差分法公式推导xin
差分方法
figure
h=plot(x,uu(:,1),'linewidth',5);
set(h,'EraseMode','xor')
axis([0,1,0,0.25]);
fork=2:200
uu(2:99,2)=(1-2*c)*uu(2:99,1)+c*(uu(3:100,1)+uu(1:98,1))-b*dt/dx*(uu(3:100,1)-uu(2:99,1));
plot(u(1,:))
subplot(2,1,2)
plot(u(end,:))
差分方程所得的数值解的图形如图4所示，其中（a）是开始状态，(b)是最后状态。
(a) 初始状态
(b) 最后状态
【程序】
N=500;dx=0.01;dt=0.000001;
c=50*dt/dx/dx;
A=500;b=5;
x=linspace(0,1,100)';
方程设置是parobolic型，系数取为 。
解题的时间范围为 ，初始条件是 。
为了有足够的精度，将初始化的网格作了两次细分。而作图的选项为Contour和Animation。
作为对比，可以更改初始条件为 ,即 。
资料来源：数学物理方程与Matlab可视化.
(a) 整体图
(b) 上图：初始状态，(c)下图：最后状态
图3 解析解的图形
【程序】：
a2=50;b=5;
[x,t]=meshgrid(0:0.01:1,0:0.000001:0.0005);
Anfun=inline('2*(x-0.5).^2.*exp(5*x./2./50).*sin(n*pi*x)','x','n');
差分法
第三章 有限差分法函数()f x ，x 为定义在区间[]a b ,上的连续变 量。
将区间[]a b ,等分成n 份，令()h b a n =-称为 步长，x 在这些离散点处的取值为x a ih i =+ ()i n =01,,,称为节点。
函数()f x 在这些节点处的差值()()()()()()f x h f x f x f x h f x h f x h i i i i i i +---+--⎧⎨⎪⎩⎪(5-1)分别称为一阶向前、向后和中心差分，可以用它 们作为函数()f x 在x i 处的微分近似值。
这些差分 与相应x 区间的比值()()[]()()[]()()[]1112h f x h f x h f x f x h h f x h f x h i i i i i i +---+--⎧⎨⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪ (5-2) 分别称为一阶向前、向后和中心差商，可以用它 们作为函数()f x 在x i 处的导数近似值。
完全类似地可以定义高阶差商，例如常用的二阶中心差商()()()[]122hf x h f x f x h i i i +-+- (5-3)可以作为函数()f x 在x i 处的二阶导数近似值。
§3.1 常微分方程初值问题的差分解法考虑电学中的一个问题：如图5-1。
研究 电容器上的电荷随时间的变化规律。
图5-1 RC 放电回路这个问题对应的微分方程及其定解条件为：d d Q tQ RC QQ t =-=⎧⎨⎪⎩⎪=00(5-4) 这是一阶微分方程的初值问题，它的解析解为 Q Q e t RC =-0 (5-5)一、欧拉(Euler )折线法求解下列普遍形式的一阶微分方程的初值 问题：()[]()'=∈=⎧⎨⎪⎩⎪y f x y x a b y a y ,,0(5-6) 首先，将区间[]a b ,等分n 份，取值a x x xb n =<<<=01 ，步长h x x i i =-+1。
差分法
一阶波动方程 二阶波动方程
稳定场方程
问题1：散热片的横截面为矩形，他的一边 y b处于较高的 温度 U，其他三边则处于冷却介质中因而保持较低的温度 u0 。 讨论这个横截面上的稳定温度分布。 U 定解问题为：
u xx u yy 0 u | y b U u |x 0 u |x a u | y 0 u0
真实时间：
T t t
不同时间步下的温度分布
不满足稳定性条件时：
a 2 t
x
2
0.13 / 0.11/ 7.8 0.5 1 1.2 0.25 0.25 2
推进几步后温度就 出现负值，然后不 稳定性显著增长， 出现振荡
不同时间步下的温度分布
一阶波动方程
问题3：（1）方波传播 方波占据20个网格，位移为2.0，其他位移为0.5， 边界值也为0.5，传播速度为2.0。 （2）正弦波传播 正弦波占据20个网格，最大位移为1.5，其他位移 为0.5，边界值也为0.5，传播速度为2.0。
u 2 t C u 0 200 x / l , x l / 2 , u |t 0 f ( x ) 200 200 x / l , x l / 2 u |x 0 0, u |x l 0
取： l 2,
0.13,
C 0.11,
7.8
数值求解：
把杆分为8小段，空间步长dx = 2/8=0.25; 时间步长：dt = 0.01； 推进时间步为：100步 采用时间一阶，空间二阶的显格式进行离散，满足稳 定性条件：
a 2 t
x
2
0.13 / 0.11/ 7.8 0.01 1 0.024 0.25 0.25 2
第5章差分法
8
3、边界外虚结点用内结点示之 在上、下两边， * 0 * xds 0
5 7 , 6 8 , 2 12 , 1 13
误差值： ＝＞(Δ x3)
同理： f * f 2 f 4 df , o
2h dy fo ** f2 f4 2 fo (5) 2 h
混合二阶导数：
f o *' f o * f *1 f *3 / 2h 1 2h
f6 f5 f7 f8 1 f6 f8 f5 f7 2h 2 2 h 4h
CH 5 差 分 法
§5-1 导数的差分表示及差分方程
§5-2 应力函数的差分解
CH 5 差 分 法
解析方法——从微分方程积分求出用连续函数表示解 f(x)，精确解
差分解——是微分方程一种的数值方法，得出函数在若 干点的数值。 内容：将微分用有限差分代表替
dx x x 2 x1 df f f 2 f 1
y
' x
A B
C
D EFGH
I
J
0
0
0
0
0
0
0
0
0
＋4
2
0
0 0 0 －4 8 用力矩之和计算（面力之力矩之和）或者
12
D
x 8Ydx x 8 2 dx 4
6 8 6
'
x x0 h
2 1 2 f 3 f 0 f 0 h f 0 h ......( 3) 2
差分法
★【速算技巧五：差分法】李委明提示：“差分法”是在比较两个分数大小时，用“直除法”或者“化同法”等其他速算方式难以解决时可以采取的一种速算方式。
适用形式：两个分数作比较时，若其中一个分数的分子与分母都比另外一个分数的分子与分母分别仅仅大一点，这时候使用“直除法”、“化同法”经常很难比较出大小关系，而使用“差分法”却可以很好地解决这样的问题。
基础定义：在满足“适用形式”的两个分数中，我们定义分子与分母都比较大的分数叫“大分数”，分子与分母都比较小的分数叫“小分数”，而这两个分数的分子、分母分别做差得到的新的分数我们定义为“差分数”。
例如：324/53.1与313/51.7比较大小，其中324/53.1就是“大分数”，313/51.7就是“小分数”，而324-313/53.1-51.7=11/1.4就是“差分数”。
“差分法”使用基本准则——“差分数．．．：．．．”作比较．．．”代替．．．”与．“小分数．．“大分数1、若差分数比小分数大，则大分数比小分数大；2、若差分数比小分数小，则大分数比小分数小；3、若差分数与小分数相等，则大分数与小分数相等。
比如上文中就是“11/1.4代替324/53.1与313/51.7作比较”，因为11/1.4＞313/51.7（可以通过“直除法”或者“化同法”简单得到），所以324/53.1＞313/51.7。
特别注意：一、“差分法”本身是一种“精算法”而非“估算法”，得出来的大小关系是精确的关系而非粗略的关系；二、“差分法”与“化同法”经常联系在一起使用，“化同法紧接差分法”与“差分法紧接化同法”是资料分析速算当中经常遇到的两种情形。
三、“差分法”得到“差分数”与“小分数”做比较的时候，还经常需要用到“直除法”。
四、如果两个分数相隔非常近，我们甚至需要反复运用两次“差分法”，这种情况相对比较复杂，但如果运用熟练，同样可以大幅度简化计算。
【例1】比较7/4和9/5的大小【解析】运用“差分法”来比较这两个分数的大小关系：大分数小分数9/5 7/49－7/5－1=2/1(差分数)根据：差分数=2/1＞7/4=小分数因此：大分数=9/5＞7/4=小分数李委明提示：使用“差分法”的时候，牢记将“差分数”写在“大分数”的一侧，因为它代替的是“大分数”，然后再跟“小分数”做比较。
差分法：通过数列的差分性质,求得通项。
差分法：通过数列的差分性质，求得通项。
差分法：通过数列的差分性质，求得通项简介差分法是一种通过数列的差分性质来推导数列通项的方法。
差分法可以应用于各种数列，包括等差数列和等比数列。
通过观察数列的差分，我们可以找到数列的规律，并推导出数列的通项公式。
差分法的步骤1. 确定数列的差分次数：根据所给数列的性质，确定需要进行几次差分才能找到规律；2. 进行差分运算：将数列的连续项之间进行差分运算，得出新的数列；3. 分析差分后的数列：观察新数列的性质，判断是否存在某种规律；4. 推导数列通项公式：利用差分后的数列的性质，得出数列的通项公式。
例子假设有一个等差数列：1, 3, 5, 7, 9，我们想通过差分法求得该数列的通项。
1. 确定差分次数：由于该数列的项之间的差值都为2，我们只需要进行一次差分运算即可。
2. 进行差分运算：对该数列进行一次差分运算，得到新的数列：2, 2, 2, 2。
3. 分析差分后的数列：观察新数列，发现所有项的值都相同，说明这是一个等差数列。
4. 推导通项公式：由于每次差分的结果都是2，我们可以得出差分前的项之间的关系为+2，即 a(n) = a(n-1) + 2。
通过差分法，我们成功地推导出了等差数列 1, 3, 5, 7, 9 的通项公式：a(n) = 2n - 1。
总结差分法是一种简单而有效的方法，通过数列的差分性质可以推导出数列的通项公式。
通过确定差分次数、进行差分运算、分析差分后的数列和推导通项公式，我们可以解决各种数列问题，并找到数列的规律。
差分法在数学中有广泛的应用，对于求解数列问题很有帮助。
计算方法常微分方程的差分方法
01
扰动值满足原来的差分方程，如果原差分方程的解是不增长的，即有
03
从而需要
02
这时就能保证Euler方法的稳定性。
04
Euler格式条件稳定
隐式Euler格式是恒稳定(无条件稳定)的
隐式Euler方法
由于λ<0，从而有 与 恒成立。
1
则：
2
而
3
显然：
4
校正后的误差
从而有：
事后估计式
令pn和cn分别代表第n步的预报值和校正值， 和
可作为pn+1和cn+1的改进值。在cn+1未确定前，可用pn-cn来代替pn+1-cn+1进行计算。
改进后的公式
Exercises 习题3的第13题。
设xn-x0=nh≤T(T为常数)，则
从而
显然，如果初值准确，则有h→0,en → 0.
1
Euler格式收敛。
2
04
03
01
02
稳定性
每一步的计算并不严格准确，存在计算误差的传播问题——扰动。
若
则称为稳定的。
Euler格式和隐式Euler格式
稳定性问题的讨论
Euler格式 设在节点值yn上有一扰动值εn，它的传播使节点值yn+1上产生大小为εn+1的扰动值。假设Euler方法的计算过程不再引入新的误差，则扰动值满足：
改进的思路：
01
先用欧拉方法求得一个初步的近似值，记为 (预报值)，代替右侧的yn+1直接计算，得到校正值yn+1。
02
改进的Euler公式
03
或如下平均化形式
例题
精度分析
差分法的原理
差分法的原理一、差分法的概述差分法是一种常用的数值计算方法，它通过对函数的差分进行近似求解，从而得到函数在某些点上的近似值。
差分法可以用于求解各种类型的微分方程和积分方程，也可以用于对数据进行平滑处理和趋势预测等。
二、差分法的基本原理差分法的基本原理是利用函数在某个点附近的导数与函数在该点处的取值之间的关系来进行近似计算。
具体来说，如果我们想要求解函数f(x)在x=x0处的导数f'(x0)，我们可以通过计算函数在x0+h和x0-h 两个点上取值之间的差异来近似求解。
这个过程可以表示为：f'(x0) ≈ [f(x0+h) - f(x0-h)] / (2h)其中h为一个足够小的正数，它表示我们所使用的差分步长。
当h越小时，我们得到的结果就会越接近于真实值。
三、一阶前向差分法一阶前向差分法是最简单、最基础也是最常用的一种差分方法。
它通过计算函数在相邻两个点上取值之间的差异来进行近似求解。
具体来说，如果我们想要求解函数f(x)在x=x0处的导数f'(x0)，我们可以通过计算函数在x=x0和x=x0+h两个点上取值之间的差异来近似求解。
这个过程可以表示为：f'(x0) ≈ [f(x0+h) - f(x0)] / h其中h为一个足够小的正数，它表示我们所使用的差分步长。
当h越小时，我们得到的结果就会越接近于真实值。
四、一阶后向差分法一阶后向差分法也是一种常用的差分方法。
它与一阶前向差分法相似，只是计算函数在相邻两个点上取值之间的差异时采用了不同的方式。
具体来说，如果我们想要求解函数f(x)在x=x0处的导数f'(x0)，我们可以通过计算函数在x=x0-h和x=x0两个点上取值之间的差异来近似求解。
这个过程可以表示为：f'(x0) ≈ [f(x0) - f(x0-h)] / h其中h为一个足够小的正数，它表示我们所使用的差分步长。
当h越小时，我们得到的结果就会越接近于真实值。
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变分法中根据平衡状态时的能量处于极小值的条件，建 立变分方程，进行求解。弹性力学中的变分法和微分方 程是沟通的，可以互相导出。
有限元法 : 首先将区域离散化，把连续体变化为
离散结构；然后将连续体的能量极小值条件应用到离散 结构，从而建立求解的方法。有限元法应用计算机进行 计算，可以有效地解决各种复杂的工程问题。
14
也可能是应力函数等等。
第五章 用差分法和变分法解平面问题
1 差分法定义
x
第一节 差分公式的推导
12
h
84 5
2 推导差分公式
11 3 0 1 9 A 13
726
10
B
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14
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自己下面导出。
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2
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Ch 5用差分法和变分法解平面问题
学习指导
1. 弹性力学的基本解法： 弹性力学问题可以化为微 分方程的边值问题，通过求解，得出函数式的精确解答。
Notes：实际工程问题，荷载、边界条件的复杂性， 难以求出函数的解答。
近似解法：变分法、差分法和有限元法。
Ch 5用差分法和变分法解平面问题
学习指导
近似解法：变分法、差分法和有限元法。
726 10
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基本差分公式
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B 14
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也叫抛物线差 分公式
利用基本差分公式，可以导出其它 差分公式。
第五章 用差分法和变分法解平面问题
要求：理解这些近似解法，而且能够应用该近似解法。
第五章 用差分法和变分法解平面问题
第一节 差分公式的推导
1 差分法定义
第一节 差分公式的推导
差分法是微分方程的一种近似数值解法 。它不是去寻求函 数的解答，而是去求出函数在一些网格结点上的数值。
差分法就是把微分方程用有限差分代替，把导数用有限差 商代替，从而把基本方程和边界条件（一般均为微分方程） 改用差分方程（代数方程）来表示，把求解微分方程的问题 变换成为求解代数方程的问题。
第五章 用差分法和变分法解平面问题
第一节 差分公Biblioteka 的推导第一节 差分公式的推导
1 差分法定义 2 推导差分公式
结点：网格的交点。 步长：网格的间距。
12 84 5 11 3 0 1 9 726
x
h
A 13
10
设任一函数f(x,y)为弹性体内
B
的某一个连续函数，它可能是
h
某一个应力分量或者位移分量， y
第一节 差分公式的推导
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弹性力学中的变分方程和微分方程是沟通的，可以 互相导出。
变分法得出的解答常常是近似的解答，将变分法也归入 弹性力学的近似解法。
Ch 5用差分法和变分法解平面问题
学习指导
近似解法：变分法、差分法和有限元法。
4. 有线单元法 是20世纪中期发展起来的弹性力学近 似解法。在有限单元法中，首先将区域离散化，把连续 体变化为离散化结构；然后将连续体的能量极小值条件 应用到离散化结构，从而建立求解的方法。
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2. 差分法是微分方程的一种近似解法。差分法中， 将连续函数用一些结点上的函数值来代替，并从而将微 分方程及其边界条件变化为差分（代数）方程，使问题 易于求解。
采取的手段：将连续函数离散。
Ch 5用差分法和变分法解平面问题
学习指导
近似解法：变分法、差分法和有限元法。
3. 变分法是弹性力学中另一种独立的求解方法。在 变分法中根据平衡状态时的能量处于极小值的条件，建 立便分方程，并进行求解。
有限元法应用计算机进行计算，可以有效地解决各 种复杂的工程问题。
要求：理解这些近似解法，能够应用这些近似解法 解决工程实际问题。
第五章 用差分法和变分法解平面问题 第一节 差分公式的推导
差分法： 是微分方程的一种近似数值解法。在差分
法中，将连续函数用结点上的函数值来代替，并从而将微 分方程及其边界条件变换为差分（代数）方程，使问题易 于解决。在这种方法中采用了将函数离散的手段。
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第五章 用差分法和变分法解平面问题