高一数学平面向量基本定理及坐标表示1
第二节向量基本定理及坐标表示
2. 平面向量基本定理及坐标表示 (1)平面向量基本定理 不共线 向量,那么对于这一 定理:如果e1,e2是同一平面内的两个 平面内的任意向量a, 有且只有 一对实数λ1、λ2,使 a=λ1e1+λ2e2 .其中, 不共线的向量e1,e2 叫做表示这一平面内 所有向量的一组基底. (2)平面向量的正交分解 把一个向量分解为两个互相垂直 的向量,叫做把向量正交分解. (3)平面向量的坐标表示 ①在平面直角坐标系中,分别取与x轴、y轴方向相同的两个单位 向量i,j作为基底.对于平面内的一个向量a,有且只有一对实数x、 y,使a=xi+yj.把有序数 (x,y) 对叫做向量a的坐标,记作a= , (x,y) 叫a在x轴上的坐标, y x 其中 叫a在y轴上的坐标. ②设OA=xi+yj,则 向量OA的坐标(x,y) 就是终点A的坐标,即若 (x,y) ,反之亦成立(O是坐标原点). OA=(x,y),则A点坐标为
1 ）b, 3
）=
1 9
,
∴
1 (m+n)=mn,即 3
1 1 m n
=3.
题型二 平面向量的坐标运算
【例2】已知O(0,0)、A(1,2)、B(4,5)及OP=OA+tAB,试 问: (1)当t为何值时,P在x轴上?P在第二象限? (2)四边形OABP能否构成平行四边形?若能,求出相应的t 值;若不能,请说明理由.
第二节 平面向量的基本定理及坐标表示
基础梳理
1. 两个向量的夹角 (1)定义 非零 向量a和b,作OA=a,OB=b,则∠AOB=θ叫做 已知两个 向量a与b的夹角. (2)范围 向量夹角θ的范围是 0°≤θ≤180° ,a与b同向时, 夹角θ= 0° ;a与b反向时,夹角θ= 180° . (3)向量垂直 如果向量a与b的夹角是 90°,则a与b垂直,记作 a⊥b .
平面向量基本定理及坐标表示
3．平面向量共线的坐标表示 设 a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，其中 b≠0.a，b 共线⇔ x1y2－x2y1＝0 .
[熟记常用结论] 1．若 a 与 b 不共线，且 λa＋μb＝0，则 λ＝μ＝0. 2．已知 P 为线段 AB 的中点，若 A(x1，y1)，B(x2，y2)，则 P 点坐标为x1＋2 x2，y1＋2 y2. 3．已知△ABC 的顶点 A(x1，y1)，B(x2，y2)，C(x3，y3)，则△ABC 的重心 G 的坐 标为x1＋x32＋x3，y1＋y32＋y3. 4．A(x1，y1)，B(x2，y2)，C(x2，y3)三点共线的充要条件为(x2－x1)(y3－y1)－(x3－x1)(y2 －y1)＝0，或(x2－x1)(y3－y2)＝(x3－x2)(y2－y1)，或(x3－x1)(y3－y2)＝(x3－x2)·(y3－y1)．
(4)若 a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则 a∥b 的充要条件可表示成xx21＝yy12.( × ) (5)平面向量不论经过怎样的平移变换之后其坐标不变．( √ ) (6)当向量的起点在坐标原点时，向量的坐标就是向量终点的坐标．( √ )
题组二 教材改编 2．已知▱ABCD 的顶点 A(－1，－2)，B(3，－1)，C(5,6)，则顶点 D 的坐标为________． 解析：设 D(x，y)，则由A→B＝D→C，得(4,1)＝(5－x，6－y)， 即14＝＝65－－yx，， 解得yx＝＝51.，
边上一点，B→C＝3E→C，F 为 AE 的中点，则B→F＝( )
A.23A→B－13A→D C．－23A→B＋13A→D
B.13A→B－23A→D D．－13A→B＋23A→D
解析：如图，取 AB 的中点 G，连接 DG，CG，易知四边形 DCBG 为平行四边形，
平面向量基本定理及坐标表示-高考数学复习
1. 理解平面向量基本定理及其意义.
2. 借助平面直角坐标系，掌握平面向量的正交分解及坐标表示.
3. 会用坐标表示平面向量的加、减运算与数乘运算.
4. 能用坐标表示平面向量共线的条件.
目录
1
C O N T E N T S
2
3
知识 逐点夯实
考点 分类突破
课时 跟踪检测
PART
3
3
2
3
目录
高中总复习·数学
平面向量的坐标运算
【例2】 （1）已知 a ＝（5，－2）， b ＝（－4，－3），若 a －2 b
＋3 c ＝0，则 c ＝（
）
目录
高中总复习·数学
1
解析：∵ a －2 b ＋3 c ＝0，∴ c ＝－ （ a －2 b ）.∵ a －2 b
3
1
＝（5，－2）－（－8，－6）＝（13，4），∴ c ＝－ （ a －2
2
1
∴ ＝± ，设点 P （ m ， n ），则 ＝（ m ， n ）， ＝（6－
－ y 1） ，｜ ｜＝
（2 − 1 ）2 ＋（2 − 1 ）2
.
目录
高中总复习·数学
提醒
若 a ＝（ x 1， y 1）， b ＝（ x 2， y 2），则 a ＝ b
1 ＝2 ，
⇔ቊ ＝ .
1
2
目录
高中总复习·数学
3. 平面向量共线的坐标表示
设 a ＝（ x 1， y 1）， b ＝（ x 2， y 2）， a ∥ b ⇔
不妨设 AB ＝1，则 CD ＝ AD ＝2，∴ C （2，0），
A （0，2）， B （1，2）， E （0，1），∴ ＝
高一数学人教A版必修4课件：2.3.1 平面向量基本定理
跟踪训练 2 如图，已知△ABC 中，D 为 BC 的 中点，E，F 为 BC 的三等分点，若A→B＝a，A→C
＝b，用 a、b 表示A→D、A→E、A→F 解 A→D＝A→B＋B→D＝A→B＋12B→C ＝a＋12(b－a)＝12a＋12b； A→E＝A→B＋B→E＝A→B＋13B→C
明目标、知重点
2.准确理解平面向量基本定理 (1)平面向量基本定理的实质是向量的分解，即平面内任一向量 都可以沿两个不共线的方向分解成两个向量和的形式，且分解 是唯一的. (2)平面向量基本定理体现了转化与化归的数学思想，用向量解 决几何问题时，我们可以选择适当的基底，将问题中涉及的向 量向基底化归，使问题得以解决.
明目标、知重点
思考 3 如图，△ABC 中，A→C与A→B的夹角与C→A与 A→B的夹角是否相同？ 答 不相同，它们互补.A→C与A→B的夹角为∠CAB，而C→A与A→B的夹 角为 π－∠CAB.
明目标、知重点
例1 已知e1，e2是平面内两个不共线的向量，a＝3e1－2e2， b＝－2e1＋e2，c＝7e1－4e2，试用向量a和b表示c. 解 ∵a，b不共线，
→→ 以OA，OB为邻边作平行四边形 OACB，则
→
→
OC＝a＋b，BA＝a－b.
∵|a|＝|b|，∴平行四边形OACB为菱形.
明目标、知重点
∴O→C与O→A的夹角∠AOC＝60°， B→A与O→A的夹角即为B→A与B→C的夹角∠ABC＝30°. ∴a＋b与a的夹角为60°，a－b与a的夹角为30°. 反思与感悟 求两个向量的夹角，关键是利用平移的方法使两个 向量的起点重合，根据向量夹角的概念确定夹角，再依据平面图 形的知识求解向量的夹角.过程简记为“一作二证三算”.
平面向量的基本定理及坐标表示
平面向量的基本定理及坐标表示【考点梳理】1．平面向量基本定理(1)定理：如果e 1，e 2是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任意向量a ，有且只有一对实数λ1，λ2，使a ＝λ1e 1＋λ2e 2.(2)基底：不共线的向量e 1，e 2叫做表示这一平面内所有向量的一组基底． 2．平面向量的坐标表示在平面直角坐标系中，分别取与x 轴、y 轴方向相同的两个单位向量i ，j 作为基底，该平面内的任一向量a 可表示成a ＝x i ＋y j ，由于a 与数对(x ，y )是一一对应的，把有序数对(x ，y )叫做向量a 的坐标，记作a ＝(x ，y )，其中a 在x 轴上的坐标是x ，a 在y 轴上的坐标是y .3．平面向量的坐标运算(1)向量加法、减法、数乘及向量的模 设a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，则a ＋b ＝(x 1＋x 2，y 1＋y 2)，a －b ＝(x 1－x 2，y 1－y 2)，λa ＝(λx 1，λy 1)，|a |＝x 21＋y 21.(2)向量坐标的求法①若向量的起点是坐标原点，则终点坐标即为向量的坐标． ②设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则AB →＝(x 2－x 1，y 2－y 1)， |AB →|＝(x 2－x 1)2＋(y 2－y 1)2. 4．平面向量共线的坐标表示设a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，其中b ≠0.a ，b 共线⇔x 1y 2－x 2y 1＝0. 【考点突破】考点一、平面向量基本定理及其应用【例1】(1)设D ，E ，F 分别为△ABC 的三边BC ，CA ，AB 的中点，则EB →＋FC →＝( )A ．AD →B ．12AD →C ．12BC →D ．BC →(2)在平行四边形ABCD 中，E 和F 分别是边CD 和BC 的中点，若AC →＝λAE →＋μAF →，其中λ，μ∈R ，则λ＋μ＝________.[答案] (1) A (2)43[解析] (1)如图所示，EB →＋FC →＝(EC →－BC →)＋(FB →＋BC →) ＝EC →＋FB →＝12AC →＋12AB →＝12(AC →＋AB →)＝AD →.(2)选择AB →，AD →作为平面向量的一组基底，则AC →＝AB →＋AD →，AE →＝12AB →＋AD →，AF →＝AB →＋12AD →，又AC →＝λAE →＋μAF →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12λ＋μAB →＋⎝ ⎛⎭⎪⎫λ＋12μAD →，于是得⎩⎪⎨⎪⎧12λ＋μ＝1，λ＋12μ＝1，解得⎩⎪⎨⎪⎧λ＝23，μ＝23，所以λ＋μ＝43. 【类题通法】1.应用平面向量基本定理表示向量的实质是利用平行四边形法则或三角形法则进行向量的加、减或数乘运算.2.用平面向量基本定理解决问题的一般思路是：先选择一组基底，并运用该基底将条件和结论表示成向量的形式，再通过向量的运算来解决.【对点训练】1．已知点M 是△ABC 的边BC 的中点，点E 在边AC 上，且EC →＝2AE →，则向量EM →＝( )A ．12AC →＋13AB → B ．12AC →＋16AB → C ．16AC →＋12AB →D ．16AC →＋32AB →[答案] C[解析] 如图，∵EC →＝2AE →，∴EM →＝EC →＋CM →＝23AC →＋12CB →＝23AC →＋12(AB →－AC →)＝12AB →＋16AC →.2．如图，在平行四边形ABCD 中，AC ，BD 相交于点O ， E 为线段AO 的中点.若BE →＝λBA →＋μBD →(λ，μ∈R )，则λ＋μ＝________.[答案] 34[解析] 由题意可得BE →＝12BA →＋12BO →＝12BA →＋14BD →，由平面向量基本定理可得λ＝12，μ＝14，所以λ＋μ＝34.考点二、平面向量的坐标运算【例2】(1)向量a ，b 满足a ＋b ＝(－1，5)，a －b ＝(5，－3)，则b 为( ) A ．(－3，4) B ．(3，4) C ．(3，－4)D ．(－3，－4)(2)向量a ，b ，c 在正方形网格中，如图所示，若c ＝λa ＋μb (λ，μ∈R )，则λμ＝( )A ．1B ．2C ．3D ．4 [答案] (1)A (2)D[解析] (1)由a ＋b ＝(－1，5)，a －b ＝(5，－3)， 得2b ＝(－1，5)－(5，－3)＝(－6，8)， ∴b ＝12(－6，8)＝(－3，4)，故选A.(2)以向量a ，b 的交点为坐标原点，建立如图直角坐标系(设每个小正方形边长为1)，A (1，－1)，B (6，2)，C (5，－1)，所以a ＝(－1，1)，b ＝(6，2)，c ＝(－1，－3)，∵c ＝λa ＋μb ，∴⎩⎨⎧－1＝－λ＋6μ，－3＝λ＋2μ，解之得λ＝－2且μ＝－12，因此，λμ＝－2－12＝4，故选D.【类题通法】1.巧借方程思想求坐标：若已知向量两端点的坐标，则应先求出向量的坐标，解题过程中注意方程思想的应用.2.向量问题坐标化：向量的坐标运算，使得向量的线性运算都可以用坐标来进行，实现了向量运算的代数化，将数与形结合起来，使几何问题转化为数量运算问题.【对点训练】1．已知点A (－1，5)和向量a ＝(2，3)，若AB →＝3a ，则点B 的坐标为( ) A ．(7，4) B ．(7，14) C ．(5，4) D ．(5，14)[答案] D[解析] 设点B 的坐标为(x ，y )，则AB →＝(x ＋1，y －5). 由AB →＝3a ，得⎩⎨⎧x ＋1＝6，y －5＝9，解得⎩⎨⎧x ＝5，y ＝14.2．已知向量a ＝(2，1)，b ＝(1，－2).若m a ＋n b ＝(9，－8)(m ，n ∈R )，则m －n 的值为________.[答案] －3[解析] 由向量a ＝(2，1)，b ＝(1，－2)，得m a ＋n b ＝(2m ＋n ，m －2n )＝(9，－8)，则⎩⎨⎧2m ＋n ＝9，m －2n ＝－8，解得⎩⎨⎧m ＝2，n ＝5，故m －n ＝－3.考点三、平面向量共线的坐标表示【例3】(1)已知向量a ＝(－1，1)，b ＝(3，m )，若a ∥(a ＋b )，则m ＝( ) A ．－2 B ．2 C ．－3D ．3(2) 已知A (2，3)，B (4，－3)，点P 在线段AB 的延长线上，且|AP |＝32|BP |，则点P 的坐标为________.[答案] (1)C (2) (8，－15)[解析] (1)由题意可知a ＋b ＝(2,1＋m )， ∵a ∥(a ＋b )，∴2＋(m ＋1)＝0⇒m ＝－3.(2) 设P (x ，y )，由点P 在线段AB 的延长线上， 则AP →＝32BP →，得(x －2，y －3)＝32(x －4，y ＋3)， 即⎩⎪⎨⎪⎧x －2＝32（x －4），y －3＝32（y ＋3）.解得⎩⎨⎧x ＝8，y ＝－15.所以点P 的坐标为(8，－15). 【类题通法】1.两平面向量共线的充要条件有两种形式：(1)若a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，则a ∥b 的充要条件是x 1y 2－x 2y 1＝0；(2)若a ∥b (b ≠0)，则a ＝λb .2.向量共线的坐标表示既可以判定两向量平行，也可以由平行求参数.当两向量的坐标均非零时，也可以利用坐标对应成比例来求解.【对点训练】1．若三点A (1，－5)，B (a ，－2)，C (－2，－1)共线，则实数a 的值为________. [答案] －54[解析] AB →＝(a －1，3)，AC →＝(－3，4)，根据题意AB →∥AC →， ∴4(a －1)－3×(－3)＝0，即4a ＝－5，∴a ＝－54.2．已知点A (－1，2)，B (2，8)，AC →＝13AB →，DA →＝－13BA →，则CD →的坐标为________. [答案] (－2，－4)[解析] 设点C ，D 的坐标分别为(x 1，y 1)，(x 2，y 2). 由题意得AC →＝(x 1＋1，y 1－2)，AB →＝(3，6)， DA →＝(－1－x 2，2－y 2)，BA →＝(－3，－6). 因为AC →＝13AB →，DA →＝－13BA →， 所以有⎩⎨⎧x 1＋1＝1，y 1－2＝2和⎩⎨⎧－1－x 2＝1，2－y 2＝2.解得⎩⎨⎧x 1＝0，y 1＝4和⎩⎨⎧x 2＝－2，y 2＝0.所以点C ，D 的坐标分别为(0，4)，(－2，0)， 从而CD →＝(－2，－4).。
平面向量的基本定理及坐标运算
一、平面向量的基本定理（1）平面向量基本定理：如果1e 和2e 是一平面内的两个不平行的向量，那么该平面内的任一向量a ，存在唯一的一对实数1a ，2a ，使a =1122a e a e +．（2） 基底：我们把不共线向量1e ，2e 叫做表示这一平面内所有向量的一组基底，记作{}12,e e ．1122a e a e +叫做向量a 关于基底{}12,e e 的分解式． 注：①定理中1e ，2e 是两个不共线向量；②a 是平面内的任一向量，且实数对1a ，2a 是惟一的； ③平面的任意两个不共线向量都可作为一组基底．（3）平面向量基本定理的证明：在平面内任取一点O ，作11OE e =，22OE e =，OA a =．由于1e 与2e 不平行，可以进行如下作图：过点A 作2OE 的平行（或重合）直线，交直线1OE 于点M ，过点A 作1OE 的平行（或重合）直线，交直线2OE 于点N ，于是依据平行向量基本定理，存在两个唯一的实数1a 和2a 分别有11OM a e =，22ON a e =，所以1122a OA OM ON a e a e ==+=+证明表示的唯一性：如果存在另对实数x ，y 使12OA xe ye =+，则112212a e a e xe ye +=+，即1122()()0x a e y a e -+-=，由于1e 与2e 不平行，如果1x a -与2y a -中有一个不等于0，不妨设20y a -≠，则1212x a e e y a -=--，由平行向量基本定理，得1e 与2e 平行，这与假设矛盾，因此10x a -=，20y a -=，即1x a =，2y a =．二、向量的正交分解与向量的直角坐标运算：（1）向量的直角坐标：如果基底的两个基向量1e ，2e 互相垂直，则称这个基底为正交基底．在正交基底下分解向量，叫做正交分解．（2）向量的坐标表示：在直角坐标系中，一点A 的位置被点A 的位置向量OA 所唯一确定．设点A 的坐标为(,)x y ，由平面向量基本定理，有12(,)OA xe ye x y =+=，即点A 的位置向量OA 的坐标(,)x y ，也就是点A 的坐标；反之，点A 的坐标也是点A 相对于坐标原点的位置向量OA 的坐标．E 2E 1e 2e 1O ANMae1e 2axyO O yxae 2e 1平面向量的基本定理及坐标运算（3）向量的直角坐标运算：设12(,)a a a =，12(,)b b b =，则 ①1122(,)a b a b a b +=++；②1122(,)a b a b a b -=--；③1212(,)(,)a a a a a λλλλ==注：①两个向量的和与差的坐标等于两个向量相应坐标的和与差；②数乘向量的积的坐标等于数乘以向量相应坐标的积．（4）若11(,)A x y ，22(,)B x y ，则向量2121(,)AB OB OA x x y y =-=--；即：一个向量的坐标等于向量的终点的坐标减去始点的坐标．（5）用平面向量坐标表示向量共线条件：设12(,)a a a =，12(,)b b b =，则12210a b a b -=就是两个向量平行的条件．若向量b 不平行于坐标轴，即10b ≠，20b ≠，则两个向量平行的条件是，相应坐标成比例．题型一、平面向量的基本定理【例1】 若已知1e 、2e 是平面上的一组基底，则下列各组向量中不能作为基底的一组是（ ）A ．1e 与2e -B ．31e 与22eC ．1e ＋2e 与1e —2eD ．1e 与21e【例2】 线段与互相平分，则可以表示为（ ）A ．B ．C ．D ． 【例3】 已知ABCD □的两条对角线交于点O ，设AB a =，AD b =，用向量a 和b 表示向量BD ，AO ．【例4】 如图，平行四边形ABCD 中，E F 、分别是BC DC 、的中点，G 为DE BF 、的交点，若AB =a ，AD =b ，试以a ，b 为基底表示DE 、BF 、CG ．AB CD BD AB CD -1122AB CD -+1()2AB CD -()AB CD --GFE DCBA【例5】 设P 是正六边形OABCDE 的中心，若OA a =，OE b =，试用向量a ，b 表示OB 、OC 、OD【例6】 已知向量a ，b 不共线，()R c ka b k =+∈，d a b =-，如果c d ∥，那么（ ）A ．1k =且c 与d 同向B ．1k =且c 与d 反向C ．1k =-且c 与d 同向D ．1k =-且c 与d 反向【例7】 已知四边形ABCD 是菱形，点P 在对角线AC 上（不包括端点A ，C ），则AP 等于（ ）A ．()AB AD λ+，(01)λ∈， B ．()AB BC λ+，202λ⎛⎫∈ ⎪ ⎪⎝⎭， C ．()AB AD λ+，202λ⎛⎫∈ ⎪ ⎪⎝⎭，D ．()AB BC λ-，202λ⎛⎫∈ ⎪ ⎪⎝⎭， 【例8】 已知向量a b ，不共线，m n ，为实数，则当0ma nb +=时，有m n += 【例9】 在平行四边形ABCD 中，E 和F 分别是边CD 和BC 的中点．若AC AE AF λμ=+，其中λ，R μ∈，则λμ+= ．【例10】证明：若向量,,OA OB OC 的终点A B C 、、共线，当且仅当存在实数,λμ满足等式1λμ+=，使得OC OB OA λμ=+．POE DCBAFEDCBAOCBA题型二、平面向量的坐标表示与运算【例11】设向量(23),AB =，且点A 的坐标为(12),，则点B 的坐标为 ． 【例12】若(21),a =，(34),b =-则34a b +的坐标为_________． 【例13】设平面向量()()3,5,2,1a b ==-，则2a b -=（ ）A ．()6,3B ．()7,3C ．()2,1D ．()7,2【例14】已知(2,3),(1,2)a x b y =-=+，若a b =，则x = ，y = ． 【例15】若()0,1A ，()1,2B ，()3,4C ，则AB -2BC = 【例16】若()3,2M -，()5,1N --且12MP =MN ，求P 点的坐标．【例17】已知向量()1,0a =，()0,1b =，()R c ka b k =+∈，d a b =-，如果那么（ ）A ．且与同向B ．且与反向C ．且与同向D ．且与反向【例18】已知向量()11a =，，()2b x =，若a b +与42b a -平行，则实数的值是（ ） A ．2- B ．0 C ．1 D ．2【例19】在平面直角坐标系xoy 中，四边形ABCD 的边AB DC ∥，AD BC ∥，已知点()2,0A -，()6,8B ，()8,6C ，则D 点的坐标为___________．【例20】已知向量()3,1a =，()1,3b =，(),7c k =，若()a c -∥b ，则= ． 【例21】已知()12a =，，()32b =-，，当ka b +与3a b -平行，k 为何值（ ）A ．14 B ．－14 C ．－13 D ．13【例22】已知(1,2),(3,2)a b ==-，当实数k 取何值时，k a ＋2b 与2a -4b 平行？//c d 1k =c d 1k =c d 1k =-c d 1k =-c d x k【例23】点(23),A 、(54),B 、(710),C ，若()R AP AB AC λλ=+∈，试求λ为何值时，点P 在一、三象限角平分线上．【练1】 在ABC △中，AB c =，AC b =．若点D 满足2BD DC =，则AD =（ ）A ．2133b c +B ．5233c b -C ．2133b c -D ．1233b c +【练2】 如图，在ABC △中，点O 是BC 的中点，过点O 的直线分别交直线AB ，AC 于不同的两点M N ，，若AB mAM =，AC nAN =，则m n +的值为．【练3】 已知两个向量()()121a b x ==，，，，若a b ∥，则x 的值等于（ ） A ．12-B ．12C ．2-D ．2【练4】 若平面向量a ，b 满足1a b +=，a b +平行于轴，()21b =-，，则a = ．DCBAONMCBAx 随堂练习【题1】 若向量()1,1a =，()1,1b =-，()4,2c =，则c = （ ）A ．3a +bB ． 3a -bC ．-a +3bD ．a +3b【题2】 已知a ＝（4，2），b ＝（x ，3），且a ∥b ，则x 等于（ ）A ．9B ．6C ．5D ．3【题3】 已知平面向量a ＝（x ，1），b ＝（－x ，x 2），则向量a ＋b （ ）A ．平行于x 轴B ．平行于第一、三象限的角平分线C ．平行于y 轴D ．平行于第一、四象限的角平分线【题4】 已知向量e 1与e 2不共线，实数x ，y 满足（3x －4y ）e 1＋（2x －3y ）e 2＝6e 1＋3e 2，则x －y 等于（ ）A ．3B ．－3C ．0D ．2【题5】 已知向量(1,2)a =，(0,1)b =，设u a kb =+，2v a b =-，若u ∥v ，则实数k 的值为（ ）A ．－1B ．－12C ．12D ．1【题6】 设点A （2，0），B （4，2），若点P 在直线AB 上，且|AB |＝2|AP |，则点P 的坐标为（ ）A ．（3，1)B ．（1，－1）C ．（3，1）或（1，－1)D ．无数多个【题7】 设(1,2),(2,3),a b ==若向量a b λ+与向量(4,7)c =--共线，则λ=．【题8】 已知向量a ＝（2，－1），b ＝（－1，m ），c ＝（－1，2），若（a ＋b ）∥c ，则m ＝________．【题9】 已知A （－2，4），B （3，－1），C （－3，－4）．设AB →＝a ，BC →＝b ，CA →＝c ，且CM →＝3c ，CN→＝－2b ．（1）求：3a ＋b －3c ；（2）求满足a ＝m b ＋n c 的实数m ，n ．【题10】 在平行四边形ABCD 中，AC 与BD 交于点O ，E 是线段OD 的中点，AE 的延长线与CD 交于点F ．若AC →＝a ，BD →＝b ，则AF →＝（ ） A ．14a ＋12b B ．23a ＋13b C ．12a ＋14bD ．13a ＋23b课后作业。
2022年秋高中数学第六章平面向量及其应用6.3平面向量基本定理及坐标表示6.3.1平面向量基本定理
素养达成
1．对基底的理解 (1)基底的特征 基底具备两个主要特征：①基底是两个不共线向量；②基底的选择 是不唯一的．平面内两向量不共线是这两个向量可以作为这个平面内所 有向量的一组基底的条件． (2)零向量与任意向量共线，故不能作为基底中的向量．
2．准确理解平面向量基本定理 (1)平面向量基本定理的实质是向量的分解，即平面内任一向量都可 以沿两个不共线的方向分解成两个向量和的形式，且分解是唯一的． (2)平面向量基本定理中，实数λ1，λ2的唯一性是相对于基底e1，e2而 言的，平面内任意两个不共线的向量都可作为基底，一且选定一组基 底，则给定向量沿着基底的分解是唯一的． (3)平面向量基本定理体现了转化与化归的数学思想，用向量解决几 何问题时，我们可以选择适当的基底，将问题中涉及的向量向基底化 归，使问题得以解决(体现直观想象和逻辑推理的核心素养)．
①λe1＋μ e2(λ，μ∈R)可以表示平面α内的所有向量； ②对于平面α内任一向量a，使a＝λe1＋μ e2的实数对(λ，μ)有无穷多 个；
③若向量λ1e1＋μ1e2与λ2e1＋μ2e2共线，则有且只有一个实数λ，使得 λ1e1＋μ1e2＝λ(λ2e1＋μ2e2)；
④若存在实数λ，μ使得λe1＋μ e2＝0，则λ＝μ＝0.
用两个不共线的向量作为基底表示其他向量的方法 (1)运用向量的线性运算法则对所求向量不断进行转化，直至用基底 表示为止． (2)通过列向量方程或方程组的形式，利用基底表示向量的唯一性求 解．
2．(多选)D，E，F分别为△ABC的边BC，CA，AB上的中点，且
→ BC
＝a，C→A＝b，则下列结论正确的是
易错警示 对基底的定义理解不准确致误
已知e1≠0，λ∈R，a＝e1＋λe2，b＝2e1，则a与b共线的条件是 ()
苏教版高中数学高一课件 平面向量基本定理
方法技巧 用待定系数法确定向量的表示 例4 如图，在△ABC中，点M是BC的中点，点N在AC上，且AN＝2NC， AM与BN相交于点P，求AP∶PM与BP∶PN的值.
解析答案
返回
当堂检测
12345
1.设e1，e2是平面内所有向量的一组基底，则下列四组向量中，不能作为 基底的是_②___.(填序号)
反思与感悟
解析答案
跟踪训练1 设e1、e2是不共线的两个向量，给出下列四组向量：①e1与 e1＋e2；②e1－2e2与e2－2e1；③e1－2e2与4e2－2e1；④e1＋e2与e1－e2.其 中能作为平面内所有向量的一组基底的序号是__①__②__④__.(写出所有满足 条件的序号) 解析 对于③4e2－2e1＝－2e1＋4e2 ＝－2(e1－2e2)， ∴e1－2e2与4e2－2e1共线，不能作为基底.
解析答案
题型二 用基底表示向量 例 2 如图所示，已知▱ABCD 中，E、F 分别是 BC、DC 边上的中点，
若A→B＝a，A→D＝b，试以 a、b 为基底表示D→E、B→F.
反思与感悟
解析答案
跟踪训练 2 如图，已知△ABC 中，D 为 BC 的中点，E，F 为 BC 的三等
分点，若A→B＝a，A→C＝b，用 a、b 表示A→D、A→E、A→F. 解 A→D＝A→B＋B→D＝A→B＋12B→C ＝a＋12(b－a)＝12a＋12b； A→E＝A→B＋B→E＝A→B＋13B→C ＝a＋13(b－a)＝23a＋13b； A→F＝A→B＋B→F＝A→B＋23B→C＝a＋23(b－a)＝13a＋23b.
2.准确理解平面向量基本定理 (1)平面向量基本定理的实质是向量的分解，即平面内任一向量都可以 沿两个不共线的方向分解成两个向量和的形式，且分解是惟一的. (2)平面向量基本定理体现了转化与化归的数学思想，用向量解决几何 问题时，我们可以选择适当的基底，将问题中涉及的向量向基底化归， 使问题得以解决.
人教版高一数学教案-平面向量的基本定理及其坐标表示(1-2课时)
2.3 平面向量的基本定理及其座標表示2.3.1 平面向量基本定理2.3.2 平面向量的正交分解及座標表示一、教學分析平面向量基本定理既是本節的重點又是本節的難點.平面向量基本定理告訴我們同一平面內任一向量都可表示為兩個不共線向量的線性組合,這樣,如果將平面內向量的始點放在一起,那麼由平面向量基本定理可知,平面內的任意一點都可以通過兩個不共線的向量得到表示,也就是平面內的點可以由平面內的一個點及兩個不共線的向量來表示.這是引進平面向量基本定理的一個原因.在不共線的兩個向量中,垂直是一種重要的特殊情形,向量的正交分解是向量分解中常用且重要的一種分解,因為在平面上,如果選取互相垂直的向量作為基底時,會給問題的研究帶來方便.聯繫平面向量基本定理和向量的正交分解,由點在直角坐標系中的表示得到啟發,要在平面直角坐標系中表示一個向量,最方便的是分別取與x軸、y軸方向相同的兩個單位向量i、j 作為基底,這時,對於平面直角坐標系內的一個向量a,由平面向量基本定理可知,有且只有一對實數x、y,使得a=x i+y j.於是,平面內的任一向量a都可由x、y唯一確定,而有序數對(x,y)正好是向量a的終點的座標,這樣的“巧合”使平面直角坐標系內的向量與座標建立起一一映射,從而實現向量的“量化”表示,使我們在使用向量工具時得以實現“有效能算”的思想.二、教學目標1、知識與技能：瞭解平面向量的基本定理及其意義；理解平面裡的任何一個向量都可以用兩個不共線的向量來表示，掌握平面向量正交分解及其座標表示。
2、過程與方法：初步掌握應用向量解決實際問題的重要思想方法；能夠在具體問題中適當地選取基底，使其他向量都能夠用基底來表達。
3、情感態度與價值觀：通過平面向量的正交分解及座標表示，揭示圖形（向量）與代數（座標）之間的聯繫。
三、重點難點教學重點:平面向量基本定理、向量的夾角與垂直的定義、平面向量的正交分解、平面向量的座標表示.教學難點:平面向量基本定理的運用.四、教學設想（一）導入新課思路 1.在物理學中我們知道,力是一個向量,力的合成就是向量的加法運算.而且力是可以分解的,任何一個大小不為零的力,都可以分解成兩個不同方向的分力之和.將這種力的分解拓展到向量中來,會產生什麼樣的結論呢？又如一個放在斜面上的物體所受的豎直向下的重力G,可分解為使物體沿斜面下滑的力F1和使物體垂直於斜面且壓緊斜面的力F2.我們知道飛機在起飛時若沿仰角α的方向起飛的速度為v ,可分解為沿水準方向的速度vcosα和沿豎直方向的速度vsinα.從這兩個實例可以看出,把一個向量分解到兩個不同的方向,特別是作正交分解,即在兩個互相垂直的方向上進行分解,是解決問題的一種十分重要的手段.如果e 1、e 2是同一平面內的兩個不共線的向量,a 是這一平面內的任一向量,那麼a 與e 1、e 2之間有什麼關係呢？在不共線的兩個向量中,垂直是一種重要的情形.把一個向量分解為兩個互相垂直的向量,叫做把向量正交分解.在平面上,如果選取互相垂直的向量作為基底,是否會給我們帶來更方便的研究呢?思路2.前面我們學習了向量的代數運算以及對應的幾何意義,如果將平面內向量的始點放在一起,那麼平面內的任意一個點或者任意一個向量是否都可以用這兩個同起點的不共線向量來表示呢？這樣就引進了平面向量基本定理.教師可以通過多對幾個向量進行分解或者合成,在黑板上給出圖像進行演示和講解.如果條件允許,用多媒體教學,通過相應的課件來演示平面上任意向量的分解,對兩個不共線的向量都乘以不同的係數後再進行合成將會有什麼樣的結論？（二）推進新課、新知探究、提出問題圖1①給定平面內任意兩個不共線的非零向量e 1、e 2,請你作出向量3e 1+2e 2、e 1-2e 2.平面內的任一向量是否都可以用形如λ1e 1+λ2e 2的向量表示呢?②如圖1,設e 1、e 2是同一平面內兩個不共線的向量,a 是這一平面內的任一向量,我們通過作圖研究a 與e 1、e 2之間的關係.活動:如圖1,在平面內任取一點O,作OA =e 1,OB =e 2,OC =a .過點C 作平行於直線OB 的直線,與直線OA;過點C 作平行於直線OA 的直線,與直線OB 交於點N.由向量的線性運算性質可知,存在實數λ1、λ2,使得OM =λ1e 1,ON =λ2e 2.由於ON OM OC +=,所以a =λ1e 1+λ2e 2.也就是說,任一向量a 都可以表示成λ1e 1+λ2e 2的形式.由上述過程可以發現,平面內任一向量都可以由這個平面內兩個不共線的向量e 1、e 2表示出來.當e 1、e 2確定後,任意一個向量都可以由這兩個向量量化,這為我們研究問題帶來極大的方便.由此可得:平面向量基本定理:如果e 1、e 2是同一平面內的兩個不共線向量,那麼對於這一平面內的任意向量a ,有且只有一對實數λ1、λ2,使a =λ1e 1+λ2e 2.定理說明:(1)我們把不共線向量e 1、e 2叫做表示這一平面內所有向量的一組基底; (2)基底不唯一,關鍵是不共線;(3)由定理可將任一向量a 在給出基底e 1、e 2的條件下進行分解; (4)基底給定時,分解形式唯一. 討論結果:①可以. ②a =λ1e 1+λ2e 2. 提出問題①平面中的任意兩個向量之間存在夾角嗎？若存在,向量的夾角與直線的夾角一樣嗎？②對平面中的任意一個向量能否用兩個互相垂直的向量來表示？活動:引導學生結合向量的定義和性質,思考平面中的任意兩個向量之間的關係是什麼樣的,結合圖形來總結規律.教師通過提問來瞭解學生總結的情況,對回答正確的學生進行表揚,對回答不全面的學生給予提示和鼓勵.然後教師給出總結性的結論:不共線向量存在夾角,關於向量的夾角,我們規定:圖2已知兩個非零向量a和b(如圖2),作OA=a,OB=b,則∠AOB=θ(0°≤θ≤180°)叫做向量a與b 的夾角.顯然,當θ=0°時,a與b同向;當θ=180°時,a與b反向.因此,兩非零向量的夾角在區間[0°,180°]內.如果a與b的夾角是90°,我們說a與b垂直,記作a⊥b.由平面向量的基本定理,對平面上的任意向量a,均可以分解為不共線的兩個向量λ1a1和λ2a2,使a=λ1a1+λ2a2.在不共線的兩個向量中,垂直是一種重要的情形.把一個向量分解為兩個互相垂直的向量,叫做把向量正交分解.如上,重力G沿互相垂直的兩個方向分解就是正交分解,正交分解是向量分解中常見的一種情形.在平面上,如果選取互相垂直的向量作為基底時,會為我們研究問題帶來方便.討論結果:①存在夾角且兩個非零向量的夾角在區間[0°,180°]內;向量與直線的夾角不一樣.②可以.提出問題①我們知道,在平面直角坐標系中,每一個點都可用一對有序實數(即它的座標)表示.對直角坐標平面內的每一個向量,如何表示呢?②在平面直角坐標系中,一個向量和座標是否是一一對應的？圖3活動:如圖3,在平面直角坐標系中,分別取與x軸、y軸方向相同的兩個單位向量ｉ、j作為基底.對於平面內的一個向量a,由平面向量基本定理可知,有且只有一對實數x、y,使得a=xｉ+y j①這樣,平面內的任一向量a都可由x、y唯一確定,我們把有序數對(x,y)叫做向量a的座標,記作a=(x,y)②其中x叫做a在x軸上的座標,y叫做a在y軸上的座標,②式叫做向量的座標表示.顯然,ｉ=(1,0),j =(0,1),0=(0,0).教師應引導學生特別注意以下幾點:(1)向量a 與有序實數對(x,y)一一對應.(2)向量a 的座標與表示該向量的有向線段的起點、終點的具體位置沒有關係,只與其相對位置有關係.如圖所示,11B A 是表示a 的有向線段,A 1、B 1的座標分別為(x 1,y 1)、(x 2,y 2),則向量a 的座標為x=x 2-x 1,y=y 2-y 1,即a 的座標為(x 2-x 1,y 2-y 1).(3)為簡化處理問題的過程,把座標原點作為表示向量a 的有向線段的起點,這時向量a 的座標就由表示向量a 的有向線段的終點唯一確定了,即點A 的座標就是向量a 的座標,流程表示如下:討論結果:①平面內的任一向量a 都可由x 、y 唯一確定,我們把有序數對(x,y)叫做向量a 的座標,記作a =(x,y).②是一一對應的.（三）應用示例思路1例1 如圖4,ABCD,AB =a ,AD =b ,H 、M 是AD 、DC 之中點,F 使BF=31BC,以a ,b 為基底分解向量HF AM 和.圖4活動:教師引導學生利用平面向量基本定理進行分解,讓學生自己動手、動腦.教師可以讓學生到黑板上板書步驟,並對書寫認真且正確的同學提出表揚,對不能寫出完整解題過程的同學給予提示和鼓勵.解:由H 、M 、F 所在位置,有+=+=AD DM AD AM a b AB AD DC 212121+=+=AB 21=b +21a .ADAD AB ADBC AH BF AB AH AF HF 21312131-+=-+-+=-==a 61-b . 點評:以a 、b 為基底分解向量AM 與HF ,實為用a 與b 表示向量AM 與HF . 變式訓練圖5已知向量e 1、e 2(如圖5),求作向量-2.5e 1+3e 2.作法:(1)如圖,任取一點O,作OA =-2.5e 1,OB =3e 2.(2)作OACB.故OC OC 就是求作的向量.圖6例2 如圖6,分別用基底ｉ、j 表示向量a 、b 、c 、d ,並求出它們的座標.活動:本例要求用基底i 、j 表示a 、b 、c 、d ,其關鍵是把a 、b 、c 、d 表示為基底i 、j 的線性組合.一種方法是把a 正交分解,看a 在x 軸、y 軸上的分向量的大小.把向量a 用i 、j 表示出來,進而得到向量a 的座標.另一種方法是把向量a 移到座標原點,則向量a 終點的座標就是向量a 的座標.同樣的方法,可以得到向量b 、c 、d 的座標.另外,本例還可以通過四個向量之間位置的幾何關係:a 與b 關於y 軸對稱,a 與c 關於座標原點中心對稱,a 與d 關於x 軸對稱等.由一個向量的座標推導出其他三個向量的座標.解:由圖可知,a =1AA +2AA =x i +y j , ∴a =(2,3).同理,b =-2i +3j =(-2,3);c =-2i -3j =(-2,-3);d =2i -3j =(2,-3).點評:本例還可以得到啟示,要充分運用圖形之間的幾何關係,求向量的座標. 變式訓練i ,j 是兩個不共線的向量,已知AB =3i +2j ,CB =i +λj ,CD =-2i +j ,若A 、B 、D 三點共線,試求實數λ的值.解:∵BD =CD -CB =(-2i +j )-(i +λj )=-3i +(1-λ)j , 又∵A 、B 、D 三點共線,∴向量AB 與BD 共線.因此存在實數υ,使得AB =υBD ,即3i +2j =υ[-3i +(1-λ)j ]=-3υi +υ(1-λ)j . ∵i 與j 是兩個不共線的向量, 故⎩⎨⎧=-=-,2)1(,33λv v∴⎩⎨⎧=-=.3,1λv ∴當A 、B 、D 三點共線時,λ=3.例 3 下面三種說法:①一個平面內只有一對不共線向量可作為表示該平面的基底;②一個平面內有無數多對不共線向量可作為該平面所有向量的基底;③零向量不可以作為基底中的向量,其中正確的說法是( )A.①②B.②③C.①③D.①②③活動:這是訓練學生對平面向量基本定理的正確理解,教師引導學生認真地分析和理解平面向量基本定理的真正內涵.讓學生清楚在平面中對於基底的選取是不唯一的,只要是同一平面內的兩個不共線的向量都可以作為基底.解:平面內向量的基底是不唯一的.在同一平面內任何一組不共線的向量都可作為平面內所有向量的一組基底;而零向量可看成與任何向量平行,故零向量不可作為基底中的向量.綜上所述,②③正確.答案:B點評:本題主要考查的是學生對平面向量定理的理解.思路2圖7例1 如圖7,M 是△ABC 內一點,且滿足條件=++CM BM AM 320,延長CM 交AB 於N,令CM =a ,試用a 表示CN .活動:平面向量基本定理是平面向量的重要定理,它是解決平面向量計算問題的重要工具.由平面向量基本定理,可得到下面兩個推論:推論1:e 1與e 2是同一平面內的兩個不共線向量,若存在實數λ1、λ2,使得λ1e 1+λ2e 2=0,則λ1=λ2=0.推論2:e 1與e 2是同一平面內的兩個不共線向量,若存在實數a 1,a 2,b 1,b 2,使得a =a 1e 1+a 2e 2=b 1e 1+b 2e 2,則⎪⎩⎪⎨⎧==.,2211b a b a解:∵,,NM BN BM NM AN AM +=+=∴由CM BM AM 32++=0,得=++++CM NM BN NM AN 3)(2)(0. ∴CM BN NM AN 323+++=0.又∵A 、N 、B 三點共線,C 、M 、N 三點共線, 由平行向量基本定理,設,,NM CM BN AN μλ== ∴=+++NM BN NM BN μλ3230. ∴(λ+2)BN +(3+3μ)NM =0. 由於BN 和NM 不共線, ∴⎩⎨⎧=+=+,033,02μλ∴⎩⎨⎧-=-=12μλ∴.MN NM CM =-=∴CM MN CM CN 2=+==2a .點評:這裡選取NM BN ,作為基底,運用化歸思想,把問題歸結為λ1e 1+λ2e 2=0的形式來解決. 變式訓練設e 1與e 2是兩個不共線向量,a =3e 1+4e 2,b =-2e 1+5e 2,若實數λ、μ滿足λa +μb =5e 1-e 2,求λ、μ的值.解:由題設λa +μb =(3λe 1+4λe 2)+(-2μe 1+5μe 2)=(3λ-2μ)e 1+(4λ+5μ)e 2.又λa +μb =5e 1-e 2.由平面向量基本定理,知⎩⎨⎧-=+=-.154,523λλλλ解之,得λ=1,μ=-1.圖8例2 如圖8,△ABC 中,AD 為△ABC 邊上的中線且AE=2EC,求GEBGGD AG 及的值. 活動:教師讓學生先仔細分析題意,以明瞭本題的真正用意,怎樣把平面向量基本定理與三角形中的邊相聯繫？利用化歸思想進行轉化完後,然後結合向量的相等進行求解比值.解:設μλ==GEBGGD AG , ∵BD =DC ,即AD -AB =AC -AD , ∴AD =21(AB +AC ). 又∵AG =λGD =λ(AD -AG ),∴AG =λλ+1AD =)1(2λλ+AB +)1(2λλ+AC .① 又∵BG =μGE ,即AG -AB =μ(AE -AG ),∴(1+μ)AG =AB +μAG AE ,=AE AB μμμ+++111 又AE =32AC ,∴AG =AB μ+11+)1(32μμ+AC .② 比較①②,∵AB 、AC 不共線,∴⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+=++=+.)1(32)1(2,11)1(2μμλλμλλ解之,得⎪⎩⎪⎨⎧==23,4μλ∴.23,4==GE BG GD AG 點評:本例中,構造向量在同一基底下的兩種不同表達形式,利用相同基向量的係數對應相等得到一實數方程組,從而進一步求得結果. 變式訓練過△OAB 的重心G 的直線與邊OA 、OB 分別交於P 、Q,設OP =h OA ,OB k OQ =,試證:311=+kh 解:設OA =a ,OB =b ,OG 交AB 於D,則OD =21(OB OA +)=21(a +b )(圖略). ∴OG =32OD =31(a +b ),OQ OG QG -==31(a +b )-k b =31a +331k-b ,OQ OP QP -==h a -k b .∵P 、G 、Q 三點共線,∴QP QG λ=.∴31a +331k -b =λh a -λk b .∴⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-=-=.331,31k k h λλ 兩式相除,得.3311hk h k khk =+⇒-=-,∴kh 11+=3.（四）知能訓練1.已知G 為△ABC 的重心,設AB =a ,AC =b ,試用a 、b 表示向量AG .2.已知向量a =(x+3,x 2-3x-4)與AB 相等,其中A(1,2),B(3,2),求x.圖9解答: 1.如圖9,AG =32AD , 而=+=+=BC AB BD AB AD 21a +21(b -a )=21a +21b , ∴3232==AD AG (21a +21b )=31a +31b .點評:利用向量加法、減法及數乘的幾何意義.2.∵A(1,2),B(3,2),∴AB =(2,0).∵a=AB ,∴(x+3,x 2-3x-4)=(2,0).∴⎩⎨⎧=--=+043,232x x x 解得⎩⎨⎧=-=-=.41,1x x x 或∴x=-1.點評:先將向量AB 用座標表示出來,然後利用兩向量相等的條件就可使問題得到解決.（五）課堂小結1.先由學生回顧本節學習的數學知識:平面向量的基本定理,向量的夾角與垂直的定義,平面向量的正交分解,平面向量的座標表示.2.教師與學生一起總結本節學習的數學方法,如待定係數法,定義法,歸納與類比,數形結合,幾何作圖. （六）作業。
高考数学一轮复习第2讲 平面向量的基本定理及坐标表示
第2讲 平面向量的基本定理及坐标表示1．平面向量的基本定理如果e 1，e 201不共线向量，那么对这一平面内的任一向量a ，有且只有一对实数λ1，λ2使a 02λ1e 1＋λ2e 2.2．平面向量的坐标表示03x 轴、y 轴正方向相同的两个单位向量i ，j 作为基底，对任一向量a ，有唯一一对实数x ，y ，使得a ＝x i ＋y j 04(x ，y )叫做向量a 的直角坐标，记作a ＝(x ，y )，显然i 05(1,0)，j 06(0,1)，0＝07(0,0).3．平面向量的坐标运算 (1)设a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)， 则a ＋b 08(x 1＋x 2，y 1＋y 2)， a －b 09(x 1－x 2，y 1－y 2)， λa 10(λx 1，λy 1). (2)设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)， 则AB →11(x 2－x 1，y 2－y 1)， |AB→|12 错误!. 4．平面向量共线的坐标表示设a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，其中b ≠0，则a ∥b ⇔a ＝λb (λ∈R )⇔13x 1y 2－x 2y 1＝0.1．平面向量一组基底是两个不共线向量，平面向量基底可以有无穷多组． 2．当且仅当x 2y 2≠0时，a ∥b 与x1x2＝y1y2等价，即两个不平行于坐标轴的共线向量的对应坐标成比例．3．若a 与b 不共线，且λa ＋μb ＝0，则λ＝μ＝0.4．已知P 为线段AB 的中点，若A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则P 点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫x1＋x22，y1＋y22. 5．已知△ABC 的顶点A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，C (x 3，y 3)，则△ABC 的重心G 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫x1＋x2＋x33，y1＋y2＋y33. 6．A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，C (x 3，y 3)三点共线的充要条件为(x 2－x 1)(y 3－y 1)－(x 3－x 1)(y 2－y 1)＝0，或(x 2－x 1)(y 3－y 2)＝(x 3－x 2)(y 2－y 1)，或(x 3－x 1)(y 3－y 2)＝(x 3－x 2)(y 3－y 1)．1．已知向量a ＝(2,4)，b ＝(－1,1)，则2a ＋b 等于( ) A ．(5,7) B ．(5,9) C ．(3,7) D ．(3,9)答案 D解析 2a ＋b ＝2(2,4)＋(－1,1)＝(3,9)，故选D.2．设向量a ＝(x,1)，b ＝(4，x )，若a ，b 方向相反，则实数x 的值是( ) A ．0 B ．±2 C ．2D ．－2答案 D解析 由题意可得a ∥b ，所以x 2＝4，解得x ＝－2或2，又因为a ，b 方向相反，所以x ＝－2.故选D.3．下列各组向量中，可以作为基底的是( ) A ．e 1＝(0,0)，e 2＝(1，－2) B ．e 1＝(－1,2)，e 2＝(5,7) C ．e 1＝(3,5)，e 2＝(6,10) D ．e 1＝(2，－3)，e 2＝⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫12，－34答案 B解析 两个不共线的非零向量构成一个基底，A 中向量e 1为零向量，C ，D 中两向量共线，B 中e 1≠0，e 2≠0，且e 1与e 2不共线．故选B.4．设向量a ＝(－1,2)，向量b 是与a 方向相同的单位向量，则b ＝( ) A ．(1，－2) B ．⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫－55，255 C.⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫－15，25 D ．⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫55，－255 答案 B解析 因为向量b 是与a 方向相同的单位向量，所以b ＝a|a|＝错误!(－1,2)＝错误!(－1,2)＝⎝⎛⎭⎪⎪⎫－55，255.故选B. 5．已知▱ABCD 的顶点A (－1，－2)，B (3，－1)，C (5,6)，则顶点D 的坐标为________.答案 (1,5)解析 设D (x ，y )，则由AB →＝DC →，得(4,1)＝(5－x,6－y )，即⎩⎪⎨⎪⎧4＝5－x ，1＝6－y ，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，y ＝5.6．已知向量a ＝(2,3)，b ＝(－1,2)，若m a ＋n b 与a －2b 共线，则mn ＝________.答案 －12解析 由向量a ＝(2,3)，b ＝(－1,2)，得m a ＋n b ＝(2m －n,3m ＋2n )，a －2b ＝(4，－1)．由m a ＋n b 与a －2b 共线，得2m －n 4＝3m ＋2n －1，所以m n ＝－12.考向一 平面向量基本定理的应用例1 (1)如图，点A ，B ，C ，P 均在正方形网格的格点上．若AP →＝λAB →＋μAC →(λ，μ∈R )，则λ＋2μ＝( )A ．1B ．32C ．43D ．2答案 B解析 设在正方形网格上方向为水平向右，长度为一格的向量为i ，方向为竖直向上，长度为一格的向量为j ，∴AB→＝－2i ＋2j ，AC →＝4i ，AP →＝i ＋j ，∵AP →＝λAB →＋μAC →(λ，μ∈R )，即i ＋j ＝λ(－2i ＋2j )＋μ×4i ，i ＋j ＝(4μ－2λ)i ＋2λj ，∴⎩⎪⎨⎪⎧4μ－2λ＝1，2λ＝1，解得⎩⎪⎨⎪⎧λ＝12，μ＝12，∴λ＋2μ＝32.故选B.(2) 如图，以向量OA →＝a ，OB →＝b 为邻边作平行四边形OADB ，BM →＝13BC →，CN →＝13CD →，用a ，b 表示OM →，ON →，MN →.解 ∵BA →＝OA →－OB →＝a －b ，BM →＝16BA →＝16a －16b ，∴OM →＝OB →＋BM →＝b ＋⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫16a －16b ＝16a ＋56b .∵OD →＝a ＋b ，∴ON →＝OC →＋13CD →＝12OD →＋16OD →＝23OD →＝23a ＋23b ，∴MN →＝ON →－OM →＝23a ＋23b －16a －56b ＝12a －16b .综上，OM →＝16a ＋56b ，ON →＝23a ＋23b ，MN →＝12a －16b .应用平面向量基本定理表示向量的方法应用平面向量基本定理表示向量的实质是利用平行四边形法则或三角形法则进行向量的加法、减法或数乘运算，基本方法有两种：(1)运用向量的线性运算法则对待求向量不断进行化简，直至用基底表示为止． (2)将向量用含参数的基底表示，然后列方程或方程组，利用基底表示向量的唯一性求解．1．(2020·北京市朝阳区一模)如图，在△ABC 中，点D ，E 满足BC→＝2BD→，CA →＝3CE →.若DE →＝x AB →＋y AC →(x ，y ∈R )，则x ＋y ＝( )A ．－12B ．－13C.12 D ．13答案 B解析 △ABC 中，点D ，E 满足BC →＝2BD →，CA →＝3CE →.DE →＝DC →＋CE →＝12BC →＋13CA→＝12(AC →－AB →)－13AC →＝－12AB →＋16AC →，又DE →＝x AB →＋y AC →(x ，y ∈R )，∴⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－12，y ＝16，∴x ＋y ＝－12＋16＝－13.故选B.2．(2020·青岛市高三上学期期末)在△ABC 中，AB →＋AC →＝2AD →，AE →＋2DE →＝0，若EB→＝x AB →＋y AC →，则( ) A ．y ＝2x B ．y ＝－2x C ．x ＝2y D ．x ＝－2y答案 D解析 如图所示，∵AB→＋AC →＝2AD →，∴点D 为边BC 的中点．∵AE →＋2DE →＝0，∴AE →＝－2DE →，∴DE →＝－13AD →＝－16(AB →＋AC →)．又DB →＝12CB →＝12(AB →－AC →)，∴EB →＝DB →－DE →＝12(AB →－AC →)＋16(AB →＋AC →)＝23AB →－13AC →.又EB →＝x AB →＋y AC →，∴x ＝23，y ＝－13，即x ＝－2y .故选D.考向二 平面向量的坐标运算例2 (1)若向量AB →＝DC →＝(2,0)，AD →＝(1,1)，则AC →＋BC →等于( ) A ．(3,1) B ．(4,2) C ．(5,3)D ．(4,3)答案 B解析 AC→＝AD →＋DC →＝(3,1)，又BD →＝AD →－AB →＝(－1，1)，则BC →＝BD →＋DC →＝(1,1)，所以AC→＋BC →＝(4,2)．(2)(2020·辽宁省辽南协作校二模)已知a ＝(5，－2)，b ＝(－4，－3)，若a －2b ＋3c ＝0，则c ＝( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫133，83 B ．⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫－133，－83C.⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫133，43 D ．⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫－133，－43答案 D解析 ∵a －2b ＋3c ＝0，∴c ＝－13(a －2b )＝－13(5＋4×2，－2＋2×3)＝⎝⎛⎭⎪⎪⎫－133，－43.故选D. (3)(2020·天津和平区模拟) 如图，在直角梯形ABCD 中，AB ∥DC ，AD ⊥DC ，AD ＝DC ＝2AB ，E 为AD 的中点，若CA→＝λCE →＋μDB →(λ，μ∈R )，则λ＋μ的值为( )A.65B ．85C ．2D ．83答案 B解析 建立如图所示的平面直角坐标系，则D (0,0)．不妨设AB ＝1，则CD ＝AD＝2，∴C (2，0)，A (0，2)，B (1,2)，E (0，1)，∴CA→＝(－2,2)，CE →＝(－2,1)，DB →＝(1,2)，∵CA →＝λCE →＋μDB →，∴(－2,2)＝λ(－2,1)＋μ(1,2)，∴⎩⎪⎨⎪⎧－2λ＋μ＝－2，λ＋2μ＝2，解得λ＝65，μ＝25，则λ＋μ＝85.故选B.平面向量坐标运算的技巧(1)向量的坐标运算主要是利用向量加、减、数乘运算的法则来进行求解的，若已知有向线段两端点的坐标，则应先求向量的坐标．(2)解题过程中，常利用向量相等则其坐标相同这一原则，通过列方程(组)来进行求解，并注意方程思想的应用．3.若向量a ＝(2,1)，b ＝(－1,2)，c ＝⎝⎛⎭⎪⎪⎫0，52，则c 可用向量a ，b 表示为( )A ．c ＝12a ＋bB ．c ＝－12a －bC ．c ＝32a ＋12bD ．c ＝32a －12b答案 A解析设c ＝x a ＋y b ，易知⎩⎪⎨⎪⎧ 0＝2x －y ，52＝x ＋2y ，∴⎩⎪⎨⎪⎧x ＝12，y ＝1.∴c ＝12a ＋b .故选A.4．已知OB 是平行四边形OABC 的一条对角线，O 为坐标原点，OA →＝(2,4)，OB →＝(1,3)，若点E 满足OC→＝3EC →，则点E 的坐标为( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫－23，－23B ．⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫－13，－13C.⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫13，13 D ．⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫23，23答案 A解析 解法一：易知OC→＝OB →－OA →＝(－1，－1)，则C (－1，－1)，设E (x ，y )，则3EC→＝3(－1－x ，－1－y )＝(－3－3x ，－3－3y )， 由OC →＝3EC →，知⎩⎪⎨⎪⎧－3－3x ＝－1，－3－3y ＝－1，所以⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－23，y ＝－23，所以点E 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫－23，－23.解法二：易知OC→＝OB →－OA →＝(－1，－1)，由OC →＝3EC →得OC →＝3(OC →－OE →)，所以OE→＝23OC→＝⎝⎛⎭⎪⎪⎫－23，－23，所以点E的坐标为⎝⎛⎭⎪⎪⎫－23，－23.考向三平面向量共线的坐标表示例3(1)(2020·山东省菏泽市一模)已知向量a，b满足a＝(1,2)，a＋b＝(1＋m,1)，若a∥b，则m＝()A．2 B．－2C．12D．－12答案 D解析b＝(a＋b)－a＝(1＋m,1)－(1,2)＝(m，－1)．因为a∥b，所以2m＋1＝0，解得m＝－12.故选D.(2)(2021·海口市海南中学高三月考)已知向量a＝(1,1)，点A(3,0)，点B为直线y＝2x上的一个动点，若AB→∥a，则点B的坐标为________.答案(－3，－6)解析由题意，设B(x,2x)，则AB→＝(x－3,2x)，∵AB→∥a，∴x－3－2x＝0，解得x ＝－3，∴B(－3，－6)．利用两向量共线解题的技巧(1)一般地，在求与一个已知向量a共线的向量时，可设所求向量为λa(λ∈R)，然后结合其他条件列出关于λ的方程，求出λ的值后代入λa即可得到所求的向量．(2)如果已知两向量共线，求某些参数的取值时，那么利用“若a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则a∥b的充要条件是x1y2＝x2y1”解题比较方便．5.已知点A(4,0)，B(4,4)，C(2,6)，则AC与OB的交点P的坐标为________.答案(3,3)解析 解法一：由O ，P ，B 三点共线，可设OP →＝λOB →＝(4λ，4λ)，则AP →＝OP →－OA→＝(4λ－4,4λ)． 又AC→＝OC →－OA →＝(－2,6)， 由AP→与AC →共线，得(4λ－4)×6－4λ×(－2)＝0， 解得λ＝34，所以OP →＝34OB →＝(3,3)，所以点P 的坐标为(3,3)．解法二：设点P (x ，y )，则OP →＝(x ，y )，因为OB →＝(4,4)，且OP →与OB →共线，所以x 4＝y4，即x ＝y .又AP →＝(x －4，y )，AC →＝(－2,6)，且AP →与AC →共线，所以(x －4)×6－y ×(－2)＝0，解得x ＝y ＝3，所以点P 的坐标为(3,3)．6．(2020·长郡中学高三适应性考试)已知向量AC →＝(1，sin α－1)，BA →＝(3,1)，BD →＝(2，cos α)，若B ，C ，D 三点共线，则tan(2021π－α)＝________.答案 －2解析 ∵B ，C ，D 三点共线， ∴BD→＝x BC →＝x (BA →＋AC →)， 即(2，cos α)＝x (4，sin α)，则⎩⎪⎨⎪⎧2＝4x ，cosα＝xsinα，得x ＝12，即cos α＝12sin α，得tan α＝2，则tan(2021π－α)＝tan(－α)＝－tan α＝－2.一、单项选择题1．向量a ，b 满足a ＋b ＝(－1,5)，a －b ＝(5，－3)，则b ＝( ) A ．(－3,4) B ．(3,4) C ．(3，－4) D ．(－3，－4)答案 A解析 由a ＋b ＝(－1,5)，a －b ＝(5，－3)，得2b ＝(－1,5)－(5，－3)＝(－6,8)，所以b ＝12(－6,8)＝(－3,4)．2．(2021·山东聊城月考)已知平行四边形ABCD 中，AD →＝(3,7)，AB →＝(－2,3)，对角线AC 与BD 交于点O ，则CO→的坐标为( ) A.⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫－12，5 B ．⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫12，5C.⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫12，－5 D ．⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫－12，－5答案 D解析 因为AC →＝AB →＋AD →＝(－2,3)＋(3,7)＝(1,10)，所以OC →＝12AC →＝⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫12，5，所以CO →＝⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫－12，－5.3. 如图，在梯形ABCD 中，DC →＝14AB →，BE →＝2EC→，且AE →＝r AB →＋s AD →，则2r ＋3s ＝( )A．1 B．2 C．3 D．4 答案 C解析根据题图，由题意可得AE→＝AB→＋BE→＝AB→＋23BC→＝AB→＋23(BA→＋AD→＋DC→)＝13AB→＋23(AD→＋DC→)＝13AB→＋23⎝⎛⎭⎪⎪⎫AD→＋14AB→＝12AB→＋23AD→.因为AE→＝r AB→＋s AD→，所以r＝12，s＝23，则2r＋3s＝1＋2＝3.4．已知向量a＝(－1,2)，b＝(3，m)，m∈R，则“m＝－6”是“a∥(a＋b)”的()A．充要条件B．充分不必要条件C．必要不充分条件D．既不充分也不必要条件答案 A解析由题意得a＋b＝(2,2＋m)，由a∥(a＋b)，得－1×(2＋m)＝2×2，所以m＝－6，则“m＝－6”是“a∥(a＋b)”的充要条件．5．已知向量a＝(2,1)，b＝(3,4)，c＝(1，m)，若实数λ满足a＋b＝λc，则λ＋m等于()A．5 B．6C．7 D．8答案 B解析由平面向量的坐标运算法则可得a＋b＝(5,5)，λc＝(λ，λm)，据此有⎩⎪⎨⎪⎧λ＝5，λm＝5，解得λ＝5，m ＝1，所以λ＋m ＝6.6．(2020·青岛模拟)已知向量a ＝(1＋cos x,2)，b ＝(sin x,1)，x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫0，π2，若a ∥b ，则sin x ＝( )A.45B ．35C ．25D ．255答案 A解析 根据题意，向量a ＝(1＋cos x,2)，b ＝(sin x,1)，若a ∥b ，则2sin x ＝1＋cos x ，变形可得cos x ＝2sin x －1，又sin 2x ＋cos 2x ＝1，则有sin 2x ＋(2sin x －1)2＝1，变形可得，5sin 2x －4sin x ＝0，解得sin x ＝0或sin x ＝45，又x ∈⎝⎛⎭⎪⎪⎫0，π2，则sin x ＝45.故选A.7. (2020·黑龙江省大庆一中三模)“勾3股4弦5”是勾股定理的一个特例．根据记载，西周时期的数学家商高曾经和周公讨论过“勾3股4弦5”的问题，比毕达哥拉斯发现勾股定理早了500多年，如图，在矩形ABCD 中，△ABC 满足“勾3股4弦5”，且AB ＝3，E 为AD 上一点，BE ⊥AC .若BA→＝λBE →＋μAC →，则λ＋μ的值为( )A ．－925 B ．725C ．1625D ．1答案 B解析 由题意建立如图所示平面直角坐标系，因为AB ＝3，BC ＝4，则B (0,0)，A (0,3)，C (4,0)，BA→＝(0,3)，AC →＝(4，－3)，设BE →＝(a,3)，因为BE ⊥AC ，所以AC →·BE →＝4a －9＝0，解得a ＝94.由BA →＝λBE →＋μAC →，得(0,3)＝λ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫94，3＋μ(4，－3)，所以⎩⎪⎨⎪⎧94λ＋4μ＝0，3λ－3μ＝3，解得⎩⎪⎨⎪⎧λ＝1625，μ＝－925，所以λ＋μ＝725，故选B.8. 如图，扇形的半径为1，圆心角∠BAC ＝150°，点P 在弧BC 上运动，AP →＝λAB →＋μAC→，则3λ－μ的最小值是( )A ．0B ．3C ．2D ．－1答案 D解析 以A 为原点，AB 所在直线为x 轴，建立如图所示平面直角坐标系，则A (0,0)，B (1,0)，C (cos150°，sin150°)＝⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫－32，12，设P (cos θ，sin θ)(0°≤θ≤150°)，因为AP →＝λAB →＋μAC →，所以(cos θ，sin θ)＝λ(1,0)＋μ⎝⎛⎭⎪⎪⎫－32，12，于是⎩⎪⎨⎪⎧λ－32μ＝cosθ，12μ＝sinθ，解得λ＝cos θ＋3sin θ，μ＝2sin θ，那么3λ－μ＝sin θ＋3cos θ＝2sin(θ＋60°)，因为0°≤θ≤150°，所以60°≤θ＋60°≤210°，故sin(θ＋60°)≥－12，因此3λ－μ的最小值为－1.故选D.二、多项选择题9．设O 是平行四边形ABCD 的两条对角线AC ，BD 的交点，则可作为这个平行四边形所在平面的一组基底的向量组是( )A.AD →与AB →B ．DA →与BC → C.CA →与DC →D ．OD→与OB → 答案 AC解析 平面内任意两个不共线的向量都可以作为基底，如图，对于A ，AD →与AB →不共线，可作为基底；对于B ，DA→与BC →为共线向量，不可作为基底；对于C ，CA →与DC→是两个不共线的向量，可作为基底；对于D ，OD →与OB →在同一直线上，是共线向量，不可作为基底．10．已知向量OA→＝(1，－3)，OB →＝(2，－1)，OC →＝(m ＋1，m －2)，若点A ，B ，C 能构成三角形，则实数m 可以是( )A ．－2B ．12C ．1D ．－1答案 ABD解析 各选项代入验证，若A ，B ，C 三点不共线即可构成三角形．因为AB →＝OB →－OA→＝(2，－1)－(1，－3)＝(1,2)，AC →＝OC →－OA →＝(m ＋1，m －2)－(1，－3)＝(m ，m ＋1)．假设A ，B ，C 三点共线，则1×(m ＋1)－2m ＝0，即m ＝1.所以只要m ≠1，则A ，B ，C 三点可构成三角形，故选ABD.11．(2021·广东湛江高三模拟)若点D ，E ，F 分别为△ABC 的边BC ，CA ，AB 的中点，且BC→＝a ，CA →＝b ，则下列结论正确的是( ) A.AD →＝－12a －bB ．BE →＝a ＋12bC.CF →＝－12a ＋12bD ．EF →＝12a答案 ABC解析如图，在△ABC中，AD→＝AC→＋CD→＝－CA→＋12CB→＝－b－12a，故A正确；BE→＝BC→＋CE→＝a＋12b，故B正确；AB→＝AC→＋CB→＝－b－a，CF→＝CA→＋12AB→＝b＋12×(－b－a)＝－12a＋12b，故C正确；EF→＝12CB→＝－12a，故D不正确．故选ABC.12. (2020·山东潍坊高三模拟)如图所示，点A，B，C是圆O上的三点，线段OC 与线段AB交于圆内一点P，若AP→＝λAB→，OC→＝μOA→＋3μOB→，则()A．P为线段OC的中点时，μ＝1 2B．P为线段OC的中点时，μ＝1 3C．无论μ取何值，恒有λ＝3 4D．存在μ∈R，λ＝1 2答案AC解析OP→＝OA→＋AP→＝OA→＋λAB→＝OA→＋λ(OB→－OA→)＝(1－λ)OA→＋λOB→，因为OP→与OC →共线，所以1－λμ＝λ3μ，解得λ＝34，故C 正确，D 错误；当P 为OC 的中点时，则OP →＝12OC →，则1－λ＝12μ，λ＝12×3μ，解得μ＝12，故A 正确，B 错误．故选AC.三、填空题13．(2020·哈尔滨六中二模)已知向量a ＝(log 2x,1)，b ＝(log 23，－1)，若a ∥b ，则x ＝________.答案13解析 因为a ∥b ，所以－log 2x ＝log 23，所以log 2x ＋log 23＝0，所以log 2(3x )＝0，所以3x ＝1，所以x ＝13.14．已知梯形ABCD ，其中AB ∥CD ，且DC ＝2AB ，三个顶点A (1,2)，B (2,1)，C (4,2)，则点D 的坐标为________.答案 (2,4)解析 因为在梯形ABCD 中，DC ＝2AB ，AB ∥CD ，所以DC →＝2AB →.设点D 的坐标为(x ，y )，则DC→＝(4,2)－(x ，y )＝(4－x,2－y )， AB→＝(2,1)－(1,2)＝(1，－1)， 所以(4－x,2－y )＝2(1，－1)， 即(4－x,2－y )＝(2，－2)， 所以⎩⎪⎨⎪⎧4－x ＝2，2－y ＝－2，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2，y ＝4，故点D 的坐标为(2,4)．15. 向量a ，b ，c 在正方形网格中的位置如图所示．若c ＝λa ＋μb (λ，μ∈R )，则λμ＝________.答案 4解析 以向量a 和b 的交点为坐标原点建立如图所示的平面直角坐标系，设每个小正方形的边长为1个单位，则A (1，－1)，B (6,2)，C (5，－1)，所以a ＝AO→＝(－1，1)，b ＝OB→＝(6,2)，c ＝BC →＝(－1，－3)． 由c ＝λa ＋μb 可得⎩⎪⎨⎪⎧ －1＝－λ＋6μ，－3＝λ＋2μ，解得⎩⎪⎨⎪⎧ λ＝－2，μ＝－12，所以λμ＝4.16．(2020·济南市高三上学期期末)平行四边形ABCD 中，M 为CD 的中点，点N 满足BN→＝2NC →，若AB →＝λAM →＋μAN →，则λ＋μ的值为________. 答案 12解析 因为M 为CD 的中点，点N 满足BN→＝2NC →， 所以DM →＝12DC →，BN →＝23BC →. 又因为AB→＝λAM →＋μAN →， 所以AB→＝λ(AD →＋DM →)＋μ(AB →＋BN →) ＝λ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫AD →＋12DC →＋μ⎝⎛⎭⎪⎪⎫AB →＋23BC → ＝λAD →＋λ2DC →＋μAB →＋2μ3BC →.① 又因为在平行四边形ABCD 中，AB→＝DC →，AD →＝BC →， 所以①整理得，AB →＝λAD →＋λ2AB →＋μAB →＋2μ3AD →， 即⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫1－λ2－μAB →＝⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫λ＋2μ3AD →. 又因为AB→，AD →不共线，由平面向量基本定理得 ⎩⎪⎨⎪⎧ 1－λ2－μ＝0，λ＋2μ3＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧ λ＝－1，μ＝32，所以λ＋μ＝12.。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
探究(二):平面向量的正交分解及坐标表示
思考1：不共线的向量有不同的方向，对 于两个非零向量a和b，作 OA a，OB b， 如图.为了反映这两个向量的位置关系， 称∠AOB为向量a与b的夹角.你认为向量 的夹角的取值范围应如何约定为宜？
B a b b
[0°，180°]
a
3.向量的坐标表示是一种向量与坐 标的对应关系，它使得向量具有代数意 义.将向量的起点平移到坐标原点，则平 移后向量的终点坐标就是向量的坐标.
作业： P102习题2.3B组：3，4.
;
/ 服装手绘厂哪家好 广州服装手绘厂 广州久合手绘厂 惟彩服装手绘厂
B
N O P C
M
A
思考3：在下列两图中，向量 OA, OB, OC
不共线，能否在直线 OA 、 OB 上分别找一 uuur uuu r uuu r 点M、N，使 OM + ON = OC ？
B N O C N B
C
A
M
A
O
M
B
N O
B C N
C
A
M
A
O
M
OC
5 y
b=(-2,3)Байду номын сангаас
b 2
O
a
2
a=(2,3)
4
－4 － 2
c=(-2,-3)
c －2
－5
x
d
d=(2,-3)
如图，在平行四边形ABCD中， 例3 AB =a， AD =b，E、M分别是AD、DC的中 点，点F在BC上，且BC=3BF，以a，b为 基底分别表示向量 和 .
λ<0时，λa与a方向相反；
λ=0时，λa=0.
3.平面向量共线定理是什么？
非零向量a与向量b共线 存在唯 一实数λ ，使b＝λa. 4.如图，光滑斜面上一个木块受到的重 力为G，下滑力为F1，木块对斜面的压 力为F2，这三个力的方向分别如何？ 三者有何相互关系？
F1
G
F2
5.在物理中，力是一个向量，力的合成 就是向量的加法运算.力也可以分解， 任何一个大小不为零的力，都可以分解 成两个不同方向的分力之和.将这种力 的分解拓展到向量中来，就会形成一个 新的数学理论.
O
A
思考2：如果向量a与b的夹角是90°，则 称向量a与b垂直，记作a⊥b. 互相垂直 的两个向量能否作为平面内所有向量的 一组基底？
b a
思考3：把一个向量分解为两个互相垂直 的向量，叫做把向量正交分解.如图，向 量i、j是两个互相垂直的单位向量，向量 a与i的夹角是30°，且|a|=4，以向量i、 j为基底，向量a如何表示？
O M
,
O N
O A
思 OM 1e1 , ON 2 e2 . a 1e1 2 e2 . 考 4
B
N O
B C N
C
uuur OM = uuu r ON =
A
M
A
O
M
OM 1e1 , ON 2 e 2 , a 1e1 2 e 2
lqu08hmo
咔”隆隆传来，以应龙为中心的几十丈方圆之内，地面转眼之间炸裂无数。应龙似是支撑不住，在大口大口的喘气，在强压之下，身上 的鳞片也尽数炸开，蓝色的血顺着血管喷涌而出。婠青在这时大喊：“山神！”山神往婠青的方向看去。妫雨已不再光圈之内，而是被 暮笙劫持着。暮笙说：“山神，收手吧，别再一错再错，坠入魔道了。”山神双眼通红，紧紧地盯着暮笙的一举一动，额头青筋暴跳， 一字一顿地说：“放~了~她。”应龙趁山神的注意力不在自己身上，戮仙棍的七彩光芒大减，龙珠继续与顶住戮仙棍的攻击，自己神不 知鬼不觉的飞到山神身后。“啪”的一声，一股强大的灵力扑面而来，山神低头看自己的胸口，却只看见胸前一片血肉模糊，一股锐气 直冲进体内，直入无坚不摧的利箭一般，乱冲乱撞，体内经脉痛苦不堪，欲要起身再度应敌，不料脚下一软，竟是站不起来。应龙想要 再度出手，借此机会永绝后患，暮笙这时开口说：“算了，妫雨已经在我们手上了，我们走吧。”说完暮笙、应龙、妫雨、面具人消失 在草地上。戮仙棍落在地上，失去了光芒。山神瞪着血红双眼，身子微微颤抖，惨笑不停，只觉得脑海中翻来覆去都是八千年前妫雨被 打的只剩下一魄的惨状。婠青连忙跑过来看山神的情况。山神身上的黑气越来越重，渐渐地整个草地都弥漫着黑气，眼神残忍无情“呼” 地飞身上天，此时，天雷炸响，一道闪电劈过地面，炸起一个大坑。山神追着应龙他们的道路而去，消失在茫茫夜色中，剩下被血污沾 满的婠青留在空地上，惊恐的盯着山神离去的背影。6解印|妫雨感觉全身暖洋洋的就像沐浴在阳光下一样，突如其来的力量点燃了一般， 暖意瞬间传遍全身每一个地方。妫雨觉得这股力量及其熟悉，身体似乎受到了某种力量的唤醒，整个人比以前不知道精神了多少倍，吸 收了灵力后所带来的那种舒爽感觉是无法用语言来形容的，仿佛飘在云端，又仿佛被人按摩全身各处，疏通了筋骨。全身上下，所有的 毛孔都张开贪婪的呼吸着美妙的空气。皮肤更是多了一层莹润的光泽，举手投足间，充满了力量的轻盈感。婠青满意的看着眼前的这个 人说：“现在你全身充满了强大的灵力，法术第三层已不成问题。你是否感觉身体有一股热流，似乎要从嘴里喷出火焰来。”妫雨摇摇 头说：“热流到没有，只是有一股暖流，很舒服，并无你说的灼热感。”婠青感觉奇怪但随后又说：“可能是你身上太久没有灵力了 吧。”大殿中央，地面雕刻着妖冶的曼陀罗花，妫雨站在花中间。婠青瞳孔的颜色由深不见底的黑色变成诡异的青色，抬头看着屋顶， 那目光仿佛足以窥视天机。突然目光一凌，眉头紧皱。婠青大手一挥大殿顷刻间消失的无影无踪，取而代之的是来时的那片风光旖旎的 草地，此时正是黑夜，天上
2.3
平面向量的基本定理及坐标表示
2.3.1 平面向量基本定理
2.3.2 平面向量的正交分解及坐标表示
问题提出
1 5730 p 2
t
1. 向量加法与减法有哪几种几何运算 法则？ 2.怎样理解向量的数乘运算λa？
（1）|λ a|=|λ ||a|； （2）λ >0时，λa与a方向相同；
思考5：若上述向量e1，e2，a都为定向量， 且e1，e2不共线，则实数λ1，λ2是否存在？ 是否唯一？
思考6：若向量a与e1或e2共线，a还能用 λ1e1＋λ2e2表示吗？ e1
a
e2 a
a=λ1e1+0e2
a = 0 e1 + λ 2 e2
思考7：根据上述分析，平面内任一向 量a都可以由这个平面内两个不共线的 向量e1，e2表示出来，从而可形成一个 定理.你能完整地描述这个定理的内容 吗？
2 AB AC 3
AM
EF
1 AM a b 2
B
F
C M
1 EF a b 6
A
E
D
小结作业
1.平面向量基本定理是建立在向量加 法和数乘运算基础上的向量分解原理， 同时又是向量坐标表示的理论依据，是 一个承前起后的重要知识点.
2.向量的夹角是反映两个向量相对位置 关系的一个几何量，平行向量的夹角是 0°或180°，垂直向量的夹角是90°.
探究（一）：平面向量基本定理
思考1：给定平面内任意两个向量e1，e2， 如何求作向量3e1＋2e2和e1－2e2？
e2 e1
e1-2e2
2 e2
B
C
O
e1 D
3 e1 A
3 e1 ＋ 2 e 2
思考2：如图，设OA，OB，OC为三条共 点射线，P为OC上一点，能否在OA、OB 上分别找一点M、N，使四边形OMPN为平 行四边形？
a 2 3i 2j
B
j
O i
a
P A
思考4：在平面直角坐标系中，分别取与x轴、 y轴方向相同的两个单位向量i、j作为基底， 对于平面内的一个向量a，由平面向量基本定 理知，有且只有一对实数x、y，使得 a＝ xi＋yj.我们把有序数对（x，y）叫做向量a 的坐标，记作a＝(x，y).其中x叫做a在x轴上 的坐标，y叫做a在y轴 y 上的坐标，上式叫做向量 a y 的坐标表示.那么x、y的 几何意义如何？ j x O i x
若e1、e2是同一平面内的两个不共线向量， 则对于这一平面内的任意向量a，有且只有 一对实数λ1，λ 2，使a＝λ1e1＋λ2e2.
若e1、e2是同一平面内的两个不共线向量， 则对于这一平面内的任意向量a，有且只有 一对实数λ1，λ 2，使a＝λ1e1＋λ2e2.
思考8：上述定理称为平面向量基本定理， 不共线向量e1，e2叫做表示这一平面内所 有向量的一组基底. 那么同一平面内可 以作基底的向量有多少组？不同基底对 应向量a的表示式是否相同？
思考 5 ：相等向量的坐标必然相等，作向 量 OA a，则 OA (x，y)，此时点A是坐 标是什么？
y A j
O
a
A(x,y)
i x
理论迁移
例1 如图，已知向量e1、e2，求作向 量－2.5e1＋3e2.
C e1 e2 3e2 A －2.5e 1 O B
例2 如图，写出向量a，b，c，d的坐标.