a m +=____．24．函数()22f x x x =-，[]2,2x ∈-的最大值为________.25．已知函数()31x xx a ef x e -++=+是奇函数，则a =__________. 26．设函数()f x x x b =+，给出四个命题：①()y f x =是偶函数；②()f x 是实数集R 上的增函数；③0b =，函数()f x 的图像关于原点对称；④函数()f x 有两个零点．上述命题中，正确命题的序号是__________．（把所有正确命题的序号都填上）【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题 1．B 解析：B 【分析】根据奇偶性排除AD ，根据图象过原点排除C ，从而可得答案. 【详解】由图可知函数图象关于y 轴对称，且图象过原点， 对于A ， ()()()()()()sin 222sin 222xx x x f x x x f x ---=-⋅+=-⋅+=-，()y f x =是奇函数，图象关于原点对称，不合题意，排除A ；对于C ，()()00cos02220f =⋅+=≠，不合题意，排除C ；对于D ，()()()()()()cos 222cos 222x x x xf x x x f x ---=-⋅-=-⋅-=-，()y f x =是奇函数，图象关于原点对称，不合题意，排除D ； 故选：B. 【点睛】方法点睛：函数图象的辨识可从以下方面入手：(1)从函数的定义域，判断图象的左右位置；从函数的值域，判断图象的上下位置． (2)从函数的单调性，判断图象的变化趋势； (3)从函数的奇偶性，判断图象的对称性； (4)从函数的特征点，排除不合要求的图象.2．C解析：C 【分析】由导数公式得出2()()()0f x xf x f x x x ''-⎡⎤=<⎢⎥⎣⎦，从而得出函数()f x x 的单调性，将不等式()0xxf e e ->可化为()(2)2x xf e f e >，利用单调性解不等式即可.【详解】因为2()()()0f x xf x f x x x ''-⎡⎤=<⎢⎥⎣⎦，所以函数()f x x 在区间0,上单调递减不等式()0xxf e e->可化为()(2)2x xf e f e >，即2xe <，解得ln 2x <故选：C 【点睛】关键点睛：解决本题的关键是由导数公式得出函数()f x x的单调性，利用单调性解不等式. 3．D解析：D 【分析】 先判断函数()2xf x x =+是奇函数，且在R 上单调递增；根据题中条件，得到()()44f a a f b b a b ⎧=⎪=⎨⎪<⎩，求解，即可得出结果. 【详解】 因为()2xf x x =+的定义域为R ，显然定义域关于原点对称， 又()()22x xf x f x x x --==-=--++， 所以()f x 是奇函数， 当0x ≥时，()21222x x f x x x x ===-+++显然单调递增；所以当0x <时，()2xf x x =-+也单调递增； 又()00f =，所以函数()2xf x x =+是连续函数； 因此()2xf x x =+在R上单调递增； 当[],x M a b ∈=时，()()()44,4y f x f a f b =∈⎡⎤⎣⎦，因为(){}4,N yy f x x M ==∈∣， 所以为使M N ，必有()()44f a af b b a b ⎧=⎪=⎨⎪<⎩，即4242aa ab b b a b⎧=⎪+⎪⎪=⎨+⎪⎪<⎪⎩，解得22a b =-⎧⎨=⎩或20a b =-⎧⎨=⎩或2a b =⎧⎨=⎩， 即使得M N 的实数对(),a b 有()2,2-，()2,0-，()0,2，共3对.故选：D. 【点睛】 关键点点睛：求解本题的关键在于先根据函数解析式，判断函数()f x 是奇函数，且在R 上单调递增，得出[],x M a b ∈=时，()4y f x =的值域，列出方程，即可求解.4．A解析：A 【分析】设(,)P x y 1=，代0x =排除C 、D ，通过奇偶性排除B. 【详解】 解：设(,)P x y因为PA PB a ⋅=，,A B 坐标分别为(1,0)-，(1,0)，且1a =1=当0x =时，上式等式成立，即点(0,0)满足PA PB a ⋅=，故排除C 、D.当x -代替x 1== 即图形关于y 轴对称，排除B. 故选：A. 【点睛】应用函数奇偶性可解决的四类问题及解题方法（1）求函数值：将待求值利用奇偶性转化为已知区间上的函数值求解；（2）求解析式：先将待求区间上的自变量转化到已知区间上，再利用奇偶性求解，或充分利用奇偶性构造关于()f x 的方程(组)，从而得到()f x 的解析式；（3）求函数解析式中参数的值：利用待定系数法求解，根据()()0f x f x ±-=得到关于待求参数的恒等式，由系数的对等性得参数的值或方程(组)，进而得出参数的值； （4）画函数图象和判断单调性：利用奇偶性可画出另一对称区间上的图象及判断另一区间上的单调性.5．B解析：B 【分析】首先判断函数的周期，并利用周期和偶函数的性质化简选项中的函数值，再比较大小. 【详解】()()22f x f x -=-+，()()4f x f x ∴+=-，即()()8f x f x +=， ()f x ∴的周期8T =，由条件可知函数在区间[]0,4单调递增，()()()1921240811f f f =⨯+=，()()()()()202125285533f f f f f =⨯+==-=， ()()()1978247822f f f =⨯+=，函数在区间[]0,4单调递增，()()()123f f f ∴<<， 即()()()192119782021f f f <<. 故选：B 【点睛】结论点睛：本题的关键是判断函数是周期函数，一般涉及周期的式子包含()()f x a f x +=，则函数的周期是a ，若函数()()f x a f x +=-，或()()1f x a f x +=，则函数的周期是2a ，或是()()f x a f x b -=+，则函数的周期是b a +. 6．C解析：C 【分析】根据题意，可得()f x 的解析式，分别求得当23x -≤≤时，3x >时，2x <-时，(2)f x +和(3)f x -的表达式，结合题意，即可求得a 的范围，综合即可得答案.【详解】由题意知：2,0()2,0x x x f x x -⎧≥=⎨<⎩当23x -≤≤时，20,30x x +≥-≥，所以2322x x a +-≤⋅，所以212x a -≥， 因为23x -≤≤，所以215max (2)232x a -≥==；当3x >时，20,30x x +>-<， 所以2(3)22x x a +--≤⋅，所以5232a ≥=； 当2x <-时，20,30x x +<-> 所以(2)322x x a -+-≤⋅，所以51232a -≥=， 综上32a ≥. 故选：C 【点睛】解题的关键是根据题意求得()f x 的解析式，分类讨论，将(2)f x +和(3)f x -进行转化，考查分类讨论的思想，属中档题.7．B解析：B 【分析】由(1)(1)f x f x +=-可得函数的周期为2，再利用周期和偶函数的性质将32a f ⎛=⎫⎪⎝⎭，()30.5b f -=，转化使自变量在区间[0,1]上，然后利用()f x 在[0,1]上单调递增，比较大小 【详解】解：因为(1)(1)f x f x +=-，所以(2)()f x f x +=， 所以函数()f x 的周期为2，因为函数()f x 是定义R 在上的偶函数， 所以331122222a f f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫==-=-=⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭， ()30.5(8)(0)b f f f -===，因为62100.70.72<<<，()f x 在[0,1]上单调递增， 所以61(0)(0.7)()2f f f <<， 所以b c a <<， 故选：B 【点睛】关键点点睛：此题考查函数周期性，单调性和奇偶性的应用，解题的关键是利用函数的周期将自变量转化到区间[0,1]上，然后利用()f x 在[0,1]上单调递增，比较大小，属于中档题8．D解析：D 【分析】构造函数()()3g x f x =-，验证函数()g x 的奇偶性可判断A 选项的正误；判断函数()g x 的单调性可判断B 选项的正误；利用函数()g x 的单调性解不等式()()22190f x x f x ++--->，可判断C 选项的正误；计算出()24g =-，求出116g ⎛⎫⎪⎝⎭的值，可求得116f ⎛⎫ ⎪⎝⎭的值，可判断D 选项的正误.【详解】构造函数()()3g x f x =-，由()()()3f m n f m f n +=+-可得()()()g m n g m g n +=+. 对于A 选项，取0m n ==，可得()()020g g =，()00∴=g ，取n m =-，则()()()00g g m g m =+-=，()()g m g m ∴-=-，则函数()g x 为奇函数，所以，()()()()60g x g x f x f x +-=+--=，可得()()6f x f x +-=，A 选项正确； 对于B 选项，由已知条件可知，当0x >时，()()30g x f x =-<.任取1x 、2x R ∈且12x x >，所以，()()()()()1212120g x x g x g x g x g x -=+-=-<，()()12g x g x ∴<，所以，函数()()3g x f x =-为R 上的减函数，所以，函数()f x 为R 上的减函数，B 选项正确； 对于C 选项，()10f =，可得()()1133g f =-=-，由()()22190f x x f x ++--->，可得()()22130g x x g x ++--->，即()()()21311g xx g g +->=-=-，211x x ∴+-<-，可得20x x +<，解得10x -<<.C 选项正确； 对于D 选项，()()()()()663124232g f g g g =-=-=+=，()24g ∴=-，()()112214324216g g g g ⎛⎫⎛⎫=====- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，111316168f g ⎛⎫⎛⎫∴-==- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，因此，123168f ⎛⎫= ⎪⎝⎭，D 选项错误. 故选：D. 【点睛】方法点睛：利用定义证明函数单调性的方法：（1）取值：设1x 、2x 是所给区间上的任意两个值，且12x x <；（2）作差变形：即作差()()12f x f x -，并通过因式分解、配方、有理化等方法，向有利于判断符号的方向变形；（3）定号：确定差()()12f x f x -的符号； （4）下结论：判断，根据定义得出结论. 即取值→作差→变形→定号→下结论.9．B解析：B 【分析】先根据幂函数定义解得m ，再根据单调性进行取舍，根据任意存在性将问题转化为对应函数值域包含问题，最后根据函数单调性确定对应函数值域，根据值域包含关系列不等式解得结果.【详解】由题意22(1)1420m m m ⎧-=⎨-+>⎩，则0m =，即()2f x x =， 当[)11,6x ∈时， ()[)11,36f x ∈，又当[)21,6x ∈时， ()[)22,64g x t t ∈--， ∴216436t t -≤⎧⎨-≥⎩，解得128t ≤≤， 故选：B ．【点睛】对于方程任意或存在性问题，一般转化为对应函数值域包含关系，即1212,,()()()x x f x g x y f x ∀∃=⇒=的值域包含于()y g x =的值域；1212,,()()()x x f x g x y f x ∃∃=⇒=的值域与()y g x =的值域交集非空．10．D解析：D【分析】对四个选项一一一判断：A 、B 不是奇函数，C 是奇函数，但在()0,∞+上不单调.【详解】对于A ： y =()0,∞+上单调递增,但是非奇非偶，故A 错误；对于B ：2log y x =为偶函数，故B 错误；对于C ：1y x x =+在（0,1）单减，在（1，+∞）单增，故C 错误； 对于D ：5y x =既是奇函数也在()0,∞+上单调递增，符合题意.故选：D【点睛】四个选项互不相关的选择题，需要对各个选项一一验证.11．A解析：A【分析】根据题意函数定义域关于原点对称且函数值有正有负，且为定义域内的单调递增函数，通过此两点判定即可.【详解】解：由定义域内存在实数x 有()()0f x f x ⋅-<，可得函数定义域关于原点对称且函数值有正有负，排除D 、C.由②得“DM 函数”为单调递增函数，排除B.故选：A【考点】确定函数单调性的四种方法：（1）定义法：利用定义判断；（2）导数法：适用于初等函数、复合函数等可以求导的函数；（3）图象法：由图象确定函数的单调区间需注意两点：一是单调区间必须是函数定义域的子集；二是图象不连续的单调区间要分开写，用“和”或“，”连接，不能用“∪”连接；（4）性质法：利用函数单调性的性质，尤其是利用复合函数“同增异减”的原则时，需先确定简单函数的单调性.12．C解析：C【分析】先求得()f x 的值域，根据题意可得()f x 的值域为[1,2]是()g x 在[1,1]-上值域的子集，分0,0a a ><两种情况讨论，根据()g x 的单调性及集合的包含关系，即可求得答案.【详解】因为2()(2)2,[0,2]f x x x =--+∈，所以min max ()(0)1()(2)2f x f f x f ==⎧⎨==⎩，即()f x 的值域为[1,2]， 因为对于任意1[0,2]x ∈，总存在2[1,1]x ∈-，使得21()()g x f x =成立，所以()f x 的值域为[1,2]是()g x 在[1,1]-上值域的子集，当0a >时，()g x 在[1,1]-上为增函数，所以(1)()(1)g g x g -≤≤，所以()[1,1]g x a a ∈---，所以1112a a --≤⎧⎨-≥⎩，解得3a ≥， 当0a <时，()g x 在[1,1]-上为减函数，所以(1)()(1)g g x g ≤≤-，所以()[1,1]g x a a ∈---所以1112a a -≤⎧⎨--≥⎩，解得3a ≤-， 综上实数a 的取值范围是(,3][3,)-∞-+∞，故选：C【点睛】解题的关键是将题干条件转化为两函数值域的包含关系问题，再求解，考查分析理解的能力，属中档题.13．A解析：A【分析】 由已知中函数()()1||x f x x R x =-∈+，我们可以判断出函数的奇偶性及单调性，再由区间[M a =，]()b a b <，集合{|()N y y f x ==，}x M ∈，我们可以构造满足条件的关于a ，b 的方程组，解方程组，即可得到答案．【详解】x R ∈，()()1x f x f x x -==-+，()f x ∴为奇函数， 0x 时，1()111x f x x x -==-++，0x <时，1()111x f x x x-==--- ()f x ∴在R 上单调递减函数在区间[a ，]b 上的值域也为[a ，]b ，则()(),f a b f b a ==， 即1a b a -=+，1b a b-=+，解得0a =，0b = a b <，使M N 成立的实数对(,)a b 有0对故选：A【点睛】本题考查的知识点是集合相等，函数奇偶性与单调性的综合应用，其中根据函数的性质，构造出满足条件的关于a ，b 的方程组，是解答本题的关键．14．A解析：A【分析】将()f x 写成分段函数的形式，根据单调性先分析每一段函数需要满足的条件，同时注意分段点处函数值关系，由此求解出a 的取值范围.【详解】因为2()|2|f x x a x =+-，所以222,2()2,2x ax a x f x x ax a x ⎧+-≥=⎨-+<⎩， 当()212f x x ax a =+-在[)2,+∞上单调递增时，22a -≤，所以4a ≥-， 当()222f x x ax a =-+在()0,2上单调递增时，02a ≤，所以0a ≤， 且()()12224f f ==，所以[]4,0a ∈-，故选：A.【点睛】思路点睛：根据分段函数单调性求解参数范围的步骤：（1）先分析每一段函数的单调性并确定出参数的初步范围；（2）根据单调性确定出分段点处函数值的大小关系；（3）结合（1）（2）求解出参数的最终范围.15．B解析：B【分析】根据分段函数的单调性以及()()()f a f b a b =<，可得11,128a b ≤<≤≤且122log 2b a +=，令122log 2b a k +==，则24k <≤，然后用k 表示,a b ，再作差，构造函数，并利用单调性可求得结果.【详解】因为函数()f x 在1[,1)8上递减，在[1,2]上递增，又()()()f a f b a b =<， 所以11,128a b ≤<≤≤，且122log 2b a +=，令122log 2b a k +==，则24k <≤， 所以212k a -⎛⎫= ⎪⎝⎭，2log b k =， 所以221log 2k b a k -⎛⎫-=- ⎪⎝⎭， 设函数221()log 2x g x x -⎛⎫=- ⎪⎝⎭，(2,4]x ∈，∵()g x 在(]2,4上单调递增，∴(2)()(4)g g x g <≤，即70()4g x <≤， ∴70,4b a ⎛⎤-∈ ⎥⎝⎦， 故选：B ．【点睛】关键点点睛：根据分段函数的单调性以及()()()f a f b a b =<得到11,128a b ≤<≤≤，且122log 2b a +=是解题关键.属于中档题.二、填空题16．【分析】先由解出a 讨论的单调性利用函数单调性解不等式即可【详解】因为且所以解得在R 上单增可化为：解得：不等式的解集为故答案为：【点睛】利用单调性解不等式通常用于：(1)分段函数型不等式；(2)复合函解析：()1,+∞【分析】先由()36f =，解出a ，讨论()xf x a x =+的单调性，利用函数单调性解不等式即可. 【详解】因为()x f x a x =+，且()36f =，，所以33a =，解得1a =>.()(),ln 1x x f x f a x a x a =+∴=+'ln 0,ln 111,x x a a a a a >∴>∴>+，()x f x a x ∴=+在R 上单增.()()21f x f x ->可化为：21x x ->解得：1x >.不等式()()21f x f x ->的解集为()1,+∞故答案为：()1,+∞【点睛】利用单调性解不等式通常用于： (1)分段函数型不等式；(2)复合函数型不等式；(3)抽象函数型不等式；(4)解析式较复杂的不等式；17．【分析】先由题中条件得到讨论四种情况再判断的周期性即可得出结果【详解】由题意当时此时；当时此时；当时此时；当时此时；又所以是以为周期的函数因此的值域为故答案为：【点睛】关键点点睛：求解本题的关键在于 解析：{}0,1,3,4【分析】先由题中条件，得到[][][]()246g x x x x =+-，讨论10,4x ⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭，11,42x ⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭，13,24x ⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭，3,14x ⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭四种情况，再判断()g x 的周期性，即可得出结果. 【详解】由题意，[][][][][][][]()2244246g x x x x x x x x =-+-=+-， 当10,4x ⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭时，120,2x ⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭，[)40,1x ∈，此时()0000g x =+-=； 当11,42x ⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭时，12,12x ⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭，[)41,2x ∈，此时()0101g x =+-=； 当13,24x ⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭时，321,2x ⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭，[)42,3x ∈，此时()1203g x =+-=； 当3,14x ⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭时，32,12x ⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭，[)43,4x ∈，此时()1304g x =+-=；又[][][][][][](1)224461224466g x x x x x x x +=+++-+=+++--[][][]246()x x x g x =+-=，所以()g x 是以1为周期的函数，因此()g x 的值域为{}0,1,3,4.故答案为：{}0,1,3,4【点睛】关键点点睛：求解本题的关键在于根据一个单位区间内，x 的不同取值，确定[]x ，[]2x ，[]4x 的不同取值情况，结合函数的周期性，即可求解. 18．【分析】先令求得再令可得结合已知条件可得从而可得答案【详解】解：令则由得因为所以令则因为当时；所以所以所以所以故答案为：【点睛】关键点点睛：此题考查抽象函数求值问题解题的关键是结合已知条件正确赋值令 解析：43【分析】先令1,2x y ==，求得(3)0f =，再令31,22x y ==，可得311(())()(2)222f f f f ⋅=，结合已知条件可得1()2f ，从而可得答案【详解】解：令1,2x y ==，则由()(())()f x y f x f y f y +=⋅⋅得((2))(2)(12)f f f f ⋅=+， 因为(2)0f =，所以(3)0f =， 令31,22x y ==，则311(())()(2)222f f f f ⋅=， 因为(2)0f =，当02x <<时，()0f x ≠； 所以31(())0(2)22f f f ==， 所以31()222f =，所以14()23f =， 所以14(3)23f f ⎛⎫+=⎪⎝⎭ 故答案为：43【点睛】 关键点点睛：此题考查抽象函数求值问题，解题的关键是结合已知条件正确赋值，令31,22x y ==，则311(())()(2)222f f f f ⋅=，由(2)0f =，当02x <<时，()0f x ≠，可得31()222f =，从而得14()23f = 19．【分析】由已知可得为偶函数且在时单调递增结合函数性质可求【详解】解：因为则所以为偶函数当时单调递增由可得所以整理可得解可得故的取值范围故答案为：【点睛】本题解答的关键是判断函数的奇偶性与单调性利用函 解析：2(,2)5【分析】由已知可得()f x 为偶函数且在0x >时单调递增，结合函数性质可求．【详解】 解：因为211()2,21x x f x x R x =+-∈+， 则()()f x f x -=，所以()f x 为偶函数，当0x >时，()f x 单调递增，由(32)(2)f x f x -<可得|32||2|x x -<，所以22(32)4x x -<，整理可得，(52)(2)0x x --<， 解可得，225x <<， 故x 的取值范围2(,2)5． 故答案为：2,25⎛⎫ ⎪⎝⎭【点睛】本题解答的关键是判断函数的奇偶性与单调性，利用函数的奇偶性、单调性将函数不等式转化为自变量的不等式，再解一元二次不等式即可； 20．5【分析】先根据函数的奇偶性求出的值然后将代入小于0的解析式建立等量关系解之即可【详解】函数是奇函数而则将代入小于0的解析式得解得故答案为5解析：5【分析】先根据函数的奇偶性求出(2)f -的值,然后将2x =-代入小于0的解析式,建立等量关系,解之即可.【详解】∴函数()y f x =是奇函数,()()f x f x ∴-=-,而(2)6f =,则(2)(2)6f f -=-=-,将2x =-代入小于0的解析式得(2)426f a -=-=-,解得5a =,故答案为5.21．【分析】先判断函数是增函数于是可把函数不等式转化为自变量的关系进而可得原不等式的解集【详解】当时单调递增且；当时单调递增且所以函数在上单调递增于是等价于则解得故答案为：【点睛】本题考查函数单调性的判 解析：()2,3-【分析】先判断函数()f x 是增函数，于是可把函数不等式转化为自变量的关系，进而可得原不等式的解集.【详解】当1x <时，()f x x =单调递增，且()1f x <；当1≥x 时，31()1f x x x=-+单调递增，且()1f x ≥. 所以函数()f x 在R 上单调递增. 于是()()26f x f x ->-等价于26x x ->-，则260x x --<，()()320x x -+<，解得23x -<<.故答案为：()2,3-.【点睛】本题考查函数单调性的判断与应用.遇到函数不等式问题，要利用单调性转化为自变量的关系再求解.判断分段函数的单调性，一定要关注对分段间隔点处的情况.22．【分析】首先根据已知条件依次得到在附近的区间对应的函数解析式然后按其规律画出函数的图像再根据不等式恒成立的意义与函数图像即可求得实数m 的取值范围【详解】当时则当时则当时则由此作出图象如图所示由图知当 解析：7,3⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦ 【分析】首先根据已知条件依次得到在(0,1]x ∈附近的区间，(1,2]x ∈、(2,3]x ∈对应的函数解析式，然后按其规律画出函数的图像，再根据不等式恒成立的意义与函数图像即可求得实数m 的取值范围【详解】当10-<≤x 时，011x <+≤，则11()(1)(1)22f x f x x x =+=+， 当12x <≤时，011x <-≤，则()2(1)2(1)(2)f x f x x x =-=--， 当23x <≤时，021x <-≤，则22()2(1)2(2)2(2)(3)f x f x f x x x =-=-=--，由此作出()f x 图象如图所示，由图知当23x <≤时，令282(2)(3)9x x --=-， 整理得：(37)(38)0x x --=，解得：73x =或83x =，要使对任意的(,]x m ∈-∞，都有8()9f x ≥-，必有73m ≤， 所以m 的取值范围是7,3⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦， 故答案为：7,3⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦【点睛】本题主要考查函数的解析式，函数的图象，不等式恒成立问题，考查分类讨论，数形结合的思想，属于中档题.23．3【分析】由幂函数为偶函数且在（0+∞）上是单调递减函数可得m2-2m-3＜0且m2-2m-3为偶数m ∈Z 且解出即可【详解】∵幂函数为偶函数且在上是减函数∴且为偶数且解得12且只有时满足为偶数∴故答解析：3【分析】由幂函数()()2231m m f x a x --=-(),a m N ∈为偶函数，且在（0，+∞）上是单调递减函数，可得m 2-2m -3＜0，且m 2-2m -3为偶数，m ∈Z ，且1=1a -．解出即可．【详解】∵幂函数()()2231m m f x a x --=-(),a m N ∈为偶函数，且在()0,∞+上是减函数， ∴2230m m --<，且223m m --为偶数，m N ∈，且1=1a -.解得13m -<<，0m =，1，2，且=2a ,只有1m =时满足223=4m m ---为偶数.∴1m =.3a m +=故答案为：3.【点睛】本题考查幂函数的性质，根据幂函数性质求参数值，可根据幂函数性质列不等式和等式，求解即可，属于基础题.24．8【分析】首先画出的图象根据图象即可求出函数的最大值【详解】函数的图象如图所示：由图可知故答案为：【点睛】本题主要考查利用函数的图象求最值熟练画出函数图象为解题的关键属于中档题解析：8【分析】首先画出()f x 的图象，根据图象即可求出函数的最大值.【详解】函数()f x 的图象如图所示：由图可知，max ()(2)44=8f x f =-=+.故答案为：8【点睛】本题主要考查利用函数的图象求最值，熟练画出函数图象为解题的关键，属于中档题. 25．【分析】利用奇函数的定义进行计算即可【详解】由函数是奇函数可知恒成立即解得故答案为：【点睛】本题考查函数奇偶性定义的应用属于基础题 解析：1-【分析】利用奇函数的定义()()0f x f x -+=进行计算即可.【详解】由函数()31x x x a ef x e -++=+是奇函数可知()()0f x f x -+=恒成立， 即3311x x x x x a x a e e e e---+++++++220x x a e e -+==+，解得1a =-. 故答案为：1-【点睛】本题考查函数奇偶性定义的应用，属于基础题.26．②③【解析】①错∵∴不是偶函数②∵由图象知在上单调递增正确③时关于原点对称正确④若时只有一个零点错误综上正确命题为②③解析：②③【解析】①错，∵()f x x x b =+， ()()f x x x b f x -=-+≠， ∴()y f x =不是偶函数．②∵22(0)()(0)x b x f x x b x ⎧+>=⎨-+≤⎩， 由图象知()f x 在R 上单调递增，正确．③0b =时，22(0)()(0)x x f x x x ⎧>=⎨-≤⎩， ()f x 关于原点对称，正确．④若0b =时，()f x 只有一个零点，错误．综上，正确命题为②③．。
广雅中学2010高一数学上学期期中必修1模块考试
广雅中学2010高一数学上学期期中必修1模块考试一、选择题1、函数)1(log 21-=x y 的定义域是 （ ）A 、()+∞,0B 、()+∞,1C 、()+∞,2D 、()2,12、已知全集{}{}{},2,0,3,2,1,0,5,4,3,2,1,0===B A U 则B C A U ⋂为 （ ）A 、{}3,1B 、{}2,0C 、{}3,1,0D 、{}5,43、下列函数中，在其定义域内既是奇函数又是增函数的是 （ ）A 、R x x y ∈-=,B 、R x y x ∈=,2C 、R x x y ∈=,3D 、R x x y ∈=,324、方程033=--x x 的实数解所在的区间是 （ ）A 、[]0,1-B 、[]1,0C 、[]2,1D 、[]3,25、已知函数x e y =的图像与函数()x f y =的图像关于直线x y =对称，则 （ ）A 、())(22R x e x f x ∈=B 、())0(ln 2ln 2>=x x x fC 、())(22R x e x f x ∈=D 、())0(ln 2ln 2>+=x x x f6、小强发现自己上学可能会迟到，于是他开始跑步前进，跑了一段路程后，不小心摔了一跤，把脚扭伤了，幸好不太严重，就只好一瘸一拐的向前走，下图中，纵轴表示他离学校的距离d ，横轴表示时间t,则较符合实际的图像是 （ ）AB C D7、已知幂函数()x f 的图像经过点⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛22,2，则()4f 的值为 （ ）A 、16B 、161C 、2D 、21 8、若函数m y x +⎪⎭⎫ ⎝⎛=-121的图像与x 轴有公共点，则m 的取值范围是 （ ）A 、1-≤mB 、01<≤-mC 、1≥mD 、10≤<m二、填空题9、若集合{}012|2=++=ax x x A 中只有一个元素，则实数a =10、计算=+04.0log 10log 22211、已知函数()=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛⎩⎨⎧≤>=21,)0(,2)0(,log 2f f x x x x f x 则 12、若函数()3241+-=+x x x f 的定义域为[]1,1-，则()x f 值域为13、定义在R 上的偶函数()x f 在[)+∞,0上是增函数，若()02=f ，则适合不等式()０≥x f 的x 的取值范围是14、若函数()a x f －－４ｘ＝２的零点个数为3，则a = 三、解答题15、已知{}{}M N a x a x N x x x M ⊆-≤≤+=≥++-=若,121|,0103|2,求实数a 的取值范围。
广州市荔湾广雅必修一第四单元《函数应用》检测(有答案解析)
一、选择题1．已知1,0()1,0ax x f x x x x +≤⎧⎪=⎨->⎪⎩，则下列关于[()]1y f f x =+的零点的判断正确的是（ ） A ．当0a >时，有4个零点，当0a <时，有1个零点； B ．当0a >时，有3个零点，当0a <时，有2个零点； C ．无论a 为何值，均有2个零点； D ．无论a 为何值，均有4个零点．2．若函数2()f x x x a =--有四个零点，则关于x 的方程210ax x ++=的实根个数为（ ） A ．0B ．1C ．2D ．不确定3．已知函数,01()11,10(1)x x f x x f x ≤<⎧⎪=⎨--<<⎪+⎩，()()4g x f x mx m =--，其中m 是非零的实数，若函数()g x 在区间(1,1)-内有且仅有两个零点，则实数m 的取值范围是（ ） A ．1,(0,1)5⎛⎫-∞-⋃ ⎪⎝⎭B ．1(,1),5⎛⎫-∞-⋃+∞ ⎪⎝⎭C ．1(,1)0,5⎛⎫-∞-⋃ ⎪⎝⎭D ．1,(1,)5⎛⎫-∞-⋃+∞ ⎪⎝⎭4．已知函数()()2log 1,1212,1x x x f x x ⎧-<-⎪=⎨-+≥-⎪⎩，若函数()()F x f x k =- 恰有3个零点，则实数k 的取值范围是（ ） A ．52,2⎛⎤ ⎥⎝⎦B ．()2,3C ．(]3,4D ．()2,+∞5．已知函数给出下列三个结论：① 当2=-a 时，函数()f x 的单调递减区间为(,1)-∞；② 若函数()f x 无最小值，则a 的取值范围为(0,)+∞；③ 若1a <且0a ≠，则b R ∃∈，使得函数()y f x b =-恰有3个零点1x ,2x ,3x ，且1231x x x =-.其中，所有正确结论的个数是（ ） A ．0B ．1C ．2D ．36．设函数()f x 是定义在R 上的偶函数，对任意x ∈R ，都有()()4f x f x +=，且当[]2,0x ∈-时，()112xf x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，若在区间(]2,10-内关于x 的方程()()()log 201a f x x a -+=>至少有4个不同的实数根，至多有5个不同的实数根，则a的取值范围是（ ）A．⎡⎣B ．()2,+∞C ．()1,2D．(7．若直角坐标平面内A 、B 两点满足：①点A 、B 都在函数()f x 的图象上；②点A 、B 关于原点对称，则称点()A B ，是函数()f x 的一个“姊妹点对”.点对()A B ，与()B A ，可看作是同一个“姊妹点对”，已知函数220()20xx x x f x x e⎧+<⎪=⎨≥⎪⎩，则()f x 的“姊妹点对”有（ ）A ．0个B ．1个C ．2个D ．3个8．对于定义域为R 的函数()f x ，若存在非零实数0x ，使函数()f x 在()0,x -∞和()0,x +∞上与 x 轴都有交点，则称0x 为函数()f x 的一个“界点”.则下列四个函数中，不存在“界点”的是( ) A ．()22xf x x =-B ．()()22f x x bx b R =+-∈C ．()12f x x =--D ．()sin x x x f -=9．设函数11,(,2)(){1(2),[2,)2x x f x f x x --∈-∞=-∈+∞，则函数()()1F x xf x =-的零点的个数为（ ） A ．4 B ．5 C ．6 D ．710．已知函数()21,04,0x x f x x x ⎧+≤=⎨>⎩，若函数()y f x a =-有3个不同的零点1x ，2x ，3x （123x x x <<），则123ax x x ++的取值范围是( ) A ．()2,0-B ．[]2,0-C ．[]2,0-D ．(]2,0-11．已知函数()()()222,0423,46x x x f x x -⎧--≤<⎪=⎨-≤≤⎪⎩,若存在12,x x ,当12046x x ≤<≤≤时,()()12f x f x =,则()12x f x ⋅的取值范围是（ ） A ．[)0,1B ．[]1,4C ．[]1,6D ．[][]0,13,812．已知()11xf x e =-+，若函数2()[()](2)()2g x f x a f x a =+--有三个零点，则实数a 的取值范围是（ ） A ．(2,1)--B ．(1,0)-C ．(0,1)D ．(1,2)二、填空题13．若函数4y ax a =+存在零点，则实数a 的取值范围是______．14．已知()()()23f x m x m x m =-++，()22xg x =-，若满足x R ∀∈，()0f x <和()0g x <至少有一个成立，则m 的取值范围是______．15．已知函数()y f x =是定义域为R 的偶函数，当0x ≥时，()21,02413,224x x x f x x ⎧-≤≤⎪⎪=⎨⎛⎫⎪--> ⎪⎪⎝⎭⎩，若关于x 的方程()()27016af x af x ++=⎡⎤⎣⎦，a R ∈有且仅有8个不同实数根，则实数a 的取值范围是__________.16．规定[]t 为不超过t 的最大整数，如[]3.33=，[]2.43-=-.若函数()[][]()2f x x x x =-∈R ，则方程()()22f x f x -=的解集是______.17．已知函数211x y x -=+的图像与函数2y kx =+的图像恰有两个交点，则实数k 的取值范围是______.18．已知函数22()1()x xf x x e a x e a R =++∈有四个零点，则实数a 的取值范围是________．19．对于实数a b ，，定义运算“*”：22*a ab a ba b b ab a b ⎧-≤=⎨->⎩，，，设()()2*1f x x x =+，且关于x 的方程()()f x m m R =∈恰有三个互不相等的实数根，则m 的取值范围是________. 20．函数13()3log 1xf x x =-的零点个数为______三、解答题21．已知函数2()log (2)a f x ax x =-，其中0a >且1a ≠.（1）若函数()f x 在区间1(,1)2单调递增，求实数a 的取值范围；（2）当3a =时，若关于x 的方程3(3)log (3)xxf m x -=++恰有两个不同的解，求实数m 的取值范围.22．新冠肺炎疫情发生以后，口罩供不应求，某口罩厂日夜加班生产，为抗击疫情做贡献.生产口罩的固定成本为400万元，每生产x 万箱，需另投入成本()p x 万元，当产量不足60万箱时，()21502p x x x =+；当产量不小于60万箱时，()64001011860p x x x=+-，若每箱口罩售价100元，通过市场分析，该口罩厂生产的口罩可以全部销售完.（1）求口罩销售利润y （万元）关于产量x （万箱）的函数关系式；（2）当产量为多少万箱时，该口罩生产厂在生产中所获得利润最大？ 23．已知1a >，函数()log (3)log (1)a a f x x x =-++. （1）求函数()f x 的定义域； （2）求函数()f x 的零点；（3）若函数()f x 的最大值为2，求a 的值.24．某企业生产A ，B 两种产品，根据市场调查与预测，A 产品的利润与投资成正比，设比例系数为1k ，其关系如图1；B 产品的利润与投资的算术平方根成正比，设比例系数为2k ，其关系如图2．（注：利润和投资单位是万元）（1）分别将A ，B 两种产品的利润表示为投资的函数关系式；（2）该企业已筹集到20万元资金，并全部投入A ，B 两种产品的生产，问：怎样分配这万元资金，才能使该企业获得最大利润？其最大利润为多少万元？25．某蔬菜基地种植西红柿，由历年市场行情知，从二月一日起的300天内，西红柿市场销售价与上市时间的关系用图①的一条折线表示；西红柿的种植成本与上市时间的关系用图②的抛物线段表示．（Ⅰ）写出图①表示的市场售价与时间的函数关系式()f t ；写出图②表示的种植成本与时间的函数关系式()g t ；（Ⅱ）若记市场售价减去种植成本为纯收益，问何时上市的西红柿收益最大？（注：市场售价和种植成本的单位：元/100kg ，时间单位：天）．26．设a R ∈，函数()1x x e af x e +=+（为e 自然对数义底数）(Ⅰ)求a 的值，使得()f x 为奇函数. (Ⅱ)若关于x 的方程()22a f x +=在(],0-∞上有解，求a 的取值范围.【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题 1．A 解析：A 【分析】按0a >和0a <分类讨论[()]1y f f x =+的零点个数，即确定[()]10f f x +=的解的个数，可得正确选项． 【详解】0x >时，1()f x x x=-是增函数，()(,)f x ∈-∞+∞，此时()f x m =对任意m R ∈均有一解．0x ≤时，若0a >，()1f x ax =+是增函数，()(,1]f x ∈-∞，此时()f x m =在1m 时有一解，1m 时无解，若0a <，()1f x ax =+是减函数，()[1,)f x ∈+∞，此时()f x m =在m 1≥时有一解，1m <时无解，由[())10f f x +=得[()]1f f x =-，设()1f t =-，则0a >时，()1f t =-的解为2t a =-和12t =，20a-<，1012<<，因此2()f x a =-有两解，1()2f x =有两解，共4解．0a <时，()1f t =-只有一解1t =<，()f x = ∴函数[()]1y f f x =+在0a >时，有4个零点，当0a <时，有1个零点． 故选：A ． 【点睛】关键点点睛：本题考查函数的零点，解题方法是转化与化归思想，转化为方程[()]10f f x +=的解．通过换元法，先求得()1f t =-的解，若0t 是其解，再求0()f x t =的解，从而得出结论．2．C解析：C 【分析】由()0f x =可得出2x x a =-，将问题转化为曲线2yx 与曲线y x a =-有4个交点，数形结合可求得实数a 的取值范围，进而结合判别式可判断出方程210ax x ++=的实数根个数. 【详解】由()0f x =可得出2x x a =-，作出函数2yx 与函数y x a =-的图象如下图所示：,,x a x a y x a x a x a-≥⎧=-=⎨-+<⎩，若使得函数()2f x x x a =--有4个零点，则直线y x a =-与y x a =-+均与函数2y x 的图象有两个交点， 联立2y x a y x =-⎧⎨=⎩可得20x x a -+=，1140a ∆=->，解得14a <， 联立2y x a y x =-+⎧⎨=⎩可得20x x a +-=，2140a ∆=+>，解得14a >-， 当0a =时，则()()21f x x x xx =-=-，令()0f x =，可得0x =或1x =±，此时，函数()y f x =只有3个零点，不合乎题意.综上所述，实数a 的取值范围是11,00,44⎛⎫⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭. 对于二次方程210ax x ++=，140a ∆=->， 因此，关于x 的二次方程210ax x ++=有两个实根. 故选：C. 【点睛】方法点睛：本题考查根据方程实数根的个数求参数的取值范围，一般可采用1.直接法：直接求解方程得到方程的根，再通过解不等式确定参数范围；（2）分离参数法：先将参数分离，转化成求函数值域问题加以解决；（3）数形结合：先对解析式变形，在同一平面直角坐标系中，画出函数的图象，然后观察求解，此时需要根据零点个数合理寻找“临界”情况，特别注意边界值的取舍.3．C解析：C 【分析】先求得分段函数的解析式，函数()g x 零点等价于函数()y f x =的图象与直线4y mx m =+公共点，做出图像，数形结合，即可求得答案.【详解】当10x -<<时，011x <+<，满足上支范围，所以()11f x x +=+，所以,01()11,101x x f x x x ≤<⎧⎪=⎨--<<⎪+⎩，作函数()y f x =的图象，如图所示.函数()g x 零点的个数等价于函数()y f x =的图象与直线4y mx m =+公共点的个数. 当直线4y mx m =+过点(1,1)时，15m =， 所以当105m <<时， 直线4y mx m =+与函数()y f x =图象有两个公共点.当直线4y mx m =+与曲线111y x =-+（10x -<<）相交时， 联立4111y mx m y x =+⎧⎪⎨=-⎪+⎩消去y 得，24(51)0mx m x m -++=， 因此22(51)160m m ∆=+->且510m +<时，解得1m <-.综上知，实数m 的取值范围是1(,1)0,5⎛⎫-∞-⋃ ⎪⎝⎭.故选：C 【点睛】本题的关键是根据x 的范围，先求得函数解析式，做出图像，再将零点问题转化为图像交点问题，易错点为，4y mx m =+可以与函数两支都有交点，也可以与函数111y x =-+单支产生交点，需分别检验和计算，属中档题.4．A解析：A 【分析】函数()()F x f x k =- 恰有3个零点，即函数()y f x =与()h x k =的图象有三个交点，画两个函数的图象，观察图象即得结果. 【详解】函数()()F x f x k =- 恰有3个零点，即函数()y f x =与()h x k =的图象有三个交点，分别画出()y f x =与()h x k =的图象，如图所示，5(1)2f -=，观察图象可得，当522k <≤时，两图象有3个交点，即函数()()F x f x k =-恰有3个零点. 故选：A. 【点睛】方法点睛：已知函数有零点(方程有根)求参数值(取值范围)常用的方法： （1）直接法：直接求解方程得到方程的根，再通过解不等式确定参数范围； （2）分离参数法：先将参数分离，转化成求函数的值域问题加以解决；（3）数形结合法：先对解析式变形，进而构造两个函数，然后在同一平面直角坐标系中画出函数的图象，利用数形结合的方法求解.5．C解析：C 【分析】①画出函数的图象，直接判断函数的单调性；②分0,0,0a a a >=<三种情况讨论函数的图象，分析函数是否有最小值，得到实数a 的取值范围；③首先令()f x b =，解出三个零点，进而判断结论.【详解】①当2a =-时，()21,0ln ,0x x f x x x -+≤⎧=⎨>⎩，画出函数的图象，如下图，由图象可知当(),0x ∈-∞时，函数单调递减，当()0,1x ∈时函数单调递减，但函数在(),1-∞时，函数并不单调递减，故①不正确；②当0a >时，0x ≤时，函数1y ax =+单调递增，并且当x →-∞时，y →-∞，所以函数没有最小值；当0a =时，()1,0ln ,0x f x x x ≤⎧=⎨>⎩，ln 0x ≥，函数的最小值是0；当0a <时，0x ≤时，函数1y ax =+单调递减，函数的最小值是1，当0x >时，ln 0x ≥，ln y x =的最小值是0，综上可知函数的最小值是0，综上，若函数没有最小值，只需满足0a >，故②正确；对于③，令()f x b =，当0x ≤时，1ax b +=，当0x >时，ln x b =， 不妨设1230x x x ≤<<，110b x a-=≤，2b x e -=，3b x e =， 则231x x =，令111b x a-==-，可得1b a =-， 当0a <时，11b a =->，则三个零点1231x x x =-，当01a <<时，011b a <=-<，则三个零点1231x x x =-. 综上可知③正确； 故选：C 【点睛】思路点睛：本题考查分段函数，函数性质和函数图象的综合应用，本题的关键是对a 的讨论，画出函数的图象，比较容易判断前两个命题，最后一个命题的关键是解出3个零点，并能判断231x x =，从而只需验证是否11x =-即可.6．A解析：A 【分析】作出函数()y f x =和函数()()log 21a y x a =+>在区间(]2,10-上的图象，根据题意可得出关于实数a 的不等式组，由此可解得实数a 的取值范围. 【详解】对任意x ∈R ，都有()()4f x f x +=，则函数()f x 是周期为4的周期函数，当[]2,0x ∈-时，()112xf x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭， 作出函数()y f x =和函数()()log 21a y x a =+>在区间(]2,10-上的图象如下图所示：由于在区间(]2,10-内关于x 的方程()()()log 201a f x x a -+=>至少有4个不同的实数根，至多有5个不同的实数根，则()()log 623log 10231a a a ⎧+≤⎪+>⎨⎪>⎩，解得3212a ≤< 因此，实数a 的取值范围是312⎡⎣.故选：A. 【点睛】函数零点的应用主要表现在利用零点求参数范围，若方程可解，通过解方程即可得出参数的范围，若方程不易解或不可解，则将问题转化为构造两个函数，利用两个函数图象的关系求解，这样会使得问题变得直观、简单，这也体现了数形结合思想的应用．7．C解析：C 【解析】根据题意可知，“姊妹点对”满足两点：都在函数图象上，且关于坐标原点对称． 可作出函数()220y x x x =+<的图象关于原点对称的图象，看它与函数()20x y x e=≥ 交点个数即可．如图所示：当1x =时，201xe << 观察图象可得：它们有2个交点． 故答案选C点睛：本题主要考查了函数的性质运用，理解题目中两点都在函数图象上，且关于原点对称的意思，结合函数图象即可得出结果8．D解析：D 【分析】由“界点”定义可知，存在“界点”要求函数至少有2个零点．通过对四个函数零点个数的判断，得到最终结果． 【详解】A 选项：令3na n nb a =，即22x x =，根据2x y =与2y x =图像如图所示：可知当0x >时，有2x =与4x =两个交点 当0x <时，有1个交点因此两函数共有3个交点，故()f x 必有“界点”；B 选项：令220x bx +-=，可知280b ∆=+>，方程恒有2个不等式根，即()f x 必有2个零点，故()f x 必有“界点”；C 选项：令120x --=，解得3x =或1x =，即()f x 有2个零点，故()f x 必有“界点”；D 选项：令sin 0x x -=，令()sin g x x x =-，则()1cos g x x =-'又cos 1≤x ，所以()0g x '≥()g x ∴在(),-∞+∞上单调递增又()00g =，即()g x 只有0x =一个零点，故()f x 不存在“界点”． 本题正确选项：D 【点睛】本题属于新定义问题，考查转化化归的数学思想．解题关键在于明确“界点”的定义，从而转化为零点个数问题．9．C解析：C 【分析】分别画出函数()y f x =和()1g ?x x=的图像，根据图像得出结论. 【详解】因为()()10F x xf x =-=，所以()1xf x =，转化为()1f x x=如图，画出函数()y f x =和()1g ?x x=的图像，当x <0时，有一个交点，当x >0时，(1)1,(1)1f g ==，此时()()1g 11f ==，1x =是函数的一个零点，111(3)(1),(3)223f fg ===，满足(3)(3)f g >，所以在(2,4)有两个交点， 同理(5)(5)f g >，所以在(4,6)有两个交点， (7)(7)f g >，所以在(6,8)内没有交点，当n >7时，恒有()()f x g x >，所以两个函数没有交点所以，共有6个. 故选：C. 【点睛】本题考查分段函数的知识点，涉及到函数的零点的知识点，考查了数形结合的思想，属于基础题型.10．D解析：D 【分析】作出函数()f x 的图象，由函数()f x 的图象与直线y a =的交点得123,,x x x 的范围与关系，从而可求得123ax x x ++的取值范围． 【详解】函数()y f x a =-的零点就是函数()y f x =的图象与直线y a =的交点的横坐标，作出函数()y f x =的图象，作出直线y a =，如图，由图可知122x x +=-，由241x =得12x =（12x =-舍去），∴3102x <≤，234x a =，∴23123334224(2,0]x ax x x x x ++=-+=-+∈-． 故选：D ．【点睛】本题考查函数的零点，解题关键是掌握转化与化归思想，函数零点转化为函数图象与直线的交点，由数形结合思想确定零点的性质，得出结论．11．B解析：B 【详解】根据图像，当()()12f x f x =时，有()212f x ≤≤，将()1f x =代入函数()22f x x =--中，可解得11x =或13x =， 所以当()()12f x f x =时，113x ≤≤，当[1,2]x ∈时，()f x x =，因为()()12f x f x =， 所以()()21211111x f x x f x x x x ==⋅=⋅⋅，因为1[1,2]x ∈，所以()12[1,4]x f x ⋅∈；当[2,3]x ∈时，()4f x x =-，因为()()12f x f x =， 所以()()21211111(4)(2)4x f x x f x x x x ==⋅-=--⋅+⋅，因为1[2,3]x ∈，所以()12[3,4]x f x ⋅∈； 综上所述，()12x f x ⋅的取值范围是[1,4]. 故选：B.【点睛】本题考查了分段函数与函数与方程的综合性问题，属于中档题型，当正确画出函数的图像后，重点抓住本题的一个关键的条件()12()f x f x =，这样就可以将求()12x f x ⋅的范围转化为求()11x f x ⋅的范围.12．A解析：A 【分析】利用十字相乘法解()0g x =，得()2f x =或()f x a =-，利用函数与方程之间的关系转化为两个图象的交点个数问题进行求解即可． 【详解】解：若2()[()](2)()2[()2][()]g x f x a f x a f x f x a =+--=-+有三个零点， 即()[()2][()]0g x f x f x a =-+=有三个根， 即()2f x =或()f x a =-．当()2f x =时，由|1|12x e -+=，即|1|1x e -=，则11x e -=或11x e -=-， 即2x e =或0x e =，则2x ln =或x 无解，此时方程只有一个解， 则()f x a =-．有两个不同的根， 作出()f x 的图象如图：由图象知，则12a <-<，即21a -<<-，即实数a 的取值范围是(2,1)--， 故选：A ．【点睛】本题主要考查函数零点个数的应用，利用数形结合转化为两个函数图象的交点个数问题是解决本题的关键．二、填空题13．【分析】将函数存在零点转化为与图像有交点作出图像观察图像得出实数的取值范围【详解】解：设则函数存在零点等价于与图像有交点如图：函数的图像恒过点当其和函数的图像相切时有解得由图像可知所以所以与的图像有解析：30,⎡⎤⎢⎥⎣⎦【分析】将函数244y ax a x =+--存在零点转化为()()4f x a x =+与2()4g x x =-图像有交点，作出图像，观察图像得出实数a 的取值范围. 【详解】解：设()()4f x a x =+，2()4g x x =-，则函数244y ax a x =+--存在零点等价于()()4f x a x =+与2()4g x x =-图像有交点， 如图：函数()()4f x a x =+的图像恒过点(4,0)-，当其和函数2()4g x x =-2=，解得3a =±，由图像可知，0a >，所以3a =， 所以()()4f x a x =+与()g x =03a ≤≤.故答案为：⎡⎢⎣⎦. 【点睛】本题考查函数零点问题的研究，关键是将零点问题转化为函数图像的交点问题，考查数形结合的思想，是中档题.14．【分析】先判断函数的取值范围然后根据和至少有一个成立则可求得的取值范围【详解】解：当时又或在时恒成立即在时恒成立则二次函数图象开口只能向下且与轴交点都在的左侧即解得实数的取值范围是：故答案为：【点睛 解析：()4,0-【分析】先判断函数()g x 的取值范围，然后根据()0f x <和()0<g x 至少有一个成立．则可求得m 的取值范围.【详解】 解：()22x g x =-，当1x 时，()0g x ，又x R ∀∈，()0f x <或()0<g x ，()(2)(3)0f x m x m x m ∴=-++<在1x 时恒成立，即(2)(3)0m x m x m -++<在1x 时恒成立，则二次函数(2)(3)y m x m x m =-++图象开口只能向下，且与x 轴交点都在(1,0)的左侧，∴03121m m m <⎧⎪--<⎨⎪<⎩，即0412m m m ⎧⎪<⎪>-⎨⎪⎪<⎩，解得40m -<<， ∴实数m 的取值范围是：(4,0)-．故答案为：(4,0)-． 【点睛】利用指数函数和二次函数的图象和性质，根据条件确定()(2)(3)0f x m x m x m =-++<在1x 时恒成立是解决本题的关键，综合性较强，难度较大．15．【分析】判断出函数的单调性求出函数的最值可得要使关于的方程有且仅有个不同实数根转化为的两根均在区间由二次函数的零点分布列出不等式组解得即可【详解】当时递减当时递增由于函数是定义域为的偶函数则函数在和解析：716,49⎛⎫⎪⎝⎭【分析】判断出函数()y f x =的单调性，求出函数的最值，可得要使关于x 的方程()()27016a f x af x ++=⎡⎤⎣⎦，a R ∈有且仅有8个不同实数根，转化为27016a t at ++=的两根均在区间31,4⎛⎫-- ⎪⎝⎭，由二次函数的零点分布列出不等式组，解得即可． 【详解】当02x ≤≤时，214y x =-递减，当2x >时，1324xy ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭递增，由于函数()y f x =是定义域为R 的偶函数，则函数()y f x =在(),2-∞-和()0,2上递减，在()2,0-和()2,+∞上递增，当0x =时，函数()y f x =取得最大值0；当2x =±时，函数()y f x =取得最小值1-．当02x ≤≤时，[]211,04y x =-∈-；当2x >时，1331,244xy ⎛⎫⎛⎫=--∈-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭. 要使关于x 的方程()()27016af x af x ++=⎡⎤⎣⎦，a R ∈，有且仅有8个不同实数根，设()t f x =，则27016at at ++=的两根均在区间31,4⎛⎫-- ⎪⎝⎭． 则有2704312471016937016416a a a a a a a ⎧∆=->⎪⎪⎪-<-<-⎪⎨⎪-+>⎪⎪⎪-+>⎩，即为70432216995a a a a a ⎧><⎪⎪⎪<<⎪⎨⎪<⎪⎪⎪<⎩或，解得71649a <<．因此，实数a 的取值范围是716,49⎛⎫ ⎪⎝⎭. 故答案为：716,49⎛⎫⎪⎝⎭.【点睛】本题考查函数的单调性和奇偶性的运用，主要考查方程与函数的零点的关系，掌握二次函数的零点分布是解题的关键，属于中档题．16．【分析】先计算出的取值再结合题目中的规定计算出结果【详解】由方程可得或若则故或由题目中的规定为不超过的最大整数当时可得当时可得;若则无解综上方程的解集是故答案为:【点睛】本题考查了新定义内容结合函数 解析：[)[)1,02,3-【分析】先计算出()f x 的取值,再结合题目中的规定计算出结果. 【详解】 由方程()()22fx f x -=,可得()2f x =或()1f x =-,若()2f x =,则[][]()22x x x -=∈R ,故[]2x =或[]1x =-,由题目中的规定[]t 为不超过t 的最大整数, 当[]2x =时,可得23x ≤<, 当[]1x =-时,可得10x -≤<;若()1f x =-,则[][]()21x x x -=-∈R 无解,综上方程()()22fx f x -=的解集是[)[)1,02,3-.故答案为:[)[)1,02,3-【点睛】本题考查了新定义内容,结合函数思想来解题,需要理清题意,抓住题目的核心,通常考查函数的性质、零点等问题.17．且【分析】先化简函数再由过定点（02）在同一坐标系中作出两个函数的图象利用数形结合法求解【详解】在同一坐标系中作出两个函数的图象如图所示:因为函数的图像与函数的图像恰有两个交点所以且故答案为：且【点解析：04k <≤ 且1k ≠ 【分析】 先化简函数()211,1111,11x x x x f x x x x --≥<-⎧==⎨+--<<⎩或，再由()2g x kx =+过定点（0,2），在同一坐标系中作出两个函数的图象，利用数形结合法求解. 【详解】()211,1111,11x x x x f x x x x --≥<-⎧==⎨+--<<⎩或，()2g x kx =+， 在同一坐标系中作出两个函数的图象，如图所示:因为函数211x y x -=+的图像与函数2y kx =+的图像恰有两个交点，所以04k <≤ 且1k ≠，故答案为：04k <≤ 且1k ≠，【点睛】本题主要考查函数的零点与方程的根，还考查了数形结合的思想方法，属于中档题.18．【分析】由题意可得有四个不等实根设求得导数和单调性可得极值画出图象即可得到所求范围【详解】函数有四个零点由不为零点即即有有四个不等实根设①当时令在区间上单调递增且使得则函数在区间上单调递减在区间上单 解析：1a e e -<--【分析】由题意可得1(||)||xx a x e x e -=+有四个不等实根，设1()(||)||xxg x x e x e =+，求得导数和单调性，可得极值，画出图象，即可得到所求范围． 【详解】函数22()1()x xf x x e a x e a R =++∈有四个零点由(0)1f =，0x =不为零点即()0f x =即有1xxa x e x e -=+有四个不等实根设1()xxg x x e x e =+①当0x >时，1()xx g x xe xe =+，()2222(1)11()(1)xx x xx x e x g x x e x e x e +-+'=+-=令22()1xh x x e=-，222()220x x h x xe x e '=+>()h x ∴在区间(0,)+∞上单调递增，且2(0)10,(1)10h h e =-<=-> ∴0(0,1)x ∈，使得()0220010x h x x e =-=()0g x '∴<⇒00x x <<，0()0g x x x '>⇒>则函数()g x 在区间()00,x 上单调递减，在区间()0,x +∞上单调递增，且()min 0()2g x g x ==②当0x <时，1()xx g x xe xe =--导数为()2222(1)11()(1)xx x xx x e x g x x e x e x e +-+'=-++=令22()1x x x e ϕ=-，2()2(1)xx x x e ϕ'=-+()010x x ϕ'>⇒-<<，()01x x ϕ'<⇒<-所以函数()x ϕ在区间(),1-∞-上单调递减，在区间(1,0)-上单调递增()min 21()110x eϕϕ=-=->，即22()01x x x e ϕ->=在区间(,0)-∞上成立 即()010g x x '>⇒-<<，()01g x x '<⇒<-则函数()g x 在区间(),1-∞-上单调递减，在区间(1,0)-上单调递增 且1x =-时，()g x 取得极小值1e e -+ 画出函数()g x 的图象，可得1a e e -->+即1a e e -<--时，1(||)||xxa x e x e -=+有四个不等实根，即函数()f x 有四个零点 故答案为：1a e e -<--【点睛】本题考查函数的零点个数问题解法，注意运用数形结合思想方法和导数判断单调性、极值，考查运算能力，属于中档题．19．【分析】根据对运算的定义将写成分段函数画出该函数的图像将问题转化为直线与函数的图像有3个交点求参数的范围问题【详解】根据题意在直角坐标系中画出该函数的图像如下所示：由图可知当时由最小值故数形结合可知 解析：1,02⎛⎫- ⎪⎝⎭ 【分析】根据对运算的定义，将()f x 写成分段函数，画出该函数的图像，将问题转化为直线y m =与函数()f x 的图像有3个交点求参数的范围问题.【详解】根据题意()()221,11,1x x x f x x x ⎧-≤=⎨-+>⎩在直角坐标系中画出该函数的图像如下所示：由图可知，当()0,1x ∈时，由最小值1122f ⎛⎫=-⎪⎝⎭， 故数形结合可知，当1,02m ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭时，直线y m =与函数()f x 的图像有3个交点， 即()()f x m m R =∈恰有三个互不相等的实数根.故答案为：1,02⎛⎫-⎪⎝⎭【点睛】本题考查由函数的零点个数求参数的取值范围，本题中采用数形结合的方法，将问题转化为函数图像交点的问题进行处理. 20．2【分析】化简得到画出函数图像根据图像得到答案【详解】取则即画出函数图像如图所示：根据图像知有两个交点故函数有两个零点故答案为：【点睛】本题考查了函数零点问题画出函数图像是解题的关键解析：2【分析】化简得到131log=3xx ⎛⎫⎪⎝⎭，画出函数图像，根据图像得到答案.【详解】取13()3log1=0xf x x=-，则133log=1x x，即131log=3xx⎛⎫⎪⎝⎭，画出函数图像，如图所示：根据图像知有两个交点，故函数有两个零点.故答案为：2.【点睛】本题考查了函数零点问题，画出函数图像是解题的关键.三、解答题21．（1）12a=或1a>；（2）146m-<<.【分析】（1）由复合函数的单调性和对数函数的定义域列出不等式组，解之可得；（2）把对数方程转化为指数方程，换元后转化为一元二次方程，再由二次方程根的分布知识得结论．【详解】解（1）由复合函数的单调性法则，以及()f x的定义域可得114aa>⎧⎪⎨-≥⎪⎩或0112210aaa<<⎧⎪⎪≤⎨⎪⎪-≥⎩1a⇒>或12a=（2）原方程2333log[63(3)]log(3)log(3)x x x xm-⇔⋅-=++233log[63(3)]log(31)x x xm⇔⋅-=⋅+263(3)31x x xm⇔⋅-=⋅+（其中036x<<），2(3)(6)310x xm⇔+-⋅+=其中036x<<），令3(0,6)x t =∈，原条件⇔关于t 的方程2(6)10t m t +-⋅+=在区间(0,6)内有两个不同的根记2()(6)1g t t m t =+-+，由二次方程根的分布的求解方法可得2(6)406062(0)10(6)610m m g g m ⎧∆=-->⎪-⎪<<⎪⎨⎪=>⎪=+>⎪⎩146m ⇒-<<． 【点睛】关键点点睛：本题考查复合函数的单调性，对数方程解的问题．对数方程的解的个数问题的解题关键是进行转化，一是由对数方程转化为指数方程，二是指数方程转化为一元二次方程，最后由一元二次方程的根的分布知识可求解．22．（1）2150400,060264001460,60x x x y x x x ⎧-+-<<⎪⎪=⎨⎛⎫⎪-+≥ ⎪⎪⎝⎭⎩；（2）80万箱. 【分析】（1）分060x <<和60x ≥两种情况分析，利用利润等于销售收入减去成本可得出口罩销售利润y （万元）关于产量x （万箱）的函数关系式；（2）分060x <<和60x ≥两种情况分析，利用二次函数和基本不等式求出口罩销售利润y 的最大值及其对应的x 值，综合可得出结论.【详解】（1）当060x <<时，2211100504005040022y x x x x x ⎛⎫=-+-=-+-⎪⎝⎭； 当60x ≥时，6400640010010118604001460y x x x x x ⎛⎫⎛⎫=-+--=-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭. 所以，2150400,060264001460,60x x x y x x x ⎧-+-<<⎪⎪=⎨⎛⎫⎪-+≥ ⎪⎪⎝⎭⎩； （2）当060x <<时，221150400(50)85022y x x x =-+-=--+， 当50x =时，y 取得最大值，最大值为850万元； 当60x ≥时，6400146014601300y x x ⎛⎫=-+≤-= ⎪⎝⎭， 当且仅当6400x x=时，即80x =时，y 取得最大值，最大值为1300万元. 综上，当产量为80万箱时，该口罩生产厂在生产中获得利润最大，最大利润为1300万元.【点睛】思路点睛：解函数应用题的一般程序：第一步：审题——弄清题意，分清条件和结论，理顺数量关系；第二步：建模——将文字语言转化成数学语言，用数学知识建立相应的数学模型； 第三步：求模——求解数学模型，得到数学结论；第四步：还原——将用数学方法得到的结论还原为实际问题的意义；第五步：反思回顾——对于数学模型得到的数学结果，必须验证这个数学解对实际问题的合理性．23．（1）(1,3)-；（2）零点为1+1-3）2a =.【分析】（1）由函数的解析式可得3010x x ->⎧⎨+>⎩，解可得x 的取值范围，即可得答案， （2）根据题意，由函数零点的定义可得()log (3)log (1)log [(3)(1)]0a a a f x x x x x =-++=-+=，即(3)(1)1x x -+=，解可得x 的值，即可得答案，（3）根据题意，将函数的解析式变形可得2()log (3)log (1)log [(3)(1)]log (23)a a a a f x x x x x x x =-++=-+=-+-，设223t x x =-++，分析t 的最大值可得()f x 的最大值为log 4a ，则有log 42a =，解可得a 的值，即可得答案.【详解】解：（1）根据题意，()log (3)log (1)a a f x x x =-++，必有3010x x ->⎧⎨+>⎩，解可得13x ， 即函数的定义域为(1,3)-，（2）()log (3)log (1)a a f x x x =-++，若()log (3)log (1)0a a f x x x =-++=， 即log [(3)(1)]0a x x -+=，即(3)(1)1x x -+=，解可得：1x =+1x =-即函数()f x 的零点为11（3）2()log (3)log (1)log [(3)(1)]log (23)a a a a f x x x x x x x =-++=-+=-+-，设223t x x =-++，(1,3)x ∈-，则2(1)44t x =--+≤，有最大值4，又由1a >，则函数()f x 有最大值log 4a ，则有log 42a =，解可得2a =，故2a =.24．（1）A 产品函数关系式是1(),4f x x =(0)x ≥，B 产品函数关系式是()g x =(0)x ≥；（2）当A 产品投入4万元，B 产品投入16万元时，企业获得最大利润为9万元．【分析】（1）由已知给出的函数模型设出解析式，代入已知数据求参数，即得结果；（2）设A 产品投入x 万元，则B 产品投入20x -万元，设企业的利润为y 万元．则有 ()(20)y f x g x =+-，(020)x ≤≤，用换元法转化为求二次函数在给定区间上最值问题，即得结果．【详解】解：（1）设投资额为x 万元，A 产品的利润为()f x 万元，B 产品的利润为()g x 万元， 依题意，设1()f x k x =，()g x k = 由图知1(1)4f =，所以114k =，又2(4)24g k ==，所以22k =， 所以1(),4f x x =(0)x ≥，()g x =(0)x ≥； （2）设A 产品投入x 万元，则B 产品投入20x -万元，设企业的利润为y 万元．1()(20)4y f x g x x =+-=+(020)x ≤≤，t =，则220x t =-，故()2220124944t y t t -=+=--+(0t ≤≤． 所以当4t =时，max 9y =，此时20164x =-=，此时2016x -=．∴当A 产品投入4万元，B 产品投入16万元时，企业获得最大利润为9万元．【点睛】本题解题关键是利用函数模型构建函数关系后，能利用换元法将问题转化成二次函数最值问题来解决．25．（Ⅰ）300,0200()2300,200300t t f t t t -≤≤⎧=⎨-<≤⎩，()21()150100,0300200g t t t =-+≤≤；（Ⅱ）从二月一日开始的第50天上市的西红柿收益最大.【分析】（Ⅰ）根据图①的图象可知：是由一次函数构成的分段函数由点()()()0,300,200,100,300,300写出函数解析式；根据图②的图象是二次函数；由顶点()150,100和过点()250,150，写出函数解析式；（Ⅱ）设纯收益为h ，市场售价减去种植成本为纯收益，得到()()2211175+,020020022171025+,20030020022t t t h f t g t t t t ⎧-+≤≤⎪⎪=-=⎨⎪--<≤⎪⎩求解. 【详解】。
广东省阳东广雅中学2025届数学高一上期末学业质量监测模拟试题含解析
m3
【解析】∵l1∥l2，∴n=-4，l2 方程可化为为 x+2y－3=0.又由 d=
5，
5
解得 m=2 或－8（舍去），∴m+n=-2.
点睛：两平行线间距离公式是对两平行线方程分别为 Ax By C1 0 ， Ax By C2 0 ，则距离为 d
C1 C2 ， A2 B2
要注意两直线方程中 x, y 的系数要分别相等，否则不好应用此公式求距离
A.充分不必要 C.充要
B.必要不充分 D.既不充分又不必要
6．已知向量 a (1, 2) ， b (x,3y 5) ，且 a / /b ，若 x ， y 均为正数，则 xy 的最大值是
A. 2 6
25
B.
12
25
C.
24
25
D.
6
7．将函数 f (x) sin(2x π ) 的图象向左平移 m(m 0) 个单位后得到的图象关于 y 轴对称，则正数 m 的最小值是（） 3
x 1.0 2.0 4.0 8.0
y 0.01 0.99 2.02 3
现欲从理论上对这些数据进行分析并预测，则下列模拟函数合适的是（ ）
A. y log2 x
B. y 2x
C. y x2 2x 3
D. y 2x 3
3．若 x log2 3 1，求 3x 3x （）
A. 5 2
C. 10 3
则
1 a
logm
2,
1 b
logm
5
，
所以
1 a
1 b
logm
2
logm
5
logm
10
2
，
则 m2 10 ，
解得 m 10 ，
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广东广雅中学高一数学必修1模块考试试卷 (共4页)本试卷分选择题和非选择题两部分，满分为130分，考试用时120分钟。
第一部分 选择题 (共40分)一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. (1) 已知集合{}1,0,1-=A ，则如下关系式正确的是（A ）A A ∈ （B ）0A （C ）A ∈}0{ （D ）∅A(2) 如图，I 是全集，集合A 、B 是集合I 的两个子集，则阴影部分所表示的集合是IBA（A ）()I A C B （B ） ()I C A B （C ）()()I I C A C B （D ）)(B A C I (3)82log 9log 3的值为 （A ）23 （B ）32（C ）2 （D ）3 (4) 设集合{}02M x x =≤≤，{}02N y y =≤≤，给出如下四个图形，其中能表示从集合M 到集合N 的函数关系的是（A ） （B ） （C ） （D ）(5) 若函数2()2(1)2f x x a x =+-+在区间(,4]-∞上是减函数，在区间[4,)+∞上是增函 数则实数a 的值是（A ）3a = （B ）3a =- （C ）1a =- （D ）5a = (6) 方程330x x --=的实数解落在的区间是（A ）[1,0]- （B ）[0,1] （C ）[1,2] （D ）[2,3]数学试卷 第1页 (共4页)(7) 设1>a ，则a 2.0log 、a 2.0、2.0a 的大小关系是（A ）2.02.0log 2.0a a a << （B ）2.02.02.0log a a a << （C ）a a a 2.0log 2.02.0<< （D ）a a a 2.02.0log 2.0<<(8) 当10<<a 时，在同一坐标系中，函数xa y -=与x ya log =的图象是(A) (B) (C) (D)(9) 已知函数()y f x =在R 上为奇函数，且当0x ≥时，2()2f x x x =-，则当0x <时，()f x 的解析式是 （A ）()(2)f x x x =-+ （B ）()(2)f x x x =- （C ）()(2)f x x x =-- （D ）()(2)f x x x =+ (10) 方程22230xx +-=的实数根的个数是（A ）0 （B ）1 （C ）2 （D ）无数数学试卷 第2页 (共4页)第二部分 非选择题 (共90分)二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分.(11) 已知21(0)()2(0)x x f x x x ⎧+≤=⎨->⎩，若()26f a =，则a = ；(12) 若集合{}2,12,4aa A --=，{}9,1,5a a B --=,且{}9=B A ，则a 的值是________;(13) 函数y =的定义域是 ； (14) 某商人将彩电先按原价提高40%，然后在广告中写上“大酬宾，八折优惠”，结果是每台彩电比原价多赚了270元，则每台彩电原价是 元.三、解答题：本大题共6小题，共 74 分. 解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. (15) （本小题满分10分）已知：集合{|A x y =，集合2{|23[03]}B y y x x x ==-+∈，，， 求A B .(16) （本小题满分10分）已知函数2()log 1xf x x=- .（Ⅰ）求函数的定义域;（Ⅱ）根据函数单调性的定义，证明函数)(x f 是增函数.(17) （本小题满分12分）已知函数xx f 2)(=. （Ⅰ）判断函数)(x f 的奇偶性;（Ⅱ）把)(x f 的图像经过怎样的变换，能得到函数22)(+=x x g 的图像;(Ⅲ)在直角坐标系下作出函数)(x g 的图像.(18）（本小题满分12分）某学生在体育训练时受了伤，医生给他开了一些消炎药，并规定每天早上八时服一片，现知该药片每片含药量为200毫克，他的肾脏每天可从体内滤出这种药的60%，问：（Ⅰ）经过多少天，该同学所服的第一片药在他体内残留不超过10毫克？（lg2=0.3010）（Ⅱ）连服x 次药，写出第x 天早上八时服药后，该同学体内这种药残留量y （毫克）的函数关系式数学试卷 第3页 (共4页)（19）（本小题满分15分）某产品生产厂家根据以往的生产销售经验得到下面有关生产销售的统计规律：每生产产品x （百台），其总成本为()G x （万元），其中固定成本为2万元，并且每生产1百台的生产成本为1万元（总成本 = 固定成本 + 生产成本）；销售收入()R x （万元）满足：20.4 4.20.8 (05)()10.2 (5)x x x R x x ⎧-+-≤≤=⎨>⎩， 假定该产品产销平衡，那么根据上述统计规律:（Ⅰ）要使工厂有赢利，产量x 应控制在什么范围？ （Ⅱ）工厂生产多少台产品时，可使赢利最多？（20）（本小题满分15分）已知()f x 是定义在{}0x x >上的增函数，且()()()xf f x f y y=-. （Ⅰ）求(1)f 的值；（Ⅱ）若(6)1f =，解不等式1(3)()2f x f x+-<.数学试卷第4页(共4页)广东广雅中学2004学年度高一数学必修1模块考试答卷(共6页)一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.(注意．．：请把每小题的答案填在下面对应的表格中)二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分. 把答案填在题中横线上.(11) . (12) .(13) . (14) .三、解答题：本大题共6小题，共 74 分. 解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.数学答卷第1页(共6页)数学答卷 第2页 (共6页)班级： 级 班 姓名： 学号： ………………………………………………………密………………………..….封…………….………….线……………………………………………………..数学答卷第3页(共6页)数学答卷 第4页 (共6页)班级： 级 班 姓名： 学号： ………………………………………………………密………………………..….封…………….………….线……………………………………………………..数学答卷第5页(共6页)数学答卷 第6页 (共6页)广东广雅中学2004学年度高一数学必修1模块考试试卷参考答案 (共3页)一、选择题（每小题4分，共40分）二、填空题 (每小题4分，共16分)(11) 5- (12) 3- (13) [1,)-+∞ (14) 2250 三、解答题 (共74分)(15) 解：A 是函数y =的定义域 2320x x ∴--≥解得 31x -≤≤ 即{}31A x x =-≤≤B 是函数223[0,3]y x x x =-+∈，的值域解得 26y ≤≤ 即{}26B y y =≤≤A B ∴=∅(16) (Ⅰ)解：由01xx>- 得 (1)0x x -> 解得 01x <<∴函数的定义域为 (0,1)(Ⅱ)证明：任取1x 、2(0,1)x ∈且12x x <，则12122212()()log log 11x xf x f x x x -=---121222122111log ()log ()11x x x x x x x x --=⋅=⋅--1201x x <<<210111x x ∴<-<-<1201x x ∴<< 且 211011x x -<<- 即 12211011x x x x -<⋅<- 12()()0f x f x ∴-< 即 12()()f x f x < 故函数()f x 是增函数数学答案 第1页 (共3页)(17) (Ⅰ) 解： 函数)(x f 定义域为R 又 ()22()xxf x f x --===∴函数)(x f 为偶函数(Ⅱ)解： 把)(x f 的图像向左平移2个单位得到 (Ⅲ)解： 函数)(x f 的图像如右图所示(18) (Ⅰ) 解：设经过x 天该同学所服的第一片药在他体内残留不超过10毫克，依题意得：10%)601(200=-x 即2014.0=x两边取常用对数，得,201lg 4.0lg =x 即201lg 104lg=x )12(lg )12lg 2(20lg )10lg 2lg 2(+-=-⇒-=-⇒x x 解得x=3.3 所以，4天后该同学体内药残留不超过10毫克。
(Ⅱ)解：第一次服药残留量为14.0200-⨯x ，第二次服药残留量为24.0200-⨯x ，……第x 次服药残留量为200，所以)4.04.04.04.01(200122--+⋯⋯+++=x x y （毫克）(19) 解：依题意，2)(+=x x G .设利润函数为()f x ，则20.4 3.2 2.8(05)()()()8.2(5)x x x f x R x G x x x ⎧-+-≤≤=-=⎨->⎩(Ⅰ) 要使工厂有赢利，即解不等式0)(>x f ，当50≤≤x 时，解不等式08.22.34.02>-+-x x 。
即0782<+-x x .∴17x << ∴51≤<x 。
当x>5时，解不等式02.8>-x ， 得2.8<x 。
∴2.85<<x 。
综上所述，要使工厂赢利，x 应满足18.2x <<， 即产品应控制在大于100台，小于820台的范围内。
(Ⅱ) 50≤≤x 时，6.3)4(4.0)(2+--=x x f 故当4x =时，()f x 有最大值3.6.而当5x >时，2.352.8)(=-<x f所以，当工厂生产400台产品时，赢利最多.数学答案 第2页 (共3页)(20) (Ⅰ) 解：令0x y =>，则(1)()()0f f x f x =-=(Ⅱ) 解：依题可得：((3))2(6)f x x f +<故((3))(6)(6)f x x f f +-< 则(3)()(6)6x x f f +< 又已知)(x f 是定义在{}0x x >上的增函数，故(3)663010x x x x+⎧<⎪⎪+>⎨⎪⎪>⎩解得：0x <<∴不等式的解集为302x x ⎧-+⎪<<⎨⎪⎪⎩⎭.数学答案第3页(共3页)。