高考数学题型全归纳解三角形考点归纳
高三高考数学总复习《解三角形》题型归纳与汇总
高考数学总复习题型分类汇《解三角形》篇经典试题大汇总目录【题型归纳】题型一利用正、余弦定理解三角形 (3)题型二角的正弦值和边的互化 (4)题型三利用正弦、余弦定理判定三角形的形状 (5)题型四和三角形面积有关的问题 (6)【巩固训练】题型一利用正、余弦定理解三角形 (8)题型二角的正弦值和边的互化 (10)题型三利用正弦、余弦定理判定三角形的形状 (11)题型四和三角形面积有关的问题 (11)高考数学《解三角形》题型归纳与训练【题型归纳】题型一 利用正、余弦定理解三角形例1 在ABC ∆中，cos2=C ，1=BC ，5=AC ，则=ABA ．BCD ．【答案】A【解析】因为213cos 2cos 121255=-=⨯-=-C C ，所以由余弦定理， 得22232cos 251251()325=+-⋅=+-⨯⨯⨯-=AB AC BC AC BC C ，所以=AB A ．例2 ABC ∆的内角A ,B ,C 的对边分别为a ，b ，c ，若54cos =A ，135cos =C ，1=a ，则=b ． 【答案】1321【解析】∵4cos 5A =，5cos 13C =，所以3sin 5A =，12sin 13C =， 所以()63sin sin sin cos cos sin 65B AC A C A C =+=+=， 由正弦定理得：sin sin b a B A =解得2113b =．例3 ABC ∆的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知()sin sin sin cos 0B A C C +-=，2a =，c =则C =（ ）.A ．π12B ．π6C ．π4D ．π3【答案】B【解析】由题意sin()sin (sin cos )0A C A C C ++-=得sin cos cos sin sin sin sin cos 0A C A C A C A C ++-=，即sin (sin cos )sin 04C A A C A π⎛⎫+=+= ⎪⎝⎭，所以34A π=.由正弦定理sin sin a c A C =，得23sin sin 4C =π，即1sin 2C =，得6C π=.故选B .【易错点】两角和的正弦公式中间的符号易错【思维点拨】已知三角形的两边和其中一边的对角解三角形.可用正弦定理，也可用余弦定理.用正弦定理时，需判断其解的个数，用余弦定理时，可根据一元二次方程根的情况判断解的个数.题型二 角的正弦值和边的互化例1 ABC ∆的三个内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，2sin cos cos a A B b A +=，则=abA ．B ．CD 【答案】B【解析】由正弦定理，得22sin sin sin cos A B B A A +=，即22sin (sin cos )B A A A ⋅+=，sin B A =，∴sin sin b B a A==． 例2 设ABC ∆的内角,,A B C 所对边的长分别为,,a b c ．若2b c a +=，则3sin 5sin ,A B =则角C =_____.【答案】π32 【解析】3sin 5sin A B =，π32212cos 2,53222=⇒-=-+=⇒=+=⇒C ab c b a C a c b b a ，所以π32．例3 在ABC ∆中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ．已知sin cos()6b A a B π=-． （1）求角B 的大小；（2）设2a =，3c =，求b 和sin(2)A B -的值．【答案】（1）3B π=（2）b =，sin(2)14A B -=【解析】(1)在ABC △中，由正弦定理sin sin a bA B=，可得sin sin b A a B =， 又由πsin cos()6b A a B =-，得πsin cos()6a B a B =-，即πsin cos()6B B =-，可得tan B =又因为(0π)B ∈，，可得3B π=．(2)在ABC △中，由余弦定理及2a =，3c =，3B π=，有2222cos 7b a c ac B =+-=，故b =由πsin cos()6b A a B =-，可得sin A =a c <，故cos A =．因此sin 22sin cos A A A ==21cos 22cos 17A A =-=．所以，sin(2)sin 2cos cos 2sin A B A B A B -=-=11727214⨯-⨯= 例4 在ABC ∆中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ．已知2cos (cos cos ).C a B+b A c = （1）求C ；（2）若c ABC △=的面积为2，求ABC △的周长．【答案】（1）π3C =（2）5a b c ++= 【解析】(1)()2cos cos cos C a B b A c +=由正弦定理得：()2cos sin cos sin cos sin C A B B A C ⋅+⋅=()2cos sin sin C A B C ⋅+=∵πA B C ++=，()0πA B C ∈、、，∴()sin sin 0A B C +=> ∴2cos 1C =，1cos 2C =∵()0πC ∈， ∴π3C =．⑵ 由余弦定理得：2222cos c a b ab C =+-⋅ 221722a b ab =+-⋅()237a b ab +-=1sin 2S ab C =⋅∴6ab = ∴()2187a b +-= ∴ABC △周长为5a b c ++=+题型三 利用正弦、余弦定理判定三角形的形状例1 设ABC ∆，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ．若cos cos sin b C c B a A +=, 则ABC ∆的形状为A ．锐角三角形B ．直角三角形C ．钝角三角形D ．不确定【答案】B【解析】∵cos cos sin b C c B a A +=，∴由正弦定理得2sin cos sin cos sin B C C B A +=，∴2sin()sin B C A +=，∴2sin sin A A =，∴sin 1A =，∴ABC ∆是直角三角形．例2 设ABC ∆，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若A bccos <，则ABC ∆为( ) A.钝角三角形 B.直角三角形 C.锐角三角形D.等边三角形【答案】C【解析】由A b c cos <，得A BC cos sin sin <， 所以A B C cos sin sin <，即()A B B A cos sin sin <+，所以0cos sin <B A ，因为在三角形中0sin >A ，所以0cos <B ，即B 为钝角，所以ABC ∆为钝角三角形.例3 在ABC ∆中，已知A b B a tan tan 22=，则ABC ∆的形状为（ ）A.等腰三角形B.直角三角形C.等边三角形D.等腰三角形或直角三角形 【答案】D【解析】由已知可得AABB B Acos sin sin cos sin sin 22=,B B A A cos sin cos sin =,B A 2sin 2sin =即B A 22=或π=+B A 22,可得B A =或2π=+B A ,所以ABC ∆的形状为等腰三角形或直角三角形.【易错点】诱导公式易出错【思维点拨】1.判定三角形形状的途径：(1)化边为角，通过三角变换找出角之间的关系；(2)化角为边，通过代数变形找出边之间的关系，正(余)弦定理是转化的桥梁.2.无论使用哪种方法，都不要随意约掉公因式，要移项提取公因式，否则会有漏掉一种形状的可能.注意挖掘隐含条件，重视角的范围对三角函数值的限制.题型四 和三角形面积有关的问题例1 ABC ∆的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若ABC ∆的面积为2224a b c +-，则C =A ．2π B ．3π C ．4π D ．6π 【答案】C【解析】根据题意及三角形的面积公式知2221sin 24a b c ab C +-=，所以222sin cos 2a b c C C ab +-==，所以在ABC ∆中，4C π=．故选C ． 例2 在ABC ∆中，a ，b ，c 分别为内角A ，B ，C 所对的边长，若22()6c a b =-+，3C π=，则ABC ∆的面积是A ．3B ．239C ．233 D ．33 【答案】C【解析】由22()6c a b =-+可得22226a b c ab +-=-①，由余弦定理及3C π=可得222a b c ab +-=②．所以由①②得6ab =，所以1sin 23ABC S ab π∆==例3 ABC ∆的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，已知sin 0A A =，a =2b =． （1）求c ；（2）设D 为BC 边上一点，且 AD AC ⊥，求ABD △的面积． 【答案】(1)4 (2)3【解析】（1）由sin 0A A =，得π2sin 03A ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，即()ππ3A k k +=∈Z ，又()0,πA ∈，所以ππ3A +=，得2π3A =.由余弦定理得2222cos a b c bc A =+-⋅.又因为12,cos 2a b A ===-代入并整理得()2125c +=，解得4c =.（2）因为2,4AC BC AB ===，由余弦定理得222cos 2a b c C ab +-==因为AC AD ⊥，即ACD △为直角三角形，则cos AC CD C =⋅，得CD从而点D 为BC 的中点，111sin 222ABD ABC S S AB AC A ==⨯⨯⨯⨯=△ 【易错点】给出三角函数值求角、余弦定理求边【思维点拨】三角形面积公式的应用原则 (1)对于面积公式B ac A bc C ab S ABC sin 21sin 21sin 21===∆，一般是已知哪一个角就使用哪一个公式.(2)与面积有关的问题，一般要用到正弦定理或余弦定理进行边和角的转化.【巩固训练】题型一 利用正、余弦定理解三角形1.在ABC ∆中，若60,45,A B BC ︒︒∠=∠==，则AC =A ．B ．CD 【答案】B【解析】由正弦定理得：sin sin sin 60sin 45BC AC ACAC A B ︒︒=⇔=⇔=2. 在ABC ∆中，角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，若2a b ==，sin cos B B +=A 的大小为 ． 【答案】6π【解析】由sin cos B B +=12sin cos 2B B +=，即sin 21B =，因02B π<<，所以2,24B B ππ==.又因为2,a b ==由正弦定理得2sin sin 4A π=，解得1sin 2A =，而,a b <则04A B π<<=,故6a π=． 3.在ABC ∆中，π4B，BC 边上的高等于13BC ，则cos =A （ ）.C.10D.310【答案】C【解析】如图所示.依题意，3AB BC =，3AC BC =.在ABC △中，由余弦定理得222cos 2AB AC BC A AB AC +-==⋅222225210BC BC BC BC +--==-故选C. 4.在ABC ∆中，内角,,A B C 所对的边分别为,,a b c .已知a b >，5,6a c ==，3sin 5B =. （1）求b 和sin A 的值； （2）求πsin 24A ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的值. 【答案】见解析【解析】（1）在ABC △中，因为a b >，故由3sin 5B =，可得4cos 5B =.由已知及余弦定理，得2222cos 13b a c ac B =+-=，所以b =.由正弦定理sin sin a bA B=，得sin sin 13a B A b ==. （2）由（Ⅰ）及a c <，得cos 13A =，所以12sin 22sin cos 13A A A ==， 25cos 212sin 13A A =-=-，故πππsin 2sin 2cos cos 2sin 44426A A A ⎛⎫+=+= ⎪⎝⎭. 5. 如图ABC ∆中，已知点D 在BC 边上，AC AD ⊥，sin 3BAC ∠=，AB =3AD =，则BD 的长为_______．C【答案】3【解析】∵sin sin()cos 23BAC BAD BAD π∠=∠+=∠=∴根据余弦定理可得222cos 2AB AD BD BAD AB AD+-∠=•，2223BD ∴==题型二 角的正弦值和边的互化1. 在ABC ∆，内角,,A B C 所对的边长分别为,,a b c ．若sin cos a B C +1sin cos 2c B A b =，且a b >，则B ∠= A ．6π B ．3πC ．23πD ．56π【答案】A【解析】边换sin 后约去sin B ，得1sin()2A C +=，所以1sin 2B =，但B 非最大角，所以6B π=． 2. 在ABC ∆，内角,,A B C 所对的边长分别为,,a b c ，若bc b a 322=-，且B C sin 32sin =，则角A 的大小为________.【答案】6π【解析】由B C sin 32sin =，根据正弦定理得，b c 32=，代入bc b a 322=-得227b a =，由余弦定理得：232cos 222=-+=bc a c b A ，∴6π=A .3.已知a 、b 、c 分别为ABC ∆三个内角A 、B 、C 的对边，cos a C +sin 0C b c --=．（1）求A ；（2）若2=a ，ABC ∆的面积为3，求b 、c ． 【答案】（1）︒60 （2）2b c == 【解析】（1）由正弦定理得：cos sin 0sin cos sin sin sin a C C b c A C A C B C --=⇔=+sin cos sin sin()sin 1cos 1sin(30)2303060A C A C a C C A A A A A ︒︒︒︒⇔=++⇔-=⇔-=⇔-=⇔=（2）1sin 42S bc A bc ==⇔= 2222cos 4a b c bc A b c =+-⇔+=，解得：2b c ==．题型三 利用正、余弦定理判定三角形的形状1.在ABC ∆中，若222sin sin sin A B C +<，则△ABC 的形状是（ ）A.钝角三角形B.直角三角形C.锐角三角形D.不能确定 【答案】A【解析】由已知可得222c b a <+，02cos 222<-+=abc b a C ，所以△ABC 的形状是钝角三角形 2. 在ABC ∆中，a 、b 、c 分别为ABC ∆三个内角A 、B 、C 的对边，若()A b a B a c cos 2cos -=-，则ABC ∆的形状为( ) A.等腰三角形 B.直角三角形 C.等腰直角三角形D.等腰或直角三角形【答案】D【解析】∵()A b a B a c cos 2cos -=-，∴由正弦定理得()A B A B A C cos sin sin 2cos sin sin -=-， ∴()()A B A B A B A cos sin sin 2cos sin sin -=-+,∴()0sin sin cos =-A B A ，∴0cos =A 或A B sin sin =，∴ABC ∆为等腰或直角三角形.题型四 和三角形面积有关的问题1.ABC ∆中，a ，b ，c 分别为内角A ，B ，C所对的边长．已知3,cos 32a A B A π===+．（1）求b 的值； （2）求ABC ∆的面积．【答案】（1）23=b （2）223 【解析】（1）在ABC ∆中，由题意知sin A ==， 又因为2B A π=+，所有sin sin()cos 2B A A π=+==，由正弦定理可得3sin sin a Bb A===． （2）由2B A π=+得，cos cos()sin 23B A A π=+=-=-， 由A B C π++=，得()C A B π=-+．所以sin sin[()]sin()C A B A B π=-+=+sin cos cos sin A B A B =+(=13=． 因此，ABC ∆的面积111sin 32232S ab C ==⨯⨯=． 2. ABC ∆在内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，已知cos sin a b C c B =+． （1）求B ；（2）若2b =，求△ABC 面积的最大值． 【答案】（1）4π（21 【解析】（1）因为cos sin a b C c B =+，所以由正弦定理得：sin sin cos sin sin A B C C B =+，所以sin()sin cos sin sin B C B C C B +=+，即cos sin sin sin B C C B =，因为sin C ≠0，所以tan 1B =，解得B =4π；（2）由余弦定理得：2222cos4b ac ac π=+-，即224a c =+，由不等式得：222a c ac +≥，当且仅当a c =时，取等号，所以4(2ac ≥，解得4ac ≤+，所以△ABC的面积为1sin 24ac π(44≤⨯+1，所以△ABC 1． 3. 设ABC ∆的内角C B A ,,所对边的长分别为,,a b c ，且有2sin cos B A =sin cos cos sin A C A C +． （1）求角A 的大小；（2）若2b =，1c =，D 为BC 的中点，求AD 的长． 【答案】(1) 3π=A (2) 27=AD【解析】（1）,,(0,)sin()sin 0A C B A B A C B ππ+=-∈⇒+=>2sin cos sin cos cos sin sin()sin B A A C A C A C B =+=+=1cos 23A A π⇔=⇔=（2）2222222cos 2a b c bc A a b a c B π=+-⇔==+⇒=在Rt ABD ∆中，2AD ===． 4.在ABC ∆中，内角,,A B C 所对的边分别为a ，b ，c .已知2cos b c a B +=. （1）求证：2A B =；（2）若ABC △的面积24a S =，求出角A 的大小.【答案】(1) 见解析 (2)π2A =或π4A = 【解析】（1）由正弦定理得sin +sin 2sin cosBC A B =，故2sin cos sin sin()sin sin cos cos sin A B B A B B A B A B =++=++，于是()B A B -=sin sin ,又A ，()0,πB ∈，故0πA B <-<，所以()B A B --=π 或B A B =-，因此=πA （舍去）或2A B =，所以2.A B =（2）由42a S =，得21sin 24a ab C =.由正弦定理得1sin sin sin 2sin cos 2B C B B B ==，因为sin 0B ≠，得sin cos C B =．又Β，()0,πC ∈，所以π2C B =±．当π2B C +=时，由πA B C ++=，2A B =，得π2A =；当π2C B -=时，由πA B C ++=，2A B =，得π4A =．综上所述，π2A =或π4A =．新课程标准的内容与现形课标内容的对比如下表：与现形课标对比，必修3中的“算法初步”删掉了；删掉了必修5中的解三角形，不等式的大部分内容。
高考数学(理)总复习：解三角形(解析版)
高考数学（理）总复习：解三角形题型一 利用正、余弦定理解三角形 【题型要点解析】关于解三角形问题，一般要用到三角形的内角和定理，正、余弦定理及有关三角形的性质，常见的三角变换方法和原则都适用，同时要注意“三统一”，即“统一角、统一函数、统一结构”，这是使问题获得解决的突破口．【例1】△ABC 的内角A 、B 、C 所对的边分别为a ，b ，c ，已知sin(A ＋C )＝8sin 2B2，(1)求cos B ；(2)若a ＋c ＝6，△ABC 的面积为2，求b .【解析】 (1)由题设及A ＋B ＋C ＝π，sin B ＝8sin 2B2，故sin B ＝4(1－cos B )．上式两边平方，整理得17cos 2B －32cos B ＋15＝0， 解得cos B ＝1(舍去)，cos B ＝1517.(2)由cos B ＝1517得sin B ＝817，故S △ABC ＝12ac sin B ＝417ac .又S △ABC ＝2，则ac ＝172.由余弦定理及a ＋c ＝6得：b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B＝(a ＋c )2－2ac (1＋cos B )＝36－2×172×⎪⎭⎫ ⎝⎛+17151 ＝4.所以b ＝2.题组训练一 利用正、余弦定理解三角形1．在锐角△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若sin A ＝223，a ＝2，S △ABC＝2，则b 的值为( )A.3B.322 C ．2 2D ．2 3【解析】 ∵在锐角△ABC 中，sin A ＝223，S △ABC ＝2，∴cos A ＝1－sin 2A ＝13，12bc sin A ＝12bc ·223＝2，∴bc ＝3①，由余弦定理得a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ，∴(b ＋c )2＝a 2＋2bc (1＋cos A )＝4＋6×⎪⎭⎫⎝⎛+311＝12， ∴b ＋c ＝23②.由①②得b ＝c ＝3，故选A. 【答案】 A2．在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知sin A sin B ＋sin B sin C ＋cos 2B ＝1.若C ＝2π3，则ab＝________.【解析】 ∵sin A sin B ＋sin B sin C ＋cos 2B ＝1，∴sin A sin B ＋sin B sin C ＝2sin 2B . 由正弦定理可得ab ＋bc ＝2b 2，即a ＋c ＝2b ，∴c ＝2b －a ，∵C ＝2π3，由余弦定理可得(2b －a )2＝a 2＋b 2－2ab cos 2π3，可得5a ＝3b ，∴a b ＝35. 【答案】 353．已知△ABC 是斜三角形，内角A ，B ，C 所对的边的长分别为a ，b ，c .若c sin A ＝3a cos C .(1)求角C ；(2)若c ＝21，且sin C ＋sin(B －A )＝5sin 2A ，求△ABC 的面积．【解析】 (1)根据a sin A ＝c sin C，可得c sin A ＝a sin C ， 又∵c sin A ＝3a cos C ，∴a sin C ＝3a cos C ， ∴sin C ＝3cos C ，∴tan C ＝sin Ccos C ＝3，∵C ∈(0，π)，∴C ＝π3.(2)∵sin C ＋sin(B －A )＝5sin 2A ，sin C ＝sin (A ＋B )， ∴sin (A ＋B )＋sin (B －A )＝5sin 2A ， ∴2sin B cos A ＝2×5sin A cos A . ∵△ABC 为斜三角形， ∴cos A ≠0，∴sin B ＝5sin A . 由正弦定理可知b ＝5a ，① ∵c 2＝a 2＋b 2－2ab cos C ，∴21＝a 2＋b 2－2ab ×12＝a 2＋b 2－ab ，②由①②解得a ＝1，b ＝5，∴S △ABC ＝12ab sin C ＝12×1×5×32＝534.题型二 正、余弦定理的实际应用 【题型要点解析】应用解三角形知识解决实际问题一般分为下列四步：(1)分析题意，准确理解题意，分清已知与所求，尤其要理解题中的有关名词术语，如坡度、仰角、俯角、视角、方位角等；(2)根据题意画出示意图，并将已知条件在图形中标出；(3)将所求的问题归结到一个或几个三角形中，通过合理运用正弦定理、余弦定理等有关知识正确求解；(4)检验解出的结果是否具有实际意义，对结果进行取舍，得出正确答案．【例2】某学校的平面示意图如图中的五边形区域ABCDE ，其中三角形区域ABE 为生活区，四边形区域BCDE 为教学区，AB ，BC ，CD ，DE ，EA ，BE .为学校的主要道路(不考虑宽度)．∠BCD ＝∠CDE ＝2π3，∠BAE ＝π3，DE ＝3BC ＝3CD ＝910km.(1)求道路BE 的长度；(2)求生活区△ABE 面积的最大值．【解析】 (1)如图，连接BD ，在△BCD 中，BD 2＝BC 2＋CD 2－2BC ·CD cos ∠BCD ＝27100，∴BD ＝3310km.∵BC ＝CD ，∴∠CDB ＝∠CBD ＝π－2π32＝π6，又∠CDE ＝2π3，∴∠BDE ＝π2.∴在Rt △BDE 中， BE ＝BD 2＋DE 2＝335(km)． 故道路BE 的长度为335km.(2)设∠ABE ＝α，∵∠BAE ＝π3，∴∠AEB ＝2π3－α.在△ABE 中，易得AB sin ∠AEB ＝BE sin ∠BAE ＝335sinπ3＝65，∴AB ＝65sin ⎪⎭⎫⎝⎛-απ32，AE ＝65sin α.∴S △ABE ＝12AB ·AE sin π3＝9325sin ⎪⎭⎫⎝⎛-απ32·sin α ＝9325⎥⎦⎤⎢⎣⎡+⎪⎭⎫ ⎝⎛-4162sin 21πα≤9325⎪⎭⎫ ⎝⎛+4121 ＝273100(km 2)． ∵0<α<2π3，∴－π6<2α－π6<7π6.∴当2α－π6＝π2，即α＝π3时，S △ABE 取得最大值，最大值为273100km 2，故生活区△ABE面积的最大值为273100km 2题组训练二 正、余弦定理的实际应用1．如图，为了估测某塔的高度，在同一水平面的A ，B 两点处进行测量，在点A 处测得塔顶C 在西偏北20°的方向上，仰角为60°；在点B 处测得塔顶C 在东偏北40°的方向上，仰角为30°.若A ，B 两点相距130 m ，则塔的高度CD ＝________m.【解析】设CD ＝h ，则AD ＝h3，BD ＝3h ，在△ADB 中，∠ADB ＝180°－20°－40°＝120°，∴由余弦定理AB 2＝BD 2＋AD 2－2BD ·AD ·cos 120°，可得1302＝3h 2＋h 23－2×3h ×h 3×⎪⎭⎫⎝⎛-21，解得h ＝1039，故塔的高度为1039 m.【答案】 10392．如图，在第一条海防警戒线上的点A ，B ，C 处各有一个水声监测点，B ，C 两点到A 的距离分别为20千米和50千米，某时刻，B 收到发自静止目标P 的一个声波信号，8秒后A ，C 同时接收到该声波信号，已知声波在水中的传播速度是1.5千米/秒．(1)设A 到P 的距离为x 千米，用x 表示B ，C 到P 的距离，并求x 的值；(2)求P 到海防警戒线AC 的距离． 【解析】 (1)依题意，有P A ＝PC ＝x ， PB ＝x －1.5×8＝x －12. 在△P AB 中，AB ＝20， cos ∠P AB ＝P A 2＋AB 2－PB 22P A ·AB＝x 2＋202－(x －12)22x ·20＝3x ＋325x ，同理，在△P AC 中，AC ＝50，cos ∠P AC ＝P A 2＋AC 2－PC 22P A ·AC ＝x 2＋502－x 22x ·50＝25x .∵cos ∠P AB ＝cos ∠P AC ， ∴3x ＋325x ＝25x，解得x ＝31. (2）作PD ⊥AC 于点D ，在△ADP 中，由cos ∠P AD ＝2531，得sin ∠P AD ＝1－cos 2∠P AD ＝42131， ∴PD ＝P A sin ∠P AD ＝31×42131＝421.故静止目标P 到海防警戒线AC 的距离为421千米． 题型三 三角函数与解三角形问题 【题型要点】解三角形与三角函数的综合题，其中，解决与三角恒等变换有关的问题，优先考虑角与角之间的关系；解决与三角形有关的问题，优先考虑正弦、余弦定理．【例3】在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且满足sin A －sin C b ＝sin A －sin Ba ＋c .(Ⅰ)求C ；(Ⅱ)若cos A ＝17，求cos(2A －C )的值．【解析】 (Ⅰ)由sin A －sin C b ＝sin A －sin B a ＋c 及正弦定理得a －c b ＝a －ba ＋c ，∴a 2－c 2＝ab －b 2，整理得a 2＋b 2－c 2＝ab ，由余弦定理得cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab ＝12，又0<C <π，所以C ＝π3.(Ⅱ)由cos A ＝17知A 为锐角，又sin 2A ＋cos 2A ＝1，所以sin A ＝1－cos 2A ＝437，故cos2A＝2cos 2A －1＝－4749，sin2A ＝2sin A cos A ＝2×437×17＝8349，所以cos(2A －C )＝cos ⎪⎭⎫ ⎝⎛-32πA ＝cos2A cos π3＋sin2A sin π3＝－4749×12＋8349×32＝－2398.题组训练三 三角函数与解三角形问题已知函数f (x )＝sin ⎪⎭⎫⎝⎛+62πx ＋cos 2x . (1)求函数f (x )的单调递增区间；(2)在△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边为a ，b ，c ，已知f (A )＝32，a ＝2，B ＝π3，求△ABC 的面积．【解析】 (1)f (x )＝sin ⎪⎭⎫⎝⎛+62πx ＋cos 2x ＝sin 2x cos π6＋cos 2x sin π6＋cos 2x＝32sin 2x ＋32cos 2x ＝3⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+x x 2cos 232sin 21 ＝3sin ⎪⎭⎫⎝⎛+32πx . 令－π2＋2k π≤2x ＋π3≤π2＋2k π⇒－5π12＋k π≤x ＋π3≤π12＋k π，k ∈Z .f (x )的单调递增区间为：⎥⎦⎤⎢⎣⎡++-ππππk k 12,125，k ∈Z .(2)由f (A )＝32，sin ⎪⎭⎫ ⎝⎛+32πA ＝12， 又0<A <2π3，π3<2A ＋π3<5π3，因为2A ＋π3＝5π6，解得：A ＝π4.由正弦定理a sin A ＝bsin B ，得b ＝6，又由A ＝π4，B ＝π3可得：sin C ＝6＋24.故S △ABC ＝12ab sin C ＝3＋32.题型四 转化与化归思想在解三角形中的应用 【题型要点】利用正弦、余弦定理解三角形的模型示意图如下：【例4】 在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若a cos 2C 2＋c cos 2A 2＝32b .(1)求证：a ，b ，c 成等差数列；(2)若∠B ＝60°，b ＝4，求△ABC 的面积． 【解析】 (1)证明：a cos 2C 2＋c cos 2A2＝a ·1＋cos C 2＋c ·1＋cos A 2＝32b ，即a (1＋cos C )＋c (1＋cos A )＝3b . ①由正弦定理得：sin A ＋sin A cos C ＋sin C ＋cos A sin C ＝3sin B ， ② 即sin A ＋sin C ＋sin(A ＋C )＝3sin B ， ∴sin A ＋sin C ＝2sinB.由正弦定理得，a ＋c ＝2b ， ③ 故a ，b ，c 成等差数列．(2)由∠B ＝60°，b ＝4及余弦定理得： 42＝a 2＋c 2－2ac cos 60°，∴(a ＋c )2－3ac ＝16， 又由(1)知a ＋c ＝2b ，代入上式得4b 2－3ac ＝16. 又b ＝4，所以ac ＝16， ④∴△ABC 的面积S ＝12ac sin B ＝12ac sin 60°＝4 3.题组训练四 转化与化归思想在解三角形中的应用 如图，在平面四边形ABCD 中，AD ＝1，CD ＝2，AC ＝7.(1)求cos ∠CAD 的值；(2)若cos ∠BAD ＝－714，sin ∠CBA ＝216，求BC 的长．【解析】 (1)在△ADC 中，由余弦定理，得cos ∠CAD ＝AC 2＋AD 2－CD 22AC ·AD ＝7＋1－427＝277. (2)设∠BAC ＝α，则α＝∠BAD －∠CAD . 因为cos ∠CAD ＝277，cos ∠BAD ＝－714，所以sin ∠CAD ＝1－cos 2∠CAD ＝217，sin ∠BAD ＝1－cos 2∠BAD ＝32114. 于是sin ∠BAC ＝sin (∠BAD －∠CAD )＝sin ∠BAD cos ∠CAD －cos ∠BAD ·sin ∠CAD ＝32114×277－⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-1417×217＝32. 在△ABC 中，由正弦定理得，BC ＝AC ·sin ∠BACsin ∠CBA＝7×32216＝3. 【专题训练】 一、选择题1．在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c ，且b 2＝a 2＋bc ，A ＝π6，则内角C 等于( )A.π6 B.π4 C.3π4D.π4或3π4【解析】 在△ABC 中，由余弦定理得a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ，即a 2－b 2＝c 2－2bc cos A ，由已知，得a 2－b 2＝－bc ，则c 2－2bc cos π6＝－bc ，即c ＝(3－1)b ，由正弦定理，得sin C＝(3－1)sin B ＝(3－1)sin ⎪⎭⎫⎝⎛-C 65π， 化简，得sin C －cos C ＝0，解得C ＝π4，故选B.【答案】 B2．在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ，已知b ＝2，c ＝22，且C ＝π4，则△ABC 的面积为( )A.3＋1B.3－1 C ．4 D ．2【解析】 法一 由余弦定理可得(22)2＝22＋a 2－2×2×a cos π4，即a 2－22a －4＝0，解得a ＝2＋6或a ＝2－6(舍去)，△ABC 的面积S ＝12ab sin C ＝12×2×(2＋6)sin π4＝12×2×22×(6＋2)＝3＋1，选A.法二 由正弦定理b sin B ＝c sin C ，得sin B ＝b sin C c ＝12，又c >b ，且B ∈(0，π)，所以B ＝π6，所以A ＝7π12，所以△ABC 的面积S ＝12bc sin A ＝12×2×22sin 7π12＝12×2×22×6＋24＝3＋1.【答案】 A3．在△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若△ABC 的面积为S ，且2S ＝(a ＋b )2－c 2，则tan C 等于( )A.34B.43C ．－43D ．－34【解析】 因为2S ＝(a ＋b )2－c 2＝a 2＋b 2－c 2＋2ab ，则结合面积公式与余弦定理，得ab sin C ＝2ab cos C ＋2ab ，即sin C －2cos C ＝2，所以(sin C －2cos C )2＝4，sin 2C －4sin C cos C ＋4cos 2C sin 2C ＋cos 2C ＝4，所以tan 2C －4tan C ＋4tan 2C ＋1＝4，解得tan C ＝－43或tan C ＝0(舍去)，故选C.【答案】 C4．如图，在△ABC 中，C ＝π3，BC ＝4，点D 在边AC 上，AD ＝DB ，DE ⊥AB ，E 为垂足．若DE ＝22，则cos A 等于( )A.223B.24 C.64D.63【解析】 依题意得：BD ＝AD ＝DE sin A ＝22sin A ，∠BDC ＝∠ABD ＋∠A ＝2∠A .在△BCD 中， BC sin ∠BDC ＝BD sin C ，则4sin 2A ＝22sin A ×23＝423sin A ，即42sin A cos A ＝423sin A，由此解得cos A ＝64，选C.【答案】 C5．如图所示，为测一建筑物的高度，在地面上选取A ，B 两点，从A ，B 两点分别测得建筑物顶端的仰角为30°，45°，且A ，B 两点间的距离为60 m ，则该建筑物的高度为( )A ．(30＋303) mB ．(30＋153) mC ．(15＋303) mD ．(15＋153) m【解析】 设建筑物高度为h ，则h tan 30°－h tan 45°＝60，即(3－1)h ＝60，所以建筑物的高度为h ＝(30＋303)m.【答案】 A6．在三角形ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ，若20aBC →＋15bCA →＋12cAB →＝0，则三角形ABC 中最小角的正弦值等于( )A.45B.34C.35D.74【解析】 ∵20aBC →＋15bCA →＋12cAB →＝0，∴20a (AC →－AB →)＋15bCA →＋12cAB →＝0， ∴(20a －15b )AC →＋(12c －20a )AB →＝0.∵AC →与AB →不共线，∴⎩⎪⎨⎪⎧20a －15b ＝0，12c －20a ＝0⇒⎩⎨⎧b ＝43a ，c ＝53a ，∴三角形ABC 中最小角为角A ， ∴cos A ＝b 2＋c 2－a22bc ＝169a 2＋259a 2－a 22×43×53a 2＝45，∴sin A ＝35，故选C. 【答案】 C 二、填空题7．在△ABC 中，a ，b ，c 分别是角A ，B ，C 的对边，若(a ＋b －c )(a ＋b ＋c )＝ab ，c ＝3，当ab 取得最大值时，S △ABC ＝________.【解析】 因为(a ＋b －c )(a ＋b ＋c )＝ab ，a 2＋b 2－c 2＝－ab ，所以cos C ＝－12，所以sinC ＝32，由余弦定理得(3)2＝a 2＋b 2＋ab ≥3ab ，即ab ≤1，当且仅当a ＝b ＝1时等号成立．所以S △ABC ＝34. 【答案】348．已知△ABC 中，AB ＝1，sin A ＋sin B ＝2sin C ，S △ABC ＝316sin C ，则cos C ＝________. 【解析】 ∵sin A ＋sin B ＝2sin C ，由正弦定理可得a ＋b ＝2c .∵S △ABC ＝316sin C ，∴12ab sin C ＝316sin C ，sin C ≠0，化为ab ＝38.由余弦定理可得c 2＝a 2＋b 2－2ab cos C ＝(a ＋b )2－2ab－2ab cos C ，∴1＝(2)2－2×38(1＋cos C )，解得cos C ＝13.【答案】139．已知a ，b ，c 分别为△ABC 的三个内角A ，B ，C 的对边，a ＝2，且(2＋b )(sin A －sin B )＝(c －b )·sin C ，则△ABC 面积的最大值为________．【解析】 由正弦定理得(2＋b )(a －b )＝(c －b )c ， 即(a ＋b )·(a －b )＝(c －b )c ，即b 2＋c 2－a 2＝bc ， 所以cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝12，又A ∈(0，π)，所以A ＝π3，又b 2＋c 2－a 2＝bc ≥2bc －4，即bc ≤4，故S △ABC ＝12bc sin A ≤12×4×32＝3，当且仅当b ＝c ＝2时，等号成立，则△ABC 面积的最大值为 3. 【答案】310．如图，△ABC 中，AB ＝4，BC ＝2，∠ABC ＝∠D ＝60°，若△ADC 是锐角三角形，则DA ＋DC 的取值范围是________．【解析】 在△ABC 中，由余弦定理得AC 2＝AB 2＋BC 2－2AB ·BC cos ∠ABC ＝12，即AC ＝2 3.设∠ACD ＝θ(30°<θ<90°)，则在△ADC 中，由正弦定理得23sin 60°＝DA sin θ＝DCsin (120°－θ)，则DA ＋DC ＝4[sin θ＋sin(120°－θ)]＝4⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+θθcos 23sin 23＝43sin(θ＋30°)，而60°<θ＋30°<120°，43sin 60°<DA ＋DC ≤43sin 90°，即6<DA ＋DC ≤4 3.【答案】 (6,43] 三、解答题11．在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c .已知a >b ，a ＝5，c ＝6，sin B ＝35. (1)求b 和sin A 的值；(2)求sin ⎪⎭⎫⎝⎛+42πA 的值． 【解析】 (1)在△ABC 中，因为a >b ，故由sin B ＝35，可得cos B ＝45.由已知及余弦定理，有b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B ＝13，所以b ＝13.由正弦定理a sin A ＝b sin B ，得sin A ＝a sin B b ＝31313.所以b 的值为13，sin A 的值为31313.(2)由(1)及a <c ，得cos A ＝21313，所以sin 2A ＝2sin A cos A ＝1213，cos 2A ＝1－2sin 2A ＝－513.故sin ⎪⎭⎫⎝⎛+42πA ＝sin 2A cos π4＋cos 2A sin π4＝7226. 12．如图，在四边形ABCD 中，∠DAB ＝π3，AD ∶AB ＝2∶3，BD ＝7，AB ⊥BC .(1)求sin ∠ABD 的值；(2)若∠BCD ＝2π3，求CD 的长．【解析】(1)∵AD ∶AB ＝2∶3，∴可设AD ＝2k ，AB ＝3k .又BD ＝7，∠DAB ＝π3，∴由余弦定理，得(7)2＝(3k )2＋(2k )2－2×3k ×2k cos π3，解得k ＝1，∴AD ＝2，AB ＝3，sin ∠ABD ＝AD sin ∠DABBD＝2×327＝217.(2)∵AB ⊥BC ，∴cos ∠DBC ＝sin ∠ABD ＝217，∴sin ∠DBC ＝277，∴BD sin ∠BCD ＝CDsin ∠DBC，∴CD＝7×27732＝433.。
高中数学-解三角形知识点汇总情况及典型例题1.docx
实用标准解三角形的必备知识和典型例题及详解一、知识必备：1．直角三角形中各元素间的关系：在△ABC 中， C＝90°，AB＝ c， AC＝ b ， BC＝ a。
（1）三边之间的关系：a2＋b2＝c2。
（勾股定理）（2）锐角之间的关系：A＋B＝ 90 °；（3）边角之间的关系：（锐角三角函数定义）sin A＝ cos B＝a， cos A＝sin＝b， tan A＝a。
c bc2．斜三角形中各元素间的关系：在△ABC 中， A、 B、 C 为其内角， a、b、 c 分别表示 A、 B、C 的对边。
（1）三角形内角和：A＋B＋C＝π。
（2 ）正弦定理：在一个三角形中，各边和它所对角的正弦的比相等a b c2R （R为外接圆半径）sin A sin B sin C（ 3 ）余弦定理：三角形任何一边的平方等于其他两边平方的和减去这两边与它们夹角的余弦的积的两倍a 2 ＝b2＋2－ 2bccosA；b2 ＝ 2 ＋a2－ 2cacosB；c2＝ 2 ＋b2－2abcos。
c c a C3．三角形的面积公式：1ah a＝11（1）S＝bh b＝ch c（ h a、 h b、 h c分别表示 a、b、 c 上的高）；22211bc sin A＝1（2）S＝ab sin C＝ac sin B；222求其他未知元素的问题叫做解三角形．广义地，这里所说的元素还可以包括三角形的高、中线、角平分线以及内切圆半径、外接圆半径、面积等等．主要类型：（1 ）两类正弦定理解三角形的问题：第 1、已知两角和任意一边，求其他的两边及一角.第 2、已知两角和其中一边的对角，求其他边角.（2 ）两类余弦定理解三角形的问题：第 1、已知三边求三角 .第 2、已知两边和他们的夹角，求第三边和其他两角.5．三角形中的三角变换三角形中的三角变换，除了应用上述公式和上述变换方法外，还要注意三角形自身的特点。
（ 1）角的变换因为在△ABC 中， A+B+C=π，所以sin(A+B)=sinC；cos(A+B)=－cosC；tan(A+B)=－tanC。
高中数学-解三角形知识点汇总情况及典型例题1
实用标准解三角形的必备知识和典型例题及详解一、知识必备：1．直角三角形中各元素间的关系：在△ABC 中，C ＝90°，AB ＝c ，AC ＝b ，BC ＝a 。
（1）三边之间的关系：a 2＋b 2＝c 2。
（勾股定理） （2）锐角之间的关系：A ＋B ＝90°； （3）边角之间的关系：（锐角三角函数定义） sin A ＝cos B ＝c a ，cos A ＝sin B ＝c b ，tan A ＝ba。
2．斜三角形中各元素间的关系：在△ABC 中，A 、B 、C 为其内角，a 、b 、c 分别表示A 、B 、C 的对边。
（1）三角形内角和：A ＋B ＋C ＝π。
（2）正弦定理：在一个三角形中，各边和它所对角的正弦的比相等R Cc B b A a 2sin sin sin ===（R 为外接圆半径） （3）余弦定理：三角形任何一边的平方等于其他两边平方的和减去这两边与它们夹角的余弦的积的两倍a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ； b 2＝c 2＋a 2－2ca cos B ； c 2＝a 2＋b 2－2ab cos C 。
3．三角形的面积公式：（1）∆S ＝21ah a ＝21bh b ＝21ch c （h a 、h b 、h c 分别表示a 、b 、c 上的高）； （2）∆S ＝21ab sin C ＝21bc sin A ＝21ac sin B ；4．解三角形：由三角形的六个元素（即三条边和三个内角）中的三个元素（其中至少有一个是边）例1．（1）在∆ABC 中，已知032.0=A ，081.8=B ，42.9=a cm ，解三角形；（2）在∆ABC 中，已知20=a cm ，28=b cm ，040=A ，解三角形（角度精确到01，边长精确到1cm ）。
解：（1）根据三角形内角和定理，0180()=-+C A B 000180(32.081.8)=-+066.2=；根据正弦定理， 0sin 42.9sin81.880.1()sin sin32.0==≈a B b cm A ； 根据正弦定理，0sin 42.9sin66.274.1().sin sin32.0==≈a C c cm A（2）根据正弦定理， 0sin 28sin40sin 0.8999.20==≈b A B a 因为00＜B ＜0180，所以064≈B ，或0116.≈B①当064≈B 时，00000180()180(4064)76=-+≈-+=C A B ，sin 20sin7630().sin sin40==≈a C c cm A ②当0116≈B 时，180()180(40116)24=-+≈-+=C A B ，0sin 20sin2413().sin sin40==≈a C c cm A 点评：应用正弦定理时（1）应注意已知两边和其中一边的对角解三角形时，可能有两解的情形；（2）对于解三角形中的复杂运算可使用计算器 题型2：三角形面积例2．在∆ABC 中，sin cos A A +=22，AC =2，3=AB ，求A tan 的值和∆ABC 的面积。
解三角形知识点总结
解三角形知识点总结一、正弦定理正弦定理是指在任意一个三角形中，各边和它所对角的正弦值的比相等且等于外接圆的直径。
即：＄＼frac{a}｛＼sin A} ＝＼frac{b}｛＼sin B} ＝＼frac{c}｛＼sin C} ＝ 2R$（其中$R$为三角形外接圆的半径）。
正弦定理的应用非常广泛，主要包括以下几个方面：1、已知两角和一边，求其他两边和一角。
例如，已知三角形的两角$A$、＄B$和一边$c$，则可以先通过三角形内角和为$180^｛＼circ}＄求出角$C$，然后利用正弦定理求出其他两边$a$和$b$。
2、已知两边和其中一边的对角，求另一边的对角，进而求出其他的边和角。
此时需要注意可能会出现一解、两解或无解的情况。
二、余弦定理余弦定理是对于任意三角形，任何一边的平方等于其他两边平方的和减去这两边与它们夹角的余弦的积的两倍。
对于边$a$，有$a^2 ＝ b^2 ＋ c^2 2bc\cos A$；对于边$b$，有$b^2 ＝ a^2 ＋ c^2 2ac\cos B$；对于边$c$，有$c^2 ＝ a^2 ＋ b^2 2ab\cos C$。
余弦定理的应用包括：1、已知三边，求三个角。
可以直接代入余弦定理的公式求出角的余弦值，进而得到角的大小。
2、已知两边和它们的夹角，求第三边和其他两个角。
三、面积公式三角形的面积公式有多种形式，常见的有：1、＄S ＝＼frac{1}｛2}ab\sin C$2、＄S ＝＼frac{1}｛2}bc\sin A$3、＄S ＝＼frac{1}｛2}ac\sin B$这些公式可以根据已知条件的不同灵活选择使用。
四、三角形中的常见结论1、大边对大角，大角对大边。
即三角形中，较长的边所对的角较大，较大的角所对的边较长。
2、三角形内角和为$180^｛＼circ}＄。
3、在锐角三角形中，＄＼sin A ＞＼cos B$；在钝角三角形中，若$A$为钝角，＄B$为锐角，则$＼sin A ＜＼cos B$。
高中数学解三角形题型归纳总结（高分必备）
高中数学解三角形题型归纳总结（高分必备）
正弦定理和余弦定理是解斜三角形和判定三角形类型的重要工具，其主要作用是将已知条件中的边、角关系转化为角的关系或边的关系。
题型之一：求解斜三角形中的基本元素
指已知两边一角(或二角一边或三边)，求其它三个元素问题，进而求出三角形的三线(高线、角平分线、中线)及周长等基本问题．
题型之二：判断三角形的形状：给出三角形中的三角关系式，判断此三角形的形状．
题型之三：解决与面积有关问题
主要是利用正、余弦定理，并结合三角形的面积公式来解题．
题型之四：三角形中求值问题
题型之五：正余弦定理解三角形的实际应用
利用正余弦定理解斜三角形，在实际应用中有着广泛的应用，如测量、航海、几何等方面都要用到解三角形的知识，例析如下：。
高三文科数学复习解三角形知识要点及基础题型归纳整理
解三角形知识刚要一．公式与结论1．角与角关系：A +B +C = π；2．边与边关系：（1）大角对大边，大边对大角（2）两边之和大于第三边，两边只差小于第三边解三角形问题可能出现一解、两解或无解的情况，这时应结合“三角形中大边对大角定理及几何作图来帮助理解3．正弦定理：正弦定理：R Cc B b A a 2sin sin sin ===（其中R 是三角形外接圆的半径） 变形：①角化边 C R c BR b A R a sin 2sin 2sin 2=== ②边化角 R c C Rb B R a A 2sin 2sin 2sin ===③C B A c b a sin :sin :sin ::=①已知两角和一边；解三角形②已知两边和其中一边的对角．如：△ABC 中，①B b A a cos cos =，则△ABC 是等腰三角形或直角三角形 ②B a A b cos cos =，则△ABC 是等腰三角形。
4.余弦定理：2222cos a b c bc A =+- 222cos 2b c a A bc +-= 2222cos b a c ac B =+- 222cos 2a c b B ac +-= 2222cos c a b ab C =+- 222cos 2a b c C ab +-= 注意整体代入，如：21cos 222=⇒=-+B ac b c a（1）若C =90︒，则cos C = ，这时222c a b =+由此可知余弦定理是勾股定理的推广，勾股定理是余弦定理的特例．（2）余弦定理及其推论的基本作用为：①已知三角形的任意两边及它们的夹角就可以求出第三边；②已知三角形的三条边就可以求出其它角五.三角形面积5．面积公式 1.B ac A bc C ab S ABC sin 21sin 21sin 21===∆ 2. r c b a S ABC )(21++=∆,其中r 是三角形内切圆半径.注:由面积公式求角时注意解的个数6相关的结论：1．角的变换在△ABC 中，A+B+C=π，所以sin(A+B)=sinC ；cos(A+B)=－cosC ；tan(A+B)=－tanC 。
解三角形题型总结
解三角形题型总结解三角形题目是高中数学中的常见题型，主要涉及到三角函数、三角公式、特殊三角形等概念和性质。
在解题时，需要掌握相应的知识和技巧，并且要善于分析题目，灵活运用所学的知识。
下面对解三角形题目的常见类型进行总结。
第一类：已知两边和夹角，求第三边或第三角在这类题目中，一般可以利用余弦定理或正弦定理来解答。
余弦定理适用于已知两边和夹角、求第三边或第三角的情况，公式如下：c² = a² + b² - 2ab*cosC正弦定理适用于已知两边和夹角、求第三边或第三角的情况，公式如下：a/sinA = b/sinB = c/sinC根据题目给出的已知条件，可以根据余弦定理或正弦定理列方程解题，注意化简、代数运算的技巧。
第二类：已知三边，求夹角或面积在这类题目中，一般可以利用余弦定理、正弦定理或面积公式来解答。
面积公式适用于已知三边、求面积的情况，公式如下：S = (a*b*sinC)/2根据题目给出的已知条件，可以根据余弦定理、正弦定理或面积公式列方程解题，注意化简、代数运算的技巧。
其中，求夹角时，如果已知三边可以利用余弦定理求出对应的夹角。
第三类：已知两角和一边，求另一边在这类题目中，一般可以利用正弦定理或余弦定理来解答。
根据题目给出的已知条件，可以根据正弦定理或余弦定理列方程解题，注意化简、代数运算的技巧。
第四类：特殊三角形特殊三角形有等边三角形、等腰三角形和直角三角形。
对于等边三角形，三个内角均为60°，三边相等；对于等腰三角形，两个内角相等，两边相等；对于直角三角形，一个内角为90°，另两个内角之和为90°，一边为直角边。
对于特殊三角形的解题思路如下：- 等边三角形：根据已知条件可解出三角形的各边长和角度。
- 等腰三角形：根据已知条件可解出三角形的各边长和角度。
- 直角三角形：根据已知条件可利用勾股定理和三角函数求解。
在解特殊三角形题目时，需要注意特殊性质的应用，如等边三角形中的三个角均为60°，等腰三角形中的两个角相等等。
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【考题回放】1．设,,a b c 分别是ABC ∆的三个内角,,A B C 所对的边，则()2a b b c =+是2A B =的（ ）（A ）充分条件 （B ）充分而不必要条件（C ）必要而充分条件 （D ）既不充分又不必要条件 2．在ABC ∆中，已知C BA sin 2tan=+，给出以下四个论断：① 1cot tan =⋅B A② 2sin sin 0≤+<B A③ 1cos sin 22=+B A④ C B A 222sin cos cos =+其中正确的是（ B ）（A ）①③ （B ）②④ （C ）①④ （D ）②③3．在△ABC 中，已知A 、B 、C 成等差数列，则2tan 2tan 32tan 2tanC A C A ++的值为__________3. 4．如果111A B C ∆的三个内角的余弦值分别等于222A B C ∆的三个内角的正弦值，则（ ）A ．111ABC ∆和222A B C ∆都是锐角三角形 B ．111A B C ∆和222A B C ∆都是钝角三角形C ．111A B C ∆是钝角三角形，222A B C ∆是锐角三角形D ．111A B C ∆是锐角三角形，222A B C ∆是钝角三角形5．己知A 、C 是锐角△ABC 的两个内角，且tanA, tanC 是方程x2-3px+1-p ＝0 (p≠0，且p ∈R)，的两个实根，则tan(A+C)=_______，tanA,tanC 的取值范围分别是___ _和__ ___，p 的取值范围是__________3；(0，3)；(0，3)；［32，1)6．在ΔABC 中，已知66cos ,364==B AB ，AC 边上的中线BD=5，求sinA.【专家解答】 设E 为BC 的中点，连接DE ，则DE//AB ，且36221==AB DE ，设BE=x 在ΔBDE 中可得2222cos BD BE ED BE ED BED =+-⋅∠，x x 6636223852⨯⨯++=，解得1=x ，37-=x （舍去）故BC=2，从而328cos 2222=⋅-+=B BC AB BC AB AC ，即3212=AC 又630sin =B ，故247sin 10A =，1470sin =A【考点透视】本专题主要考查正弦定理和余弦定理．【热点透析】三角形中的三角函数关系是历年高考的重点内容之一，本节主要帮助考生深刻理解正、余弦定理，掌握解斜三角形的方法和技巧 学生需要掌握的能力： (1)运用方程观点结合恒等变形方法巧解三角形； (2)熟练地进行边角和已知关系式的等价转化；(3)能熟练运用三角形基础知识，正(余)弦定理及面积公式与三角函数公式配合，通过等价转化或构建方程解答三角形的综合问题，注意隐含条件的挖掘【范例1】【文】在△ABC 中，若tanA ︰tanB ＝22b a :，试判断△ABC 的形状．解析 由同角三角函数关系及正弦定理可推得22sin cos sin cos sin sin A B AA B B =， ∵A 、B 为三角形的内角，∴sinA≠0，sinB≠0．∴2A ＝2B 或2A ＝π－2B ，∴A ＝B 或A ＋B ＝2π．所以△ABC 为等腰三角形或直角三角形．【点晴】三角形分类是按边或角进行的，所以判定三角形形状时一般要把条件转化为边之间关系或角之间关系式，从而得到诸如a2＋b2＝c2， a2＋b2>c2（锐角三角形），a2＋b2＜c2（钝角三角形）或sin(A －B)＝0，sinA ＝sinB ，sinC ＝1或cosC ＝0等一些等式，进而判定其形状，但在选择转化为边或是角的关系上，要进行探索．【范例2】 【文】在△ABC 中，a 、b 、c 分别为角A 、B 、C 的对边，2274sin cos 22B C A +-=.(1)求角A 的度数；(2)若a=3，b+c=3，求b 和c 的值.解析27(1)4sin cos 2180,:22B C A A B C +-=++=︒由及得22272[1cos()]2cos 1,4(1cos )4cos 5214cos 4cos 10,cos ,20180,60B C A A A A A A A A -+-+=+-=-+=∴=︒<<︒∴=︒即22222222(2):cos 211cos ()3.2223123: 2 :.221b c a A bcb c a A b c a bc bc b c b b a b c bc bc c c +-=+-=∴=∴+-=+===⎧⎧⎧=+==⎨⎨⎨===⎩⎩⎩由余弦定理得代入上式得由得或【点睛】正弦定理和余弦定理在解斜三角形中应用比较广泛. 【范例3】已知△ABC 的周长为6，,,BC CA AB成等比数列，求（1）△ABC 的面积S 的最大值； （2）BA BC 的取值范围． 解析 设,,BC CA AB依次为a ，b ，c ，则a+b+c=6，b²=ac ．在△ABC 中得2222221cos 2222a c b a c ac ac ac B ac ac ac +-+--==≥=, 故有03B π<≤．又6,22a c bb +-=≤=从而02b <≤．（１）22111sin sin 2sin 2223S ac B b B π==≤⋅⋅=，即maxS =． （２）22222()2cos 22a c b a c ac b BA BC ac B +-+--===222(6)3(3)272b b b --==-++．02,b <≤ 218BA BC ∴≤<．【点睛】 三角与向量结合是高考命题的一个亮点.问题当中的字母比较多，这就需要我们采用消元的思想，想办法化多为少，消去一些中介的元素，保留适当的主变元．主变元是解答问题的基本元素，有效的控制和利用对调整解题思路是十分有益处的．【变式】在△ABC 中，角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c, △ABC 的外接圆半径R=3，且满足B CA B C sin sin sin 2cos cos -=.求角B 和边b 的大小；求△ABC 的面积的最大值。
解析 (1) 由B CA B C sin sin sin 2cos cos -=整理得sinBcosC+cosBsinC=2sinAcosB ∴sin(B+C)= 2sinAcosB ∴sinA=2sinAcosB ∴cosB=21 ∴B=3π∵ b=2RsinB ∴b=3(2)∵ABC ∇S =)32sin(sin 33sin sin 3sin 212A A C A R B ac -==π⎥⎦⎤⎢⎣⎡+-=21)62sin(233πA∴当A=3π时, ABC ∇S 的最大值是439 ．【点睛】三角函数的最值问题在三角形中的应用【范例4】某观测站C 在城A 的南20˚西的方向上，由A 城出发有一条公路，走向是南40˚东，在C 处测得距C 为31千米的公路上B 处有一人正沿公路向A 城走去，走了20千米后，到达D 处，此时C 、D 间距离为21千米，问还需走多少千米到达A 城？解析 据题意得图02，其中BC=31千米，BD=20千米，CD=21千米，∠CAB=60˚． 设∠ACD = α ，∠CDB = β ．在△CDB 中，由余弦定理得：71202123120212cos 222222-=⨯⨯-+=⋅⋅-+=BD CD BC BD CD β， 734cos 1sin 2=-=ββ．()CDA CAD ∠-∠-︒=180sin sin α ()β+︒-︒-︒=18060180sin()143523712173460sin cos 60cos sin 60sin =⨯+⨯=︒-︒=︒-=βββ．在△ACD 中得1514352321143560sin 21sin sin =⨯=⋅︒=⋅=αA CD AD ．所以还得走15千米到达A 城．【点晴】 运用解三角形的知识解决实际问题时，关键是把题设条件转化为三角形中的已知元素，然后解三角形求之．1．在直角三角形中，两锐角为A 和B ，则sinA·sinB( B )（A ）.有最大值21和最小值 （B ）.有最大值21但无最小值（C ）.既无最大值也无最小值 （D ）.有最大值1但无最小值2．已知非零向量AB 与AC 满足().0AB AC BC ABAC+=且1..2AB AC AB AC =则ABC ∆为（ D ） （A ）等边三角形 （B ）直角三角形（C ）等腰非等边三角形 （D ）三边均不相等的三角形3．△ABC 中，3sinA+4cosB=6，3cosA+4sinB=1，则∠C 的大小是 （ A ）（A ）6π（B ）56π （C ）6π或56π （D ）3π或23π4.一个直角三角形三内角的正弦值成等比数列，其最小内角为( A )(A)arccos 215- (B)arcsin 215- (C)arccos 251- (D)arcsin 251-5. 已知a+1，a+2，a+3是钝角三角形的三边，则a 的取值范围是 . （0，2）6．已知定义在R 上的偶函数)(x f y =在区间),0[+∞上单调递增,若,0)21(=fABC ∆的内角A 满足,0)(cos <A f ,则A 的取值范围是 ___ ]2,3(ππ),32(ππ【文】在ABC ∆中，..C 的对边分别为.b .。
若a,b,c 成等比数列，求f(B)=sinB+3cosB 的值域。
若a,b,c 成等差数列，且A-C=3π，求cosB 的值。
解析 (1) ∵ac b =2, ac c a 222≥+21222cos 222=-≥-+=ac ac ac ac b c a B 当且仅当c a =时取等号,30π≤<B ∵f(B)=sinB+3cosB=)3sin(2π+B∵3233πππ≤+<B ∴)(B f 的值域为[]2,3(2) ∵,2b c a =+∴ sinA+sinC=2sinB ∵BC A C A -=+=-ππ,3∴232B A -=π C=23B -π ∴sin(232B -π)+sin(23B -π)=2sinB展开,化简,得2cos 2sin 2*22cos3B B B = , ∵02cos ≠B, ∴432sin =B ∴ cosB=852sin 212=-B8．【文】在ABC ∆中，,,a b c 分别为角,,A B C 的对边，且满足274cos cos 2()22A B C -+=（１）求角大小；（２）若3b c +=，当取最小值时，判断ABC ∆的形状． 解析（１）A B C π++=，2274cos cos 2()2(1cos )cos 22cos 2cos 322A B C A A A A ∴-+=+-=-++=，212cos 2cos 02A A ∴-+=．1cos 2A ∴=， 0A π<<， 60o A ∴=．（２）由余弦定理222cos 2b c a A bc +-=，得 222bc b c a =+-．2229()39393()24b c a b c bc bc +∴=+-=-≥-=， 32a ∴≥．所以的最小值为32，当且仅当32b c ==时取等号．此时ABC ∆为正三角形．。