2020年高考理科数学 解三角形题型归纳与训练
2020年高考数学(理)热点专练05三角函数及解三角形(解析版).pdf
对于三角函数有关恒等变换的题目应注重公式的变形。
解三角形类型的大题中， 重点是角边转化， 但是要注意两边必须同时转化， 对于对应的面
积的最大值问题以及周长的最值问题一般转化成基本不等式去求，
但是在用基本不等式的时
候应注意不等式等号成立的条件。
【考查题型】 选择题，填空，（解答题 21 题）（两小一大或者是三小）
3 b 2 a2 c 2 ，则 B 4
A ． 90
B． 60
C ． 45
D． 30
2
【答案】 D
【解析】
【分析】
由正弦定理， 两角和的正弦函数公式化简已知等式可得 三角形面积公式可求角 C，从而得到 B 的值．
sinA＝ 1，即 A＝ 900，由余弦定理、
【详解】
由正弦定理及 ccosB bcosC asinA, 得 sinCcosB sinBcosC sin2 A,
热点 05 三角函数与解三角形
【命题趋势】
新高考环境下，三角函数与解三角形依然会作为一个重点参与到高考试题中，其中对
应的题目的 分布特点与命题规律分析可以看出 , 三角试题每年都考 , 而且文理有别 , 或 " 一大
一小 ", 或 " 三小 ", 或 " 二小 "(" 小 " 指选择题或填空题 ," 大 " 指解答题 ), 解答题以简单题或中档
【限时检测】（建议用时： 90 分钟）
1
1．（ 2019 ·安徽芜湖一中高三开学考试） ABC 的三个内角 A 、B 、C 所对的边分别为 a，b，c ，
asin Asin B
b cos2 A =
2a
b
，则
(新高考)2020高考数学大题考法专训(一)解三角形
大题考法专训（一） 解三角形A 级——中档题保分练1．在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且cos 2B －cos 2C ＝sin 2A ＋sin A sinB ．(1)求角C 的大小；(2)若A ＝π6，△ABC 的面积为43，M 为BC 的中点，求AM . 解：(1)由cos 2B －cos 2C ＝sin 2A ＋sin A sin B ，得sin 2C －sin 2B ＝sin 2A ＋sin A sin B ．由正弦定理，得c 2－b 2＝a 2＋ab ，即a 2＋b 2－c 2＝－ab ， 所以cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab ＝－ab 2ab ＝－12. 因为0＜C ＜π，所以C ＝2π3. (2)因为A ＝π6，所以B ＝π6. 所以△ABC 为等腰三角形，且顶角C ＝2π3. 因为S △ABC ＝12ab sin C ＝34a 2＝43，所以a ＝4. 在△MAC 中，AC ＝4，CM ＝2，C ＝2π3， 所以AM 2＝AC 2＋CM 2－2AC ·CM ·cos C ＝16＋4＋2×4×2×12＝28，所以AM ＝27. 2．(2019·长沙统考)已知△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且a sin(A ＋B )＝c sin B ＋C2.(1)求角A 的大小；(2)若△ABC 的面积为3，周长为8，求a .解：(1)由题设得a sin C ＝c cos A 2， 由正弦定理得sin A sin C ＝sin C cos A 2， 所以sin A ＝cos A 2，所以2sin A 2cos A 2＝cos A2， 所以sin A 2＝12，故A ＝60°.(2)由题设得12bc sin A ＝3，从而bc ＝4. 由余弦定理a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ，得a 2＝(b ＋c )2－12.又a ＋b ＋c ＝8，所以a 2＝(8－a )2－12，解得a ＝134. 3．在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且c ＝7，sin C ＝265. (1)若cos B ＝57，求b 的值； (2)若a ＋b ＝11，求△ABC 的面积．解：(1)在△ABC 中，因为cos B ＝57，且B ∈(0，π)，所以sin B ＝267， 根据正弦定理b sin B ＝c sin C ，及c ＝7，sin C ＝265，解得b ＝5. (2)在△ABC 中，因为sin C ＝265，所以cos C ＝±15. 当cos C ＝15时，根据余弦定理c 2＝a 2＋b 2－2ab cos C ， 及a ＋b ＝11，c ＝7，得49＝121－2ab －2ab 5，所以ab ＝30， 所以⎩⎪⎨⎪⎧ a ＋b ＝11，ab ＝30，解得⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝6，b ＝5或⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝5，b ＝6，所以△ABC 的面积S △ABC ＝12ab sin C ＝6 6. 当cos C ＝－15时，根据余弦定理c 2＝a 2＋b 2－2ab cos C ， 及a ＋b ＝11，c ＝7，得ab ＝45，此时方程组⎩⎪⎨⎪⎧ a ＋b ＝11，ab ＝45无解．综上，△ABC 的面积为6 6.B 级——拔高题满分练1．(2019·福州质检)在Rt △ABC 中∠C ＝90°，点D ，E 分别在边AB ，BC 上，CD ＝5，CE ＝3，且△EDC 的面积为3 6.(1)求边DE 的长；(2)若AD ＝3，求sin A 的值．解：(1)如图，在△ECD 中，S △ECD ＝12CE ·CD sin ∠DCE ＝12×3×5×sin∠DCE ＝36， 所以sin ∠DCE ＝265， 因为0°＜∠DCE ＜90°，所以cos ∠DCE ＝1－⎝ ⎛⎭⎪⎫2652＝15， 所以DE 2＝CE 2＋CD 2－2·CE ·CD ·cos∠DCE ＝9＋25－2×3×5×15＝28， 所以DE ＝27.(2)因为∠ACB ＝90°，所以sin ∠ACD ＝sin(90°－∠DCE )＝cos ∠DCE ＝15， 在△ADC 中，由正弦定理，得AD sin ∠ACD ＝CDsin A ， 即315＝5sin A， 所以sin A ＝13. 2．(2019·昆明质检)△ABC 的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，已知2(c －a cos B )＝3b .(1)求角A ；(2)若a ＝2，求△ABC 面积的取值范围．解：(1)由2(c －a cos B )＝3b 及正弦定理得2(sin C －sin A cos B )＝3sin B ， 所以2sin(A ＋B )－2sin A cos B ＝3sin B ，即2cos A sin B ＝3sin B ，因为sin B ≠0，所以cos A ＝32，又0＜A ＜π，所以A ＝π6. (2)因为a ＝2，所以由正弦定理得b ＝4sin B ，c ＝4sin C ，所以S △ABC ＝12bc sin A ＝14bc ＝4sin B sin C . 因为C ＝π－(A ＋B )＝5π6－B ，所以sin C ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫5π6－B ，所以S △ABC ＝4sin B sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫5π6－B ＝4sin B ⎝ ⎛⎭⎪⎫12cos B ＋32sin B ＝2sin B cos B ＋23sin 2B＝sin 2B －3cos 2B ＋ 3＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫2B －π3＋ 3. 因为0＜B ＜5π6，所以－π3＜2B －π3＜4π3， 所以－32＜sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2B －π3≤1， 所以0＜S △ABC ≤2＋ 3.即△ABC 面积的取值范围为(0,2＋3]．3.如图，在平面四边形ABCD 中，∠ABC 为锐角，AD ⊥BD ，AC 平分∠BAD ，BC ＝23，BD ＝3＋6，△BCD 的面积S ＝3(2＋3)2. (1)求CD ；(2)求∠ABC . 解：(1)∵S △BCD ＝12BD ·BC ·sin∠CBD ＝3(2＋3)2， BC ＝23，BD ＝3＋6，∴sin ∠CBD ＝12. ∵∠ABC 为锐角，∴∠CBD ＝30°.在△BCD 中，由余弦定理得CD 2＝BC 2＋BD 2－2BC ·BD ·cos∠CBD ＝(23)2＋(3＋6)2－2×23×(3＋6)×32＝9， ∴CD ＝3.(2)在△BCD 中，由正弦定理得BC sin ∠BDC ＝CD sin ∠CBD， 即23sin ∠BDC ＝3sin 30°，解得sin ∠BDC ＝33. ∵BC ＜BD ，∴∠BDC 为锐角，∴cos ∠BDC ＝63.在△ACD 中，由正弦定理得AC sin ∠ADC ＝CD sin ∠CAD ， 即ACcos ∠BDC ＝3sin ∠CAD .① 在△ABC 中，由正弦定理得AC sin ∠ABC ＝BC sin ∠BAC ， 即ACsin ∠ABC ＝23sin ∠BAC .② ∵AC 平分∠BAD ，∴∠CAD ＝∠BAC .由①②得sin ∠ABC cos ∠BDC ＝323，解得sin ∠ABC ＝22. ∴∠ABC 为锐角，∴∠ABC ＝45°.。
2020届高考数学：解三角形常见题型及技巧 学案(含习题)
高考解三角形常见题型及技巧【基础知识】1．正弦定理 a sin A ＝b sin B ＝c sin C＝2R 其中2R 为△ABC 外接圆直径。
变式1：a ＝2R sin A ，b ＝2R sin B ，c ＝2R sin C 。
变式2：sin 2a A R =，sin 2b B R =，sin 2c C R= 变式3：a ∶b ∶c ＝sin A ∶sin B ∶sin C 。
2．余弦定理a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ；b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B ；c 2＝a 2＋b 2－2ab cos C 。
（边换角后）sin 2A ＝sin 2B ＋sin 2C －2sin B sin C cos A 。
变式1：cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ；cos B ＝a 2＋c 2－b 22ac ；cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab。
变式2：a 2＝（b ＋c ）2－2b c （1+cos A ）（题目已知b ＋c ，bc 或可求时常用） 3．解三角形（知道三个元素，且含有边）(1)已知三边a ，b ，c 或两边a ，b 及夹角C 都用余弦定理(2)已知两边a ，b 及一边对角A,一般先用正弦定理，求sin B ，sin B ＝b sin Aa 。
(3)已知一边a 及两角A ，B (或B ，C )用正弦定理(已知两角，第三角就可以求）。
4．三角形常用面积公式(1)S ＝12a ·h 。
(2)S ＝12ab sin C ＝12ac sin B ＝12bc sin A ＝abc 4R 。
(3)S ＝12r (a ＋b ＋c )(r 为内切圆半径)。
5.在△ABC 中，常有以下结论： 1．∠A ＋∠B ＋∠C ＝π。
2．任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边。
3．sin(A ＋B )＝sin C ；cos(A ＋B )＝－cos C ；tan(A ＋B )＝－tan C ；sin A ＋B 2＝cos C 2；cos A ＋B 2＝sin C 2。
2020全国高考数学考点题型分类与解析09 解三角形
6.（2020•天津卷）在 ABC 中，角 A, B,C 所对的边分别为 a,b,c ．已知
． a = 2 2,b = 5,c = 13
（Ⅰ）求角C 的大小； （Ⅱ）求sin A 的值；
（Ⅲ）求
sin
2A+
π 4
的值．
【解析】（Ⅰ）在 ABC 中，由a = 2 2,b = 5,c = 13 及余弦定理得
2AC ⋅ AB
2
3
（ ）由余弦定理得： ， 2
BC 2 = AC 2 + AB2 − 2 AC ⋅ AB cos A = AC 2 + AB2 + AC ⋅ AB = 9
即(
AC
+
AB )2
−
AC
⋅
AB
=
9
.Q
AC
⋅
AB
≤
AC
+ 2
AB
2
（当且仅当 AC = AB 时取等号），
， ∴9
=
(
AC
=
sin
∠ADC
⋅ cosC
+
cos
∠ADC
⋅ sin
C
=
3 5
×
25 5
+
−
4 5
×
5 25 =.
5 25
由于 ，所以 π ∠DAC ∈ 0, 2
cos ∠DAC = 1− sin2 ∠DAC = 11 5 . 25
所以 tan ∠DAC = sin ∠DAC = 2 . cos ∠DAC 11
2020 全国高考数学考点题型分类与解析
09 解三角形
1.（2020•北京卷）在 ABC 中，a +b =11，再从条件①、条件②这两个条件中选择一个 作为己知，求： （Ⅰ）a 的值： （Ⅱ）sinC 和 ABC 的面积．
2020年高考数学(理)高频核心考点专题：三角函数与解三角形10个专题 (全国版含解析)
综上所述，①④正确，故选 C．
本题也可画出函数 f x sin x sin x 的图象（如下图），由图象可得①④正确．
【答案】C
2.【2019 优选题】若点
sin
5π，cos 6
5π 6
在角α的终边上，则 sin α＝(
)
3
A. 3 2
B.1
C．－ 3 D．－1
2
2
2
【解析】本题考查的是三角函数的概念及诱导公式，由题意可得 sin
2 ④f(x)的最大值为 2
其中所有正确结论的编号是（ ）
A．①②④
B．②④
C．①④
D．①③
【解析】 f x sin x sin x sin x sin x f x , f x 为偶函数，故①正确．
当
π 2
x
π
时，
f
x
2 sin
x
，它在区间
第一象限角的集合为 P {x | 2k x 2k ， k Z} 2
第二象限角的集合为 P {x | 2k x 2k ， k Z} 2
第三象限角的集合为 P {x | 2k x 2k 3 ， k Z} 2
第四象限角的集合为 P {x | 2k 3 x 2k 2 ， k Z} 2
x 2）三角函数在各象限内的符号口诀是：一全正、二正弦、三正切、四余弦. 3）三角函数线：
设角α的顶点在坐标原点，始边与 x 轴非负半轴重合，终边与单位圆相交于点 P，过 P 作 PM 垂直于 x 轴于 M.由三角函数的定义知，点 P 的坐标为(cosα，sinα)，即 P(cosα，sinα)，其中 cos α＝OM，sin α＝MP， 单位圆与 x 轴的正半轴交于点 A，单位圆在 A 点的切线与α的终边或其反向延长线相交于点 T，则 tan α＝AT. 我们把有向线段 OM、MP、AT 叫做α的余弦线、正弦线、正切线.利用三角函数线可以判断角的三角函数值 的符号或比较角的大小.
2020版高考数学高分复习理数通用版：第六单元 解三角形
资料正文内容下拉开始>>第六单元解三角形教材复习课“解三角形”相关基础知识一课过1．正弦定理asin A＝bsin B＝csin C＝2R，其中R是三角形外接圆的半径．由正弦定理可以变形：(1)a∶b∶c＝sin_A∶sin_B∶sin_C；(2)a＝2R sin A，b＝2R sin B，c＝2R sin C. 2．余弦定理a2＝b2＋c2－2bc cos_A，b2＝a2＋c2－2ac cos B，c2＝a2＋b2－2ab cos_C.余弦定理可以变形：cos A＝b2＋c2－a22bc，cos B＝a2＋c2－b22ac，cos C＝a2＋b2－c22ab.[小题速通]1．设△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c.若a＝2，c＝2 3，cos A＝3 2，且b＜c，则b＝()A．3B．2 2C．2 D. 3解析：选C由a2＝b2＋c2－2bc cos A，得4＝b2＋12－6b，解得b＝2或4，∵b＜c，∴b＝2.2．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若b2＋c2－a2＝bc，则角A的大小为()A．30°B．60°C．120°D．150°解析：选B由余弦定理可得b2＋c2－a2＝2bc cos A，又因为b2＋c2－a2＝bc，所以cosA ＝12，则A ＝60°.3．在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若a sin A ＋b sin B <c sin C ，则△ABC 的形状是( )A ．锐角三角形B ．直角三角形C ．钝角三角形D ．不确定解析：选C 根据正弦定理可得a 2＋b 2<c 2.由余弦定理得cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab <0，所以角C 是钝角，故选C.4．(2018·郑州质量预测)已知a ，b ，c 分别为△ABC 三个内角A ，B ，C 的对边，且(b －c )(sin B ＋sin C )＝(a －3c )sin A ，则角B 的大小为( )A ．30°B ．45°C ．60°D ．120°解析：选A 由正弦定理及(b －c )(sin B ＋sin C )＝(a －3c )·sin A ，得(b －c )(b ＋c )＝(a －3c )a ，即b 2－c 2＝a 2－3ac ，所以a 2＋c 2－b 2＝3ac ，又因为cos B ＝a 2＋c 2－b 22ac，所以cos B ＝32，所以B ＝30°. 5．在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知b cos C ＋3b sin C －a ＝0，则B ＝________.解析：由正弦定理可得sin B cos C ＋3sin B sin C ＝sin A ＝sin(B ＋C )＝sin B cos C ＋sin C cos B ，则3sin B sin C ＝sin C cos B ，又sin C ≠0，所以tan B ＝33，则B ＝30°. 答案：30°[清易错]1．由正弦定理解已知三角形的两边和其中一边的对角求另一边的对角时易忽视解的判断．2．利用正、余弦定理解三角形时，要注意三角形内角和定理对角的范围的限制． 1．在△ABC 中，若a ＝18，b ＝24，A ＝45°，则此三角形解的情况是( ) A ．无解 B ．两解 C ．一解D ．不确定解析：选B ∵a sin A ＝b sin B ，∴sin B ＝b a sin A ＝2418sin 45°＝223.又∵a <b ，∴B 有两个解，即此三角形有两解．2．设△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c .若a ＝3，sin B ＝12，C ＝π6，则b＝________.解析：在△ABC 中，∵sin B ＝12，0<B <π，∴B ＝π6或B ＝5π6.又∵B ＋C <π，C ＝π6，∴B ＝π6，∴A ＝2π3.∵a sin A ＝b sin B ，∴b ＝a sin B sin A＝1. 答案：13．在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知a ＝7，b ＝8，c ＝13，则角C 的大小为________．解析：∵在△ABC 中，a ＝7，b ＝8，c ＝13，∴由余弦定理可得cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab ＝72＋82－1322×7×8＝－12，∵C ∈(0，π)，∴C ＝2π3. 答案：2π3设△ABC 的边为a ，b ，c ，所对的三个角为A ，B ，C ，其面积为S . (1)S ＝12ah (h 表示边a 上的高)．(2)S ＝12bc sin A ＝12ac sin B ＝12ab sin C .(3)S ＝12r (a ＋b ＋c )(r 为△ABC 内切圆的半径)．[小题速通]1．在△ABC 中，a ，b ，c 分别是角A ，B ，C 的对边，若a ＝1，b ＝3，B ＝60°，则△ABC 的面积为( )A.12B.32C ．1 D. 3解析：选B 在△ABC 中，由正弦定理可得sin A ＝a sin B b ＝12，则A ＝30°，所以C ＝90°，则△ABC 的面积S ＝12ab sin C ＝12×1×3×1＝32.2．在△ABC 中，A ＝60°，AB ＝2，且△ABC 的面积为32，则BC 的长为( ) A.32B. 3 C ．2 3D ．2解析：选B 由题意S △ABC ＝12·AB ·AC ·sin A ＝32，则AC ＝1，由余弦定理可得BC ＝4＋1－2×2×1×cos 60°＝ 3.3．在△ABC 中，B ＝120°，AC ＝7，AB ＝5，则△ABC 的面积为________． 解析：由余弦定理知72＝52＋BC 2－2×5×BC ×cos 120°， 即49＝25＋BC 2＋5BC ，解得BC ＝3.故S △ABC ＝12AB ·BC sin B ＝12×5×3×32＝1534.答案：15344．在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c .已知△ABC 的面积为315，b －c ＝2，cos A ＝－14，则a 的值为________．解析：由cos A ＝－14，得sin A ＝154，所以△ABC 的面积为12bc sin A ＝12bc ×154＝315，解得bc ＝24，又b －c ＝2，所以a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ＝(b －c )2＋2bc －2bc cos A ＝22＋2×24－2×24×⎝⎛⎭⎫－14＝64，解得a ＝8. 答案：8[清易错]应用三角形面积公式S ＝12ab sin C ＝12ac sin B ＝12bc sin A 时，注意公式中的角应为两边的夹角．在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若a ＝2，c ＝23，A ＝30°，则△ABC 的面积为________．解析：∵a ＝2，c ＝23，A ＝30°， ∴由正弦定理得sin C ＝c ·sin A a ＝32，∴C ＝60°或120°， ∴B ＝90°或30°，则S △ABC ＝12ac sin B ＝23或 3.答案：23或 31．仰角和俯角在视线和水平线所成的角中，视线在水平线上方的角叫仰角，在水平线下方的角叫俯角(如图①)．2．方位角从指北方向顺时针转到目标方向线的水平角，如B 点的方位角为α(如图②)． 3．方向角相对于某一正方向的水平角．(1)北偏东α，即由指北方向顺时针旋转α到达目标方向(如图③)； (2)北偏西α，即由指北方向逆时针旋转α到达目标方向； (3)南偏西等其他方向角类似．4．坡角与坡度(1)坡角：坡面与水平面所成的二面角(如图④，角θ为坡角)；(2)坡度：坡面的铅直高度与水平长度之比(如图④，i 为坡度)．坡度又称为坡比． [小题速通]1．(2018·潍坊调研)海面上有A ，B ，C 三个灯塔，AB ＝10 n mile ，从A 望C 和B 成60°视角，从B 望C 和A 成75°视角，则BC ＝( )A ．10 3 n mile B.1063 n mileC ．5 2 n mileD ．5 6 n mile解析：选D 如图，在△ABC 中，C ＝180°－60°－75°＝45°，又A＝60°，由正弦定理，得AB sin C ＝BC sin A ，即10sin 45°＝BC sin 60°，解得BC ＝5 6.2．江岸边有一炮台高30 m ，江中有两条船，船与炮台底部在同一水平面上，由炮台顶部测得俯角分别为45°和60°，而且两条船与炮台底部连线成30°角，则两条船相距________m.解析：如图，OM ＝AO ·tan 45°＝30(m)， ON ＝AO ·tan 30°＝33×30＝103(m)， 在△MON 中，由余弦定理得， MN ＝900＋300－2×30×103×32＝300＝103(m)． 答案：10 33.如图，一艘船上午9：30在A 处测得灯塔S 在它的北偏东30°的方向，之后它继续沿正北方向匀速航行，上午10：00到达B 处，此时又测得灯塔S 在它的北偏东75°的方向，且与它相距8 2 n mile.则此船的航速是________n mile/h.解析：设航速为v n mile/h ，在△ABS 中AB ＝12v ，BS ＝82，∠BSA ＝45°，由正弦定理得82sin 30°＝12v sin 45°，则v ＝32.答案：32[清易错]易混淆方位角与方向角概念：方位角是指北方向线按顺时针转到目标方向线之间的水平夹角，而方向角是正北或正南方向线与目标方向线所成的锐角．若点A 在点C 的北偏东30°，点B 在点C 的南偏东60°，且AC ＝BC ，则点A 在点B 的( )A ．北偏东15°B ．北偏西15°C ．北偏东10°D ．北偏西10°解析：选B 如图所示，∠ACB ＝90°， 又AC ＝BC ， ∴∠CBA ＝45°， 而β＝30°，∴α＝90°－45°－30°＝15°. ∴点A 在点B 的北偏西15°.一、选择题1．已知△ABC中，sin A∶sin B∶sin C＝1∶1∶3，则此三角形的最大内角为() A．60°B．90°C．120°D．135°解析：选C∵sin A∶sin B∶sin C＝1∶1∶3，∴a∶b∶c＝1∶1∶3，设a＝m，则b＝m，c＝3m.∴cos C＝a2＋b2－c22ab＝m2＋m2－3m22m2＝－12，∴C＝120°.2．在△ABC中，已知b＝40，c＝20，C＝60°，则此三角形的解的情况是() A．有一解B．有两解C．无解D．有解但解的个数不确定解析：选C由正弦定理得bsin B＝csin C，∴sin B＝b sin Cc＝40×3220＝3>1.∴角B不存在，即满足条件的三角形不存在．3．在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若c＝2a，b＝4，cos B＝1 4.则c的值为()A．4 B．2 C．5 D．6解析：选A∵c＝2a，b＝4，cos B＝1 4，∴由余弦定理得b2＝a2＋c2－2ac cos B，即16＝14c2＋c2－14c2＝c2，解得c＝4.4．已知△ABC中，内角A，B，C所对边分别为a，b，c，若A＝π3，b＝2a cos B，c＝1，则△ABC的面积等于()A.32 B.34C.36 D.38解析：选B由正弦定理得sin B＝2sin A cos B，故tan B ＝2sin A ＝2sin π3＝3，又B ∈(0，π)，所以B ＝π3，又A ＝B ＝π3，则△ABC 是正三角形，所以S △ABC ＝12bc sin A ＝12×1×1×32＝34.5．(2018·湖南四校联考)在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若(a 2＋b 2－c 2)tan C ＝ab ，则角C 的大小为( )A.π6或5π6 B.π3或2π3 C.π6D.2π3解析：选A 由题意知，a 2＋b 2－c 22ab ＝12tan C ⇒cos C ＝cos C 2sin C ，sin C ＝12，又C ∈(0，π)，∴C ＝π6或5π6.6．已知A ，B 两地间的距离为10 km ，B ，C 两地间的距离为20 km ，现测得∠ABC ＝120°，则A ，C 两地间的距离为( )A ．10 kmB ．10 3 kmC ．10 5 kmD ．107 km解析：选D 如图所示，由余弦定理可得，AC 2＝100＋400－2×10×20×cos 120°＝700，∴AC ＝107(km)．7．(2018·贵州质检)在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c ，若c 2＝(a －b )2＋6，C ＝π3，则△ABC 的面积是( )A ．3 B.932 C.332D ．3 3解析：选C ∵c 2＝(a －b )2＋6， ∴c 2＝a 2＋b 2－2ab ＋6.①∵C ＝π3，∴c 2＝a 2＋b 2－2ab cos π3＝a 2＋b 2－ab .②由①②得－ab ＋6＝0，即ab ＝6. ∴S △ABC ＝12ab sin C ＝12×6×32＝332.8．一艘海轮从A 处出发，以每小时40 n mile 的速度沿南偏东40°的方向直线航行，30分钟后到达B 处，在C 处有一座灯塔，海轮在A 处观察灯塔，其方向是南偏东70°，在B处观察灯塔，其方向是北偏东65°，那么B ，C 两点间的距离是( )A ．10 2 n mileB ．10 3 n mileC ．20 3 n mileD ．20 2 n mile解析：选A 画出示意图如图所示，易知，在△ABC 中，AB ＝20，∠CAB ＝30°，∠ACB ＝45°，根据正弦定理得BC sin 30°＝AB sin 45°，解得BC＝10 2.故B ，C 两点间的距离是10 2 n mile. 二、填空题9．在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且a ＝2，cos C ＝－14，3sin A＝2sin B ，则c ＝________.解析：因为3sin A ＝2sin B ，所以由正弦定理可得3a ＝2b ，则b ＝3，由余弦定理可得c 2＝a 2＋b 2－2ab cos C ＝4＋9－2×2×3×⎝⎛⎭⎫－14＝16，则c ＝4. 答案：410．在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c .若角A ，B ，C 成等差数列，且边a ，b ，c 成等比数列，则△ABC 的形状为________．解析：∵在△ABC 中，角A ，B ，C 成等差数列， ∴2B ＝A ＋C ，由三角形内角和定理，可得B ＝π3，又∵边a ，b ，c 成等比数列，∴b 2＝ac ， 由余弦定理可得b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B ， ∴ac ＝a 2＋c 2－ac ，即a 2＋c 2－2ac ＝0， 故(a －c )2＝0，可得a ＝c ， 所以△ABC 的形状为等边三角形． 答案：等边三角形11．已知△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且a ＝x ，b ＝2，B ＝45°，若三角形有两解，则x 的取值范围为________．解析：由AC ＝b ＝2，要使三角形有两解，就是要使以C 为圆心，以2为半径的圆与AB 有两个交点，当A ＝90°时，圆与AB 相切，只有一解；当A ＝45°时，交于B 点，也就是只有一解，所以要使三角形有两解，需满足45°<A <90°，即22<sin A <1，由正弦定理可得a ＝x ＝b sin Asin B＝22sin A ，所以2<x <2 2. 答案：(2,22)12．如图，航空测量组的飞机航线和山顶在同一铅直平面内，已知飞机的飞行高度为10 000 m ，速度为50 m/s.某一时刻飞机看山顶的俯角为15°，经过420 s 后看山顶的俯角为45°，则山顶的海拔高度为________m ．(取2＝1.4，3＝1.7)解析：如图，作CD 垂直于AB 的延长线于点D ，由题意知∠A ＝15°，∠DBC ＝45°，∴∠ACB ＝30°，AB ＝50×420＝21 000(m)．又在△ABC 中，BC sin A ＝ABsin ∠ACB ，∴BC ＝21 00012×sin 15°＝10 500(6－2)．∵CD ⊥AD ，∴CD ＝BC ·sin ∠DBC ＝10 500(6－2)×22＝10 500(3－1)＝7 350. 故山顶的海拔高度h ＝10 000－7 350＝2 650(m)． 答案：2 650 三、解答题13．(2017·山东高考)在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c .已知b ＝3，AB ―→AC ―→＝－6，S △ABC ＝3，求A 和a .解：因为AB ―→·AC ―→＝－6， 所以bc cos A ＝－6， 又S △ABC ＝3， 所以bc sin A ＝6，因此tan A ＝－1，又0＜A ＜π， 所以A ＝3π4. 又b ＝3，所以c ＝2 2.由余弦定理a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ， 得a 2＝9＋8－2×3×22×⎝⎛⎭⎫－22＝29， 所以a ＝29.14．在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知2b cos C ＝a cos C ＋c cos A . (1)求角C 的大小；(2)若b ＝2，c ＝7，求a 及△ABC 的面积． 解：(1)∵2b cos C ＝a cos C ＋c cos A ，∴由正弦定理可得2sin B cos C ＝sin A cos C ＋cos A sin C ，即2sin B cos C ＝sin(A ＋C )＝sin B.又sin B ≠0，∴cos C ＝12，C ＝π3.(2)∵b ＝2，c ＝7，C ＝π3，∴由余弦定理可得7＝a 2＋4－2×a ×2×12，即a 2－2a －3＝0， 解得a ＝3或－1(舍去)，∴△ABC 的面积S ＝12ab sin C ＝12×3×2×32＝332.高考研究课(一)正、余弦定理的3个基础点——边角、形状和面积 [全国卷5年命题分析][典例] ，b ，c .已知a >b ，a ＝5，c ＝6，sin B ＝35.(1)求b 和sin A 的值； (2)求sin ⎝⎛⎭⎫2A ＋π4的值． [解] (1)在△ABC 中，因为a >b ， 故由sin B ＝35，可得cos B ＝45.由已知及余弦定理，得b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B ＝13， 所以b ＝13.由正弦定理a sin A ＝b sin B ，得sin A ＝a sin B b ＝31313.所以b 的值为13，sin A 的值为31313.(2)由(1)及a <c ，得cos A ＝21313，所以sin 2A ＝2sin A cos A ＝1213，cos 2A ＝1－2sin 2A ＝－513. 故sin ⎝⎛⎭⎫2A ＋π4＝sin 2A cos π4＋cos 2A sin π4＝22×⎝⎛⎭⎫1213－513＝7226. [方法技巧]应用正、余弦定理的解题策略(1)解三角形时，如果式子中含有角的余弦或边的二次式，要考虑用余弦定理；如果式子中含有角的正弦或边的一次式时，则考虑用正弦定理；以上特征都不明显时，则要考虑两个定理都有可能用到．(2)三角形解的个数的判断：已知两角和一边，该三角形是确定的，其解是唯一的；已知两边和一边的对角，该三角形具有不唯一性，通常根据三角函数值的有界性和大边对大角定理进行判断．[即时演练]1．(2017·山东高考)在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c .若△ABC 为锐角三角形，且满足sin B (1＋2cos C )＝2sin A cos C ＋cos A sin C ，则下列等式成立的是( )A ．a ＝2bB ．b ＝2aC ．A ＝2BD ．B ＝2A解析：选A 由题意可知sin B ＋2sin B cos C ＝sin A cos C ＋sin(A ＋C )，即2sin B cos C ＝sin A cos C ，又cos C ≠0，故2sin B ＝sin A ，由正弦定理可知a ＝2b .2．(2017·全国卷Ⅱ)△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若2b cos B ＝a cos C ＋c cos A ，则B ＝________.解析：法一：由2b cos B ＝a cos C ＋c cos A 及正弦定理，得 2sin B cos B ＝sin A cos C ＋sin C cos A ＝sin(A ＋C )＝sin B ＞0， 因此cos B ＝12.又0＜B ＜π，所以B ＝π3.法二：由2b cos B ＝a cos C ＋c cos A 及余弦定理，得 2b ·a 2＋c 2－b 22ac ＝a ·a 2＋b 2－c 22ab ＋c ·b 2＋c 2－a 22bc ，整理得，a 2＋c 2－b 2＝ac ， 所以2ac cos B ＝ac ＞0，cos B ＝12.又0＜B ＜π，所以B ＝π3.答案：π33.(2018·成都二诊)如图，在平面四边形ABCD 中，已知A ＝π2，B ＝2π3，AB ＝6.在AB 边上取点E ，使得BE ＝1，连接EC ，ED .若∠CED ＝2π3，EC ＝7.(1)求sin ∠BCE 的值； (2)求CD 的长．解：(1)在△BEC 中，由正弦定理，知BE sin ∠BCE ＝CEsin B .∵B ＝2π3，BE ＝1，CE ＝7，∴sin ∠BCE ＝BE ·sin B CE ＝327＝2114.(2)∵∠CED ＝B ＝2π3，∴∠DEA ＝∠BCE ，∴cos ∠DEA ＝1－sin 2∠DEA ＝1－sin 2∠BCE ＝1－328＝5714.∵A ＝π2，∴△AED 为直角三角形，又AE ＝5，∴ED ＝AE cos ∠DEA ＝55714＝27.在△CED 中，CD 2＝CE 2＝＋DE 2－2CE ·DE ·cos ∠CED ＝7＋28－2×7×27×⎝⎛⎭⎫－12＝49.∴CD ＝7.＋b )sin(A －B )＝(a －b )·sin(A ＋B )”，试判断三角形的形状．[解] ∵(a 2＋b 2)sin(A －B )＝(a 2－b 2)sin(A ＋B )， ∴b 2[sin(A ＋B )＋sin(A －B )]＝a 2[sin(A ＋B )－sin(A －B )]， ∴2sin A cos B ·b 2＝2cos A sin B ·a 2， 即a 2cos A sin B ＝b 2sin A cos B. 法一：用“边化角”解题由正弦定理得a ＝2R sin A ，b ＝2R sin B ， ∴sin 2A cos A sin B ＝sin 2B sin A cos B ， 又sin A ·sin B ≠0，∴sin A cos A ＝sin B cos B ， ∴sin 2A ＝sin 2B .在△ABC 中，0＜2A ＜2π，0＜2B ＜2π， ∴2A ＝2B 或2A ＝π－2B ，∴A ＝B 或A ＋B ＝π2.∴△ABC 为等腰三角形或直角三角形． 法二：用“角化边”解题 由正弦定理、余弦定理得：a 2b ·b 2＋c 2－a 22bc ＝b 2a ·a 2＋c 2－b 22ac ， ∴a 2(b 2＋c 2－a 2)＝b 2(a 2＋c 2－b 2)， ∴(a 2－b 2)(a 2＋b 2－c 2)＝0， ∴a 2－b 2＝0或a 2＋b 2－c 2＝0. 即a ＝b 或a 2＋b 2＝c 2.∴△ABC 为等腰三角形或直角三角形． [方法技巧]判断三角形形状的2种方法(1)“边化角”利用正弦、余弦定理把已知条件转化为只含内角的三角函数间的关系，通过三角函数恒等变形，得出内角的关系，从而判断出三角形的形状，此时要注意应用A ＋B ＋C ＝π这个结论．(2)“角化边”利用正弦、余弦定理把已知条件转化为只含边的关系，通过因式分解、配方等得出边的相应关系，从而判断三角形的形状．[提醒] 在两种解法的等式变形中，一般两边不要约去公因式，应移项提取公因式，以免漏解．[即时演练]1．设△ABC 的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若b cos C ＋c cos B ＝a sin A ，则△ABC 的形状为( )A ．锐角三角形B ．直角三角形C ．钝角三角形D ．不确定解析：选B 依据题设条件的特点，由正弦定理， 得sin B cos C ＋cos B sin C ＝sin 2A ，有sin(B ＋C )＝sin 2A ， 从而sin(B ＋C )＝sin A ＝sin 2A ，解得sin A ＝1， ∴A ＝π2，∴△ABC 是直角三角形．2．在△ABC 中，“2a sin A ＝(2b ＋c )sin B ＋(2c ＋b )sin C ，且sin B ＋sin C ＝1”，试判断△ABC 的形状．解：由已知，根据正弦定理得2a 2＝(2b ＋c )b ＋(2c ＋b )c ， 即a 2＝b 2＋c 2＋bc ，由余弦定理得，cos A ＝－12，sin A ＝32，则sin 2A ＝sin 2B ＋sin 2C ＋sin B sin C . 又sin B ＋sin C ＝1，所以sin B sin C ＝14，解得sin B ＝sin C ＝12.因为0<B <π2，0<C <π2，故B ＝C ＝π6，所以△ABC 是等腰钝角三角形．[典例] (2017·a ，b ，c ，已知sin(A ＋C )＝8sin 2B2.(1)求cos B ；(2)若a ＋c ＝6，△ABC 的面积为2，求b .[解] (1)由题设及A ＋B ＋C ＝π得sin B ＝8sin 2B2，即sin B ＝4(1－cos B )， 故17cos 2B －32cos B ＋15＝0， 解得cos B ＝1517或cos B ＝1(舍去)．(2)由cos B ＝1517，得sin B ＝817，故S △ABC ＝12ac sin B ＝417ac .又S △ABC ＝2，则ac ＝172. 由余弦定理及a ＋c ＝6得b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B ＝(a ＋c )2－2ac (1＋cos B ) ＝36－2×172×⎝⎛⎭⎫1＋1517＝4. 所以b ＝2. [方法技巧]三角形面积公式的应用原则(1)对于面积公式S ＝12ab sin C ＝12ac sin B ＝12bc sin A ，一般是已知哪一个角就使用哪一个公式．(2)与面积有关的问题，一般要用到正弦定理或余弦定理进行边和角的转化． [即时演练]1．(2018·太原一模)在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若A ＝60°，b ＝1，S △ABC ＝3，则c 等于( )A ．1B ．2C ．3D ．4解析：选D ∵S △ABC ＝12bc sin A ，∴3＝12×1×c ×32，∴c ＝4.2．(2018·陕西四校联考)在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且cos A ＝13. (1)求cos 2B ＋C2＋cos 2A 的值；(2)若a ＝3，求△ABC 面积的最大值． 解：(1)cos 2B ＋C2＋cos 2A ＝1＋cos (B ＋C )2＋2cos 2A －1＝12－cos A 2＋2cos 2A －1 ＝12－12×13＋2×⎝⎛⎭⎫132－1 ＝－49.(2)由余弦定理可得(3)2＝b 2＋c 2－2bc cos A ＝b 2＋c 2－23bc ≥2bc －23bc ＝43bc ，所以bc ≤94，当且仅当b ＝c ＝32时，bc 有最大值94.又cos A ＝13，A ∈(0，π)，所以sin A ＝1－cos 2A ＝1－⎝⎛⎭⎫132＝223，于是△ABC 面积的最大值为12×94×223＝324.1．(2016·全国卷Ⅲ)在△ABC 中，B ＝π4，BC 边上的高等于13BC ，则cos A ＝( )A.31010B.1010 C ．－1010D ．－31010解析：选C 法一：设△ABC 中角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ， 则由题意得S △ABC ＝12a ·13a ＝12ac sin B ，∴c ＝23a .由余弦定理得b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B ＝a 2＋29a 2－2×a ×23a ×22＝59a 2，∴b ＝53a .∴cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝59a 2＋29a 2－a 22×53a ×23a＝－1010.法二：如图，AD 为△ABC 中BC 边上的高．设BC ＝a ，由题意知AD ＝13BC ＝13a ，B ＝π4，易知BD ＝AD ＝13a ，DC ＝23a .在Rt △ABD 中，由勾股定理得， AB ＝⎝⎛⎭⎫13a 2＋⎝⎛⎭⎫13a 2＝23a .同理，在Rt △ACD 中，AC ＝ ⎝⎛⎭⎫13a 2＋⎝⎛⎭⎫23a 2＝53a . ∴cos A ＝59a 2＋29a 2－a 22×53a ×23a＝－1010.2．(2017·全国卷Ⅲ)△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c .已知C ＝60°，b ＝6，c ＝3，则A ＝________.解析：由正弦定理，得sin B ＝b sin Cc ＝6sin 60°3＝22， 因为0°＜B ＜180°，所以B ＝45°或135°. 因为b ＜c ，所以B ＜C ，故B ＝45°， 所以A ＝180°－60°－45°＝75°. 答案：75°3．(2016·全国卷Ⅱ)△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若cos A ＝45，cos C＝513，a ＝1，则b ＝________. 解析：因为A ，C 为△ABC 的内角，且cos A ＝45，cos C ＝513，所以sin A ＝35，sin C ＝1213，所以sin B ＝sin(π－A －C )＝sin(A ＋C ) ＝sin A cos C ＋cos A sin C ＝35×513＋45×1213＝6365.又a ＝1，所以由正弦定理得b ＝a sin B sin A ＝6365×53＝2113.答案：21134．(2017·全国卷Ⅰ)△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c .已知△ABC 的面积为a 23sin A. (1)求sin B sin C ；(2)若6cos B cos C ＝1，a ＝3，求△ABC 的周长． 解：(1)由题设得12ac sin B ＝a 23sin A ，即12c sin B ＝a 3sin A. 由正弦定理得12sin C sin B ＝sin A 3sin A .故sin B sin C ＝23.(2)由题设及(1)得cos B cos C －sin B sin C ＝－12，即cos(B ＋C )＝－12.所以B ＋C ＝2π3，故A ＝π3.由题设得12bc sin A ＝a 23sin A，即bc ＝8.由余弦定理得b 2＋c 2－bc ＝9，即(b ＋c )2－3bc ＝9， 得b ＋c ＝33.故△ABC 的周长为3＋33.5．(2017·全国卷Ⅲ)△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c .已知sin A ＋3cos A ＝0，a ＝27，b ＝2.(1)求c ；(2)设D 为BC 边上一点，且AD ⊥AC ，求△ABD 的面积． 解：(1)由已知可得tan A ＝－3，所以A ＝2π3.在△ABC 中，由余弦定理得28＝4＋c 2－4c cos 2π3， 即c 2＋2c －24＝0. 解得c ＝4(负值舍去)． (2)由题设可得∠CAD ＝π2，所以∠BAD ＝∠BAC －∠CAD ＝π6.故△ABD 的面积与△ACD 的面积的比值为 12AB ·AD ·sin π612AC ·AD ＝1.又△ABC 的面积为12×4×2×sin 2π3＝23，所以△ABD 的面积为 3.6．(2016·全国卷Ⅰ)△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知2cos C (a cos B ＋b cos A )＝c .(1)求C ；(2)若c ＝7，△ABC 的面积为332，求△ABC 的周长． 解：(1)由已知及正弦定理得2cos C (sin A cos B ＋sin B cos A )＝sin C ， 即2cos C sin(A ＋B )＝sin C ， 故2sin C cos C ＝sin C .因为sin C ≠0，可得cos C ＝12，所以C ＝π3.(2)由已知得12ab sin C ＝332.又C ＝π3，所以ab ＝6.由已知及余弦定理得a 2＋b 2－2ab cos C ＝7， 故a 2＋b 2＝13，从而(a ＋b )2＝25. 所以△ABC 的周长为5＋7.7．(2015·全国卷Ⅱ)△ABC 中，D 是BC 上的点，AD 平分∠BAC ，BD ＝2DC . (1)求sin Bsin C； (2)若∠BAC ＝60°，求B . 解：(1)由正弦定理，得AD sin B ＝BD sin ∠BAD ，AD sin C ＝DCsin ∠CAD . 因为AD 平分∠BAC ，BD ＝2DC ， 所以sin B sin C ＝DC BD ＝12.(2)因为C ＝180°－(∠BAC ＋B )，∠BAC ＝60°， 所以sin C ＝sin(∠BAC ＋B )＝32cos B ＋12sin B. 由(1)知2sin B ＝sin C ，所以tan B ＝33， 所以B ＝30°.8．(2013·全国卷Ⅱ)△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知a ＝b cos C ＋c sin B.(1)求B ；(2)若b ＝2，求△ABC 面积的最大值．解：(1)由已知及正弦定理得sin A ＝sin B cos C ＋sin C sin B ． ① 又A ＝π－(B ＋C )，故sin A ＝sin(B ＋C )＝sin B cos C ＋cos B sin C ． ② 由①②和C ∈(0，π)得sin B ＝cos B. 又B ∈(0，π)，所以B ＝π4.(2)△ABC 的面积S ＝12ac sin B ＝24ac .由已知及余弦定理得4＝a 2＋c 2－2ac cos π4.又a 2＋c 2≥2ac ，故ac ≤42－2，当且仅当a ＝c 时，等号成立． 因此△ABC 面积的最大值为24×42－2＝2＋1.一、选择题1．在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知a ＝1，b ＝3，A ＝30°，若B 为锐角，则A ∶B ∶C ＝( )A ．1∶1∶3B ．1∶2∶3C ．1∶3∶2D ．1∶4∶1解析：选B 因为a ＝1，b ＝3，A ＝30°，B 为锐角，所以由正弦定理可得sin B ＝b sin A a ＝32，则B ＝60°，所以C ＝90°，则A ∶B ∶C ＝1∶2∶3. 2．如果将直角三角形三边增加相同的长度，则新三角形一定是( ) A ．锐角三角形 B ．钝角三角形 C ．直角三角形D ．根据增加的长度确定三角形的形状解析：选A 设原来直角三角形的三边长是a ，b ，c 且a 2＝b 2＋c 2，在原来的三角形三条边长的基础上都加上相同的长度，设为d ，原来的斜边仍然是最长的边，故cos A ＝(b ＋d )2＋(c ＋d )2－(a ＋d )22(b ＋d )(c ＋d )＝2bd ＋2cd ＋d 2－2ad2(b ＋d )(c ＋d )>0，所以新三角形中最大的角是一个锐角，故选A.3．(2018·太原模拟)在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若b 2＋c 2－a 2＝3bc ，且b ＝3a ，则下列关系一定不成立的是( )A ．a ＝cB ．b ＝cC ．2a ＝cD ．a 2＋b 2＝c 2解析：选B 由余弦定理，得cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝3bc 2bc ＝32，则A ＝30°.又b ＝3a ，由正弦定理得sin B ＝3sin A ＝3sin 30°＝32，所以B ＝60°或120°.当B ＝60°时，△ABC 为直角三角形，且2a ＝c ，可知C 、D 成立；当B ＝120°时，C ＝30°，所以A ＝C ，即a ＝c ，可知A 成立，故选B.4．在直角梯形ABCD 中，AB ∥CD ，∠ABC ＝90°，AB ＝2BC ＝2CD ，则cos ∠DAC ＝( )A.1010B.31010C.55D.255解析：选B 如图所示，设CD ＝a ，则易知AC ＝5a ，AD ＝2a ，在△ACD 中，CD 2＝AD 2＋AC 2－2AD ×AC ×cos ∠DAC ，∴a 2＝(2a )2＋(5a )2－2×2a ×5a ×cos ∠DAC ，∴cos ∠DAC ＝31010. 5．在△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若△ABC 的面积为S ，且2S ＝(a ＋b )2－c 2，则tan C 等于( )A.34B.43 C ．－43D ．－34解析：选C 因为2S ＝(a ＋b )2－c 2＝a 2＋b 2－c 2＋2ab ， 则由面积公式与余弦定理，得ab sin C ＝2ab cos C ＋2ab ， 即sin C －2cos C ＝2，所以(sin C －2cos C )2＝4， 即sin 2C －4sin C cos C ＋4cos 2C sin 2C ＋cos 2C ＝4，所以tan 2C －4tan C ＋4tan 2C ＋1＝4，解得tan C ＝－43或tan C ＝0(舍去)．6．在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且满足b 2＋c 2－a 2＝bc ，AB ―→·BC ―→>0，a ＝32，则b ＋c 的取值范围是( ) A.⎝⎛⎭⎫1，32 B.⎝⎛⎭⎫32，32C.⎝⎛⎭⎫12，32D.⎝⎛⎦⎤12，32解析：选B 在△ABC 中，b 2＋c 2－a 2＝bc ， 由余弦定理可得cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝bc 2bc ＝12，∵A 是△ABC 的内角，∴A ＝60°. ∵a ＝32， ∴由正弦定理得a sin A ＝b sin B ＝c sin C ＝c sin (120°－B )＝1，∴b ＋c ＝sin B ＋sin(120°－B )＝32sin B ＋32cos B＝3sin(B ＋30°)．∵AB ―→·BC ―→＝|AB ―→|·|BC ―→|·cos(π－B )>0， ∴cos B <0，B 为钝角，∴90°<B <120°，120°<B ＋30°<150°， 故sin(B ＋30°)∈⎝⎛⎭⎫12，32， ∴b ＋c ＝3sin(B ＋30°)∈⎝⎛⎭⎫32，32. 二、填空题7．在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且2c cos B ＝2a ＋b ，若△ABC 的面积S ＝32c ，则ab 的最小值为________． 解析：将2c cos B ＝2a ＋b 中的边化为角可得2sin C cos B ＝2sin A ＋sin B ＝2sin C cos B ＋2sin B cos C ＋sin B ．则2sin B cos C ＋sin B ＝0，因为sin B ≠0，所以cos C ＝－12，则C ＝120°，所以S ＝12ab sin 120°＝32c ，则c ＝12ab .由余弦定理可得⎝⎛⎭⎫12ab 2＝a 2＋b 2－2ab cos C ≥3ab ，则ab ≥12，当且仅当a ＝b ＝23时取等号，所以ab 的最小值为12.答案：128．(2017·浙江高考)已知△ABC ，AB ＝AC ＝4，BC ＝2.点D 为AB 延长线上一点，BD ＝2，连接CD ，则△BDC 的面积是________，cos ∠BDC ＝________.解析：在△ABC 中，AB ＝AC ＝4，BC ＝2， 由余弦定理得cos ∠ABC ＝AB 2＋BC 2－AC 22AB ·BC＝42＋22－422×4×2＝14， 则sin ∠ABC ＝sin ∠CBD ＝154， 所以S △BDC ＝12BD ·BC sin ∠CBD ＝12×2×2×154＝152.因为BD ＝BC ＝2，所以∠CDB ＝12∠ABC ，则cos ∠CDB ＝ cos ∠ABC ＋12＝104.答案：1521049．已知a ，b ，c 分别为△ABC 三个内角A ，B ，C 的对边，a ＝2，且(2＋b )(sin A －sin B )＝(c －b )sin C ，则△ABC 面积的最大值为________．解析：因为a ＝2，且(2＋b )(sin A －sin B )＝(c －b )sin C ， 所以(a ＋b )(sin A －sin B )＝(c －b )sin C . 由正弦定理得b 2＋c 2－bc ＝4，又因为b 2＋c 2≥2bc ，所以bc ≤4，当且仅当b ＝c ＝2时取等号，此时三角形为等边三角形，所以S ＝12bc sin 60°≤12×4×32＝3，故△ABC 的面积的最大值为 3. 答案： 3 三、解答题10．(2017·天津高考)在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c .已知a sin A ＝4b sin B ，ac ＝5(a 2－b 2－c 2)．(1)求cos A 的值； (2)求sin(2B －A )的值． 解：(1)由a sin A ＝4b sin B ，及a sin A ＝bsin B，得a ＝2b . 由ac ＝5(a 2－b 2－c 2)及余弦定理， 得cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝－55ac ac ＝－55.(2)由(1)，可得sin A ＝255，代入a sin A ＝4b sin B ，得sin B ＝a sin A 4b ＝55. 由(1)知，A 为钝角，所以cos B ＝1－sin 2B ＝255. 于是sin 2B ＝2sin B cos B ＝45，cos 2B ＝1－2sin 2B ＝35，故sin(2B －A )＝sin 2B cos A －cos2B sin A＝45×⎝⎛⎭⎫－55－35×255＝－255. 11．在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c .已知a sin B ＝3b cos A . (1)求角A 的大小；(2)若a ＝7，b ＝2，求△ABC 的面积．解：(1)因为a sin B ＝3b cos A ，由正弦定理得sin A sin B ＝3sin B cos A . 又sin B ≠0，从而tan A ＝ 3.由于0<A <π，所以A ＝π3.(2)法一：由余弦定理a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ，及a ＝7，b ＝2，A ＝π3，得7＝4＋c 2－2c ，即c 2－2c －3＝0. 因为c >0，所以c ＝3.故△ABC 的面积S ＝12bc sin A ＝332.法二：由正弦定理，得7sinπ3＝2sin B ，从而sin B ＝217，又由a >b ，知A >B ，所以cos B ＝277. 故sin C ＝sin(A ＋B )＝sin ⎝⎛⎭⎫B ＋π3＝sin B cos π3＋cos B sin π3＝32114. 所以△ABC 的面积S ＝12ab sin C ＝332.12．在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，sin B ·(a cos B ＋b cos A )＝3c cos B.(1)求B ；(2)若b ＝23，△ABC 的面积为23，求△ABC 的周长． 解：(1)由正弦定理得，sin B (sin A cos B ＋sin B cos A )＝3sin C cos B ， ∴sin B sin(A ＋B )＝3sin C cos B ， ∴sin B sin C ＝3sin C cos B.∵sin C ≠0，∴sin B ＝3cos B ，即tan B ＝ 3. ∵B ∈(0，π)，∴B ＝π3.(2)∵S △ABC ＝12ac sin B ＝34ac ＝23，∴ac ＝8.根据余弦定理得，b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B ， ∴12＝a 2＋c 2－8，即a 2＋c 2＝20， ∴a ＋c ＝(a ＋c )2＝a 2＋2ac ＋c 2＝6， ∴△ABC 的周长为6＋2 3.1．在平面五边形ABCDE 中，已知∠A ＝120°，∠B ＝90°，∠C ＝120°，∠E ＝90°，AB ＝3，AE ＝3，当五边形ABCDE 的面积S ∈⎣⎡⎭⎫63，3334时，则BC 的取值范围为________．解析：因为AB ＝3，AE ＝3，且∠A ＝120°，由余弦定理可得BE ＝AB 2＋AE 2－2AB ·AE ·cos A ＝33，且∠ABE ＝∠AEB ＝30°. 又∠B ＝90°，∠E ＝90°，所以∠DEB ＝∠EBC ＝60°. 又∠C ＝120°，所以四边形BCDE 是等腰梯形． 易得三角形ABE 的面积为934， 所以四边形BCDE 的面积的取值范围是⎣⎡⎭⎫1534，63. 在等腰梯形BCDE 中，令BC ＝x ，则CD ＝33－x ，且梯形的高为3x2， 故梯形BCDE 的面积为12·(33＋33－x )·3x 2，即15≤(63－x )x <24， 解得3≤x <23或43<x ≤5 3. 答案：[3，23)∪(43，53]2.如图，有一直径为8 m 的半圆形空地，现计划种植果树，但需要有辅助光照．半圆周上的C 处恰有一可旋转光源满足果树生长的需要，该光源照射范围是∠ECF ＝π6，点E ，F 在直径AB 上，且∠ABC ＝π6.(1)若CE ＝13，求AE 的长；(2)设∠ACE ＝α，求该空地种植果树的最大面积． 解：(1)由已知得△ABC 为直角三角形， 因为AB ＝8，∠ABC ＝π6，所以∠BAC ＝π3，AC ＝4.在△ACE 中，由余弦定理得，CE 2＝AC 2＋AE 2－2AC ·AE cos A ，且CE ＝13， 所以13＝16＋AE 2－4AE ， 解得AE ＝1或AE ＝3.(2)因为∠ACB ＝π2，∠ECF ＝π6，所以∠ACE ＝α∈⎣⎡⎦⎤0，π3， 所以∠AFC ＝π－∠BAC －∠ACF ＝π－π3－⎝⎛⎭⎫α＋π6＝π2－α， 在△ACF 中，由正弦定理得CF sin ∠BAC ＝AC sin ∠AFC ＝AC sin ⎝⎛⎭⎫π2－α＝AC cos α，所以CF ＝23cos α，在△ACE 中，由正弦定理得CE sin ∠BAC ＝AC sin ∠AEC ＝ACsin ⎝⎛⎭⎫π3＋α，所以CE ＝23sin ⎝⎛⎭⎫π3＋α，所以S △ECF ＝12CE ·CF sin ∠ECF ＝3sin ⎝⎛⎭⎫π3＋αcos α＝122sin ⎝⎛⎭⎫2α＋π3＋3.因为α∈⎣⎡⎦⎤0，π3，所以π3≤2α＋π3≤π， 所以0≤sin ⎝⎛⎭⎫2α＋π3≤1， 所以当sin ⎝⎛⎭⎫2α＋π3＝0，即α＝π3时，S △ECF 取得最大值为4 3. 即该空地种植果树的最大面积为4 3 m 2. 高考研究课(二)正、余弦定理的3个应用点——高度、距离和角度 [全国卷5年命题分析][典例] 如图，一辆汽车在一条水平的公路上向正西行驶，到A 处时测得公路北侧一山顶D 在西偏北30°的方向上，行驶600 m 后到达B 处，测得此山顶在西偏北75°的方向上，仰角为30°，则此山的高度CD ＝________m.[解析] 由题意，在△ABC 中，∠BAC ＝30°， ∠ABC ＝180°－75°＝105°，故∠ACB ＝45°. 又AB ＝600 m ，故由正弦定理得600sin 45°＝BC sin 30°， 解得BC ＝300 2 m.在Rt △BCD 中， CD ＝BC ·tan 30°＝3002×33＝100 6(m)． [答案] 100 6 [方法技巧]利用正、余弦定理求解高度问题应注意的3个方面(1)在处理有关高度问题时，要理解仰角、俯角(它是在铅垂面上所成的角)、方向(位)角(它是在水平面上所成的角)是关键．(2)在实际问题中，可能会遇到空间与平面(地面)同时研究的问题，这时最好画两个图形，一个空间图形，一个平面图形，这样处理起来既清楚又不容易搞错．(3)注意山或塔垂直于地面或海平面，把空间问题转化为平面问题． [即时演练]1.要测量底部不能到达的电视塔AB 的高度，在C 点测得塔顶A 的仰角是45°，在D 点测得塔顶A 的仰角是30°，并测得水平面上的∠BCD ＝120°，CD ＝40 m ，则电视塔的高度为( )A ．10 2 mB ．20 mC ．20 3 mD ．40 m解析：选D 设电视塔的高度为x m ，则BC ＝x ，BD ＝3x .在△BCD 中，根据余弦定理得3x 2＝x 2＋402－2×40x ×cos 120°，即x 2－20x －800＝0，解得x ＝40或x ＝－20(舍去)．故电视塔的高度为40 m.2.如图，为测得河岸塔AB 的高，先在河岸上选一点C ，使C 在塔底B 的正东方向上，测得点A 的仰角为60°，再由点C 沿北偏东15°方向走10 m 到位置D ，测得∠BDC ＝45°，则塔AB 的高是________m.解析：在△BCD 中，CD ＝10，∠BDC ＝45°， ∠BCD ＝15°＋90°＝105°，∠DBC ＝30°， 由正弦定理得，BC sin 45°＝CDsin 30°， 所以BC ＝CD sin 45°sin 30°＝10 2.在Rt △ABC 中，tan 60°＝ABBC ， AB ＝BC tan 60°＝106(m)． 答案：10 6测量距离问题[典例]侧，且B 点不可到达，要测出A ，B 的距离，其方法在A 所在的岸边选定一点C ，可以测出A ，C 的距离m ，再借助仪器，测出∠ACB ＝α，∠CAB ＝β，在△ABC 中，运用正弦定理就可以求出AB .若测出AC ＝60 m ，∠BAC ＝75°，∠BCA ＝45°，则A ，B 两点间的距离为________m. [解析] ∵∠ABC ＝180°－75°－45°＝60°， ∴由正弦定理得，AB sin C ＝ACsin B， ∴AB ＝AC ·sin C sin B ＝60×sin 45°sin 60°＝206(m)．即A ，B 两点间的距离为20 6 m. [答案] 20 6 [方法技巧]求距离问题的2个注意事项(1)选定或确定要创建的三角形，首先确定所求量所在的三角形，若其他量已知则直接求解；若有未知量，则把未知量放在另一确定三角形中求解．(2)确定用正弦定理还是余弦定理，如果都可用，就选择更便于计算的定理． [即时演练]1.如图所示，要测量一水塘两侧A ，B 两点间的距离，其方法先选定适当的位置C ，用经纬仪测出角α，再分别测出AC ，BC 的长b ，a ，则可求出A ，B 两点间的距离．即AB ＝a 2＋b 2－2ab cos α.若测得CA ＝400 m ，CB ＝600 m ，∠ACB ＝60°，则AB 的长为________m. 解析：在△ABC 中，由余弦定理得 AB 2＝AC 2＋BC 2－2AC ·BC cos ∠ACB ，∴AB 2＝4002＋6002－2×400×600cos 60°＝280 000. ∴AB ＝200 7 (m)．即A ，B 两点间的距离为200 7 m. 答案：200 72.隔河看两目标A 与B ，但不能到达，在岸边选取相距 3 km 的C ，D 两点，同时，测得∠ACB ＝75°，∠BCD ＝45°，∠ADC ＝30°，∠ADB ＝45°(A ，B ，C ，D 在同一平面内)，求两目标A ，B 之间的距离．解：在△ACD 中，∠ACD ＝120°， ∠CAD ＝∠ADC ＝30°，所以AC ＝CD ＝ 3.在△BCD 中，∠BCD ＝45°，∠BDC ＝75°，∠CBD ＝60°，由正弦定理知BC ＝3sin 75°sin 60°＝6＋22. 在△ABC 中，由余弦定理，得AB 2＝AC 2＋BC 2－2AC ·BC ·cos ∠ACB ＝(3)2＋⎝⎛⎭⎪⎫6＋222－2×3×6＋22×cos 75°＝3＋2＋3－3＝5，所以AB ＝ 5 ， 所以A ，B 两目标之间的距离为 5 km.角度问题[典例] (2018·南昌模拟)如图所示，当甲船位于A 处时获悉，在其正东方向相距20海里的B 处有一艘渔船遇险等待营救，甲船立即前往营救，同时把消息告知在甲船的南偏西30°相距10海里C 处的乙船，乙船立即朝北偏东θ＋30°角的方向沿直线前往B 处营救，则sin θ的值为( )A.217 B.22C.32D.5714[解析] 如图，连接BC ，在△ABC 中，AC ＝10，AB ＝20，∠BAC＝120°，由余弦定理，得BC 2＝AC 2＋AB 2－2AB ·AC ·cos 120°＝700，∴BC ＝107， 再由正弦定理，得BC sin ∠BAC ＝ABsin θ，∴sin θ＝217. [答案] A [方法技巧]解决测量角度问题的3个注意点(1)明确方向角的含义．(2)分析题意，分清已知与所求，再根据题意正确画出示意图，这是最关键、最重要的一步．(3)将实际问题转化为可用数学方法解决的问题后，注意正、余弦定理的“联袂”使用． [即时演练]1.如图，两座灯塔A 和B 与海岸观察站C 的距离相等，灯塔A 在观察站南偏西40°，灯塔B 在观察站南偏东60°，则灯塔A 在灯塔B 的( )A ．北偏东10°B ．北偏西10°C ．南偏东80°D ．南偏西80°。
专题06 三角函数及解三角形——2020年高考真题和模拟题理科数学分项汇编(解析版).docx
专题06三角函数及解三角形2020年高考真题1. ［2020年高考全国I卷理数】设函数f(x) = cos(®x + -)在［-”，兀］的图像大致如下图，则/(%)的最小正6周期为9 64兀3兀C. —D.兰3 2【答案】C【解析】由图可得：函数图象过点( 4 兀1T \将它代入函数/(兀)可得：cosl一- •<« + —1 = 0,又［-普,o］是函数/(兀)图象与x轴负半轴的第一个交点,十.I 4兀兀兀5 e 3所以-亍0+丁丐,解得r •2K _ 2兀_ 4兀所以函数/(%)最小正周期为=T=T=T2故选C.【点睛】本题主要考查了三角函数的性质及转化能力，还考查了三角函数周期公式，属于中档题.2. [2020 年高考全国I 卷理数】已知cc G (0,7i),且3COS2Q-8COSQ =5 ,贝0 sin^z =A. B.【答案】A又 a e (0, n),.'. sin a = Jl-cos? a =•故选：A. 【点睛】本题考查三角恒等变换和同角间的三角函数关系求值，熟记公式是解题的关键，考查计算求解 能力，属于基础题.3.【2020年高考全国II 卷理数】若a 为第四象限角，则B. cos2a<0D. sin2a<0 【答案】D【解析】方法-：由。
为第四象限角，可得亍2炽“<2卄2炽从Z,所以 3兀 + 4k 兀 < 2a < 4兀 + 4-kn, e Z此时2a 的终边落在第三、四象限及V 轴的非正半轴上，所以sin2a<0,故选：D.兀方法二：当& =——时，cos 2a = cos 由a 在第四象限可得：sin a <0, cos a > 0 ,则由2 a 蕃1 aaz Qz < ，选项C 错误，选项D 正确； 故选：D.【点睛】本题主要考查三角函数的符号，二倍角公式，特殊角的三角函数值等知识，意在考查学生的转 化能力和计算求解能力.C. sin2a>0>0,选项B 错误;<0,选项A 错误;【解析】3cos2a-8cosa = 5 ,得6cos 2tz-8coscr-8 = 0 -【答案】A2【解析】在ABC中，cosC = —, AC = 4, BC = 3, 3根据余弦定理：AB2 =AC2+BC2-2AC BC COS C，7AB- =42+32-2X4X3X-,3可得AB2 = 9，即AB — 3 ,… AB2+BC2-AC2 9 + 9-16 1由cos B = ------------------------- = ------------ =—,2ABBC2x3x3 9故cos B =—.9故选：A.5. [2020年高考全国III卷理数】已知2tan^-tan（0+ —）=7,则tan^=A. -2B. -1【答案】D【解析】2 tan - tan | ^ + — | = 7 , z. 2tan^~ tan^ + ^ =7 ,I 4 丿 1 - tan令/ = tan&,/Hl,则2/—土 = 7,整理得严_4/ + 4 = 0,解得t = 2,即tan6» = 2.故选：D.【点睛】本题主要考查了利用两角和的正切公式化简求值，属于中档题.6.【2020年高考北京】2020年3月14日是全球首个国际圆周率日（兀Day）.历史上，求圆周率兀的方法有多种，与中国传统数学中的“割圆术”相似.数学家阿尔•卡西的方法是：当正整数"充分大时，计算单位圆的内接正6“边形的周长和外切正6“边形（各边均与圆相切的正6“边形）的周长，将它们的算术平均数作为2兀的近似值.按照阿尔•卡西的方法，兀的近似值的表达式是2 71 、［/ — 71 -- 当“一 2571 6 _ 时，y = —1 二 2x^ + ^ = —+ 2^(^ e Z),3n < .30° 30°) 6n < .30° 30°) A. sin —— + tan ----- B. sin —— + tan ----- 1 n n 丿 I n n ) 3n (.60° 60°) 6n (.60° < 60°) c. sin ---- + tan ----- D. sin ----- + tan ----- I nn 丿 I nn ) 【答案】A 360° 60° 30° 【解析】单位圆内接正6〃边形的每条边所对应的圆周角为一 =——，每条边长为2sin —, nx6 n n 30° 所以，单位圆的内接正6〃边形的周长为12nsin ——, n30° 30° 单位圆的外切正6n 边形的每条边长为2tan —,其周长为12〃tan —, n n30° 30° 12nsin ----- 12ntan ---------.・.* 二 ----- n --------------- n _ 2( 30° 30°则 7i = 3n\ sin------ + tan --- I n n故选：A.【点睛】本题考查圆周率兀的近似值的计算，根据题意计算出单位圆内接正6〃边形和外切正6〃边形的 周长是解答的关键，考查计算能力，属于中等题.7. [2020年新高考全国I 卷】下图是函数y 二sin （亦+卩）的部分图像，贝!j sin （亦+卩）=【答案】BC=6“ sin 竺+ tan 竺, I n n ) A. sin(x + f)¥亠)【解析】由函数图像可知：- = -7T —— 2 3 71 _71 6~2 27T 则血=—=—=2,所以不选A, T 71 B.解得：cp 二 Ikn + 彳兀(£ e Z ),即函数的解析式为：y = sin| 2x + —TT + 2A ；7Z - | = sin| 2x + —+ —| = cos| 2x + — | = sin| — -2x I 3 丿(6 2丿(6丿(3 (\5/r而 cos I 2x + — I — - cos( — 2x) 故选：BC.【点睛】已知fix) =Asin(a}x +^)(A>0, e>0)的部分图象求其解析式时，A 比较容易看图得出，困难的 是求待定系数e 和0常用如下两种方法：竺即可求出e ；确定y 时，若能求出离原点最近的右侧图象上升(或下降)的“零点”横坐标xo,则令 exo+0 = O(或 a )xo+<p=7t'),即可求出 <p.(2)代入点的坐标，利用一些已知点(最高点、最低点或“零点”)坐标代入解析式，再结合图形解出co 和<p, 若对A, e 的符号或对°的范围有要求，则可用诱导公式变换使其符合要求.&【2020年高考全国I 卷理数】如图，在三棱锥P ABC 的平面展开图中，AC=1, AB = AD =也,佔丄AC, AB±AD, ZCAE=30°,贝0 cosZFCB= _______________ .【答案】4【解析】 AB 丄AC, AB = j3, AC = E由勾股定理得BC = V A B 2+AC 2 = 2 ‘71 F(P)同理得 BD =品，：.BF = BD = ^，在△4CE 中，AC = 1, AE = AD =运,ZCAE = 30 ，由余弦定理得 CF = 3+^2—240 AEcos30 =l + 3-2xlxV3x —= 1, 2:.CF = CE = 1,在 BCF 中，BC = 2, BF =愿，CF = 1,CF~ + BC 2 -BF 2由余弦定理得cos ZFCB = 七——2CFBC故答案为：—. 4【点睛】本题考查利用余弦定理解三角形，考查计算能力，属于中等题.9.【2020年高考全国III 卷理数】16.关于函数f (x) =sinx ——-—有如下四个命题: sinx®f (%)的图像关于y 轴对称.®f (x)的图像关于原点对称.1T®f (X )的图像关于直线x=3对称.®f (X )的最小值为2.其中所有真命题的序号是 __________ .【答案】②③所以，函数/(x)的图象不关于y 轴对称，命题①错误；对于命题②，函数/(X )的定义域为[x\x^kn,k^Z^ ,定义域关于原点对称, / ( -x) = sin (-%) + —r = - sin x - -— = -fsinx + -^―] = -/(%),sin (—兀) sinx I sinx)所以，函数/(x)的图象关于原点对称，命题②正确;1 + 4-6 2x1x2 【解析】对于命题①,A 7C \ . (7C ] 1(2 丿(2 ) .(7i' 7' 7 sm —+ x12所以，函数/(x)的图象关于直线x = |对称，命题③正确;对于命题④，当一7i<x<0时，sinx<0,贝J f(x} = sinx + — <0< 2 , sinx命题④错误.故答案为：②③.【点睛】本题考查正弦型函数的奇偶性、对称性以及最值的求解，考查推理能力与计算能力，属于中等题.JT 210.【2020年高考江苏】已知sin2(-+ <?) = -,则sin2a 的值是▲.4 3【解析】Qsin2(—+ cr) = (-^cosa-\——sin a)2 = —(1 + sin 2a)4 2 2 21 2 1— (1 + sin 2a) = —sin 2a =—2 3 3故答案为：-3【点睛】本题考查两角和正弦公式、二倍角正弦公式，考查基本分析求解能力，属基础题.11.【2020年高考北京】若函数/(x) = sin(x+^) + cosx的最大值为2,则常数0的一个取值为 _______________IT TT【答案辽(2唸+亍心均可)【解析】因为 (兀)=cos ©sin 兀 +(sin 0 + 1)cos 兀=Jcos? 0 +(sin 0 + 1)2 sin (兀+ 0), 所以Jcos?(p + (sin(p +1『=2,解得sin0 = l,故可取^ = ~-7T7T故答案为：-(2^ + -,^eZ 均可). 2 2【点睛】本题主要考查两角和的正弦公式，辅助角公式的应用，以及平方关系的应用，考查学生的数 学运算能力，属于基础题.1T12. [2020 年高考浙江】已知 tan& = 2,则 cos2& = _______ , tan(6>-一) = ______ .3 1【答案】V 巧cos 2 0-sin 2 0 _ 1-tan 2 _ 1 -22cos 2 ^ + sin 2 0 1 + tan 2 0 1 + 223 1故答案为： 【点睛】本题考查二倍角余弦公式以及弦化切、两角差正切公式，考查基本分析求解能力，属基础题.13. [2020年高考江苏】将函数y = 3sin(2x +^)的图象向右平移夕个单位长度，则平移后的图象中与y 轴最 4 6近的对称轴的方程是▲ • 【答案】2-峯 24V/ 'j I r jl【解析】y — 3sin[2(x ---- ) —] = 3 sin(2x ------ ) 6 4 12小 TC TC , , x 7 TT k/C 7 x2x ------ — —F k 兀G Z)x — ----------- 1 ---- (k G Z) 12 2 24 2当k = -1时兀=——• 24故答案为：x =———24 【点睛】本题考查三角函数图象变换、正弦函数对称轴，考查基本分析求解能力，属基础题.14. [2020年新高考全国I 卷】某中学开展劳动实习，学生加工制作零件，零件的截面如图所示.O 为圆孔 及轮廓圆弧AB 所在圆的圆心，A 是圆弧AB 与直线AG 的切点，B 是圆弧与直线BC 的切点，四边 形 DEFG 为矩形，BC 丄DG,垂足为 C, tanZODC= - , BH//DG , EF=12 cm, DE=2 cm, A 到直线5DE 和EF 的距离均为7 cm,圆孔半径为1 cm,则图中阴影部分的面积为 ___________ cm 2.【解析】cos 20 = cos 2 0 - sin 2 0 = tan <9-1 l + tan& 2-11 + 2【答案】4 + »兀 2【解析】设05 = OA=r,由题意AM = AN = 1, EF = \2，所以NF = 5,因为 AP = 5,所以 ZAGP = 45\因为 BH//DG,所以 ZAH0 = 45°，因为AG 与圆弧4B 相切于A 点，所以Q4丄4G,即AOAH 为等腰直角三角形；在直角△0QD 中，0Q = 5_^r ，DQ = l-—r ，2 2因为 tanZ0DC = -^ = |，所以 21- —r = 25-^r ， DQ 5 22 解得 r = 2A /2 ；等腰直角MAH 的面积为恥》2屈2尽4；I 所以阴影部分的面积为S] + S?—㊁兀=4 +三-•故答案为：4 + T.扇形A0B 的面积S 2 = =3乃，【点睛】本题主要考查三角函数在实际中应用，把阴影部分合理分割是求解的关键，以劳动实习为背景，体现了五育并举的育人方针.15.【2020 年高考全国II 卷理数】/XABC 中，sin2A —sin2B—sin2C= sinBsinC.(1)求A；(2)若BC=3,求zMBC周长的最大值.【解析】(1)由正弦定理和已知条件得BC2-AC2-AB2^AC AB，①由余弦定理得BC2 = AC2 +AB2- 2AC AB cos A，②由①，②得cos A =—.22兀因为0<4<兀，所以A =—.3(2)由正弦定理及(1)得上匕=少-=-?£ = 2巧，sin B sin C sin A从而AC = 2A/3 sin B , AB = 2^3 sin(兀一A - B) = 3 cos B一A/3 sin B.故BC + 4C + AB = 3 + 7^sinB + 3cosB = 3 + 2V^sin(B + ¥).X0<B<-,所以当B =-时，AABC周长取得最大值3 + 2^3-3 616.[2020年高考江苏】在A ABC中，角A, B, C的对边分别为°, b, c,已知a = 3,c =迈,B = 45。
2020年高考理科数学一轮复习题型归纳与变式演练专题06《解三角形》
8
【解析】如图，连结 A1B2 ，
∵ A2 B2
10 2 ， A1A2
20 30 2
60
10 2 ，
B2 A2 A1
60
∴ A1A2B2 是等边三角形， B1A1B2 105 60 45 ，
在 A1B2B1 中，由余弦定理得 :
2
2
2
B1B2 A1B1 A1 B2 2 A1B1 A1B2 cos 45
（Ⅱ） 由Ⅰ知 c
ab 2，
cos C
a2 b2 c2 2ab
(a b)2 ( a b )2 2
2ab
3a b 1 1
(
)
8 b a 4 2,
所以
5
当且仅当 a=b 时，等号成立 . 1
所以 cosC 的最小值为 ． 2
【总结升华】有关三角形中的三角函数问题，灵活运用正弦、余弦定理把边、角之间的关系 相互转化，从而达到解题的目的 .
（ 1）∵
10 sin 45o
52 sin B
1 sin B ，
2
法一： ∵ 00 B 1800 ， ∴ B 30 或 B 150 ，
①当 B 30 时， C 105 ， c 5( 3 1) ； ②当 B 150 时， A B 180 （舍去） . 法二： ∵ b a ，∴ B A ，即 00 B 450 ， ∴ B 30 ， C 105 ， c 5( 3 1) . （ 2）∵ b2 a2 c2 2accosB (2 3) 2 ( 6 2) 2 2 2 3 ( 6 2)cos45 12 ( 6 2) 2 4 3( 3 1) 8
b sin B
sin B
∴ sin A = sin A ， sin B cos A
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--2020年高考理科数学 《解三角形》题型归纳与训练【题型归纳】题型一 正弦定理、余弦定理的直接应用例1ABC ∆的角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知2sin()8sin2BA C +=． (1)求cos B(2)若6a c +=，ABC ∆面积为2，求b ． 【答案】（1）15cos 17B =（2）2b =． 【解析】由题设及A B C π++=得2sin 8sin2BB =，故sin 4(1cos )B B =-． 上式两边平方，整理得217cos 32cos 150B B -+=， 解得cos 1B =（舍去），15cos 17B =.（2）由15cos 17B =得8sin 17B =，故14sin 217ABC S ac B ac ∆==． 又2ABC S ∆=，则172ac =． 由余弦定理及6a c +=得22222cos ()2(1cos )b a c ac B a c ac B =+-=+-+1715362(1)4217=-⨯⨯+=． 所以2b =．【易错点】二倍角公式的应用不熟练，正余弦定理不确定何时运用 【思维点拨】利用正弦定理列出等式直接求出例2 ABC △的角,,A B C 的对边分别为,,a b c ,若2cos cos cos b B a C c A =+,则B = . 【答案】π3【解析】1π2sin cos sin cos sin cos sin()sin cos 23B B AC C A A C B B B =+=+=⇒=⇒=.【易错点】不会把边角互换，尤其三角恒等变化时，注意符号。
【思维点拨】边角互换时，一般遵循求角时，把边换成角；求边时，把角转换成边。
例3在△ABC 中，a ，b ，c 分别是角A ，B ，C 的对边，若b ＝1，c ＝3，C ＝23π，则S △ABC ＝________.【答案】34【解析】因为c ＞b ，所以B ＜C ，所以由正弦定理得b sin B ＝c sin C ，即1sin B ＝3sin 2π3＝2，即sin B ＝12，所以B＝π6，所以A ＝π－π6－2π3＝π6.所以S △ABC ＝12bc sin A ＝12×3×12＝34. 【易错点】大边对大角，应注意角的取值围【思维点拨】求面积选取公式时注意，一般选取已知角的公式，然后再求取边长。
题型二利用正弦定理、余弦定理判定三角形的形状例1在ABC ∆中，角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，且,,A B C成等差数列 (1)若2b c ==，求ABC ∆的面积(2)若sin ,sin ,sin A B C 成等比数列，试判断ABC ∆的形状 【答案】(1)32 (2)等边三角形【解析】(1)由A ，B ，C 成等差数列，有2B ＝A ＋C (1) 因为A ，B ，C 为△ABC 的角，所以A ＋B ＋C ＝π．(2) 得B ＝3π，b 2＝a 2＋c 2－2accosB (3) 所以3cos44)32(22πa a -+= 解得4=a 或2-=a (舍去)所以323sin 2421sin 21=⨯⨯==∆πB ac s ABC (2)由a ，b ，c 成等比数列，有b 2＝ac (4)由余弦定理及(3)，可得b 2＝a 2＋c 2－2accosB ＝a 2＋c 2－ac再由(4)，得a 2＋c 2－ac ＝ac ，即(a －c )2＝0。
因此a ＝c 从而A ＝C (5)--由(2)(3)(5)，得A ＝B ＝C ＝3π 所以△ABC 为等边三角形．【易错点】等差数列，等比数列容易混淆【思维点拨】在三角形中，三边和三角都是实数，三个数很容易联想到数列的三项，所以，三角函数与数列的结合也是较为常见的问题，解答中注意几个常见结论，此类问题就不难解答了. 例2在△ABC 中，已知2a b c =+，2sin sin sin A B C =，试判断△ABC 的形状。
【答案】等边三角形【解析】2sin sin sin A B C =⇒2a bc =，又2abc =+，所以224()a b c =+，所以24()bc b c =+，即2()0b c -=，因而b c =；由2a b c =+得a b =。
所以a b c ==，△ABC 为等边三角形。
【易错点】条件的转化运用【思维点拨】判定三角形形状时，一般考虑两个方向进行变形： （1）一个方向是边，走代数变形之路，通常是正、余弦定理结合使用； （2）另一个方向是角，走三角变形之路.通常是运用正弦定理 题型三与三角形中有关的不等式问题例1△ABC 的角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知△ABC 的面积为23sin a A.（1）求C B sin sin ;（2）若6cos B cos C =1，a =3，求△ABC 的周长. 【答案】（1）32sin sin =C B ；（2）333+=∆ABC C 【解析】.32sin sin .sin 3sin sin sin 21.sin 3sin 21,sin 3sin 21)1(2=∴===B C A AB C A aB c A a B ac 由正弦定理得即由题设得.333.33,93)(,9.8,sin 3sin 21.3,32.21)cos(,21sin sin cos cos )1()2(2222+=∴=+∴=-+=-+===∴=+∴-=+-=-∆ABC C c b bc c b bc c b bc Aa A bc A C B C B C B C B 即由余弦定理得即又即得由题设及 ππ 【易错点】不会利用将角的关系转化为边的关系【思维点拨】在处理解三角形问题时，要注意抓住题目所给的条件，当题设中给定三角形的面积，可以使用面积公式建立等式，再将所有边的关系转化为角的关系，有时需将角的关系转化为边的关系；解三角形问题常见的一种考题是“已知一条边的长度和它所对的角，求面积或周长的取值围”或者“已知一条边的长度和它所对的角，再有另外一个条件，求面积或周长的值”，这类问题的通法思路是：全部转化为角的关系，建立函数关系式，如sin()y A x b ωϕ=++，从而求出围，或利用余弦定理以及基本不等式求围；求具体的值直接利用余弦定理和给定条件即可.例2已知a ,b ,c 分别为△ABC 三个角A ,B ,C 的对边,cos sin 0a C C b c +--=.(1)求A 的大小；(2)若a ＝7,求△ABC 的周长的取值围． 【答案】(1)3π(2)(14,21] 【解析】(1)由正弦定理得：cos sin 0sin cos sin sin sin a C C b c A C A C B C --=⇔=+sin cos sin sin()sin A C A C A C C ⇔+=++1cos 1sin()62A A A π⇔-=⇔-=663A A πππ⇔-=⇔=；(2)由已知：0b >,0c >,7b c a +>=, 由余弦定理22222231492cos()3()()()344b c bc b c bc b c b c b c π=+-=+-≥+-+=+ 当且仅当b ＝c ＝7时等号成立,∴2()449b c +≤⨯,又∵b ＋c ＞7,∴7＜b ＋c ≤14,--从而△ABC 的周长的取值围是(14,21]．【易错点】求周长围的问题，应先用余弦定理列出等式，再根据基本不等式求出所求问题.【思维点拨】周长问题也可看做是边长问题的延伸,所以在解决周长相关问题时,着眼于边长之间的关系,结合边长求最值(围)的解决方式,通常都能找到正确的解题途径. 例3△ABC 的角A ,B ,C 的对边分别为a ,b ,c ,已知2c-a=2b cos A. (1)求角B 的大小; (2)若b=2,求a+c 的最大值.【答案】(1)B=3π（2）4【解析】:(1)∵2c-a=2b cos A ,∴根据正弦定理,得2sin C-sin A=2sin B cos A.①∵A+B=π-C ,∴sin C=sin(A+B )=sin B cos A+cos B sin A ,代入①式,得2sin B cos A=2sin B cos A+2cos B sin A-sin A ,化简得(2cos B-1)sin A=0.∵A 是三角形的角,∴sin A>0,∴2cos B-1=0,解得cos B=,∵B ∈(0,π),∴B=3π. (2)由余弦定理b 2=a 2+c 2-2ac cos B ,得12=a 2+c 2-ac.∴(a+c )2-3ac=12,∴12≥(a+c )2-(a+c )2,当且仅当a=c=2时取等号,∴a+c ≤4【易错点】涉及到最值问题时,常利用基本不等式或表示为三角形的某一角的三角函数形式求解.(1)根据正弦定理与两角和的正弦公式,化简条件等式,可得(2cos B-1)sin A=0,结合sin A>0得到cos B ,从而解出B ;(2)由余弦定理,可得出12=a 2+c 2-ac.再利用基本不等式求最大值.【思维点拨】(1)正弦定理、余弦定理的作用是在已知三角形部分元素的情况下求解其余元素,基本思想是方程思想,即根据正弦定理、余弦定理列出关于未知元素的方程,通过解方程求得未知元素;(2) 正弦定理、余弦定理的另一个作用是实现三角形边角关系的互化,解题时可以把已知条件化为角的三角函数关系,也可以把已知条件化为三角形边的关系;(3) 涉及到最值问题时,常利用基本不等式或表示为三角形的某一角的三角函数形式求解. 题型四解三角形的实际应用例1在某次测量中，在A 处测得同一平面方向的B 点的仰角是50°，且到A 的距离为2，C 点的俯角为70°，且到A 的距离为3，则B 、C 间的距离为( )A.16B.17C.18D.19 【答案】 D【解析】 因∠BAC ＝120°，AB ＝2，AC ＝3.∴BC 2＝AB 2＋AC 2－2AB ·AC cos ∠BAC ＝4＋9－2×2×3×cos 120°＝19. ∴BC ＝19.【易错点】没有正确理解题意，不能将应用转化为可计算的三角模型【思维点拨】正弦定理、余弦定理及其在现实生活中的应用是高考的热点，主要利用正弦定理、余弦定理解决一些简单的三角形的度量问题以及几何计算的实际问题，常与三角变换、三角函数的性质交汇命题 例2设甲、乙两楼相距20m ，从乙楼底望甲楼顶的仰角为60，从甲楼顶望乙楼顶的俯角为30，则甲、乙两楼的高分别是（ ）.A.B. ,C. 10m D. 【答案】D【解析】设甲楼为DA ，乙楼为BC ，如图，在20R ,60,20,tan60203,40cos60t ABD ABD BD m AD BD m AB m ∆∠==∴====，30,,120CAB ABC AC BC ACB ∠=∠=∴=∠=，在ABC ∆中，设AC BC x ==，由余弦定理得：2222?·cos AB AC BC AC BC ACB =+-∠，即2221600x x x =++，解得x =分别是， 【易错点】没有正确理解题意，不能将应用转化为可计算的三角模型【思维点拨】正弦定理、余弦定理及其在现实生活中的应用是高考的热点，主要利用正弦定理、余弦定理解决一些简单的三角形的度量问题以及几何计算的实际问题，常与三角变换、三角函数的性质交汇命题【巩固训练】--题型一 正弦定理、余弦定理的直接应用1.在△ABC 中,角A 、B 、C 所对的边分别为a,b,c ，已知a=2， b 及c 的长【答案】4c =。