向量的实际背景与基本概念
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平面向量的实际背景及基本概念
2.1平面向量的实际背景 及基本概念
主讲人:王海田老师
北
前言:
西
Ａ 南
东 Ｂ
位置是几何学研究的重要内容之一,几何中常用点表 示位置,研究如何由一点的位置确定另外一点的位置. 如图,如何由A点确定B点的位置? 一种常用的方法是,以A点为参照点,用B点与A点之间 的方位和距离确定B点的位置,如,B点在A点南偏东45度,30 千米处.这样在A点与B点之间,我们可以用有向线段AB表示 . A B , AB B点相对于A点的位置.有向线段AB就是A点与B点之间的 位移.位移简明地表示了位置之间的相对关系.像位移这种 既有大小又有方向的量,加以抽象,就是我们本章将要研究 的向量. 向量是近代数学中重要和基本的概念之一,有深刻的几 何背景,是解决几何问题的有力工具.向量是沟通代数、几 何与三角函数的一种工具，有着极其丰富的实际背景，在 数学和物理学科中具有广泛的应用。 那么你能举出一些这样既有方向，又有大小的量吗？
练习
练习： 练习： （1）下列各量中是向量的是（ B ） ）下列各量中是向量的是（ A．动能 B．重力 ． ． C．质量 D．长度 ． ．
F （2）等腰梯形 ABCD ，对角线 AC BD相交于点腰 AD 、 上， 过点 P且 EF // AB ，则下列等式正 确的是（ 确的是（ D ） A． AD = BC B．AC = BD ． ．
× ×
零向量 零向量
（5）若两个向量在同一直线上，则这两个向量一定是什 ）若两个向量在同一直线上，
例
的中心， 例2．如图，设 O 是正六边形 ABCDEF 的中心，分别写出图中 ．如图，
OB 、 相等的向量． OC 相等的向量． 与向量OA 、
解： = CB = DO OA OB = DC = EO
主讲人:王海田老师
北
前言:
西
Ａ 南
东 Ｂ
位置是几何学研究的重要内容之一,几何中常用点表 示位置,研究如何由一点的位置确定另外一点的位置. 如图,如何由A点确定B点的位置? 一种常用的方法是,以A点为参照点,用B点与A点之间 的方位和距离确定B点的位置,如,B点在A点南偏东45度,30 千米处.这样在A点与B点之间,我们可以用有向线段AB表示 . A B , AB B点相对于A点的位置.有向线段AB就是A点与B点之间的 位移.位移简明地表示了位置之间的相对关系.像位移这种 既有大小又有方向的量,加以抽象,就是我们本章将要研究 的向量. 向量是近代数学中重要和基本的概念之一,有深刻的几 何背景,是解决几何问题的有力工具.向量是沟通代数、几 何与三角函数的一种工具，有着极其丰富的实际背景，在 数学和物理学科中具有广泛的应用。 那么你能举出一些这样既有方向，又有大小的量吗？
练习
练习： 练习： （1）下列各量中是向量的是（ B ） ）下列各量中是向量的是（ A．动能 B．重力 ． ． C．质量 D．长度 ． ．
F （2）等腰梯形 ABCD ，对角线 AC BD相交于点腰 AD 、 上， 过点 P且 EF // AB ，则下列等式正 确的是（ 确的是（ D ） A． AD = BC B．AC = BD ． ．
× ×
零向量 零向量
（5）若两个向量在同一直线上，则这两个向量一定是什 ）若两个向量在同一直线上，
例
的中心， 例2．如图，设 O 是正六边形 ABCDEF 的中心，分别写出图中 ．如图，
OB 、 相等的向量． OC 相等的向量． 与向量OA 、
解： = CB = DO OA OB = DC = EO
平面向量的实际背景与基本概念
在相等向量旳定义下，任意两个相等旳非 零向量，都可用同一条有向线段表达，而 且与有向线段旳起点无关，在平面上，两 个长度相等且指向一致旳有向线段表达同 一种向量，因为向量完全由它旳方向和模 拟定
如图，a, b, c 是一组平行向量，任作一条与 所分在别直作线出平: O行A旳= 直a 线OlB，=在bl上O任C取= c点O这，则就可是在说l
既有大小，又有方向旳量叫做向量（物理学 中称为矢量） 只有大小，没有方向旳量（如年龄、身高长度 等）叫做数量（物理学中称为标量）
巩固与练习
例1 说说向量与数量旳区别与联络。
主要旳是向量不能够比较大小，而数量能够比 较大小；但是向量旳模是非负数，所以能比较 大小
例3 请同学们思索“向量就是有向线段，有向线段就
任一组平行向量都能够移动到同一条直线上，
所以，平行向量也叫做共线向量。
a
b
c
CO
l BA
巩固与练习
例：如图，D,E ,F分别是等腰Rt△ABC旳各边中点， ∠BAC=90℃。 （1）分别写出图中与向量 DE, FD长度相等旳向量。 （2）分别写出图中与向量 DE,FD 相等旳向量。 （3）分别写出图中与向量 DE, FD 共线旳向量。
是向量”旳说法对吗？
错，有向线段只是向量旳表达，并不是说向量就
是有向线段
next
例2 列物理量不是向量旳是（ ）
① 质量 ② 速度 ③ 位移 ④ 力
⑤ 加速度 ⑥ 旅程 ⑦ 密度
⑧功 next
二、向量旳几何表达
1、数量旳表达：因为实数与数轴上旳点一一相应 所以数量经常用数轴上旳一种点表达。而 且不同旳点表达不同旳数量
向量能够用有向线段表达，于是：
向量AB 旳大小，也就是向量AB 长度（或称模）
如图，a, b, c 是一组平行向量，任作一条与 所分在别直作线出平: O行A旳= 直a 线OlB，=在bl上O任C取= c点O这，则就可是在说l
既有大小，又有方向旳量叫做向量（物理学 中称为矢量） 只有大小，没有方向旳量（如年龄、身高长度 等）叫做数量（物理学中称为标量）
巩固与练习
例1 说说向量与数量旳区别与联络。
主要旳是向量不能够比较大小，而数量能够比 较大小；但是向量旳模是非负数，所以能比较 大小
例3 请同学们思索“向量就是有向线段，有向线段就
任一组平行向量都能够移动到同一条直线上，
所以，平行向量也叫做共线向量。
a
b
c
CO
l BA
巩固与练习
例：如图，D,E ,F分别是等腰Rt△ABC旳各边中点， ∠BAC=90℃。 （1）分别写出图中与向量 DE, FD长度相等旳向量。 （2）分别写出图中与向量 DE,FD 相等旳向量。 （3）分别写出图中与向量 DE, FD 共线旳向量。
是向量”旳说法对吗？
错，有向线段只是向量旳表达，并不是说向量就
是有向线段
next
例2 列物理量不是向量旳是（ ）
① 质量 ② 速度 ③ 位移 ④ 力
⑤ 加速度 ⑥ 旅程 ⑦ 密度
⑧功 next
二、向量旳几何表达
1、数量旳表达：因为实数与数轴上旳点一一相应 所以数量经常用数轴上旳一种点表达。而 且不同旳点表达不同旳数量
向量能够用有向线段表达，于是：
向量AB 旳大小，也就是向量AB 长度（或称模）
人教版高中数学必修42.1平面向量的实际背景及基本概念
注：向量与数量的区分 ①数量只有大小，是一个代数量，可以进行代数运算、比 较大小.
②向量有方向，大小双重属性，而方向是不能比较大小 的，因此向量不能比较大小。
二、向量的概念
在数学中,把既有大小，又有方向的量叫做向量. 在数学中，把只有大小，没有方向的量叫做数量． 注：向量与数量的区分
①数量只有大小，是一个代数量，可以进行代数运算、比 较大小.
②向量有方向，大小双重属性，而方向是不能比较大小 的，因此向量不能比较大小。
注：我们所学的向量常被称为自由向量.
1、有向线段的三要素：起点、方向、长度
B（终点）
向量就是有向线段么？
2、向量的表示
A（起点）
（1）向量的几何表示：可以用有向线段表示.
（2）向量的符号表示：①
a
,
b
,
c
,
. . .印刷体可
当堂测试
1、下列物理量中， 不能称为向量的是
（）
A．距离 B．加速度 C．力 D．位移
2、下列四个命题正确的是
（）
A．两个单位向量一定相等 B．若与不共线，则与都是非零向量
C．共线的单位向量必相等 D．两个相等的向量起点、方向、长度必须都 相同
3、下列说法错误的是
（）
A．向量的长度与向量的长度相等 B．零向量与任意非零向量平行
。② 以用黑体表示向量 AB CD ，
模 向量| AB | 的 长度（大小）就是向量 | AB |的模，
注：向量的模是可以比较大小的。
零向量 :长度为0的向量叫做零向量，记作 0.
记作 | AB |
注：零向量也有方向，并且规定零向量的方向是任意的 单位向量 ：长度等于1个单位的向量叫做单位向量.
②向量有方向，大小双重属性，而方向是不能比较大小 的，因此向量不能比较大小。
二、向量的概念
在数学中,把既有大小，又有方向的量叫做向量. 在数学中，把只有大小，没有方向的量叫做数量． 注：向量与数量的区分
①数量只有大小，是一个代数量，可以进行代数运算、比 较大小.
②向量有方向，大小双重属性，而方向是不能比较大小 的，因此向量不能比较大小。
注：我们所学的向量常被称为自由向量.
1、有向线段的三要素：起点、方向、长度
B（终点）
向量就是有向线段么？
2、向量的表示
A（起点）
（1）向量的几何表示：可以用有向线段表示.
（2）向量的符号表示：①
a
,
b
,
c
,
. . .印刷体可
当堂测试
1、下列物理量中， 不能称为向量的是
（）
A．距离 B．加速度 C．力 D．位移
2、下列四个命题正确的是
（）
A．两个单位向量一定相等 B．若与不共线，则与都是非零向量
C．共线的单位向量必相等 D．两个相等的向量起点、方向、长度必须都 相同
3、下列说法错误的是
（）
A．向量的长度与向量的长度相等 B．零向量与任意非零向量平行
。② 以用黑体表示向量 AB CD ，
模 向量| AB | 的 长度（大小）就是向量 | AB |的模，
注：向量的模是可以比较大小的。
零向量 :长度为0的向量叫做零向量，记作 0.
记作 | AB |
注：零向量也有方向，并且规定零向量的方向是任意的 单位向量 ：长度等于1个单位的向量叫做单位向量.
【精品课件】2.1平面向量的实际背景及基本概念
c
d
向量的平行与直线的平行既有 相同的地方，也有不同的地方。
L1
问题4．如图设O是正六边形ABCDEF的 中心，写出图中与 OA 相等的向量
变式一：与 OA 长度相等的向量有 多少个？
变式二：与 OA共线的 向量有哪些？
练习巩固：
判断正误 (1)零向量的方向是任意的. (√) (2)若 a 0, 则a 0. (X) (3)单位向量的模都相等. (√)
a
b
abc
• 两个条件都要满足； • 零向量与零向量相等； • 任意两个相等的非零向量，都可用 同一条有向线段来表示，并且与有向 线段的起点无关.
c
思考：两个单位向量一定相等吗
？
2.共线向量
平行向量： a, b, c, d
a
b 任意一组平行向量都可以平移
到同一直线上，所平行向量也叫共 线向量（课本P76)
既有大小，又有方向的量叫做向量 (vector)
只有大小的量，例如，年龄、身高、 长度、面积、体积等，称为数量。
二. 表示法
１. 数量的表示：
由于实数与数轴上的点一一对应，所以数 量常常用数轴上的一个点表示，如3，2， -1，…而且不同的点表示不同的数量。
-1
0
1
2
3
链接：物理中，矢量的表示法
用有向线 段表示力
作业： 1、课本77页练习题，完成在书上 2、课本77页习题2.1 A组1, 2,3,5,
2014年7月6日星期日
引入１： 猫与老鼠
问题：一只老鼠和一只猫相距６米，老鼠以每秒４米 的速度逃窜,猫以每秒７米的速度追,猫在多少时间里 会追上老鼠？
引入２ 故事：南辕北辙 ————《战国策》
平面向量的实际背景及基本概念
向量的减法
要点一
性质
向量减法满足反交换律，即 $\overset{\longrightarrow}{a} \overset{\longrightarrow}{b} = \overset{\longrightarrow}{b} + \overset{\longrightarrow}{a}$。同时，向量减法不满 足结合律。
• 意义：数乘向量在实际问题中具有重要意义，如表示平行四边形和梯形的性质、求解物理问题中等。
向量的点乘
• 定义：两个向量之间的点乘运算称为内积或标量积。点乘结 果是一个实数，记作$\overset{\longrightarrow}{a} \cdot \overset{\longrightarrow}{b}$。
向量的加法
• 性质：向量加法满足交换律和结合律，即$\overset{\longrightarrow}{a} + \overset{\longrightarrow}{b} = \overset{\longrightarrow}{b} + \overset{\longrightarrow}{a}$，$(\overset{\longrightarrow}{a} + \overset{\longrightarrow}{b}) + \overset{\longrightarrow}{c} = \overset{\longrightarrow}{a} + (\overset{\longrightarrow}{b} + \overset{\longrightarrow}{c})$。
向量的点乘
• 性质：点乘满足交换律和分配律，即$\overset{\longrightarrow}{a} \cdot \overset{\longrightarrow}{b} = \overset{\longrightarrow}{b} \cdot \overset{\longrightarrow}{a}$， $(\lambda\mu)\overset{\longrightarrow}{a} = \lambda(\mu\overset{\longrightarrow}{a})$。此外， 点乘还满足正交变换不变性和垂直性质。
高一数学必修四 平面向量的实际背景及基本概念课件
（2）零向量与零向量相等； （3）任意两个相等的非零向量，都可用同一条有 向线段来表示，并且与有向线段的起点无关.在平 面上，两个长度相等且指向一致的有向线段表示 同一个向量，因为向量完全由它的方向和模确定.
问题2：两个向量是否可以比较大小？
向量不能比较大小，我们知道，长度相等且方向相同
的两个向量表示相等向量，但是两个向量之间只有相等
种理想和幻想。这并不是什么毛病，而是
一种宝贵品质。
——加里宁
结语
谢谢大家！
我们可以对位移、力……这些既有大小又有方向的量 进行抽象，形成一种新的量.这种量就是我们本章所要研 究的——向量.
向量的概念：我们把既有大小又有方向的量叫向量（物
理学中常称为矢量）. 而把那些只有大小，没有方向的量如年龄、身高、长
度、面积、体积、质量等，称为数量,物理学中常称为标量. 注意：数量与向量的区别，数量只有大小，是一个代数量， 可以进行代数运算、比较大小；向量有方向，大小，双重 性，不能比较大小.
解：（1）DE、BF、FB、FA、
A
AF、ED、MC
F
E
M
（2）FB、AF、MC
B
D
C
4. 在平面上把所有单位向量的起点平移到同一点P，那 么它们的终点的集合组成什么图形？
P
向量的概念: 向量的表示方法： 零向量、单位向量概念： 平行向量的定义： 相等向量的定义： 共线向量与平行向量关系：
无论哪个时代，青年的特点总是怀抱着名
1:8000000
解： AB表示A地至B地的位移，且
AB 240km .
AC 表示A地至C地的位移，且 AC 300km .
相等向量与共线向量 平行向量定义：
a b c
问题2：两个向量是否可以比较大小？
向量不能比较大小，我们知道，长度相等且方向相同
的两个向量表示相等向量，但是两个向量之间只有相等
种理想和幻想。这并不是什么毛病，而是
一种宝贵品质。
——加里宁
结语
谢谢大家！
我们可以对位移、力……这些既有大小又有方向的量 进行抽象，形成一种新的量.这种量就是我们本章所要研 究的——向量.
向量的概念：我们把既有大小又有方向的量叫向量（物
理学中常称为矢量）. 而把那些只有大小，没有方向的量如年龄、身高、长
度、面积、体积、质量等，称为数量,物理学中常称为标量. 注意：数量与向量的区别，数量只有大小，是一个代数量， 可以进行代数运算、比较大小；向量有方向，大小，双重 性，不能比较大小.
解：（1）DE、BF、FB、FA、
A
AF、ED、MC
F
E
M
（2）FB、AF、MC
B
D
C
4. 在平面上把所有单位向量的起点平移到同一点P，那 么它们的终点的集合组成什么图形？
P
向量的概念: 向量的表示方法： 零向量、单位向量概念： 平行向量的定义： 相等向量的定义： 共线向量与平行向量关系：
无论哪个时代，青年的特点总是怀抱着名
1:8000000
解： AB表示A地至B地的位移，且
AB 240km .
AC 表示A地至C地的位移，且 AC 300km .
相等向量与共线向量 平行向量定义：
a b c
《平面向量的实际背景及基本概念》教案全面版
《平面向量的实际背景及基本概念》教案全面版一、教学目标：1. 了解平面向量的实际背景，理解向量的概念及物理意义。
2. 掌握平面向量的基本运算，包括加法、减法、数乘和共线定理。
3. 能够运用平面向量的知识解决实际问题。
二、教学内容：1. 平面向量的实际背景：引入向量的概念，解释向量在物理学、几何学等领域的应用。
2. 向量的概念：定义向量的基本属性，包括大小、方向和起点。
3. 向量的表示：介绍平面向量的几何表示法和坐标表示法。
4. 向量的加法：定义向量加法，讲解平行四边形法则和三角形法则。
5. 向量的减法：定义向量减法，转化为加法运算。
6. 向量的数乘：定义向量的数乘，讲解数乘对向量大小和方向的影响。
7. 向量共线定理：介绍共线定理及其应用。
三、教学方法：1. 采用问题驱动的教学方法，引导学生从实际问题中抽象出向量的概念。
2. 利用几何图形和物理情境，帮助学生直观地理解向量的运算。
3. 运用案例分析和练习题，巩固学生对向量知识的理解和应用。
四、教学评估：1. 通过课堂提问，检查学生对向量概念的理解。
2. 布置课后作业，检验学生掌握向量运算的能力。
3. 进行小组讨论和报告，评估学生对向量应用问题的解决能力。
五、教学资源：1. 教案、PPT课件。
2. 几何图形和物理情境的图片或视频。
3. 练习题和案例分析题。
4. 小组讨论和报告的评价标准。
六、教学重点与难点：1. 教学重点：向量的概念、表示方法、基本运算（加法、减法、数乘）及共线定理。
2. 教学难点：向量加法、减法的几何意义，数乘对向量的影响，共线定理的应用。
七、教学步骤：1. 引入向量的概念：通过实际问题，引导学生认识向量，理解向量表示物体运动和力的作用。
2. 向量的表示：讲解几何表示法和坐标表示法，让学生能用图形和坐标表示向量。
3. 向量加法：讲解平行四边形法则和三角形法则，让学生理解向量加法的几何意义。
4. 向量减法：转化为加法运算，让学生掌握减法与加法的联系。
2.1平面向量的实际背景及基本概念
向量的几何表示 方向相同或相反的非零向量叫做平行向量
a
b
记作 a ∥ b ∥c
c
规定: 零向量与任一向量平行, 即对于任意向量a,都有0∥a
相等向量：长度相等且方向相同的向量。
a
b
记作: a = b
共线向量 任一组平行向量都可以移动到 同一直线上 a 平行向量也叫做共线向量。
b c
l
C
o B A
比较大小的，因此向量不能比较大小。
友情链接：物理中向量与数量分别叫做
矢量、标量
判断题
1.身高是一个向量（ ）
）
2.温度含零上和零下温度，所以温度是向量（
3.坐标平面上的 x 轴和 y 轴都是(
)
Hale Waihona Puke 2.1.2向量的几何表示 由于实数与数轴上的点一一对应,所以 数量常常用数轴上的一个点表示。 如：3,2,-1,…而且不同的点表示不同 的数量.
B
（知道了有向线段的起点、方向和长度， 它的终点就可以唯一确定.）
A
向量的几何表示：用有向线段表示。 向量AB的大小,也就是向量AB的长度（或 称模）,记作|AB|.
长度为0的向量叫做零向量（方向任意）。 记作0. |0|=0.
长度等于1个单位的向量，叫做单位向量. 向量的字母表示：（1）a、b、c.... （2）用表示向量的有向线段的起点和终 点字母表示，例如，AB，CD
思考：有向线段就是向量，向量就是有 向线段？ 有向线段只是一个几何图形，是 向量直观表示
例1 如图,试根据图中的比例尺以及三地 的位置,在图中分别用有向线段表示A地 至B、C两地的位移(精确到1km).
解:
AB表示A地至B地的位移,且
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任意向量a,都有0//a .
a
b
l
•
C
O BA
c
2020年6月19日星期五
ห้องสมุดไป่ตู้
相等向量: 长度相等且方向相同的向量,称之. 例1、设O是正六边形ABCDEF的中心,分
别写出图中与OA ,OB ,OC相等的向量.
B
A
解：OA CB DO；
C
O
F OB DC EO；
OC AB ED FO
D
E
§ 2.1 向量的实际背景 及基本概念
2020年6月19日星期五
引入
向量:
数学中,既有大小,又有方向的量,称之.
数学: 向量 数量
物理 : 矢量 标量
2020年6月19日星期五
新课
关于有向线段:
B
(1)带有方向的线段,称之; A
(2)有向线段的三要素:起点,方向,长度.
关于向量的表示: (1)向量可以用有向线段表示,如AB ,CD ; (2)向量也可以用小写字母表示,如a , b .
2020年6月19日星期五
关于向量的大小:
(1)向量AB 的大小,也就是向量AB 的长度(
或称模),记做| AB |; (2)长度为0的向量叫做零向量,记做0; (3)长度等于一个单位的向量,叫做单位向 量.
2020年6月19日星期五
关于平行向量(共线向量): (1)方向相同或相反的非零向量,称之; (2)规定:零向量与任一向量平行,即对于
2020年6月19日星期五
小结
一. 描述向量的两个指标：模和 方向.
二. 平行向量不是平面几何中的 平行线段的简单类比.
三. 向量的图示，要标上箭头和 始点、终点.
2020年6月19日星期五
作业
课本88页习题2.1第3、5题
2020年6月19日星期五
2020年6月19日星期五
a
b
l
•
C
O BA
c
2020年6月19日星期五
ห้องสมุดไป่ตู้
相等向量: 长度相等且方向相同的向量,称之. 例1、设O是正六边形ABCDEF的中心,分
别写出图中与OA ,OB ,OC相等的向量.
B
A
解：OA CB DO；
C
O
F OB DC EO；
OC AB ED FO
D
E
§ 2.1 向量的实际背景 及基本概念
2020年6月19日星期五
引入
向量:
数学中,既有大小,又有方向的量,称之.
数学: 向量 数量
物理 : 矢量 标量
2020年6月19日星期五
新课
关于有向线段:
B
(1)带有方向的线段,称之; A
(2)有向线段的三要素:起点,方向,长度.
关于向量的表示: (1)向量可以用有向线段表示,如AB ,CD ; (2)向量也可以用小写字母表示,如a , b .
2020年6月19日星期五
关于向量的大小:
(1)向量AB 的大小,也就是向量AB 的长度(
或称模),记做| AB |; (2)长度为0的向量叫做零向量,记做0; (3)长度等于一个单位的向量,叫做单位向 量.
2020年6月19日星期五
关于平行向量(共线向量): (1)方向相同或相反的非零向量,称之; (2)规定:零向量与任一向量平行,即对于
2020年6月19日星期五
小结
一. 描述向量的两个指标：模和 方向.
二. 平行向量不是平面几何中的 平行线段的简单类比.
三. 向量的图示，要标上箭头和 始点、终点.
2020年6月19日星期五
作业
课本88页习题2.1第3、5题
2020年6月19日星期五
2020年6月19日星期五