高等数学B(上)复习资料

华南理工大学网络教育学院 《高等数学（上）》辅导

一、 求函数值 例题：

1、若2()f x x =，()x x e ϕ=，则(())f x ϕ= ． 解：()

2

2(())()x

x x f x f e e

e ϕ===

2、若(1)21f x x -=+，则()f x = ． 解：令1x t -=，则1x t =+ 所以()2(1)123f t t t =++=+

即 ()23f x x =+

二、 常见的等价无穷小及等价无穷小替换原理 常见的等价无穷小：

0~sin ~tan ~arcsin ~arctan x x x x x x →时,

~ln(1)~x x x e +-1

211cos ~,2x x -1

1~2

x -

无穷小替换原理：在求极限过程中，无穷小的因子可以用

相应的等价无穷小替换

例题： 1、320sin 3lim x x

x

→= 解：当0sin3~3x x x →，

， 原式=3

200(3)lim lim270x x x x x

→→==

2、0sin3lim x x

x →=

解：原式=03lim

3x x

x

→=

3、201-cos lim

x x

x

→= 解：当2

10cos ~2x x x →，1-

原式=220112lim 2x x

x →=

4、0ln(13)

lim

x x x

→+=

解：当03)~3x x x →，ln(1+

原式=.03lim

3x x

x

→=.

5、201

lim x x e x

→-=

解：当201~2x x e x →-，

原式=.02lim 2x x x →=.

三、 多项式之比的极限

2lim 03x x

x x →∞=+，22

11lim 33x x x x →∞-=+，23lim x x x x

→∞+=∞

四、 导数的几何意义（填空题）

0()f x '：表示曲线()y f x =在点00(,())M x f x 处的切线斜率

曲线..()y f x =..在点00(,())M x f x 处的切线方程为：

000()()()y f x f x x x '-=-

曲线()y f x =在点00(,())M x f x 处的法线方程为：

0001

()()()

y f x x x f x -=-

-' 例题： 1、曲线44x

y x

+=-在点(2,3)M 的切线的斜率． 解：2

22

(4)'(4)(4)(4)(4)x x x x x x y x =='

+--+-'=

- 2

2

82(4)x x ==

=-

2、曲线cos x x

y e =在点(0,1)M 处的切线方程．

解：2

(cos )'cos ()()x x x x x x e x e y e =='

-'= 2

sin cos 1()x x

x x xe xe e =--=

=-

所以曲线cos x x

y e

=

在点(0,1)M 处的切线方程为： 1(0)y x -=--，即10x y +-=

3

、曲线y =

在点(1,1)M 处的切线方程． 解：5

3

11

223

3x x y x =='=-=-

所以曲线y =

在点(1,1)M 处的切线方程为：

2

1(1)3y x -=--，即2350x y +-=

五、 导数的四则运算、复合函数的导数、微分 复合函数求导的链式法则：

d d d (),()[()]:

d d d y y u y f u u g x y f g x x u x

==⇒==⋅

()()().y x f u g x '''=⋅或

微分：()dy f x dx '= 例题：

1

、设y =，则'y =

解：()(

)1'

2

221112

y x x -'=+⋅+=

2、设2sin y x =，则'y = 解：()'

'

2

22

cos 2cos y x x

x x =⋅=

3、设sin 2x y =，则dy = 解：()'

'

sin sin 2

ln 2sin 2cos ln 2x

x y x x =⋅=

则dy =sin 2cos ln 2x x dx

4、设sin x y e =，则dy = 解：()'

'

cos cos x

x x

x y e e

e

e =⋅=

所以cos x x dy e e dx = 5、设2

x y e -=，则dy =（答案：2

2x xe

dx --）

六、 运用导数判定单调性、求极值 例题：

1、求ln y x x =的单调区间和极值． 解：定义域(0,)x ∈+∞

令ln 10y x '=+=，求出驻点1x e -=

函数的单调递减区间为1(0,]e -，单调递增区间为1(,)e -+∞

极小值为11

()y e e

=-．