复数PPT优秀课件
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复数的概念及复数的几何意义ppt课件
几何意义
复数的乘法与除法在复平面上表现为向量的旋转与缩放。
复数的乘方与开方
01 02
乘方运算规则
设$z = a + bi$，则$z^n = (a + bi)^n = a^n + C_n^1 a^{n-1} bi + C_n^2 a^{n-2} (bi)^2 + ldots + (bi)^n$，其中$C_n^k$表示组合数 。
复数与三角函数的对应关系
01
复数的三角形式与三角函数有密切联系，通过欧拉公式可以将
三角函数表示为复数的指数形式。
复数在三角函数计算中的应用
02
利用复数的三角形式和欧拉公式，可以方便地计算三角函数的
值，以及解决与三角函数相关的问题。
复数与三角函数的周期性
03
复数的周期性性质与三角函数的周期性相一致，通过复数运算
几何意义
复数的加法与减法在复平 面上表现为向量的合成与 分解。
复数的乘法与除法
乘法运算规则
设$z_1 = a + bi$，$z_2 = c + di$，则$z_1 times z_2 = (ac - bd) + (ad + bc)i$。
除法运算规则
设$z_1 = a + bi neq 0$，$z_2 = c + di$，则$frac{z_2}{z_1} = frac{c + di}{a + bi} = frac{(c + di)(a - bi)}{(a + bi)(a - bi)} = frac{ac + bd}{a^2 + b^2} + frac{bc - ad}{a^2 + b^2}i$。
复数的乘法与除法在复平面上表现为向量的旋转与缩放。
复数的乘方与开方
01 02
乘方运算规则
设$z = a + bi$，则$z^n = (a + bi)^n = a^n + C_n^1 a^{n-1} bi + C_n^2 a^{n-2} (bi)^2 + ldots + (bi)^n$，其中$C_n^k$表示组合数 。
复数与三角函数的对应关系
01
复数的三角形式与三角函数有密切联系，通过欧拉公式可以将
三角函数表示为复数的指数形式。
复数在三角函数计算中的应用
02
利用复数的三角形式和欧拉公式，可以方便地计算三角函数的
值，以及解决与三角函数相关的问题。
复数与三角函数的周期性
03
复数的周期性性质与三角函数的周期性相一致，通过复数运算
几何意义
复数的加法与减法在复平 面上表现为向量的合成与 分解。
复数的乘法与除法
乘法运算规则
设$z_1 = a + bi$，$z_2 = c + di$，则$z_1 times z_2 = (ac - bd) + (ad + bc)i$。
除法运算规则
设$z_1 = a + bi neq 0$，$z_2 = c + di$，则$frac{z_2}{z_1} = frac{c + di}{a + bi} = frac{(c + di)(a - bi)}{(a + bi)(a - bi)} = frac{ac + bd}{a^2 + b^2} + frac{bc - ad}{a^2 + b^2}i$。
复数的课件ppt
详细描述
为它们可能包含实部和虚部。利用复数，可以更方便地 表示相位和阻抗，从而简化计算过程。
信号处理中的复数表示
总结词
在信号处理中，复数表示可以方便地 描述信号的频率和振幅信息。
详细描述
在信号处理中，复数是一种常用的数 学工具，用于描述信号的频率和振幅 信息。通过将信号表示为复数形式， 可以方便地进行信号的频谱分析和滤 波等操作。
复数的几何表示
总结词
复数可以通过平面坐标系中的点或向量来表示，其实部为x轴上的坐标，虚部为y轴上的坐标。
详细描述
复数可以通过几何图形来表示，其实部和虚部分别对应平面坐标系中的x轴和y轴上的坐标。在坐标系中，每一个 复数都可以表示为一个点或一个向量，其横坐标为实部，纵坐标为虚部。这种表示方法有助于直观理解复数的意 义和性质。
02
复数的三角形式
复数的三角形式表示
实部和虚部
复数可以表示为实部和虚部的和 ，即$z = a + bi$，其中$a$是实 部，$b$是虚部。
三角形式
复数还可以表示为模和辐角的形 式，即$z = r(costheta + isintheta)$，其中$r$是模， $theta$是辐角。
复数的模和辐角
除法运算
两个复数相除时，可以用乘以共轭复 数的方法化简，即$frac{a+bi}{c+di} = frac{(a+bi)(c-di)}{(c+di)(c-di)} = frac{ac+bd+(bc-ad)i}{c^2+d^2}$ 。
03
复数的应用
电路中的复数表示
总结词
利用复数表示电路中的电压和电流，可以简化计算，方便分 析。
为它们可能包含实部和虚部。利用复数，可以更方便地 表示相位和阻抗，从而简化计算过程。
信号处理中的复数表示
总结词
在信号处理中，复数表示可以方便地 描述信号的频率和振幅信息。
详细描述
在信号处理中，复数是一种常用的数 学工具，用于描述信号的频率和振幅 信息。通过将信号表示为复数形式， 可以方便地进行信号的频谱分析和滤 波等操作。
复数的几何表示
总结词
复数可以通过平面坐标系中的点或向量来表示，其实部为x轴上的坐标，虚部为y轴上的坐标。
详细描述
复数可以通过几何图形来表示，其实部和虚部分别对应平面坐标系中的x轴和y轴上的坐标。在坐标系中，每一个 复数都可以表示为一个点或一个向量，其横坐标为实部，纵坐标为虚部。这种表示方法有助于直观理解复数的意 义和性质。
02
复数的三角形式
复数的三角形式表示
实部和虚部
复数可以表示为实部和虚部的和 ，即$z = a + bi$，其中$a$是实 部，$b$是虚部。
三角形式
复数还可以表示为模和辐角的形 式，即$z = r(costheta + isintheta)$，其中$r$是模， $theta$是辐角。
复数的模和辐角
除法运算
两个复数相除时，可以用乘以共轭复 数的方法化简，即$frac{a+bi}{c+di} = frac{(a+bi)(c-di)}{(c+di)(c-di)} = frac{ac+bd+(bc-ad)i}{c^2+d^2}$ 。
03
复数的应用
电路中的复数表示
总结词
利用复数表示电路中的电压和电流，可以简化计算，方便分 析。
7.2复数的四则运算PPT课件(人教版)
解：(1)A，B，C 三点分别对应复数 1，2＋i，－1＋2i. 所以O→A，O→B，O→C对应的复数分别为 1，2＋i，－1＋2i(O 为坐 标原点)， 所以O→A＝(1，0)，O→B＝(2，1)，O→C＝(－1，2)． 所以A→B＝O→B－O→A＝(1，1)， A→C＝O→C－O→A＝(－2，2)， B→C＝O→C－O→B ＝(－3，1)． 即A→B对应的复数为 1＋i，A→C对应的复数为－2＋2i，B→C对应的 复数为－3＋i.
A．－1－1＋i z(1 ＋ i) ＝ 2i ， 得
z
＝
2i 1＋i
＝
2i（1－i） （1＋i）（1－i）
＝
2i（12－i）＝i(1－i)＝1＋i.
复数 z＝14＋ －ii的虚部为________． 解析：z＝41－ ＋ii＝（ （41－ ＋ii） ）（ （11－ －ii） ）＝3－2 5i＝32－52i. 答案：－52
z1z2＝__z_2_z1__
结合律
(z1z2)z3＝__z_1_(z_2_z_3_) ____
乘法对加法的分配律
z1(z2＋z3)＝__z_1_z2_＋__z_1_z3___
■名师点拨 对复数乘法的两点说明
(1)复数的乘法运算与多项式乘法运算很类似，可仿多项式乘法进行 运算，但结果要将实部、虚部分开(i2 换成－1)． (2)多项式乘法的运算律在复数乘法中仍然成立，乘法公式也适用．
复数的四则运算
第七章 复 数
7.2.1 复数的加、减运算及其几何意义
第七章 复 数
考点 复数加法、 减法的运算
复数加法 的几何意义
学习目标 掌握复数代数形式的加法、 减法运算法则 理解复数代数形式的加法、 减法运算的几何意义
复数的基本概念及运算ppt课件
8.点M是△ABC所在平面内的一点,且满足 AM =
3 4
AB +
1 4
AC
,
则△ABM与△ABC的面积之比为_____.
类似题：《作业手册》P251 选做2
（10分）已知△ABC中, AB = a , AC = b ,对于平面ABC上 任意一点O,动点P满足 OP = OA +λa +λ b ,则动点P的轨. 迹是什么?其轨迹是否过定点,并说明理由.
（1）i4n=1; i4n+1=i; i4n+2=-1 i4n+3=-i
(2)in+in+1+in+2+in+3=0；
(3) (1±i)2=±2i ；
(4) 1 i i, 1 i i; 1i 1 i
(5) 设 ω - 1 3 i 则 22
ω3 1，ω2 ω，ω2 ω 1 0.
EX1:《创新》P213 例3
今晚自修①《作业手册》P315
4. 复数 z = a+bi 的模、共轭复数的概念:
| z | a2 b2
z a bi
5. 复数相等:
a=c
a+bi=c+di (a,b,c,d∈R)
b=d
注意 : 两个虚数不能比较大小!
二、复数的代数形式及运算法则
设 z1 a bi, z2 c di (a,b,c,d R) 加减法：(a bi) (c di) (a c) (b d)i
(2)(3 4i) (1 2i) 2 2i (3)a = 0是复数z = a + bi为纯虚数的必要不充分条件 (4)z = z是复数z R的充要条件 (5)若z z 0，则复数z为纯虚数 (6)任意两个复数不能比较大小 以上说法正确的有 __________
高中数学一轮复习《复数》课件ppt（29张PPT）
解析 1－1 i＝1＋2 i＝12＋12i，其共轭复数为12－12i，
∴复数1－1 i的共轭复数对应的点的坐标为12，－12，位于第四象限，故选 D.
答案 D
5.(2019·全国Ⅲ卷)若z(1＋i)＝2i，则z＝( )
A.－1－i
B.－1＋i
C.1－i
D.1＋i
解析 由 z(1＋i)＝2i，得 z＝12＋i i＝(21i＋（i1)－ (1－i）i)＝2i（12－i）＝i(1－i)＝1＋i.
D.－
3 2i
解析 (1)∵z＝(m2＋m－6)＋(m－2)i为纯虚数，
∴mm2－＋2m≠－0，6＝0，解得 m＝－3，故选 D.
(2)∵z＝1－
3i，∴－zz＝z·－z－z2
＝（1＋|z|23i）2＝1＋2 43i－3＝－12＋
－
23i，∴zz的虚部
为 23.故选 C.
答案 (1)D (2)C
规律方法 1.复数的分类及对应点的位置都可以转化为复数的实部与虚部应该 满足的条件，只需把复数化为代数形式，列出实部和虚部满足的方程(不等式) 组即可. 2.解题时一定要先看复数是否为a＋bi(a，b∈R)的形式，以确定实部和虚部.
建立平面直角坐标系来表示复数的 数；除了原点外，虚轴
复平面 平面叫做复平面，__x_轴___叫实轴，y 上的点都表示纯虚数，
轴叫虚轴
各象限内的点都表示
虚数
复数的 设O→Z对应的复数为 z＝a＋bi，则向量 模 O→Z的长度叫做复数 z＝a＋bi 的模
|z|＝|a＋bi|＝__a_2_＋__b_2
2.复数的几何意义
2.(新教材必修第二册 P69 例 1 改编)若复数 z＝11＋＋aii为纯虚数，则实数 a 的值为
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02
复数的应用
Chapter
电路分析中的应用
电路分析中，复数是一种常用的数学工具，用于描述交 流电路中的电压、电流和阻抗等参数。
通过使用复数表示，可以简化计算过程，方便分析和设 计电路。
复数在交流电路分析中的应用包括计算交流阻抗、交流 功率和交流电流等。
信号处理中的应用
在信号处理中，复数常用于表示和处 理信号，如频谱分析和滤波器设计等 。
复数在信号处理中的应用还包括数字 滤波器设计和数字信号处理算法的实 现等。
通过将信号表示为复数形式，可以方 便地进行信号的频域分析和处理，如 傅里叶变换和离散余弦变换等。
控制系统中的应用
在控制系统中，复数常用于描 述系统的传递函数和稳定性等 特性。
通过使用复数表示，可以方便 地分析系统的频率响应和稳定 性，以及设计控制系统的参数 。
实例
$2(cos frac{pi}{3} + i sin frac{pi}{3}) + 1(cos frac{pi}{4} + i sin frac{pi}{4}) = sqrt{3}(cos frac{7pi}{12} + i sin frac{7pi}{12})$。
指数形式的计算
定义
复数指数形式是 $re^{itheta}$，其中 $r$ 是模长，$theta$ 是辐角 。
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目录
• 复数的基本概念 • 复数的应用 • 复数的计算方法 • 复数的历史发展 • 复数的扩展知识
01
复数的基本概念
Chapter
复数的定义
总结词
复数是由实部和虚部构成的数，通常表示为a+bi，其中a是实部，b是虚部，i 是虚数单位。
《复数的概念》课件
《复数的概念》PPT课件
复数是一个数学概念，用来表示实数和虚数的集合。
什么是复数
实数与虚数
复数由实部和虚部组成，形如a+bi。
虚数单位
虚数单位 i 是一个特殊的数，满足 i² = -1。
复数的表示方法
直角坐标形式
用复平面中的点表示复数，实部表示 x 坐标，虚部 表示 y 坐标。
极坐标形式
用模和幅角表示复数，模表示向原点距离，幅角表 示与正实轴的夹角。
分形图形
复数可以表示分形图形如Mandelbrot集合。
旋转变换
复数可以通过乘法实现二维旋转变换。
常见的复数方程
1 一次方程
形如a+bi=c，求出复数的解。
2 二次方程
形如a+bi=0，利用求根公式计算解。
结论和要点
复数的基本概念
复数由实部和虚部组成，可以用不同的表示方法。
复数的运算规则
加减乘除应用相应规则来计算。
复数的四则运算
1
加法和减法
复数的实部和虚部分别相加或相减。
乘法
2
将复数按照分配律相乘，并应用 i² = -1
进行合并。
3
行 简化。
共轭复数和复数模
共轭复数
共轭复数将虚部的符号取反，实部保持不变。
复数模
复数的模是复平面中与原点的距离，可用勾股 定理求得。
复数在几何中的应用
复数是一个数学概念，用来表示实数和虚数的集合。
什么是复数
实数与虚数
复数由实部和虚部组成，形如a+bi。
虚数单位
虚数单位 i 是一个特殊的数，满足 i² = -1。
复数的表示方法
直角坐标形式
用复平面中的点表示复数，实部表示 x 坐标，虚部 表示 y 坐标。
极坐标形式
用模和幅角表示复数，模表示向原点距离，幅角表 示与正实轴的夹角。
分形图形
复数可以表示分形图形如Mandelbrot集合。
旋转变换
复数可以通过乘法实现二维旋转变换。
常见的复数方程
1 一次方程
形如a+bi=c，求出复数的解。
2 二次方程
形如a+bi=0，利用求根公式计算解。
结论和要点
复数的基本概念
复数由实部和虚部组成，可以用不同的表示方法。
复数的运算规则
加减乘除应用相应规则来计算。
复数的四则运算
1
加法和减法
复数的实部和虚部分别相加或相减。
乘法
2
将复数按照分配律相乘，并应用 i² = -1
进行合并。
3
行 简化。
共轭复数和复数模
共轭复数
共轭复数将虚部的符号取反，实部保持不变。
复数模
复数的模是复平面中与原点的距离，可用勾股 定理求得。
复数在几何中的应用
《复数基础知识》课件
02
计算方法：利用三角函数的加Байду номын сангаас公式 和减法公式可以计算出复数的乘积和 商。
03
应用：复数的乘除运算是复数运算的 基本法则之一，它们在解决实际问题 中具有广泛的应用。
03
复数的应用
在电路分析中的应用
总结词
利用复数表示交流电的各种参数，如电压、电流、阻抗等，简化计算过程。
详细描述
在电路分析中，许多参数如电压、电流、阻抗等都是时间的函数，具有频率和相 位。利用复数表示这些参数，可以将实数和虚数部分合并，方便进行计算和比较 。通过复数运算，可以快速得到电路的响应，简化计算过程。
在信号处理中的应用
总结词
利用复数进行信号的频谱分析和滤波器设计。
详细描述
在信号处理中，频谱分析和滤波器设计是常见的任务。复数可以用于表示信号的频谱，使得频谱分析变得简单直 观。同时，利用复数进行滤波器设计，可以方便地实现低通、高通、带通等不同类型的滤波器。通过复数运算， 可以快速得到滤波器的响应，提高信号处理的效率。
利用复数的模和辐角，可以将任意复 数转换为三角形式。
复数的模与辐角
定义
复数的模定义为 $sqrt{a^2 + b^2}$， 辐角定义为 $arctan(frac{b}{a})$， 当$a > 0$时，辐角在 第一象限；当$a < 0$ 时，辐角在第三象限。
计算方法
利用勾股定理和反正切 函数可以计算出任意复 数的模和辐角。
控制工程
在控制工程中，系统的传递函数和 稳定性分析通常需要用到复数，以 描述系统的动态特性。
05
复数与实数的关系
复数与实数的转化关系
实数轴上每一个点都 可以对应一个复数， 反之亦然。
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求 x与y.
解：更具复数相等的定义，得方程组
2x 1 y 1 (3 y)
所以 x 5, y 4
2
4.复数的几何意义是怎样的？
复数z=a+bi↔复平面内的点Z（a，b）↔平面向量OZ x轴叫实轴，y轴叫做虚轴，实轴上的点都表示实数； 除了原点，虚轴上的点都表示纯虚数。象限中的点 都表示非纯虚数。
1 1
z z
i
，则
z
1
的值为
.
例14 复数z满足z·z +z+ z =3，则z对应点的轨迹
是____________.
解析：设z=x+yi(x、y∈R)，则x2+y2+2x=3表示圆.
答案：以点（－1，0）为圆心，2为半径的圆
例15 若 z 2 ，则 z i 的最大值为 .
例16 若 zb(ibR)，若使 z2iz23i 的最
1 i 1i
｛x｜x=f(n)｝中元素的个数是
A.1
B.2
C.3
D.无穷多个
解析：∵f(n)=in+(－i)n， ∴f(0)=2，f(1)=i－i=0，f(2)=－1－1=－2，f(3)=－i+i=0. ∴｛x｜x=f(n)｝=｛－2，0，2｝. 答案：C
典型例题：二、复数几何意义的运用
例13若复数z满足
∴ 原式zz＝ 21＝zz 11＝ 1，故（A）正确．
例9.如果复数 2 b i（其中i为虚数单位，b为实数）
1 2i
的实部和虚部互为相反数，那么b等于
A. 2
B. 2
3
C.－ 2
3
D.2
解∴析2－：122 b=2bibi =+4(2，bb=i5)－(1-322i.)=
22b(b4)i 5
例7：已知 z2z4i,求复z.数
例8 若复数z 满足1－z+z2＝0，则
z 1111 1 z 2222 的值等于
（A）1 （B）－1
（C）2
（D）－2
解：z2－z + 1＝0 ， 即(z+1)·(z2－z+1)＝0 即z3+1＝0 ∴ z3＝－1 以下同解法1． ∴ z1111＝(z3)370·z＝z z2222＝(z1111)2＝z2
2.复数的表示形式是怎样的？
形如 ab(ia,b R )的数，叫做复数．
C { z|z a b,其 i a ,b 中 R )
全体复数所形成的集合叫做复数集，一般用字
母C表示 .
实部
虚部
通常用字母 z 表示，即 z a b(a ,ib R )
当 b0时，z 是实数a．
复数
y
Z（a，b）
O
x
5、复数的加法法则
（a+bi）+（c+di）=（a+c）+（b+d）i
6、复数的减法法则
（a+bi）-（c+di）=（a-c）+（b-d）i。 注：两个复数相加（减）就是把实部与实部、虚 部与虚部分别相加（减），即
（a+bi）±（c+di）=（a ± c） + （b±d）i
7、复数的乘法
（3）当 m10，且 m 10，即 m 1 时，
复数z 是纯虚数．
3.两复数相等的充要条件是什么？
如果两个复数的实部和虚部分别相等，那么我们就 说这两个复数相等．即如果 a,b,c,dR，那么
a b c i d a i c , b d
例2 已知 ( 2 x 1 ) i y ( 3 y ) i，其中 x,yR，
acbd(bcad )i c2d2
a c2c b d2db c2c a d2di
9、补充概念。 (1 )复 z a 数 b 的 i |z|2 模 a 2 b 2 ;
(2)复数 zab的 i 共轭复数，z记 a－ 为b： ， i
即实部相等，虚 反部 数成 的相 复数互为 数;共轭
z1·z2=(a+bi)(c+di)= ac+bci+adi+bdi2
=(ac-bd)+(ad+bc)i 注：1、复数的乘法与多项式的乘法类似，但必须 在所得的结果中把i2 换成-1，并把实部与虚部分开。
8、复数的除法 a bi
（a+bi）÷ （c+di) 或
c di
a bi (abi)(cdi) c di (cdi)(cdi)
当 b0时，z 叫做虚数．
当a 0 且 b0时，z bi 叫做纯虚数．
复数集C
虚数集I
实
数
集
R
例1：实数m取什么值时，复数 z m 1 (m 1 )i 是 （1）实数？ （2）虚数？ （3）纯虚数？(口答）
解：（1）当 m 10，即 m 1 时，复数z是实数．
（2）当 m 10，即 m1时，复数z是虚数．
例 5.若 n是奇(数 1＋ i)4n ， (1求 i)4n。
2
2
例6：实数m取什么值时，复数
(m 2 8 m 1 5 ) (m 2 5 m 1 4 )i
对应的点
（1）位于第一、三象限？m 2 或 3 m 5 或 m 7
（2）位于第四象限？ 2 m 3 或 5 m 7
( 3 )z • z ( a b )• ( ia － b ) i a 2 b 2 z2 .
(4)复数的模可以比较大小，一般地，两个复数不能比 较大小，除非两个复数都是实数才可以比较大小。
典型例题：一、代数运算
例3：设w=
1 2
3i 2
求证：
① 1+w+w2=o
②w3=1
例4： i 2002+( 2 + 2 i)8 ( 2 ) 50 1 i
一、基本知识
1.虚数单位是怎样定义的？
虚数单位，规定： （1）它的平方等于-1，即
i2 1
（2）实数可以与它进行四则运算，进行四则运算 时，原有的加、乘运算律仍然成立．
根据对虚数单位i的运算规定易知：
i4 n 1 ,i4 n 1 i,i4 n 2 1 ,i4 n 3 i
答案：C
例10当
2 3
＜m＜1时，复数z=(3m－2)+(m－1)i
在复平面上对应的点位于
A.第一象限 C.第三象限
B.第二象限 D.第四象限
解析：z对应的点为(3m－2，m－1)，
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
∵
2 3
＜m＜1，
∴0＜3m－2＜1，－ 1 ＜m－1＜0.
3
答案：D
例11.设f(n)=( 1 i )n+( 1 i )n(n∈Z)，则集合
小，求b的值。
解：更具复数相等的定义，得方程组
2x 1 y 1 (3 y)
所以 x 5, y 4
2
4.复数的几何意义是怎样的？
复数z=a+bi↔复平面内的点Z（a，b）↔平面向量OZ x轴叫实轴，y轴叫做虚轴，实轴上的点都表示实数； 除了原点，虚轴上的点都表示纯虚数。象限中的点 都表示非纯虚数。
1 1
z z
i
，则
z
1
的值为
.
例14 复数z满足z·z +z+ z =3，则z对应点的轨迹
是____________.
解析：设z=x+yi(x、y∈R)，则x2+y2+2x=3表示圆.
答案：以点（－1，0）为圆心，2为半径的圆
例15 若 z 2 ，则 z i 的最大值为 .
例16 若 zb(ibR)，若使 z2iz23i 的最
1 i 1i
｛x｜x=f(n)｝中元素的个数是
A.1
B.2
C.3
D.无穷多个
解析：∵f(n)=in+(－i)n， ∴f(0)=2，f(1)=i－i=0，f(2)=－1－1=－2，f(3)=－i+i=0. ∴｛x｜x=f(n)｝=｛－2，0，2｝. 答案：C
典型例题：二、复数几何意义的运用
例13若复数z满足
∴ 原式zz＝ 21＝zz 11＝ 1，故（A）正确．
例9.如果复数 2 b i（其中i为虚数单位，b为实数）
1 2i
的实部和虚部互为相反数，那么b等于
A. 2
B. 2
3
C.－ 2
3
D.2
解∴析2－：122 b=2bibi =+4(2，bb=i5)－(1-322i.)=
22b(b4)i 5
例7：已知 z2z4i,求复z.数
例8 若复数z 满足1－z+z2＝0，则
z 1111 1 z 2222 的值等于
（A）1 （B）－1
（C）2
（D）－2
解：z2－z + 1＝0 ， 即(z+1)·(z2－z+1)＝0 即z3+1＝0 ∴ z3＝－1 以下同解法1． ∴ z1111＝(z3)370·z＝z z2222＝(z1111)2＝z2
2.复数的表示形式是怎样的？
形如 ab(ia,b R )的数，叫做复数．
C { z|z a b,其 i a ,b 中 R )
全体复数所形成的集合叫做复数集，一般用字
母C表示 .
实部
虚部
通常用字母 z 表示，即 z a b(a ,ib R )
当 b0时，z 是实数a．
复数
y
Z（a，b）
O
x
5、复数的加法法则
（a+bi）+（c+di）=（a+c）+（b+d）i
6、复数的减法法则
（a+bi）-（c+di）=（a-c）+（b-d）i。 注：两个复数相加（减）就是把实部与实部、虚 部与虚部分别相加（减），即
（a+bi）±（c+di）=（a ± c） + （b±d）i
7、复数的乘法
（3）当 m10，且 m 10，即 m 1 时，
复数z 是纯虚数．
3.两复数相等的充要条件是什么？
如果两个复数的实部和虚部分别相等，那么我们就 说这两个复数相等．即如果 a,b,c,dR，那么
a b c i d a i c , b d
例2 已知 ( 2 x 1 ) i y ( 3 y ) i，其中 x,yR，
acbd(bcad )i c2d2
a c2c b d2db c2c a d2di
9、补充概念。 (1 )复 z a 数 b 的 i |z|2 模 a 2 b 2 ;
(2)复数 zab的 i 共轭复数，z记 a－ 为b： ， i
即实部相等，虚 反部 数成 的相 复数互为 数;共轭
z1·z2=(a+bi)(c+di)= ac+bci+adi+bdi2
=(ac-bd)+(ad+bc)i 注：1、复数的乘法与多项式的乘法类似，但必须 在所得的结果中把i2 换成-1，并把实部与虚部分开。
8、复数的除法 a bi
（a+bi）÷ （c+di) 或
c di
a bi (abi)(cdi) c di (cdi)(cdi)
当 b0时，z 叫做虚数．
当a 0 且 b0时，z bi 叫做纯虚数．
复数集C
虚数集I
实
数
集
R
例1：实数m取什么值时，复数 z m 1 (m 1 )i 是 （1）实数？ （2）虚数？ （3）纯虚数？(口答）
解：（1）当 m 10，即 m 1 时，复数z是实数．
（2）当 m 10，即 m1时，复数z是虚数．
例 5.若 n是奇(数 1＋ i)4n ， (1求 i)4n。
2
2
例6：实数m取什么值时，复数
(m 2 8 m 1 5 ) (m 2 5 m 1 4 )i
对应的点
（1）位于第一、三象限？m 2 或 3 m 5 或 m 7
（2）位于第四象限？ 2 m 3 或 5 m 7
( 3 )z • z ( a b )• ( ia － b ) i a 2 b 2 z2 .
(4)复数的模可以比较大小，一般地，两个复数不能比 较大小，除非两个复数都是实数才可以比较大小。
典型例题：一、代数运算
例3：设w=
1 2
3i 2
求证：
① 1+w+w2=o
②w3=1
例4： i 2002+( 2 + 2 i)8 ( 2 ) 50 1 i
一、基本知识
1.虚数单位是怎样定义的？
虚数单位，规定： （1）它的平方等于-1，即
i2 1
（2）实数可以与它进行四则运算，进行四则运算 时，原有的加、乘运算律仍然成立．
根据对虚数单位i的运算规定易知：
i4 n 1 ,i4 n 1 i,i4 n 2 1 ,i4 n 3 i
答案：C
例10当
2 3
＜m＜1时，复数z=(3m－2)+(m－1)i
在复平面上对应的点位于
A.第一象限 C.第三象限
B.第二象限 D.第四象限
解析：z对应的点为(3m－2，m－1)，
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
∵
2 3
＜m＜1，
∴0＜3m－2＜1，－ 1 ＜m－1＜0.
3
答案：D
例11.设f(n)=( 1 i )n+( 1 i )n(n∈Z)，则集合
小，求b的值。