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轴对称图形的性质及应用

如果把一个图形沿着某一条直线对折过来，在直线两旁的部分能够完全重合，那么这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴，能够重合的点互为对称点．

轴对称图形具有以下的性质：（1）轴对称图形的两部分是全等的；（2）对称轴是连

结两个对称点的线段的垂直平分线．

在几何证题、解题时，如果是轴对称图形，则经常要添设对称轴以便充分利用轴对称

图形的性质．譬如，等腰三角形经常添设顶角平分线；矩形和等腰梯形问题经常添设对边

中点连线和两底中点连线；正方形，菱形问题经常添设对角线等等．

另外，如果遇到的图形不是轴对称图形，则常选择某直线为对称轴，补添为轴对称图

形，或将轴一侧的图形通过翻折反射到另一侧，以实现条件的相对集中．

例 1 已知直线l外有一定点P ，试在 l 上求两点 A ， B ，使 AB m （定长），且PA PB 最短．

分析：当把 P 点沿 l 方向平移至 C （如图1），使 PC m ，那么问题就转化为在l 上求一点 B ，使 CB PB 为最短．

作法：过 P 作 PC // l ，使 PC m ，作 P 关于 l 的对称点 P ，连结 CP 交 l 于B．在l 上作 AB m，点 A ， B 为所求之两点．

证：在 l 上另任取 A B m ，连PA，PA ， PB ，CB ，A P ， B P ，则 PA P A ，PB PB ，又 PABC为平行四边形，∴CB PA ．∵CB ＋ BP ＞CP ，∴PA ＋ PB ＞PA＋PB．

例 2 如图 2，△ ABC 中，P为∠ A 外角平分线上一点，求证：PB＋ PC＞ AB＋AC ．

分析：由于角平分线是角的对称轴，作AC关于AP的轴对称图形AD，连结 DP，CP，

则 DP ＝ CP， BD ＝ AB＋ AC．这样，把 AB ＋AC， AC， PB， PC 集中到△ BDP 中，从而由

PB＋ PD ＞BD，可得 PB ＋PC＞AB ＋AC．

证：（略）．

点评：通过变为轴对称图形后，起到相对集中条件的作用，又有将折线化直的作用（如

AB＋ AC 化直为 BD）．

例 3 等腰梯形的对角线互相垂直，且它的中位线等于m ，求此梯形的高．

解：如图 3．设等腰梯形AD∥ BC，AB＝ DC，对角线 AC 与 BD 相交于 O，且 AC⊥BD ，

中位线 EF ＝ m.过 AD ， BC 的中点 M， N 作直线，由等腰梯形 ABCD 关于直线 MN 成轴对称图形，∴ O 点在 MN 上，且 OA＝ OD，OB＝ OC， AM＝ DM ，BN＝ CN．又 AC⊥ BD，故△ AOD 和

△ BOC 均为等腰直角三角形． 2OM ＝ AD，2ON＝ BC．∵ AD＋ BC＝ 2EF＝ 2m，

∴2OM ＋ 2ON＝ 2m．

∴ OM ＋ ON＝m，即梯形高MN ＝m．

例 4 凸四边形EFGH 的四个顶点分别在边长为 a 的正方形ABCD的四条边上．求证：EFGH 的周长不小于22a ．

证：如图 4，连结AA2， EE3．正方形ABCD 和正方形A1BCD 1关于 BC 对称； EFGH FG H关于 BC 对称； A BCD和ABCD关于CD对称；E FG H和 E F G H关于和E1 1111 2 11111 1 2 112 CD1对称； A2B1CD 1和 A2B2C1D 1关于 A2D1对称，E2F1 G1H 2和 E3F2G2H2关于 A2D 1对称．

AA2 2 2a ，又AE A2 E3

EE3AA2 2 2a

EF FG GH HE EF FG1 G1H 2H 2 E3≥ EE3AA2 2 2a

例 5如果一个四边形关于它的两组对边中点的两条连线成轴对称，则此四边形为矩形．

已知：如图5．四边形ABCD 中，M， F， N， E 分别为各边的中点，且MN ，EF 为它的对称轴．

求证： ABCD 是矩形．

分析：欲证 ABCD 是矩形，首先证明它是平行四边形，再证明它有一个直角即可．

证：∵四边形ABCD 关于 EF 成轴对称，∴DC⊥ EF ，AB⊥ EF ，∴ AB∥ DC ．同理AD ∥BC．∴ ABCD 是平行四边形．∴DC＝ AB．

DC

， AF AB

AD∥ EF，

又∵ DE．∴ D E AF ，∴ ADEF 为平行四边形．∴

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而 DE ⊥ EF，∴ DE ⊥AD ，∠ D＝90o．∴ ABCD 是矩形．

轴对称应用举例

山东徐传军

生活中很多图形的形状都有一个共同的特性———轴对称．在日常生活中利用轴对称的

性质能解决很多问题，下面举例说明．

一、确定方向

例 1如图1，四边形ABCD 是长方形的弹子球台面，有黑白两

球分别位于E、 F 两点的位置，试问，怎样撞击黑球E，才能使黑球

先碰撞台边DC，反弹后再击中白球 F ？

解：作 E 点关于直线CD 的对称点E′，连接 FE ′，与 CD 的交点 P 即为撞击点，点P 即为所求．

例 2如图2，甲车从A处沿公路L 向右行驶，乙车从 B 处出

发，乙车行驶的速度与甲车行驶的速度相同，乙车要在最短的时间追

上甲车，请问乙车行驶的方向？

解：作 AB 的垂直平分线 EF，交直线 L 于点 C，乙车沿着 BC 方向行驶即可．二、

确定点的位置找最小值

例 3 如图 3，AB ∥ CD ，AC⊥ CD ，在 AC 上找一点Ｅ ,使得 BE+DE 最小．

解：作点 B 关于 AC 的对称点 B′,连接 DB ′，交 AC 于点 E，点 E 就是要找的点．