双曲线标准方程及性质(有答案)
(完整)双曲线的方程及其几何性质
双曲线的标准方程及其几何性质一、双曲线的标准方程及其几何性质。
1．双曲线的定义：平面内与两定点F 1、F 2的距离差的绝对值是常数(大于零，小于｜F 1F 2｜)的点的轨迹叫双曲线.两定点F 1、F 2是焦点,两焦点间的距离｜F 1F 2|是焦距，用2c 表示，常数用2a 表示. (1）若｜MF 1｜-|MF 2｜=2a 时，曲线只表示焦点F 2所对应的一支双曲线. (2)若｜MF 1|—｜MF 2｜=—2a 时，曲线只表示焦点F 1所对应的一支双曲线.(3)若2a =2c 时,动点的轨迹不再是双曲线，而是以F 1、F 2为端点向外的两条射线。
（4）若2a ＞2c 时，动点的轨迹不存在.2。
双曲线的标准方程：22a x -22b y =1(a ＞0,b ＞0）表示焦点在x 轴上的双曲线;22a y -22bx =1(a ＞0，b ＞0)表示焦点在y 轴上的双曲线。
判定焦点在哪条坐标轴上，不像椭圆似的比较x 2、y 2的分母的大小，而是x 2、y 2的系数的符号，焦点在系数正的那条轴上。
4.直线与双曲线的位置关系，可以通过讨论直线方程与双曲线方程组成的方程组的实数解的个数来确定。
（1）通常消去方程组中变量y (或x )得到关于变量x （或y )的一元二次方程，考虑该一元二次方程的判别式∆，则有：⇔>∆0直线与双曲线相交于两个点；⇔=∆0直线与双曲线相交于一个点；⇔<∆0 直线与双曲线无交点．（2）若得到关于x (或y ）的一元二次方程,则直线与双曲线相交于一个点，此时直线平行于双曲线的一条渐近线．(3)直线l 被双曲线截得的弦长2212))(1(x x k AB -+=或2212))(11(y y k-+，其中k 是直线l 的斜率，),(11y x ，),(22y x 是直线与双曲线的两个交点A ，B 的坐标,且212212214)()(x x x x x x -+=-，21x x +，21x x 可由韦达定理整体给出．二、例题选讲例1、中心在原点,焦点在x 轴上的双曲线的实轴与虚轴相等，一个焦点到一条渐近线的距离为2，则双曲线方程为 ( ）A ．x 2－y 2＝1 B ．x 2－y 2＝2 C ．x 2－y 2＝错误! D ．x 2－y 2＝错误!解析：由题意，设双曲线方程为x 2a2－错误!＝1(a >0)，则c ＝错误!a ，渐近线y ＝x ，∴错误!＝错误!，∴a 2＝2。
双曲线及其标准方程
双曲线1．双曲线的概念平面内与两个定点F 1，F 2(|F 1F 2|＝2c >0)的距离的差的绝对值为常数(小于|F 1F 2|且不等于零)的点的轨迹叫做双曲线．这两个定点叫做双曲线的焦点，两焦点间的距离叫做焦距．集合P ＝{M |||MF 1|－|MF 2||＝2a }，|F 1F 2|＝2c ，其中a 、c 为常数且a >0，c >0；(1)当a <c 时，P 点的轨迹是双曲线．(2)当a ＝c 时，P 点的轨迹是两条射线．(3)当a >c 时，P 点的轨迹不存在．2．双曲线的标准方程和几何性质标准方程x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)y 2a 2－x 2b 2＝1(a >0，b >0)图形性质范围x ≥a 或x ≤－a ，y ∈R x ∈R ，y ≤－a 或y ≥a对称性对称轴：坐标轴对称中心：原点顶点A 1(－a,0)，A 2(a,0)A 1(0，－a )，A 2(0，a )渐近线y ＝±b axy ＝±a bx离心率e ＝ca，e ∈(1，＋∞)，其中c ＝a 2＋b 2实虚轴线段A 1A 2叫做双曲线的实轴，它的长|A 1A 2|＝2a ；线段B 1B 2叫做双曲线的虚轴，它的长|B 1B 2|＝2b ；a 叫做双曲线的实半轴长，b 叫做双曲线的虚半轴长a 、b 、c 的关系c 2＝a 2＋b 2(c >a >0，c >b >0)1．方程x 2m －y 2n＝1(mn >0)表示的曲线(1)当m >0，n >0时，表示焦点在x 轴上的双曲线．(2)当m <0，n <0时，则表示焦点在y 轴上的双曲线．2．方程的常见设法(1)与双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1共渐近线的方程可设为x 2a 2－y 2b 2＝λ(λ≠0)．(2)若渐近线的方程为y ＝±b a x ，则可设双曲线方程为x 2a 2－y 2b 2＝λ(λ≠0)．3．常用结论1．双曲线的焦点到其渐近线的距离为b .2．若P 是双曲线右支上一点，F 1，F 2分别为双曲线的左、右焦点，则|PF 1|min ＝a ＋c ，|PF 2|min ＝c －a .3．同支的焦点弦中最短的为通径(过焦点且垂直于长轴的弦)，其长为2b 2a ；异支的弦中最短的为实轴，其长为2a .4．若P 是双曲线上不同于实轴两端点的任意一点，F 1，F 2分别为双曲线的左、右焦点，则S △PF 1F 2＝b 2tan θ2，其中θ为∠F 1PF 2.5．若P 是双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)右支上不同于实轴端点的任意一点，F 1，F 2分别为双曲线的左、右焦点，I 为△PF 1F 2内切圆的圆心，则圆心I 的横坐标为定值a .6．等轴双曲线(1)定义：中心在原点，以坐标轴为对称轴，实半轴长与虚半轴长相等的双曲线叫做等轴双曲线．(2)性质：①a ＝b ；②e ＝2；③渐近线互相垂直；④等轴双曲线上任意一点到中心的距离是它到两焦点距离的等比中项．7．共轭双曲线(1)定义：如果一条双曲线的实轴和虚轴分别是另一条双曲线的虚轴和实轴，那么这两条双曲线互为共轭双曲线．(2)性质：①它们有共同的渐近线；②它们的四个焦点共圆；③它们的离心率的倒数的平方和等于1.1．判断下列结论的正误．(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)平面内到点F 1(0,4)，F 2(0，－4)距离之差的绝对值等于8的点的轨迹是双曲线．()(2)平面内到点F 1(0,4)，F 2(0，－4)距离之差等于6的点的轨迹是双曲线．()(3)方程x 2m －y 2n＝1(mn >0)表示焦点在x 轴上的双曲线．(（4）．双曲线x 2m 2－y 2n 2＝λ(m >0，n >0，λ≠0)的渐近线方程是m （5）．若双曲线x )x ±ny ＝0.( )2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)与x 2b 2－y 2a 2＝1(a >0，b >0)的离心率分别是e 1，e 2，则1e 21＋1e 222．双曲线2x 2－y 2＝8的实轴长是＝1(此条件中两条双曲线称为共轭双曲线)．( )()A ．2B ．22C ．4D ．423．(2021·全国甲卷)点(3,0)到双曲线x 216－y 29＝1的一条渐近线的距离为()A.95B.85C.65D.454．(教材改编)过双曲线x 2－y 2＝8的左焦点F 1有一条弦PQ 在左支上，若|PQ |＝7，F 2是双曲线的右焦点，则△PF 2Q 的周长是()A ．28B ．14－82C ．14＋82D ．825．已知双曲线E ：x 216－y 2m 2＝1的离心率为54，则双曲线E 的焦距为__________．双曲线的定义的应用例题：（1）已知定点F 1(－2,0)，F 2(2,0)，N 是圆O ：x 2＋y 2＝1上任意一点，点F 1关于点N 的对称点为M ，线段F 1M 的中垂线与直线F 2M 相交于点P ，则点P 的轨迹是()A ．椭圆B ．双曲线C ．抛物线D ．圆(2)已知动圆M 与圆C 1：(x ＋4)2＋y 2＝2外切，与圆C 2：(x －4)2＋y 2＝2内切，则动圆圆心M 的轨迹方程为()A.x 22－y 216＝1(x ≤－2) B.x 22－y 214＝1(x ≥2)C.x 22－y 216＝1 D.x 22－y 214＝1（3）已知圆C 1：(x ＋3)2＋y 2＝1和圆C 2：(x －3)2＋y 2＝9，动圆M 同时与圆C 1及圆C 2相外切，则动圆圆心M 的轨迹方程为______________(4)已知F 1，F 2为双曲线C ：x 2－y 2＝1的左、右焦点，点P 在C 上，∠F 1PF 2＝60°，则|PF 1|·|PF 2|＝__________.(5)已知F 1，F 2是双曲线x 24－y 2＝1的两个焦点，P 在双曲线上，且满足∠F 1PF 2＝90°，则△F 1PF 2的面积为()A ．1B ．52C ．2D ．5(6)．(2020·全国卷Ⅲ)设双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，离心率为5.P 是C 上一点，且F 1P ⊥F 2P .若△PF 1F 2的面积为4，则a ＝()A ．1B ．2C ．4D ．8(7)已知双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)的离心率为2，左、右焦点分别为F 1，F 2，点A 在双曲线C 上，若△AF 1F 2的周长为10a ，则△AF 1F 2的面积为()A ．215a 2B ．15a 2C ．30a 2D ．15a 2(8)P 是双曲线C ：x 22－y 2＝1右支上一点，直线l 是双曲线C 的一条渐近线．P 在l上的射影为Q ，F 1是双曲线C 的左焦点，则|PF 1|＋|PQ |的最小值为()A ．1B ．2＋155C ．4＋155D ．22＋1(9)已知双曲线x2－y2＝4，F1是左焦点，P1，P2是右支上的两个动点，则|F1P1|＋|F1P2|－|P1P2|的最小值是()A．4B．6C．8D．16(10)双曲线C的渐近线方程为y＝±233x，一个焦点为F(0，－7)，点A的坐标为(2，0)，点P为双曲线第一象限内的点，则当点P的位置变化时，△P AF周长的最小值为()A．8B．10C．4＋37D．3＋317双曲线的标准方程求双曲线标准方程的方法:(1)定义法(2)待定系数法①当双曲线焦点位置不确定时，设为Ax2＋By2＝1(AB＜0)；②与双曲线x2a2－y2b2＝1共渐近线的双曲线方程可设为x2a2－y2b2＝λ(λ≠0)；③与双曲线x2a2－y2b2＝1共焦点的双曲线方程可设为x2a2－k－y2b2＋k＝1(－b2＜k＜a2)．例题：（1）根据下列条件，求双曲线的标准方程：(1)虚轴长为12，离心率为54；(2)焦距为26，且经过点M(0,12)；(3)经过两点P(－3,27)和Q(－62，－7)．(2)双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的左焦点为(－3,0)，且C 的离心率为32，则双曲线C 的方程为()A.y 24－x 25＝1 B.y 25－x 24＝1 C.x 24－y 25＝1 D.x 25－y 24＝1(3)已知双曲线过点(2,3)，渐近线方程为y ＝±3x ，则该双曲线的标准方程是()A.7x 216－y 212＝1 B.y 23－x 22＝1C ．x 2－y 23＝1D.3y 223－x 223＝1（4）已知双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的一条渐近线方程为y ＝52x ，且与椭圆x 212＋y 23＝1有公共焦点，则C 的方程为()A ．x 28－y 210＝1B ．x 24－y 25＝1C ．x 25－y 24＝1D ．x 24－y 23＝1（5）已知双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)过点(2，3)，且实轴的两个端点与虚轴的一个端点组成一个等边三角形，则双曲线C 的标准方程是()A ．x12－y 2＝1B ．x 29－y 23＝1C ．x 2－y 23＝1D ．x 223－y 232＝1（6）已知双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)的离心率为2，过右焦点且垂直于x 轴的直线与双曲线交于A ，B 两点．设A ，B 到双曲线的同一条渐近线的距离分别为d 1和d 2，且d 1＋d 2＝6，则双曲线的方程为()A ．x 24－y 212＝1B ．x 212－y 24＝1C ．x 23－y 29＝1D ．x 29－y 23＝1(7)已知双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的左、右焦点分别为F 1、F 2，点M 在双曲线的右支上，点N 为F 2M 的中点，O 为坐标原点，|ON |－|NF 2|＝2b ，∠ONF 2＝60°，△F 1MF 2的面积为23，则该双曲线的方程为__________．双曲线的几何性质求双曲线的渐近线方程例：（1）已知双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的离心率为2，则双曲线C 的渐近线方程为()A ．y ＝±3xB ．y ＝±33x C ．y ＝±12xD ．y ＝±2x（2）已知双曲线T 的焦点在x 轴上，对称中心为原点，△ABC 为等边三角形．若点A 在x 轴上，点B ，C 在双曲线T 上，且双曲线T 的虚轴为△ABC 的中位线，则双曲线T 的渐近线方程为()A ．y ＝±153xB ．y ＝±53xC ．y ＝±33x D ．y ＝±55x (3)已知椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)与双曲线x 2a 2－y 2b 2＝12的焦点相同，则双曲线的渐近线方程为()A ．y ＝±3xB ．y ＝±33x C ．y ＝±22x D ．y ＝±2x(4)已知F 1，F 2分别为双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)的左、右焦点，以F 1F 2为直径的圆与双曲线在第一象限和第三象限的交点分别为M ，N ，设四边形F 1NF 2M 的周长为p ，面积为S ，且满足32S ＝p 2，则该双曲线的渐近线方程为()A ．y ＝±32x B ．y ＝±233xC ．y ＝±12xD ．y ＝±22x求双曲线的离心率(范围)例：(1)(2021·全国甲卷)已知F 1，F 2是双曲线C 的两个焦点，P 为C 上一点，且∠F 1PF 2＝60°，|PF 1|＝3|PF 2|，则C 的离心率为()A.72B.132C.7D.13（2）．已知双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，过F 1的直线与C 的两条渐近线分别交于A ，B 两点．若F 1A →＝AB →，F 1B →·F 2B →＝0，则C 的离心率为__________．(3)设F 为双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)的右焦点，过坐标原点O 的直线与双曲线C 的左、右支分别交于点P ，Q ，若|PQ |＝2|QF |，∠PQF ＝60°，则该双曲线的离心率为()A ．3B ．1＋3C ．2＋3D ．4＋23(4)(2020·全国卷Ⅲ)设双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，离心率为5.P 是C 上一点，且F 1P ⊥F 2P .若△PF 1F 2的面积为4，则a ＝()A ．1B ．2C ．4D ．8(5)圆C ：x 2＋y 2－10y ＋16＝0上有且仅有两点到双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的一条渐近线的距离为1，则该双曲线离心率的取值范围是()A ．(2，5)B.⎪⎭⎫⎝⎛2535，C.⎪⎭⎫⎝⎛2545，D ．(5，2＋1)双曲线几何性质的综合应用例：（1）已知M (x 0，y 0)是双曲线C ：x 22－y 2＝1上的一点，F 1，F 2是C 的两个焦点，若MF 1→·MF 2→<0，则y 0的取值范围是()A.⎪⎪⎭⎫⎝⎛-3333， B.⎪⎪⎭⎫⎝⎛-6363，C.⎪⎪⎭⎫⎝⎛-322322， D.⎪⎪⎭⎫⎝⎛-332332，逻辑推理(2020·新高考卷Ⅰ)(多选)已知曲线C ：mx 2＋ny 2＝1.()A ．若m >n >0，则C 是椭圆，其焦点在y 轴上B ．若m ＝n >0，则C 是圆，其半径为nC ．若mn <0，则C 是双曲线，其渐近线方程为y ＝±－m nx D ．若m ＝0，n >0，则C 是两条直线直线与双曲线的位置关系例题：若双曲线E ：x 2a 2－y 2＝1(a >0)的离心率等于2，直线y ＝kx －1与双曲线E 的右支交于A ，B 两点．(1)求k 的取值范围；(2)若|AB |＝63，求k 的值．双曲线课后练习1．方程x2m＋2＋y2m－3＝1表示双曲线的一个充分不必要条件是()A．－3＜m＜0B．－1＜m＜3C．－3＜m＜4D．－2＜m＜3 2．在平面直角坐标系中，已知双曲线C与双曲线x2－y23＝1有公共的渐近线，且经过点P(－2，3)，则双曲线C的焦距为()A.3B．23C．33D．433.设双曲线C：x2－4y2＋64＝0的焦点为F1，F2，点P为C上一点，|PF1|＝6，则|PF2|为()A．13B．14C．15D．224．若双曲线C：x2a2－y2b2＝1(a>0，b>0)的渐近线与圆(x－2)2＋y2＝1相切，则C的渐近线方程为()A．y＝±13x B．y＝±33x C．y＝±3x D．y＝±3x5．若双曲线C：x2a2－y2b2＝1(a>0，b>0)的右顶点A到一条渐近线的距离为223a，则双曲线的离心率为()A．223B．13C．3D．226．已知双曲线的一个焦点F(0，5)，它的渐近线方程为y＝±2x，则该双曲线的标准方程为_____________7．已知双曲线x24－y25＝1的左焦点为F，点P为其右支上任意一点，点M的坐标为(1,3)，则△PMF周长的最小值为()A．5＋10B．10＋10C．5＋13D．9＋138．已知直线l与双曲线C：x2－y2＝2的两条渐近线分别交于A，B两点，若AB 的中点在该双曲线上，O为坐标原点，则△AOB的面积为()A．12B．1C．2D．49.已知双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，P 为双曲线上一点，且|PF 1|＝2|PF 2|.若cos ∠F 1PF 2＝14，则该双曲线的离心率等于()A.22 B.52C ．2 D.3＋110．(2020·全国卷Ⅱ)设O 为坐标原点，直线x ＝a 与双曲线C ：x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)的两条渐近线分别交于D ，E 两点．若△ODE 的面积为8，则C 的焦距的最小值为()A ．4B ．8C ．16D ．3211．双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，过F 1的直线交双曲线左支于A ，B 两点，△F 2AB 是以A 为直角顶点的直角三角形，且∠AF 2B ＝30°，若该双曲线的离心率为e ，则e 2＝()A ．11＋43B ．13＋53C ．16－63D ．19－10312．已知双曲线C ：x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)的右焦点为F ，以F 为圆心和双曲线的渐近线相切的圆与双曲线的一个交点为M ，且MF 与双曲线的实轴垂直，则双曲线C 的离心率为()A.52 B.5C.2D ．213．已知双曲线C ：x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)的实轴长为8，右焦点为F ，M 是双曲线C 的一条渐近线上的点，且OM ⊥MF ，O 为坐标原点，若S △OMF ＝6，则双曲线C 的离心率为)______________14．已知双曲线C ：x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，离心率为3，点P 为双曲线上一点，∠F 1PF 2＝120°，则双曲线的渐近线方程为__________；若双曲线C 的实轴长为4，则△F 1PF 2的面积为__________．15．已知F 1，F 2分别是双曲线x 2－y 2b 2＝1(b ＞0)的左、右焦点，A 是双曲线上在第一象限内的点，若|AF 2|＝2且∠F 1AF 2＝45°，延长AF 2交双曲线的右支于点B ，则△F 1AB 的面积等于_____________16．设双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，过F 1的直线分别交双曲线的左、右两支于M ，N .若以MN 为直径的圆经过右焦点F 2，且|MF 2|＝|NF 2|，则双曲线的离心率为____________.17．已知点P (1，3)在双曲线C ：x 2a 2－y 2b2＝1(a ＞0，b ＞0)的渐近线上，F 为双曲线C 的右焦点，O 为原点．若∠FPO ＝90°，则双曲线C 的方程为_____________，其离心率为__________.18．已知双曲线x 2－y 23＝1的左顶点为A 1，右焦点为F 2，P 为双曲线右支上一点，则P A 1→·PF 2→的最小值为________．19．(2021·山东淄博二模)已知动点P 在双曲线C ：x 2－y 23＝1上，双曲线C 的左、右焦点分别为F 1，F 2，下列结论错误的是()A ．C 的离心率为2B ．C 的渐近线方程为y ＝±3xC ．动点P 到两条渐近线的距离之积为定值D ．当动点P 在双曲线C 的左支上时，|PF 1||PF 2|2的最大值为14。
圆锥曲线专题二：双曲线(含详细答案)
基础知识：一 双曲线的定义：在平面内，到两个定点21F F 、的距离之差的绝对值等于常数a 2（a 大于0且212F F a <）的动点P 的轨迹叫作双曲线.这两个定点21F F 、叫双曲线的焦点，两焦点的距离叫作双曲线的焦距.注意：1. 双曲线的定义中，常数a 2应当满足的约束条件：21212F F a PF PF <=-，这可以借助于三角形中边的相关性质“两边之差小于第三边”来理解；2. 若去掉定义中的“绝对值”，常数满足约束条件：21212F F a PF PF <=-)0(>a ，则动点轨迹仅表示双曲线中靠焦点2F 的一支；若21122F F a PF PF <=-（)0(>a ），则动点轨迹仅表示双曲线中靠焦点1F 的一支；3. 若常数满足约束条件：21212F F a PF PF ==-，则动点轨迹是以F 1、F 2为端点的两条射线（包括端点）；4．若常数满足约束条件：21212F F a PF PF >=-，则动点轨迹不存在； 5．若常数0=a ，则动点轨迹为线段21F F 的垂直平分线。
二 双曲线的标准方程：1．当焦点在轴上时，双曲线的标准方程：)0,0(12222>>=-b a b y a x ，其中222b a c +=；2．当焦点在y 轴上时，双曲线的标准方程：)0,0(12222>>=-b a bx a y ，其中222b a c +=；3.共渐近线的双曲线系方程：)0(2222≠=-λλb y a x 的渐近线方程为02222=-b y a x ；如果双曲线的渐近线为0=±b ya x 时，它的双曲线方程可设为)0(2222≠=-λλby a x ；4. 共焦点的双曲线系方程12222=--+k b y k a x 或 12222=--+kb x k a y三 双曲线的几何性质：双曲线)0,0(12222>>=-b a by a x 的几何性质1.对称性：对于双曲线标准方程)0,0(12222>>=-b a by a x ，把x 换成―x ，或把y 换成―y ，或把x 、y 同时换成―x 、―y ，方程都不变，所以双曲线)0,0(12222>>=-b a by a x 是以x 轴、y 轴为对称轴的轴对称图形，且是以原点为对称中心的中心对称图形，这个对称中心称为双曲线的中心。
(完整版)双曲线标准方程及几何性质知识点及习题
双曲线标准方程及几何性质知识点及习题1. 双曲线第一定义：平面内与两个定点F 1、F 2的距离差的绝对值是常数（小于|F 1F 2|）的点的轨迹叫双曲线。
这两个定点叫双曲线的焦点，两焦点间的距离|F 1F 2|叫焦距。
2. 双曲线的第二定义：平面内与一个定点的距离和到一条定直线的距离的比是常数e （e>1）的点的轨迹叫双曲线。
定点叫双曲线的焦点，定直线叫双曲线的准线，常数e 叫双曲线的离心率。
当曲线上一点沿曲线无限远离原点时，如果到一条直线的距离无限趋近于零，那么这条直线称为这条曲线的渐近线。
无限接近，但不可以相交。
例1. 方程11122=-++ky k x 表示双曲线，则k 的取值范围是（ ） A ．11<<-k B ．0>k C ．0≥k D ．1>k 或1-<k3. 双曲线的标准方程：（1）焦点在x 轴上的：x a y b a b 2222100-=>>()，（2）焦点在y 轴上的：y a x ba b 2222100-=>>()，（3）当a ＝b 时，x 2－y 2＝a 2或y 2－x 2＝a 2叫等轴双曲线。
注：c 2＝a 2＋b 2【例2】求虚轴长为12，离心率为54双曲线标准方程。
【例3】求焦距为26，且经过点M （0，12）双曲线标准方程。
练习。
焦点为()6,0，且与双曲线1222=-y x 有相同的渐近线的双曲线方程是（ ）A ．1241222=-y xB ．1241222=-x yC ．1122422=-x yD ．1122422=-y x【例4】与双曲线221916x y -=有公共渐进线，且经过点(3,A -练习。
求一条渐近线方程是043=+y x ，一个焦点是()0,4的双曲线标准方程，并求此双曲线的离心率．解决双曲线的性质问题，关键是找好等量关系，特别是e 、a 、b 、c 四者的关系，构造出ce a=和222c a b =+的关系式。
2024-2025年北师大版数学选择性必修第一册2.2.1双曲线及其标准方程(带答案)
§2 双曲线2．1 双曲线及其标准方程必备知识基础练知识点一 双曲线的定义1.动点P 到点M (1，0)及点N (5，0)的距离之差为2a ，则当a ＝1和a ＝2时，点P 的轨迹分别是( )A ．双曲线和一条直线B ．双曲线和一条射线C ．双曲线的一支和一条射线D ．双曲线的一支和一条直线 2．一动圆与两圆：x 2＋y 2＝1和x 2＋y 2－8x ＋12＝0都外切，则动圆圆心的轨迹为( ) A ．抛物线 B ．圆 C ．双曲线的一支 D ．椭圆 知识点二 双曲线的标准方程3.“m >1且m ≠2”是“方程x 22－m －y 2m －1＝1表示双曲线”的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件 4．求适合下列条件的双曲线的标准方程：(1)焦点分别为(－2，0)，(2，0)，且经过点(2，3)； (2)焦点在y 轴上，且经过点(2，－5)，a ＝25 ；(3)以椭圆x 28＋y 25＝1的长轴端点为焦点，且经过点(3，10 )；(4)经过点A (2，233)，B (3，－22 )；(5)与双曲线x 216－y 24＝1有公共焦点，且经过点(32 ，2).知识点三 双曲线的定义及方程的应用5.若双曲线E ：x 29 －y 2160＝1的左、右焦点分别为F 1，F 2，点P 在双曲线E 上，且|PF 1|＝15，则|PF 2|＝( )A ．9B ．21C ．9或21D ．186．已知双曲线x 2m －y 27＝1，直线l 过其左焦点F 1，交双曲线左支于A ，B 两点，且|AB |＝4，F 2为双曲线的右焦点，△ABF 2的周长为20，则m 的值为( )A ．8B ．9C ．16D ．207．已知F 1，F 2为双曲线C ：x 2－y 2＝2的左、右焦点，点P 在C 上，|PF 1|＝2|PF 2|，则cos ∠F 1PF 2＝________.关键能力综合练一、选择题1．已知M (－2，0)，N (2，0)，|PM |－|PN |＝4，则动点P 的轨迹是( )A ．双曲线B ．双曲线左支C ．一条射线D ．双曲线右支2．双曲线x 225 －y 29＝1上的点到一个焦点的距离为12，则到另一个焦点的距离为( )A ．22或2B ．7C ．22D ．23．已知双曲线的一个焦点为F 1(－5 ，0)，点P 在该双曲线上，线段PF 1的中点坐标为(0，2)，则该双曲线的标准方程是( )A ．x 24 －y 2＝1B ．x 2－y 24＝1C ．x22－y23＝1 D ．x23－y 22＝1 4．已知双曲线的中心在原点，两个焦点F 1，F 2分别为(5 ，0)和(－5 ，0)，点P 在双曲线上，且PF 1⊥PF 2，△PF 1F 2的面积为1，则双曲线的方程为( )A ．x 22－y 23＝1 B ．x 23－y 22＝1C ．x24 －y 2＝1 D ．x 2－y24＝15．[易错题]已知O 为坐标原点，设F 1，F 2分别是双曲线x 2－y 2＝1的左、右焦点，P 为双曲线上任一点，过点F 1作∠F 1PF 2的平分线的垂线，垂足为H ，则|OH |＝( )A ．1B ．2C ．4D ．12二、填空题6．[双空题]若方程y 24 －x 2m ＋1＝1表示双曲线，则实数m 的取值范围是____________；若表示椭圆，则m 的取值范围是____________．7．已知双曲线与椭圆x 227 ＋y 236＝1有相同的焦点，且与椭圆的一个交点的纵坐标为4，则双曲线的方程为________.8．[探究题]已知双曲线C ：x 2－y 23＝1的左焦点为F 1，点Q (0，23 )，P 是双曲线C右支上的动点，则|PF 1|＋|PQ |的最小值为________.三、解答题9．在①m >0，且C 的右支上任意一点到左焦点的距离的最小值为3＋23 ；②C 的焦距为43 ；③C 上一点到两焦点距离之差的绝对值为6，这三个条件中任选一个，补充在下面的问题中并解答．问题：已知双曲线C ：x 23m －y 2m＝1，________，求C 的方程．注：如果选择多个条件分别解答，则按第一个解答计分．学科素养升级练1.[多选题]已知点P 在双曲线C ：x 216 －y 29＝1上，F 1，F 2是双曲线C 的左、右焦点，若△PF 1F 2的面积为20，则下列说法正确的有( )A ．点P 到x 轴的距离为203B ．|PF 1|＋|PF 2|＝503C ．△PF 1F 2为钝角三角形D ．∠F 1PF 2＝π32.[情境命题——生活情境]某地发生地震，为了援救灾民，救援员在如图所示的P 处收到一批救灾药品，现要把这批药品沿道路PA ，PB 运送到矩形灾民区ABCD 中去，已知PA ＝100 km ，PB ＝150 km ，BC ＝60 km ，∠APB ＝60°，试在灾民区中确定一条界线，使位于界线一侧的点沿道路PA 送药较近，而另一侧的点沿道路PB 送药较近，请说明这一界线是一条什么曲线，并求出其方程．2．1 双曲线及其标准方程必备知识基础练1．解析：由题意，知|MN |＝4，当a ＝1时，|PM |－|PN |＝2a ＝2<4，此时点P 的轨迹是双曲线的一支；当a ＝2时，|PM |－|PN |＝2a ＝4＝|MN |，点P 的轨迹为以N 为端点沿x 轴向右的一条射线．答案：C2．解析：由题意两定圆的圆心坐标分别为O 1(0，0)，O 2(4，0)，半径分别为1，2.设动圆圆心为C ，动圆半径为r ，则|CO 1|＝r ＋1，|CO 2|＝r ＋2，∴|CO 2|－|CO 1|＝1<|O 1O 2|＝4，故动圆圆心的轨迹为双曲线的一支．答案：C3．解析：若方程x 22－m －y 2m －1 ＝1表示双曲线，则(2－m )·(m －1)>0，解得1<m <2.当1<m <2时，可推出“方程x 22－m－y 2m －1 ＝1表示双曲线”，故“m >1且m ≠2”是“方程x 22－m－y 2m －1＝1表示双曲线”的必要不充分条件．答案：B4．解析：(1)∵双曲线的焦点在x 轴上，∴设双曲线的标准方程为x 2a 2 －y 2b2 ＝1(a >0，b >0).由题知c ＝2，∴a 2＋b 2＝4 ①.又∵点(2，3)在双曲线上， ∴22a 2 －32b2 ＝1 ②. 由①②解得a 2＝1，b 2＝3，所求双曲线的标准方程为x 2－y 23＝1.(2)因为双曲线的焦点在y 轴上，所以可设双曲线的标准方程为y 2a 2 －x 2b2 ＝1(a >0，b >0).由a ＝25 ，点(2，－5)在双曲线上，可得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝25，25a 2－4b2＝1， 解得b 2＝16.故所求双曲线的标准方程为y 220 －x 216＝1.(3)由题意得，双曲线的焦点在x 轴上，且c ＝22 .设双曲线的标准方程为x 2a 2 －y 2b2 ＝1(a >0，b >0)，由点(3，10 )在双曲线上，可得⎩⎪⎨⎪⎧a 2＋b 2＝c 2＝8，9a 2－10b2＝1， 解得⎩⎪⎨⎪⎧a 2＝3，b 2＝5， 故所求双曲线的标准方程为x 23－y 25＝1.(4)可设双曲线的方程为mx 2＋ny 2＝1(mn <0).因为点A ⎝⎛⎭⎪⎫2，233 ，B (3，－22 )在双曲线上，所以⎩⎪⎨⎪⎧4m ＋43n ＝1，9m ＋8n ＝1， 解得⎩⎪⎨⎪⎧m ＝13，n ＝－14，故所求双曲线的标准方程为x 23－y 24＝1.(5)易知双曲线x 216 －y 24＝1的焦点在x 轴上，且c 21 ＝16＋4＝20，则待求双曲线的焦点也在x 轴上，且c 22＝c 21＝20.设其标准方程为x 2a 22 －y 220－a 22＝1(a 22 <20) ①，因为点(32 ，2)在双曲线上，所以将(32 ，2)代入①中，得18a 22 －420－a 22＝1，得a 2＝12或a 2＝30(舍去)，故所求双曲线的标准方程为x 212 －y 28＝1.5．解析：由于|PF 1|＝15<c ＋a ＝13＋3＝16，所以点P 在双曲线E 的左支上，所以由双曲线的定义，得|PF 2|－|PF 1|＝2a ＝6，即|PF 2|－15＝6，故|PF 2|＝21.答案：B6．解析：由已知，得|AB |＋|AF 2|＋|BF 2|＝20.因为|AB |＝4，所以|AF 2|＋|BF 2|＝16.根据双曲线的定义，知2a ＝|AF 2|－|AF 1|＝|BF 2|－|BF 1|，所以4a ＝|AF 2|＋|BF 2|－(|AF 1|＋|BF 1|)＝16－4＝12，即a ＝3，所以m ＝a 2＝9.答案：B 7．解析：由双曲线定义，知|PF 1|－|PF 2|＝22 ，a ＝b ＝2 .∵|PF 1|＝2|PF 2|，∴|PF 2|＝22 ，|PF 1|＝42 ，|F 1F 2|＝2c ＝2a 2＋b 2＝4，∴cos∠F 1PF 2＝|PF 1|2＋|PF 2|2－|F 1F 2|22|PF 1||PF 2| ＝32＋8－162×42×22＝34 .答案：34关键能力综合练1．解析：因为|PM |－|PN |＝4＝|MN |，所以动点P 的轨迹是一条射线．故选C. 答案：C2．解析：因为a 2＝25，所以a ＝5.设双曲线的左、右焦点分别为F 1，F 2，双曲线上一点为P . 由双曲线的定义可得||PF 1|－|PF 2||＝10， 不妨设|PF 1|＝12，所以|PF 1|－|PF 2|＝±10， 所以|PF 2|＝22或2.故选A. 答案：A3．解析：设双曲线的标准方程为x 2a 2 －y 2b 2 ＝1(a >0，b >0)，因为c ＝5 ，c 2＝a 2＋b 2，所以b 2＝5－a 2，所以x 2a 2 －y 25－a2 ＝1，因为线段PF 1的中点坐标为(0，2)，所以点P 的坐标为(5 ，4)，将P (5 ，4)代入双曲线方程，得5a 2 －165－a2 ＝1，解得a 2＝1或a 2＝25(舍去)，所以双曲线的标准方程为x 2－y 24＝1.故选B.答案：B4．解析：由题可得⎩⎨⎧|PF 1|·|PF 2|＝2，|PF 1|2＋|PF 2|2＝（25）2，得(|PF 1|－|PF 2|)2＝16，即2a ＝4，解得a ＝2，又因为c ＝5 ，所以b ＝1，所以双曲线的方程为x 24－y 2＝1，故选C.答案：C5．解析：不妨在双曲线右支上取点P ，延长PF 2，F 1H ，交于点Q ，由角平分线性质可知|PF 1|＝|PQ |，根据双曲线的定义得，|PF 1|－|PF 2|＝2，从而|QF 2|＝2，在△F 1QF 2中，OH 为其中位线，故|OH |＝1.故选A.答案：A6．解析：若表示双曲线，则应有m ＋1>0，即m >－1；若表示椭圆，则有⎩⎪⎨⎪⎧m ＋1<0，m ＋1≠－4，解得m <－1且m ≠－5.答案：(－1，＋∞) (－∞，－5)∪(－5，－1)7．解析：椭圆的焦点为F 1(0，－3)，F 2(0，3)，故可设双曲线方程为y 2a 2 －x 2b 2 ＝1(a >0，b >0)，其中a 2＋b 2＝9，因为双曲线与椭圆的一个交点的纵坐标为4，所以该点的坐标为(15 ，4)或(－15 ，4)，故16a 2 －15b2 ＝1.解方程组⎩⎪⎨⎪⎧a 2＋b 2＝9，16a 2－15b 2＝1， 得⎩⎪⎨⎪⎧a 2＝4，b 2＝5，所以所求双曲线的方程为y 24－x 25＝1.答案：y 24－x 25＝18．解析：设双曲线的右焦点为F 2，如图，连接PF 2，QF 2.根据双曲线的定义可知|PF 1|－|PF 2|＝2a ＝2，所以|PF 1|＝|PF 2|＋2，所以|PF 1|＋|PQ |＝|PF 2|＋|PQ |＋2≥|QF 2|＋2，而Q (0，23 )，F 2(2，0)，所以|QF 2|＝22＋（23）2 ＝4，所以|PF 1|＋|PQ |的最小值为6.9．解析：选①：因为m >0，所以a 2＝3m ，b 2＝m ，c 2＝a 2＋b 2＝4m ， 则a ＝3m ，c ＝2m ，因为C 的右支上任意一点到左焦点的距离的最小值为3＋23 ，所以3m ＋2m ＝(3 ＋2)m ＝3＋23 ，解得m ＝3，C 的方程为x 29－y 23＝1.选②：若m >0，则a 2＝3m ，b 2＝m ，c 2＝a 2＋b 2＝4m ，c ＝2m ，因为C 的焦距为43 ，所以2c ＝4m ＝43 ，m ＝3，C 的方程为x 29－y 23＝1；若m <0，则a 2＝－m ，b 2＝－3m ，c 2＝a 2＋b 2＝－4m ，c ＝2－m ，因为C 的焦距为43 ，所以2c ＝4－m ＝43 ，m ＝－3，C 的方程为y 23－x 29＝1，综上所述，C 的方程为x 29－y 23＝1或y 23－x 29＝1.选③：若m >0，则a 2＝3m ，a ＝3m ，因为C 上一点到两焦点距离之差的绝对值为6，所以2a ＝23m ＝6，m ＝3，C 的方程为x 29－y 23＝1；若m <0，则a 2＝－m ，a ＝－m ，因为C 上一点到两焦点距离之差的绝对值为6，所以2a ＝2－m ＝6，m ＝－9，C 的方程为y 29－x 227＝1，综上所述，C 的方程为x 29－y 23＝1或y 29－x 227＝1.学科素养升级练1．解析：因为在双曲线x 216－y 29＝1中，a ＝4，b ＝3，所以c ＝16＋9 ＝5，因为S △PF 1F 2＝12·2c ·|y P |＝5|y P |＝20，所以|y P |＝4，所以P 到x 轴的距离为4，故A 错误；不妨取P (203 ，4)，又因为F 1(－5，0)，F 2(5，0)，则|PF 1|＝（203＋5）2＋16 ＝373，|PF 2|＝ （203－5）2＋16 ＝133 ，所以|PF 1|＋|PF 2|＝503 ，故B 正确；因为kPF 2＝4－0203－5 ＝125>0，所以∠PF 2F 1为钝角，所以△PF 1F 2为钝角三角形，故C 正确；因为S △SS 1S 2＝12|PF 1|·|PF 2|sin ∠F 1PF 2，即12 ×133 ×373 sin ∠F 1PF 2＝20，则sin ∠F 1PF 2＝360481 ，所以∠F 1PF 2≠π3，故D 错误．2．解析：灾民区ABCD中的点可分为三类，第一类沿道路PA送药较近，第二类沿道路PB送药较近，第三类沿道路PA和PB送药一样近．依题意，知界线是第三类点的轨迹．设M为界线上的任一点，则|PA|＋|MA|＝|PB|＋|MB|，即|MA|－|MB|＝|PB|－|PA|＝50，因为|AB|＝1002＋1502－2×100×150×cos 60°＝507>50，所以界线是以A，B为焦点的双曲线的右支的一部分．如图所示，以AB所在直线为x轴，线段AB的垂直平分线为y轴，建立平面直角坐标系．设所求双曲线的标准方程为x2a2－y2b2＝1(a>0，b>0)，易知a＝25，c＝257，所以b2＝c2－a2＝3 750.故双曲线的标准方程为x2625－y23 750＝1.注意到点C的坐标为(257，60)，故y的最大值为60，此时x＝35，故界线的曲线方程为x2625－y23 750＝1(25≤x≤35，0≤y≤60).。
双曲线常见题型与典型方法归纳(修改版 附详解答案)
双曲线常见题型与典型方法归纳考点一 双曲线标准方程及性质1.双曲线的定义第一定义：平面内与两个定点21,F F 距离的差的绝对值等于|)|2(221F F a a <的点的轨迹。
（1）距离之差的绝对值.（2）当|MF 1|－|MF 2|=2a 时，曲线仅表示焦点F 2所对应的一支；当|MF 1|－|MF 2|=－2a 时，曲线仅表示焦点F 1所对应的一支；当2a =|F 1F 2|时，轨迹是同一直线上以F 1、F 2为端点向外的两条射线；当2a ＞|F 1F 2|时，动点轨迹不存在. 【典例】到两定点()0,31-F 、()0,32F 的距离之差的绝对值等于6的点M 的轨迹（ ）A ．椭圆B ．线段C ．双曲线D ．两条射线 第二定义：平面内与一个定点F 和一条定直线l 的距离的比是常数)1(>e 的动点的轨迹。
2双曲线的标准方程及几何性质标准方程)0,0(12222>>=-b a by a x )0,0(12222>>=-b a bx a y 图形性 质焦点 F 1（-)0,c ，F 2（)0,c F 1（),0c -，F 2（),c o焦距 | F 1F 2|=2c 222c b a =+范围 R y a x ∈≥,|| R x a y ∈≥,||对称 关于x 轴，y 轴和原点对称顶点 （-a ，0）。
（a ，0） （0，-a ）（0，a ）轴 实轴长2a ，虚轴长2b离心率)1(>=e ace （离心率越大，开口越大） 准线ca x 2±=ca y 2±=通径22b d a=22b d a=渐近线x ab y ±= x bay ±=注意：等轴双曲线（1）定义：实轴长与虚轴长相等的双曲线 （2）方程：222x y a -=或222y x a -= （3）离心率e =渐近线y x =±（4）方法：若已知等轴双曲线经过一定点，则方程可设为22(0)x y λλ-=≠ 【典例】 已知等轴双曲线经过点1)-，求此双曲线方程 3双曲线中常用结论（1）两准线间的距离: 22a c （2）焦点到渐近线的距离为b （3）通径的长是ab 22考点二 双曲线标准方程一 求双曲线标准方程的方法（1）定义法，根据题目的条件，若满足定义，求出相应a b c 、、即可求得方程； （2）待定系数法，其步骤是①定位：确定双曲线的焦点在哪个坐标轴上；②设方程：根据焦点的位置设出相应的双曲线方程； ③定值：根据题目条件确定相关的系数。
双曲线的标准方程
双曲线的标准方程双曲线是解析几何中的一类二次曲线，具有许多特殊的几何和代数性质。
本文将详细介绍双曲线的标准方程及其性质。
1. 双曲线的定义双曲线是指一组点P和一个点F，满足从P到F到一个定点D的距离差的绝对值等于一个定值e，即PF - PD = e。
双曲线可以通过椭圆的定义进行推导。
如果从椭圆上的固定点F到点P的距离之和等于一个定值2a，那么从F到P的距离差将等于2a - 2PF，即PF - PD = e，其中e = 2a - 2c，c为椭圆的其中一个焦点到椭圆中心的距离。
因此，双曲线可以看作是一个椭圆的镜像，是的焦点位置沿着中心轴移动了一段距离，从而形成的一组点。
2. 双曲线的标准方程双曲线的标准方程通常写作：x^2/a^2 - y^2/b^2 = 1 (a > 0, b > 0)这里的a和b分别是椭圆的半轴。
对于双曲线的方程，可以进一步推导出其他形式。
例如，将x和y交换，在方程中加上常数c，可以得到：-y^2/a^2 + x^2/b^2 = c这种形式叫做横向双曲线；另一种形式是纵向双曲线：y^2/a^2 - x^2/b^2 = 1这里的a和b是椭圆的半轴。
3. 双曲线的几何性质双曲线有一些有趣的几何性质，如下所示：(1) 双曲线具有两个分离的分支，这两个分支无穷远处相交于双曲线的渐近线。
(2) 双曲线的渐近线是其方程中不等于0的项所对应的直线。
(3) 双曲线对称于其两条渐近线。
(4) 双曲线移动或旋转后仍然是双曲线。
(5) 两个相交的双曲线组成了双曲线族。
(6) 双曲线上的点到两个焦点的距离之差等于常数e。
4. 双曲线的代数性质双曲线也有许多有趣的代数性质，例如：(1) 双曲线是一类二次曲线，它们的方程可以写成x^2 + y^2 + Ax + By + C = 0的形式。
(2) 双曲线的法线与其渐近线的夹角相等。
(3) 双曲线的切线与两个焦点之间的连线垂直。
(4) 不同的双曲线是正交的。
解析几何(2) 双曲线(含答案)
第6课时 双曲线1．了解双曲线的定义、几何图形和标准方程及简单性质． 2．了解双曲线的实际背景及双曲线的简单应用． 3．理解数形结合的思想．【梳理自测】一、双曲线的概念已知点F 1(－4，0)和F 2(4，0)，一曲线上的动点P 到F 1，F 2距离之差为6，该曲线方程是________．答案：x 29－y27＝1(x≥3)◆此题主要考查了以下内容：平面内与两个定点F 1，F 2(|F 1F 2|＝2c ＞0)的距离的差的绝对值为常数(小于|F 1F 2|且不等于零)的点的轨迹叫做双曲线．这两个定点叫双曲线的焦点，两焦点间的距离叫做焦距．集合P ＝{M||MF 1|－|MF 2||＝2a}，|F 1F 2|＝2c ，其中a 、c 为常数且a ＞0，c ＞0； (1)当2a ＜2c 时，P 点的轨迹是双曲线； (2)当2a ＝2c 时，P 点的轨迹是两条射线； (3)当2a ＞2c 时，P 点不存在． 二、双曲线标准方程及性质1．(教材改编)双曲线x 210－y22＝1的焦距为( )A ．3 2B ．4 2C ．3 3D ．4 32．双曲线y 2－x 2＝2的渐近线方程是( )A ．y ＝±xB ．y ＝±2xC ．y ＝±3xD ．y ＝±2x3．已知双曲线x 2a 2－y25＝1的右焦点为(3，0)，则该双曲线的离心率等于( )A .31414 B .324 C .32D .434．双曲线mx2＋y2＝1的虚轴长是实轴长的2倍，则m＝________．答案：1.D 2.A 3.C 4.－1 4◆此题主要考查了以下内容：考向一双曲线的定义及标准方程(1)(2014·陕西师大附中模拟)设过双曲线x2－y2＝9左焦点F1的直线交双曲线的左支于点P，Q，F2为双曲线的右焦点．若|PQ|＝7，则△F2PQ的周长为( ) A．19 B．26C．43 D．50(2)已知双曲线x2a2－y2b2＝1(a＞0，b＞0)和椭圆x216＋y29＝1有相同的焦点，且双曲线的离心率是椭圆离心率的两倍，则双曲线的方程为________．【审题视点】(1)利用双曲线定义|PF2|－|QF2|＝2a及三角形周长的计算求解．(2)已知双曲线的焦点及离心率求双曲线方程．【典例精讲】(1)如图，由双曲线的定义可得⎩⎪⎨⎪⎧|PF 2|－|PF 1|＝2a ，|QF 2|－|QF 1|＝2a ，将两式相加得|PF 2|＋|QF 2|－|PQ|＝4a ， ∴△F 2PQ 的周长为|PF 2|＋|QF 2|＋|PQ| ＝4a ＋|PQ|＋|PQ|＝4×3＋2×7＝26.(2)椭圆x 216＋y 29＝1的焦点坐标为F 1(－7，0)，F 2(7，0)，离心率为e ＝74.由于双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1与椭圆x 216＋y 29＝1有相同的焦点，因此a 2＋b 2＝7.又双曲线的离心率e ＝a 2＋b 2a ＝7a ，所以7a ＝274，所以a ＝2，b 2＝c 2－a 2＝3，故双曲线的方程为x 24－y23＝1.【答案】 (1)B (2)x 24－y23＝1【类题通法】 (1)涉及到双曲线上的点到焦点的距离问题时，经常考虑双曲线的定义． (2)当已知双曲线的焦点不明确而又无法确定时，其标准方程可设为x 2m －y2n ＝1(mn ＞0)，这样可避免讨论和复杂的计算；也可设为Ax 2＋By 2＝1(AB ＜0)，这种形式在解题时更简便；(3)当已知双曲线的渐近线方程bx±ay ＝0，求双曲线方程时，可设双曲线方程为b 2x 2－a 2y 2＝λ(λ≠0)，据其他条件确定λ的值；(4)与双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1有相同的渐近线的双曲线方程可设为x 2a 2－y2b 2＝λ(λ≠0)，据其他条件确定λ的值．1．根据下列条件，求双曲线方程：(1)与双曲线x 29－y216＝1有共同的渐近线，且过点(－3，23)；(2)与双曲线x 216－y24＝1有公共焦点，且过点(32，2)．解析：(1)设所求双曲线方程为x 29－y216＝λ(λ≠0)，将点(－3，23)代入得λ＝14，∴所求双曲线方程为x 29－y 216＝14，即x 294－y24＝1. (2)设双曲线方程为x 216－k －y24＋k ＝1，将点(32，2)代入得k ＝4(k ＝－14舍去)． ∴所求双曲线方程为x 212－y28＝1.考向二 双曲线的性质及应用(1)(2014·哈尔滨模拟)已知P 是双曲线x 2a 2－y2b2＝1(a ＞0，b ＞0)上的点，F 1，F 2是其焦点，双曲线的离心率是54，且PF 1→·PF 2→＝0，若△PF 1F 2的面积为9，则a ＋b 的值为( )A ．5B ．6C ．7D ．8(2)F 1、F 2分别是双曲线x 2a 2－y2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)的左、右焦点，过F 1的直线l 与双曲线的左、右两支分别交于A 、B 两点．若△ABF 2是等边三角形，则该双曲线的离心率为( )A ．2B .7C .13D .15【审题视点】 (1)利用PF 1→ ·PF 2→＝0及e ＝54转化为a ，b 的方程组．(2)利用双曲线定义及余弦定理求a 与c 的关系． 【典例精讲】 (1)由PF 1→·PF 2→＝0，得PF 1→⊥PF 2→，设|PF 1→|＝m ，|PF 2→|＝n ，不妨设m ＞n ，则m 2＋n 2＝4c 2，m －n ＝2a ，12mn ＝9，c a ＝54，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝4，c ＝5， ∴b ＝3，∴a ＋b ＝7，故选C . (2)如图，由双曲线定义得，|BF 1|－|BF 2|＝|AF 2|－|AF 1|＝2a ，因为△ABF 2是正三角形，所以|BF 2|＝|AF 2|＝|AB|，因此|AF 1|＝2a ，|AF 2|＝4a ，且∠F 1AF 2＝120°，在△F 1AF 2中，4c 2＝4a 2＋16a 2＋2×2a ×4a ×12＝28a 2，所以e ＝7，故选B .【答案】 (1)C (2)B【类题通法】 (1)求双曲线的离心率，就是求c 与a 的比值，一般不需要具体求出a ，c 的值，只需列出关于a ，b ，c 的方程或不等式解决即可．(2)双曲线的离心率与渐近线方程之间有着密切的联系，二者之间可以互求．2．(2014·济南模拟)过双曲线x 2a 2－y2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)的一个焦点F 作一条渐近线的垂线，若垂足恰在线段OF(O 为原点)的垂直平分线上，则双曲线的离心率为________．解析：如图所示，不妨设F 为右焦点，过F 作FP 垂直于一条渐近线，垂足为P ，过P 作PM⊥OF 于M.由已知得M 为OF 的中点，由射影定理知|PF|2＝|FM||FO|，又F(c ，0)，渐近线方程为bx －ay ＝0，∴|PF|＝bcb 2＋a2＝b ，∴b 2＝c 2·c ，即2b 2＝c 2＝a 2＋b 2，∴a 2＝b 2，∴e ＝c a ＝ 1＋b2a2＝ 2.答案： 2考向三 直线与双曲线的综合应用已知双曲线C ：x 2a2－y 2＝1(a ＞0)与l ：x ＋y ＝1相交于两个不同的点A 、B ，l与y 轴交于点P ，若PA →＝512PB →，则a ＝________．【审题视点】 联立方程组，利用P 、A 、B 坐标之间的关系，建立a 的方程． 【典例精讲】 因为双曲线C 与直线l 相交于两个不同的点，故知方程组⎩⎪⎨⎪⎧x 2a2－y 2＝1，x ＋y ＝1有两组不同的实数解，消去y 并整理，得(1－a 2)x 2＋2a 2x －2a 2＝0，实数a 应满足⎩⎪⎨⎪⎧a ＞0，1－a 2≠0，4a 4＋8a 2（1－a 2）＞0， 解得0＜a ＜2且a≠1. 设A(x 1，y 1)、B(x 2，y 2)， 由一元二次方程根与系数的关系， 得x 1＋x 2＝2a2a 2－1，①x 1x 2＝2a2a 2－1，②又P(0，1)，由PA →＝512PB →，得(x 1，y 1－1)＝512(x 2，y 2－1)，从而x 1＝512x 2，③ 由①③，解得⎩⎪⎨⎪⎧x 1＝517·2a 2a 2－1，x 2＝1217·2a 2a 2－1代入②， 得517×1217×⎝ ⎛⎭⎪⎫2a 2a 2－12＝2a 2a 2－1， 即2a 2a 2－1＝28960，解得a ＝1713，⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＝－1713舍去. 【答案】1713【类题通法】 (1)判断直线l 与双曲线E 的位置关系时，通常将直线l 的方程Ax ＋By ＋C ＝0(A 、B 不同时为0)代入双曲线E 的方程F(x ，y)＝0，消去y(也可以消去x)得到一个关于变量x(或变量y)的一元方程．即⎩⎪⎨⎪⎧Ax ＋By ＋C ＝0F （x ，y ）＝0，消去y 后得ax 2＋bx ＋c ＝0.由此转化为两点坐标的关系．(2)特殊情况考虑与渐近线平行的直线与双曲线的位置关系，数形结合求解．3．已知点A(－2，0)，点B(2，0)，且动点P 满足|PA|－|PB|＝2，则动点P 的轨迹与直线y ＝k(x －2)有两个交点的充要条件为k∈________．解析：由已知得动点P 的轨迹为一双曲线的右支且2a ＝2，c ＝2，则b ＝c 2－a 2＝1，∴P 点的轨迹方程为x 2－y 2＝1(x ＞0)，其一条渐近线方程为y ＝x.若P 点的轨迹与直线y ＝k(x －2)有两个交点，则需k∈(－∞，－1)∪(1，＋∞)．答案：(－∞，－1)∪ (1，＋∞)双曲线与渐近线的关系不清致误(2014·浙江温州适应性测试)已知F 1，F 2为双曲线Ax 2－By 2＝1的焦点，其顶点是线段F 1F 2的三等分点，则其渐近线的方程为( )A ．y ＝±22xB ．y ＝±24xC ．y ＝±xD ．y ＝±22x 或y ＝±24x 【正解】 依题意c ＝3a ，∴c 2＝9a 2.又c 2＝a 2＋b 2， ∴b 2a 2＝8，b a ＝22，a b ＝24.故选D . 【答案】 D【易错点】 (1)默认为双曲线焦点在x 轴其渐近线为y ＝±ba x ，而错选为A .(2)把双曲线认为等轴双曲线而错选为C .(3)把a ，b ，c 的关系与椭圆c 2＝a 2－b 2混淆致错．【警示】 (1)对于方程x 2a 2－y 2b 2＝1来说，求渐近线方程就相当于求ba 的值，但要分焦点的位置是在x 轴还是在y 轴上，此题没有给出焦点的位置，其渐近线斜率有四种情况．(2)渐近线为y ＝±b a x 所对应的双曲线为x 2a 2－y2b 2＝λ(λ≠0)．当λ＞0时，表示焦点在x 轴上，当λ＜0时，焦点在y 轴上．1．(2013·高考福建卷)双曲线x 24－y 2＝1的顶点到其渐近线的距离等于( )A .25B .45C .255 D .455解析：选C .求出双曲线的顶点和渐近线，再利用距离公式求解．双曲线的渐近线为直线y ＝±12x ，即x±2y ＝0，顶点为(±2，0)，∴所求距离为d ＝|±2±0|5＝255. 2．(2013·高考广东卷)已知中心在原点的双曲线C 的右焦点为F(3，0)，离心率等于32，则C 的方程是( )A .x 24－y 25＝1 B .x 24－y25＝1 C .x 22－y 25＝1 D .x 22－y25＝1 解析：选B .求双曲线的标准方程需要确定焦点位置及参数a ，b 的值．右焦点为F(3，0)说明两层含义：双曲线的焦点在x 轴上；c ＝3.又离心率为c a ＝32，故a ＝2，b 2＝c 2－a 2＝32－22＝5，故C 的方程为x 24－y25＝1，选B .3．(2013·高考北京卷)双曲线x 2－y2m＝1的离心率大于2的充分必要条件是( )A ．m ＞12B ．m ≥1C ．m ＞1D ．m ＞2解析：选C .用m 表示出双曲线的离心率，并根据离心率大于2建立关于m 的不等式求解．∵双曲线x 2－y2m＝1的离心率e ＝1＋m ，又∵e ＞2，∴1＋m ＞2，∴m ＞1.4．(2013·高考湖北卷)已知0＜θ＜π4，则双曲线C 1：x 2cos 2θ－y 2sin 2θ＝1与C 2：y2sin 2θ－x2sin 2θtan 2θ＝1的( )A ．实轴长相等B ．虚轴长相等C ．焦距相等D ．离心率相等解析：选D .先根据θ的范围，确定双曲线方程的类型，判断焦点所在的坐标轴，然后分析双曲线C 1和C 2的实轴长、虚轴长、焦距、离心率是否相等．双曲线C 1的焦点在x 轴上，a ＝cos θ，b ＝sin θ，c ＝1，因此离心率e 1＝1cos θ；双曲线C 2的焦点在y 轴上，由于0<θ<π4，所以a ＝sin θ，b ＝sin θtan θ，c ＝sin 2θ＋sin 2θtan 2θ，因此离心率e 2＝sin 2θ＋sin 2θtan 2θsin θ＝sin θ1＋tan 2θsin θ＝1cos θ. 故两条双曲线的实轴长、虚轴长、焦距都不相等，离心率相等。
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双曲线标准方程及性质1、平面内与两个定点1F ，2F 的距离之差的绝对值等于常数（小于12F F ）的点的轨迹称为双曲线．即：|)|2(,2||||||2121F F a a MF MF <=-。
这两个定点称为双曲线的焦点，两焦点的距离称为双曲线的焦距． 2、双曲线的几何性质：焦点的位置焦点在x 轴上焦点在y 轴上图形标准方程范围顶点轴长焦点焦距对称性离心率渐近线方程3、实轴和虚轴等长的双曲线称为等轴双曲线．第1课时 双曲线及其标准方程一、选择题1．已知双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)，其焦点为F 1、F 2，过F 1作直线交双曲线同一支于A 、B 两点，且|AB |＝m ，则△ABF 2的周长是( )A ．4aB ．4a －mC ．4a ＋2mD ．4a －2m2．设θ∈(3π4，π)，则关于x 、y 的方程x 2sin θ－y 2cos θ＝1 所表示的曲线是( )A ．焦点在y 轴上的双曲线B ．焦点在x 轴上的双曲线C ．焦点在y 轴上的椭圆D ．焦点在x 轴上的椭圆3．(2010·安徽理，5)双曲线方程为x 2－2y 2＝1，则它的右焦点坐标为( ) A.⎝⎛⎭⎫22，0B.⎝⎛⎭⎫52，0 C.⎝⎛⎭⎫62，0 D ．(3，0)4．k >9是方程x 29－k ＋y 2k －4＝1表示双曲线的( )A ．充要条件B ．充分不必要条件C ．必要不充分条件D ．既不充分也不必要条件5．已知双曲线x 225－y 29＝1的左、右焦点分别为F 1、F 2，若双曲线的左支上有一点M 到右焦点F 2的距离为18，N 是MF 2的中点，O 为坐标原点，则|NO |等于( )A.23B ．1C ．2D ．4 6．已知双曲线x 2－y 22＝1的焦点为F 1、F 2，点M 在双曲线上且MF 1→·MF 2→＝0，则点M 到x 轴的距离为( )A.43B.53C.233D. 37．已知方程ax 2－ay 2＝b ，且a 、b 异号，则方程表示( ) A ．焦点在x 轴上的椭圆 B ．焦点在y 轴上的椭圆 C ．焦点在x 轴上的双曲线 D ．焦点在y 轴上的双曲线8．以椭圆x 23＋y 24＝1的焦点为顶点，以这个椭圆的长轴的端点为焦点的双曲线方程是( )A.x 23－y 2＝1 B ．y 2－x 23＝1 C.x 23－y 24＝1 D.y 23－x 24＝1 9．已知双曲线中心在原点，一个焦点为F 1(－5，0)，点P 在该双曲线上，线段PF 1的中点坐标为(0,2)，则双曲线的方程是( )A.x 24－y 2＝1 B ．x 2－y 24＝1 C.x 22－y 23＝1 D.x 23－y 22＝1 10．已知双曲线x 29－y 216＝1的左、右焦点分别为F 1、F 2，若双曲线上一点P 使∠F 1PF 2＝90°，则△F 1PF 2的面积是( )A ．12B ．16C ．24D ．32 二、填空题11．若双曲线x 2－y 2＝1右支上一点P (a ，b )到直线y ＝x 的距离是2，则a ＋b ＝________.12．已知圆(x ＋4)2＋y 2＝25的圆心为M 1，圆(x －4)2＋y 2＝1的圆心为M 2，动圆与这两圆外切，则动圆圆心的轨迹方程为____________．13．若双曲线x 2m －y 2n ＝1(m >0，n >0)和椭圆x 2a ＋y 2b ＝1(a >b >0)有相同的焦点F 1，F 2，M 为两曲线的交点，则|MF 1|·|MF 2|等于________．14．已知双曲线x2－y2＝m与椭圆2x2＋3y2＝72有相同的焦点，则m的值为________．三、解答题15．设声速为a米/秒，在相距10a米的A、B两哨所，听到炮弹爆炸声的时间差6秒，求炮弹爆炸点所在曲线的方程．16．已知双曲线与椭圆x227＋y236＝1有相同的焦点，且与椭圆的一个交点的纵坐标为4，求双曲线的方程．17．已知定点A(0,7)、B(0，－7)、C(12,2)，以C为一个焦点作过A、B的椭圆，求椭圆的另一焦点F 的轨迹方程．18．如图，已知双曲线的离心率为2，F1，F2为左、右焦点，P为双曲线上的点，∠F1PF2＝60°，S△PF1F2＝123，求双曲线的标准方程．第2课时 双曲线的简单几何性质一、选择题1．已知双曲线与椭圆x 29＋y 225＝1共焦点，它们的离心率之和为145，双曲线的方程应是( )A.x 212－y 24＝1B.x 24－y 212＝1 C ．－x 212＋y 24＝1 D ．－x 24＋y 212＝1 2．焦点为(0，±6)且与双曲线x 22－y 2＝1有相同渐近线的双曲线方程是( )A.x 212－y 224＝1 B.y 212－x 224＝1 C.y 224－x 212＝1 D.x 224－y 212＝1 3．若0<k <a ，则双曲线x 2a 2－k 2－y 2b 2＋k 2＝1与x 2a 2－y 2b 2＝1有( )A ．相同的实轴B ．相同的虚轴C ．相同的焦点D ．相同的渐近线4．中心在坐标原点，离心率为53的双曲线的焦点在y 轴上，则它的渐近线方程为( )A ．y ＝±54xB ．y ＝±45xC ．y ＝±43xD ．y ＝±34x5．(2009·四川文，8)已知双曲线x 22－y 2b 2＝1(b >0)的左右焦点分别为F 1、F 2，其一条渐近线方程为y ＝x ，点P (3，y 0)在该双曲线上，则PF 1→·PF 2→＝( )A ．－12B ．－2C ．0D ．46．双曲线虚轴的一个端点为M ，两个焦点为F 1、F 2，∠F 1MF 2＝120°，则双曲线的离心率为( ) A.3 B.62 C.63 D.337．已知a 、b 、c 分别为双曲线的实半轴长、虚半轴长、半焦距，且方程ax 2＋bx ＋c ＝0无实根，则双曲线离心率的取值范围是( )A ．1<e <5－2B ．1<e <2C ．1<e <3D ．1<e <2＋ 58．已知椭圆x 23m 2＋y 25n 2＝1和双曲线x 22m 2－y 23n 2＝1有公共的焦点，那么双曲线的渐近线方程是( )A ．x ＝±152y B ．y ＝±152x C ．x ＝±34y D ．y ＝±34x9．(2010·海口期末)已知双曲线C ：x 29－y 216＝1的左、右焦点分别为F 1、F 2，P 为C 的右支上一点，且|PF 2|＝|F 1F 2|，则△PF 1F 2的面积等于( )A ．24B ．36C ．48D ．9610．双曲线mx 2＋y 2＝1的虚轴长是实轴长的2倍，则m 等于( ) A ．－14B ．－4C ．4D.14二、填空题11．若双曲线x 24＋y 2m ＝1的渐近线方程为y ＝±32x ，则双曲线的焦点坐标是____________．12．(2010·福建文，13)若双曲线x 24－y 2b 2＝1(b >0)的渐近线方程为y ＝±12x ，则b 等于________．13．已知双曲线与椭圆x 2＋4y 2＝64共焦点，它的一条渐近线方程为x －3y ＝0，则双曲线的方程为________．14．已知双曲线的渐近线方程是y ＝±4x ，则其离心率为________． 三、解答题15．双曲线与圆x 2＋y 2＝17有公共点A (4，－1)，圆在A 点的切线与双曲线的一条渐近线平行，求双曲线的标准方程．16．焦点在坐标轴上的双曲线，它的两条渐近线方程为2x ±y ＝0，焦点到渐近线的距离为8，求此双曲线方程．17．双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的右焦点为F ，焦距为2c ，左顶点为A ，虚轴的上端点为B (0，b )，若BA →·BF →＝3ac ，求该双曲线的离心率．18．若F 1，F 2是双曲线x 29－y 216＝1的左、右两个焦点，点P 在双曲线上，且|PF 1|·|PF 2|＝32，求∠F 1PF 2的大小．第1课时 双曲线及其标准方程一、选择题 1．[答案] C 2． [答案] C[解析] 方程即是x 2sin θ＋y 2－cos θ＝1，因θ∈(3π4，π)，∴sin θ>0，cos θ<0，且－cos θ>sin θ，故方程表示焦点在y 轴上的椭圆，故答案为C. 3．[答案] C[解析] 将方程化为标准方程x 2－y 212＝1∴c 2＝1＋12＝32，∴c ＝62，故选C. 4． [答案] B[解析] k >9时，方程为y 2k －4－x 2k －9＝1表示焦点在y 轴上的双曲线，方程表示双曲线时，(k －9)(k －4)<0，∴k <4或k >9，故选B.5．[答案] D[解析] NO 为△MF 1F 2的中位线，所以|NO |＝12|MF 1|，又由双曲线定义知，|MF 2|－|MF 1|＝10，因为|MF 2|＝18，所以|MF 1|＝8，所以|NO |＝4，故选D.6．[答案] C[解析] 由条件知c ＝3，∴|F 1F 2|＝23， ∵MF 1→·MF 2→＝0，∴|MO |＝12|F 1F 2|＝3，设M (x 0，y 0)，则⎩⎪⎨⎪⎧x 20＋y 20＝3x 20－y 202＝1，∴y 20＝43，∴y 0＝±233，故选C. 7． [答案] D[解析] 方程变形为x 2b a －y 2b a ＝1，由a 、b 异号知ba <0，故方程表示焦点在y 轴上的双曲线，故答案为D.8．[答案] B[解析] 由题意知双曲线的焦点在y 轴上， 且a ＝1，c ＝2，∴b 2＝3，双曲线方程为y 2－x 23＝1.9．[答案] B[解析] 由条件知P (5，4)在双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1上，∴5a 2－16b2＝1，又a 2＋b 2＝5，∴⎩⎪⎨⎪⎧a 2＝1b 2＝4，故选B.10．[答案] B[解析] 由定义||PF 1|－|PF 2||＝6，∴|PF 1|2＋|PF 2|2－2|PF 1|·|PF 2|＝36，∵|PF 1|2＋|PF 2|2＝|F 1F 2|2＝100，∴|PF 1||PF 2|＝32，∴S △PF 1F 2＝12|PF 1|·|PF 2|＝16.二、填空题 11． [答案] 12[解析] 由条件知，⎩⎨⎧a 2－b 2＝1|a －b |2＝2，∴⎩⎪⎨⎪⎧ a ＋b ＝12a －b ＝2或⎩⎪⎨⎪⎧a ＋b ＝－12a －b ＝－2，∵a >0，∴a ＋b ＝12.12． [答案] x 24－y 212＝1(x ≥2)[解析] 设动圆圆心为M ，动圆半径为r ，根据题意得，|MM 1|＝5＋r ，|MM 2|＝1＋r ，两式相减得|MM 1|－|MM 2|＝4<8＝|M 1M 2|，故M 点在以M 1(－4,0)，M 2(4,0)为焦点的双曲线的右支上，故圆心M 的轨迹方程为x 24－y 212＝1(x ≥2)． 13． [答案] a －m[解析] 由双曲线及椭圆定义分别可得|MF 1|－|MF 2|＝±2m ① |MF 1|＋|MF 2|＝2a ②②2－①2得，4|MF 1|·|MF 2|＝4a －4m ，∴|MF 1|·|MF 2|＝a －m . 14． [答案] 6[解析] 椭圆方程为x 236＋y 224＝1，c 2＝a 2－b 2＝36－24＝12，∴焦点F 1(－23，0)，F 2(23，0)，双曲线x 2m －y 2m ＝1与椭圆有相同焦点，∴2m ＝12，∴m ＝6.三、解答题15． [解析] 以A 、B 两哨所所在直线为x 轴，它的中垂线为y 轴，建立直角坐标系，得炮弹爆炸点的轨迹方程为x 29a 2－y 216a2＝1.16． [解析] 椭圆的焦点为F 1(0，－3)，F 2(0,3)，故可设双曲线方程为y 2a 2－x 2b 2＝1(a >0，b >0)，且c ＝3，a 2＋b 2＝9.由条件知，双曲线与椭圆有一个交点的纵坐标为4，可得两交点的坐标为A (15，4)、B (－15，4)， 由点A 在双曲线上知，16a 2－15b2＝1.解方程组⎩⎪⎨⎪⎧a 2＋b 2＝9，16a 2－15b2＝1，得⎩⎪⎨⎪⎧a 2＝4，b 2＝5.∴所求曲线的方程为y 24－x 25＝1.17． [解析] 设F (x ，y )为轨迹上的任意一点， 因为A 、B 两点在以C 、F 为焦点的椭圆上，所以|F A |＋|CA |＝2a ，|FB |＋|CB |＝2a ，(其中a 表示椭圆的长半轴长)， 所以|F A |＋|CA |＝|FB |＋|CB |， 所以|F A |－|FB |＝|CB |－|CA |＝122＋92－122＋52＝2.由双曲线的定义知，F 点在以A 、B 为焦点的双曲线的下半支上， 所以点F 的轨迹方程是y 2－x 248＝1(y ≤－1)． 18． [解析] 设双曲线方程为x 2a 2－y 2b 2＝1∵e ＝c a ＝2，∴a ＝c 2由双曲线定义：|PF 1|－|PF 2|＝2a ＝c . 由余弦定理得|F 1F 2|2＝|PF 1|2＋|PF 2|2－2|PF 1||PF 2|cos ∠F 1PF 2＝(|PF 1|－|PF 2|)2＋2|PF 1|·|PF 2|(1－cos60°)， ∴4c 2＝c 2＋|PF 1|·|PF 2|又S △PF 1F 2＝12|PF 1|·|PF 2|·sin60°＝12 3得|PF 1|·|PF 2|＝48，即c 2＝16，∴a 2＝4，b 2＝12， 所求方程为x 24－y 212＝1.第2课时 双曲线的简单几何性质一、选择题 1．[答案] C[解析] ∵椭圆x 29＋y 225＝1的焦点为(0，±4)，离心率e ＝45，∴双曲线的焦点为(0，±4)，离心率为145－45＝105＝2，∴双曲线方程为：y 24－x 212＝1.2．[答案] B[解析] 与双曲线x 22－y 2＝1有共同渐近线的双曲线方程可设为x 22－y 2＝λ(λ≠0)，又因为双曲线的焦点在y 轴上，∴方程可写为y 2－λ－x 2－2λ＝1.又∵双曲线方程的焦点为(0，±6)，∴－λ－2λ＝36.∴λ＝－12.∴双曲线方程为y 212－x 224＝1.3． [答案] C[解析] ∵0<k <a ，∴a 2－k 2>0.∴c 2＝(a 2－k 2)＋(b 2＋k 2)＝a 2＋b 2. 4． [答案] D[解析] ∵c a ＝53，∴c 2a 2＝a 2＋b 2a 2＝259，∴b 2a 2＝169，∴b a ＝43，∴a b ＝34.又∵双曲线的焦点在y 轴上，∴双曲线的渐近线方程为y ＝±ab x ，∴所求双曲线的渐近线方程为y ＝±34x .5．[答案] C[解析] 本小题主要考查双曲线的方程及双曲线的性质．由题意得b 2＝2，∴F 1(－2,0)，F 2(2,0)，又点P (3，y 0)在双曲线上，∴y 20＝1， ∴PF 1→·PF 2→＝(－2－3，－y 0)·(2－3，－y 0)＝－1＋y 20＝0，故选C. 6．[答案] B[解析] 设双曲线方程为x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)．∵△MF 1F 2为等腰三角形，∠F 1MF 2＝120°，∴∠MF 1F 2＝30°，∴tan30°＝b c ＝33，b 2c 2＝13，c 2－a 2c 2＝1－(a c )2＝13，(c a )2＝32，∴e ＝62.7．[答案] D[解析]由已知Δ＝b2－4ac<0，∴c2－a2－4ac<0.∴(ca)2－4(c a)－1<0，即e2－4e－1<0.∴2－5<e<2＋ 5.又e>1，故1<e<2＋ 5.8．[答案] D[解析]由题意c2＝3m2－5n2＝2m2＋3n2，∴m2＝8n2，∴双曲线渐近线的斜率k＝±3|n|2|m|＝±34.方程为y＝±34x.9．[答案] C[解析]依题意得|PF2|＝|F1F2|＝10，由双曲线的定义得|PF1|－|PF2|＝6，∴|PF1|＝16，因此△PF1F2的面积等于12×16×102－⎝⎛⎭⎫1622＝48，选C.10．[答案] A[解析]双曲线方程化为标准形式：y2－x2－1 m ＝1，则有：a2＝1，b2＝－1m，由题设条件知，∴2＝－1m ，∴m＝－14.[点评]双曲线作为圆锥曲线的一种，其几何性质常作为高考命题的热点问题．但难度一般不大，掌握其实轴、虚轴、焦距之间的关系和渐近线方程是解决双曲线问题的突破口．二、填空题11． [答案](7，0)(－7，0)[解析]由双曲线方程得出其渐近线方程为y＝±－m2x，∴m＝－3，求得双曲线方程为x24－y23＝1，从而得到焦点坐标(7，0)(－7，0)12． [答案] 1[解析]本题主要考查双曲线的渐近线方程．双曲线x24－y2b2＝1(b>0)的渐近线方程为y＝±b2x，∴b2＝12，即b＝1.13． [答案]x236－y212＝1[解析]解法一：由于双曲线的一条渐近线方程为x－3y＝0，则另一条为x＋3y＝0，可设双曲线方程为x 2－3y 2＝λ(λ>0)，即x 2λ－y 2λ3＝1由椭圆方程x 264＋y 216＝1可知 c 2＝a 2－b 2＝64－16＝48双曲线与椭圆共焦点，则λ＋λ3＝48 ∴λ＝36. 故所求双曲线方程为x 236－y 212＝1. 解法二：双曲线与椭圆共焦点，可设双曲线方程为x 264－λ－y 2λ－16＝1 由渐近线方程y ＝13x 可得λ－1664－λ＝13∴λ＝28 故所求双曲线方程为x 236－y 212＝1. 解法三：椭圆x 264＋y 216＝1，c 2＝64－16＝48. 设双曲线的实半轴长，虚半轴长分别为a 、b ，则由条件知⎩⎪⎨⎪⎧ a 2＋b 2＝48b a ＝13，∴⎩⎪⎨⎪⎧a 2＝36b 2＝12，∴双曲线方程为x 236－y 212＝1. 14． [答案] 17或174[解析] 若双曲线焦点在x 轴上，依题意得，b a ＝4，∴b 2a 2＝16，即c 2－a 2a2＝16，∴e 2＝17，e ＝17. 若双曲线焦点在y 轴上，依题意得，a b ＝4.∴b a ＝14，b 2a 2＝116，即c 2－a 2a 2＝116. ∴e 2＝1716，故e ＝174，即双曲线的离心率是17或174. 三、解答题15． [解析] ∵点A 与圆心O 连线的斜率为－14，∴过A 的切线的斜率为4. ∴双曲线的渐近线方程为y ＝±4x .设双曲线方程为x 2－y 216＝λ. ∵点A (4，－1)在双曲线上，∴16－116＝λ，λ＝25516. ∴双曲线的标准方程为x 225516－y 2255＝1. 16． [解析] 因双曲线的渐近线方程为2x ±y ＝0，故设双曲线方程为4x 2－y 2＝λ(λ≠0)．当λ>0时，a 2＝λ4，b 2＝λ，∴c 2＝a 2＋b 2＝54λ. 即焦点坐标为(±52λ，0)． 据点到直线的距离公式有2×52λ5＝8，得λ＝8. 此时双曲线方程为x 22－y 28＝1. 当λ<0时，双曲线方程可化为y 2－λ－x 2－λ4＝1. 则a 2＝－λ，b 2＝－λ4， ∴c 2＝a 2＋b 2＝－54λ. 故焦点坐标为(0，±52λ)， 据点到直线的距离公式有|52λ|5＝3，得λ＝－16. 此时双曲线方程为y 216－x 24＝1. 故所求双曲线的方程为x 22－y 28＝1或y 216－x 24＝1. 17． [解析] 由条件知F (c,0)，A (－a,0)，∴BA →＝(－a ，－b )，BF →＝(c ，－b )，∵BA →·BF →＝3ac ，∴－ac ＋b 2＝3ac ，又b 2＝c 2－a 2，∴c 2－a 2－4ac ＝0，∵e >1，∴e ＝c a＝2＋ 5. 18． [解析] 由双曲线的方程，知a ＝3，b ＝4，所以c ＝5.由双曲线的定义得，||PF 1|－|PF 2||＝2a ＝6.上式两边平方得，|PF 1|2＋|PF 2|2＝36＋2|PF 1|·|PF 2|＝100，由余弦定理得，cos ∠F 1PF 2＝|PF 1|2＋|PF 2|2－|F 1F 2|22|PF 1|·|PF 2| ＝100－1002|PF 1|·|PF 2|＝0， 所以∠F 1PF 2＝90°.[点评] 在双曲线的焦点三角形中，经常运用正弦定理、余弦定理、双曲线定义来解题，解题过程中，常对定义式两边平方探求关系．。