北师大版九年级数学 反比例函数 培优专题训练(附答案)
北师大版2020九年级数学上册第六章反比例函数自主学习培优测试卷A(附答案详解)
北师大版2020九年级数学上册第六章反比例函数自主学习培优测试卷A （附答案详解） 1．如图，点A ，B 是反比例函数y=kx（x ＞0）图象上的两点，过点A ，B 分别作AC ⊥x 轴于点C ，BD ⊥x 轴于点D ，连接OA 、BC ，已知点C （2，0），BD=3，S △BCD =3，则S △AOC 为( )A ．2B ．3C ．4D ．62．已知反比例函数y=，下列结论中不正确的是（ ） A ．图象必经过点（1，﹣5） B ．若x ＞1，则﹣5＜y ＜0 C ．图象在第二、四象限内 D ．y 随x 的增大而增大3．若反比例函数ky x=的图象经过点(2, 3)，那么此图象也经过点( ) A ．(2，-3)B ．(3, 2)C ．(3,-2)D ．(-3，2)4．已知点 A （2 ，3）在 双 曲 线 y=上，则下列哪个点也在改双曲线上（ ） A ．（﹣1，6） B ．（6，﹣1）C ．（﹣2，﹣3）D ．（﹣2，3）5．若反比例函数ky x=的图象过点()1,6，则不在这个反比例函数图象上的点是（ ）A ．()3,2B ．()2,3--C ．()6,1D ．()2,36．已知一次函数y 1=x －1和反比例函数y 2=2x的图象在平面直角坐标系中交于A 、B 两点，当y 1＞y 2时，x 的取值范围是( ) A ．x ＞2B ．－1＜x ＜0C ．x ＞2，－1＜x ＜0D ．x ＜2，x ＞07．如图为反比例函数y=kx的图象，则k 等于（ ）A ．5 B ．25C ．10D ．－108．若112233(,)(,)(,)A x y B x y C x y 是反比例函数1y x=的图象上的点，且1x ＜2x ＜0＜3x ，则1y ，2y ，3y 的大小关系正确的是（ ）A ．1y ＞2y ＞3yB ．3y ＞1y ＞2yC ．2y ＞1y ＞3yD ．3y ＞2y ＞1y9．关于反比例函数y ＝﹣3x，下列说法不正确的是（ ） A ．点（3，﹣1）在它的图象上 B ．它的图象在第二、四象限 C ．当x ＞3时，﹣1＜y ＜0 D ．当x ＞0时，y 随x 的增大而减小10．反比例函数y =kx的图象与函数y =2x 的图象没有交点，若点(－2，y 1)，(－1，y 2)，(1，y 3)在这个反比例函数y =kx的图象上，则下列结论中正确的是（ ）A ．y 1＞y 2＞y 3B ．y 2＞y 1＞y 3C ．y 3＞y 1＞y 2D ．y 3＞y 2＞y 111．如图，11OP A ，122A P A ，233A P A …都是等腰直角三角形，直角顶点1P ，2P ，3P …都在函数4(0)y x x=>的图象上，若三角形依次排列下去，则2009A 的坐标是________．12．若直线11(0)y k x k =≠和双曲线22(0)k y k x=≠在同一坐标系内的图象无交点，则12k k _______0．（填“＞”或“＜”或“=”）13．如果反比例函数ky x=的图象经过点A （2，y 1）与B （3，y 2），那么12y y 的值等于_____________.14．如图：P 是反比例函数ky x=的图象上的点，过点P 作x 轴、y 轴的垂线，垂足分别为A 、B ，且四边形PAOB 的面积为4，则y 与x 的函数关系式是________．15．计划修建铁路1200km，那么铺轨天数y（天）是每日铺轨量x的反比例函数吗？解：因为________，所以y是x的反比例函数．16．若双曲线42kyx-=与直线12y x=无交点，则k的取值范围是_____．17．对于函数y=2x，当x＞0时，y_________0，这部分图象在第_________象限.对于函数y=－2x，当x＜0时，y_________0，这部分图象在第_________象限.18．函数y1＝x与y2＝4x的图象如图所示，下列关于函数y＝y1+y2的结论：①函数的图象关于原点中心对称；②当x＜2时，y随x的增大而减小；③当x＞0时，函数的图象最低点的坐标是（2，4），其中所有正确结论的序号是_____．19．在平面直角坐标系中，O是坐标原点．点P（m，n）在反比例函数kyx=的图象上．若m=k，n=k-2，则点P的坐标为________；20．如图，点A的坐标是（2，0），△ABO是等边三角形，点B在第一象限，若反比例函数kyx=的图象经过点B，则k的值是_____．21．如图，在平面直角坐标系中，已知点A（8，1），B（0，﹣3），反比例函数y=kx（x＞0）的图象经过点A，动直线x=t（0＜t＜8）与反比例函数的图象交于点M，与直线AB交于点N．（1）k的值是______；（2）当t=4时，求△BMN面积．22．如图，一次函数y=kx+b的图象与反比例函数y=mx的图象交于A（﹣2，1），B（1，n）．（1）试确定上述反比例函数和一次函数的表达式；（2）求△ABO的面积；（3）根据图象写出使反比例函数的值大于一次函数值的自变量x的取值范围．23．如图一次函数y=kx+b与反比例函数y=mx（x＞0）的图象交于A（1，6），B（n，2）两点．（1）求一次函数和反比例函数的解析式（2）求△AOB的面积．24．如图,平面直角坐标系xOy中,双曲线y＝4x(x＞0)与直线y＝kx－k的交点为点A(m，2)．(1) 求k的值；(2) 当x＞0时，直接写出不等式kx－k ≤4x的解集：；(3) 设直线y＝kx－k与y轴交于点B，若C是x轴上一点，且满足△ABC的面积是4，求点C的坐标．25．如图1，已知矩形AOCB，AB=6cm，BC=16cm，动点P从点A出发，以3cm/s的速度向点O运动，直到点O为止；动点Q同时从点C出发，以2cm/s的速度向点B运动，与点P同时结束运动．（1）点P到达终点O的运动时间是s，此时点Q的运动距离是cm；（2）当运动时间为2s时，P、Q两点的距离为cm；（3）请你计算出发多久时，点P和点Q之间的距离是10cm；（4）如图2，以点O为坐标原点，OC所在直线为x轴，OA所在直线为y 轴，1cm长为单位长度建立平面直角坐标系，连结AC，与PQ相交于点D，若双曲线y=kx过点D，问k的值是否会变化？若会变化，说明理由；若不会变化，请求出k的值．26．如图，点A、B分别是x轴、y轴上的点，点A的坐标为（a，0），点B的坐标为（0，b），点M坐标为（1，1）（1）如图1中的第一象限内，若a=2，b=1，画出线段AB关于点M（1，1）的中心对称线段CD，并写出C、D两点的坐标；（2）如图，若AB关于M（1，1）中心对称的线段为CD，点C、点D在双曲线y=kx（x＞0）上，且2，求k的值；（3）若a=12，b=13，直接写出直线CD的解析式．27．如图，一次函数23y mx m =++的图像与12y x =-的图像交于点C ，与x 轴和y 轴分别交于点A 和点B ，且点C 的横坐标为3-. (1)求m 的值与AB 的长;(2)若点Q 为线段OB 上一点，且14OCQ BAO S S ∆∆=，求点Q 的坐标.28．如图已知函数y=kx（k ＞0，x ＞0）的图象与一次函数y=mx+5（m ＜0）的图象相交不同的点A 、B ，过点A 作AD ⊥x 轴于点D ，连接AO ，其中点A 的横坐标为x 0，△AOD 的面积为2．（1）求k 的值及x 0=4时m 的值；（2）记[x]表示为不超过x 的最大整数，例如：[1.4]=1，[2]=2，设t=OD•DC ，若﹣32＜m ＜﹣54，求[m 2•t]值．参考答案1．D【解析】【分析】先求CD长度，再求点B坐标，再求函数解析式，可求得面积. 【详解】因为，BD=3，S△BCD=1•2CD BD=3，所以，1•33 2CD=,解得，CD=2，因为，C(2，0) 所以，OD=4，所以，B（4，3）把B(4，3)代入y=kx，得k=12,所以，y=12 x所以，S△AOC=16 2xy=故选D【点睛】本题考核知识点：反比例函数. 解题关键点：熟记反比例函数性质. 2．D【解析】【分析】利用反比例函数的性质一一判断即可．【详解】对于反比例函数y=，经过（1，﹣5），故A选项正确，若x＞1，则﹣5＜y＜0，故B选项正确，图象在二四象限，故C选项正确，在每个象限y随x的增大而减小，故D选项错误，故选D．【点睛】本题考查了反比例函数的性质，熟练掌握反比例函数的性质是解题的关键. 3．B【解析】解：根据题意得k=2×3=6，所以反比例函数解析式为y=6x．∵2×（﹣3）=-6，3×2=6，3×（﹣2）=﹣6，﹣3×2=﹣6，∴点（3，2）在反比例函数y=6x的图象上．故选B．4．C【解析】【分析】在同一双曲线上的点的横纵坐标之积相等.【详解】解：由题意得2×3=6=﹣2×(-3)，则C点在该双曲线上，其他点均不在，故选择C.【点睛】本题考查了反比例函数的定义.5．D【解析】【分析】由题意得出k的值，再进行选择即可．【详解】∵反比例函数y=kx的图象过点)，∴，∵点A. B. C，∴点A. B. C都在这个反比例函数图象上.故答案选D.【点睛】本题考查了求反比例函数解析式，解题的关键是熟练的掌握待定系数法求反比例函数的解析式.【解析】 【分析】因为一次函数和反比例函数交于A 、B 两点，可知x-1=2x，解得x=-1或x=2，进而可得A 、B 两点的坐标，据此，再结合函数解析式画图，据图可知当x>2时，以及当-1<x<0时，y 1>y 2． 【详解】解方程x −1=2x，得 x =−1或x =2，那么A 点坐标是(−1,−2),B 点坐标是(2,1)， 如右图，当x >2时, 12y y >,以及当−1<x <0时, 12y y >. 故选C. 【点睛】本题考查了反比例函数与一次函数交点问题，解题的关键是能根据解析式画出函数的图象，并能根据图象解決问题 7．C 【解析】 【分析】据k=xy 即横纵坐标相乘得比例系数解答. 【详解】因为，反比例函数y=kx的图象经过点(－2, 5)，则k=-2×5=-10. 故选：D 【点睛】本题考核知识点：反比例函数性质.解题关键点：熟记反比例函数性质.【解析】 【分析】先根据反比例函数1y x=的比例系数1＞0，判断出函数图象在一、三象限，在每个象限内，y 随x 的增大而减小，再根据x 1＜x 2＜0＜x 3，判断出y 1、y 2、y 3的大小． 【详解】 ∵反比例函数1y x=的比例系数1>0，∴该反比例函数的图象如图所示，该图象在第一、三象限，在每个象限内，y 随x 的增大而减小，又∵x 1<x 2<0<x 3， ∴y 3>y 1>y 2. 故选B. 【点睛】考查反比例函数的图象与性质，反比例函数()0,ky k x=≠ 当0k >时，图象在第一、三象限.在每个象限，y 随着x 的增大而减小， 当k 0<时，图象在第二、四象限.在每个象限，y 随着x 的增大而增大. 9．D 【解析】 【分析】由题意利用反比例函数的性质可解． 【详解】∵当k ＜0，双曲线的两支分别位于第二、第四象限，在每一象限内y 随x 的增大而增大． ∴反比例函数y=-3x的图象分别位于第二、第四象限，在每一象限内y 随x 的增大而增大． 故选D ．【点睛】本题考查了反比例函数的性质，熟练掌握反比例函数的性质是解答本题的关键．10．B【解析】因为反比例函数y=kx的图象与函数y=2x的图象没有交点,所以反比例函数y=kx的图象分布在二,四象限,根据反比例函数的图象性质画出反比例函数图象,观察图象可得:y2＞y1＞y3,故选B.11．()42009,0【解析】【分析】由于△OP1A1是等腰直角三角形，可知直线OP1的解析式为y＝x，将它与y＝4x联立，求出方程组的解，得到点P1的坐标，则A1的横坐标是P1的横坐标的两倍，从而确定点A1的坐标；由于△P1OA1，△P2A1A2都是等腰直角三角形，则A1P2∥OP1，直线A1P2可看作是直线OP1向右平移OA1个单位长度得到的，因而得到直线A1P2的解析式，同样，将它与y＝4x联立，求出方程组的解，得到点P2的坐标，则P2的横坐标是线段A1A2的中点，从而确定点A2的坐标；依此类推，从而确定点A2009的坐标．【详解】过P1作P1B1⊥x轴于B1，易知B1（2，0）0）是OA1的中点，∴A1（4，0）．可得P1的坐标为（2，2），∴P 1O 的解析式为：y ＝x ，∵P 1O∥A 1P 2，∴A 1P 2的表达式与P 1O 的解析式一次项系数相等，将A 1（4，0）代入y ＝x ＋b ，∴b＝−4，∴A 1P 2的表达式是y ＝x −4，与y ＝4x（x ＞0）联立，解得P 2（2＋，−2＋）， 仿上，A 2（0）．P 3（＋，−），A 3（0）．依此类推，点A 2009的坐标是（0）．故答案为（0）．【点睛】本题考查了反比例函数的综合应用，解决此题的关键是要根据等腰直角三角形的性质以及反比例函数的解析式进行求解．12．＜【解析】【分析】由直线()11y k x k 0=≠和双曲线22k y (k 0)x =≠在同一坐标系内的图象无交点，可得方程21k k x x=无解，由此即可得. 【详解】∵直线()11y k x k 0=≠和双曲线22k y (k 0)x =≠在同一坐标系内的图象无交点， ∴方程21k k x x =无解， 即x 2=21k k ＜0， ∴k 1、k 2异号，∴12k ?k ＜0， 故答案为：＜.【点睛】本题综合考查反比例函数与方程组的相关知识点，以及任何一个数的平方都大于等于0，否则无解.13．32【解析】分析：由已知条件易得2y 1=k ，3y 2=k ，由此可得2y 1=3y 2，变形即可求得12y y 的值. 详解：∵反比例函数k y x =的图象经过点A （2，y 1）与B （3，y 2）， ∴2y 1=k ，3y 2=k ，∴2y 1=3y 2， ∴1232y y =. 故答案为：32. 点睛：明白：若点A ()a b ，和点B ()m n ，在同一个反比例函数k y x=的图象上，则ab mn =是解决本题的关键.14．4y x =-【解析】【分析】根据反比例函数k 的几何意义可得|k|=4，再根据图象在二、四象限可确定k=-4，进而得到解析式．【详解】解：∵S 矩形P AOB =4，∴|k |=4，∵图象在二、四象限，∴k <0，∴k =−4， ∴反比例函数解析式为4y x=-，故答案为4y x=-. 【点睛】 本题考查反比例函数系数k 的几何意义,过双曲线上的任意一点分别向两条坐标轴作垂线,与坐标轴围成的矩形面积就等于|k|.本知识点是中考的重要考点,同学们应高度关注.15．1200y x= 【解析】【分析】根据反比例函数的定义作答即可.【详解】一般地，如果两个变量x 、y 之间的关系可以表示成y=k/x (k 为常数，k≠0)的形式，那么称y 是x 的反比例函数，铺轨天数y （天）和每日铺轨量x 可以表达成反比例函数的形式1200y x =，所以正确答案是1200.y x= 【点睛】本题主要考察反比例函数的相关定义，熟练掌握反比例函数相关知识是解答本题的关键. 16．2k >【解析】解：∵双曲线y =2k x -与直线12y x =无交点，∴2﹣k 与12异号，∴2﹣k ＜0，∴k ＞2．故答案为：k ＞2．17．＞ 一 2＞ 二【解析】【分析】根据反比例函数的比例系数的符号以及所给的自变量的取值可得函数值，进而得知所在的具体象限.【详解】在函数y =x中，∵系数k ＞0，∴函数图象在一，三象限内，又∵x＞0，∴函数图象在一象限内，y＞0；在函数y=－2x中，∵系数k=﹣2＜0，∴函数图象在二，四象限内，又∵x＜0，∴函数图象在二象限内，y＞0.故答案为＞，一，＞，二.18．①③【解析】分析：结合图形判断各个选项是否正确即可．详解：①由图象可以看出函数图象上的每一个点都可以找到关于原点对称的点，故正确；②在每个象限内，不同自变量的取值，函数值的变化是不同的，故错误；③y=x+4x=（x﹣x）2+4≥4，当且仅当x=2时取“=”．即在第一象限内，最低点的坐标为（2，4），故正确；∴正确的有①③．故答案为①③．点睛：考查根据函数图象判断相应取值；正确理解图形是解决本题的关键．19．（3，1）【解析】∵把m=k，n=k-2代入反比例函数y= kx中，得k-2=1，解得k=3，∴m=3，n=3-2=1，∴点P的坐标为（3，1）．故答案为（3，1）．点睛：本题考查的是反比例函数图象上点的坐标特点，即反比例函数图象上点的坐标一定适合反比例函数的解析式． 20．3．【解析】【分析】已知△ABO 是等边三角形，通过作高BC ，利用等边三角形的性质可以求出OB 和OC 的长度；由于Rt △OBC 中一条直角边和一条斜边的长度已知，根据勾股定理还可求出BC 的长度，进而确定点B 的坐标；将点B 的坐标代入反比例函数的解析式k y x =中，即可求出k 的值. 【详解】过点B 作BC 垂直OA 于C ，∵点A 的坐标是（2，0），∴AO=2，∵△ABO 是等边三角形，∴OC=1，BC=3，∴点B 的坐标是()1,3,把()1,3代入k y x=，得3k =． 故答案为3．【点睛】考查待定系数法确定反比例函数的解析式，只需求出反比例函数图象上一点的坐标； 21．8【解析】分析：(1)、根据点A 的坐标得出k 的值；(2)、利用待定系数法求出直线AB 的解析式，然后得出MN 的长度，根据铅锤×水平÷2得出三角形的面积．详解：（1）把点A（8，1）代入反比例函数y=kx（x ＞0），得：k=1×8=8，即k=8；（2）设直线AB 的解析式为：y=ax+b，根据题意得：813a bb+=⎧⎨=-⎩，解得：123ab⎧=⎪⎨⎪=-⎩，∴直线AB的解析式为：y=12x﹣3；当t=4时，M（4，2），N（4，﹣1），则MN=3，∴△BMN 的面积=12×3×4=6.点睛：本题主要考查的是反比例函数的性质，属于基础题型．在求三角形面积的时候我们可以用割补法，也可以利用铅锤×水平÷2进行求解．22．（1）y=-2x，y=-x-1（2）1.5（3）﹣2＜x＜0或x＞1【解析】（1）把A（﹣2，1）代入y=；得m=﹣2；∴反比例函数为y=﹣；把B（1，n）代入y=﹣得：n=﹣2；∴点B坐标为（1，﹣2），把A（﹣2，1），B（1，﹣2）代入一次函数y=kx+b得，解得，∴一次函数的解析式为y=﹣x﹣1．（2）令y=0得：﹣x﹣1=0，即x=﹣1，∴S△ABO=×1×2+×1×1=1.5．（3）由函数图象可知，反比例函数的值大于一次函数的值时x的取值范围为x<-2或．0<x<1.23．（1）6yx=，y=﹣2x+8；（2）8【解析】试题分析：，对于（1），先把A（1，6）坐标代入y=mx求出m的值，进而得到两点的坐标，再将其代入一次函数表达式，列出关于系数k、b的方程组，通过解方程组求得它们的值，从而求出函数的解析式；对于（2），根据图形可知S△AOB=S△AOC-S△BOC，至此，再结合三角形的面积公式计算即可. 解：（1）∵A（1，6），B（n，2）在反比例函数y=（x＞0）的图象上，∴m=6，∴反比例函数的解析式是y=．∴2n=6，解得n=3，∴B（3，2），∵一次函数y=kx+b与反比例函数y=（x＞0）的图象交于A、B两点．∴，解得，∴一次函数解析式为y=﹣2x+8；（2）设直线y=﹣2x+8与x轴相交于点C，C的坐标是（4，0）．S△AOB=S△AOC﹣S△BOC=OC|y A|﹣OC|y B）=8．24．(1)k=2 ；(2)0＜x≤2；(3)C(-1，0)或(3，0)【解析】分析: （1）利用待定系数法即可解决问题．（2）观察图象，直线y=kx-k的图象在y=4x的下方（包括交点A），由此可以写出不等式的解集．（3）设点C坐标（m，0），直线y=2x-2与x轴的交点D坐标为（1，0），根据S△ABC=S△CDA+S△CDB=4，列出方程即可解决．详解: （1）∵点A在双曲线y=4x上，∴2=4m，∴m=2，∴点A（2，2）．∵点A在直线y=kx-k上，∴2=2k-k，∴k=2．（2）由图象可知，x＞0时，不等式kx-k≤4x的解集为0<x≤2．故答案为0<x≤2．（3）设点C坐标（m，0）．∵直线y=2x-2与x轴的交点D坐标为（1，0），与y轴的交点B坐标为为（0，-2），∴S△ABC=S△CDA+S△CDB=4，∴12|m-1|×（2+2）=4，∴m=3或-1．∴点C坐标为（3，0）或（-1，0）．点睛: 本题考查反比例函数与一次函数图象的交点，待定系数法，利用函数图像解不等式等知识，解题的关键是掌握待定系数法确定函数解析式，学会利用分割法求三角形面积，属于中考常考题型．25．（1）163，323；（2）62（3）t=85或t=245；（4）57625.【解析】分析：（1）先求出OA，进而求出时间，即可得出结论；（2）构造出直角三角形，再求出PE，QE，利用勾股定理即可得出结论；（3）同（2）的方法利用勾股定理建立方程求解即可得出结论；（4）先求出直线AC解析式，再求出点P，Q坐标，进而求出直线PQ解析式，联立两解析式即可得出结论．详解：（1）∵四边形AOCB是矩形，∴OA=BC=16，∵动点P从点A出发，以3cm/s的速度向点O运动，∴t=163，此时，点Q的运动距离是163×2=323cm；（2）如图1，由运动知，AP=3×2=6cm，CQ=2×2=4cm，过点P作PE⊥BC于E，过点Q作QF⊥OA于F，∴四边形APEB是矩形，∴PE=AB=6，BE=6，∴EQ=BC﹣BE﹣CQ=16﹣6﹣4=6，根据勾股定理得，；（3）设运动时间为t秒时，由运动知，AP=3t，CQ=2t，同（2）的方法得，PE=6，EQ=16﹣3t﹣2t=16﹣5t，∵点P和点Q之间的距离是10cm，∴62+（16﹣5t）2=100，∴t=85或t=245；（4）k的值是不会变化，理由：∵四边形AOCB是矩形，∴OC=AB=6，OA=16，∴C（6，0），A（0，16），∴直线AC的解析式为y=﹣83x+16①，设运动时间为t，∴AP=3t，CQ=2t，∴OP=16﹣3t，∴P（0，16﹣3t），Q（6，2t），∴PQ解析式为y=5166tx+16﹣3t②，联立①②解得，x=185，y=325，∴D（185，325），∴k=185×325=57625是定值．点睛：此题是反比例函数综合题，主要考查了勾股定理，待定系数法，构造出直角三角形是解本题的关键．26．（1）C（0，1），D（2，1）;（2）k=2;（3）y=﹣x+72．【解析】【分析】（1）如图1中，设C（m，n），D（p，q）．利用中点坐标公式计算即可；（2）如图2中，由题意点C的纵坐标为2，点D的横坐标为2，由点C、D在反比例函数y=kx上，可以假设C（m，2），D（2，m），根据AB=CD=2，2-m=1，可得m=1，求出点D坐标即可解决问题；（3）设C（m，n），D（p，q）．利用中点坐标公式求出C、D两点坐标，再利用待定系数法即可解决问题；【详解】解：（1）如图1中，设C（m，n），D（p，q）．由题意A（2，0），B（0，1），∵A、C关于M对称，B、D关于M对称，∴22m+=1，2m+=1，0+p2=1，q12+=1，解得m=0，n=2，p=2，q=1，∴C（0，1），D（2，1）．（2）如图2中，由题意点C的纵坐标为2，点D的横坐标为2，∵点C、D在反比例函数y=kx上，∴可以假设C（m，2），D（2，m），∵AB=CD=2，∴2﹣m=1，∴m=1，∴C（1，2），D（2，1），把C（1，2）代入y=kx中，得到k=2．（3）设C（m，n），D（p，q）．由题意A（12，0），B（0，13），∵A、C关于M对称，B、D关于M对称，∴122m+=1，2n+=1，0+p2=1，132q+=1，解得m=32，n=2，p=2，q=53，∴C（32，2），D（2，53），设直线CD的解析式为y=kx+b，则有3k22523bk b⎧+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩，解得k172b=-⎧⎪⎨=⎪⎩，∴直线CD的解析式为y=﹣x+72．【点睛】本题考查反比例函数综合题、一次函数的应用、中心对称、中点坐标公式等知识，解题的关键是学会用方程的思想思考问题，学会利用参数构建方程解决问题，属于中考压轴题．27．(1)32m=，213AB=；(2) (0,2)Q.【解析】【分析】（1）把点C的横坐标代入正比例函数解析式，求得点C的纵坐标，然后把点C的坐标代入一次函数解析式即可求得m的值，从而得到一次函数的解析式，则易求点A、B的坐标，然后根据勾股定理即可求得AB；（2）由14OCQ BAOS S∆∆=得到OQ的长，即可求得Q点的坐标．【详解】(1)∵点C在直线12y x=-上，点C的横坐标为−3，∴点C坐标为3 (3,)2 -，又∵点C在直线y=mx+2m+3上，∴3 3232 m m-++=，∴32 m=，∴直线AB的函数表达式为362y x=+，令x=0,则y=6,令y=0,则3602x+=，解得x=−4，∴A(−4,0)、B(0,6)，∴2246213 AB=+=；(2)∵14OCQ BAOS S∆∆=，∴111346 242OQ⨯⋅=⨯⨯⨯，∴OQ=2，∴点Q坐标为(0,2).【点睛】考查两条直线相交问题，一次函数图象上点的坐标特征，勾股定理，三角形的面积公式等，比较基础，难度不大.28．（1）k= 4；m=﹣1；（2）[m2•t]=5．【解析】【分析】（1）设A（x0，y0），可表示出△AOD的面积，再结合k=x0y0可求出k的值，根据A的横坐标可得纵坐标，代入一次函数可得m的值.（2）先根据一次函数与x轴的交点确定OC的长，表示出DC的长，从而可以表示t，根据A的横坐标x0，即x0满足45mxx=+，可得20054mx x+=,再根据m的取值计算m2·t，最后利用新定义可得所求值.【详解】（1）设A（x0，y0），则OD=x0，AD=y0，∴S△AOD=O D•AD==2，∴k=x0y0=4；当x0=4时，y0=1，∴A（4，1），代入y=mx+5中得4m+5=1，m=﹣1；（2）∵，，mx2+5x﹣4=0，∵A的横坐标为x0，∴mx02+5x0=4，当y=0时，mx+5=0，x=﹣，∵OC=﹣，OD=x0，∴m2•t=m2•（OD•DC），=m2•x0（﹣﹣x0），=m（﹣5x0﹣mx02），=﹣4m，∵﹣＜m＜﹣，∴5＜﹣4m＜6，∴[m2•t]=5．【点睛】本题主要考察一元二次方程、反比例函数的解析式以及反比例函数的图形与性质.。
北师大版九年级数学上学期期末培优训练第六章：反比例函数(含答案)
九年级上学期期末培优训练：反比例函数1．如图，O为坐标原点，点B在x轴的正半轴上，四边形OACB是平行四边形，点A的横纵坐标之比为3：4，反比例函数y＝（k＞0）在第一象限内的图象经过点A，且与BC 交于点F．（1）若OA＝10，求反比例函数解析式；（2）若点F为BC的中点，且△AOF的面积S＝12，求OA的长和点C的坐标．解：（1）过点A作AH⊥OB于H，∵点A的横纵坐标之比为3：4，∴sin∠AOB＝，OA＝10，∴AH＝8，OH＝6，∴A点坐标为（6，8），根据题意得：8＝，可得：k＝48，∴反比例函数解析式：y＝（x＞0）；（2）设OA＝a（a＞0），过点F作FM⊥x轴于M，过点C作CN⊥x轴于点N，由平行四边形性质可证得OH＝BN，∵点A的横纵坐标之比为3：4，∴sin∠AOB＝，∴AH＝a，OH＝a，＝×a•a＝a2，∴S△AOH＝12，∵S△AOF∴S 平行四边形AOBC ＝24， ∵F 为BC 的中点， ∴S △OBF ＝6，∵BF ＝a ，∠FBM ＝∠AOB ，∴FM ＝a ，BM ＝a ，∴S △BMF ＝BM •FM ＝×a ×a ＝a 2，∴S △FOM ＝S △OBF +S △BMF ＝6+a 2，∵点A ，F 都在y ＝的图象上，∴S △AOH ＝S △FOM ＝k ，∴a 2＝6+a 2，∴a ＝，∴OA ＝，∴AH ＝，OH ＝2，∵S 平行四边形AOBC ＝OB •AH ＝24， ∴OB ＝AC ＝3，∴ON ＝OB +OH ＝5，∴C （5，）．2．平面直角坐标系xOy中，横坐标为a的点A在反比例函数y1＝（x＞0）的图象上，点B与点A关于原点O对称，一次函数y2＝mx+n的图象经过点B．（1）设a＝2，点C（4，2）在函数y1，y2的图象上．分别求函数y1，y2的表达式．（2）如图，设函数y1，y2的图象相交于点C，点C的横坐标为3a，△ABC的面积为16，求k的值．解：（1）∵点C（4，2）在函数y1＝（x＞0）的图象上，∴k＝4×2＝8，∴函数y1的表达式为y1＝．∵点A在y1＝的图象上，∴x＝a＝2，y＝4，∴点A（2，4）．∵A和点B关于原点对称，∴点B的坐标为（﹣2，﹣4）．∵一次函数y2＝mx+n的图象经过点A'和点B，∴，解之，得：，∴函数y2的表达式为y2＝x﹣2；（2）∵点A的横坐标为a，∴点A（a，）．∵A和点B关于原点对称，∴点B的坐标为（﹣a，﹣）．∵点B在y2＝mx+n的图象上，∴点B的坐标为（﹣a，﹣am+n）．∴﹣＝﹣am+n，a2m＝an+k①．∵点C的横坐标为3a，∴点C（3a，3am+n）或（3a，），∴3am+n＝，即9a2m+3an＝k②由①②得：a2m＝，an＝﹣．过点A作AD⊥x轴，交BC于点D，则点D（a，am+n），∴AD＝﹣am﹣n．＝AD（x c﹣x b）＝•4a（﹣am﹣n）＝16，∵S△ABc∴k﹣a2m﹣an＝8，∴k﹣﹣（﹣）＝8，∴k＝6．3．如图，已知正比例函数图象经过点A（2，2），B（m，3）（1）求正比例函数的解析式及m的值；（2）分别过点A与点B作y轴的平行线，与反比例函数在第一象限的分支分别交于点C、D（点C、D均在点A、B下方），若BD＝4AC，求反比例函数的解析式；（3）在第（2）小题的前提下，联结AD，试判断△ABD的形状，并说明理由．解：（1）设正比例函数的解析式为y＝kx，∵正比例函数图象经过点A（2，2），∴2＝2k，∴k＝1，∴比例函数的解析式为y＝x；把B（m，3）代入解析式得，m＝3；（2）∵AC∥BD∥y轴，∴C点的横坐标为2，D点的横坐标为3，设反比例函数的解析式为y＝，分别代入得y C＝，y D＝，∴AC＝2﹣，BD＝3﹣，∵BD＝4AC，∴3﹣＝4（2﹣），解得m＝3，∴反比例函数的解析式为y＝；（3）△ABD是等腰直角三角形；理由是：由（2）得：D（3，1），A（2，2），B（3，3），∴AB2＝（3﹣2）2+（3﹣2）2＝2，AD2＝（3﹣2）2+（2﹣1）2＝2，BD2＝（3﹣3）2+（3﹣1）2＝4，∴BD 2＝AB 2+AD 2，且AB ＝AD ， ∴△ABD 是等腰直角三角形．4．如图，直线y ＝x +3分别交x 轴、y 轴于点A 、C ．点P 是该直线与双曲线在第一象限内的一个交点，PB ⊥x 轴于B ，且S △ABP ＝16． （1）求证：△AOC ∽△ABP ； （2）求点P 的坐标；（3）设点Q 与点P 在同一个反比例函数的图象上，且点Q 在直线PB 的右侧，作QD ⊥x 轴于D ，当△BQD 与△AOC 相似时，求点Q 的横坐标．（1）证明：∵PB ⊥x 轴于B ，QC ⊥x 轴， ∴OC ∥PB ， ∴△AOC ∽△ABP ；（2）解：对于直线y ＝x +3， 令x ＝0，得y ＝3； 令 y ＝0，得x ＝﹣6， ∴A （﹣6，0），C （0，3）， ∴OA ＝6，OC ＝3 ∵△AOC ∽△ABP ，∴，∵S △ABP ＝16，S △AOC ＝，∴，∴，即，∴PB＝4，AB＝8，∴OB＝2，∴点P的坐标为（2，4）；（3）设反比例函数的解析式为y＝，把P（2，4）代入，得k＝xy＝2×4＝8，∴反比例函数的解析式为y＝；点Q在双曲线上，可设点Q的坐标为（n，）（n＞2），则BD＝n﹣2，QD＝，①当△BQD∽△ACO时，，∴，整理得，n2﹣2n﹣16＝0，解得n1＝1+，n2＝1﹣；②当△BQD∽△CAO时，，∴，整理得，n2﹣2n﹣4＝0，解得n3＝1+，n4＝1﹣，综上①②所述，点Q的横坐标为1+或1+．5．如图，已知反比例函数y＝的图象经过点A（﹣，b），过点A作x轴的垂线，垂足为B，△AOB的面积是．（1）求k和b的值；（2）若一次函数y＝ax+1的图象经过点A，且与x轴交于点C，求△AOC的面积．解：（1）∵点A的坐标是（﹣，b），∴AB＝b，OB＝，∵△AOB的面积是，∴×b＝，解得：b＝2，即A（﹣，2），把A的坐标代入y＝得：k＝2×（﹣）＝﹣2；（2）把A的坐标（﹣，2）代入y＝ax+1得：2＝﹣a+1，解得：a＝﹣，即y＝﹣x+1，当y＝0时，0＝﹣x+1，解得：x＝，即C点的坐标为（，0），∴△AOC的面积是＝．6．如图，已知A（﹣4，2）、B（n，﹣4）是一次函数y＝kx+b图象与反比例函数y＝图象的两个交点．（1）求此反比例函数和一次函数的解析式； （2）直接写出△AOB 的面积；（3）根据图象直接写出使一次函数的值小于反比例函数的值的x 的取值范围．解：（1）把（﹣4，2）代入y ＝得2＝，则m ＝﹣8．则反比例函数的解析式是y ＝﹣；把（n ，﹣4）代入y ＝﹣得n ＝﹣＝2，则B 的坐标是（2，﹣4）． 根据题意得：解得，所以一次函数的解析式是y ＝﹣x ﹣2；（2）设AB 与x 轴的交点是C ，则C 的坐标是（﹣2，0）． 则OC ＝2，S △AOC ＝2，S △BOC ＝4， 则S △AOB ＝6；（3）由函数图象可知x 的取值范围时﹣4＜x ＜0或x ＞2．7．已知：如图，点A （1，m ）是正比例函数y ＝k 1x 与反比例函数y ＝的图象在第一象限的交点，AB⊥x轴，垂足为点B，△ABO的面积是2．（1）求m的值以及这两个函数的解析式；（2）若点P在x轴上，且△AOP是以OA为腰的等腰三角形，求点P的坐标．解：（1）∵△ABO的面积是2，∴k2＝2×2＝4，∴反比例函数的解析式为y＝．当x＝1时，m＝＝4，∴点A的坐标为（1，4）．又∵点A（1，4）在正比例函数y＝k1x的图象上，∴k1＝4，∴正比例函数的解析式为y＝4x．（2）∵△AOP是以OA为腰的等腰三角形，∴OA＝OP或OA＝AP．①当OA＝OP时，∵点A的坐标为（1，4），∴OA＝＝，∴OP＝，∴点P的坐标为（﹣，0）或（，0）；②当OA＝AP时，OP＝2OB＝2，∴点P的坐标为（2，0）．综上所述：点P的坐标为（﹣，0），（，0），（2，0）．8．已知：A（a，y1），B（2a，y2）是反比例函数y＝（k＞0）图象上的两点．（1）比较y1与y2的大小关系；（2）若A、B两点在一次函数y＝﹣2x+b第一象限的图象上（如图所示），分别过A、B＝12，求a的值；两点作x轴的垂线，垂足分别为C、D，连接OA、OB，且S△OAB（3）在（2）的条件下，如果m＝﹣2x+12，n＝，求使得m＞n的x的取值范围．解：（1）∵A、B是反比例函数y＝（k＞0）图象上的两点，∴a≠0，当a＞0时，A、B在第一象限，由a＜2a可知，y1＞y2，同理，a＜0时，y1＜y2；（2）∵A（a，y1）、B（2a，y2）在反比例函数y＝（k＞0）的图象上，∴AC＝y1＝，BD＝y2＝，∴y1＝2y2．又∵点A（a，y1）、B（2a，y2）在一次函数y＝﹣2a+b的图象上，∴y1＝﹣2a+b，y2＝﹣4a+b，∴﹣2a +b ＝2（﹣4a +b ）， ∴b ＝6a ，∵S △AOC +S 梯形ACDB ＝S △AOB +S △BOD ， 又∵S △AOC ＝S △BOD ， ∴S 梯形ACDB ＝S △AOB ，∴ [（﹣2a +b ）+（﹣4a +b ）]•a ＝12， ∴a 2＝4， ∵a ＞0， ∴a ＝2；（3）由（2）得，一次函数的解析式为y ＝﹣2x +12，反比例函数的解析式为：y ＝，A 、B 两点的横坐标分别为2、4，且m ＝﹣2x +12、n ＝，因此使得m ＞n 的x 的取值范围就是反比例函数的图象在一次函数图象下方的点中横坐标的取值范围，从图象可以看出2＜x ＜4或x ＜0．9．如图，在平面直角坐标系中，菱形ABCD 的顶点C 与原点O 重合，点B 在y 轴的正半轴上，点A 在反比例函数y ＝（x ＞0）的图象上，点D 的坐标为（4，3）．设AB 所在的直线解析式为y ＝ax +b （a ≠0），若将菱形ABCD 沿x 轴正方向平移m 个单位， ①当菱形的顶点B 落在反比例函数的图象上，求m 的值；②在平移中，若反比例函数图象与菱形的边AD 始终有交点，求m 的取值范围．解：①∵点D 的坐标为（4，3），点C 和原点O 重合，∴CD＝＝5．∵四边形ABCD为菱形，∴BC＝AD＝CD＝5，∴点A的坐标为（4，8），点B的坐标为（0，5）．∵点A在反比例函数y＝（x＞0）的图象上，∴k＝4×8＝32，∴反比例函数解析式为y＝．当y＝5时，＝5，解得：x＝，∴当菱形的顶点B落在反比例函数的图象上时，m的值为．②当y＝3时，＝3，解得：x＝，∵﹣4＝，∴当菱形的顶点D落在反比例函数的图象上时，m的值为，∴在平移中，若反比例函数图象与菱形的边AD始终有交点，m的取值范围为0≤m≤．10．如图，已知∠AOB＝90°，∠OAB＝30°，反比例函数y＝﹣（x＜0）的图象过点B（﹣3，a），反比例函数y＝（x＞0）的图象过点A．（1）求a和k的值；（2）过点B作BC∥x轴，与双曲线y＝交于点C．求△OAC的面积．解：（1）∵比例函数y＝﹣（x＜0）的图象过点B（﹣3，a），∴a＝﹣＝1，∴OE＝3，BE＝1，分别过点A、B作AD⊥x轴于D，BE⊥x轴于E，∴∠BOE+∠OBE＝90°，∵∠AOB＝90°，∠OAB＝30°，∴∠BOE+∠AOD＝90°，tan30°＝＝，∴∠OBE＝∠AOD，∵∠OEB＝∠ADO＝90°，∴△BOE∽△OAD∴＝＝＝，∴AD＝•OE＝＝3，OD＝•BE＝＝∴A（，3），∵反比例函数y＝（x＞0）的图象过点A，∴k＝×＝9；（2）由（1）可知AD＝3，OD＝，∵BC∥x轴，B（﹣3，1），∴C点的纵坐标为1，过点C作CF⊥x轴于F，∵点C在双曲线y＝上，∴1＝，解得x ＝9， ∴C （9，1）， ∴CF ＝1，∴S △AOC ＝S △AOD +S 梯形ADFC ﹣S △COF ＝S 梯形ADCF＝（AD +CF ）（OF ﹣OD ）＝（3+1）（9﹣）＝13．11．如图已知直线y ＝kx +5（k ＜0）与x 、y 轴分别交于点A 、B ，与双曲线y ＝（x ＞0）交于点C ，过点C 作CD ⊥x 轴于点D ，连接OC ，设C 点坐标为（a ，b ），t ＝OD •DA （1）当a ＝4时，求k •t 的值； （2）求证：ka 2+5a ＝4；（3）随着a 的变化，k •t 的值是否变化，若不变化，求出其值；若变化，请说明理由．解：（1）设C 点坐标为（a ，b ）， 当a ＝4时，∴C （4，b ），∵点C 在双曲线y ＝上，∴b＝＝1，∴C（4，1），∵点C在直线y＝kx+5上，∴1＝4k+5，∴k＝﹣1，∴直线AB的解析式为y＝﹣x+5，令y＝0，则﹣x+5＝0，∴x＝5，∴A（5，0），∴OA＝5，∵CD⊥x轴于D，C（4，1），∴OD＝4，∴DA＝OA﹣OD＝1，∴t＝OD•DA＝4×1＝4，∴k•t＝﹣1×4＝﹣4；（2）∵点C（a，b）在双曲线y＝上，∴ab＝4，∵点C在直线y＝kx+5上，∴b＝ak+5，∴a（ak+5）＝4，∴ka2+5a＝4；（3）不变，理由：在直线AB：y＝kx+5中，令y＝0，则kx+5＝0，∴x＝﹣，∴A（﹣，0），∴OA＝﹣，∵CD⊥x轴于D，∴OD＝a，∴DA＝OA﹣OD＝﹣﹣a，∴t＝OD•DA＝a（﹣﹣a）＝﹣（a2k+5a），由（2）知，ka2+5a＝4，∴t＝﹣（a2k+5a）＝﹣×4＝﹣∴k•t＝k•（﹣）＝﹣4．12．如图1，点A（0，8）、点B（2，a）在直线y＝﹣2x+b上，反比例函数y＝（x＞0）的图象经过点B．（1）求a和k的值；（2）将线段AB向右平移m个单位长度（m＞0），得到对应线段CD，连接AC、BD．①如图2，当m＝3时，过D作DF⊥x轴于点F，交反比例函数图象于点E，求的值；②在线段AB运动过程中，连接BC，若△BCD是以BC为腰的等腰三角形，求所有满足条件的m的值．解：（1）∵点A（0，8）在直线y＝﹣2x+b上，∴﹣2×0+b＝8，∴b＝8，∴直线AB的解析式为y＝﹣2x+8，将点B（2，a）代入直线AB的解析式y＝﹣2x+8中，得﹣2×2+8＝a，∴a＝4，∴B（2，4），将B（2，4）在反比例函数解析式y＝（x＞0）中，得k＝xy＝2×4＝8；（2）①由（1）知，B（2，4），k＝8，∴反比例函数解析式为y＝，当m＝3时，∴将线段AB向右平移3个单位长度，得到对应线段CD，∴D（2+3，4），即：D（5，4），∵DF⊥x轴于点F，交反比例函数y＝的图象于点E，∴E（5，），∴DE＝4﹣＝，EF＝，∴＝＝；②如图，∵将线段AB向右平移m个单位长度（m＞0），得到对应线段CD，∴CD＝AB，AC＝BD＝m，∵A（0，8），B（2，4），∴C（m，8），D（（m+2，4），∵△BCD是以BC为腰的等腰三形，∴Ⅰ、当BC＝CD时，∴BC＝AB，∴点B在线段AC的垂直平分线上，∴m＝2×2＝4，Ⅱ、当BC＝BD时，∵B（2，4），C（m，8），∴BC＝，∴＝m，∴m＝5，即：△BCD是以BC为腰的等腰三角形，满足条件的m的值为4或5．13．平面直角坐标系xOy中，点A、B分别在函数y1＝（x＞0），与y2＝﹣（x＜0）的图象上，A、B的横坐标分别为a、b．（a、b为任意实数）（1）若AB∥x轴，求△OAB的面积；（2）作边长为2的正方形ACDE，使AC∥x轴，点D在点A的左上方，那么，当a≥3时，CD边与函数y1＝（x＞0）的图象有交点，请说明理由．解：（1）A、B的横坐标分别为a、b，则点A、B的坐标分别为（a，）、（b，﹣），AB∥x轴，则，则a＝﹣b，AB＝a﹣b＝2a，S＝×2a×＝3；△OAB（2）如图所示：∵a≥3，AC＝2，则直线CD在y轴右侧且平行于y轴，CD一定与函数有交点，设交点为F，设点A（a，），则点C（a﹣2，），点D（a﹣2，），点F（a﹣2，）则2﹣FC＝2﹣+＝，∵a≥3，∴a﹣3≥0，a﹣2＞0，故2﹣FC≥0，FC≤2，即点F在线段CD上，即当a≥3时，CD边与函数y1＝（x＞0）的图象有交点．14．如图，直线AB：y＝kx+b与x轴、y轴分别相交于点A（1，0）和点B（0，2），以线段AB为边在第一象限作正方形ABCD．（1）求直线AB的解析式；（2）求点D的坐标；（3）若双曲线（k＞0）与正方形的边CD始终有一个交点，求k的取值范围．解：（1）将A（1，0），B（0，2）代入y＝kx+b，得：，解得：，∴直线AB的解析式为y＝﹣2x+2．（2）作DF⊥x轴于F，则∠AFD＝90°，∵正方形ABCD，∴BA＝AD，∠BAD＝90°，∠BAO+∠DAF＝90°，∵∠BAO+∠ABO＝90°，∴∠ABO＝∠DAF．在△ADF和△BAO中，，∴△ADF≌△BAO（AAS），∴AF＝BO＝2，DF＝AO＝1，∴点D的坐标为（3，1）．（3）同（2）可得出点C的坐标为（2，3）．当双曲线过点D时，k＝3×1＝3；当双曲线过点C时，k＝2×3＝6，∴当双曲线（k＞0）与正方形的边CD始终有一个交点时，k的取值范围为3≤k≤6．15．如图，直线y1＝k1x+b与双曲线在第一象限内交于A、B两点，已知A（1，m），B（2，1）．（1）直接写出不等式y2＞y1的解集；（2）求直线AB的解析式；（3）设点P是线段AB上的一个动点，过点P作PD⊥x轴于点D，E是y轴上一点，求△PED的面积S的最大值．解：（1）∵A（1，m），B（2，1）．根据函数图象得，不等式y2＞y1的解集为0＜x＜1或x＞2；（2）∵点B（2，1）在双曲线上，∴k2＝2×1＝2，∴双曲线的解析式为y2＝，∵A（1，m）在双曲线y2＝上，∴m＝1×2＝2，∴A（1，2），∵直线AB：y1＝k1x+b过A（1，2）、B（2，1）两点，∴，∴，∴直线AB的解析式为：y＝﹣x+3；（3）设点P（x，﹣x+3），且1≤x≤2，则S＝PD•OD＝＝∵∴当时，S有最大值，最大值为．。
北师版九年级数学上册 第6章 6.2.1 反比例函数的图象 培优训练卷(含答案)
第6章反比例函数6.2.1 反比例函数的图象培优训练卷一．选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）1．若反比例函数y ＝k x 的图象经过点(2，－1)，则该反比例函数的图象在( )A ．第一、二象限B ．第一、三象限C ．第二、三象限D ．第二、四象限2．下列各点中，在反比例函数y ＝8x 的图象上的是( )A ．(－1，8)B ．(－2，4)C ．(1，7)D ．(2，4)3. 反比例函数y ＝－7x 的大致图象是( )4．关于反比例函数y ＝3x 图象的对称性，下列叙述错误的是( )A ． 关于x 轴对称B ．关于直线y ＝x 对称C ．关于直线y ＝－x 对称D ．关于原点对称5．反比例函数y ＝m x 的图象的两支分布在第一、三象限，则点(－m ，m ＋2)在( )A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限6. 在同一平面直角坐标系中，函数y ＝x ＋k 与y ＝k x (k 为常数，k≠0)的图象大致是()7. 关于反比例函数y ＝4x的图象，下列说法正确的是( ) A ．必经过点(1，1)B ．两个分支分布在第二、四象限C ．两个分支关于x 轴成轴对称D ．两个分支关于原点成中心对称8．若点A(a ，b)在反比例函数y ＝2x的图象上，则代数式ab －4的值为( ) A ．0 B ．－2 C ．2 D ．－69．如图，已知OA ＝6，∠AOB ＝30°，则经过点A 的反比例函数的表达式为( )A ．y ＝－93xB ． y ＝9xC ．y ＝93xD ．y ＝－9x10. 如图，平行于x 轴的直线与函数y ＝k 1x (k 1＞0，x ＞0)，y ＝k 2x(k 2＞0，x ＞0)的图象分别相交于A ，B 两点，点A 在点B 的右侧，C 为x 轴上的一个动点，若△ABC 的面积为4，则k 1－k 2的值为( )A ．8B ．－8C ．4D ．－4二．填空题（共8小题，3*8=24） 11. 若反比例函数y ＝8x的图象经过点(－2，m)，则m 的值是________. 12. 如图，它是反比例函数y ＝m －5x图象的一支，根据图象可知常数m 的取值范围是_____________．13. ．已知函数y＝(m＋1)xm2－5是反比例函数，且图象在第二、四象限内，则m的值是__________．14．若正比例函数y＝－2x与反比例函数y＝kx图象的一个交点坐标为(－1，2)，则另一个交点坐标为______________.15. 已知反比例函数y＝2k－3x的图象经过点(1，1)，则k的值为_____.16. A(3，－4)，B(－2，m)在同一个反比例函数的图象上，则m的值为____.17. 若一个反比例函数的图象经过点A(m，m)和B(2m，－1)，则这个反比例函数的表达式为_____.18. 如图，在△AOB中，∠AOB＝90°，点A的坐标为(2，1)，BO＝25，反比例函数y＝kx的图象经过点B，则k的值为________．三．解答题（共7小题，46分）19．(6分) 在同一坐标系中画出y＝5x和y＝－5x的图象，它们有什么相同点和不同点．20．(6分)已知反比例函数y1＝kx的图象与一次函数y2＝kx＋m的图象相交于A(2，1)，分别求出这两个函数的表达式，并在同一坐标系内画出它们的大致图象．21．(6分) 在平面直角坐标系中，反比例函数y＝kx(k≠0)的图象与一次函数y＝x＋2的图象的一个交点为P，且点P的横坐标为1，求该反比例函数的表达式．22．(6分)如图，Rt△ABC的两个锐角顶点A，B在函数y＝kx(x＞0)的图象上，AC∥x轴，AC＝2，若点A的坐标为(2，2)，求点B的坐标．23．(6分) 点P(1，a)在反比例函数y＝kx的图象上，它关于y轴的对称点在一次函数y＝2x＋4的图象上，求此反比例函数的表达式．24．(8分)已知反比例函数y＝k－1x(k为常数，且k≠1)．(1)若点A(1，2)在这个函数的图象上，求k的值；(2)若k＝13，试判断点B(3，4)，C(2，5)是否在这个函数的图象上，并说明理由．25．(8分)如图，某反比例函数图象的一支经过点A(2，3)和点B(点B在点A的右侧)，作BC⊥y轴，垂足为点C，连接AB，AC.(1)求该反比例函数的表达式；(2)若△ABC的面积为6，求直线AB的表达式．参考答案：1-5DDDAB 6-10BDBCA 11．－412. m＞513. 214．(1，－2)15. 216. 617. y＝4 x18. -819. 解：如图所示．相同点：①都是双曲线，②都是轴对称图形，③都是中心对称图形，④与坐标轴无交点．不同点：k>0时，图象在第一、三象限，k<0时图象在第二、四象限20. 解：∵反比例函数y1＝kx的图象与一次函数y2＝kx＋m的图象相交于A(2，1)，∴k＝2×1＝2，k×2＋m＝1.∴k＝2，m＝－3.∴y1＝2x，y2＝2x－3.它们的图象如图所示21. 解：∵当x＝1时，y＝x＋2＝3，∴点P的坐标为(1，3)．将点P的坐标(1，3)代入y＝kx，得k＝3，∴反比例函数的表达式为y＝3 x22. 解：∵点A(2，2)在函数y＝k(x＞0)的图象上，∴2＝k，得k＝4.∴点B的横坐标是4，∴y＝44＝1，∴点B的坐标为(4，1)．23. 解：点P(1，a)关于y轴的对称点是P′(－1，a)．∵点P′(－1，a)在一次函数y＝2x＋4的图象上，∴a＝2×(－1)＋4＝2.∵点P(1，2)在反比例函数y＝kx的图象上，∴k＝2，∴反比例函数的表达式为y＝2 x.24. 解：(1)∵点A(1，2)在这个函数的图象上，∴2＝k－1，解得k＝3(2)∵k＝13，∴反比例函数的表达式为y＝12 x.将点B的坐标代入y＝12x，可知点B的坐标满足函数关系式，∴点B在函数y＝12x的图象上；将点C的坐标代入y＝12x，由5≠122＝6可知点C的坐标不满足函数关系式，∴点C不在函数y＝12x的图象上25. 解：(1)设该反比例函数的表达式为y＝kx，由题意，得k＝2×3＝6，∴设反比例函数的表达式为y＝6 x(2)设点B的坐标为(a，b)，过点A作AD⊥BC于点D，则D(2，b)．∵反比例函数y＝6x的图象经过点B(a，b)，∴b＝6a，∴AD＝3－6a，∴S△ABC＝12BC·AD＝12a(3－6a)＝6，解得a＝6，∴b＝6a＝1，∴B(6，1)．。
北师大版九年级数学 反比例函数 培优专题训练(含答案)
北师大版九年级数学反比例函数培优专题训练（含答案）【基础演练】（1）反比例函数y＝的图象位于（）A.第一、三象限B.第二、三象限C.第一、二象限D.第二、四象限（2）如果反比例函数y＝（a是常数）的图象在第一、三象限，那么a的取值范围是（）A.a<0B.a>0C.a<2D.a>2（3）如图Z3-4-1，点P是反比例函数y＝（k≠0）的图象上任意一点，过点P作PM⊥x 轴，垂足为M.若△POM的面积等于2，则k的值等于（）A.-4B.4C.-2D.2图Z3-4-1 图Z3-4-2（4）如图Z3-4-2所示，在平面直角坐标系xOy中，点A，B，C为反比例函数y＝（k>0）上不同的三点，连接OA，OB，OC，过点A作AD⊥y轴于点D，过点B，C分别作BE，CF 垂直x轴于点E，F，OC与BE相交于点M，记△AOD、△BOM、四边形CMEF的面积分别为S1、S2、S3，则（）A.S1＝S2+S3B.S2＝S3C.S3>S2>S1D.S1S2<S32（5）已知点A 是直线y ＝2x 与双曲线y ＝（m 为常数）一支的交点，过点A 作x 轴的垂线，垂足为B ，且OB ＝2，则m 的值为（ ）A.-7B.-8C.8D.7 （6）如图Z3-4-3，一次函数y 1＝ax+b 和反比例函数y 2＝的图象相交于A ，B 两点，则使y 1>y 2成立的x 取值范围是（ ）A.-2<x<0或0<x<4B.x<-2或0<x<4C.x<-2或x>4D.-2<x<0或x>4图Z3-4-3 图Z3-4-4（7）如图Z3-4-4，正比例函数y ＝kx 与反比例函数y ＝的图象相交于A ，C 两点，过点A 作x 轴的垂线交x 轴于点B ，连接BC ，则△ABC 的面积等于（ ）A.8B.6C.4D.2（8）验光师测得一组关于近视眼镜的度数y （度）与镜片焦距x （米）的对应数据如下表，根据表中数据，可得y 关于x 的函数表达式为（ ） 近视眼镜的度数y （度）200 250 400 5001 000 镜片焦距x（米）0.50 0.40 0.250.20 0.10A.y＝B.y＝C.y＝D.y＝【能力提升】（1）如图Z3-4-5，在平面直角坐标系中，菱形ABCD在第一象限内，边BC与x轴平行，A，B 两点的纵坐标分别为4，2，反比例函数y＝（x>0）的图象经过A，B两点，若菱形ABCD 的面积为，则k的值为（）A.2B.3C.4D.6图Z3-4-5 图Z3-4-6（2）如图Z3-4-6，⊙O的半径为2，双曲线的解析式分别为y＝和y＝-，则阴影部分的面积是（）A.4πB.3πC.2πD.π（3）如图Z3-4-7，正比例函数y1＝k1x的图象与反比例函数y2＝（x>0）的图象相交于点A（，），点B是反比例函数图象上一点，它的横坐标是3，连接OB，AB，则△AOB的面积是.图Z3-4-7 图Z3-4-8（4）教室里的饮水机接通电源就进入自动程序，开机加热时每分钟上升10 ℃，加热到100 ℃停止加热，水温开始下降，此时水温y（℃）与开机后用时x（min）成反比例关系，直至水温降至30 ℃，饮水机关机，饮水机关机后即刻自动开机，重复上述自动程序.若在水温为30 ℃时接通电源，水温y（℃）与时间x（min）的关系如图Z3-4-9所示：（1）分别写出水温上升和下降阶段y与x之间的函数关系式.（2）怡萱同学想喝高于50 ℃的水，请问她最多需要等待多长时间?【拓展培优】（1）某蔬菜生产基地的气温较低时，用装有恒温系统的大棚栽培一种新品种蔬菜.如图Z3-4-10是试验阶段的某天恒温系统从开启到关闭后，大棚内的温度y （℃）与时间x（h）之间的函数关系，其中线段AB，BC表示恒温系统开启阶段，双曲线的一部分CD表示恒温系统关闭阶段.请根据图中信息解答下列问题：（1）求这天的温度y与时间x（0≤x≤24）的函数关系式.（2）求恒温系统设定的恒定温度.（3）若大棚内的温度低于10 ℃时，蔬菜会受到伤害.问这天内，恒温系统最多可以关闭多少小时，才能使蔬菜避免受到伤害？图Z3-4-10（2）长为300 m的春游队伍，以v（m/s）的速度向东行进，如图Z3-4-11①和②，当队伍排尾行进到位置O时，在排尾处的甲有一物品要送到排头，送到后立即返回排尾，甲的往返速度均为2v（m/s），当甲返回排尾后，他及队伍均停止行进.设排尾从位置O开始行进的时间为t（s），排头与O的距离为S头（m）.①②图Z3-4-11（1）当v＝2时，解答：①求S头与t的函数关系式（不写t的取值范围）；②当甲赶到排头位置时，求S头的值；在甲从排头返回到排尾过程中，设甲与位置O的距离为S甲（m），求S甲与t的函数关系式（不写t的取值范围）.（2）设甲这次往返队伍的总时间为T（s），求T与v的函数关系式（不写v的取值范围），并写出队伍在此过程中行进的路程.答案；【基础演练】1 A.2 D.3 A.4 B5 D6 B.7 C8 A【能力提升】1 C.2 C. 34解：（1）观察图象，可知当x＝7 min时，水温y＝100（℃）当0≤x≤7时，设y关于x的函数关系式为y＝kx+b，得即当0≤x≤7时，y关于x的函数关系式为y＝10x+30，当x>7时，设y＝，100＝，得a＝700，即当x>7时，y关于x的函数关系式为y＝.当y＝30时，x＝，∴ y与x的函数关系式为y＝y与x的函数关系式每min重复出现一次.（2）将y＝50代入y＝10x+30，得x＝2，将y＝50代入y＝，得x＝14，∵ 14-2＝12，-12＝，.∴ 怡萱同学想喝高于50 ℃的水，她最多需要等待 min..【拓展培优】1 解：（1）设线段AB的关系式为y＝k1x+b（k≠0）.∵ 线段AB过点（0，10），（2，14），代入得解得∴ AB的关系式为y＝2x+10（0≤x<5）.∵ B在线段AB上，当x＝5时，y＝20，∴ B坐标为（5，20），∴ 线段BC的关系式为y＝20（5≤x<10）.设双曲线CD的关系式为y＝（k2≠0），∵ C（10，20）在双曲线上，∴ k2＝200，∴ 双曲线CD的关系式为y＝（10≤x≤24）.∴ y关于x的函数关系式为y＝（2）由（1）知恒温系统设定恒温为20 ℃.（3）把y＝10代入y＝中，解得x＝20.∴ 20-10＝10.答：恒温系统最多关闭10小时，蔬菜才能避免受到伤害.2 解：（1）①排尾从位置O开始行进的时间为t（s），则排头也离开原排头t（s），∴ S头＝2t+300.②甲从排尾赶到排头的时间为300÷（2v-v）＝300÷v＝300÷2＝150（s），此时S头＝2t+300＝600（m），甲返回时间为（t-150）s，∴ S甲＝S头-S甲回＝2×150+300-4（t-150）＝-4t+1 200.因此，S头与t的函数关系式为S头＝2t+300，当甲赶到排头位置时，求S的值为600 m，在甲从排头返回到排尾过程中，S甲与t的函数关系式为S甲＝-4t+1 200.（2）T＝t追及+t返回＝+＝，在甲这次往返队伍的过程中队伍行进的路程为v×＝400.因此T与v的函数关系式为T＝，此时队伍在此过程中行进的路程为400 m.。
北师大版九年级数学上册《6.1反比例函数》同步测试题及答案
北师大版九年级数学上册《6.1反比例函数》同步测试题及答案一、单选题1．下列函数：①y=x−2，②y=3x ，③y=x−1，④y=2x+1，⑤xy=11，⑥y=kx，⑦y=5x2，⑧yx=1．其中y是x的反比例函数的有（）A．1个B．2个C．3个D．4个2．下列问题中，两个变量成反比例的是（）A．商一定时（不为零），被除数与除数；B．等腰三角形周长一定时，它的腰长与它底边的长；C．一个因数（不为零）不变时，另一个因数与它们的积；D．货物的总价A一定时，货物的单价a与货物的数量x．3．当x=−3时，反比例函数y=−12x的函数值为（）A．−14B．4C．−4D．144．下列各点在反比例函数y=−8x的图象上的是（）A．(−2,−4)B．(2,4)C．(13,24)D．(−12,16)5．若一个反比例函数的图象经过A(2，−4)、B(m，−2)两点，则m的值为（）A．−4B．4C．8D．−86．如果点A(a，−b)在反比例函数y=2x的图象上，则代数式ab−4的值为（）A．0B．−2C．2D．−67．已知点A(3,m)和点B(n,2)关于x轴对称，则下列各点不在反比例函数y=mnx的图象上的点是（）A．(3,−2)B．(−3,2)C．(−1,−6)D．(−1,6)8．现有A、B两枚均匀的小立方体(立方体的每个面上分别标有数字1，2，3，4，5，6).用小莉掷A立方体朝上的数字为x、小明掷B立方体朝上的数字为y来确定点P(x,y)，那么他们各掷一次所确定的点P落在双曲线y=6x上的概率为（）A．19B．23C．118D．16二、填空题9．已知反比例函数y=−8x的图像经过(−2,m)，则m=10．已知反比例函数y=8x的图象经过点A(m,−2)，则A关于原点对称点A′坐标为．11．已知y与x-2成反比例，且比例系数为k≠0，若x=3时，y=4，则k=．12．已知y−3与x+2成反比例，且x=2时y=7，则当y=1时，x的值为13．已知点A(x1,y1)，B(x2,y2)都在反比例函数y=4x的图象上．若x1⋅x2=−2，则y1⋅y2的值为．14．点A(x1,y1)，B(x2,y2)在反比例函数y=kx(k≠0)的图象上，若x1+x2=0，则y1+y2=．15．已知点P（a，b）是反比例函数y=1x 图像上异于点（－1，－1）的一个动点，则21+a+21+b＝．16．如图，平面直角坐标系中，若反比例函数y=kx(k≠0)的图象过点A和点B，则a的值为．三、解答题17．已知y=(a−2)x a2−a−1，当a为何值时，y为x的正比例函数？当a为何值时，y为x的反比例函数？18．写出下列问题中的函数关系式，并指出其比例系数.（1）当圆锥的体积是150cm³时，它的高ℎ（cm）与底面积S（cm²）的函数关系式；（2）功是常数W时，力F与物体在力的方向上通过的距离s的函数关系式；（3）某实验中学八（2）班同学为校运动会制作小红花1000朵，完成的天数y与该班同学每天制作的数量x 之间的函数关系式；（4）某商场推出分期付款购买电脑的活动，一台电脑售价1.2万元，首期付款4千元后，分x次付清，每次付款相同. 每次的付款数y（元）与付款次数x的函数关系式.19．已知反比例函数y=−12x．(1)说出这个函数的比例系数和自变量的取值范围．(2)求当x=−3时函数的值．(3)求当y=−√3时自变量x的值．20．已知函数y=y1+y2，其中y1与x成正比例，y2与x−3成反比例，当x=2时y=16；当x=4时，y=20．求：(1)y关于x的函数解析式及定义域；(2)当x=5时的函数值．21．已知y−3与x+1成反比例关系，且当x=2时y=1．(1)求y与x的函数表达式．)是否在该函数图象上，并说明理由．(2)试判断点B(3,−1222．在面积为定值的一组矩形中，当矩形的一边长为7.5cm时，它的另一边长为8cm．(1)设矩形相邻的两边长分别为x(cm),y(cm)，求y关于x的函数表达式．这个函数是反比例函数吗？如果是，指出比例系数．(2)若其中一个矩形的一条边长为5cm，求这个矩形与之相邻的另一边长．23．服装厂承揽一项生产1600件夏凉小衫的任务，计划用t天完成.(1)写出每天生产夏凉小衫w(件）与生产时间t(天)（t>4）之间的函数关系式；(2)服装厂按计划每天生产100件夏凉小衫，那么需要多少天能够完成任务？(3)由于气温提前升高，商家与服装厂商议调整计划，决定提前6天交货，那么服装厂每天要多做多少件夏凉小衫才能完成任务？参考答案：题号 1 2 3 4 5 6 7 8答案 C D B D B D C A(k≠0)，xy=k(k≠0)，y=kx−1(k≠0)．1．解：反比例的三种形式分别为：y=kx①中x的次数是1，是一次函数，不是反比例函数；②，③是反比例函数；④中分母是x+1，故不是反比例函数；⑤是反比例函数；⑥中没有k≠0，故不是反比例函数；⑦分母是x2，故不是反比例函数；⑧中x的次数是1，是一次函数，不是反比例函数．故有三个是反比例函数．故选C．2．解：A、商一定时（不为零），被除数和除数成正比例关系，故A错误；B、等腰三角形周长一定时，它的腰长与它底边的长成一次函数关系；故B错误；C 、一个因数（不为零）不变时，另一个因数与它们的积成正比例关系；故C 错误；D 、货物的总价A 一定时，货物的单价a 与货物的数量x 成反比例关系；故D 正确． 故选D3．解：当x =−3时 故选：B ．4．解：A.当x =−2时y =−8−2=4，故该点不在反比例函数y =−8x图象上；B. 当x =2时y =−82=−4，故该点不在反比例函数y =−8x 图象上； C. 当x =13时y =−813=−24，故该点不在反比例函数y =−8x 图象上；D. 当x =−12时y =−8−12=16，故该点在反比例函数y =−8x 图象上；故选：D ．5．解：设反比例函数的表达式为y =kx（k ≠0）∵反比例函数的图象经过A(2，−4)、B(m ，−2)两点 ∵k =2×(−4)=−2m 解得：m =4 故选：B ．6．解：∵点A(a ，−b)在反比例函数y =2x 的图象上 ∵−b =2a ∵ab =−2∵ab −4=−2−4=−6 故选D ．7．解：∵点A (3,m )和点B (n,2)关于x 轴对称 ∵{m =−2n =3∵反比例函数解析式为y =mn x=−6x∵在反比例函数图象上的点一定满足横纵坐标的乘积为−6 ∵四个选项中只有C 选项符合题意 故选C ．8．解：表格列示所有投掷情况如下小明小莉12345611,11,21,31,41,51,622,12,22,32,42,52,633,13,23,33,43,53,644,14,24,34,44,54,655,15,25,35,45,55,666,16,26,36,46,56,6点P若落在y=6x上，则xy=6．如上表，两人掷的组合情况共有6×6=36种，其中满足要求的有4种：2,3；3,2；1,6；6,1，故概率为436=19；故选：A9．解：把(−2,m)代入y=−8x即m=−8−2=4故答案为：4．10．解：∵反比例函数y=8x的图象经过点A(m,−2)∵−2m=8解得m=−4∴A(−4,−2)则A关于原点对称点A′(4,2)故答案为：(4,2)．11．解：由题意知k=y（x-2）∵x=3时，y=4∵k=4×（3-2）=4．故答案为：412．解：∵y −3与x +2成反比例 ∵可设：y −3=k x+2(k ≠0)又∵x =2,y =7 ∵7−3=k 2+2解之得：k =16 ∵得：y −3=16x+2，即：y =16x+2+3∵当y =1时得：1=16x+2+3 解之得：x =−10 故答案为：−10．13．解：∵点A (x 1,y 1)，B (x 2,y 2)都在反比例函数y =4x 的图象上∴x 1y 1=4，x 2y 2=4 ∴x 1y 1x 2y 2=16且x 1⋅x 2=−2 ∴y 1⋅y 2=−8． 故答案为：−8．14．解：∵点A(x 1，y 1)，B(x 2，y 2)在反比例函数y =k x (k ≠0)的图象上 ∵y 1=k x 1，y 2=k x 2∵y 1+y 2=kx 1+kx 2=k(x 1+x 2)x 1x 2．∵x 1+x 2=0 ∵k(x 1+x 2)x 1x 2=0，即y 1+y 2=0．故答案为：0．15．解：∵点P(a,b)是反比例函数y =1x 图象上异于点(−1,−1)的一个动点∴ab =1∴ 21+a +21+b =2(1+b)(1+a)(1+b)+2(1+a)(1+a)(1+b)=2(1+b+1+a)1+b+a+ab=2(2+a+b)2+a+b=2．故答案为2．16．解：依题意，将点A (1,−3)代入y =kx ，得出k =−3∵反比例数解析式为y =−3x当x =−2时y =32即a =32 故答案为：32．17．解：当y 为x 的正比例函数时{a −2≠0a 2−a −1=1解得：a =−1．所以：当a =−1时，y 为x 的正比例函数． 当y 为x 的反比例函数时{a −2≠0a 2−a −1=−1解得：a =0或a =1．所以：当a =0或a =1时，y 为x 的反比例函数． 18．解：（1）∵hS=450，∵ℎ=450S，∵比例系数为450.（2）∵Fs=W ，∵F =W s，∵比例系数为W . （3）∵xy=1000，∵y =1000x，∵比例系数为1000.（4）∵xy=12000-4000，∵y =8000x，∵比例系数为8000.19．（1）解：∵y =−12x∵k =−12,x ≠0；（2）解：把x =−3，代入y =−12x 得：y =−12−3=4； ∵当x =−3时函数的值为：4；（3）解：把y =−√3，代入y =−12x 得：−√3=−12x ，解得：x =4√3；∵当y =−√3时x 的值为：4√3．20．（1）解：∵ y 1与x 成正比例，y 2与x −3成反比例 ∴设y 1=ax(a ≠0)∴y =y 1+y 2=ax +bx −3∵当x =2时y =16；当x =4时∴{2a +b2−3=164a +b4−3=20解得：a =6∴y =6x −4x −3∵x −3≠0 ∴x ≠3∴y =6x −4x −3(x ≠3) （2）解：由（1）可知y =6x −4x−3，则当x =5时y =6×5−45−3=28． 21．（1）解：设y −3=k x+1∵当x =2时y =1 ∵1−3=k2+1 ∵k =−6 ∵y =−6x+1+3； （2）不在；理由如下： 当x =3时y =−63+1+3=32∵B (3,−12)不在该函数图象上．22．（1）解：设矩形的面积为Scm 2，则S =7.5×8=60 即xy =60，y =60x即y 关于x 的函数解析式是y =60x，这个函数是反比例函数，系数为60；（2）解：当x =5时y =60x=12故这个矩形与之相邻的另一边长为12cm ． 23．解：（1）根据题意，得wt =1600 所以w =1600t(t >4)；(2)当w=100时1600t=100，解得t=16.即服装厂需要16天能够完成任务.(3)当t=16−6=10时w=1600t =160010=160（件）.160−100=60(件)即服装厂每天要多做60件夏凉小衫才能完成任务.。
北师大版九年级上册第六章反比例函数与几何综合培优专题(真题含答案)
9
（1） SOAB ＝ _____， m ＝ _____；
（2）已知点
P
6,
0 在线段
OE
上，当
PDE
CBO
时，求点
D
的坐标．
23．（2019·四川中考真题）如图，在平面直角坐标系中，直线 AB 与 y 轴交于点
B(0, 7) ，与反比例函数
y
8 x
在第二象限内的图象相交于点
A(1,
y3 y4 ，求 x3 x4 的值； ④若直线 y a 与函数图象有三个不同的交点，求 a 的取值范围．
yk 26．（2019·江苏中考真题）如图， A 为反比例函数 x (x>0)图象上的一点，在 x 轴 正半轴上有一点 B ， OB 4 .连接 OA ， AB ，且 OA AB 2 10 .
D． 5
3．（2019·山东中考真题）如图，点 A 的坐标是(-2,0)，点 B 的坐标是(0,6)，C 为 OB
的中点，将△ABC
绕点
B
逆时针旋转
90°后得到
ABC
．若反比例函数
y
k x
的图
象恰好经过 AB 的中点 D，则 k 的值是（ ）
A．9
B．12
C．15
D．18
4．（2019·重庆中考真题）如图，在平面直角坐标系中，菱形 OABC 的边 OA 在 x 轴
y
k x
(k
0)
的图象交于第二、四象限内的点
A(a,
4)
和点
B(8, b)
．过点
A
作
x
轴的
10
垂线，垂足为点 C ， AOC 的面积为 4．
北师大版九年级数学上册第六章B反比例函数图形与面积培优专题训练(含答案)
第六章反比例函数图形面积与培优专题训练（一）知识梳理1. 过反比例函数（k ≠0）图象上一点向坐标轴作垂线，与坐标轴形成的矩形的面积等于 |k| 。
2.基本模型：（1）||k S OABC=矩形 （2） AB=CD （3） AB=CD（4）ABCD OCDS S 梯形△= （5） AB//CD（二）典型例题 例1.如图1，点A 是反比例函数图象上的一点，过点A 作AB ⊥y 轴于点B ，若△ABO 的面积是2，则该反比例函数的关系式是 。
如图2，点A 是反比例函数图象上的一点，过点A 作AB ⊥y 轴于点B ，若△ABP 的面积是2，则该反比例函数的关系式是 。
如图3，点A 是反比例函数图象上的一点，过点A 作AB ⊥x 轴于点B ，若△ABP 的面积是2，则该反比例函数的关系式是 。
答案：图1：y=；图2：y=；图3：y= -分析：（1）|k|=2△ABO 的面积；（2） 由同底等高三角形面积相等可得：△ABP 的面积=△ABO 的面积 （3）根据双曲线所在象限确定k 的符号 例2.如图，A,B 是双曲线y=上的两点，过A 点作AC ⊥x 轴于点C ，交OB 于D 点，若△ADO 的面积为2，D 为OB 的中点，则k 的值为（ ） A.B.C.6D.8答案答案：选A方法一：作BE ⊥x 轴于点E△AOC 与△BOE 面积相等，∴四边形BECD=△AOD 面积=1 D 为OB 中点，∴△ODC 面积是1/3 ∴△AOC 面积是1+1/3=4/3，k=8/3 方法二：连接ABD 为OB 中点，∴△ODA 的面积=△ABD 的面积=1 ∴梯形ABEC 面积=△AOB 的面积=2设A(m,k/m),则B(2m,k/2m),计算梯形面积得k=8/3 （三）练习1.如图，点P 在反比例函数的图象上，且PD ⊥x 轴于点D ，连接OP ，若△POD的面积为6，则k的值是（ ）A ．6 B ．12 C ．﹣6 D ．﹣12（1题）（2题）（3题）2.如图，P1、P2、P3是双曲线上的三点．过这三点分别作y轴的垂线，得到三个△P1A10，△P2A20，△P3A30，设它们的面积分别是S1、S2、S3，则（）A．S1＜S2＜S3B．S2＜S1＜S3C．S1＜S3＜S2D．S1=S2=S33. 如图，在平面直角坐标系中，点A是x轴上一个定点，点B是双曲线xy3（x>0）上一个动点，当点B的横坐标逐渐增大时，△OAB的面积将会（）A.逐渐增大B.不变C.逐渐减小D.先增大后减小4.已知点，点都在反比例函数的图象上，过点分别作两坐标轴的垂线，两垂线与两坐标轴围成的矩形面积为（）A. B. C. D.5.如图，平面直角坐标系中，点是轴上任意一点，平行于轴，分别交、的图象于、两点，若的面积为，则值为（）A. B. C. D.(5)（6）（7）6.如图，过轴上任意一点作轴的平行线，分别与反比例函数，的图象交于点和点，若为轴任意一点．连接、，则的面积为____．7.如图，直角三角形的直角顶点在坐标原点，∠，若点在反比例函数的图象上，则经过点的反比例函数解析式为（）A. B. C. D.8.（2018河南中考）如图，反比例函数的图象过格点（网格线的交点）P.（1）求反比例函数的解析式；（2）在图中用直尺和2B铅笔画出两个矩形（不写画法），要求每个矩形均需满足下列两个条件：①四个顶点均在格点上，且其中两个顶点分别是点O，点P；②矩形的面积等于的值．9.如图，平行四边形OABC的顶点O在坐标原点，顶点A，C在反比例函数y= (x＞0)的图象上，点A的横坐标为4，点C的横坐标2，且平行四边形OABC的面积为9，则k的值为．11.如图，反比例函数的图象经过矩形OABC 对角线的交点M ，分别于AB 、BC 交于点D 、E ，若四边形ODBE 的面积为9，则k 的值为（ ）答案：（三）练习 1. D ． 2. D ．3. C.分析：双曲线xy 3（x>0）的k=3>0,y 随x 的增大而减小，所以点B 的横坐标逐渐增大时，点B 的纵坐标逐渐减小，即△OAB 的高逐渐减小，△OAB 的底部OA 不变，所以△OAB 的面积将会逐渐减小。
北师大版九年级数学上册第六章反比例函数提高培优讲义：反比例函数和一次函数综合(含答案)
北师大版九年级数学上册第六章反比例函数提高培优讲义：反比例函数和一次函数综合知识梳理：模块一：反比例函数和一次函数图象综合模块二：反比例函数的对称性(第14题)模块三：平行和相等模型AM BN =AM BN =模块四、例题讲解:例1、（1）函数y kx k =+与()ky k x=≠0在同一直角坐标系中的图象大致是（ ）A ．B ．C ．D ．（2）在同一坐标系内，表示函数y kx b =+与kby x=（k ≠0，b ≠0）的图像只可能是下图中的（ ）D C B AD C BD CDA ．B ．C ．D ．（1）C ；（2）B ．例2、如图，反比例函数ky x=与一次函数y mx b =+的图象交于(,)A 13，(,)B n -1两点． （1）求反比例函数与一次函数的解析式；（2）据图象回答：当x 取何值时，反比例函数的值小于一次函数的值．（1）y x3=，y x =+2； （2）x -3<<0或x >1．例3、（1）如图3-1，直线()y kx k =>0与双曲线y x2=交于A 、B 两点，坐标分别为(,)A x y 11，(,)B x y 22，则x y x y 1221+的值为_________．（2）如图3-2，已知直线y x 1=2与双曲线()ky k x=>0交于A 、B 两点，且点A 的横坐标为4．过原点O 的另一条直线l 交双曲线()ky k x=>0于P 、Q 两点（P 点在第一象限），若由点P 、Q 、A 、B 为顶点组成的四边形面积为24，则点P 的坐标为____________．图3-1 图3-2（1）-4；（提示：x x 21=-，y y 21=-）（2）由对称性可得，OP OQ =，OA OB =，则四边形APBQ 是平行四边形，∴△POA APBQ S S 11==⨯24=644，设P 点坐标为,p p x x 8⎛⎫ ⎪⎝⎭，若p x 0<<4，则()p p x x 18⎛⎫2+4-=6 ⎪2⎝⎭，解得p x =2（舍负），∴(,)P 24；若p x >4，则()p p x x 18⎛⎫2+-4=6 ⎪2⎝⎭，解得p x =8（舍负），∴(,)P 81，故P 点坐标为(,)24或(,)81．例4、（1）已知一次函数y x b =-+的图象与反比例函数()ky k x=>0的图象的一个交点坐标是(,)26，则另一个交点的坐标是_________．（2）已知一次函数y x b =+的图象与反比例函数()ky k x=<0的图象的一个交点坐标是(,)-15，则另一个交点的坐标是_________．（1）(,)62；（2）(,)-51．例5、（1）如图5-1，直线y x =-+1与x 轴交于点A ，与y 轴交于点B ，与反比例函数ky x=在第一象限内的图象交于C 、D 两点，已知C 点的横坐标为14．则△OCD 的面积为______________．（2）如图5-2，已知直线y x m n =-++与双曲线y x1=交于两个不同的点(,)A m n (≥m 2)和(,)B p q ．直线y x m n =-++与y 轴交于点C ，则△OBC 的面积S 和m 的函数关系式为_________________．（3）如图5-3，等腰直角三角形ABC 位于第一象限，AB AC ==2，直角顶点A 直线y x =上，其中A 点的横坐标为1，且两条直角边AB 、AC 分别平行于x 轴、y 轴，若双曲线()ky k x=≠0与△ABC 有交点，则k 的取值范围是 ．图5-1 图5-2 图5-3（1）由题意，C 点的坐标为,13⎛⎫ ⎪44⎝⎭，∴D 点的坐标为31⎛⎫⎪44⎝⎭，，∴△OCD S 13111⎛⎫=+⨯⨯= ⎪44224⎝⎭．（2）由题意，点A 与点B 关于直线y x =对称，则B 点坐标为(,)n m ，∴(△)OBC S S m n n mn n 2111==+⋅=+222，又n m 1=，∴S m 211=+22．（3）≤≤k 14．例6、在平面直角坐标系中，函数my x=（x >0，m 是常数）的图象经过点(,)A 14，点(,)B a b ，其中a >1，过点A 作x 轴的垂线，垂足为C ，过点B 作y 轴的垂线，垂足为D ，AC 与BD 相交于点M ，连接AD ，DC ，CB 与AB ． （1）求m 的值； （2）求证：DC//AB ；（3）当AD BC =时，求直线AB 的函数解析式．（1）m =4；（2）略；（3）当四边形ABCD 为平行四边形或为等腰梯形时，对应的直线AB 的解的式为y x =-2+6或y x =-+5．例7、（1）如图7-1，一次函数y ax b =+的图象与x 轴，y 轴交于A ，B 两点，与反比例函数ky x=的图象相交于C ，D 两点，分别过C ，D 两点作y 轴，x 轴的垂线，垂足为E ，F ，连接CF ，DE ．有以下四个结论：①△CEF 与△DEF 的面积相等；②△≌△AOB FOE ；③△≌△DCE CDF ；④AC BD =．其中正确的结论是________（把你认为正确结论的序号都填上）．（2）如图7-2，在平面直角坐标系xOy 中，直线y x 3=2与双曲线y x6=相交于A ，B 两点，C 是第一象限内双曲线上一点，连接CA 并延长交y 轴于点P ，连接BP ，BC ．若△PBC 的面积是20，则点C 的坐标为___________．（3）如图7-3，在平面直角坐标系xOy 中，△OAB 的顶点A 在x 轴正半轴上，OC 是△OAB的中线，点B ，C 在反比例函数()y x x3=>0的图象上，则△OAB 的面积等于________．图7-1 图7-2 图7-3（1）①④（2）,149⎛⎫⎪37⎝⎭；（3）92．模块五、课后作业：1、（1）已知关于x 的函数()y k x =+1和()≠ky k x=-0，它们在同一坐标系中的图象可能是（ ）A ．B ．C ．D ．（2）已知a ≠0，b ≠0，a b +≠0，则函数y ax b =+与a by x+=在同一坐标系中的图象不可能是（ ）A ．B ．C ．D ．（1）A ；（2）B ．2、（1）若一次函数y x b =3+和反比例函数b y x-3=的图像有两个交点，当b =______时，有一个交点的纵坐标为6．（2）如图是一次函数y kx b 1=+和反比例函数my x2=的图象，观察图象写出y y 12>时，x 的取值范围为____________．（1）由题意可得y =6，代入y x b =3+，b y x-3=可得b =5． （2）观察图象得3x >或20x -<<．3、如图，双曲线my x=在第一象限的一支上有一点(,)C 15，经过点C 的直线()y kx b k =-+>0与x 轴交于点(,)A a 0． （1）求点A 的横坐标a 与k 之间的函数关系式； （2）当这条直线与双曲线的另一交点D 的横坐标为9时，求△COA 的面积．（1）由(,)A a 0、(,)C 15两点在直线y kx b =-+上， 有,.k b ka b -+=5⎧⎨-+=0⎩消去b 得a k 5=1+． （2）容易求得双曲线解析式5y x =，从而交点59,9D ⎛⎫⎪⎝⎭， 可得，解得 由（1）的结论，可得，故． 4、（1）如图4-1，直线()y ax a =>0与双曲线y x3=交于(,)A x y 11，(,)B x y 22两点，则x y x y 12214-3=_______．（2）如图4-2，已知反比例函数y x4=与直线y x b =-+交于P 、Q 两点，其中点Q 为(4, m )，则△OPQ 的面积为________．5599k b k b -+=⎧⎪⎨-+=⎪⎩，5950.9k b ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，51a k =+10a =1105252COA S ∆=⨯⨯=图4-1 图4-2（1）-3；（提示：x x 21=-，y y 21=-）； （2）152． 5、一次函数y ax b =+的图象分别于x 轴、y 轴交于点M 、N ，与反比例函数ky x=的图象相交于A 、B ，过点A 分别作AC x ⊥轴，AE y ⊥轴，垂足分别为C 、E ；过点B 分别作BF x ⊥轴，BD y ⊥轴，垂足分别为F 、D ；AC 与BD 交于点K ，连结CD ．（1）若点A 、B 在反比例函数ky x=的图象的同一分支上，如图5-1，试证明：①AEDK CFBK S S =四边形四边形；②AN BM =．（2）若点A 、B 分别在反比例函数ky x=的图象的不同分支上，如图5-2，则AN 与BM 还相等吗？试证明你的结论．图5-1 图5-2（1）①AEOC BDOF S S k ==矩形矩形，AEOC DOCK BDOF DOCK S S S S ∴-=-矩形矩形矩形矩形，即AEDK CFBK S S =四边形四边形．②如图①，连AD 、BC ，得△△ADK BCK S S =， △△ADC BDC S S ∴=，得BC//AB ．AC //y 轴，∴四边形ACDN 是平行四边形，AN CD ∴=，同理BM CD =，故AN BM =；（2）AN 与BM 仍然相等，证法同①．6、平行四边形AOBC 中，对角线交于点E ，双曲线()k y k x=>0经过A ，E 两点，若平行四边形AOBC 的面积为18，则k =________．k=6．。
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北师大版九年级数学反比例函数培优专题训练（含答案）【基础演练】
（1）反比例函数y＝的图象位于（）
A.第一、三象限
B.第二、三象限
C.第一、二象限
D.第二、四象限
（2）如果反比例函数y＝（a是常数）的图象在第一、三象限，那么a的取值范围是（）
A.a<0
B.a>0
C.a<2
D.a>2
（3）如图Z3-4-1，点P是反比例函数y＝（k≠0）的图象上任意一点，过点P作PM⊥x 轴，垂足为M.若△POM的面积等于2，则k的值等于（）
A.-4
B.4
C.-2
D.2
图Z3-4-1 图Z3-4-2
（4）如图Z3-4-2所示，在平面直角坐标系xOy中，点A，B，C为反比例函数y＝（k>0）上不同的三点，连接OA，OB，OC，过点A作AD⊥y轴于点D，过点B，C分别作BE，CF 垂直x轴于点E，F，OC与BE相交于点M，记△AOD、△BOM、四边形CMEF的面积分别为S1、S2、S3，则（）
A.S1＝S2+S3
B.S2＝S3
C.S3>S2>S1
D.S1S2<S32
（5）已知点A 是直线y ＝2x 与双曲线y ＝
（m 为常数）一支的交点，过点A 作x 轴的垂线，
垂足为B ，且OB ＝2，则m 的值为（ ）
A.-7
B.-8
C.8
D.7 （6）如图Z3-4-3，一次函数y 1＝ax+b 和反比例函数y 2＝
的图象相交于A ，B 两点，则
使y 1>y 2成立的x 取值范围是（ ）
A.-2<x<0或0<x<4
B.x<-2或0<x<4
C.x<-2或x>4
D.-2<x<0或x>4
图Z3-4-3 图Z3-4-4
（7）如图Z3-4-4，正比例函数y ＝kx 与反比例函数y ＝的图象相交于A ，C 两点，过点A 作x 轴的垂线交x 轴于点B ，连接BC ，则△ABC 的面积等于（ ）
A.8
B.6
C.4
D.2
（8）验光师测得一组关于近视眼镜的度数y （度）与镜片焦距x （米）的对应数据如下表，根据表中数据，可得y 关于x 的函数表达式为（ ）
A.y＝
B.y＝
C.y＝
D.y＝
【能力提升】
（1）如图Z3-4-5，在平面直角坐标系中，菱形ABCD在第一象限内，边BC与x轴平行，A，B 两点的纵坐标分别为4，2，反比例函数y＝（x>0）的图象经过A，B两点，若菱形ABCD 的面积为，则k的值为（）
A.2
B.3
C.4
D.6
图Z3-4-5 图Z3-4-6
（2）如图Z3-4-6，⊙O的半径为2，双曲线的解析式分别为y＝和y＝-，则阴影部分的面积是（）
A.4π
B.3π
C.2π
D.π
（3）如图Z3-4-7，正比例函数y1＝k1x的图象与反比例函数y2＝（x>0）的图象相交于点A（，），点B是反比例函数图象上一点，它的横坐标是3，连接OB，AB，则△AOB的面积是.
图Z3-4-7 图Z3-4-8
（4）教室里的饮水机接通电源就进入自动程序，开机加热时每分钟上升10 ℃，加热到100 ℃停止加热，水温开始下降，此时水温y（℃）与开机后用时x（min）成反比例关系，直至水温降至30 ℃，饮水机关机，饮水机关机后即刻自动开机，重复上述自动程序.若在水温为30 ℃时接通电源，水温y（℃）与时间x（min）的关系如图Z3-4-9所示：
（1）分别写出水温上升和下降阶段y与x之间的函数关系式.
（2）怡萱同学想喝高于50 ℃的水，请问她最多需要等待多长时间?
【拓展培优】
（1）某蔬菜生产基地的气温较低时，用装有恒温系统的大棚栽培一种新品种蔬菜.如图Z3-4-10是试验阶段的某天恒温系统从开启到关闭后，大棚内的温度y （℃）与时间x（h）之间的函数关系，其中线段AB，BC表示恒温系统开启阶段，双曲线的一部分CD表示恒温系统关闭阶段.
请根据图中信息解答下列问题：
（1）求这天的温度y与时间x（0≤x≤24）的函数关系式.
（2）求恒温系统设定的恒定温度.
（3）若大棚内的温度低于10 ℃时，蔬菜会受到伤害.问这天内，恒温系统最多可以关闭多少小时，才能使蔬菜避免受到伤害？
图Z3-4-10
（2）长为300 m的春游队伍，以v（m/s）的速度向东行进，如图Z3-4-11①和②，当队伍排尾行进到位置O时，在排尾处的甲有一物品要送到排头，送到后立即返回排尾，甲的往返速度均为2v（m/s），当甲返回排尾后，他及队伍均停止行进.设排尾从位置O开始行进
的时间为
t（s），排头与O的距离为S头（m）.
①
②
图Z3-4-11
（1）当v＝2时，解答：
①求S头与t的函数关系式（不写t的取值范围）；
②当甲赶到排头位置时，求S头的值；在甲从排头返回到排尾过程中，设甲与位置O
的距离为S甲（m），求S甲与t的函数关系式（不写t的取值范围）.
（2）设甲这次往返队伍的总时间为T（s），求T与v的函数关系式（不写v的取值范围），并写出队伍在此过程中行进的路程.
答案；
【基础演练】
1 A.
2 D.
3 A.
4 B
5 D
6 B.
7 C
8 A
【能力提升】
1 C.
2 C. 3
4
解：（1）观察图象，可知当x＝7 min时，水温y＝100（℃）
当0≤x≤7时，设y关于x的函数关系式为y＝kx+b，
得
即当0≤x≤7时，y关于x的函数关系式为y＝10x+30，
当x>7时，设y＝，100＝，得a＝700，
即当x>7时，y关于x的函数关系式为y＝.
当y＝30时，x＝，∴ y与x的函数关系式为y＝y与x的函数关系式每min重复出现一次.
（2）将y＝50代入y＝10x+30，得x＝2，
将y＝50代入y＝，得x＝14，
∵ 14-2＝12，-12＝，
.∴ 怡萱同学想喝高于50 ℃的水，她最多需要等待 min..
【拓展培优】
1 解：（1）设线段AB的关系式为y＝k1x+b（k≠0）.
∵ 线段AB过点（0，10），（2，14），
代入得
解得
∴ AB的关系式为y＝2x+10（0≤x<5）.
∵ B在线段AB上，当x＝5时，y＝20，
∴ B坐标为（5，20），
∴ 线段BC的关系式为y＝20（5≤x<10）.
设双曲线CD的关系式为y＝（k2≠0），
∵ C（10，20）在双曲线上，
∴ k2＝200，
∴ 双曲线CD的关系式为y＝（10≤x≤24）.
∴ y关于x的函数关系式为
y＝
（2）由（1）知恒温系统设定恒温为20 ℃.
（3）把y＝10代入y＝中，
解得x＝20.
∴ 20-10＝10.
答：恒温系统最多关闭10小时，蔬菜才能避免受到伤害.
2 解：（1）①排尾从位置O开始行进的时间为t（s），则排头也离开原排头t（s），
∴ S头＝2t+300.
②甲从排尾赶到排头的时间为300÷（2v-v）＝300÷v＝300÷2＝150（s），此时S头＝2t+300＝600（m），
甲返回时间为（t-150）s，
∴ S甲＝S头-S甲回＝2×150+300-4（t-150）＝-4t+1 200.
因此，S头与t的函数关系式为S头＝2t+300，当甲赶到排头位置时，求S的值为600 m，在甲从排头返回到排尾过程中，
S甲与t的函数关系式为S甲＝-4t+1 200.
（2）T＝t追及+t返回＝+＝，在甲这次往返队伍的过程中队伍行进的路程为v×＝400.
因此T与v的函数关系式为T＝，此时队伍在此过程中行进的路程为400 m.。