简单复合函数求导
简单复合函数的求导法则
f ( x)
f (u ) ( x )
对 ( x )求导
注意：不要写成 f ( x )！
复合函数的导数
新授课
2 2 y u , u 3 x 2 f ( x ) ( 3 x 2 ) u , ux , f ( x ) 若 ， ，求 y
复合函数的导数
新授课 一般地，设函数 u ( x ) 在点 x 处有导数 ux ( x ) ，函 数 y f (u) 在点 x 的对应点 u 处有导数 y u f ( u ) ，则复合 函数 y f ( ( x )) 在点 x 处也有导数，且
y x yu u x
解析
复合函数求导法则的注意问题： （1）首先要弄清复合关系，特别要注意中间变量； （2）尽可能地将函数化简，然后再求导； （3）要注意复合函数求导法则与四则运算的综合 运用； （4）复合函数求导法则，常被称为“链条法则”，
一环套一环，缺一不可。
例3
动手做一做
1. 求下列函数的导数：
y 50(5 x 2)
S f (t ) ( 2t 1)
t
的新函数：
2
由于 f (t ) f ( 2t 1) ( 4t 2 4t 1) 所以由导数的运算法则可得：
f (t )
(8t 4) 4 ( 2t 1)
∵ f (r ) 2r , r (t ) 2 ∴ f (t ) 2 ( 2t 1) 2 f (2t 1) (t )
3 ( 3 x 1 ) f (u ) ( x) 3 2 u 2 3x 1
例2
1
解： 令 u ( x) 2 x 1 ，则函数是由 f (u ) u 3与
5.2.3简单复合函数的导数
= − =
可以发现，
′ = = ∙ = ′ ∙ ′
合作探究
复合函数的求导法则
一般地，对于由函数 y=f(u)和u=g(x)复合而成的函数 = (())
5.2.3简单复合函数的导数
人教A版（2019）
选择性必修第二册
新知导入
思考
如何求函数 = ( − ) 的导数呢 ？
新知讲解
函数 = ( − ) 不是由基本初等函数通过加、减、乘、
除运算得到的，所以无法用现有的方法求它的导数.
下面，先分析这个函数的结构特点.
若设 = − ( >
（2）函数 = + 的中间变量为 = 2 + 1 . 则函数的导数为，
′ = ′ ∙ ′ = ′ ∙ + ′ = = +
课堂练习
1 （3） = (− + )
（5） =
（4） = ( − )
（6） =
−
)，则
=
从而 = ( − )可以看成是由 = 和 = − ( >
)
经过“复合”得到的，即 y 可以通过中间变量 u 表示为自变量 x
的函数.
新知讲解
复合函数
对于两个函数 y=f(u)和u=g(x)，如果通过中间变量u，y可以表示成x的函数
合函数的求导法则，有
′
=
′
∙
′
′
=
∙ + ′ = × = +
（2）函数 = −.+ 可以看作函数 = 和 = −. + 的复合函数.根据复合
复合函数求导举例
复合函数求导举例复合函数的求导是微积分中的一个重要概念，它描述了两个或多个函数相互作用的过程。
在此，我们将举例说明如何求解复合函数的导数，并提供相关的参考内容。
首先，我们来看一个简单的例子：求解复合函数 f(g(x)) 的导数，其中 f(x) 和 g(x) 分别是两个可导函数。
假设 f(x) = 2x，g(x) = x^2，我们需要求解的导数为 f(g(x)) = 2(g(x))。
根据链式法则，导数可以通过求解 g(x) 的导数再将结果乘以f(g(x)) 的导数，即d(f(g(x)))/dx = f'(g(x)) * g'(x)。
首先求解 g(x) 的导数：g'(x) = d(x^2)/dx = 2x。
然后求解 f(g(x)) 的导数：f'(g(x)) = d(2(g(x)))/d(g(x)) = 2。
最后，将 f'(g(x)) 与 g'(x) 相乘得到 f(g(x)) 的导数：d(f(g(x)))/dx = f'(g(x)) * g'(x) = 2 * 2x = 4x。
所以，复合函数 f(g(x)) 的导数为 4x。
接下来，我们提供一些相关的参考内容，以加深对复合函数求导的理解。
1. 链式法则的证明：- 《微积分导论》（Thomas）第9.2节- 《微积分学导引》（Simmons）第3.6节2. 复合函数求导公式的应用：- 《解析几何与线性代数》（Hoffman/Kunze）第6章- 《数学分析基础》（Abbot）第8.3节3. 更复杂的复合函数求导：- 多元复合函数的求导公式- 高阶导数的计算方法4. 复合函数求导的应用：- 函数的极值及拐点分析- 函数图像的绘制和变换通过深入研究复合函数求导，我们可以进一步理解微积分的基本概念和应用，并应用于更复杂的数学问题中。
5.2.3简单复合函数的导数
l
为 =
2
18(
3
解：函数 =
− ).求函数在
2
2
18(
3
= 3 时的导数，并解释它的实际意义.
− )可以看作函数
2
= 18 和 =
2
3
−
的复合函数，
2
根据复合函数的求导法则，有：
’
=
’
∙
’
= (18
2
’
) ∙ (
3
−
’
)=
2
18 ×
2
3
=
2
12(
3
3
2
当 = 3时， ’ = 12( ) = 0.
它表示当 = 3时，弹簧振子振动的瞬时速度为0 /.
− ).
2
练习
题型一：求复合函数的导数
例1.求下列函数的导数：
l
示成的函数，那么称这个函数为函数 = ()和 = ()的复合函数，记作
= (()).
l
我们遇到的许多函数都可以看成是由两个函数经过“复合”得到的.例如，函
数 = (2 − 1)由 = 和 = 2 − 1复合而成.又如，函数 = 2由
= 和 = 2复合而成.
如何求复合函数的导数呢？我们先来研究 = 2的导数.
新知探索
一个合理的猜想是，函数 = 2的导数一定与函数 = ， = 2的导
l
数有关.下面我们就来研究这种关系.
l
以 ’ 表示对的导数， ’ 表示对的导数，’ 表示对的导数.一方面，
5.2 5.2.3 简单复合函数的导数
5．2.3简单复合函数的导数考点学习目标核心素养复合函数的导数能够利用导数的运算法则推导出简单复合函数f(ax＋b)的导数，并能利用它求其他复合函数的导数数学抽象、数学运算复合函数的导数的应用会用复合函数的导数求解相关问题数学运算问题导学预习教材P78倒数第一行～P80的内容，并思考下列问题：1．复合函数的定义是什么？2．如何求复合函数的导数？1．复合函数的概念一般地，对于两个函数y＝f(u)和u＝g(x)，如果通过中间变量u，y可以表示成x的函数，那么称这个函数为函数y＝f(u)和u＝g(x)的复合函数，记作y＝f(g(x))．2．复合函数的求导法则复合函数y＝f(g(x))的导数与函数y＝f(u)，u＝g(x)的导数间的关系为y′x＝y′u·u′x，即y对x的导数等于y对u的导数与u对x的导数的乘积．■名师点拨在复合函数定义中，y是因变量，x是自变量，u是中间变量，因变量y是中间变量u的函数，中间变量u是自变量x的函数．1．判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)函数y ＝2x ＋5＋ln x ，y ＝ln(2x ＋5)和y ＝sin(x ＋2)都是复合函数．( ) (2)函数y ＝ln(3x ＋1)是函数y ＝ln u ，u ＝3x ＋1的复合函数．( ) 答案：(1)× (2)√2．函数y ＝(x 2－1)n 的复合过程正确的是( ) A ．y ＝u n ，u ＝x 2－1 B ．y ＝(u －1)n ，u ＝x 2 C ．y ＝t n ，t ＝(x 2－1)n D ．y ＝(t －1)n ，t ＝x 2－1答案：A3．已知f (x )＝sin n x ，则f ′(x )＝( ) A ．n sin n －1x B ．n cos n －1xC.cos n x D ．n sin n －1x ·cos x解析：选D.由于f (x )＝sin n x ，由函数y ＝t n ，t ＝sin x 复合而成，所以y ′x ＝y ′t ·t ′x ＝nt n －1·cos x ＝n sin n －1x ·cos x .4.已知f (x )＝ln(2x ＋5)，则f ′(1)＝____________． 解析：因为f ′(x )＝12x ＋5(2x ＋5)′＝22x ＋5， 所以f ′(1)＝22×1＋5＝27.答案：27探究点1 简单复合函数求导求下列函数的导数． (1)y ＝e cos x ＋1；(2)y ＝log 2(2x ＋1)； (3)y ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫3x －π6；(4)y ＝11－2x . 【解】 (1)设y ＝e u ，u ＝cos x ＋1，则y′x＝y′u·u′x＝e u·(－sin x)＝－e cos x＋1·sin x.(2)设y＝log2u，u＝2x＋1，则y′x＝y′u·u′x＝2u ln 2＝2（2x＋1）ln 2.(3)设y＝2sin u，u＝3x－π6，则y′x＝y′u·u′x＝2cos u×3＝6cos(3x－π6)．(4)设y＝u－12，u＝1－2x，则y′x＝y′u·u′x＝(u－12)′·(1－2x)′＝－12u－32×(－2)＝(1－2x)－32.(1)求复合函数导数的步骤(2)求复合函数导数的注意点：①分解的函数通常为基本初等函数；②求导时分清是对哪个变量求导；③计算结果尽量简洁．求下列函数的导数．(1)y＝103x－2；(2)y＝ln(e x＋x2)；(3)y＝sin4x＋cos4x.解：(1)令u＝3x－2，则y＝10u，所以y′x＝y′u·u′x＝10u ln 10·(3x－2)′＝3×103x－2·ln 10.(2)令u＝e x＋x2，则y＝ln u，所以y′x＝y′u·u′x ＝1 u·(e x＋x2)′＝1e x＋x2·(e x＋2x)＝e x＋2xe x＋x2.(3)因为y＝sin4x＋cos4x＝(sin2x＋cos2x)2－2sin2x·cos2x＝1－12sin22x＝1－14(1－cos 4x)＝34＋14cos 4x，所以y′＝⎝⎛⎭⎪⎫34＋14cos 4x′＝－sin 4x.探究点2复合函数与导数的运算法则的综合应用求下列函数的导数．(1)y＝ln 3xe x；(2)y＝x1＋x2；(3)y＝x cos(2x＋π2)sin(2x＋π2)．【解】(1)因为(ln 3x)′＝13x×(3x)′＝1x，所以y′＝（ln 3x）′e x－（ln 3x）（e x）′（e x）2＝1x－ln 3xe x＝1－x ln 3xx e x.(2)y′＝(x1＋x2)′＝x′1＋x2＋x(1＋x2)′＝1＋x2＋x21＋x2＝（1＋2x2）1＋x21＋x2.(3)因为y＝x cos(2x＋π2)sin(2x＋π2)＝x(－sin 2x)cos 2x＝－12x sin 4x，所以y′＝⎝⎛⎭⎪⎫－12x sin 4x′＝－12sin 4x－x2cos 4x·4＝－12sin 4x－2x cos 4x.(1)在对函数求导时，应仔细观察及分析函数的结构特征，紧扣求导法则，联系学过的求导公式，对不易用求导法则求导的函数，可适当地进行等价变形，以达到化异求同、化繁为简的目的．(2)复合函数的求导熟练后，中间步骤可以省略，即不必再写出函数的复合过程，直接运用公式，从外层开始由外及内逐层求导．求下列函数的导数．(1)y ＝sin 2x3；(2)y ＝sin 3x ＋sin x 3； (3)y ＝11－x；(4)y ＝x ln(1＋x )． 解：(1)因为y ＝1－cos 23x2，所以y ′＝⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫12－cos23x 2′＝13sin 23x . (2)y ′＝(sin 3x ＋sin x 3 )′＝(sin 3x )′＋(sin x 3)′ ＝3sin 2x cos x ＋cos x 3·3x 2 ＝3sin 2x cos x ＋3x 2cos x 3. (3)y ′＝0－（1－x ）′1－x＝－12（1－x ）－12（1－x ）′1－x＝12（1－x ）1－x.(4)y ′＝x ′ln(1＋x )＋x [ln(1＋x )]′＝ln(1＋x )＋x 1＋x. 探究点3 复合函数的导数与导数几何意义的综合应用设f(x)＝ln(x＋1)＋x＋1＋ax＋b(a，b∈R)，曲线y＝f(x)与直线y＝3 2x在(0，0)点相切，求a，b的值．【解】由曲线y＝f(x)过(0，0)点，可得ln 1＋1＋b＝0，故b＝－1.由f(x)＝ln(x＋1)＋x＋1＋ax＋b，得f′(x)＝1x＋1＋12x＋1＋a，则f′(0)＝1＋12＋a＝32＋a，即为曲线y＝f(x)在点(0，0)处的切线的斜率．由题意，得32＋a＝32，故a＝0.本类题正确的求出复合函数的导数是前提，审题时注意所给点是否是切点，挖掘题目的隐含条件，求出参数，解决已知经过一定点的切线问题，寻求切点是解决问题的关键．曲线y＝e sin x在(0，1)处的切线与直线l平行，且与l的距离为2，求直线l的方程．解：设u＝sin x，则y′＝(e sin x)′＝(e u)′(sin x)′＝cos x·e sin x，即y′|x＝0＝1，则切线方程为y－1＝x－0，即x－y＋1＝0.因为直线l与切线平行，可设直线l的方程为x－y＋c＝0.两平行线间的距离d＝|c－1|2＝2⇒c＝3或c＝－1.故直线l的方程为x－y＋3＝0或x－y－1＝0.1．函数y ＝(2 016－8x )3的导数等于( ) A ．3(2 016－8x )2 B ．－24x C ．－24(2 016－8x )2D ．24(2 016－8x )2解析：选C.y ′＝3(2 016－8x )2×(2 016－8x )′ ＝3(2 016－8x )2×(－8)＝－24(2 016－8x )2.2．函数y ＝x 2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3的导数为( )A ．y ′＝2x cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3－x 2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3 B ．y ′＝2x cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3－2x 2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3C ．y ′＝x 2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3－2x sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3D ．y ′＝2x cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3＋2x 2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3 解析：选 B.y ′＝(x 2)′cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3＋x 2⎣⎢⎡⎦⎥⎤cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3′＝2x cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3＋x 2⎣⎢⎡⎦⎥⎤－sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3′＝2x cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3－2x 2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3. 3．函数y ＝1（3x －1）2的导数是( )A.6（3x －1）3B.6（3x －1）2C ．－6（3x －1）3D ．－6（3x －1）2解析：选C.y ′＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1（3x －1）2′＝－2（3x －1）3·(3x －1)′＝－6（3x －1）3，故选C. 4．己知f (x )＝ln(3x －1)，则f ′(1)＝__________ . 解析：因为f ′(x )＝13x －1·(3x －1)′＝33x －1，所以f ′(1)＝32. 答案：325．设曲线y ＝e ax 在点(0，1)处的切线与直线x ＋2y ＋1＝0垂直，则a ＝__________．解析：由题意知y ′|x ＝0＝a e ax |x ＝0＝a ＝2.答案：2[A 基础达标]1．(多选)下列函数是复合函数的是( ) A ．y ＝－x 3－1x ＋1 B ．y ＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π4C ．y ＝1ln xD ．y ＝(2x ＋3)4解析：选BCD.A 中的函数是一个多项式函数；B 中的函数可看作函数u ＝x ＋π4，y ＝cos u 的复合函数；C 中的函数可看作函数u ＝ln x ，y ＝1u 的复合函数；D 中的函数可看作函数u ＝2x ＋3，y ＝u 4的复合函数，故选BCD.2．函数y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋1x 5的导数为( )A ．y ′＝5⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋1x 4B ．y ′＝5⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋1x 4⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋1xC ．y ′＝5⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋1x 4⎝ ⎛⎭⎪⎫1－1x 2D ．y ′＝5⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋1x 4⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋1x解析：选C.函数y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋1x 5是函数y ＝u 5与u ＝x ＋1x 的复合函数，所以y ′x＝y ′u ·u ′x ＝5⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋1x 4⎝ ⎛⎭⎪⎫1－1x 2.3．函数y ＝x ln(2x ＋5)的导数为( ) A ．ln(2x ＋5)－x2x ＋5B ．ln(2x ＋5)＋2x2x ＋5C ．2x ln(2x ＋5)D.x 2x ＋5解析：选 B.y ′＝[x ln(2x ＋5)]′＝x ′ln(2x ＋5)＋x [ln(2x ＋5)]′＝ln(2x ＋5)＋x ·12x ＋5·(2x ＋5)′＝ln(2x ＋5)＋2x 2x ＋5. 4．已知直线y ＝x ＋1与曲线y ＝ln(x ＋a )相切，则a 的值为( ) A ．1 B ．2 C ．－1D ．－2解析：选B.设切点坐标是(x 0，x 0＋1)，依题意有⎩⎪⎨⎪⎧1x 0＋a ＝1，x 0＋1＝ln （x 0＋a ），解得x 0＝－1，a ＝2.5．曲线y ＝e －2x ＋1在点(0，2)处的切线与直线y ＝0和y ＝x 围成的三角形的面积为( )A.13 B.12 C.23 D ．1解析：选A.y ′|x ＝0＝－2e －2×0＝－2，所以曲线在点(0，2)处的切线方程为y ＝－2x ＋2.由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝－2x ＋2，y ＝x ，解得x ＝y ＝23，所以A ⎝ ⎛⎭⎪⎫23，23，所以围成的三角形的面积为12×23×1＝13.6．函数y ＝sin 2x cos 3x 的导数是__________． 解析：因为y ＝sin 2x cos 3x ， 所以y ′＝(sin 2x )′cos 3x ＋sin 2x (cos 3x )′ ＝2cos 2x cos 3x －3sin 2x sin 3x .答案：2cos 2x cos 3x －3sin 2x sin 3x7．曲线y ＝x e x －1在点(1，1)处的切线的斜率为__________．解析：y ′x ＝e x －1＋x e x －1＝(x ＋1)e x －1，故曲线在点(1，1)处的切线的斜率为2.答案：28．若y ＝f (x )＝(2x ＋a )2且f ′(2)＝20，则a ＝________．解析：令u ＝2x ＋a ，则y ′x ＝y ′u ·u ′x ＝(u 2)′(2x ＋a )′＝4(2x ＋a )，则f ′(2)＝4(2×2＋a )＝20，所以a ＝1.答案：19．求函数y ＝a sin x3＋b cos 22x (a ，b 是常数)的导数．解：因为⎝ ⎛⎭⎪⎫a sin x 3′＝a cos x 3⎝ ⎛⎭⎪⎫x 3′＝a 3cos x 3，又(cos 22x )′＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12＋12cos 4x ′＝12(－sin 4x )×4＝－2sin 4x ，所以y ＝a sin x3＋b cos 2 2x 的导数为y ′＝⎝ ⎛⎭⎪⎫a sin x 3′＋b (cos 22x )′＝a 3cos x 3－2b sin 4x .10．曲线y ＝e 2x cos 3x 在(0，1)处的切线与直线l 平行，且与l 的距离为5，求直线l 的方程．解：由y ′＝(e 2x cos 3x )′ ＝(e 2x )′cos 3x ＋e 2x (cos 3x )′ ＝2e 2x cos 3x ＋e 2x (－3sin 3x ) ＝e 2x (2cos 3x －3sin 3x )， 得y ′|x ＝0＝2.则切线方程为y －1＝2(x －0)， 即2x －y ＋1＝0.因为直线l 与切线平行，可设直线l 的方程为2x －y ＋c ＝0，两平行线间的距离d ＝|c －1|5＝5⇒c ＝6或c ＝－4.故直线l 的方程为2x －y ＋6＝0或2x －y －4＝0.[B 能力提升]11．己知点P 在曲线y ＝4e x ＋1上，α为曲线在点P 处的切线的倾斜角，则α的取值范围是( )A.⎣⎢⎡⎭⎪⎫0，π4 B.⎣⎢⎡⎭⎪⎫π4，π2 C.⎝ ⎛⎦⎥⎤π2，3π4 D.⎣⎢⎡⎭⎪⎫3π4，π 解析：选D.y ′＝－4e x （e x ＋1）2＝－4e x （e x ）2＋2e x ＋1＝－4e x ＋1ex ＋2. 因为e x＋1e x ≥2，所以e x ＋1e x ＋2≥4， 所以y ′∈[－1，0)，即tan α∈[－1，0)，所以α∈⎣⎢⎡⎭⎪⎫3π4，π. 12．在等比数列{}a n 中，a 1＝2，a 8＝4，函数f (x )＝x (x －a 1)·(x －a 2)·…·(x －a 8)，则f ′(0)＝__________．解析：因为f ′(x )＝x ′(x －a 1)(x －a 2)·…·(x －a 8)＋x (x －a 1)′(x －a 2)·…·(x －a 8)＋…＋x (x －a 1)(x －a 2)·…·(x －a 8)′＝(x －a 1)(x －a 2)·…·(x －a 8)＋x (x －a 2)·…·(x －a 8)＋…＋x (x －a 1)(x －a 2)·…·(x －a 7)，所以f ′(0)＝a 1·a 2·…·a 8＝(a 1a 8)4＝84＝4 096.答案：4 09613．已知f (x )为偶函数，当x ≤0时，f (x )＝e －x －1－x ，则曲线y ＝f (x )在点(1，2)处的切线方程是________．解析：设x ＞0，则－x ＜0，f (－x )＝e x －1＋x .因为f (x )为偶函数，所以f (x )＝e x －1＋x ，f ′(x )＝e x －1＋1，f ′(1)＝2，即所求的切线方程为y －2＝2(x －1)，即2x －y ＝0.答案：2x －y ＝014．设曲线y ＝e －x (x ≥0)在点M (t ，e －t )处的切线l 与x 轴，y 轴围成的三角形面积为S (t )．(1)求切线l 的方程；(2)求S (t )的解析式．解：(1)因为y ＝e －x ，所以y ′x ＝(e －x )′＝－e －x ，当x ＝t 时，y ′x ＝－e －t .故切线方程为y －e －t ＝－e －t (x －t )，即x ＋e t y －(t ＋1)＝0.(2)令y ＝0，得x ＝t ＋1.令x ＝0，得y ＝e －t (t ＋1)．所以S (t )＝12(t ＋1)·e －t (t ＋1)＝12(t ＋1)2e －t (t ≥0)．[C 拓展探究]15．设曲线y ＝ln(2x －1)上的点到直线l ：2x －y ＋3＝0的最短距离．解：作出直线l ：2x －y ＋3＝0和曲线y ＝ln(2x －1)的图象可知它们无公共点，所以平移直线l ，当l 与曲线相切时，切点到直线l 的距离就是曲线上的点到直线l 的最短距离，y ′＝12x －1(2x －1)′＝22x －1. 设切点为P (x 0，y 0)，所以22x 0－1＝2，所以x 0＝1， 所以y 0＝ln(2×1－1)＝0，P (1，0)．所以曲线y ＝ln(2x －1)上的点到直线l ：2x －y ＋3＝0的最短距离为P (1，0)到直线l ：2x －y ＋3＝0的距离，|2×1－0＋3|22＋12＝55＝ 5.最短距离d＝。
第2章 §5 简单复合函数的求导法则
§5简单复合函数的求导法那么1.理解复合函数的概念.(难点)2.掌握复合函数的求导法那么.(重点)3.能利用复合函数的求导法那么求简单复合函数的导数.(重点、难点)[根底·初探]教材整理1复合函数的概念阅读教材P49倒数第2行以上局部，完成以下问题.一般地，对于两个函数y＝f(u)和u＝φ(x)＝ax＋b，给定x的一个值，就得到了u的值，进而确定了y的值，这样y可以表示成x的函数，我们称这个函数为函数y＝f(u)和u＝φ(x)的复合函数，记作y＝f(φ(x))，其中u为中间变量.以下函数不是复合函数的是()A.y＝－x3－1x＋1 B.y＝cos⎝⎛⎭⎪⎫x＋π4C.y＝1ln x D.y＝(2x＋3)4【解析】A中的函数是一个多项式函数，B中的函数可看作函数u＝x＋π4，y＝cos u的复合函数，C中的函数可看作函数u＝ln x，y＝1u的复合函数，D中的函数可看作函数u＝2x＋3，y＝u4的复合函数，应选A.【答案】 A教材整理2复合函数的求导法那么阅读教材P49最后两行至P50局部，完成以下问题.复合函数y＝f(φ(x))的导数和函数y＝f(u)，u＝φ(x)的导数间的关系为y x′＝y u′·u x′.即y对x的导数是y对u的导数与u对x的导数的乘积.(ln 2x)′等于()A.12x B.1x C.1x ln 2 D.ln 2x【解析】(ln 2x)′＝12x(2x)′＝1x.【答案】 B[质疑·手记]预习完成后，请将你的疑问记录，并与“小伙伴们〞讨论交流：疑问1：解惑：疑问2：解惑：疑问3：解惑：[小组合作型]复合函数的定义指出以下函数是怎样复合而成的.(1)y＝(3＋5x)2；(2)y＝log3(x2－2x＋5)；(3)y＝cos 3x.【精彩点拨】分析函数的复合过程主要是设出中间变量u，分别找出y和u的函数关系，u和x的函数关系.【自主解答】(1)y＝(3＋5x)2是由函数y＝u2，u＝3＋5x复合而成的.(2)y＝log3(x2－2x＋5)是由函数y＝log3u，u＝x2－2x＋5复合而成的.(3)y＝cos 3x是由函数y＝cos u，u＝3x复合而成的.判断复合函数的复合关系的一般方法是从外向里分析，最外层的主体函数构造是以根本函数为主要构造的，各层的中间变量构造也都是根本函数关系，这样一层一层分析，里层应是关于自变量x的根本函数或关于自变量x的根本函数经过有限次运算而得到的函数.[再练一题]1.指出以下函数由哪些函数复合而成.(1)y＝ln x；(2)y＝e sin x；(3)y＝cos(3x＋1).【解】(1)y＝ln u，u＝x.(2)y＝e u，u＝sin x.(3)y＝cos u，u＝3x＋1.求复合函数的导数求以下函数的导数.(1)y＝e2x＋1；(2)y＝1〔2x－1〕3；(3)y＝5log2(1－x)；(4)y＝sin3x＋sin 3x.【精彩点拨】先分析函数是怎样复合而成的，找出中间变量，分层求导.【自主解答】(1)函数y＝e2x＋1可看作函数y＝e u和u＝2x＋1的复合函数，∴y′x＝y′u·u x′＝(e u)′(2x＋1)′＝2e u＝2e2x＋1.(2)函数y＝1〔2x－1〕3可看作函数y＝u－3和u＝2x－1的复合函数，∴y′x＝y′u·u x′＝(u－3)′(2x－1)′＝－6u－4＝－6(2x－1)－4＝－6〔2x－1〕4.(3)函数y＝5log2(1－x)可看作函数y＝5log2u和u＝1－x的复合函数，∴y′x＝y′u·u′x＝(5log2u)′·(1－x)′＝－5u ln 2＝5〔x－1〕ln 2.(4)函数y＝sin3x可看作函数y＝u3和u＝sin x的复合函数，函数y＝sin 3x可看作函数y＝sin v和v＝3x的复合函数.∴y′x＝(u3)′·(sin x)′＋(sin v)′·(3x)′＝3u2·cos x＋3cos v＝3sin2x cos x＋3cos 3x.1.解答此类问题常犯两个错误(1)不能正确区分所给函数是否为复合函数；(2)假设是复合函数，不能正确判断它是由哪些根本初等函数复合而成.2.复合函数求导的步骤[再练一题]2.求以下函数的导数.(1)y ＝(2x －1)4；(2)y ＝11－2x ； (3)y ＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫－2x ＋π3；(4)y ＝102x ＋3. 【解】 (1)原函数可看作y ＝u 4，u ＝2x －1的复合函数，那么y x ′＝y u ′·u x ′＝(u 4)′·(2x －1)′＝4u 3·2＝8(2x －1)3.(2)y ＝11－2x ＝(1－2x )-12可看作y ＝u －12，u ＝1－2x 的复合函数，那么y x ′＝y u ′·u x ′＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－12u -32·(－2) ＝(1－2x ) -32＝1〔1－2x 〕1－2x .(3)原函数可看作y ＝sin u ，u ＝－2x ＋π3的复合函数，那么y x ′＝y u ′·u x ′＝cos u ·(－2)＝－2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫－2x ＋π3＝－2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3. (4)原函数可看作y ＝10u ，u ＝2x ＋3的复合函数，那么y x ′＝y u ′·u x ′＝102x ＋3·ln 10·2＝(2ln 10)102x ＋3.[探究共研型]复合函数导数的应用探究1 求曲线y ＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6在x ＝π6处切线的斜率.【提示】 ∵y ′＝－2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6， ∴切线的斜率k ＝－2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2×π6＋π6＝－2. 探究2 求曲线y ＝f (x )＝e 2x ＋1在点⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，1处的切线方程. 【提示】 ∵f ′(x )＝e 2x ＋1·(2x ＋1)′＝2e 2x ＋1，∴f ′⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＝2， ∴曲线y ＝e 2x ＋1在点⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，1处的切线方程为y －1＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋12， 即2x －y ＋2＝0. 函数f (x )＝ax 2＋2ln(2－x )(a ∈R )，设曲线y ＝f (x )在点(1，f (1))处的切线为l ，假设直线l 与圆C ：x 2＋y 2＝14相切，务实数a 的值.【精彩点拨】 求出导数f ′(1)，写出切线方程，由直线l 与圆C 相切，建立方程求解.【自主解答】 因为f (1)＝a ，f ′(x )＝2ax ＋2x －2(x <2)， 所以f ′(1)＝2a －2，所以切线l 的方程为2(a －1)x －y ＋2－a ＝0.因为直线l 与圆相切，所以圆心到直线l 的间隔 等于半径，即d ＝|2－a |4〔a －1〕2＋1＝12，解得a ＝118. 关于复合函数导数的应用及其解决方法1.应用复合函数导数的应用主要有：求在某点处的切线方程，切线的方程或斜率求切点，以及涉及切线问题的综合应用.2.方法先求出复合函数的导数，假设切点，那么求出切线斜率、切线方程；假设切点未知，那么先设出切点，用切点表示切线斜率，再根据条件求切点坐标.总之，在解决此类问题时切点起着至关重要的作用.[再练一题]3.曲线y ＝f (x )＝e sin x 在(0，1)处的切线与直线l 平行，且与l 的间隔 为2，求直线l 的方程.【导学号：94210048】【解】 设u ＝sin x ，那么f ′(x )＝(e sin x )′＝(e u )′(sin x )′＝cos x e sin x .f ′(0)＝1.那么切线方程为y －1＝x －0，即x －y ＋1＝0.假设直线l 与切线平行可设直线l 的方程为x －y ＋c ＝0.两平行线间的间隔 d ＝|c －1|2＝2⇒c ＝3或c ＝－1.故直线l 的方程为x －y ＋3＝0或x －y －1＝0.[构建·体系]复合函数的求导—⎪⎪⎪⎪—复合函数的概念—复合函数的求导法那么—应用 1.函数y ＝cos (－x )的导数是( )A.cos xB.－cos xC.－sin xD.sin x【解析】 y ′＝－sin (－x )(－x )′＝－sin x .【答案】 C2.假设f (x )＝e 2x ln 2x ，那么f ′(x )＝( )A.e 2x ln 2x ＋e 2x 2xB.e 2x ln 2x ＋e 2x xC.2e 2x ln 2x ＋e 2x xD.2e 2x ·1x【解析】 f ′(x )＝(e 2x )′ln 2x ＋e 2x (ln 2x )′＝2e 2xln 2x ＋e 2x x . 【答案】 C3.f (x )＝ln(3x －1)，那么f ′(1)＝________.【解析】 f ′(x )＝13x －1·(3x －1)′＝33x －1， ∴f ′(1)＝32.【答案】 324.设曲线y ＝e ax 在点(0，1)处的切线与直线x ＋2y ＋1＝0垂直，那么a ＝________.【导学号：94210049】【解析】 令y ＝f (x )，那么曲线y ＝e ax 在点(0，1)处的切线的斜率为f ′(0)，又切线与直线x ＋2y ＋1＝0垂直，所以f ′(0)＝2.因为f (x )＝e ax ，所以f ′(x )＝(e ax )′＝(e ax )·(ax )′＝a e ax ，所以f ′(0)＝a e 0＝a ，故a ＝2.【答案】 25.求以下函数的导数.(1)y ＝cos(x ＋3)；(2)y ＝(2x －1)3；(3)y ＝e －2x ＋1.【解】 (1)函数y ＝cos(x ＋3)可以看做函数y ＝cos u 和u ＝x ＋3的复合函数， 由复合函数的求导法那么可得y x ′＝y u ′·u x ′＝(cos u )′·(x ＋3)′＝－sin u·1＝－sin u＝－sin(x＋3).(2)函数y＝(2x－1)3可以看做函数y＝u3和u＝2x－1的复合函数，由复合函数的求导法那么可得y x′＝y u′·u x′＝(u3)′·(2x－1)′＝3u2·2＝6u2＝6(2x－1)2.(3)y′＝e－2x＋1·(－2x＋1)′＝－2e－2x＋1.我还有这些缺乏：(1)(2)我的课下提升方案：(1)(2)。
复合函数求导公式有哪些
复合函数求导公式有哪些复合函数的求导公式有哪些呢?想来绝大部分的人都不知道，为了满足大家的好奇心。
下面是由小编为大家整理的“复合函数求导公式有哪些”，仅供参考，欢迎大家阅读。
复合函数求导公式有哪些链式法则(英文chain rule)是微积分中的求导法则，用以求一个复合函数的导数。
所谓的复合函数，是指以一个函数作为另一个函数的自变量。
如设f(x)=3x，g(x)=3x+3，g(f(x))就是一个复合函数，并且g′(f(x))=9。
要注意f(x)的自变量x与g(x)的自变量x之间并不等同。
链式法则(chain rule)若h(a)=f[g(x)]则h'(a)=f'[g(x)]g'(x)链式法则用文字描述，就是"由两个函数凑起来的复合函数，其导数等于里函数代入外函数的值之导数，乘以里边函数的导数。
"拓展阅读：复合函数的奇偶性复合函数中只要有偶函数则复合函数为偶函数，如一奇一偶为偶;若只有奇函数则复合函数为奇函数，无论奇数个还是偶数个，如两奇仍为奇。
1、f(x)*g(x)*h(x)这种相乘的复合函数。
奇函数的个数是偶数，复合函数就是偶函数。
奇函数的个数是奇数，复合函数就是奇函数。
2、f(g(h(x)))这种多层的复合函数。
函数中的有偶数，复合函数就是偶函数。
函数中的没有偶数，奇函数的个数是偶数，复合函数就是偶函数。
函数中的没有偶数，奇函数的个数是奇数，复合函数就是奇函数。
复合函数的单调性的判断方法复合函数单调性就2句话：2个函数(或多个)都递增或者都递减那么复合函数就是单调递增函数2个函数一个递增一个递减那么复合函数就是单调递减函数简单记法：负负得正,正在得正,负正得负。
复合函数求导公式有哪些
复合函数求导公式有哪些
有很多的同学是非常的想知道，复合函数求导公式是什幺，小编整理了
相关信息，希望会对大家有所帮助！
1 复合函数如何求导规则：1、设u=g(x)，对f(u)求导得：f’(x)=f’(u)*g’(x)；
2、设u=g(x),a=p(u)，对f(a)求导得：f’(x)=f’(a)*p’(u)*g’(x)；
拓展：
1、设函数y=f(u)的定义域为Du，值域为Mu，函数u=g(x）的定义域为Dx，值域为Mx，如果Mx∩Du≠Ø，那幺对于Mx∩Du内的任意一个x 经过u；有唯一确定的y 值与之对应，则变量x 与y 之间通过变量u 形成的一种函数关系，这种函数称为复合函数(composite function)，记为：y=f[g(x)]，其中x 称为自变量，u 为中间变量，y 为因变量（即函数）。
2、定义域：若函数y=f(u)的定义域是B,u=g(x)的定义域是A,则复合函数
y=f[g(x)]的定义域是D= {x|x∈A,且g(x)∈B} 综合考虑各部分的x 的取值范围，取他们的交集。
3、周期性：设y=f(u)的最小正周期为T1,μ=φ(x)的最小正周期为T2,则
y=f(μ)的最小正周期为T1*T2，任一周期可表示为k*T1*T2(k 属于R+).
4、单调（增减）性的决定因素：依y=f(u)，μ=φ(x)的单调性来决定。
即“增+增=增；减+减=增；增+减=减；减+增=减”，可以简化为“同增异减”。
1 复合函数求导法则Y=f(u),U=g(x),则y′=f(u)′*g(x)′
例1.y=Ln(x),Y=Ln(u),U=x,
y′=f(u)′*g(x)′=[1/Ln(x)]*(x)′=[1/Ln(x)]*(3x)。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
简单复合函数的导数
一、基础知识梳理： （一）常用的求导公式
11.(),'()0;2.(),'();3.()sin ,'()cos ;4.()cos ,'()sin ;5.(),'()ln (0);6.(),'();1
7.()log ,'()(0,1);
ln 8.n n x x x x a f x c f x f x x f x nx f x x f x x f x x f x x f x a f x a a a f x e f x e f x x f x a a x a
-========-==>====>≠公式若则公式若则公式若则公式若则公式若则公式若则公式若则且公式若1()ln ,'();f x x f x x
==
则
（二）复合函数的求导数公式 若u=u(x)，v=v(x)在x 处可导，则
2
)()()()(v v
u v u v u u c cu v u v u v u v u v u '-'=''
=''+'='⋅'±'='±
（三）复合函数求导法则
1、二重复合：若)(u f y =， )(x u φ= 且)(x u φ=在点x 处可导。
则)()('•'='x u f y φ
2、多次复合函数求导法则类推
二、典型例题分析：
例1、求下列函数的导数；
1）、3
(23)y x =- 2）、ln(51)y x =+
练习：求下列函数的导数
1）、2
(23)y x =+ 2）、3
(13)y x =-
例2、求下列函数的导数； 1）、1
31
y x =
- 2)、cos(12)y x =-
练习：求导数； 1）、1ln y x
= 2）、2x y e =
3）、求曲线sin 2y x =在点P （,0π）处的切线方程。
例题3 已知(5)5,'(5)3,(5)4,'(5)1f f g g ==== ，根据下列条件 求(5)h 及'(5)h 1）、()3()2()h x f x g x =+ 2）、 ()()()1h x f x g x =+
3）、()2
()()
f x h x
g x +=
巩固练习 1.函数y =
2
)13(1
-x 的导数是
A.3)13(6-x
B.2)13(6-x
C.－3)13(6-x
D.－2
)
13(6
-x
2.已知y =
2
1
sin2x +sin x ,那么y ′是 A.仅有最小值的奇函数 B.既有最大值，又有最小值的偶函数 C.仅有最大值的偶函数 D.非奇非偶函数
3.函数y =sin 3(3x +
4π
)的导数为 A.3sin 2(3x +4π)cos(3x +4π) B.9sin 2(3x +4π)cos(3x +4π
)
C.9sin 2(3x +4π)
D.－9sin 2(3x +4π)cos(3x +4
π
)
4.函数y =cos(sin x )的导数为
A.－［sin(sin x )］cos x
B.－sin(sin x )
C.［sin(sin x )］cos x
D.sin(cos x )
5.函数y =cos2x +sin x 的导数为
A.－2sin2x +
x
x
2cos B.2sin2x +
x
x 2cos
C.－2sin2x +x
x 2sin D.2sin2x －
x
x 2cos
6.过曲线y =
11+x 上点P （1，2
1
）且与过P 点的切线夹角最大的直线的方程为 A.2y －8x +7=0
B.2y +8x +7=0
C.2y +8x －9=0
D.2y －8x +9=0
二、填空题（本大题共5小题，每小题3分，共15分）
8.曲线y =sin3x 在点P （3
π
,0）处切线的斜率为___________.
9.函数y =x sin(2x －2π)cos(2x +2
π
)的导数是 .
10.函数y =)3
2cos(π
-x 的导数为 .
11.函数
y =cos 3
x 1
的导数是___________.
复合函数的导数
1.C
2.B
3.B
4.A
5.A
6.A
7.y =u 3,u =1+sin3x
8.－3
9.y ′=21sin4x +2x cos4x 10.)
3
2cos()
32sin(π
π
---x x 11.x x x 1sin 1cos 122⋅
（注：可编辑下载，若有不当之处，请指正，谢谢!）。