第五章 样本与抽样分布
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1
第五章 样本与抽样分布
1、 设容量10=n 的样本的观察值为)6,9,5,7,8,9,5,6,7,8(，求样本均值及样本方差的观察值．
解： 7)678(10
1
11=+++==∑= n i i x n x
∑=-=n
i i x x n s 1
22
)(1
2])76()77()78[(10
1
222=-++-+-=
2、 设n X X X ,,,21 是来自)10(-分布,1)0((p P -==ξ ))1(p P ==ξ的简单随机样本，p 为未知参数，则
),,,(21n X X X 的概率分布是什么？并求X E ，X D ．
解：ξ服从)10(-分布p P -==1)0(ξ，p P ==)1(ξ．
由于n X X X ,,,21 相互独立且与ξ同分布，故其分布为
),,,(2211n n x X x X x X P ===
)()()(2211n n x X P x X P x X P ====
∑-∑===-n
i i
n
i i
x n x p p 1
1)
1( )10(或=i x
p p n EX n X n E X E n
i n i i n i i ====∑∑∑===1
1111)1(
]
)([1
1
)1(2221
2
1i i n
i i n i i EX EX n n DX n
X n D X D -===∑∑==
)1(1
][12p p n p p n
-=-=．
3、 已知样本1621,,,X X X 取自正态分布总体)1,0(N ，X 为
样本均值，已知01.0}{=≥λX P ，则λ等于多少？
解：),,,(1621X X X 取自正态分布总体)1,0(N ，于是
)16
1
,
0(~N X ． )4
10
410(
1){1}{-<--=<-=≥λλλX P X P X P )44
1(
1λ<-=X
P ＝01.0)4(1=Φ-=λ
2
则 99.0)4(=Φλ 查正态分布表，33.24=λ 故 58.0=λ
6、 样本4321,,,X X X X 取自正态分布总体ξ,a E =ξ已知，而
2σξ=D 未知，则下列随机变量中哪些不能作为统计量？
∑==4
141)(i i X X a a X X h b 2)(21-+=
∑=-=4
1
2
2)(1
)(i i X x k c σ ∑=-=4
122
)(31)(i i X x S d ．
解：)(c 不能作为统计量，因为)(c 中含有未知参数2σ． 7、 在总体)20,80(~2
N ξ中随机地抽取一容量为100的样本，问样本均值与总体均值的差的绝对值大于3的概率是多少？ 解：总体)20,80(~2
N ξ，则对容量为100的样本的样本均值X ，有 )2,80()100
20
,
80(~22
N N X = )3|80(|1)3|(|≤--=>-X P X P μ
)2
3
28023(1)3803(1≤-≤--=≤-≤--=X P X P
)]23()23([1-Φ-Φ-=]1)23
(2[1-Φ-=
)]2
3
(1[2Φ-=
13362.0=．
8、 设总体),(~2σξa N ，假定要以99.7%的概率保证偏差
1.0||<-a X ，试问在5.02=σ时，样本容量应取多大？
解：样本均值),
(~2
n
a N X σ
}1.01.0{}1.0|{|<-<-=<-a X P a X P
}1
.01
.0{
2
2
2
n
n
a
X n
P σσσ<
-<
-=
}5.01.05.01.0{2
n n
a
X n P <-<
-=σ
)5.01.0(
)5.01.0(n
n -Φ-Φ=
1)5.01
.0(
2-Φ=n
997.0=
3
于是 9985.0)5.01.0(
=Φn
查标准正态分布表有
97.25.01.0=n
则样本容量441=n ．
222212161 ~ (,), 161
(,,
,), ()2;2n
i i X N n X X X P X n μσσμσ=⎧⎫⎪⎪⎨
⎬⎪⎪⎩
⎭
=≤-≤∑
9、设总体从此总体中取一个容量为的样本求概率
解
1216 ,,, , X X X 因为是来自正态总体的样本222
1
1
()~(),
n
i i X n μχσ
=-∑所以22211 ()22n i i P X n σμσ=⎧⎫≤-≤⎨⎬
⎩⎭
∑于是16222118()32{8(16)32}
i i P X P μχσ=⎧⎫
=≤-≤=≤≤⎨⎬⎩⎭
∑22{(16)32}{(16)8}0.990.050.94
P P χχ=≤-≤=-=
10、 设总体ξ服从)1,0(N ，样本),,,(521X X X 来自总体ξ，试求常数c ，使统计量
25
24
23
21)
(X X X X X c +
+
+服从-t 分布．
解：ξ服从)1,0(N ，),,,(521X X X 来自总体ξ，则i X 相互独立且与ξ同分布．
令 221X X X +=
，则)21
,0(~N X ，于是 )1,0(~2
2)(222
102
121N X X X X X X +=+=
=-
令 2
5
2423X X X Y ++=，则)3(~2χY ，于是 3
2Y X 服从-t 分布
要使
25
24
2
3
21)
(X X X X X c +
+
+服从-t 分布，必须使
=
+
+
+25
24
23
21)
(X X X X X c 3
2Y X 3
)
(2
)
(252
4
23
21X X X X X ++
+=
2
3
25
24232
1X X X X X +++=