球与各种几何体切、接问题专题(一))
高考热点之球与几何体的切、接问题及近年常考题
球与几何体的切、接问题及近年常考题王宪良一、理清位置，学会画图1、正方体的内切球2、球与正方体的棱相切3. 正方体的外接球分别作图如下说明：1.正方体的内切球：球与正方体的每个面都相切，切点为每个面的中心，显然球心为正方体的中心。
设正方体的棱长为a ，球半径为R 。
如图，截面图为正方形EFGH 的内切圆，得2aR =； 2.与正方体各棱相切的球：球与正方体的各棱相切，切点为各棱的中点，如图作截面图，圆O 为正方形EFGH 的外接圆，易得a R 22=。
3.正方体的外接球：正方体的八个顶点都在球面上，如图，以对角面1AC 作截面图得，圆O 为矩形C C AA 11的外接圆，易得a O A R 231==。
二、解决球心位置和半径大小的常用方法1. 出现“墙角”结构利用补形知识，联系长方体。
【原理】：长方体中从一个顶点出发的三条棱长分别为c b a ,,，则体对角线长为222c b a l ++=，几何体的外接球直径R 2为体对角线长l 即2222c b a R ++=【例题】：在四面体ABCD 中，共顶点的三条棱两两垂直，其长度分别为3,61，，若该四面体的四个顶点在一个球面上，求这个球的表面积。
解：因为有三条棱两两垂直，所以可补成球内接长方体。
因为：长方体外接球的直径为长方体的体对角线长所以：四面体外接球的直径为AE 的长，即：22224AD AC AB R ++=1663142222=++=R 所以2=R所以球的表面积为ππ1642==R S2. 出现两个垂直关系，利用直角三角形结论。
【原理】：直角三角形斜边中线等于斜边一半。
球心为直角三角形斜边中点。
【例题】：已知三棱锥的四个顶点都在球O 的球面上，BC AB ⊥且7=PA ，5=PB ，51=PC ，10=AC ,求球O 的体积。
解：BC AB ⊥且7=PA ，5=PB ，51=PC ，10=AC ，因为22210517=+ 所以知222PC PA AC +=，所以 PC PA ⊥ 所以可得图形为：在ABC Rt ∆中斜边为AC ； 在PAC Rt ∆中斜边为AC 取斜边的中点O ，在ABC Rt ∆中OC OB OA == 在PAC Rt ∆中OC OB OP ==所以在几何体中OA OC OB OP ===，即O 为该四面体的外接球的球心， 521==AC R 所以该外接球的体积为3500343ππ==R V3. 出现多个垂直关系时建立空间直角坐标系，利用向量知识求解AC【例题】：已知在三棱锥BCD A -中，ABC AD 面⊥，︒∠该棱锥的外接球半径。
球与几何体的切接问题
3a .通过这三种类 2
(2)(2019·长春模拟)已知三棱柱ABC－A1B1C1的底面是边长 为 6 的正三角形，侧棱垂直于底面，且该三棱柱的外接球的表 面积为12π，则该三棱柱的体积为________．
【解析】 设球半径为R，上，下底面中心设为M，N，由题 意，外接球球心为MN的中点，设为O，则OA＝R，由4πR2＝12π， 得R＝OA＝ 3 ，又易得AM＝ 2 ，由勾股定理可知，OM＝1，所 以MN＝2，即棱柱的高h＝2，所以该三棱柱的体积为 43×( 6)2×2 ＝3 3.
专题讲解
题型一 几何体的外接球(微专题) 微专题1：柱体的外接球
(1)若棱长为3的正方体的顶点都在同一球面上，则该球 的表面积为________．
【解析】 本题主要考查简单的组合体和球的表面积．画出球
的轴截面可得，球的直径是正方体的体对角线，所以球的半径R＝
3 2
3，则该球的表面积为S＝4πR2＝27π.故填27π.
(2)(2019·江南十校联考)已知圆柱的底面半径为
1 2
，它的两个
底面的圆周在直径为2的同一个球的球面上，则该圆柱的体积为
()
A．π
3π B. 4
π
π
C.2
D.4
【解析】 由题意作图，如图所示．由题知圆柱
的底面半径r＝
1 2
，球的半(h2)2＋(12)2，解得h＝ 3，所
r= a ;二是与正方体各棱相切的球,截面图为正方形 EFHG 和其外接圆,则|OG|=R= 2 a;三是
2
2
球为正方体的外接球,截面图为长方形 ACC1A1 和其外接圆,则|A1O|=R′=
型可以发现,解决正方体与球的组合问题,常用工具是截面图,即根据 组合的形式找到两个几何体的轴截面,通过两个截面图的位置关系,确 定好正方体的棱与球的半径的关系,进而将空间问题转化为平面问题.
高中数学立体几何专题·球的切接问题
二.温故知新
同学们，请看下面球与正方体的三种组合体，你能从中得到什 么结论呢？ D D
1 A1
A
B O
C
C1
B1 球外切正方体（切面） 球外切正方体（切棱）
球内接正方体
结论：
1.正方体的外接球的球心是体对角线的交点，半径是体对角线的一半 2.正方体的内切球的球心是体对角线的交点，半径是棱长的一半 3.与正方体的棱都相切的球的球心是体对角线的交点，半径是面对角线长的一半
球的“接”与“切”：
• 两个几何体相（内）切:一个几何体的各个面与另一 个几何体的各面相切 • 两个几何体相接:一个几何体的所有顶点都在另一个 几何体的表面上 • 解决“接切”问题的关键是画出正确的截面，把空 间“接切”转化为平面“接切”问题
球与正方体的“切”“接”问题
探究一： 若正方体的棱长为a，则 ⑴正方体的内切球直径＝ ⑵正方体的外接球直径＝ ⑶与正方体所有棱相切的球直径＝
练习 1、求棱长为a的正四面体的外接球、 棱切球、内切球的体积之比。
2、正三棱锥的高为1，底面边长为2 6 ，
内有一个球与它的四个面都相切．求：
(1)外接球的表面积和体积； (2)内切球的表面积与体积．
解：(1)如图所示，底面正三角形的中心F到一边的距离为
1 3 FD＝ 2 6＝ 2， 2 2 则正三棱锥侧面的斜高PD＝ 1
球与正方体的“接切”问题
1.一个正方体的顶点都在球面上，它的 棱长是4cm，求这个球的体积. 2.长方体的共顶点的三个侧面面积分别 为 3，5， 乙球内切于该正方体的各条棱， 丙球外接于该正方体，则三球表 面面积之比为( ) A. 1:2:3 B.1: 2: 3 C. 1: 4: 9
1 3 2 径分别为: 2 a、2 a、2 a.
与球有关的接切问题ppt
详细描述
当一个球与多个旋转体接触时，每一个旋转 体的侧面都会与球形成一条圆弧的接切线， 而每一个旋转体的顶点都会与球形成圆的接 切点。这些圆的半径和圆弧的长度取决于旋 转体的大小以及球的大小。
04
球的切割问题
球被平面切割的截面图形
总结词
根据球心到切割平面的距离和球的半径，可 以确定球被平面切割的截面图形是圆、椭圆 、抛物线、双曲线或这些图形的组合。
详细描述
当球心到切割平面的距离等于球的半径时， 截面图形是圆；当球心到切割平面的距离小 于球的半径时，截面图形是椭圆；当球心到 切割平面的距离大于球的半径时，截面图形 是抛物线或双曲线，具体形状取决于切割平
面与球心的相对位置。
球的切割线长度问题
总结词
球的切割线长度等于球的半径乘以切割线对应的圆心角弧度数。
详细描述
根据平面几何中弧长公式，球的切割线长度等于球的半径乘以切割线对应的圆心角弧度 数。当切割线对应的圆心角为直角时，切割线长度最短；当切割线对应的圆心角为平角
时，切割线长度最长。
球的切割面面积问题
总结词
球的切割面面积等于球的表面积乘以切割面所占的圆 心角与360度的比值。
详细描述
根据球表面积公式和圆心角与面积的关系，球的切割 面面积等于球的表面积乘以切割面所占的圆心角与 360度的比值。当切割面为球的大圆时，切割面面积 最大；当切割面为小圆时，切割面面积最小。
当球与圆柱相切时，切点处球面与圆柱的侧面相切，形成 一条直线。此时，球心与切点的连线与圆柱的轴线垂直。 根据几何原理，切点处球面与圆柱的侧面相切，形成一条 直线。
总结词
当球与圆柱相切时，切点处球面与圆柱的底面相切，形成 圆形。
详细描述
当球与圆柱相切时，切点处球面与圆柱的底面相切，形成 圆形。此时，球心与切点的连线与圆柱的底面垂直。根据 几何原理，切点处球面与圆柱的底面相切，形成圆形。
立体几何中球与几何体的切接问题
立体几何中球与几何体的切接问题（精讲+精练）一、外接球如果一个多面体的各个顶点都在同一个球面上，那么称这个多面体是球的内接多面体，这个球称为多面体的外接球．解决这类问题的关键是抓住内接的特点，即球心到多面体的顶点的距离等于球的半径．并且还要特别注意多面体的有关几何元素与球的半径之间的关系，而多面体外接球半径的求法在解题中往往会起到至关重要的作用．二、内切球球的内切问题主要是指球外切多面体与旋转体，解答时首先要找准切点，通过作截面来解决．如果外切的是多面体，则作截面时主要抓住多面体过球心的对角面来作．当球与多面体的各个面相切时，注意球心到各面的距离相等即球的半径，求球的半径时，可用球心与多面体的各顶点连接，球的半径为分成的小棱锥的高，用体积法来求球的半径．【常用结论】①外接球模型一：墙角模型是三棱锥有一条侧棱垂直于底面且底面是直角三角形模型，用构造法(构造长方体)解决．外接球的直径等于长方体的体对角线长(在长方体的同一顶点的三条棱长分别为a，b，c，外接球的半径为R，则2R＝a2＋b2＋c2．)，秒杀公式：R2＝a2＋b2＋c24．可求出球的半径从而解决问题．有以下四种类型：②外接球模型二：三棱锥的三组对棱长分别相等模型，一般用构造法(构造长方体)解决．外接球的直径等于长方体的体对角线长，即(长方体的长、宽、高分别为a、b、c)．秒杀公式：R2＝x2＋y2＋z28 (三棱锥的三组对棱长分别为x、y、z)．可求出球的半径从而解决问题．A BCDA1B1C1D1类型ⅠA BCDA1B1C1D1类型ⅡA BCDA1B1C1D1类型ⅢA BCDA1B1C1D1例外型2R=③外接球模型三：直棱柱的外接球、圆柱的外接球模型，用找球心法(多面体的外接球的球心是过多面体的两个面的外心且分别垂直这两个面的直线的交点．一般情况下只作出一个面的垂线，然后设出球心用算术方法或代数方法即可解决问题．有时也作出两条垂线，交点即为球心．)解决．以直三棱柱为例，模型如下图，由对称性可知球心O 的位置是△ABC 的外心O 1与△A 1B 1C 1的外心O 2连线的中点，算出小圆O 1的半径AO 1＝r ，OO 1＝，．④外接球模型四：垂面模型是有一条侧棱垂直底面的棱锥模型，可补为直棱柱内接于球，由对称性可知球心O 的位置是△CBD的外心O 1△AB 2D 2的外心O 2连线的中点，算出小圆O 1的半径AO 1＝r ，OO 1＝，． ⑤外接球模型五：有一侧面垂直底面的棱锥型，常见的是两个互相垂直的面都是特殊三角形且平面ABC ⊥平面BCD ，如类型Ⅰ，△ABC 与△BCD 都是直角三角形，类型Ⅱ，△ABC 是等边三角形，△BCD 是直角三角形，类型Ⅲ，△ABC 与△BCD 都是等边三角形，解决方法是分别过△ABC 与△BCD 的外心作该三角形所在平面的垂线，交点O 即为球心．类型Ⅳ，△ABC 与△BCD 都一般三角形，解决方法是过△BCD 的外心O 1作该三角形所在平面的垂线，用代数方法即可解决问题．设三棱锥A －BCD 的高为h ，外接球的半径为R ，球心为O ．△BCD 的外心为O 1，O 1到BD 的距离为d ，O 与O 1的距离为m ，则Error!解得R ．可用秒杀公式：R 2＝r 12＋r 22－l 24(其中r 1、r 2为两个面的外接圆的半径，l 为两个面的交线的长)AB C D A 1B 1C 1D 12h 2224h R r ∴=+O 1C 1AA 1B 1O B CRrh2hO 22h 2224h R r ∴=+r h C DB R A O 1O2h r hC D BR A O 1O2h O 2D 2B 2⑥外接球模型六：圆锥、顶点在底面的射影是底面外心的棱锥．秒杀公式：R ＝h 2＋r 22h(其中h 为几何体的高，r 为几何体的底面半径或底面外接圆的圆心)⑦内切球思路：以三棱锥P －ABC 为例，求其内切球的半径．方法：等体积法，三棱锥P－ABC 体积等于内切球球心与四个面构成的四个三棱锥的体积之和；第一步：先求出四个表面的面积和整个锥体体积；第二步：设内切球的半径为r ，球心为O ，建立等式：V P －ABC ＝V O －ABC ＋V O －PAB ＋V O －PAC ＋V O －PBC ⇒V P －ABC ＝13S △ABC ·r ＋13S △PAB ·r ＋13S △PAC ·r ＋13S △PBC ·r ＝13(S △ABC ＋S △PAB ＋S △PAC ＋S △PBC )·r ； 第三步：解出r ＝3V P －ABC SO －ABC ＋S O －PAB ＋S O －PAC ＋S O －PBC ＝3V S 表．【典例1】（2023·浙江·高三校联考期中）正四面体的所有顶点都在同一个表面积是36π的球面上，则该正四面体的棱长是 ．类型Ⅰ类型Ⅱ类型ⅢABCDO 1O R rm h －m R dd 类型Ⅳ因为正四面体内接于球，则相应的一个正方体内接球，设正方体为则正四面体为，设球的半径为R ，则， 解得，所以则正方体的棱长为，【典例2】（2023·河南·开封高中校考模拟预测）已知四面体ABCD 中，，ABCD 外接球的体积为（）A ．B CD ．则故11A CB D -2436R ππ=3R =16AC =23AB CD ==AC BD ==AD BC ==45π22222220,29,41,a b b c a c ⎧+=⎪+=⎨⎪+=⎩22a b R +=【典例3】（2023·黑龙江齐齐哈尔·高三齐齐哈尔市第八中学校校考阶段练习）设直三棱柱的所有顶点都在一个表面积是的球面上，且，则此直三棱柱的表面积是（ ） A ．B ．C ．D ．【典例4】（2023·安徽宣城·高三统考期末）在三棱锥中，△ABC 是边长为3的等边三角形，侧棱PA ⊥平面ABC ，且，则三棱锥的外接球表面积为 ．【答案】【解析】根据已知，底面是边长为3的等边三角形，平面， 可得此三棱锥外接球，即以为底面以为高的正三棱柱的外接球．111ABC A B C -40π1,120AB AC AA BAC ∠===16+8+8+16+-P ABC 4PA =-P ABC 28πABC PA ⊥ABC ABC PA的中点，的外接圆半径为所以球的半径为所以四面体外接球的表面积为故答案为：．【典例5】（2023·四川乐山·高三期末）已知正边长为1，将绕旋转至，使得平面平面，则三棱锥的外接球表面积为．取BC 中点G ，连接AG,DG ，则分别取与的外心的球心，由ABC r AN =R OA ==-P ABC 28πABC ABC BC DBC △ABC ⊥BCD D ABC -ABC DBC A BCD -AB AC DB DC BC =====2213122AG DG ⎛⎫∴==-=⎪⎝⎭【典例6】（2023·山东滨州·高三校考期中）已知正四棱锥的底面边长为侧棱长为6，则该四棱锥的外接球的体积为．，显然正四棱锥令，则在中，所以该四棱锥的外接球体积为【典例7】（2023·高三课时练习）边长为的正四面体内切球的体积为（）A B C．DP ABCD-221133PO PA AO=-=PO AO R==1|33OO=1Rt AO O△22R AOA O==1π6设正四面体的内切球半径为由等体积法可得因此，该正四面体的内切球的体积为【题型训练1-刷真题】一、单选题322144243A BCDB ACE V V --⎛⎫=-=-⨯ ⎪ ⎪⎝⎭ABCD (21123A BCD V r S -==2．（2022·全国·统考高考真题）已知球上，则当该四棱锥的体积最大时，其高为（A ．B ．【答案】C【分析】方法一：先证明当四棱锥的顶点1312，底面所在圆的半径为[方法一]：导数法设正四棱锥的底面边长为，高为则，所以，所以正四棱锥的体积2a 2222l a h =+2232(3a =+26h l =2222a l h =-13V Sh =二、填空题【点睛】方法点睛：多面体与球切、接问题的求解方法（1）涉及球与棱柱、棱锥的切、接问题时，一般过球心及多面体的特殊点(一般为接、切点)或线作截面，把空间问题转化为平面问题求解；（2）若球面上四点P 、A 、B 、C 构成的三条线段PA 、PB 、PC 两两垂直，且PA ＝a ，PB ＝b ，PC ＝c ，一般把有关元素“补形”成为一个球内接长方体，根据4R2＝a2＋b2＋c2求解；（3）正方体的内切球的直径为正方体的棱长；（4）球和正方体的棱相切时，球的直径为正方体的面对角线长；（5）利用平面几何知识寻找几何体中元素间的关系，或只画内切、外接的几何体的直观图，确定球心的位置，弄清球的半径(直径)与该几何体已知量的关系，列方程(组)求解．【题型训练2-刷模拟】一、单选题）故选：B3．（2023·全国·高三专题练习）在直三棱柱直三棱柱的外接球的体积为（ ）A ．B ． 【答案】C【分析】将直三棱柱放入长方体中，借助长方体的外接球求解8π316π34．（2023秋·四川眉山的球面上，则该圆柱的体积为（A ．【答案】C【分析】设圆柱的底面半径为 A ．B ．【答案】B π12π外接球球心位置，求出外接球半径，即可求得答案 因为由于平面平面故平面，又M 为的外心，⊥22AB BC AC ===ACD ⊥ABC BM ⊥ACD DM ADC △的外接球，结合直三棱柱的性质求外接圆半径接球， 设四面体的外接球的球心为，半径为，，则， 的外接球表面积为.AEF A BCD -O R 132AB ==22217R O O r =+=24π28πR =8．（2023·四川成都·校联考二模）在三棱锥平面，若三棱锥A ．【答案】B【分析】根据三棱锥中线面关系可先确定球心【详解】 的中点为，连接，因为，又因为平面平面，平面PAC ⊥ABC 231O 1PO AC ⊥112AO AC ==221(26)PA AO =-=PAC ⊥ABC是边长为 10．（2023春·四川绵阳底面是正方形，（ ）A ．【答案】CABCD 89π【详解】 的边长为，在等边三角形平面，∴平面是等边三角形，则，设四棱锥外接球的半径为，为正方形为四棱锥P －ABCD 外接球球心，则易知ABCD 2x PAB ⊥ABCD PE ⊥PAB 3PE x =()211233633ABCD S PE x x ⋅⋅=⨯⨯=R 1O故选：C12．（2023秋·陕西西安·高三校联考开学考试）已知在三棱锥平面，则三棱锥A．B．⊂ABC-P ABC π4【点睛】求解几何体外接球有关的问题，关键点在于找到球心的位置，然后计算出外接球的半径接法和补形法，直接法是根据几何体的结构来找到球心；补形法是补形成直棱柱、长方体（正方体）等几何体，并根据这些几何体的结构找到球心并求得半径13．（2023秋·湖南衡阳·高三衡阳市田家炳实验中学校考阶段练习）球，.若由，则，即又，故，仅当BCD BD CD ⊥BD =24π9πR =32R =1BD =22BD CD ++4CD AC ⋅≤AC所以，四面体外接球即为长方体外接球，则半径由题意，四面体的四个侧面均为全等三角形，形内角，的外接球的直径，要想体积最设，则，，所以当时，，则有三棱锥所以． 故选：A16．（2023·河南·统考三模）如图，该几何体为两个底面半径为的体积为V 1，它的内切球的体积为V A ． B ．AB x =PA x =6BC x =-PC 2x =min 26PC =3min 4π86π3V R ==2:3的内切圆的半径即为该几何体内切球的半径，求出半径，再根据球的体积公17．（2023·福建宁德·校考模拟预测）将一个半径为半径为（）A．C．313+ () 2313-【点睛】关键点点睛：此题考查圆锥的内切球问题，解题的关键是表示出圆锥的体积，化简后利用导数求出其最大值，从而可确定出圆的大小，考查空间想象能力和计算能力，属于较难题18．（2023·全国·高三专题练习）已知四棱锥A ． C ． 【答案】B所以故其内切圆表面积为故选：B ．19．（2023·全国·高三专题练习）若一个正三棱柱存在外接球与内切球，则它的外接球与内切球体积之比为(823)π-(863)π-1133P ABCD ABCD V S PH S -=⋅=表面积24π(8r =-将直三棱柱补成如图所示的长方体，则外接球的直径即为该长方体的体对角线，故外接球的半径为故外接球的的表面积为. 故选：D.21．（2023春·贵州·高三校联考期中）已知正三棱锥221232+29π故选：A.22．（2023·全国·高三专题练习）已知圆台则该圆台的体积为（ ）A ．B ．【答案】B72π3143设上底面半径易知，作，垂足为1O B r =1BC O B r ==AC 2BD O A ⊥故选：A【点睛】解决与球有关的内切或外接的问题时，解题的关键是确定球心的位置．对于外切的问题要注意球心到各个面的距离相等且都为球半径；对于球的内接几何体的问题，注意球心到各个顶点的距离相等，解题时要构造出由球心到截面圆的垂线段、小圆的半径和球半径组成的直角三角形，利用勾股定理求得球的半径.24．（2023秋·浙江丽水·高三浙江省丽水中学校联考期末）将菱形体积最大时，它的内切球和外接球表面积之比为（26323R +B ACD -因为，所以当平面平面时，平面平面，所以此时四面体的高最大为因为，所以BA BC =BO ⊥BAC ⊥DAC BO ⊂BAC BO B ACD -DA DC =二、填空题故答案为：26．（2023秋·四川眉山，则该三棱柱的外接球的表面积为【答案】又由三棱柱的高为，则球心因此球半径R 满足：所以外接球的表面积故答案为：4π2360π322R r d =+24πS R ==60π【点睛】求解正棱锥有关问题，要把握住正棱锥的性质，如底面是正多边形，定点在底面的射影是底面的中心等等.求解几何体外接球有关问题，目是求球的表面积还是求体积28．（2023·河南·统考模拟预测）在菱形ABC16【点睛】方法点睛：求空间多面体的外接球半径的常用方法：①补形法：侧面为直角三角形，或正四面体，或对棱二面角均相等的模型，可以还原到正方体或长方体中去求解；利用球的性质：几何体中在不同面均对直角的棱必然是球大圆直径，也即球的直径；定义法：到各个顶点距离均相等的点为外接球的球心，借助有特殊性底面的外接圆圆心，找其垂线，则 由，以为坐标原点， 设内切圆半径，易知由等面积可得，解得设四面体外接球球心为所以易知在平面射影为4,3AB BC ==AB ⊥B ,BA BC ABC r 12S lr =PABC O 'ABC31．（2023春·江西南昌·高三南昌市八一中学校考阶段练习）底面，，若【答案】32．（2023·四川绵阳·绵阳南山中学实验学校校考模拟预测）在边长为段，的中点，连接ABCD AC BD O = 163π-AB BC DE【答案】【分析】由题意可知两两垂直，所以将三棱锥就是三棱锥的外接球的直径，求出体对角线的长，则可求出外接球的表面积【详解】由题意可知两两垂直，且 33．（2023秋·河南周口这个圆台的体积为 【答案】【分析】根据圆台与球的性质结合圆台的表面积、体积公式计算即可6π,,OD OE OF ,,OD OE OF OD =1423π故答案为： 34．（2023·全国·高三专题练习）【答案】【分析】作出内切球的轴截面，再根据几何关系求解即可 设该内切球的球心为所以，由已知得所以，在中，142π38πO OE OF OB ===2,BD DF ==AOF AO【答案】 【分析】根据题意利用余弦定理求得方体的六个面的对角线，利用等体积法求出内切球半径，运算求解即可 设长方体从同一个顶点出发的三条棱长分别为则，解得又因为三棱锥是长方体切掉四个角的余下部分，23π222222749a b a c b c ⎧+=⎪+=⎨⎪+=⎩a b c ⎧⎪⎨⎪⎩A BCD -'因为菱形的四条边相等，对角线互相垂直中，面与面的面积是确定的，所以要使三棱锥表面积最大，则需要面最大即可，而且；，当时，取得最大值 因为，，所以由余弦定理知所以，易得. =ABC -ADC ABC DCB DAB S S = sin DCB DC BC ∠⋅⋅π2DCB ∠=DBC S △2DB =32EB ED ==22sin 3DED '∠=63DD '=设，高，则,在Rt 中，所以正四棱锥的体积，故当调递减，2AB a =PO h =2OD a =MOD 13V Sh =2282(4)V h h h h '=-+=--。
球与几何体的切接问题
合体，如果该组合体的主视图、左视图、俯视图均如图所示，且 图中的四边形是边长为 2 的正方形， 则该球的表面积是________．
【解析】 由三视图知，棱长为 2 的正方体内接于球，故正 方体的体对角线长为 2 3，即为球的直径． 2 32 所以球的表面积为 S＝4π ·( ) ＝12π . 2 【答案】 12π
设 OO1＝x，则 O1A＝ R2－x2，AB＝ 2· R2－x2，PO1＝ 1 2 1 R＋x， 所以正四棱锥 P－ABCD 的体积 V＝ AB ×PO1＝ ×2(R2 3 3 2 2 3 2 2 3 －x )(R＋x)＝3(－x －Rx ＋R x＋R )， 求导： V′＝3(－3x2－2Rx
2
2 R 64 3 ＋R )＝－ (x＋R)(3x－R)，当 x＝ 时，体积 V 有最大值 R ， 3 3 81
2
故选 C. 【答案】 C
类型 2：柱体的外接球 (1)若棱长为 3 的正方体的顶点都在同一球面上， 则该球 的表面积为________．
【解析】 本题主要考查简单的组合体和球的表面积．画出 球的轴截面可得，球的直径是正方体的对角线，所以球的半径 R 3 3 ＝ 2 ，则该球的表面积为 S＝4π R2＝27π .故填 27π . 【答案】 27π
(2)已知正四棱锥P－ABCD内接于一个半径为R的球，则正 四棱锥P－ABCD体积的最大值是( 16R3 A. 81 64R3 C. 81 ) 32R3 B. 81 D．R3
【解析】 如图， 记 O 为正四棱锥 P－ABCD 外接球的球心， O1 为底面 ABCD 的中心， 则 P， O， O1 三点共线， 连接 PO1， OA， O1A.
4 4 63 6 3 ∴V球＝ π R ＝ π ( ) ＝ π . 3 3 4 8 【答案】 6 8π
2024年高考数学一轮复习课件(新高考版) 第7章 §7.2 球的切、接问题[培优课]
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思维升华
(1)与球截面有关的解题策略 ①定球心：如果是内切球，球心到切点的距离相等且为半径；如果 是外接球，球心到接点的距离相等且为半径； ②作截面：选准最佳角度作出截面，达到空间问题平面化的目的. (2)正四面体的外接球的半径 R＝ 46a，内切球的半径 r＝126a，其半径 之比 R∶r＝3∶1(a 为该正四面体的棱长).
题型二 补形法
例2 (1)(2023·大庆模拟)在正方形ABCD中，E，F分别为线段AB，BC的
中点，连接DE，DF，EF，将△ADE，△CDF，△BEF分别沿DE，DF，
EF折起，使A，B，C三点重合，得到三棱锥O－DEF，则该三棱锥的外
接球半径R与内切球半径r的比值为
A.2 3
√C.2 6
B.4 3 D. 6
跟踪训练 2 (1)在三棱锥 A－BCD 中，侧棱 AB，AC，AD 两两垂直，△ABC，
△ACD，△ADB 的面积分别为 22， 23， 26，则三棱锥 A－BCD 的外接球
的体积为
√A. 6π
B.2 6π
C.3 6π
D.4 6π
在三棱锥A－BCD中，侧棱AB，AC，AD两两垂直，将其补成长方体， 两者的外接球是同一个，长方体的体对角线就是球的直径. 设长方体同一顶点处的三条棱长分别为a，b，c， 由题意得 ab＝ 6，ac＝ 3，bc＝ 2， 解得 a＝ 3，b＝ 2，c＝1， 所以球的直径为 32＋ 22＋1＝ 6， 它的半径为 26，球的体积为43π× 263＝ 6π.
3 3和 4 3 ，其顶点都在同一球面上，则该球的表面积为
√A.100π
B.128π
C.144π
D.192π
由题意，得正三棱台上、下底面的外接圆的半径分别为
微专题[球与几何体的内切与外接
球与几何体的外接与内切定义1：若一个多面体的各顶点都在一个球的球面上，则称这个多面体是这个球的内接多面体，这个球是这个多面体的外接球。
定义2：若一个多面体的各面都与一个球的球面相切， 则称这个多面体是这个球的外切多面体，这个球是这个多面体的内切球。
1、内切球球心到多面体各面的距离均相等，外接球球心到多面体各顶点的距离均相等。
2、正多面体的内切球和外接球的球心重合。
3、正棱锥的内切球和外接球球心都在高线上，但不重合。
4、基本方法：构造三角形利用相似比和勾股定理。
5、体积分割是求内切球半径的通用做法。
一、公式法例1 一个六棱柱的底面是正六边形，其侧棱垂直于底面，已知该六棱柱的顶点都在同一个球面上，且该六棱柱的体积为98，底面周长为３，则这个球的体积为 .答： 43V π∴=球 小结 本题是运用公式222R r d =+求球的半径的，该公式是求球的半径的常用公式. 二、多面体几何性质法例2 已知各顶点都在同一个球面上的正四棱柱的高为4，体积为16，则这个球的表面积是A.16πB.20πC.24πD.32π解 设正四棱柱的底面边长为x ，外接球的半径为R ，则有2416x =，解得2x =.∴2R R ==∴= .∴这个球的表面积是2424R ππ=.选C. 小结 本题是运用“正四棱柱的体对角线的长等于其外接球的直径”这一性质来求解的.三、补形法:补成长方体，正方体例3，则其外接球的表面积是 . 答： 249S R ππ==.小结 一般地，若一个三棱锥的三条侧棱两两垂直，且其长度分别为a b c 、、，则就可以将这个三棱锥补成一个长方体，于是长方体的体对角线的长就是该三棱锥的外接球的直径.设其外接球的半径为R，则有2R =变式1：如图所示，已知球O 的面上有四点A 、B 、C 、D ，DA ⊥BC ，DA=AB=BC=2，则球O 的体积等于 . 23 变式2：三棱锥O ABC -中，,,OA OB OC 两两垂直，且22OA OB OC a ===，则三棱锥O ABC -外接球的表面积为（ B ）A ．26a π B ．29a π C ．212a π D ．224a π 变式3：棱长为2的正四面体的外接球的表面积为 . π3 内切球的表面积 .3π 变式4：四面体BCD A -中6==CD AB ,5====BC AD BD AC ,求其外接球的表面积. π43变式5：边长为2的正三角形ABC ∆,沿高AD 翻折使B 和C 距离1，求四面体ABCD 的外接球的表面积。
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球与各种几何体切、接问题专题(一))
近年来，高考命题中球与各种几何体的切、接问题主要以选择题、填空题为主，大题较少出现。
在此之前，需要明确两个定义：一个多面体的各顶点都在一个球的球面上，则称这个多面体是这个球的内接多面体，这个球是这个多面体的外接球；一个多面体的各面都与一个球的球面相切，则称这个多面体是这个球的外切多面体，这个球是这个多面体的内切球。
一、球与柱体的切接。
规则的柱体，如正方体、长方体、正棱柱等能够和球进行充分的组合，以外接和内切两种形态进行结合，通过球的半径和棱柱的棱产生联系，然后考查几何体的体积或者表面积等相关问题。
1、球与正方体。
正方体有三种形态：内切球、棱切球和
外接球。
内切球的位置关系为正方体的六个面都与一个球相切，正方体中心与球心重合，数据关系为2r=a。
棱切球的位置关
系为正方体的十二条棱与球面相切，正方体中心与球心重合，数据关系为2r=2a。
外接球的位置关系为正方体的八个顶点在
同一个球面上，正方体中心与球心重合，数据关系为2r=3a。
例如，对于一个棱长为1的正方体ABCD-A1B1C1D1，如果
其8个顶点都在球O的表面上，那么直线EF被球O截得的线段长为2.
2、球与长方体。
长方体的外接球直径是长方体的对角线。
例如，已知各顶点都在一个球面上的正四棱柱高为4，体积为16，则这个球的表面积为32π。
3、球与正棱柱。
正棱柱的外接球的球心是上下底面中心
的连线的中点。
结论2：直三棱柱的外接球的球心位于上下底面三角形外
心的连线的中点。
二、球与锥体的切接
规则的锥体，如正四面体、正棱锥、特殊的一些棱锥等能够和球进行充分的组合，以外接和内切两种形态进行结合，通过球的半径和棱锥的棱和高产生联系，然后考查几何体的体积或者表面积等相关问题。
1、正四面体与球的切接问题
1）正四面体的内切球，如图4.位置关系：正四面体的四
个面都与一个球相切，正四面体的中心与球心重合；
数据关系：设正四面体的棱长为a，高为h；球的半径为R，这时有4R= h=6a/√3；
例4：正四面体的棱长为a，则其内切球的半径为R= a/√6.
解析】如图正四面体ABCD的中心为O，即内切球球心，内切球半径R即为O到正四面体各面的距离。
因为AB=a，所以正四面体的高h=2a/√6，又V(A-BCD)=4VO-BCD，所以
R=h/3= a/√6.
2）正四面体的外接球，位置关系：正四面体的四个顶点
都在一个球面上，正四面体的中心与球心重合；
数据关系：设正四面体的棱长为a，高为h；球的半径为R，这时有4R=3h=6a；（可用正四面体高h减去内切球的半
径得到）
例5：求棱长为1的正四面体外接球的半径。
设SO1是正四面体S-ABC的高，外接球的球心O在SO1上，设外接球半径为R，AO1=r，则在△ABC中，用解直角
三角形知识得r=1/√3，从而SO1=SA2-AO12=2/√3，解得
R=√3/2.
结论：正四面体的高线与底面的交点是△ABC的中心且
其高线通过球心，这是构造直角三角形解题的依据。
此题关键是确定外接球的球心的位置，突破这一点，此问题便迎刃而解，正四面体外接球的半径是正四面体高的，内切球的半径是正四面体高的。
3）正四面体的棱切球，位置关系：正四面体的六条棱与
球面相切，正四面体的中心与球心重合；
数据关系：设正四面体的棱长为a，高为h；球的半径为R，这时有4R=3h=2a,h=√6a/3.
例6：棱长为1的正四面体的棱切球的半径为√6/6.
例7：设正四面体中，第一个球是它的内切球，第二个球
是它的外接球，求这两个球的表面积之比及体积之比。
为什么正四面体的外接球和内切球心是同一个点？
其他棱锥与球的切接问题：
1.球与正棱锥的组合有两类：一是球为三棱锥的外接球，
此时可以构造直角三角形进行求解；二是球为正棱锥的内切球，球心到四个面的距离相等，都为球半径R。
这样求球的半径可转化为球球心到三棱锥面的距离，故可采用等体积法解决，即四个小三棱锥的体积和为正三棱锥的体积。
2.球与一些特殊的棱锥进行组合，一定要抓住棱锥的几何
性质，可综合利用截面法、补形法等进行求解。
结论1：正棱锥的外接球的球心在其高上，具体位置可通
过计算找到。
结论2：若棱锥的顶点可构成共斜边的直角三角形，则公
共斜边的中点就是其外接球的球心。
长方体或正方体的外接球的球心是在其体对角线的中点处。
以下是常见的、基本的几何体补成正方体或长方体的途径与方法：
途径1：正四面体、三条侧棱两两垂直的正三棱锥、四个
面都是直角三角形的三棱锥都分别可构造正方体。
途径2：同一个顶点上的三条棱两两垂直的四面体、相对
的棱相等的三棱锥都分别可构造长方体和正方体。
途径3：若已知棱锥含有线面垂直关系，则可将棱锥补成
长方体或正方体。
途径4：若三棱锥的三个侧面两两垂直，则可将三棱锥补
成长方体或正方体。
例8：正三棱锥的高为1，底面边长为26，正三棱锥内有
一个球与其四个面相切。
求球的表面积与体积。
解析：由等体积法可得球的半径R为6-2/23.球的表面积
为4πR²，体积为4/3πR³。
例9（福建高考题）：若三棱锥的三条侧棱两两垂直，且
侧棱长均为3，则其外接球的表面积是多少？
解析：由结论2得到，该三棱锥的外接球的球心为三棱锥中心，即棱锥底面中心，球半径为3/2.故外接球的表面积为
4πR²=9π。
例10【2012年新课标高考卷】已知三棱锥S-ABC的所有
顶点都在球O的球面上，△ABC是边长为1的正三角形，SC
是球O的直径，且SC=2；则此棱锥的体积为（）A。
2322 B。
6632 C。
D.
解析：根据题意，可以构造出一个正三棱锥，其底面为正三角形ABC，侧棱长为2，顶点在球O的球面上。
由于三条
侧棱两两垂直，可以联想到长方体的一个角，因此可以构造一个正方体模型，侧棱长为2，球心O在正方体的中心。
由于正方体的对角线等于2√3，因此O到面ABC的距离为√3.根据棱
锥的体积公式V=1/3×底面积×高，可以得到此棱锥的体积为
1/3×√3/4×1×√3=√3/4，选项A为正确答案。
练：
3、由性质确定球心
根据球心O与截面圆圆心O1的连线垂直于截面圆及球心
O与弦中点的连线垂直于弦的性质，可以确定球心O的位置。
4、内切球问题
如果一个多面体的各面都与一个球的球面相切，则称这个多面体是这个球的外切多面体，这个球是这个多面体的内切球。
对于正多面体，其内切球和外接球的球心重合。
对于正棱锥，其内切球和外接球的球心都在高线上，但不重合。
求内切球半径的通用方法是体积分割。
三、球与球相切问题
对于球与球的相切组合成复杂的几何体问题，可以通过准确确定各个小球的球心位置，或者借助截面图等方法，将空间问题转化为平面问题求解。
例11已知有半径分别为2、3的球各两个，且这四个球彼此相外切，现有一个球与此四个球都相外切，则此球的半径为。
解析：根据题意，可以构造出四个球的球心A、B、C、
D的位置，知道AD=AC=BD=BC=5，AB=6，CD=4.设AB中
点为E、CD中点为F，连结EF。
在△ABF中可得BF=21，在△EBF中可得EF=23.由于对称性可得第五个球的球心O在EF 上，连结OA、OD。
设第五个球的半径为r，根据OE+OF=EF 建立r的方程，解得r=4/3.因此第五个球的半径为4/3，选项D 为正确答案。
例12把四个半径都是1的球中的三个放在桌面上，使它们两两外切，然后在它们上面放上第四个球，使它与前三个都相切，求第四个球的最高点与桌面的距离。
解析：根据题意，可以构造出四个球的球心A、B、C、D的位置，知道AD=AC=BD=BC=2，AB=2√2，CD=2√2.将四个球放在桌面上，使它们两两外切，则球心A、B、C在同一平面内，球心D在这个平面的上方。
在球心D的正上方放置第四个球，使其与前三个都相切，则第四个球的球心O在球心A、B、C所在平面的正上方，即为一个正四面体的顶点，球心O到桌面的距离为1.因此第四个球的最高点与桌面的距离为1+1=2.
四、球与几何体的棱相切问题
要解决球与几何体的棱相切问题，需要利用棱与球相切的几何性质，确定球心位置，并通过构造直角三角形进行转换和求解。
例如，在与正四面体各棱相切的球中，球的半径为相对棱的一半：r' = 2a/4，其中a为正四面体的棱长。
五、球与旋转体的切接问题
解决球与旋转体的切接问题，首先需要画出球及其它旋转体的公共轴截面，然后寻找几何体与几何体几何元素之间的关系。
例如，在求球与它的外切圆柱、外切等边圆锥的体积之比时，需要先画出它们的公共轴截面，然后找到它们之间的元素关系。
在另一个例子中，正方体内有两个相外切的球，且它们分别与正方体内切。
要求两球半径之和，需要作出正方体的对角面，观察球心和棱长之间的关系。
要求两球体积之和最小时，需要作出截面图，观察球半径和棱长之间的关系。