近世代数二元关系
二元关系
1二元关系1. 有序对与笛卡尔积定义1.1 两个对象x , y 组成的满足如下性质的二元组(x , y )：(x , y )=(u,v ) 当且仅当x=u , y=v其中x 称为第一元素，y 称为第二元素。
定义1.2 集合A 和B 的笛卡尔积定义为{(,)|,}A B x y x A y B ⨯=∈∈特别地，若A 或者B 是空集，则A ×B 是空集。
例：注意：笛卡尔积不满足结合律和交换律。
2. 二元关系定义2.1 若A 和B 是集合， 则A ×B 的任何子集R 称为从A 到B 的二元关系，简称关系。
若(,)x y R ∈，则称有序对(x , y )满足关系R ，一般记为xRy .定义域dom(R )=值域ran(R )=集合C 在R 下的像：R [C]=例2.2 设集合R ={(a,1),(a,2), (b,2),(b,3)}，则该集合可视为从{a,b}到{1,2,3}的二元关系，其定义域和值域为dom(R )={a,b}ran(R )={1,2,3}定义2.3（关系矩阵）M R 是由真值组成的0-1矩阵。
例2.4关系图：G R 是一个二部图（bipartite ）。
定义2.4 若R 是从集合A 到A 的二元关系，即R A A ⊆⨯，则称R 是A 上的二元关系。
定义2.5 集合A 上的三种特殊关系：（1） 空关系：∅ 其矩阵是0方阵。
（2） 全关系：E A =A ×A 其矩阵是全1方阵。
（3） 恒等关系：{(,)|}A I x x x A =∈，其矩阵是单位矩阵。
23. 二元关系的几种运算我们考虑对于二元关系的如下运算，即并、逆、复合、方幂和限制。
定理3.1 设R ，Q 是从A 到B 的二元关系，则R Q R Q M M M =+U注意：其中的加法是真值加法，即逻辑或，即0+0=0, 1+1=1，1+0=1，0+1=1证明： 证毕定义3.2（二元关系的逆）设R 是从A 到B 的二元关系。
二元关系
第四章 二元关系学习指导4.1 二元关系一、有序对有序对 设为任意两个集合，元素和b 分别取自和,A B a A B 。
和b 依一定次序组成一对，称为有序对，记为，其中称为它的第一元素，b 称为它的第二元素。
a (,)ab a 两有序对相等 (,当且仅当a )(,)a bcd =c =且b d =。
有序元组 有序元组是一个有序对，它的第一元素为有序元组，第二元素为，记为(3n n .))n (3n n .1n −121(,,,)n a a a − n a 12121(,,,)((,,,),)n n a a a a a a a −= 。
笛卡尔积 设A 和B 为任意的两个集合。
称所有由中元素作为第一元素，A B 中元素作为第二元素的有序对组成的集合为和A B 的笛卡尔积，记作A B ×，即{}(,)A B a b a A b B ×=∈∧∈二、二元关系和元关系n二元关系 设和A B 是任意的两个集合，A B ×的子集R 称为到A B 的一个二元关系。
当时，则称A B =R 为上的二元关系。
二元关系简称为关系。
对于某个关系A R ，如果，那么称和b 有关系(,)a b R ∈a R ，记为；如果aRb (,)a b R ∈，那么称a 与没有关系b R ，记为aRb 。
/空关系 如果，那么称R =∅R 为空关系； 全关系 如果R A B =×，那么称R 为全关系。
恒等关系 {}I (,)A a a a A =∀∈;整数集合上的模ｎ同余关系 设（整数集合），对于给定的正整数ｎ，Ａ上的模ｎ同余关系Ｒ为A ⊆Z {}(,)(,)a bR a b a b a b n n 为整数是的整数倍⎧−⎫==−⎨⎬⎩⎭{}(,)(mod )a b a b n =≡。
定义域和值域 设Ｒ是集合Ａ到Ｂ的二元关系，分别定义Ｒ的定义域dom R 和值域ran R 为：{}{}dom ()((,);ran ()((,))R a b b B a b R R ba a A ab R =∃∈∧∈=∃∈∧∈。
近世代数集合的等价 关系与分类
Si | i I
9
前页
前页 后页
前页 目录
前页 返回
例6 设 M 为数域 F 上全体 n 阶方阵的集合,令
M r 表示所有秩为 r 的 n 阶方阵构成的子集.
n
(1) M M i
i 0
;
(2) M i M j , i j ．
18
前页 前页 后页 前页 目录 前页 返回
(3) 若 m | a b , 有 m | a a (2) 若m | a b , 则m | b a ；
m | b c , 则m | a c ． 所以 是Z 的一个等价关系,显然
a与b 等价当且仅当a与b 被 m除有相同的余数, 因此称
这个关系为同余关系 (congruence relation) , 并记作
5
前页 前页 后页 前页 目录 前页 返回
定义1.1.3 对a S , 令
如果～是集合 S 的一个等价关系,
a x S | x ~ a
称子集 a 为 S 的一个等价类 (equivalence class) ． S 的全体等价类的集合称为集合S 在等价关系下的商集 (quotient set), 记作 S / ~ ．
a, b ,由 a, b 1 ，可推出 b, a 1 ．
4
前页 前页 后页 前页 目录 前页 返回
定义1.1.2 果 满足
设 是 S 非空集合的一个关系, 如
(E1) 反身性, 即对任意的a S, 有aa ； (E2)对称性, 即若ab , 则 ba ； (E3) 传递性, 即若ab ,且 bc ,则ac． 则 称是S 的一个等价关系(equivalence relation), 并且如果 ab ,则称 a 等价于 b ,记作 a ~ b ．
近世代数(复习duo)
6、等价关系，举例说明。
【定义】设 R 是某个集合上的一个二元关系。若满足以下条件： （1）自反性： ∀x ∈ A ， xRx ； （2）对称性： ∀x, y ∈ A ， xRy ⇒ yRx ；
〖例子〗
G 是全体整数的集合， G 对于普通加法来说作成一个群。 G 是所有不等于零的整数的集合， G 对于普通乘法来说不作成一个群。（不满足 4） G 是全体不等于零的有理数的集合，那么 G 对于普通乘法来说作成一个群。 G 是全体整数的集合， G 对于普通减法来说不作成一个群。（不满足 2） 4、什么是一个群 G 的生成元，给出一个子集合会判断该子集是不是子群。 【定义】若一个群 G 的每一个元都是 G 的某一个固定元 a 的乘法，我们就把 G 叫做循环群；我们也说， G 是由 a 所生成的，并且用符号 G = (a) 表示。 a 叫做 G 的一个生成元。 【定义】一个群 G 的一个子集 H 叫做 G 的一个子群，假如对于 G 的乘法来说做成一个群。一个群 G 的一 个不空子集 H 做成 G 的一个子集的充分必要条件是： （1） a,b ∈ H ⇒ ab ∈ H ； （2） a ∈ H ⇒ a−1 ∈ H ； （3） a, b ∈ H ⇒ ab−1 ∈ H 。
【定义】一个集合 A 的代数运算 适合结合律，假如对于 A 的任何三个元 a, b, c 来说，都有：
(a b) c = a (b c) 。
〖例子〗
（1） A = {所有不等于零的实数} ， 是普通除法，a b = a / b ，这个运算 不适合结合律。(4 / 2) / 2
二元关系的性质及二元关系的应用（可编辑）
二元关系的性质及二元关系的应用引言在日常生活中,关系一词是大家在生活学习和工作中经常遇到和处理的概念,我们都熟知关系一词的含义,例如兄弟关系、上下级关系、位置关系等.在数学中关系可抽象为表达集合中元素之间的关系,如“4大于2”,“在点,之间”.在离散数学中关系是刻画元素之间相互联系的一个重要的概念,广泛应用于计算机科学技术如计算机程序的输入、输出关系,数据库的数据特性关系,其中关系数据库就是以关系及其运算作为理论基础的.近世代数利用等价关系将代数系统进行分类,进而加以研究.关系也是点集拓扑中一个重要概念,通过关系分类来研究集合元素之间的某种联系.熟练掌握关系的定义和性质,也是学好近世代数和点集拓扑的基础.最基本的关系就是二元关系,就是集合中两个元素之间的某种相关性.例如有三个人和四项工作.已知可以从事,可以从事,可以从事,那么人和工作之间的对应关系可以记作: 这是人的集合到工作的集合之间的二元关系.一基础知识定义1 设,为集合,用中元素为第一元素,中元素为第二元素,构成有序对,所有这样的有序对组成的集合叫做和的笛卡尔积,记作,符号化表示为.定义2 如果一个集合满足以下条件之一:⑴集合非空,且它的元素都是有序对;⑵集合是空集,则称这个集合是一个二元关系,通常记作大写的英文字母,二元关系也可简称为关系.对于二元关系,如果有序对,可记为,否则记为.例如, ,则为二元关系,不是二元关系,只是一集合,除非将和定义为有序对.二元关系中特别重要的是从到的关系与上的关系.定义3为集合,的任何子集所定义的二元关系叫做从到的二元关系,特别当时则叫做上的二元关系.集合上的二元关系的数目依赖于中的元素数,当含有个元素时即,则,的子集有个,每一个子集代表一个上的关系,所以上有个不同的关系.定义4 对任意的集合都有三种特殊的关系:①空集是任何集合的子集当然也是的子集,也是上的关系,称为空关系.②称为上的全域关系.③为上的恒等关系.给定集合,定义几种常用的关系:定义5 是实数集的任意非空子集,则称上的二元关系为上的小于等于关系.定义6 为非0整数集,则称上的二元关系为上的整除关系.定义7 设是整数集的任意非空子集,是任意正整数,则称上的二元关系为上的模同余关系.定义8 设是由一些集合构成的集合族,则称上的二元关系为上的包含关系.例:设,求上的包含关系.解:由于, 在日常生活、生产活动和科学研究中,人们常用点表示事物,用点与点之间是否有连线表示事物之间是否有某种关系,这样构成的图形就是图论中的图.定义9 一个无向图是一个有序的二元组,其中⑴是一个非空有穷集,称为顶点集,其元素称为顶点或结点.⑵是无序集的有穷多重子集,称为边集,其元素称为无向边,简称为边.定义10 一个有向图是一个有序的二元组,其中⑴是一个非空有穷集,称为顶点集,其元素称为顶点或结点.⑵是笛卡尔积的有穷多重子集,称为边集, 其元素称为有向边,简称边.通常用图形来表示有向图和无向图:用小圆圈或实心点表示顶点,用顶点之间的连线表示无向图,用带箭头的连线表示有向边.定义11设为一个有向图,,若从到存在通路,则称可达,记作.规定总是可达自身的,即.若且,则称与是相互可达的,记作.规定.与定义9和定义10有关的还有下面一些概念和规定.⑴无向图和有向图统称为图,但有时也常把无向图简称为图.通常用表示无向图,表示有向图,有时也用泛指图有向的或无向的.用,分别表示的顶点集和边集, ,分别是的顶点数和边数.有向图也有类似的符号.⑵设为无向图, ,称为的端点,与关联.若,则称与的关联次数为1;若,则称与的关联次数为2,并称为环.如果顶点不与边关联,则称与的关联次数为0.若两个顶点与之间有一条边连接,则称这两个顶点相邻.若两条边至少有一个公共端点,则称这两条边相邻.⑶设为有向图, ,称为的端点, 为的始点, 为的终点,并称与关联.若,则称为中的环.若两个顶点之间有一条有向边,则称这两个顶点相邻.若两个边中一条边的终点是另一条边的始点,则称这两条边相邻二关系的三种表示方法表示关系的方法有三种:集合表达式,关系矩阵和关系图.2.1 集合表达式由于关系是一种特殊的集合,当然可以用集合表达式表示.例如:设,则用集合表达式表示上的关系.⑴.⑵.解: ⑴⑵2.2 关系矩阵和关系图关系矩阵可以用来表示有穷集到的关系与上的关系,关系图只能表示有穷集上的关系.当关系中的元素较多时,利用关系矩阵和关系图可以形象直观的表示关系.设给定两个有限集合,,对应于从到的二元关系有一个关系矩阵,其中如果是有限集合上的二元关系或和含有相同数量的有限个元素,则其关系矩阵是方阵.而同时对应的关系图就是在平面上用个点分别表示中的元素,另外再在平面上画出个点分别表示中的元素,如果集合和中有相同的元素则用同一点表示.当时,则从点至画一条有向边,其箭头指向,否则就没有边联结.例从到的关系, 通常将和中的元素设定为升序顺序,则对应的关系矩阵为:对应的关系图为:特别地,当为上的二元关系时,如果,则对应于的关系矩阵是阶方阵,方阵中的元素应有: ……………… (★)其关系图表示可以在平面上仅画个点,有向边的规定不变.例如,则的关系矩阵是对应的关系图为实际上,除了二元关系可用图表示之外,图中还蕴含许多丰富的二元关系.从图论中图的定义简单分析,图有点、线和点边关系构成.根据图中“边”就可以获得图中点间的“邻接关系”、“可达关系”及点边之间的“关联关系”.在图中,这些关系都是在(★)式所规定的方法基础上来表示成矩阵. 下面就来看一下这几种关系在离散数学中的定义.邻接矩阵的定义:设有向图,,令为顶点邻接到顶点边的条数,称为的邻接矩阵,记作,或简记为.例如下图2.2.1, 写出其邻接矩阵有向图的邻接矩阵为: ;性质1 简单有向图的邻接矩阵是一个0,1的矩阵:对角线元素为0,但不一定对称.性质2 矩阵的各行和是相应顶点的出度,各个列和是相应顶点的入度。
第七章 二元关系
n m
1 rij 0
矩阵 M R 称为
若ai Rb j 若ai R ' b j
i≤n，j≤m 1 5 7
R 的关系矩阵。 R
可以用 的矩阵来表示。
例1中由A到B的关系 一个
4 3
R { 2,5 , 2,7 , 3,5 , 3,7 , 4,5 , 4,7 }
2） A ×B ≠ B × A （A ≠ B，A≠ ，B ≠ ）
3）A (B C) ( A B) ( A C)
4） A (B C) ( A B) ( A C) 5）A C且B D，则A×B C×D
(B C) A (B A) (C A) (B C ) A (B A) (C A)
R
表示出来。
解
R { 2,5 , 2,7 , 3,5 , 3,7 , 4,5 , 4,7 }
20
例2 有王、张、李、何是某校的老师，该校有
三门课程：语文、数学和英语，已知王可以教语文 和数学，张可以教语文和英语，李可以教数学，何 可以教英语，若记A={王，张，李，何}，B={语文， 数学，英语}。那么这些老师与课程之间的对应关系 就可以用由A到B的一个关系 R 中的序偶来表示。
7
以第一个等式 A (B C) ( A B) ( A C) 为例，给出其证明。
证明
设 ( x, y ) A (B C) ， 则 即
x A ，且 y B C,
x A ，且（ y B 或 y C )，
因此 ( x A, y B) ( x A, y C )。 或 于是 ( x, y) A B 或 ( x, y) A C ， 即 ( x, y) ( A B) ( A C ) ， 故 A ( B C ) ( A B) ( A C ) 。
第3章 二元关系
证明：必要性: 已知R是对称和传递的， 设<a,b>R ，<a,c>R，(要证明 <b,c>R ) 因为R对称 故<b,a>R,又R 是传递的，且<a,c>R 得<b,c>R 充分性: 已知a,b,cA，若<a,b>，<a,c> R,则<b,c> R 先证R对称： <a,b>R，(要证明 <b,a>R ) 因为R是自反的,所以<a,a>R， 由<a,b>R且<a,a>R，根据已知条件得<b,a>R ， 即R是对称的 再证R传递： a,b,cA 设 <a,b>R，<b,c>R (要证明<a,c>R ) 由R对称,得<b,a>R ， 由<b,a>R且<b,c>R，根据已知条件得<a,c>R 所以R是传递的
定义3.1-2 空关系与全域关系
设R是A1×A2×…×An上的n元关系
若R =Φ，称R为A1×A2×…×An上的空关系 若R = A1×A2×…×An ，称R为A1×A2×…×An上的全域关系
恒等关系
A上的恒等关系IA定义为：
IAA×A，且IA ={<x,x>|x∈A} 例A={1,2,3}, 则IA ={<1,1>,<2,2>,<3,3>}
dom R ={1,2} ran R={1,2,3}
关系的集合运算
关系就是集合 ∩、∪、-、和补运算对关系也适用 特别的
R=(A×B)-R
思考题
《近世代数》课件
近世代数的重要性
近世代数是数学领域中的基础学科之 一，是学习其它数学分支的重要基础 。
它对于理解数学的抽象本质和掌握数 学的基本思想方法具有重要意义，有 助于培养学生的逻辑思维和抽象思维 能力。
课程大纲简介
本课程将介绍近世代数的基本概念和性质，包括集合、群、环、域等代数系统的 定义、性质和关系。
1.1 答案
对。因为$a^2$的定义是两个整数相乘，结果仍为整数。
第1章习题及解答
1.2 答案：（略）
1.3 答案：群的基本性质包括封闭性、结合律和存在单位元。
第2章习题及解答
2.1 判断题：若$a$是整数，则$a^3$也是整数。 2.2 选择题：下列哪个是环？
第2章习题及解答
要点一
2.3 简答题
编码理论中的应用
线性码
线性码是一类重要的纠错码，其生成矩阵和校验矩阵都是线性方程组的解。这 些矩阵的构造和性质都与代数理论紧密相关。
高斯-若尔当消元法
在编码理论中，经常使用高斯-若尔当消元法来求解线性方程组，这种方法在代 数中也有广泛的应用。
物理学中的应用
量子力学中的态空间
在量子力学中，态空间是一个复的向量空间，其基底对应于可观测物理量。这与代数学中的向量空间 概念非常相似。
如果E是F的一个子集，且E中的元素 都是方程f(x)=0的根，其中f(x)是F上 的一个多项式，那么E在F上形成一个 子域。
如果E是F的一个子集，且E中的元素 都是方程f(x)=0的根，其中f(x)是F上 的一个不可约多项式，那么E在F上形 成一个有限子域。
有限域
有限域的性质
有限域中的元素个数一定是某个素数的幂。
理想与商环
理想的定义与性质
介绍理想的定义，包括左理想、右理想、双边理想等 ，并讨论理想的封闭性、运算性质等。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
近世代数二元关系
近代代数中常见的二元关系有等价关系、偏序关系和全序关系。
1.等价关系：若二元关系R满足自反性、对称性和传递性，则称R为
等价关系。
例如，相等关系“=”就是一个等价关系。
2.偏序关系：若二元关系R满足自反性、反对称性和传递性，则称R
为偏序关系。
一个集合上的偏序关系就是一部分排序。
例如，大于等于关
系“≥”就是一个偏序关系。
3.全序关系：若二元关系R满足自反性、反对称性、传递性和完全性，则称R为全序关系。
一个集合上的全序关系就是一种完全排序。
例如，小
于等于关系“≤”就是一个全序关系。