离散数学及其应用课件第8章特殊图
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离散数学第八章第3讲课件.ppt
6
5 u0 fedb
acg69 Nhomakorabea6
6 u0 fedba cg
9
6
7 u0 fedbag c
9
8 u0 fedbagc
S
S’ l(a) l(b) l(c) l(d) l(e) l(f) l(g)
利用Dijkstra算法求最短路径结果
f
2
e
71 2
35 1
a
8
7
2
u0 4
4
3
g3
46
d
b
6c
f
2
e
71 2
35 1
a
8
7
2
u0 4
4
3
g3
46
d
b
6c
算法执行过程
f
2
7
12
e
35
1
a
8 u0 4
24
7
3
3
4g 6
d
1 u0
2 u0 f 3 u0 fe 4 u0 fed
b
6c
abcdefg 8 4 ∞ ∞ 2 1 7
abcdeg 8 4 ∞ 4 2
7
abcdg 8 4 ∞ 3
7
abcg
849
１． 邻接矩阵
定义：设Ｇ＝＜Ｖ，Ｅ＞是简单图，其中V={v1,v2,…vn}， 定义一个nxn的矩阵A，并把其中各元素 aij 表示成：
aij
1 0
若〈vi ,v j〉 E 若〈vi ,v j〉 E
则称矩阵A为图G的邻接矩阵。
例： 图Ｇ＝＜Ｖ，Ｅ＞和其邻接矩阵如下图所示：
０１００
A
００１１ １１０１
(优选)离散数学图论版
(3)G1与G2的差,定义为图G3＝〈V3,E3〉,记为G3=G1-G2。 其中E3=E1-E2,V3=(V1-V2)∪{E3中边所关联的顶点}。 (4)G1与G2的环和,定义为图G3＝〈V3,E3〉,
G3=(G1∪G2)-(G1∩G2),记为G3=G1 G2。
除以上4种运算外,还有以下两种操作:
E={e1,e2}={(v1,v2),(ห้องสมุดไป่ตู้2,v3)};
f(v1)=5,f(v2)=8,f(v3)=11;
g(e1)=4.6,g(e2)=7.5
8.1.2 结点的次数
定义8.1―4在有向图中,对于任何结点v,以v为始点的 边的条数称为结点v的引出次数(或出度),记为deg+(v); 以v为终点的边的条数称为结点v的引入次数(或入度), 记为deg-(v);结点v的引出次数和引入次数之和称为 结点v的次数(或度数),记作deg(v)。在无向图中,结点 v的次数是与结点v相关联的边的条数,也记为deg(v)。
i 1
i 1
定理8.1―2在图中,次数为奇数的结点必为偶数个。
证 设次数为偶数的结点有n1个,记为(i=1,2,…,n1)。 次数为奇数的结点有n2个,记为(i=1,2,…,n2)。
由上一定理得
n
n1
n2
2m deg(i ) deg(Ei ) deg(Oi )
i 1
i 1
i 1
因为次数为偶数的各结点次数之和为偶数。所以
孤立结点的次数为零。
定理8.1―1 设G是一个(n,m)图,它的结点集合为
V={v1,v2,…,vn},则 n
deg(i ) 2m
i 1
证 因为每一条边提供两个次数,而所有各结点次数
之和为m条边所提供,所以上式成立。
G3=(G1∪G2)-(G1∩G2),记为G3=G1 G2。
除以上4种运算外,还有以下两种操作:
E={e1,e2}={(v1,v2),(ห้องสมุดไป่ตู้2,v3)};
f(v1)=5,f(v2)=8,f(v3)=11;
g(e1)=4.6,g(e2)=7.5
8.1.2 结点的次数
定义8.1―4在有向图中,对于任何结点v,以v为始点的 边的条数称为结点v的引出次数(或出度),记为deg+(v); 以v为终点的边的条数称为结点v的引入次数(或入度), 记为deg-(v);结点v的引出次数和引入次数之和称为 结点v的次数(或度数),记作deg(v)。在无向图中,结点 v的次数是与结点v相关联的边的条数,也记为deg(v)。
i 1
i 1
定理8.1―2在图中,次数为奇数的结点必为偶数个。
证 设次数为偶数的结点有n1个,记为(i=1,2,…,n1)。 次数为奇数的结点有n2个,记为(i=1,2,…,n2)。
由上一定理得
n
n1
n2
2m deg(i ) deg(Ei ) deg(Oi )
i 1
i 1
i 1
因为次数为偶数的各结点次数之和为偶数。所以
孤立结点的次数为零。
定理8.1―1 设G是一个(n,m)图,它的结点集合为
V={v1,v2,…,vn},则 n
deg(i ) 2m
i 1
证 因为每一条边提供两个次数,而所有各结点次数
之和为m条边所提供,所以上式成立。
离散数学第8章课件PPT,高等教育出版社,屈婉玲,耿素云,张立昂主编
17
证明
(2) 假设存在x1, x2∈A使得 由合成定理有 f g(x1)=f g(x2)
g(f(x1))=g(f(x2)) 因为g:B→C是单射的, 故 f(x1)=f(x2). 又由于f:A→B是单射的, 所 以x1=x2. 从而证明f g:A→C是单射的. (3)由(1)和(2)得证. 注意：定理逆命题不为真, 即如果f g:A→C是单射(或满射、双 射)的, 不一定有 f:A→B 和 g:B→C都是单射(或满射、双射)的.
16
函数复合与函数性质
定理8.2 设f:A→B, g:B→C (1) 如果 f:A→B, g:B→C是满射的, 则 fg:A→C也是满射的 (2) 如果 f:A→B, g:B→C是单射的, 则 fg:A→C也是单射的 (3) 如果 f:A→B, g:B→C是双射的, 则 fg:A→C也是双射的 证 (1) 任取c∈C, 由g:B→C的满射性, b∈B使得 g(b)=c. 对于这个b, 由 f:A→B的满射性，a∈A使得 f(a)=b. 由合成定理有 fg(a) = g(f(a)) = g(b) = c 从而证明了fg:A→C是满射的
4
实例
例1 设A={1,2,3}, B={a,b}, 求BA. 解BA={ f0, f1, … , f7}, 其中 f0 = {<1,a>,<2,a>,<3,a>} f1 = {<1,a>,<2,a>,<3,b>} f2 = {<1,a>,<2,b>,<3,a>} f3 = {<1,a>,<2,b>,<3,b>} f4 = {<1,b>,<2,a>,<3,a>} f5 = {<1,b>,<2,a>,<3,b>} f6 = {<1,b>,<2,b>,<3,a>} f7 = {<1,b>,<2,b>,<3,b>}
证明
(2) 假设存在x1, x2∈A使得 由合成定理有 f g(x1)=f g(x2)
g(f(x1))=g(f(x2)) 因为g:B→C是单射的, 故 f(x1)=f(x2). 又由于f:A→B是单射的, 所 以x1=x2. 从而证明f g:A→C是单射的. (3)由(1)和(2)得证. 注意：定理逆命题不为真, 即如果f g:A→C是单射(或满射、双 射)的, 不一定有 f:A→B 和 g:B→C都是单射(或满射、双射)的.
16
函数复合与函数性质
定理8.2 设f:A→B, g:B→C (1) 如果 f:A→B, g:B→C是满射的, 则 fg:A→C也是满射的 (2) 如果 f:A→B, g:B→C是单射的, 则 fg:A→C也是单射的 (3) 如果 f:A→B, g:B→C是双射的, 则 fg:A→C也是双射的 证 (1) 任取c∈C, 由g:B→C的满射性, b∈B使得 g(b)=c. 对于这个b, 由 f:A→B的满射性，a∈A使得 f(a)=b. 由合成定理有 fg(a) = g(f(a)) = g(b) = c 从而证明了fg:A→C是满射的
4
实例
例1 设A={1,2,3}, B={a,b}, 求BA. 解BA={ f0, f1, … , f7}, 其中 f0 = {<1,a>,<2,a>,<3,a>} f1 = {<1,a>,<2,a>,<3,b>} f2 = {<1,a>,<2,b>,<3,a>} f3 = {<1,a>,<2,b>,<3,b>} f4 = {<1,b>,<2,a>,<3,a>} f5 = {<1,b>,<2,a>,<3,b>} f6 = {<1,b>,<2,b>,<3,a>} f7 = {<1,b>,<2,b>,<3,b>}
CH8一些特殊的图.ppt
若V1中任一顶点与V2中任一顶点均有且仅有一条 边相关联，则称此二 部图为完全二部图。
2/24/2021 4:35 PM
3
定理： 一个无向图是二部图当且仅当G中无奇 数长度的回路。
2/24/2021 4:35 PM
4
基本术语
匹配 二部图G=(V,E)中, 若ME, 且 M中任意两条边都没有公共顶点，则 称M为G中的匹配。
2/24/2021 4:35 PM
10
分析 无奇数长度回路的只有图(3)，(4)，(5) ，因而它们都是二部图；也可根据定义，直接 将两个顶点集找出，进而判断是否是二部图。 一个图存在完美匹配的一个必要条件是具有偶 数个顶点，只有图(4)具有偶数个顶点，并且它 存在完美匹配，匹配数是3。
2/24/2021 4:35 PM
具有哈密顿回路的图称为哈密顿图。 不具有哈密顿回路但具有哈密顿通路的图 称为半哈密顿图
2/24/2021 4:35 PM
25
(1)是半哈密顿图: 存在哈密顿路，不存在哈密顿 回路
当无奇度顶点时，是欧拉回路。
充分性：
若(1），(2)成立,构造欧拉通路或回路.
2/24/2021 4:35 PM
15
L1: a, c, b L2: a, d, b,a L1+L2: a, d, b, a, c, b
2/24/2021 4:35 PM
16
L1: a, c, b L2: a, d, b,a
问在以上3种情况下能否各选出3名不兼职的组长？
2/24/2021 4:35 PM
8
解：设v1,v2,v3,v4,v5分别表示张、王、李、赵、陈。 u1,u2,u3分别表示物理组、化学组、生物组。在3种情 况下作二部图分别记为G1,G2,G3，如图所示。
2/24/2021 4:35 PM
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定理： 一个无向图是二部图当且仅当G中无奇 数长度的回路。
2/24/2021 4:35 PM
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基本术语
匹配 二部图G=(V,E)中, 若ME, 且 M中任意两条边都没有公共顶点，则 称M为G中的匹配。
2/24/2021 4:35 PM
10
分析 无奇数长度回路的只有图(3)，(4)，(5) ，因而它们都是二部图；也可根据定义，直接 将两个顶点集找出，进而判断是否是二部图。 一个图存在完美匹配的一个必要条件是具有偶 数个顶点，只有图(4)具有偶数个顶点，并且它 存在完美匹配，匹配数是3。
2/24/2021 4:35 PM
具有哈密顿回路的图称为哈密顿图。 不具有哈密顿回路但具有哈密顿通路的图 称为半哈密顿图
2/24/2021 4:35 PM
25
(1)是半哈密顿图: 存在哈密顿路，不存在哈密顿 回路
当无奇度顶点时，是欧拉回路。
充分性：
若(1），(2)成立,构造欧拉通路或回路.
2/24/2021 4:35 PM
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L1: a, c, b L2: a, d, b,a L1+L2: a, d, b, a, c, b
2/24/2021 4:35 PM
16
L1: a, c, b L2: a, d, b,a
问在以上3种情况下能否各选出3名不兼职的组长？
2/24/2021 4:35 PM
8
解：设v1,v2,v3,v4,v5分别表示张、王、李、赵、陈。 u1,u2,u3分别表示物理组、化学组、生物组。在3种情 况下作二部图分别记为G1,G2,G3，如图所示。
第八章图论
3. 图的结点与边之间的关系 定义 如果边e={vi,vj}是G的边, 则称结点vi 和vj邻接的, 边e和结点vi ，边e和结点vj称为关联的。 没有与边关联的结点称为孤立点。 关联于同一结点的相异边称为邻接的。 不与任何边邻接的边称为孤立边。
例1
在上图中显然e1和e2, e1与e4是邻接的, 结点v1和v2,v2和v4等是邻接的, 没有孤立点和孤立边。
例2.如下图中:
图(a)是伪图。图(b)是有向多重 图。 最右第三个图是简单图有权图。
三、结点的度
1.定义 图G中关联于结点vi的边的总数称为 结点vi的度, 用deg(vi)表示。
2.定理1(握手定理) 图G的所有结点的度的总和为边数 的二倍。即若G为具有n结点的(n,m)图, 则有： n deg(vi ) 2m
例8 如下图
(a)是连通图。 (b)是一个具有三个分图 的非连通图。 结论： (1)一个图的分图必是连通的； (2)一个连通图一定只能有一个分图。
例11 对于图的连通性，常常由于删除了 图中的结点和边而影响了图的连通性。
在连通图(a)中删除边e后, 则变成了不连通 的图(b)。
8.2 图的矩阵表示
2. 有向图的定义 定义 设G=(V,E), V是一个有限非空集合, E是V中不同元素的有序对偶的集合, 则称G是一有向图。在有向图G中 若vi≠vj,则(vi,vj)和(vj,vi)表示两条 不同的边,且用一个从结点vi指向vj 的箭头表示边(vi,vj)。
定义 具有n个结点和m条边的图称为(n,m)图。 (n,0)图称为零图。(1,0)图称为平凡图。
三、边割集、点割集 定义3 设图G=<V,E>是连通图,若有E的子集S, 使得在图G中删去了S的所有边后, 得到的子图G-S变成具有两个分图的不连通图, 删去了S的任一真子集后所得子图仍是连通图， 则称S是G的一个边割集。 注：割边是边割集的一个特例。
离散数学第八章第1讲课件.ppt
B
C
例：
一个3阶有向图的度序列是2，2，4，入度序列是
2，0，2，出度序列是
.
定理3：在任何有向图中，所有结点的入度和等于所有结点 的出度之和。
证：因为每一条有向边必对应一个入度和出度，若一个 结点具有一个入度或出度，则必关联一条有向边，所以， 有向图中各结点入度和等于边数，各结点出度和也是等 于边数，因此，任何有向图中，入度之和等于出度和。
A
最大度,记为：△(G)=max{d(v)| vV} B
E
最小度,记为：δ(G)=min{d(v)| vV}
D
C
定理1 (握手定理) ：每个图中，结点度数的总和等于边 数的两倍。即
deg(v) 2 E
vV
证：∵每条边必关联两个结点，而一条边给于关联的每 个结点的度数为1。 故上述定理成立。
例：在一次10周年同学聚会上，想统计所有人握手的 次数之和，应该如何建立该问题的图论模型？
如下图，（a）和（b）互为补图。
v1
v1
v2
v5
v4
v3 （a）
v2 v3
v5 v4 （b）
例：对于n阶简单无向图G，若其边数为m，试计算G 的补图 的边数。
（12）子图：设图G =<V，E>，如果有图G=<V，E>， 且EE，VV，则称 G 为 G 的子图。
如下图， =<V，E>及图G=<V，E>，如果存在一双射函 数g：vi→vi且e=（vi，vj）是G的一条边，当且仅当 e=（g（vi ），g（vj））是 G 的一条边，则称G与G同 构，记作G≌G。
两个图同构的充要条件是：两个图的结点和边分别存在 着一一对应的关系，且保持关联关系。
离散数学6——8章ppt
一、路径，回路。 1、路径 (回路) —— G 中顶点和边的交替序列
(v ,v (无向图)， ，其中 e v e v e e v i i 1 i) 0112 l l
或e v 0 ——始点， i v i 1,v i (有向图)，
v l ——终点，称 为 v 0 到 v l 的通路。当 v 0 v l
并且 e 与 e ' 重数相同，则称 G 1 与 G 2 同构， 记作 G1 ≌ G2 。
例 4、
b
(1) (2)
a d c (3) e c
e
v1
v4 v5 v2
(4)
v3
a
v1 v2 v3 v4
(7)
v6 v5
f
(5)
b
(6)
d
例5、(1) 画出4个顶点，3条边的所有非同构 的无向简单图。 解：只有如下3个图：
…………
例1、(1)
图(1)中，从 v 1 到 v 6 的路径有：
v e v e v e v 1 1125576
v e v e v e v e v e v e v 2 1 1 2 2 3 3 4 4 2 5 5 7 6
基本路径 简单路径 复杂通路
v e v e v e v e v e v e v 3 1 1 2 5 5 6 4 4 2 5 5 7 6
2、图的表示法。
有向图，无向图的顶点都用小圆圈表示。
无向边 ( a , b )
——连接顶点 a , b 的线段。
有向边 a , b ——以 a 为始点，以 b 为终点的有向线段。
例1、(1) 无向图 G V, E ， V v , vvvv ,3 ,4 ,5 1 2
第8章 一些特殊的图 [离散数学离散数学(第四版)清华出版社]PPT课件
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若街道图（街道的交叉口为顶点）存在欧拉 通路，显然此路是全程最短。
9/16/2020
第四部分：图论（授课教师：向胜军）
11
有向欧拉图的例子
❖一个模数转换中的应用举例：
旋转鼓设计：只需要16个物理触点便可以表示0-15总共16个不同的状态。
如何安排这16个触点使每转过一个触点都得到一个不同的二进制信号。
❖ 连通有向图D具有欧拉通路当且仅当D中除了两个 顶点外，其余顶点的入度均等于出度。这两个特 殊的顶点中，一个顶点的入度比出度大1，另一个 顶点的入度比出度小1。
9/16/2020
第四部分：图论（授课教师：向胜军）
10
中国邮递员问题
(欧拉通路的应用)(加权图)
问题:
邮递员从邮局出发，走遍投递区域的所有街 道，送完邮件后回到邮局，怎样使所走的路线全 程最短。
第八章 一些特殊的图
9/16/2020
§1 二部图 §2 欧拉图 §3 哈密尔顿图 §4 平面图
第四部分：图论（授课教师：向胜军）
1
§1 二部图
无向图G是二部图当且
仅当G中无奇数长度的
❖ 二部图(偶图)：G=<V1,V2,E>
回路。
❖ 完全二部图(完全偶图)：Kn,m，其中|V1| =n, |V2|=m.
（求布鲁英序列）
0000
❖每转一个触点，信号1234变成2345，
000
前者后三位决定了后者的前三位。因此，可把所
0001
1000
001
1001
0010 010 0100
100
有三位二进制数作顶点，从每一个顶点123到 234引一条有向边表示1234这个4位二进
制数，做出表示所有可能的码变换的有向图。于
9/16/2020
第四部分：图论（授课教师：向胜军）
11
有向欧拉图的例子
❖一个模数转换中的应用举例：
旋转鼓设计：只需要16个物理触点便可以表示0-15总共16个不同的状态。
如何安排这16个触点使每转过一个触点都得到一个不同的二进制信号。
❖ 连通有向图D具有欧拉通路当且仅当D中除了两个 顶点外，其余顶点的入度均等于出度。这两个特 殊的顶点中，一个顶点的入度比出度大1，另一个 顶点的入度比出度小1。
9/16/2020
第四部分：图论（授课教师：向胜军）
10
中国邮递员问题
(欧拉通路的应用)(加权图)
问题:
邮递员从邮局出发，走遍投递区域的所有街 道，送完邮件后回到邮局，怎样使所走的路线全 程最短。
第八章 一些特殊的图
9/16/2020
§1 二部图 §2 欧拉图 §3 哈密尔顿图 §4 平面图
第四部分：图论（授课教师：向胜军）
1
§1 二部图
无向图G是二部图当且
仅当G中无奇数长度的
❖ 二部图(偶图)：G=<V1,V2,E>
回路。
❖ 完全二部图(完全偶图)：Kn,m，其中|V1| =n, |V2|=m.
（求布鲁英序列）
0000
❖每转一个触点，信号1234变成2345，
000
前者后三位决定了后者的前三位。因此，可把所
0001
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001
1001
0010 010 0100
100
有三位二进制数作顶点，从每一个顶点123到 234引一条有向边表示1234这个4位二进
制数，做出表示所有可能的码变换的有向图。于
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离散数学及其应用
第8章 特殊图
8.1 欧拉图与哈密顿图 8.2 带权图 8.3 匹配和二分图 8.4 平面图
8.1 欧拉图与哈密顿图
哥尼斯堡七桥问题、周游世界问题
欧拉图
定义8.1.1 设G=（V，E）是无向图或有向图，若G中有一条 包含所有边（有向边）的简单回路，称该回路为欧拉回路，称 图G为欧拉图。若G中有一条包含G中所有边（有向边）的简 单通路，称它为欧拉通路，称图G为半欧拉图。
a
a
5
12 b
8
5
e4
b
85
e4
7 16
9
8
9
c 9d
c 9d
n个结点的图上，以每个结点为起点的所有的哈密顿回 路共有(n-1)! 条，需要计算(n-1)!/2条回路的权值来求出答案。 当结点较多时用这种方法解决旅行商问题是不切实际的，常 用近似算法求解旅行商问题。
8.2.2最短路径问题
– 在一个无向简单连通边带权图G=（V，E，W）中，从u到v
定理8.1.1证明
定理8.1.1 无向连通图G是欧拉图，当且仅当G的所有结点的度数都 是偶数。
证明：（必要性） 设G是欧拉图，则G有欧拉回路C。设a是图G的任一结点，欧拉回路 经过和a关联的边到结点a后又经过另一条和a关联的边离开到下一个结 点b，因此每经过一个结点a就给它的度数贡献2度。若欧拉回路k次经过 结点a，则d（a）=2k。所以，欧拉图的所有结点的度数都是偶数。 （充分性） 假设G中所有结点的度数都是偶数。从G中的任一结点v1开始，经过 任一和v1关联的边e1到另一结点v2，再经过另一和v2关联的边e2到另一结 点v3，依此类推，可以得到一条包含G的边的简单回路C1：v1 e1 v2 e2 v3 em v1。
欧拉图
半欧拉图
8.1.2 哈密顿图
环游世界问题
哈密顿图
定义8.1.3 设图G=（V，E）是无向图或有向图。若G中有一 条包含G的所有结点(仅一次)的回路，称该回路为哈密顿回路， 称图G为哈密顿图。若图G有一条包含G的所有结点的通路， 称该通路为哈密顿通路，称图G为半哈密顿图。
(1)是半哈密尔顿图
2. 修改和结点u相邻的结点的标记值：L(vi)= W(u,vi)。 3. 将具有最小L值的结点记为t，并添加到结点集S中，即S = S{t}。 4. 修改和结点t相邻且不在集合S中的结点的L值： L(vi)=min{L(vi), L(t)+W(t,vi)}。 5. 重复3和4直到结点v被添加到集合S中。
例8.1.2 在下图中，哪些是欧拉图？哪些是半欧拉图？
欧拉图
欧拉图
半欧拉图
欧拉有向图
定义8.1.2 如果连通有向图G中有一条包含G中所有有向边 的有向回路，称它为欧拉有向回路，称图G为欧拉有向图。如 果连通有向图G中有一条包含G中所有有向边的有向通路，称 它为欧拉有向通路，称图G为半欧拉有向图。
a
格雷码
要找到格雷码，可以用n立方体Qn来建模。在Qn图上找一条 哈密顿回路，按哈密顿回路上的结点顺序对应的二进制码序列
就是格雷码。例如，
10
11
110
111
010
011
00
01
100
101
000
001
8.2 带权图
设G=<V,E,W>，V={v1，v2，…，vn}是顶点集合，E是边集
合，W: VVR是赋值函数。
定义8.3.2若M是G的一个匹配，M的边和结点v关联，则称v 为M饱和点，否则称v为M非饱和点。若G=（V，E）的每个结 点都是M饱和点，则称M为G的一个完美匹配。
例题
(1). {e1, e7}是图的一个匹配，也是一个极大匹配， { e2, e4, e8} 是图的最大匹配，也是完美匹配。 (2). {e2, e6}、{e3, e5}是图的匹配，也是极大匹配，{ e1, e4, e7} 是图的一个最大匹配，也是完美匹配。 (3).{e3, e4}、{e1, e5}、{e2, e6}、{e4, e7}等都是极大匹配，也是 最大匹配，没有完美匹配。
M交错路和M可扩充路
定义8.3.3 若M是G=（V，E）的一个匹配，从G中的一个结 点到另一个结点存在一条由属于M的边和不属于M的边交替出 现组成的简单路，则称这条简单路为M交错路。若M交错路的 两端点为M非饱和点时，称这条M交错路是M可扩充路。
最大匹配的充分必要条件
在图（1）中，M={e1，e7}是图的一个匹配， { e2, e1, e4, e7, e8}是M交错路，而且是M可扩充 路。匹配M1={ e2, e4, e8}比M更大。
定理8.1.2证明
定理8.1.2 连通无向图G为半欧拉图，当且仅当G中只有两 个奇度数的结点。
证明 在连通无向图G的两个奇度数的结点之间加一条边e得 到图G，则图G的所有结点的度数都是偶数，有欧拉回路。在 G的欧拉回路中删去这条边e，则可得到一条包含G中所有边 的欧拉通路。因此图G是半欧拉图。
例题
欧拉图
半欧拉图
例题
例8.1.1 在下面的图中，哪些有欧拉回路？没有欧拉回路的图中，
哪些有欧拉通路？
a
a
a
b
cb
cb
c
d
ed
b-c-d-b-e-c-a-b
ed
e
b-d-c-e-b-a-c
欧拉图的判断
定理8.1.1 无向连通图G是欧拉图，当且仅当G的所有结点 的度数都是偶数。
定理8.1.2 连通无向图G为半欧拉图，当且仅当G中只有两 个奇度数的结点。
定理 8.2.1 设G（V，E，W）为一个连通的带权图，则使附 加边子集E1 的权数W(E1)为最小的充分必要条件是G+E1 中任 意边至多重复一次，且G+E1 中的任意回路中重复边的权值之 和不大于该回路总权值的一半。
中国邮路问题
8.3 匹配和二分图
定义8.3.1 在图G=(V，E)中, 若ME, 且M中任意两条边都不 相邻，则称M为G的一个匹配。若在M中再加入任意其它的边e， M{e}有相邻的边，则称M为G的极大匹配。若G中不存在匹 配M1，使得|M1| >| M|，则称M为G的最大匹配。
旅行商问题(TSP) – 完全无向图的每个结点表示一个城市，用两个城市之间
的距离作为边的权，可以得到一个边带权的完全无向图。 旅行商问题是在这样的图中寻找一条旅行总距离最短的 经过每个城市一次且仅一次，又回到出发城市的旅行线 路的问题。这个问题等价于求带权完全图中总权值最小 的哈密顿回路。
8.2.1 旅行商问题
用格雷码表示的最大数与最小数之间也仅一位数不同，即 “首尾相连”，因此这种编码又称循环码。在数字系统中，常要 求代码按一定顺序变化。例如，按自然数递增计数，若采用 8421码，则数0111变到1000时四位均要变化，而在实际电路中， 4位的变化不可能绝对同时发生，则计数中可能出现短暂的其 它代码（如0110、1111等）。在特定情况下可能导致电路状态 错误或输入输出错误。使用格雷码，变化到下一状态时只有1 位不同，可以避免这种错误。
– 用图论的述语，在一个连通的带权图G=（V，E，W）中，要 寻找一条回路，使该回路包含G中的每条边至少一次，且该回 路的总权值最小，也就是说要从包含G的每条边的回路中找一 条总权值最小的回路。
中国邮路问题
如果G是欧拉图，只要求出图G的一条欧拉回路即可。 因此问题就转化为：在有奇度数结点的连通带权图中，在 包含G中每条边至少一次的回路中找一条总权值最小的回路。
(2)为哈密尔顿图
(3)没有哈密顿通路，也没有哈 密顿回路
哈密顿图的必要条件
定理8.1.5 设无向图G=（V，E）是哈密顿图，则对于结点
集V的每一个真子集S均有：W(G-S)|S|, 其中，W(G-S)是G-S的
导出子图的连通分支数。
例如：彼德森图中对于结点集V的每一个真子集S均有：
W(G-S)|S|。但彼德森图不是哈密顿图。
d
a
d
a
d
b
Hale Waihona Puke cb欧拉有向图
c
b
c
半欧拉有向图
欧拉有向图的判断
定理8.1.3 连通有向图G是欧拉图，当且仅当G中每个结点v 的入度等于它的出度。
定理8.1.4 连通有向图G是半欧拉图，当且仅当G中有且仅 有两个奇度数结点，其中一个结点的入度比出度大1，另一个 结点的入度比出度小1。
例题
例8.1.3 在图中，哪些是欧拉图？哪些是半欧拉图？
图G的一条哈密顿回路是ABDFGECA，按这条哈密顿回路安排就坐成一圈, 每个 人都能与两旁的人交谈。
应用2-格雷码
例8.1.6 在一组数的编码中，若任意两个相邻的代码只有一 位二进制数不同，则称这种编码为格雷码。表8.1.1是2位格雷 码，表示数0~3，表8.1.2是3位格雷码，表示数0~7。
格雷码
中国邮路问题
首先注意到，若图G有奇数度结点，则G的奇数度结点必是偶数个． 把奇数度结点配为若干对，每对结点之间在G中有相应的最短路，将这 些最短路画在一起构成一个附加的边子集E1．令G1 =G+E1，即把附加边子 集E1 叠加在原图G上形成一个多重图G1，这时G1中没有奇度数结点．显然 G1是一个欧拉图，因而可以求出G1的欧拉回路．该欧拉回路不仅通过原图 G中每条边，同时还通过E1 中的每条边，且均仅一次． 邮递员问题的难点在于当G的奇数度节点较多时，可能有很多种配对方 法，应怎样选择配对，能使相应的附加边子集E1 的权数W(E1)为最小。
1
27
5
8
6
2
7
5
8
6
9 10
3
4
3
4
1
7
8
6
3
4
例题
例8.1.4 说明下图 所示的无向图G不是哈密顿图。 解 在图中删去结点集S={v2，v4，v6，v8}，W(G−S)=5，不 满足W(G-S)|S|。所以G不是哈密顿图。
第8章 特殊图
8.1 欧拉图与哈密顿图 8.2 带权图 8.3 匹配和二分图 8.4 平面图
8.1 欧拉图与哈密顿图
哥尼斯堡七桥问题、周游世界问题
欧拉图
定义8.1.1 设G=（V，E）是无向图或有向图，若G中有一条 包含所有边（有向边）的简单回路，称该回路为欧拉回路，称 图G为欧拉图。若G中有一条包含G中所有边（有向边）的简 单通路，称它为欧拉通路，称图G为半欧拉图。
a
a
5
12 b
8
5
e4
b
85
e4
7 16
9
8
9
c 9d
c 9d
n个结点的图上，以每个结点为起点的所有的哈密顿回 路共有(n-1)! 条，需要计算(n-1)!/2条回路的权值来求出答案。 当结点较多时用这种方法解决旅行商问题是不切实际的，常 用近似算法求解旅行商问题。
8.2.2最短路径问题
– 在一个无向简单连通边带权图G=（V，E，W）中，从u到v
定理8.1.1证明
定理8.1.1 无向连通图G是欧拉图，当且仅当G的所有结点的度数都 是偶数。
证明：（必要性） 设G是欧拉图，则G有欧拉回路C。设a是图G的任一结点，欧拉回路 经过和a关联的边到结点a后又经过另一条和a关联的边离开到下一个结 点b，因此每经过一个结点a就给它的度数贡献2度。若欧拉回路k次经过 结点a，则d（a）=2k。所以，欧拉图的所有结点的度数都是偶数。 （充分性） 假设G中所有结点的度数都是偶数。从G中的任一结点v1开始，经过 任一和v1关联的边e1到另一结点v2，再经过另一和v2关联的边e2到另一结 点v3，依此类推，可以得到一条包含G的边的简单回路C1：v1 e1 v2 e2 v3 em v1。
欧拉图
半欧拉图
8.1.2 哈密顿图
环游世界问题
哈密顿图
定义8.1.3 设图G=（V，E）是无向图或有向图。若G中有一 条包含G的所有结点(仅一次)的回路，称该回路为哈密顿回路， 称图G为哈密顿图。若图G有一条包含G的所有结点的通路， 称该通路为哈密顿通路，称图G为半哈密顿图。
(1)是半哈密尔顿图
2. 修改和结点u相邻的结点的标记值：L(vi)= W(u,vi)。 3. 将具有最小L值的结点记为t，并添加到结点集S中，即S = S{t}。 4. 修改和结点t相邻且不在集合S中的结点的L值： L(vi)=min{L(vi), L(t)+W(t,vi)}。 5. 重复3和4直到结点v被添加到集合S中。
例8.1.2 在下图中，哪些是欧拉图？哪些是半欧拉图？
欧拉图
欧拉图
半欧拉图
欧拉有向图
定义8.1.2 如果连通有向图G中有一条包含G中所有有向边 的有向回路，称它为欧拉有向回路，称图G为欧拉有向图。如 果连通有向图G中有一条包含G中所有有向边的有向通路，称 它为欧拉有向通路，称图G为半欧拉有向图。
a
格雷码
要找到格雷码，可以用n立方体Qn来建模。在Qn图上找一条 哈密顿回路，按哈密顿回路上的结点顺序对应的二进制码序列
就是格雷码。例如，
10
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8.2 带权图
设G=<V,E,W>，V={v1，v2，…，vn}是顶点集合，E是边集
合，W: VVR是赋值函数。
定义8.3.2若M是G的一个匹配，M的边和结点v关联，则称v 为M饱和点，否则称v为M非饱和点。若G=（V，E）的每个结 点都是M饱和点，则称M为G的一个完美匹配。
例题
(1). {e1, e7}是图的一个匹配，也是一个极大匹配， { e2, e4, e8} 是图的最大匹配，也是完美匹配。 (2). {e2, e6}、{e3, e5}是图的匹配，也是极大匹配，{ e1, e4, e7} 是图的一个最大匹配，也是完美匹配。 (3).{e3, e4}、{e1, e5}、{e2, e6}、{e4, e7}等都是极大匹配，也是 最大匹配，没有完美匹配。
M交错路和M可扩充路
定义8.3.3 若M是G=（V，E）的一个匹配，从G中的一个结 点到另一个结点存在一条由属于M的边和不属于M的边交替出 现组成的简单路，则称这条简单路为M交错路。若M交错路的 两端点为M非饱和点时，称这条M交错路是M可扩充路。
最大匹配的充分必要条件
在图（1）中，M={e1，e7}是图的一个匹配， { e2, e1, e4, e7, e8}是M交错路，而且是M可扩充 路。匹配M1={ e2, e4, e8}比M更大。
定理8.1.2证明
定理8.1.2 连通无向图G为半欧拉图，当且仅当G中只有两 个奇度数的结点。
证明 在连通无向图G的两个奇度数的结点之间加一条边e得 到图G，则图G的所有结点的度数都是偶数，有欧拉回路。在 G的欧拉回路中删去这条边e，则可得到一条包含G中所有边 的欧拉通路。因此图G是半欧拉图。
例题
欧拉图
半欧拉图
例题
例8.1.1 在下面的图中，哪些有欧拉回路？没有欧拉回路的图中，
哪些有欧拉通路？
a
a
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cb
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b-c-d-b-e-c-a-b
ed
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b-d-c-e-b-a-c
欧拉图的判断
定理8.1.1 无向连通图G是欧拉图，当且仅当G的所有结点 的度数都是偶数。
定理8.1.2 连通无向图G为半欧拉图，当且仅当G中只有两 个奇度数的结点。
定理 8.2.1 设G（V，E，W）为一个连通的带权图，则使附 加边子集E1 的权数W(E1)为最小的充分必要条件是G+E1 中任 意边至多重复一次，且G+E1 中的任意回路中重复边的权值之 和不大于该回路总权值的一半。
中国邮路问题
8.3 匹配和二分图
定义8.3.1 在图G=(V，E)中, 若ME, 且M中任意两条边都不 相邻，则称M为G的一个匹配。若在M中再加入任意其它的边e， M{e}有相邻的边，则称M为G的极大匹配。若G中不存在匹 配M1，使得|M1| >| M|，则称M为G的最大匹配。
旅行商问题(TSP) – 完全无向图的每个结点表示一个城市，用两个城市之间
的距离作为边的权，可以得到一个边带权的完全无向图。 旅行商问题是在这样的图中寻找一条旅行总距离最短的 经过每个城市一次且仅一次，又回到出发城市的旅行线 路的问题。这个问题等价于求带权完全图中总权值最小 的哈密顿回路。
8.2.1 旅行商问题
用格雷码表示的最大数与最小数之间也仅一位数不同，即 “首尾相连”，因此这种编码又称循环码。在数字系统中，常要 求代码按一定顺序变化。例如，按自然数递增计数，若采用 8421码，则数0111变到1000时四位均要变化，而在实际电路中， 4位的变化不可能绝对同时发生，则计数中可能出现短暂的其 它代码（如0110、1111等）。在特定情况下可能导致电路状态 错误或输入输出错误。使用格雷码，变化到下一状态时只有1 位不同，可以避免这种错误。
– 用图论的述语，在一个连通的带权图G=（V，E，W）中，要 寻找一条回路，使该回路包含G中的每条边至少一次，且该回 路的总权值最小，也就是说要从包含G的每条边的回路中找一 条总权值最小的回路。
中国邮路问题
如果G是欧拉图，只要求出图G的一条欧拉回路即可。 因此问题就转化为：在有奇度数结点的连通带权图中，在 包含G中每条边至少一次的回路中找一条总权值最小的回路。
(2)为哈密尔顿图
(3)没有哈密顿通路，也没有哈 密顿回路
哈密顿图的必要条件
定理8.1.5 设无向图G=（V，E）是哈密顿图，则对于结点
集V的每一个真子集S均有：W(G-S)|S|, 其中，W(G-S)是G-S的
导出子图的连通分支数。
例如：彼德森图中对于结点集V的每一个真子集S均有：
W(G-S)|S|。但彼德森图不是哈密顿图。
d
a
d
a
d
b
Hale Waihona Puke cb欧拉有向图
c
b
c
半欧拉有向图
欧拉有向图的判断
定理8.1.3 连通有向图G是欧拉图，当且仅当G中每个结点v 的入度等于它的出度。
定理8.1.4 连通有向图G是半欧拉图，当且仅当G中有且仅 有两个奇度数结点，其中一个结点的入度比出度大1，另一个 结点的入度比出度小1。
例题
例8.1.3 在图中，哪些是欧拉图？哪些是半欧拉图？
图G的一条哈密顿回路是ABDFGECA，按这条哈密顿回路安排就坐成一圈, 每个 人都能与两旁的人交谈。
应用2-格雷码
例8.1.6 在一组数的编码中，若任意两个相邻的代码只有一 位二进制数不同，则称这种编码为格雷码。表8.1.1是2位格雷 码，表示数0~3，表8.1.2是3位格雷码，表示数0~7。
格雷码
中国邮路问题
首先注意到，若图G有奇数度结点，则G的奇数度结点必是偶数个． 把奇数度结点配为若干对，每对结点之间在G中有相应的最短路，将这 些最短路画在一起构成一个附加的边子集E1．令G1 =G+E1，即把附加边子 集E1 叠加在原图G上形成一个多重图G1，这时G1中没有奇度数结点．显然 G1是一个欧拉图，因而可以求出G1的欧拉回路．该欧拉回路不仅通过原图 G中每条边，同时还通过E1 中的每条边，且均仅一次． 邮递员问题的难点在于当G的奇数度节点较多时，可能有很多种配对方 法，应怎样选择配对，能使相应的附加边子集E1 的权数W(E1)为最小。
1
27
5
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9 10
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例题
例8.1.4 说明下图 所示的无向图G不是哈密顿图。 解 在图中删去结点集S={v2，v4，v6，v8}，W(G−S)=5，不 满足W(G-S)|S|。所以G不是哈密顿图。