新人教版九年级数学上册24.2.3圆和圆的位置关系能力训练及答案
人教版数学九年级上册24.2《点和圆、直线和圆的位置关系》知识点+例题+练习(精品)
点、直线、圆与圆的位置关系_知识点+例题+练习1.点和圆的位置关系2.（1）点与圆的位置关系有3种．设⊙O的半径为r，点P到圆心的距离OP=d，则有：3.①点P在圆外⇔d＞r4.②点P在圆上⇔d=r5.①点P在圆内⇔d＜r6.（2）点的位置可以确定该点到圆心距离与半径的关系，反过来已知点到圆心距离与半径的关系可以确定该点与圆的位置关系．7.（3）符号“⇔”读作“等价于”，它表示从符号“⇔”的左端可以得到右端，从右端也可以得到左端．2.确定圆的条件不在同一直线上的三点确定一个圆．注意：这里的“三个点”不是任意的三点，而是不在同一条直线上的三个点，而在同一直线上的三个点不能画一个圆．“确定”一词应理解为“有且只有”，即过不在同一条直线上的三个点有且只有一个圆，过一点可画无数个圆，过两点也能画无数个圆，过不在同一条直线上的三点能画且只能画一个圆．3.三角形的外接圆与外心（1）外接圆：经过三角形的三个顶点的圆，叫做三角形的外接圆．（2）（2）外心：三角形外接圆的圆心是三角形三条边垂直平分线的交点，叫做三角形的外心．（3）（3）概念说明：（4）①“接”是说明三角形的顶点在圆上，或者经过三角形的三个顶点．（5）②锐角三角形的外心在三角形的内部；直角三角形的外心为直角三角形斜边的中点；钝角三角形的外心在三角形的外部．（6）③找一个三角形的外心，就是找一个三角形的两条边的垂直平分线的交点，三角形的外接圆只有一个，而一个圆的内接三角形却有无数个．4.反证法(了解)（1）对于一个命题，当使用直接证法比较困难时，可以采用间接证法，反证法就是一个间接证法．反证法主要适合的证明类型有：①命题的结论是否定型的．②命题的结论是无限型的．③命题的结论是“至多”或“至少”型的．（2）（2）反证法的一般步骤是：（3）①假设命题的结论不成立；（4）②从这个假设出发，经过推理论证，得出矛盾；（5）③由矛盾判定假设不正确，从而肯定原命题的结论正确．5.直线和圆的位置关系（1）直线和圆的三种位置关系：①相离：一条直线和圆没有公共点．②相切：一条直线和圆只有一个公共点，叫做这条直线和圆相切，这条直线叫圆的切线，唯一的公共点叫切点．③相交：一条直线和圆有两个公共点，此时叫做这条直线和圆相交，这条直线叫圆的割线．（2）判断直线和圆的位置关系：设⊙O的半径为r，圆心O到直线l的距离为d．①直线l和⊙O相交⇔d＜r②直线l和⊙O相切⇔d=r③直线l和⊙O相离⇔d＞r．6.切线的性质（1）切线的性质（2）①圆的切线垂直于经过切点的半径．（3）②经过圆心且垂直于切线的直线必经过切点．（4）③经过切点且垂直于切线的直线必经过圆心．（5）（2）切线的性质可总结如下：（6）如果一条直线符合下列三个条件中的任意两个，那么它一定满足第三个条件，这三个条件是：①直线过圆心；②直线过切点；③直线与圆的切线垂直．（7）（3）切线性质的运用（8）由定理可知，若出现圆的切线，必连过切点的半径，构造定理图，得出垂直关系．简记作：见切点，连半径，见垂直．7.切线的判定8.（1）切线的判定定理：经过半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线．9.（2）在应用判定定理时注意：10.①切线必须满足两个条件：a、经过半径的外端；b、垂直于这条半径，否则就不是圆的切线．11.②切线的判定定理实际上是从”圆心到直线的距离等于半径时，直线和圆相切“这个结论直接得出来的．12.③在判定一条直线为圆的切线时，当已知条件中未明确指出直线和圆是否有公共点时，常过圆心作该直线的垂线段，证明该线段的长等于半径，可简单的说成“无交点，作垂线段，证半径”；当已知条件中明确指出直线与圆有公共点时，常连接过该公共点的半径，证明该半径垂直于这条直线，可简单地说成“有交点，作半径，证垂直”．8.切线的判定与性质（1）切线的性质①圆的切线垂直于经过切点的半径．②经过圆心且垂直于切线的直线必经过切点．③经过切点且垂直于切线的直线必经过圆心．（2）切线的判定定理：经过半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线．（3）常见的辅助线的：①判定切线时“连圆心和直线与圆的公共点”或“过圆心作这条直线的垂线”；②有切线时，常常“遇到切点连圆心得半径”．9.切线长定理（1）圆的切线定义：经过圆外一点作圆的切线，这点和切点之间的线段的长，叫做这点到圆的切线长．（2）（2）切线长定理：从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等，圆心和这一点的连线，平分两条切线的夹角．（3）（3）注意：切线和切线长是两个不同的概念，切线是直线，不能度量；切线长是线段的长，这条线段的两个端点分别是圆外一点和切点，可以度量．（4）（4）切线长定理包含着一些隐含结论：（5）①垂直关系三处；（6）②全等关系三对；（7）③弧相等关系两对，在一些证明求解问题中经常用到．10.三角形的内切圆与内心（1）内切圆的有关概念：与三角形各边都相切的圆叫三角形的内切圆，三角形的内切圆的圆心叫做三角形的内心，这个三角形叫做圆的外切三角形．三角形的内心就是三角形三个内角角平分线的交点．（2）任何一个三角形有且仅有一个内切圆，而任一个圆都有无数个外切三角形．（3）三角形内心的性质：三角形的内心到三角形三边的距离相等；三角形的内心与三角形顶点的连线平分这个内角．11.圆与圆的五种位置关系（1）圆与圆的五种位置关系：①外离；②外切；③相交；④内切；⑤内含．如果两个圆没有公共点，叫两圆相离．当每个圆上的点在另一个圆的外部时，叫两个圆外离，当一个圆上的点都在另一圆的内部时，叫两个圆内含，两圆同心是内含的一个特例；如果两个圆有一个公共点，叫两个圆相切，相切分为内切、外切两种；如果两个圆有两个公共点叫两个圆相交．（2）圆和圆的位置与两圆的圆心距、半径的数量之间的关系：①两圆外离⇔d＞R+r；②两圆外切⇔d=R+r；③两圆相交⇔R-r＜d＜R+r（R≥r）；④两圆内切⇔d=R-r（R＞r）；⑤两圆内含⇔d＜R-r（R＞r）．12.相切两圆的性质相切两圆的性质：如果两圆相切，那么连心线必经过切点．这说明两圆的圆心和切点三点共线，为证明带来了很大方便．13.相交两圆的性质（1）相交两圆的性质：（2）相交两圆的连心线（经过两个圆心的直线），垂直平分两圆的公共弦．（3）注意：在习题中常常通过公共弦在两圆之间建立联系．（4）（2）两圆的公切线性质：（5）两圆的两条外公切线的长相等；两圆的两条内公切线的长也相等．（6）两个圆如果有两条（内）公切线，则它们的交点一定在连心线上．4. 判断圆的切线的方法及应用判断圆的切线的方法有三种：（1）与圆有惟一公共点的直线是圆的切线；（2）若圆心到一条直线的距离等于圆的半径，则该直线是圆的切线；（3）经过半径外端，并且垂直于这条半径的直线是圆的切线.【例4】如图，⊙O的直径AB=4，∠ABC=30°，BC=34，D是线段BC的中点.（1）试判断点D与⊙O的位置关系，并说明理由.（2）过点D作DE⊥AC，垂足为点E，求证：直线DE是⊙O的切线.【例5】如图，已知O为正方形ABCD对角线上一点，以O为圆心，OA的长为半径的⊙O与BC相切于M，与AB、AD分别相交于E、F，求证CD与⊙O相切.【例6】如图，半圆O为△ABC的外接半圆，AC为直径，D为劣弧上一动点，P在CB 的延长线上，且有∠BAP=∠BDA.求证：AP 是半圆O 的切线.【知识梳理】1. 直线与圆的位置关系：2. 切线的定义和性质：3.三角形与圆的特殊位置关系：4. 圆与圆的位置关系：（两圆圆心距为d ，半径分别为21,r r ）相交⇔2121r r d r r +<<-； 外切⇔21r r d +=；内切⇔21r r d -=； 外离⇔21r r d +>； 内含⇔210r r d -<<【注意点】与圆的切线长有关的计算．【例题精讲】例1.⊙O 的半径是6，点O 到直线a 的距离为5，则直线a 与⊙O 的位置关系为（ ）A ．相离B ．相切C ．相交D ．内含例 2. 如图1，⊙O 内切于ABC △，切点分别为D E F ，，．50B ∠=°，60C ∠=°，连结OE OF DE DF ，，，，则EDF ∠等于（ ）A ．40°B ．55°C ．65°D ．70°例3. 如图，已知直线L 和直线L 外两定点A 、B ，且A 、B 到直线L 的距离相等，则经过A 、B 两点且圆心在L 上的圆有（ ）A ．0个B ．1个C ．无数个D ．0个或1个或无数个例4．已知⊙O 1半径为3cm ，⊙O 2半径为4cm ，并且⊙O 1与⊙O 2相切，则这两个圆的圆心距为（ ） A.1cm B.7cm C.10cm D. 1cm 或7cm例5．两圆内切，圆心距为3，一个圆的半径为5，另一个圆的半径为 例6．两圆半径R=5，r=3，则当两圆的圆心距d 满足___ ___•时，•两圆相交；•当d•满足___ ___时，两圆不外离．例7．⊙O 半径为6.5cm ，点P 为直线L 上一点，且OP=6.5cm ，则直线与⊙O•的位置关系是____例8．如图，PA 、PB 分别与⊙O 相切于点A 、B ，⊙O 的切线EF 分别交PA 、PB 于点E 、F ，切点C 在弧AB 上，若PA 长为2，则△PEF 的周长是 _．例9. 如图，⊙M 与x 轴相交于点(20)A ，，(80)B ，，与y 轴切于点C ，则圆心M 的坐标是例10. 如图，四边形ABCD 内接于⊙A ，AC 为⊙O 的直径，弦DB ⊥AC ，垂足为M ，过点D 作⊙O 的切线交BA 的延长线于点E ，若AC=10，tan ∠DAE=43，求DB 的长．【当堂检测】1.如果两圆半径分别为3和4，圆心距为7，那么两圆位置关系是（ ）A ．相离B ．外切C ．内切D ．相交2.⊙A 和⊙B 相切，半径分别为8cm 和2cm ，则圆心距AB 为（ ）A ．10cmB ．6cmC ．10cm 或6cmD ．以上答案均不对3.如图，P 是⊙O 的直径CB 延长线上一点，PA 切⊙O 于点A ，如果PA ＝3，PB ＝1，那么∠APC 等于（ ）A. 15B. 30C. 45D. 60O O2O14. 如图，⊙O 半径为5，PC 切⊙O 于点C ，PO 交⊙O 于点A ，PA ＝4，那么PC 的长等于（ ） A ）6 （B ）25 （C ）210 （D ）2145.如图，在10×6的网格图中(每个小正方形的边长均为1个单位长)．⊙A 半径为2，⊙B 半径为1，需使⊙A 与静止的⊙B 相切，那么⊙A 由图示的位置向左平移 个单位长.6. 如图，⊙O 为△ABC 的内切圆，∠C ＝ 90，AO 的延长线交BC 于点D ，AC ＝4，DC ＝1，，则⊙O 的半径等于（ ）A. 45B. 54C. 43D. 657.⊙O 的半径为6，⊙O 的一条弦AB 长63，以3为半径⊙O 的同心圆与直线AB 的位置关系是( )A.相离B.相交C.相切D.不能确定8.如图，在ABC △中，12023AB AC A BC =∠==，°，，A ⊙与BC 相切于点D ，且交AB AC 、于M N 、两点，则图中阴影部分的面积是 （保留π）．9.如图，B 是线段AC 上的一点，且AB ：AC=2：5，分别以AB 、AC 为直径画圆，则小圆的面积与大圆的面积之比为_______．10. 如图，从一块直径为a+b 的圆形纸板上挖去直径分别为a 和b 的两个圆，则剩下的纸板面积是___．11. 如图，两等圆外切，并且都与一个大圆内切．若此三个圆的圆心围成的三角形的周长为18cm ．则大圆的半径是______cm ．12.如图，直线AB 切⊙O 于C 点，D 是⊙O 上一点，∠EDC=30º，弦EF ∥AB ，连结OC 交EF 于H 点，连结CF ，且CF=2，则HE 的长为_________．13. 如图，PA 、PB 是⊙O 的两条切线，切点分别为A 、B ，若直径AC=12cm ，∠P=60°．求弦AB 的长． 【中考连接】 一、选择题 1. 正三角形的内切圆半径为1，那么三角形的边长为( )A.2B.32C.3D.3 2.⊙O 是等边ABC △的外接圆，⊙O 的半径为2，则ABC △的边长为（ ）A ．3B ．5C ．23D ．253. 已知⊙O 的直径AB 与弦AC 的夹角为 30，过C 点的切线PC 与AB 延长线交于P 点．PC ＝5，则⊙O 的半径为 （ ）A. 335 B. 635 C. 10 D. 54. AB 是⊙O 的直径，点P 在BA 的延长线上，PC 是⊙O 的切线，C 为切点，PC ＝26，PA ＝4，则⊙O 的半径等于（ ）A. 1B. 2C. 23D. 265.某同学制做了三个半径分别为1、2、3的圆，在某一平面内，让它们两两外O D C B ABPA OC 第3题图 第4题图 第5题图 第6题图 第8题图 第9题图 第11题图 第10题图 第12题图切，该同学把此时三个圆的圆心用线连接成三角形.你认为该三角形的形状为( )A.钝角三角形B.等边三角形C.直角三角形D.等腰三角形6.关于下列四种说法中，你认为正确的有（ ）①圆心距小于两圆半径之和的两圆必相交 ②两个同心圆的圆心距为零③没有公共点的两圆必外离 ④两圆连心线的长必大于两圆半径之差A.1个B.2个C.3个D.4个二、填空题 6. 如图，AB 、AC 是⊙O 的两条切线，切点分别为B 、C ，D 是优弧BC 上的一点，已知∠BAC ＝80°，那么∠BDC ＝__________度．7. 如图，AB 是⊙O 的直径，四边形ABCD 内接于⊙O ，，，的度数比为3∶2∶4，MN 是⊙O 的切线，C 是切点，则∠BCM 的度数为________．8．如图，在△ABC 中，5cm AB AC ==，cos B 35=．如果⊙O 的半径为10cm ，且经过点B 、C ，那么线段AO = cm ．9．两个等圆⊙O 与⊙O ′外切，过点O 作⊙O ′的两条切线OA 、OB ，A 、B 是切点，则∠AOB = ．10．如图6，直线AB 与⊙O 相切于点B ，BC 是⊙O 的直径，AC 交⊙O 于点D ，连结BD ，则图中直角三角形有 个．11.如图，60ACB ∠=°，半径为1cm 的O ⊙切BC 于点C ，若将O ⊙在CB 上向右滚动，则当滚动到O ⊙与CA 也相切时，圆心O 移动的水平距离是__________cm ．12.如图， AB 与⊙O 相切于点B ，线段OA 与弦BC 垂直于点D ，∠AOB =60°，B C=4cm ，则切线AB = cm.13.如图，⊙A 和⊙B 与x 轴和y 轴相切，圆心A 和圆心B 都在反比例函数1y x =图象上，则阴影部分面积等于 ．14. Rt △ABC 中，9068C AC BC ∠===°，，．则△ABC的内切圆半径r =______．15.⊙O 的圆心到直线l 的距离为d ，⊙O 的半径为r ，当d 、r 是关于x 的方程x 2－4x+m=0的两根，且直线l 与⊙O 相切时，则m 的值为_____．16.已知：⊙A 、⊙B 、⊙C 的半径分别为2、3、5，且两两相切，则AB 、BC 、CA 分别为 ．17.⊙O 的圆心到直线l 的距离为d ，⊙O 的半径为r ，当d 、r 是关于x 的方程x 2－4x+m=0的两根，且直线l 与⊙O 相切时，则m 的值为_____．三、解答题18. 如图，AB 是⊙O 的弦，OA OC ⊥交AB 于点C ，过B 的直线交OC 的延长线于点E ，当BE CE =时，直线BE 与⊙O 有怎样的位置关系？请说明理由． 第3题图 第6题图 第7题图 第8题图 第10题图 第11题图 第12题图 第13题图19.如图1，在⊙O 中，AB 为⊙O 的直径，AC 是弦，4OC =，60OAC ∠=． （1）求∠AOC 的度数；（2）在图1中，P 为直径BA 延长线上的一点，当CP 与⊙O 相切时，求PO 的长；（3）如图2，一动点M 从A 点出发，在⊙O 上按A 照逆时针的方向运动，当MAO CAO S S =△△时，求动点M 所经过的弧长．第18题图。
24.2.3_圆和圆的位置关系(精)
3、填写表格(其中R、r表示两圆的半径,d表示圆心距)
填表题 两圆的位置关系
R
6 3 4 5
8 6
r
5 2 3 2 1 4
d
d＞11 0≤d＜1
外离 内含
相交 内含
2 0 7 10
内切 外切
4、 判断正误：
1、若两圆只有一个交点,则这两圆外切. （ × ） 2、如果两圆没有交点，则这两圆的位置关系是外 离. （ ）
1、定圆O 的半径是4cm,动圆P 的半径是1cm. ⑴设⊙O 和⊙P相外切,点P 与点O 的距离是多少? 点P可以在什么样的线上移动? 因为⊙O与⊙P外切, 所以OP＝4＋1＝5（cm）. 点P在以O为圆心， 以5cm为半径的圆上 运动.
P
1cm
解：
·
·
O
4cm
• 14、如图所示，已知⊙O1、⊙O2相交于A、 B， 连心线O1O2交⊙O1于C、D两点，直 线CA交⊙O2于P，直线PD交⊙O1于Q， 且CP∥QB。求证：AC=AP
•
r
d
• O2
R
两圆外离 R
两圆外切
• d O1
r
• O
2
•dO r • O
1
2
O1 r • •2 dO
两圆内含
两圆相交
两圆内切
活动2： 两圆的位置关系 d与r1和r2的关系 如果两个圆的半径分别为r11+r2（r1<r2）， <＝> d>r 和r 外离 圆心距（两圆圆心的距离）为d，当两圆外离时， <＝> d=r1+r2 外切 d与r1和r2有怎样的关系？反过来，当d与r1和r2满 相交 <＝> r2-r1<d<r 足这样的关系时，两圆一定外离吗？ 1+r2 内切 <＝> d=r2-r1 <＝> d<r2-r1 内含
人教版九年级数学上册《24.2 点和圆直线和圆的位置关系》同步练习题-附答案
人教版九年级数学上册《24.2 点和圆直线和圆的位置关系》同步练习题-附答案学校:___________班级：___________姓名：___________考号：___________考点1点与圆的位置关系1. 点与圆的位置关系：设⊙O的半径为r点P到圆心的距离为OP＝d点P在⇔d＞r点P在⇔d＝r点P在⇔d＜r。
2.三点圆：不在直线上的三个点一个圆。
3.三角形的外接圆：经过三角形的三个顶点可以作一个圆这个圆叫做三角形的圆．外接圆的圆心是三角形三条边的的交点叫做这个三角形的外心。
考点2直线和圆的位置关系1.直线与圆的位置关系：（1）直线和圆有两个公共点时我们说这条直线和圆．这条直线叫做圆的线。
（2）直线和圆只有一个公共点时我们说这条直线和圆．这条直线叫做圆的线这个点叫做点。
（3）直线和圆没有公共点时我们说这条直线和圆。
（4）设⊙O的半径为r圆心O到直线l的距离d直线l和⊙O⇔d＜r直线l和⊙O⇔d＝r直线l和⊙O⇔d＞r。
2.切线的判定定理和性质定理（1）切线的判定定理：经过半径的外端并且于这条半径的直线是圆的切线。
（2）切线的性质定理：圆的切线于过切点的半径。
3.切线长定理：（1）切线长：经过圆外一点的圆的切线上这点和点之间线段的长叫做这点到圆的切线长。
（2）切线长定理：从圆外一点可以引圆的两条切线它们的切线长这一点和圆心的连线两条切线的夹角。
4.内切圆：与三角形各边都相切的圆叫做三角形的．内切圆的圆心是三角形三条的交点叫做三角形的内心。
限时训练:一选择题：在每小题给出的选项中只有一项是符合题目要求的。
1.(2024·全国·同步练习)以点P(1,2)为圆心r为半径画圆与坐标轴恰好有三个交点则r应满足( )A. r=2或√ 5B. r=2C. r=√ 5D. 2≤r≤√ 52.(2024·全国·同步练习)如图在△ABC中O是AB边上的点以O为圆心OB为半径的⊙O与AC相切于点D BD平分∠ABC AD=√ 3OD AB=12CD的长是( )A. 2√ 3B. 2C. 3√ 3D. 4√ 33.(2024·江苏省·同步练习)下列命题中真命题的个数是( ) ①经过三点可以作一个圆②一个圆有且只有一个内接三角形③一个三角形有且只有一个外接圆④三角形的外心到三角形的三个顶点的距离相等⑤直角三角形的外心是三角形斜边的中点。
人教版九年级数学上册24.2点和圆、直线和圆的位置关系同步测试及答案【精】
点和圆、直线和圆的位置关系24.2.1 点和圆的位置关系 [见B 本P42]1．若⊙O 的半径为4 cm ，点A 到圆心O 的距离为3 cm ，那么点A 与⊙O 的位置关系是( A )A ．点A 在圆内B ．点A 在圆上C ．点A 在圆外D ．不能确定【解析】 d ＝3 cm ＜4 cm ＝r ，所以点A 在⊙O 内．2．已知⊙O 的半径为5 cm ，P 为⊙O 外一点，则OP 的长可能是( D )A ．5 cmB ．4 cmC ．3 cmD ．6 cm 3．矩形ABCD 中，AB ＝8，BC ＝35，点P 在边AB 上，且BP ＝3AP ，如果圆P 是以点P 为圆心，PD 为半径的圆，那么下列判断正确的是( C )A ．点B ，C 均在圆P 外B ．点B 在圆P 外，点C 在圆P 内C ．点B 在圆P 内，点C 在圆P 外因为AP ＝14AB ＝14×8＝2，AD ＝BC ＝35， 所以PD ＝AD 2＋AP 2＝（35）2＋22＝7，PB ＝8－2＝6，所以PC ＝PB 2＋BC 2＝62＋（35）2＝9.因为PB ＜PD ＜PC ，所以点B 在圆P 内，点C 在圆P 外，故选C.4．小明不慎把家里的圆形玻璃打碎了，其中四块碎片如图24－2－1所示，为配到与原来大小一样的圆形玻璃，小明带到商店去的一块玻璃碎片应该是( B )A ．第①块B ．第②块C ．第③块D ．第④块【解析】 根据“不在同一直线上的三点确定一个圆”知所带的碎片必须含有圆弧的部分，只有②符合．图24－2－1图24－2－25．如图24－2－2，已知⊙O 是△ABC 的外接圆，∠AOB ＝110°，则∠C 的度数为( A )A ．55°B ．70°C ．60°D ．45°6．[2012·攀枝花]下列四个命题：①等边三角形是中心对称图形；②在同圆或等圆中，相等的弦所对的圆周角相等；③三角形有且只有一个外接圆；④垂直于弦的直径平分弦所对的两条弧．其中真命题的个数有(B)A．1个B．2个C．3个D．4个【解析】∵等边三角形是轴对称图形，但不是中心对称图形，∴①是假命题；如图，AB＝AE，但∠C和∠D不相等，∴②是假命题；三角形有且只有一个外接圆，外接圆的圆心是三角形三边的垂直平分线的交点，∴③是真命题；垂直于弦的直径平分弦，且平分弦所对的两条弧，∴④是真命题．7．在平面直角坐标系中，点A，B，C的坐标分别为(1，4)，(5，4)，(1，－2)，则△ABC外接圆的圆心坐标是(D)A．(2，3) B．(3，2)C．(1，3) D．(3，1)【解析】作弦AB，AC的垂直平分线，交点即为圆心．8．一个三角形的外心在三角形的内部，则这个三角形是(C)A．任意三角形B．直角三角形C．锐角三角形D．钝角三角形9．已知⊙O的半径为10 cm，点P到圆心的距离为d cm，(1)当d＝8 cm时，点P在⊙O__内__；(2)当d＝10 cm时，点P在⊙O__上__；(3)当d＝12 cm时，点P在⊙O__外__．10．图24－2－3中，△ABC的外接圆的圆心坐标是__(5，2)__．图24－2－3【解析】分别作BC，AB的垂直平分线，交点坐标即为所求．11．已知线段AB＝6 cm.(1)画半径为4 cm的圆，使它经过A，B两点，这样的圆能画__2__个；(2)画半径为3 cm的圆，使它经过A，B两点，这样的圆能画__1__个；(3)画半径为2 cm的圆，使它经过A，B两点，这样的圆能画__0__个．图24－2－412．如图24－2－4，△ABC中，∠ACB＝90°，BC＝5 cm，AC＝10 cm，CD为中线，以C为圆心，以52 5 cm为半径作圆，则点A，B，D与⊙C的位置关系如何？【解析】要确定点A，B，D与⊙C的位置关系，需计算出这些点与点C的距离，再与⊙C的半径作比较即可．解：∵△ABC为直角三角形，∠ACB＝90°，∴BC2＋AC2＝AB2，∴AB＝BC2＋AC2＝52＋102＝55(cm)．∵CD 为斜边上的中线，∴CD ＝12AB ＝52 5 cm.∵CA ＝10 cm ＞525 cm ， ∴点A 在⊙C 外；而CB ＝5 cm ＜525 cm ， ∴点B 在⊙C 内；又CD ＝525 cm ，∴点D 在⊙C 上． 13．直角三角形的两边长分别为16和12，则此三角形的外接圆半径是__10或8______．【解析】 ①当直角三角形的斜边长为16时，这个三角形的外接圆半径为8；②当两条直角边长分别为16和12，则直角三角形的斜边长＝162＋122＝20，因此这个三角形的外接圆半径为10.综上所述：这个三角形的外接圆半径等于8或10.14．用反证法证明：圆内不是直径的两条弦不能互相平分．【解析】 根据反证法的一般步骤来证明．解：如图所示，已知AB ，CD 是⊙O 内的两条非直径弦，且AB 与CD 相交于点P .求证：AB 与CD 不能互相平分．证明：假设AB 与CD 能互相平分，则点P 既是AB 的中点，也是CD 的中点，连接OP .由垂径定理可知：OP ⊥AB ，OP ⊥CD .这表明过直线OP 上一点P ，有两条直线AB ，CD 与之垂直，这与“过一点有且只有一条直线与已知直线垂直”相矛盾，故假设不成立，即AB 与CD 不能互相平分．图24－2－515．如图24－2－5，AD 为△ABC 外接圆的直径，AD ⊥BC ，垂足为点F ，∠ABC 的平分线交AD 于点E ，连接BD ，CD .(1)求证：BD ＝CD ；(2)请判断B ，E ，C 三点是否在以D 为圆心，以BD 为半径的圆上，并说明理由．解：(1)证明：∵AD 为直径，AD ⊥BC ，∴BD ︵＝CD ︵.∴BD ＝CD .(2)B ，E ，C 三点在以D 为圆心，以DB 为半径的圆上．理由：由(1)知BD ︵＝CD ︵，∴∠BAD ＝∠CBD .∵∠DBE ＝∠CBD ＋∠CBE ，∠DEB ＝∠BAD ＋∠ABE ，∠CBE ＝∠ABE ，∴∠DBE ＝∠DEB . ∴DB ＝DE .又∵BD ＝CD ，∴DB ＝DE ＝DC .∴B ，E ，C 三点在以D 为圆心，以DB 为半径的圆上．16．用反证法证明：在一个三角形中，至少有一个内角小于或等于60°.已知：△ABC ，求证：△ABC 中至少有一个内角小于或等于60°.证明：假设△ABC 中没有一个内角小于或等于60°，即∠A >60°，∠B >60°，∠C >60°，于是∠A ＋∠B ＋∠C >60°＋60°＋60°＝180°，这与三角形的内角和等于180°相矛盾，所以△ABC 中至少有一个内角小于或等于60°.17．如图24－2－6所示，⊙O 的半径为2，弦BD ＝23，A 为BD ︵的中点，E 为弦AC 的中点且在BD 上，求四边形ABCD 的面积．图24－2－6第17题答图解：如图所示，连接OA ，OB ，设OA 交BD 于F .∵A 为BD ︵的中点，∴FO ⊥BD ，∴BF ＝DF ＝12BD ＝ 3. ∵OB ＝2，∴OF ＝1，∴AF ＝1，∴S △ABD ＝12BD ·AF ＝12×23×1＝ 3. ∵AE ＝CE ，∴S △ADE ＝S △CDE ，S △ABE ＝S △CBE ， ∴S △ABD ＝S △BCD ，∴S 四边形ABCD ＝2S △ABD ＝2 3.。
人教版 九年级数学上册 24.2 点和圆、直线和圆的位置关系 课时训练(含答案)
如果别人思考数学的真理像我一样深入持久，他也会找到我的发现。
——高斯人教版九年级数学24.2 点和圆、直线和圆的位置关系课时训练一、选择题1. 如图，已知☉O上三点A，B，C，半径OC=1，∠ABC=30°，切线P A交OC 延长线于点P，则P A的长为()A.2B.C.D.2. 如图，AB是⊙O的直径，MN是⊙O的切线，切点为N，如果∠MNB＝52°，则∠NOA的度数为()A．76°B．56°C．54°D．52°3. 2018·眉山如图所示，AB是⊙O的直径，P A切⊙O于点A，线段PO交⊙O于点C，连接BC，若∠P＝36°，则∠B等于()A．27°B．32°C．36°D．54°4. 如图，AB为⊙O的切线，切点为A，连接AO，BO，BO与⊙O交于点C，延长BO与⊙O交于点D，连接AD.若∠ABO＝36°，则∠ADC的度数为()A．54°B．36°C．32°D．27°5. 平面上⊙O与四条直线l1，l2，l3，l4的位置关系如图.若⊙O的半径为2 cm，且点O到其中一条直线的距离为2.2 cm，则这条直线是()A．l l B．l2C．l3D．l46. 如图，在△MBC中，∠MBC＝90°，∠C＝60°，MB＝2 3，点A在MB上，以AB为直径作⊙O与MC相切于点D，则CD的长为()A. 2B. 3 C．2 D．37. 如图，⊙O的半径为2，点O到直线l的距离为3，P是直线l上的一个动点，PQ切⊙O于点Q，则PQ的最小值为()A.13B. 5 C．3 D．28. 2020·武汉模拟在平面直角坐标系中，圆心为坐标原点，⊙O的半径为10，则P(－10，1)与⊙O的位置关系为()A．点P在⊙O上B．点P在⊙O外C．点P在⊙O内D．无法确定二、填空题9. 如图，P A，PB是☉O的切线，A，B为切点，点C，D在☉O上.若∠P=102°，则∠A+∠C=.10. 如图，菱形ABOC的边AB，AC分别与☉O相切于点D，E，若点D是AB 的中点，则∠DOE=.11. 如图，⊙M的圆心在一次函数y＝12x＋2的图象上运动，半径为1.当⊙M与y轴相切时，点M的坐标为__________．12. 如图1，已知△ABC的外心为O，BC＝10，∠BAC＝60°，分别以AB，AC 为腰向三角形外作等腰直角三角形ABD与ACE，连接BE，CD交于点P，则OP长的最小值是________．13. 如图，AB为⊙O的直径，圆周角∠ABC＝40°，当∠BCD＝________°时，CD 为⊙O的切线．14.在周长为26π的⊙O中，CD是⊙O的一条弦，AB是⊙O的切线，且AB∥CD，若AB和CD之间的距离为18，则弦CD的长为________．15. 在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝6，BC＝8.若以C为圆心，R为半径所作的圆与斜边AB只有一个公共点，则R的取值范围是______________．16. 2019·兴化期中已知等边三角形ABC的边长为2，D为BC的中点，连接AD.点O在线段AD上运动(不与端点A，D重合)，以点O为圆心，33为半径作圆，当⊙O与△ABC的边有且只有两个公共点时，DO的取值范围为________．三、解答题17. 如图，AB为⊙O的直径，PD切⊙O于点C，交AB的延长线于点D，且∠D ＝2∠A.(1)求∠D的度数；(2)若CD＝2，求BD的长．18. 2020·凉山州模拟如图，⊙O的直径AB＝10 cm，弦BC＝6 cm，∠ACB的平分线交⊙O于点D，交AB于点E，P是AB延长线上一点，且PC＝PE.(1)求证：PC是⊙O的切线；(2)求AC，AD的长．19. 2019·天津如图，已知PA，PB分别与⊙O相切于点A，B，∠APB＝80°，C 为⊙O上一点．(1)如图①，求∠ACB的大小；(2)如图②，AE为⊙O的直径，AE与BC相交于点D.若AB＝AD，求∠EAC的大小．20. 如图，在平面直角坐标系中，以点O为圆心，5个单位长度为半径画圆．直线MN经过x轴上的一动点P(m，0)且垂直于x轴，当点P在x轴上移动时，直线MN也随之平行移动．按下列条件求m的值或取值范围．(1)⊙O上任何一点到直线MN的距离都不等于3；(2)⊙O上有且只有一点到直线MN的距离等于3；(3)⊙O上有且只有两点到直线MN的距离等于3；(4)随着m的变化，⊙O上到直线MN的距离等于3的点的个数还有哪些变化？请说明所有各种情形及对应m的值或取值范围．21. 如图①，直线PA交⊙O于A，E两点，PA的垂线CD切⊙O于点C，交PA 于点D，过点A作⊙O的直径AB.(1)求证：AC平分∠DAB；(2)如图②，将直线CD向下平行移动，得到CD与⊙O相切于点C，AC还平分∠DAB吗？请说明理由．解题突破(20题)在动态情况下，探究结论是否发生变化，主要看使结论成立的主要条件是否改变．比如本题中虽然图形发生变化，但AD和OC平行，△AOC是等腰三角形这两个主要条件没有改变，因此结论不发生变化.人教版九年级数学24.2 点和圆、直线和圆的位置关系课时训练-答案一、选择题1. 【答案】B[解析]连接OA，因为∠ABC=30°，所以∠AOC=60°，又因为P A为切线，所以∠OAP=90°，因为OA=OC=1，所以P A=.故选B.2. 【答案】A[解析] ∵MN是⊙O的切线，∴ON⊥NM，∴∠ONM＝90°，∴∠ONB＝90°－∠MNB＝90°－52°＝38°.∵ON＝OB，∴∠B＝∠ONB＝38°，∴∠NOA＝2∠B＝76°.3. 【答案】A4. 【答案】D[解析] ∵AB为⊙O的切线，∴∠OAB＝90°.∵∠ABO＝36°，∴∠AOB＝90°－∠ABO＝54°.∴∠ADC＝12∠AOB＝27°.故选D.5. 【答案】C[解析] 因为所求直线到圆心O的距离为2.2 cm＞半径2 cm，所以此直线与⊙O相离，所以这条直线为直线l3.6. 【答案】C[解析] 在Rt△BCM中，∠MBC＝90°，∠C＝60°，∴∠BMC＝30°，∴BC＝12MC，即MC＝2BC.由勾股定理，得MC2＝BC2＋MB2.∵MB＝2 3，∴(2BC)2＝BC2＋12，∴BC＝2.∵AB为⊙O的直径，且AB⊥BC，∴BC为⊙O 的切线．又∵CD也为⊙O的切线，∴CD＝BC＝2.7. 【答案】B[解析] ∵PQ与⊙O相切，∴∠OQP＝90°，∴PQ＝OP2－OQ2＝OP2－22，∴当OP最小时，PQ最小．而OP的最小值是点O到直线l的距离3，∴PQ的最小值为32－22＝ 5.故选B.8. 【答案】B二、填空题9. 【答案】219°[解析]连接AB，∵P A，PB是☉O的切线，∴P A=PB.∵∠P=102°，∴∠P AB=∠PBA=(180°-102°)=39°.∵∠DAB+∠C=180°，∴∠P AD+∠C=∠P AB+∠DAB+∠C=180°+39°=219°.10. 【答案】60°[解析]连接OA ，∵四边形ABOC 是菱形， ∴BA=BO ，∵AB 与☉O 相切于点D ， ∴OD ⊥AB. ∵D 是AB 的中点，∴OD 是AB 的垂直平分线，∴OA=OB ， ∴△AOB 是等边三角形， ∴∠AOD=∠AOB=30°， 同理∠AOE=30°，∴∠DOE=∠AOD +∠AOE=60°， 故答案为60°. 111. 【答案】(1，52)或(－1，32) [解析] ∵⊙M 的圆心在一次函数y ＝12x ＋2的图象上运动，∴设当⊙M 与y 轴相切时圆心M 的坐标为(x ，12x ＋2)．∵⊙M 的半径为1，∴x ＝1或x ＝－1，当x ＝1时，y ＝52，当x ＝－1时，y ＝32.∴点M 的坐标为(1，52)或(－1，32)．12. 【答案】5－533 [解析] ∵∠BAD ＝∠CAE ＝90°，∴∠DAC ＝∠BAE .在△DAC 和△BAE 中，⎩⎨⎧AD ＝AB ，∠DAC ＝∠BAE ，AC ＝AE ，∴△DAC ≌△BAE (SAS)， ∴∠ADC ＝∠ABE ，从而∠PDB ＋∠PBD ＝90°， 即∠DPB ＝90°，从而∠BPC ＝90°， ∴点P 在以BC 为直径的圆上．如图，过点O 作OH ⊥BC 于点H ，连接OB ，OC . ∵△ABC 的外心为O ，∠BAC ＝60°， ∴∠BOC ＝120°.又∵BC ＝10， ∴OH ＝53 3，∴OP 长的最小值是5－533.13. 【答案】50[解析] 连接OC .∵OC ＝OB ，∴∠OCB ＝∠ABC ＝40°. ∵∠BCD ＝50°，∴∠OCD ＝90°， ∴CD 为⊙O 的切线．14.【答案】24【解析】设AB 切⊙O 于点E ，如解图，连接EO 并延长交C D 于点M ，∵C ⊙O ＝26π＝2πr ，∴r ＝13，∵AB ∥CD ，且AB 与CD 之间的距离为18，∴OM ＝18－r ＝5，∵AB 为⊙O 的切线，∴∠CMO＝∠AEO ＝90°，∴在Rt △CMO 中，CM ＝OC 2－OM 2＝12，∴CD ＝2CM ＝24.解图15. 【答案】R＝4.8或6<R≤8[解析] 当⊙C与AB相切时，如图①，过点C作CD⊥AB于点D.根据勾股定理，得AB＝AC2＋BC2＝62＋82＝10.根据三角形的面积公式，得12AB·CD＝12AC·BC，解得CD＝4.8，所以R＝4.8；当⊙C与AB相交时，如图②，此时R大于AC的长，而小于或等于BC的长，即6<R≤8.16. 【答案】0<DO<33或2 33<DO<3[解析] ∵等边三角形ABC的边长为2，D为BC的中点，∴AD⊥BC，BD＝1，AD＝ 3. 分四种情况讨论：(1)如图①所示，当0<DO<33时，⊙O与△ABC的BC边有且只有两个公共点，(2)如图②所示，当DO＝33时，⊙O与△ABC的边有三个公共点；(3)如图③所示，当⊙O经过△ABC的顶点A时，⊙O与△ABC的边有三个公共点，则当33<DO≤2 33时，⊙O与△ABC的边有四个或三个公共点．(4)如图④所示，当2 33<DO<3时，⊙O与△ABC的边有两个公共点．综上，当0<DO<33或2 33<DO<3时，⊙O与△ABC的边只有两个公共点．故答案为0<DO<33或2 33<DO< 3.三、解答题17. 【答案】解：(1)连接OC.∵OA＝OC，∴∠A＝∠OCA，∴∠COD＝∠A＋∠OCA＝2∠A. ∵∠D＝2∠A，∴∠COD＝∠D. ∵PD与⊙O相切于点C，∴OC⊥PD，即∠OCD＝90°，∴∠D＝12×(180°－90°)＝45°.(2)由(1)可知∠COD＝∠D，∴OC＝CD＝2. 由勾股定理，得OD＝22＋22＝2 2，∴BD＝OD－OB＝2 2－2.18. 【答案】解：(1)证明：连接OC，如图所示．∵AB是⊙O的直径，∴∠ACB＝90°.∵CD平分∠ACB，∴∠ACD＝∠BCD＝45°.∵PC＝PE，∴∠PCE＝∠PEC.∵∠PEC＝∠EAC＋∠ACE＝∠EAC＋45°，而∠EAC＝90°－∠ABC，∠ABC＝∠OCB，∴∠PCE＝90°－∠OCB＋45°＝90°－(∠OCE＋45°)＋45°，∴∠OCE＋∠PCE＝90°，即∠PCO＝90°，∴OC⊥PC，∴PC为⊙O的切线．(2)连接BD，如图所示．在Rt△ACB中，AB＝10 cm，BC＝6 cm，∴AC＝AB2－BC2＝102－62＝8(cm)．∵∠ACD＝∠BCD＝45°，∴∠DAB＝∠DBA＝45°，∴△ADB为等腰直角三角形，∴AD＝22AB＝5 2(cm)．19. 【答案】解：(1)如图①，连接OA，OB，∵P A，PB是⊙O的切线，∴∠OAP＝∠OBP＝90°，∴∠AOB＝360°－90°－90°－80°＝100°.由圆周角定理，得∠ACB＝12∠AOB＝50°.(2)如图②，连接CE.∵AE为⊙O的直径，∴∠ACE＝90°.∵∠ACB＝50°，∴∠BCE＝90°－50°＝40°，∴∠BAE＝∠BCE＝40°.∵AB＝AD，∴∠ABD＝∠ADB＝70°，∴∠EAC＝∠ADB－∠ACB＝20°.20. 【答案】解：(1)m＜－8或m＞8(2)m＝－8或m＝8(3)－8＜m＜－2或2＜m＜8(4)当m＝－2或m＝2时，⊙O上有且只有三个点到直线MN的距离等于3；当－2＜m＜2时，⊙O上有且只有四个点到直线MN的距离等于3.21. 【答案】解：(1)证明：连接OC.∵OA＝OC，∴∠OAC＝∠OCA.∵CD切⊙O于点C，∴CD⊥OC.又∵CD⊥P A，∴OC∥P A，∴∠P AC＝∠OCA，∴∠OAC＝∠P AC，即AC平分∠DAB.(2)AC还平分∠DAB.理由：连接OC.∵CD切⊙O于点C，∴CD⊥OC.又∵AD⊥CD，∴OC∥AD，∴∠OCA＝∠DAC.又∵OA＝OC，∴∠OAC＝∠OCA，∴∠DAC＝∠OAC，即AC平分∠DAB.。
人教版数学九年级上册同步课时训练第二十四章 圆24.2.1 点和圆的位置关系(包含答案)
人教版数学九年级上册同步课时训练第二十四章圆24.2点和圆、直线和圆的位置关系24.2.1点和圆的位置关系一、选择题1. 若⊙O的半径为r，点P到圆心O的距离d不大于r，则点P()A. 在⊙O内B. 在⊙O外C. 不在⊙O内D. 不在⊙O外2. 已知矩形ABCD的边AB＝15，BC＝20，以点B为圆心作圆，使A，C，D三点至少有一点在⊙B内，且至少有一点在⊙B外，则⊙B的半径r的取值范围是()A. r≥15B. 15＜r≤20C. 15＜r＜25D. 20≤r＜253. 下列说法不正确的是()A. 经过一点的圆有无数个B. 经过两点的圆有无数个C. 经过不在同一条直线上的三个点可确定一个圆D. 过四点一定能作一个圆4. 如图，点A，B，C在同一条直线上，点D在直线AB外，过这四点中的任意3个点，能画圆的个数是()A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个5. 下列说法中，正确的是()A. 三点确定一个圆B. 圆有且只有一个内接三角形C. 三角形的外心到三角形三边的距离相等D. 三角形有且只有一个外接圆6. 下列四边形的四个顶点，一定可在同一个圆上的是()A. 平行四边形B. 矩形C. 菱形D. 梯形7. 用反证法证明命题“在直角三角形中，至少有一个锐角不大于45°”时，应选假设()A. 有一个锐角小于45°B. 每一个锐角都小于45°C. 有一个锐角大于45°D. 每一个锐角都大于45°8. 小明不慎把家里的圆形玻璃打碎了，其中四块碎片如图所示，为配到与原来大小一样的圆形玻璃，小明带到商店去的一块玻璃碎片应该是()A. 第①块B. 第②块C. 第③块D. 第④块第8题第9题9. 如图，点P是等边三角形ABC外接圆⊙O上的点.在以下判断中，不正确的是()A. 当弦PB最长时，△APC是等腰三角形B. 当△APC是等腰三角形时，PO⊥ACC. 当PO⊥AC时，∠ACP＝30°D. 当∠ACP＝30°时，△BPC是直角三角形10. 如图所示，⊙O是△ABC的外接圆，∠B＝60°，OP⊥AC于点P，OP＝23，则⊙O的半径为()A. 43B. 63C. 9D. 1211. 已知⊙O的半径r＝5，圆心O到直线l的距离OA＝3，点B，C，D在直线l上，且AB＝2，AC＝4，AD＝5，则点B在⊙O，点C在⊙O，点D在⊙O.12. AB，CD是⊙O的两条互相垂直的直径，点P为直线AB所在直线上一点，且∠CPO＝60°，则点P在⊙O的(填“内部”“外部”或“圆上”).13. 如图，⊙O是△ABC的外接圆，直径AD＝4，∠ABC＝∠DAC，则AC长为.第13题第14题14. 如图是一把T字形木工尺，已知AD垂直平分BC，AD＝BC＝40cm，则过A，B，C三点的圆的半径是cm.15. 已知直角三角形的两条直角边的长分别为6cm和8cm，那么这个直角三角形的外接圆半径为，外接圆面积为.16. 已知点A，B，经过点A，B作圆，则半径为5cm的圆有.17. 已知⊙O的半径为1，点P与O的距离为d，若关于x的方程x2－2x＋d＝0有两个相等实根，则点P在.18. 求证：如果两条直线都和第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行.19. 用反证法证明：等腰三角形的底角必定是锐角.20. 小明家的房前有一块矩形的空地，空地上有三棵树A，B，C，小明想建一个圆形花坛，使三棵树都在花坛的边上.(1)请你帮小明把花坛的位置画出来(尺规作图，不写作法，保留作图痕迹)；(2)若△ABC中AB＝8m，AC＝6m，∠BAC＝90°，试求小明家圆形花坛的面积.21. 如图，已知等腰三角形ABC中，AB＝AC＝5cm，BC＝6cm，O是外心，则△ABC的外接圆的面积是多少？答案1. D2. C3. D4. C5. D6. B7. D8. B9. C 10. A11. 内 上 外12. 内部13. 214. 2515. 5cm 25πcm 216. 当AB ＞10cm 时，不能作圆；当AB ＝10cm 时，只能作1个圆；当0＜AB ＜10cm 时，能作2个圆17. 圆上18. 解：已知：如图所示，直线AB ∥EF ，CD ∥EF .求证：AB ∥CD .证明：假设AB 与CD 不平行，则直线AB 与CD 相交，设它们的交点为P ，于是经过点P 就有两条直线(AB ，CD )都和直线EF 平行，这就与经过直线外一点有且只有一条直线和已知直线平行相矛盾，∴假设不能成立，故AB ∥CD .19. 解：已知：在△ABC 中，AB ＝AC .求证：∠B ，∠C 必定是锐角.证明：在△ABC 中，∵AB ＝AC ，∴∠B ＝∠C .假设∠B 不是锐角，则∠B 是直角或钝角.(1)若∠B 是直角，即∠B ＝90°，则∠C ＝90°，故∠A ＋∠B ＋∠C ＞180°.这与三角形的内角和定理矛盾，所以∠B 不是直角.(2)若∠B 是钝角，即∠B ＞90°，则∠C ＞90°，故∠A ＋∠B ＋∠C ＞180°.这与三角形的内角和定理矛盾，所以∠B 不是钝角.∴综上所述，∠B 既不是直角也不是钝角，即∠B ，∠C 必定是锐角.所以等腰三角形的底角必定是锐角.20. 解：(1)用尺规作出三角形两边的垂直平分线，交于O 点，以O 为圆心，OA 长为半径作出圆O ，⊙O 即为所求的花坛的位置.(图略)(2)∵∠BAC ＝90°，AB ＝8m ，AC ＝6m ，∴BC ＝10m.∴△ABC 外接圆的半径为5m.∴小明家圆形花坛的面积为25πm 2.21. 解：连接AO 并延长，延长线交BC 于点M ，连接BO ，CO .又∵⊙O 是△ABC 的外接圆，∴AO ＝OB ＝OC ，则有BO ＝OC ，AO ＝AO ，又∵AB ＝AC .∴△BAO ≌△CAO .∴∠BAO ＝∠CAO ，∴AM 是△BAC 的角平分线.又∵AB ＝AC ，∴AM ⊥BC ，BM ＝MC .又∵BM ＝3cm ，AB ＝5cm ，∴AM ＝4cm ，设圆的半径为x cm ，△BOM 中，OM 2＋BM 2＝OB 2，∴(4－x )2＋9＝x 2，∴x ＝825.∴S ＝π·(825)2＝64625π(cm 2).。
人教版九年级数学上册《24.2.2直线和圆的位置关系》同步练习题(含答案)
人教版九年级数学上册《24.2.2直线和圆的位置关系》同步练习题(含答案)姓名班级学号成绩一、选择题：（本题共8小题，每小题5分，共40分．）1．在平面直角坐标系中，以点（2，1）为圆心，1为半径的圆必定（）A．与x轴相切、与y轴相离B．与x轴、y轴都相离C．与x轴相离、与y轴相切D．与x轴、y轴都相切2．若∠OAB=30°，OA=10cm，则以O为圆心，6cm为半径的圆与直线AB的位置关系是( )A．相交B．相切C．相离D．不能确定3．已知中，AC=3、BC=4．以C为圆心作，如果圆C与斜边有两个公共点，那么圆C的半径长R的取值范围是（）A．B．C．D．．4．如图，AB、AC、BD是的切线，切点分别是P、C、D若AB=10，AC=6，则的长是（）A．B．C．D．5．如图，过上一点作的切线，交直径的延长线于点，连接．若，则的度数为（）A．B．C．D．6．如图，PA、PB是⊙O的切线，A、B是切点，点C是劣弧AB上的一个动点，若∠P=40°，则∠ACB的度数是（）A．80°B．110°C．120°D．140°7．如图，PA、PB是⊙O的切线，A、B是切点，点C在⊙O上，且，则等于（）A．B．C．D．8．如图，点是的内心，的延长线和的外接圆相交于点，连接BD，BE，CE，若，则的大小为（）A．B．C．D．二、填空题：（本题共5小题，每小题3分，共15分．）9．正三角形的内切圆半径、外接圆半径和高的比为.10．如图，在平面直角坐标系xOy中，半径为2的⊙P的圆心P的坐标为（﹣3，0），将⊙P沿x轴正方向以0.5个单位/秒的速度平移，使⊙P与y轴相切，则平移的时间为秒．11．已知⊙O的半径为5，AB是⊙O的直径，D是AB延长线上一点，DC是⊙O的切线，C是切点，连接AC，若∠CAB=30°，则BD的长为．12．如图，已知⊙O的半径为m，点C在直径AB延长线上，BC=m.在过点C的任一直线l上总存在点P，使过P的⊙O的两切线互相垂直，则∠ACP的最大值等于.13．如图，已知AB为⊙O的直径，AB=2，AD和BE是圆O的两条切线，A、B为切点，过圆上一点C作⊙O的切线CF，分别交AD、BE于点M、N，连接AC、CB，若∠ABC=30°，则AM= ．三、解答题：（本题共5题，共45分）14．ΔABC为等腰三角形，O为底边BC的中点，腰AB与O相切于点D．求证：AC是O的切线．15．如图，I是△ABC的内心，AI的延长线交△ABC的外接圆于点D.DB与DI相等吗？为什么？16．如图，PA、PB是⊙O的切线，A、B为切点，AC是⊙O的直径，∠P=50°，求∠BAC的度数．17．如图，为外一点，AP，是的切线，A，为切点，点在上，连接OA，OC，AC．（1）求证：；（2）连接，若，的半径为5，AC=6，求的长．18．如图，是的外接圆，过点A作交于点D，连接，延长到点E，连接，∠D=∠E．（1）求证：是的切线；（2）若CE=8，AE=5，求半径的长．参考答案：1．【答案】A 2．【答案】A 3．【答案】C 4．【答案】B 5．【答案】B 6．【答案】B 7．【答案】C 8．【答案】C9．【答案】1：2：310．【答案】2或1011．【答案】512．【答案】45°13．【答案】14．【答案】证明：过点O作OE⊥AC于点E，连结OD，OA∵AB与O相切于点D∴AB⊥OD∵△ABC为等腰三角形，O是底边BC的中点∴AO是∠BAC的平分线∴OE=OD，即OE是O的半径∵AC经过O的半径OE的外端点且垂直于OE∴AC是O的切线。
人教版数学九年级上册 24.2---24.4练习题含答案
24.2点和圆、直线和圆的位置关系一．选择题1．如图，AB是⊙O的弦，AO的延长线交过点B的⊙O的切线于点C，如果∠ABO＝30°，则∠C的度数是（）A．70°B．45°C．30°D．20°2．等边△ABC的三个顶点都在⊙O上，点P是圆上不与A、B、C重合的点，∠BPC的度数是（）A．60°B．120°C．60°或120°D．无法确定3．在用反证法证明“三角形的最大内角不小于60°”时，假设三角形的最大内角不小于60°不成立，则有三角形的最大内角（）A．小于60°B．等于60°C．大于60°D．大于或等于60°4．如图，AB，AC，BD是⊙O的切线，切点分别是P，C，D．若AC＝5，BD＝3，则AB 的长是（）A．2B．4C．6D．85．如图，P A，PB分别与⊙O相切于点A，B、过圆上点C作⊙O的切线EF分别交P A，PB 于点E，F，若P A＝4，则△PEF的周长是（）A．4B．8C．10D．126．如图，点A，B，D在⊙O上，∠A＝15°，BC是⊙O的切线，点B为切点，OD的延长线交BC于点C，若BC的长为2，则DC的长是（）A．1B．4﹣2C．2D．4﹣47．如图，已知Rt△ABC中，∠ACB＝90°，E为AB上一点，以AE为直径作⊙O与BC相切于点D，连接ED并延长交AC的延长线于点F，若AE＝5，AC＝4，则BE的长为（）A．B．C．D．8．如图，△ABC中，BC＝4，⊙P与△ABC的边或边的延长线相切．若⊙P半径为2，△ABC的面积为5，则△ABC的周长为（）A．8B．10C．13D．149．如图，⊙O的直径AB＝8cm，AM和BN是它的两条切线，切点分别为A、B，DE切⊙O 于E，交AM于D，交BN于C．设AD＝x，BC＝y，则y与x的函数图象是（）A．xy＝16B．y＝2x C．y＝2x2D．xy＝810．如图，AB是⊙O的直径，点C在⊙O上，过点C的切线与AB的延长线交于点P，连接AC，过点O作OD⊥AC交⊙O于点D，连接CD，若∠P＝30°，AP＝12，则CD的长为（）A．2B．3C．2D．4二．填空题11．如图，在平面直角坐标系xoy中，A（8，0），⊙O半径为3，B为⊙O上任意一点，P 是AB的中点，则OP的最小值是．12．为了测量一个光盘的半径，小周同学把直尺、光盘和三角板按图所示放置于桌面上，并测量出AB＝3cm，这张光盘的半径是．13．如图是一块△ABC余料，已知AB＝20cm，BC＝7cm，AC＝15cm，现将余料裁剪成一个圆形材料，则该圆的最大面积是．14．如图，Rt△OAB中，∠OAB＝90°，OA＝8cm，AB＝6cm，以O为圆心，4cm为半径作⊙O，点C为⊙O上一个动点，连接BC，D是BC的中点，连接AD，则线段AD的最大值是cm．15．如图，在直角坐标系中，一直线l经过点M（，1）与x轴、y轴分别交于A、B两点，且MA＝MB，可求得△ABO的内切圆⊙O1的半径r1＝﹣1；若⊙O2与⊙O1、l、y 轴分别相切，⊙O3与⊙O2、l、y轴分别相切，…，按此规律，则⊙O2014的半径r2014＝．三．解答题16．如图，BC是半⊙O的直径，A是⊙O上一点，过点A的切线交CB的延长线于点P，过点B的切线交CA的延长线于点E，AP与BE相交于点F．（1）求证：BF＝EF；（2）若AF＝，半⊙O的半径为2，求P A的长度．17．如图，以Rt△ABC的直角边AB为直径的⊙O交斜边AC于点D，过点D作⊙O的切线与BC交于点E，弦DM与AB垂直，垂足为H．（1）求证：E为BC的中点；（2）若⊙O的面积为12π，两个三角形△AHD和△BMH的外接圆面积之比为3，求△DEC的内切圆面积S1和四边形OBED的外接圆面积S2的比．18．在平面内，给定不在同一条直线上的点A，B，C，如图所示，点O到点A，B，C的距离均等于a（a为常数），到点O的距离等于a的所有点组成图形G，∠ABC的平分线交图形G于点D，连接AD，CD．（1）求证：AD＝CD；（2）过点D作DE⊥BA，垂足为E，作DF⊥BC，垂足为F，延长DF交图形G于点M，连接CM．若AD＝CM，求直线DE与图形G的公共点个数．19．已知AB是⊙O的直径，C，D是⊙O上AB同侧的两点，∠BAC＝25°（Ⅰ）如图①，若OD⊥AB，求∠ABC和∠ODC的大小；（Ⅱ）如图②，过点C作⊙O的切线，交AB延长线于点E，若OD∥EC，求∠ACD的大小．参考答案与试题解析一．选择题1．【解答】解：∵BC是⊙O的切线，OB是⊙O的半径，∴∠OBC＝90°，∵OA＝OB，∴∠A＝∠ABO＝30°，∴∠BOC＝60°，∴∠C＝30°．故选：C．2．【解答】解：如图，∵△ABC为等边三角形，∴∠A＝60°，∴∠BPC＝∠A＝60°，∵∠A+∠P′＝180°，∴∠P′＝180°﹣60°＝120°，∴当P点在上时，∠BPC＝120°．故选：C．3．【解答】解：在用反证法证明“三角形的最大内角不小于60°”时，假设三角形的最大内角不小于60°不成立，则有三角形的最大内角小于60°．故选：A．4．【解答】解：∵AB，AC，BD是⊙O的切线，切点分别是P，C，D．∴AP＝AC，BD＝BP，∴AB＝AP+BP＝AC+BD，∵AC＝5，BD＝3，∴AB＝5+3＝8．故选：D．5．【解答】解：∵P A、PB分别与⊙O相切于点A、B，⊙O的切线EF分别交P A、PB于点E、F，切点C在弧AB上，∴AE＝CE，FB＝CF，P A＝PB＝4，∴△PEF的周长＝PE+EF+PF＝P A+PB＝8．故选：B．6．【解答】解：∵BC是⊙O的切线，点B为切点，∴OB⊥BC，∵∠A＝15°，∴∠BOC＝2∠A＝30°，∵BC＝2，∴OC＝2BC＝4，OB＝OD＝2，∴DC＝OC﹣OD＝4﹣2．故选：B．7．【解答】解：连接OD，如图，∵⊙O与BC相切于点D，∴OD⊥BC，∵∠ACB＝90°，∴OD∥AC，∴△BOD∽△BAC，∴＝，即＝，∴BE ＝．故选：B ．8．【解答】解：连接PE 、PF 、PG ，AP ，由题意可知：∠PEC ＝∠PF A ＝PGA ＝90°，∴S △PBC ＝BCPE ＝×4×2＝4，∴由切线长定理可知：S △PFC +S △PBG ＝S △PBC ＝4，∴S 四边形AFPG ＝S △ABC +S △PFC +S △PBG +S △PBC ＝5+4+4＝13，∴由切线长定理可知：S △APG ＝S 四边形AFPG ＝， ∴＝×AGPG ，∴AG ＝， 由切线长定理可知：CE ＝CF ，BE ＝BG ，∴△ABC 的周长为AC +AB +CE +BE＝AC +AB +CF +BG＝AF +AG＝2AG＝13，故选：C ．9．【解答】解：作DF ⊥BN 交BC 于F ，∵AM和BN是⊙O的两条切线，∴AB⊥AD，AB⊥BC，又∵DF⊥BN，∴∠BAD＝∠ABC＝∠BFD＝90°，∴四边形ABFD是矩形，∴BF＝AD＝x，DF＝AB＝8，∵BC＝y，∴FC＝BC﹣BF＝y﹣x；∵AM和BN是⊙O的两条切线，DE切⊙O于E，∴DE＝DA＝x，CE＝CB＝y，则DC＝DE+CE＝x+y，在Rt△DFC中，DC2＝DF2+CF2，∴（x+y）2＝64+（x﹣y）2，∴xy＝16故选：A．10．【解答】解：∵PC为切线，∴OC⊥PC，∴∠PCO＝90°，∵∠P＝30°，∴OP＝2OC，∠POC＝90°﹣∠P＝60°，∵AP＝12，即OA+OP＝12，∴3OC＝12，解得OC＝4，∴∠AOC＝120°，∵OD⊥AC，∴＝，∴∠AOD＝∠COD＝60°，而OD＝OC，∴△OCD为等边三角形，∴CD＝OC＝4．故选：D．二．填空题（共5小题）11．【解答】解：根据题意，当P在⊙O内，且OP+P A＝OA时，OP有最小值，如图，∵A（8，0），⊙O半径为3，∴OA＝8，OB＝3，∴AB＝8+3＝11，∵P是AB的中点，∴AP＝5，5，∴OP＝OA﹣AP＝8﹣5.5＝2.5，∴OP的最小值是2.5，故答案为2.5．12．【解答】解：作OB⊥AB，连接OA，∵∠CAD＝60°，∴∠CAB＝120°，∵AB和AC与⊙O相切，∴∠OAB＝∠OAC，∴∠OAB＝∠CAB＝60°∵AB＝3cm，∴OA＝6cm，∴由勾股定理得OB＝3cm，∴光盘的半径是3cm．故答案为：3cm．13．【解答】解：如图1所示，S＝r（AB+BC+AC）＝r×42＝21r，△ABC过点A作AD⊥BC交BC的延长线于点D，如图2，设CD＝x，由勾股定理得：在Rt△ABD中，AD2＝AB2﹣BD2＝400﹣（7+x）2，在Rt△ACD中，AD2＝AC2﹣x2＝225﹣x2，∴400﹣（7+x）2＝225﹣x2，解得：x＝9，∴AD＝12，＝BC×AD＝×7×12＝42，∴S△ABC∴21r＝42，∴r＝2，该圆的最大面积为：S＝πr2＝π22＝4π（cm2），故答案为：4πcm2．14．【解答】解：由题意知OB＝10连接OC ，作直角△ABO 斜边中线OE ，连接ED ，则DE ＝OC ＝2，AE ＝OB ＝5． 因为AD ＜DE +AE ，所以当DE 、AE 共线时AD ＝AE +DE 最大为7cm ．故答案为：7．15．【解答】解：连接OO 1、AO 1、BO 1，作O 1 D ⊥OB 于D ，O 1 E ⊥AB 于E ，O 1 F ⊥OA 于F ，如图所示：则O 1 D ＝O 1 E ＝O 1 F ＝r 1，∵M 是AB 的中点，∴B （0，2），A （2，0），则S △OO 1B ＝×OB ×r 1＝r 1，S △AO 1O ＝×AO ×r 1＝r 1S △AO 1B ＝×AB ×r 1＝××r 1＝2r 1S △AOB ＝×2×2＝2；∵S △AOB ＝S △OO 1B +S △AO 1O +S △AO 1B ＝（3+）r 1＝2， ∴r 1＝＝﹣1；同理得：r 2＝，r 3＝…∴r n ＝，依此类推可得：⊙O 2014的半径r 2014＝；故答案为：．三．解答题（共4小题）16．【解答】（1）证明：连接OA，∵AF、BF为半⊙O的切线，∴AF＝BF，∠F AO＝∠EBC＝90°，∴∠E+∠C＝∠EAF+∠OAC＝90°，∵OA＝OC，∴∠C＝∠OAC，∴∠E＝∠EAF，∴AF＝EF，∴BF＝EF；（2）解：连接AB，∵AF、BF为半⊙O的切线，∴∠OAP＝∠OBE＝90°，且BF＝AF＝1.5，又∵tan∠P＝，即，∴PB＝，∵∠P AE+∠OAC＝∠AEB+∠OCA＝90°，且∠OAC＝∠OCA，∴∠P AE＝∠AEB，∠P＝∠P，∴△APB∽△CP A，∴，即P A2＝PBPC，∴，解得P A＝．17．【解答】解：（1）连接BD、OE，∵AB是直径，则∠ADB＝90°＝∠ADO+∠ODB，∵DE是切线，∴∠ODE＝90°＝∠EDB+∠BDO，∴∠EDB＝∠ADO＝∠CAB，∵∠ABC＝90°，即BC是圆的切线，∴∠DBC＝∠CAB，∴∠EDB＝∠EBD，而∠BDC＝90°，∴E为BC的中点；（2）△AHD和△BMH的外接圆面积之比为3，则两个三角形的外接圆的直径分别为AD、BM，∴AD：BM＝，而△ADH∽△MBH，∴DH：BH＝，则DH＝HM，∴HM：BH＝，∴∠BMH＝30°＝∠BAC，∴∠C＝60°，DE是直角三角形的中线，∴DE＝CE，∴△DEC为等边三角形，⊙O的面积：12π＝（AB）2π，则AB＝4，∠CAB＝30°，∴BD＝2，BC＝4，AC＝8，而OE＝AC＝4，四边形OBED的外接圆面积S2＝π（2）2＝4π，等边三角形△DEC边长为2，则其内切圆的半径为：，面积为，故△DEC的内切圆面积S1和四边形OBED的外接圆面积S2的比为：．18．【解答】（1）证明：∵到点O的距离等于a的所有点组成图形G，∴图形G为△ABC的外接圆⊙O，∵BD平分∠ABC，∴∠ABD＝∠CBD，∴＝，∴AD＝CD；（2）如图，∵AD＝CM，AD＝CD，∴CD＝CM，∵DM⊥BC，∴BC垂直平分DM，∴BC为直径，∴∠BAC＝90°，∵＝，∴OD⊥AC，∴OD∥AB，∵DE⊥AB，∴OD⊥DE，∴DE为⊙O的切线，∴直线DE与图形G的公共点个数为1．19．【解答】解：（Ⅰ）连接OC，∵AB是⊙O的直径，∴∠ACB＝90°，∵∠BAC＝25°，∴∠ABC＝65°，∵OD⊥AB，∴∠AOD＝90°，∴∠ACD＝∠AOD＝＝45°，∵OA＝OC，∴∠OAC＝∠OCA＝25°，∴∠OCD＝∠OCA+∠ACD＝70°，∵OD＝OC，∴∠ODC＝∠OCD＝70°；（Ⅱ）连接OC，∵EC是⊙O的切线，∴OC⊥EC，∴∠OCE＝90°，∵∠BAC＝25°，∴∠COE＝2∠BAC＝50°，∴∠OEC＝4024.3正多边形和圆一．选择题1．半径为R的圆内接正六边形边长为（）A．R B．R C．R D．2R2．如图，工人师傅用扳手拧形状为正六边形的螺帽，现测得扳手的开口宽度b＝3cm，则螺帽边长a等于（）A．cm B．2cm C．2cm D．cm3．如图，AD，BE，CF是正六边形ABCDEF的对角线，图中平行四边形的个数有（）A．2个B．4个C．6个D．8个4．正六边形具备而菱形不具备的性质是（）A．对角线互相平分B．对角线互相垂直C．对角线相等D．每条对角线平分一组对边5．如图，在正五边形ABCDE中，对角线AD，AC与EB分别交于点M，N，则下列结论正确的是（）A．EM：AE＝2：B．MN：EM＝：C．AM：MN＝：D．MN：DC＝：26．如图，用若干个全等的正五边形可以拼成一个环状，图中所示的是前3个正五边形的拼接情况，要完全拼成一个圆环还需要的正五边形个数是（）A．5B．6C．7D．87．正六边形的边心距为，这个正六边形的面积为（）A．B．C．D．128．第六届世界数学团体锦标赛于2015年11月25日至11月29日在北京举行，其会徽如图所示，它的内围与外围分别是由七个与四边形ABCD全等的四边形和七个与四边形BEFC 全等的四边形依次环绕而成的正七边形．设AD＝a，AB＝b，CF＝c，EF＝d，则该会徽内外两个正七边形的周长之和为（）A．7（a+b+c﹣d）B．7（a+b﹣c+d）C．7（a﹣b+c+d）D．7（b+c+d﹣a）9．用一枚直径为25mm的硬币完全覆盖一个正六边形，则这个正六边形的最大边长是（）A．mm B．mm C．mm D．mm 10．如图，在⊙O中，OA＝AB，OC⊥AB，则下列结论错误的是（）A．△OAB是等边三角形B．弦AC的长等于圆内接正十二边形的边长C．OC平分弦ABD．∠BAC＝30°二．填空题11．如图，⊙O的半径为1，作两条互相垂直的直径AB、CD，弦AC是⊙O的内接正四边形的一条边．若以A为圆心，以1为半径画弧，交⊙O于点E，F，连接AE、CE，弦EC 是该圆内接正n边形的一边，则该正n边形的面积为．12．如图，圆O的周长是1cm，正五边形ABCDE的边长是4cm，圆O从A点出发，沿A →B→C→D→E→A顺时针在正五边形的边上滚动，当回到出发点时，则圆O共滚动了周．13．如图，⊙O的半径为，以⊙O的内接正八边形的一边向⊙O内作正方形ABCD，则正方形ABCD的面积为．14．如图，A，B，C是⊙O上顺次三点，若AC，AB，BC分别是⊙O内接正三角形，正方形，正n边形的一边，则n＝．15．如图，在平面直角坐标系中，正六边形OABCDE边长是6，则它的外接圆心P的坐标是．三．解答题16．已知正方形的面积为2平方厘米，求它的半径长、边心距和边长．17．如图，已知P为正方形ABCD的外接圆的劣弧上任意一点，求证：为定值．18．如图，正六边形ABCDEF内接于⊙O，⊙O的半径为10；求图中阴影部分的面积．19．如图，正方形ABCD内接于⊙O，M为的中点，连接BM，CM．（1）求证：BM＝CM；（2）求∠BOM的度数．参考答案与试题解析一．选择题1．【解答】解：如图，ABCDEF是⊙O的内接正六边形，连接OA，OB，则三角形AOB是等边三角形，所以AB＝OA＝R．故选：B．2．【解答】解：如图，连接AC，过点B作BD⊥AC于D，由正六边形，得∠ABC＝120°，AB＝BC＝a，∴∠BCD＝∠BAC＝30°，由AC＝3，得CD＝1.5，Rt△ABD中，∵∠BAD＝30°，∴AB＝2BD＝a，∴AD＝＝a，即a＝1.5，∴a＝（cm），故选：A．3．【解答】解：如图，∵AD，BE，CF是正六边形ABCDEF的对角线，∴OA＝OE＝AF＝EF，∴四边形AOEF是平行四边形，同理：四边形DEFO，四边形ABCO，四边形BCDO，四边形CDEO，四边形F ABOD都是平行四边形，共6个，故选：C．4．【解答】解：A、正六边形和菱形均具有，故不正确；B、正六边形和菱形均具有，故不正确；C、正六边形具有，而菱形不具有，故正确；D、正六边形和菱形均具有，故不正确；故选：C．5．【解答】证明：∵五边形ABCDE是正五边形，∴DE＝AE＝AB，∠AED＝∠EAB＝108°，∴∠ADE＝∠AEM＝36°，∴△AME∽△AED，∴，∴AE2＝ADAM，∵AE＝DE＝DM，∴DM2＝ADAM，设AE＝DE＝DM＝2，∴22＝AM（AM+2），∴AM＝﹣1，（负值设去），∴EM＝BN＝AM＝﹣1，AD＝+1，∵BE＝AD，∴MN＝BE﹣ME﹣BN＝3﹣，∴MN：CD＝：2，故选：D．6．【解答】解：如图，圆心角为∠1，∵五边形的内角和为：（5﹣2）×180°＝3×180°＝540°，∴五边形的每一个内角为：540°÷5＝108°，∴∠1＝108°×2﹣180°＝216°﹣180°＝36°，∵360°÷36°＝10，∵360°÷36°＝10，∴他要完成这一圆环共需10个全等的五边形．∴要完全拼成一个圆环还需要的正五边形个数是：10﹣3＝7．故选：C．7．【解答】解：如图，连接OA、OB；过点O作OG⊥AB于点G．在Rt△AOG中，OG＝，∠AOG＝30°，∵OG＝OA cos 30°，∴OA＝＝＝2，∴这个正六边形的面积＝6S＝6××2×＝6．△OAB故选：C．8．【解答】解：如图，∵它的内围与外围分别是由七个与四边形ABCD全等的四边形和七个与四边形BEFC全等的四边形依次环绕而成的正七边形，∴AM＝BM﹣AB＝AD﹣AB＝a﹣b，FN＝EF+EN＝EF+CF＝c+d，∴内外两个正七边形的周长之和为7（a﹣b）+7（c+d）＝7（a﹣b+c+d），故选：C．9．【解答】解：根据题意得：圆内接半径r为mm，如图所示：则OB＝，∴BD＝OB sin30°＝×＝（mm），则BC＝2×＝（cm），完全覆盖住的正六边形的边长最大为mm．故选：A．10．【解答】解：∵OA＝AB＝OB，∴△OAB是等边三角形，选项A正确，∴∠AOB＝60°，∵OC⊥AB，∴∠AOC＝∠BOC＝30°，AC＝BC，弧AC＝弧BC，∴＝12，∠BAC＝∠BOC＝15°，∴选项B、C正确，选项D错误，故选：D．二．填空题（共5小题）11．【解答】解：如图，连接OE，根据题意可知：AB⊥CD，AE＝AO＝EO，∴∠AOC＝90°，∠AOE＝60°，∴∠EOC＝30°，∴EC是该圆内接正12边形的一边，∵△COE是顶角为30度的等腰三角形，作EG⊥OC于点G，∴EG＝OE＝，＝12×OCEG＝12×1×＝3．∴正12边形的面积为：12S△COE故答案为：3．12．【解答】解：圆O从A点出发，沿A→B→C→D→E→A顺时针在正五边形的边上滚动，∵圆O的周长是1cm，正五边形ABCDE的边长是4cm，∴圆在边上转了4×5＝20圈，而圆从一边转到另一边时，圆心绕五边形的一个顶点旋转了五边形的一个外角的度数，∴圆绕五个顶点共旋转了360°，即它转了一圈，∴圆回到原出发位置时，共转了21圈．故答案为：21．13．【解答】解：连接OA、OD，过A作AE⊥OD于E，如图所示：则∠AEO＝∠AED＝90°，∵∠AOD是正八边形的中心角，∴∠AOD＝＝45°，∴△AOE是等腰直角三角形，∴AE＝OE＝OA＝1，∴DE＝OD﹣OE＝﹣1，∴AD2＝AE2+DE2＝1+（﹣1）2＝4﹣2，∴正方形ABCD的面积＝AD2＝4﹣2，故答案为：4﹣2．14．【解答】解：如图，连接OA，OC，OB．∵若AC、AB分别是⊙O内接正三角形、正方形的一边，∴∠AOC＝120°，∠AOB＝90°，∴∠BOC＝∠AOC﹣∠AOB＝30°，由题意得30°＝，∴n＝12，故答案为：12．15．【解答】解：连接P A，P A，∵正六边形OABCDE的外接圆心是P，∴∠OP A＝＝60°，PO＝P A，∴△POA是等边三角形，∴PO＝P A＝OA＝6，过P作PH⊥OA于H，则∠OPH＝∠OP A＝30°，OH＝OA＝3，∴PH＝＝＝3，∴P的坐标是（3，3），故答案为：（3，3）．三．解答题（共4小题）16．【解答】解：∵正方形的面积为2，∴正方形的边长为AB＝，边心距OC＝AB＝，对角线长为2，∴半径为1，∴正方形的半径为1，边心距为，边长为．17．【解答】解：延长P A到E，使AE＝PC，连接BE，∵∠BAE+∠BAP＝180°，∠BAP+∠PCB＝180°，∴∠BAE＝∠PCB，∵四边形ABCD是正方形，∴AB＝BC，∠ABC＝90°，在△ABE和△CBP中，，∴△ABE≌△CBP（SAS），∴∠ABE＝∠CBP，BE＝BP，∴∠ABE+∠ABP＝∠ABP+∠CBP＝90°，∴△BEP是等腰直角三角形，∴P A+PC＝PE＝PB．即：＝，∴为定值．18．【解答】解：连接CO、DO，∴S阴影部分＝6（S扇形OCD﹣S正三角形OCD）＝6（﹣25）＝100π﹣150．19．【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是正方形，∴AB＝CD，∴＝，∵M为的中点，∴＝，∴＝，∴BM＝CM；（2）解：连接OA、OB、OM，∵四边形ABCD是正方形，∴∠AOB＝90°，∵M为的中点，∴∠AOM＝45°，∴∠BOM＝∠AOB+∠AOM＝135°．24.4弧长和扇形面积一．选择题1．圆锥的母线长为9，底面圆的直径为8，则圆锥的侧面积为（）A．18πB．36πC．54πD．72π2．钟表的轴心到分针针端的长为5cm，那么经过40分钟，分针针端转过长度（）cm A．πB．πC．πD．π3．一个圆锥的侧面积是6π，母线长为3，则此圆锥的底面半径为（）A．πB．2C．3D．44．已知扇形的圆心角为120°，半径为5cm，则此扇形的弧长为（）A．πcm B．πcm C．πcm D．πcm5．一个扇形的圆心角为120°，半径为，则这个扇形的面积是（）A．B．4πC．2πD．π6．如图所示，分别以n边形的顶点为圆心，以2cm为半径画圆，则图中阴影部分的面积之和为（）A．πcm2B．2πcm2C．4πcm2D．nπcm27．如图是某商品的标志图案，AC与BD是⊙O的两条直径，首尾顺次连接点A，B，C，D，得到四边形ABCD，若AC＝10，∠BAC＝30°，则图中阴影部分的面积为（）A．5πB．7.5πC．D．π8．如图，正方形ABCD中，分别以B、D为圆心，以正方形的边长2为半径画弧，形成树叶形（阴影）图案，则树叶形图案的面积为（）A．B．π﹣2C．2π﹣2D．2π﹣49．如图，在△ABC中，∠C＝90°，AB＝，分别以A、B为圆心，AC，BC为半径在△ABC的外侧构造扇形CAE，扇形CBD，且点E，C，D在同一条直线上，若BC＝2AC，且的长度恰好是的倍，则图中阴影部分的面积为（）A．πB．πC．πD．π10．如图，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，在以AB的中点O为坐标原点，AB所在直线为x 轴建立的平面直角坐标系中，将△ABC绕点B顺时针旋转，使点A旋转至y轴的正半轴上的A′处，若AO＝OB＝1，则阴影部分面积为（）A．πB．π﹣1C．+1D．二．填空题11．圆锥的底面半径为5，母线长为7，则圆锥的侧面积为．12．圆锥的高为3cm，底面半径为2cm，则圆锥的侧面积是cm2．13．如图，圆锥的母线长l为10cm，侧面积为50πcm2，则圆锥的底面圆半径r＝cm．14．如图，半径为10的扇形AOB中，∠AOB＝90°，C为上一点，CD⊥OA，CE⊥OB，垂足分别为D、E．若∠CDE＝36°，则图中阴影部分的面积为．15．如图，在扇形OAB中，点C在上，∠AOB＝90°，∠ABC＝30°，AD⊥BC于点D，连接AC，若OA＝2，则图中阴影部分的面积为．三．解答题16．如图，在△ABC中，AB＝AC，∠A＝120°，BC＝2，⊙A与BC相切于点D，且交AB、AC于M、N两点，求图中阴影部分的面积．（保留π）17．已知：如图，C为半圆O上一点，AC＝CE，过点C作直径AB的垂线CP，弦AE分别交PC、CB于点D、F．（1）求证：AD＝CD；（2）若DF＝，∠CAE＝30°，求阴影部分的面积．18．如图，在正方形ABCD中，AB＝4，O为对角线BD的中点，分别以OB，OD为直径作⊙O1，⊙O2．（1）求⊙O1的半径；（2）求图中阴影部分的面积．19．如图1，正方形ABCD是一个6×6网格电子屏的示意图，其中每个小正方形的边长为1．位于AD中点处的光点P按图2的程序移动．（1）请在图1中画出光点P经过的路径；（2）求光点P经过的路径总长（结果保留π）．参考答案与试题解析一．选择题1．【解答】解：∵底面圆的直径为8，∴底面圆的半径为4，∴圆锥的侧面积＝×4×2π×9＝36π．故选：B．2．【解答】解：分针40分钟转过的度数为：360°×＝240°，分针针端转过长度＝＝cm，故选：B．3．【解答】解：设圆锥的底面半径为r，根据题意得2πr3＝6π，解得r＝2，即圆锥的底面半径为2．故选：B．4．【解答】解：l＝＝π（cm）．故选：B．5．【解答】解：由扇形面积公式得：，故选：A．6．【解答】解：∵n边形的外角和为360°，半径为2cm，＝＝4πcm2，∴S阴影故选：C．7．【解答】解：∵AC是直径，∴∠ABC＝90°，∵∠BAC＝30°，AC＝10，∴BC＝AC＝5，AB＝BC＝5，∠ACB＝60°，∵OC＝OB，∴△OBC 是等边三角形，∴∠BOC ＝∠AOD ＝60°，∵S △AOD ＝S △DOC ＝S △BOC ＝S △AOB ，∴S 阴＝2S 扇形OAD＝2×＝ 故选：C ．8．【解答】解：观察图形可知：S 树叶形图案＝2S 扇形﹣S 正方形＝2×﹣22＝2π﹣4故选：D ．9．【解答】解：如图，连接ED ，作AM ⊥EC 于M ，BN ⊥CD 于N ．∵BC ＝2AC ，∴设AC ＝x ，BC ＝2x ，∵∠C ＝90°，∴x 2+（2x ）2＝5，∴x ＝1，2x ＝2，AC ＝1，BC ＝2，∵∠AMC ＝∠BNC ＝∠ACB ＝90°，∴∠ACM +∠CAM ＝90°，∠ACM +∠BCN ＝90°，∴∠BCN ＝∠CAM ，∵∠CBN +∠BCN ＝90°，∴∠CAM +∠CBN ＝90°，∵AE ＝AC ，AM ⊥EC ，BC ＝BD ，BN ⊥CD ，∴∠CAE ＝2∠CAM ，∠CBD ＝2∠CBN ，∴∠CAE +∠CBD ＝180°， ∵的长度恰好是的倍，设∠CBD ＝m ，∠CAE ＝n ，∴＝×，∴4m ＝5n ，∵m +n ＝180°，∴m ＝100°，n ＝80°，∴S 阴＝+＝，故选：B ．10．【解答】解：∵∠ACB ＝90°，OA ＝OB ＝1，∴AC ＝BC ＝， ∴△ABC 是等腰直角三角形，∴AB ＝2OA ＝2，∵△ABC 绕点B 顺时针旋转点A 在A ′处，∴BA ′＝AB ＝2，∴BA ′＝2OB ，∴∠OA ′B ＝30°，∴∠A ′BA ＝60°，即旋转角为60°，S 阴影＝S 扇形BAA ′+S △A ′BC ′﹣S △ABC ﹣S 扇形BCC ′，＝S 扇形ABA ′﹣S 扇形CBC ′， ＝﹣， ＝﹣＝．故选：D ．二．填空题（共5小题）11．【解答】解：根据题意得，圆锥的侧面积＝×2π×5×7＝35π． 故答案为35π．12．【解答】解：∵圆锥的底面半径为2cm ，高为3cm ， ∴圆锥的母线长为cm ，∴圆锥的侧面积为π×2×＝2π（cm ）．故答案为：2π．13．【解答】解：∵圆锥的母线长是10cm，侧面积是50πcm2，∴圆锥的侧面展开扇形的弧长为：l＝＝＝10π（cm），∵锥的侧面展开扇形的弧长等于圆锥的底面周长，∴r＝＝＝5（cm），故答案为：5．14．【解答】解：连接OC，∵∠AOB＝90°，CD⊥OA，CE⊥OB，∴四边形CDOE是矩形，∴CD∥OE，∴∠DEO＝∠CDE＝36°，由矩形CDOE易得到△DOE≌△CEO，∴∠COB＝∠DEO＝36°∴图中阴影部分的面积＝扇形OBC的面积，∵S＝＝10π扇形OBC∴图中阴影部分的面积＝10π，故答案为10π．15．【解答】解：连接OC，作CM⊥OB于M，∵∠AOB＝90°，OA＝OB＝2，∴∠ABO＝∠OAB＝45°，AB＝2，∵∠ABC＝30°，AD⊥BC于点D，∴AD＝＝，BD＝AB＝，∵∠ABO＝45°，∠ABC＝30°，∴∠OBC＝75°，∵OB ＝OC ，∴∠OCB ＝∠OBC ＝75°，∴∠BOC ＝30°，∴∠AOC ＝60°，CM ＝OC ＝＝1，∴S 阴影＝S △ABD +S △AOB ﹣S 扇形OAB +（S 扇形OBC ﹣S △BOC ）＝S △ABD +S △AOB ﹣S 扇形OAC ﹣S △BOC ＝+×﹣﹣ ＝1+﹣π．故答案为1+﹣π．三．解答题（共4小题）16．【解答】解：连接AD ，在△ABC 中，AB ＝AC ，∠A ＝120°，BC ＝2，⊙A 与BC 相切于点D ，则AD ⊥BC ，，，∴∠B ＝30°，，∴S △ABC ﹣S 扇形AMN ＝．17．【解答】（1）证明：∵AC＝CE，∴弧AC＝弧CE，∴∠CAE＝∠B．∵CP⊥AB，∴∠CPB＝90°∴∠B+∠BCP＝90°．∵AB是直径，∴∠ACB＝90°．∴∠ACP+∠BCP＝90°．∴∠B＝∠ACP．∴∠CAE＝∠ACP．（2）解：连接OC，∵∠CAE＝30°，∴∠ACD＝30°，∠COA＝60°．∴∠CDF＝60°．∵AB是直径，∴∠ACB＝90°．∴∠BCP＝60°．∴∠BCP＝∠DCF＝∠CFD＝60°．∴AD＝CD＝DF＝．∴DP＝AD sin30°＝．∴CP＝CD+DP＝2．（5分）∴S阴影＝S扇形﹣S△AOC＝﹣＝．（6分）18．【解答】解：（1）在正方形ABCD中，AB＝AD＝4，∠A＝90°，∴BD＝＝4∴BO1＝BD＝∴⊙O1的半径＝．（2）设线段AB与圆O1的另一个交点是E，连接O1E ∵BD为正方形ABCD的对角线∴∠ABO＝45°∵O1E＝O1B∴∠BEO1＝∠EBO1＝45°∴∠BO1E＝90°∴S1＝S扇形O1BE ﹣S△O1BE＝＝﹣1根据图形的对称性得：S1＝S2＝S3＝S4∴S阴影＝4S1＝2π﹣4．19．【解答】解：（1）如图；（2）∵，∴点P经过的路径总长为6π．。
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24.4.3 圆与圆的位置关系基础知识与基本应用题巩固理解一、选择题1、若两圆的半径分别为3和4，两个圆的圆心距为10，则两圆的位置关系是（）.（A）内含（B）相交（C）外切（D）外离1、D；点拔：若两圆的半径为r、R，两圆的圆心距为d，用R r-、R r+与d进行大小比较.由于半径之和小于圆心距，所以选D。
2、（2007年株洲市）已知两圆的半径分别是5和6，圆心距x满足不等式组522841314xxx x+⎧+>⎪⎨⎪-<+⎩，则两圆的位置关系是（）A．内切B．外切C．相交D．外离2、C；点拨：根据圆心距与半径得关系判断两圆的位置关系，解不等式组得1< x<11，说明圆心距大于半径之差小于半径之和，所以两圆相交。
3、如图6，两等圆⊙O和⊙O′相外切，过O作⊙O′的两条切线OA、OB，A、B是切点，则∠AOB等于( )A.90°B.60°C.45°D.30°3、B；点拨：连接OA、OB、O O′，因为OA、OB是切线，A、B是切点，所以∠O′AO=∠O′BO＝90°，又因为⊙O和⊙O′是等圆且外切，所以O O′=2 O′A=2 O′B，所以∠O′OA=∠O′OB=30°，所以∠AOB＝30°＋30°＝60°，所以选B。
二、填空题4、（2007年扬州市）仔细观察如图所示的卡通脸谱，图中没有出现的两圆的位置关系是______．4、相交；点拨：两圆有五种位置关系：相交、外离、内含、外切、内切，图中有内含（耳朵中的两个圆、眼睛与头）、内切（眼睛）、外切（耳朵与头）、外离（耳朵与眼睛）这四种关系，只有相交没有。
5、若两圆的半径分别为3和4，两个圆相交，则两圆的圆心距的取值范围是 .5、1＜d ＜7；点拔：两个圆相交，则R r -＜d ＜R r +.6、半径分别为6cm 和4cm 的两圆相切，则它们的圆心距为 cm6、2cm 或10cm ；点拨：两圆相切有内切和外切两种情况，所以圆心距也有两种情况：内切时是半径之差、外切时是半径之和。
7.小明剪了三个半径均为1的⊙O 1、⊙O 2、⊙O 3的纸板，在同一平面内把三个圆纸板的圆心放在同一直线上，若⊙O 2分别与⊙O 1、⊙O 3相交，⊙O 1与⊙O 3不相交，则⊙O 1与⊙O 3的圆心距d 的取值范围是_ ____.7、2≤d <4 ；点拨：因为⊙O 1与⊙O 3不相交，所以⊙O 1与⊙O 3的圆心距d ≥2，又因为⊙O 2分别与⊙O 1、⊙O 3相交，所以O 2在 O 1与 O 3之间，且0＜O 1 O 2<2，0＜O 2 O 3<2，所以0＜O 1 O 2＋O 2 O 3<4，即0＜d < 4，所以2≤d <4。
三、综合题8、如图，△ABC 中，∠C=90°，AC=12，BC=8，以AC 为直径作⊙O ，以B 为圆心，4为半径，作⊙B ，求证：⊙O 与⊙B 外切。
8、分析：要证⊙O 与⊙B 外切，就是要说明OB 等于两圆的半径之和。
证明： 连OB ，因为AC=12，，以AC 为直径作⊙O ，所以OC ＝6，又因为∠C=90°、BC=8，所以OB ＝108622=+，即OB 等于⊙O 与⊙B 的半径之和，所以⊙O 与⊙B 外切。
9、如图，AB 是圆O 的直径，以OA 为直径的圆C 与圆O 的弦AD 相交于点E.你认为图中有哪些相等的线段？为什么？A B9、分析：半径相等，所以有AC=CO ，AO=BO ，如果能说明∠AEO=90°，则能说明AE=ED 。
解：AE=ED ，AC=CO ，AO=BO 连结EO∵AO 为直径，∴∠AEO=90° ∴EO ⊥AD ，EO 过圆心 ∴AE=ED 。
10．如图⊙O 与⊙O 1交于A 、B 两点，O 1点在⊙O 上，AC 是⊙O 直径，AD 是⊙O 1直径，连结CD ，求证：AC=CD 。
10、证明：连接C O 1 ，因为O 1点在⊙O 上，AC 是⊙O 直径,所以∠A O 1C =90°,则C O 1⊥AD ，又因为AD 是⊙O 1直径，所以C O 1平分AD ，则C O 1垂直平分AD ，所以AC=CD 。
点拨：直径所对的圆周角是直角，在本题中容易想到∠ABC 是直角，而忽视∠A O 1C 是直角。
其实从所求证的结论思考，就是要证三角形ACD 是等腰三角形，如果C O 1垂直平分AD ，就有AC=CD 。
AB基础延伸与综合应用题 迁移应用 一、选择题1、（2007年荆州市）如图，在平台上用直径100㎜ 的两根圆钢棒嵌在大型工件的两侧，测量大的圆形工件的直径D ，测得两根圆钢棒外侧距离为4000㎜，则工件的直径D （㎜）用科学记数法可写为（ ） A ．50.410⨯ B ．20000 C ．4210⨯ D ．4410⨯ （图中显示为两根圆钢棒的圆心距为4000㎜）1、D ；点拨：连接工件圆心B 与两根钢棒的圆心A 、D 、再连接工件圆心B 与工件与平台的切点E ，交两钢棒圆形连线于C 点，可得如图所示的直角三角形ABC ，AB=R+50,BC=R-50,AC=2000,根据勾股定理得：2222000)50()50(+-=+R R ,解得R ＝20000，所以工件得直径为40000＝4410⨯，选D 。
2、（2007年潍坊市）如图，以O 为圆心的两个同心圆中，大圆的弦A B 是小圆的切线．若大圆半径为10cm ，小圆半径为6cm ，则弦A B 的长为 ．2、16；点拨：连接圆心O 与切点C ，，连接OA ，则得直角三角形OAC ，其中OA=10,OC=6,所以AC=8,由垂径定理得AB ＝16。
3．如图(3)，某城市公园的雕塑是由3个直径为1m 的圆两两相垒立在水平的地面上，则雕塑的最高点到地面的距离为［ ］ A ．232+ B.233+ C.222+ D.223+3、A ；点拨：如图所示，雕塑的最高点到地面的距离为DF ，其中AD+EF=1m ，在直角三角形ABE 中，AB=1M,BE=0.5m ，所以AE=23)21(12=-，所以DF ＝1＋23＝232+，故选A 。
二、填空题4、判断题（正确的填A ，错误的填B ）100（㎜）C（1）．两圆没有公共点，则两圆一定外离．（）（2）．若两个大小不等的圆的圆心距为0，那么两圆一定内含（）（3）．半径相等的两个圆的位置关系只有三种. （）（4）．相切两圆一定是轴对称图形，且对称轴必过切点. （）4、BAAA；点拨：（1）中两圆没有公共点还有内含得可能，所以错；（2）若两个大小不等的圆的圆心距为0，说明两圆的圆心重合，是同心圆的关系，一定内含，所以正确；（3）半径相等的两个圆的位置关系只有三种：相交、外离和外切，所以正确；（4）相切两圆一定是轴对称图形，对称轴连心线所在的直线，连心线必过切点，所以正确。
.5、若⊙O1的半径为5，⊙O1、⊙O2内含，且两圆的圆心距为4，则⊙O2半径的取值范围是 .5、R>9或R<1；点拨：两圆内含则d<R r-，d=4，如果r＝5，则R>9，如果R＝5，则r<1，所以，⊙O2半径的取值范围是R>9或R<1。
注意⊙O2半径可能大于5也可能小于5，所以有两种情况。
6、如图，AB是⊙O的直径，以B为圆心，BO为半径画弧交⊙O于C、D两点，则∠BCD 的度数是6、30°；点拨：连接OC，由于OB=BC=OC,三角形OCB是等边三角形，则∠OCB＝60°，又因为OB垂直平分CD，所以CD平分∠OCB，所以∠BCD＝30°。
7、⊙O1和⊙O2的半径分别为8和5，两圆没有公共点，则圆心距O1O2的取值范围是____________。
7、O1O2> 11或O1O2<3；点拨：两圆没有公共点，两圆可能外离也可能内含，而两圆外离d>R r+，两圆内含d<R r-。
三、综合题8、已知⊙O 1和⊙O 2相交于A 、B 两点，过A 的直线交两圆于C 、D 两点，过B 的直线交两圆于E 、F 两点，连接DF 、CE ；（1）证明DF//DF ；（2）若G 为CD 的中点，证明CE ＝DF证明：（1）∵∠C=∠ABC ，∠ABF=∠ADF ∴∠C=∠AD F ∴DF//DF（2）∵G 为CD 的中点∴CG=DG ，又∵∠CGE ＝∠FGD （对顶角相等）；∠C=∠AD F （已证）∴△GCE ≌△GDF （ASA ）∴CE ＝DF点拨：圆中要注意观察同弧所对的圆周角，因为同弧所对的圆周角相等，这样就可以得到很多相等的角，证明直线平行离不开同位角、内错角相等两直线平行；全等三角形对应边相等是证明线段相等常用的方法。
9．如图，⊙1O 与⊙2O 相交于A 、B 两点，P 为⊙1O 的优弧AB 上一点，直线PA 、PB 、P 1O 分别交⊙2O 的优弧AB 于C 、D 、E 三点.(1) 请判断∠APE 与∠ACD 之间的等量关系？并证明你的结论；(2)若P 为⊙1O 的劣弧AB 上一点，其余条件不变，∠APE 与∠ACD 是否一定满足某种等量关系？完成下图并写出你的结论（不需证明）..9、分析：判断∠APE 与∠ACD 之间的等量关系，不外乎相等、互余、互补，图中显然不等，而且两个都是锐角，所以猜测互余，证明猜测时需要招直角，就用到了直径所对的圆周角是直角，要••PO 1EO 2ACBD••O 1O 2AB⌒⌒把求证的角转化到一个直角三角形中去，就要找同弧所对的圆周角，此时就要连相交两圆的公共弦。
(1) 如图，连接AE 和AB ，因为PE 是⊙1O 的直径，所以∠PAE ＝90°（直径所对的圆周角相等）；∠AEP=∠ABP （同弧所对的圆周角相等）又因为∠ABD+∠ACD=180°,∠ABP+∠ABD=180°,所以∠ABP ＝∠ACD ；在直角三角形APE 中有∠AEP+∠APE ＝90°，所以∠APE+∠ACD=90°；(2) 如图，连接AB ，延长P 1O 交圆1O 于F 点，连接AF ， ∠AFP ＝∠ACD=∠ABD （同弧所对的圆周角相等），∠FAP ＝90°（直径所对的圆周角相等）,所以∠APF ＋∠AFP ＝90°，即∠APF ＝90°－∠AFP ；又因为∠APE ＝180°－∠APF ＝180°－（90°－∠AFP ）＝90°＋∠ACD 所以∠APE-∠ACD=90°点拨：在相交圆中，常见的辅助线是连交点得相交两圆得公共弦，通过公共弦所对的弧是同一段弧找相等得圆周角。