高数Ⅱ习题10-1解答
高数2试题及答案.(DOC)
模拟试卷一―――――――――――――――――――――――――――――――――― 注意：答案请写在考试专用答题纸上，写在试卷上无效。
（本卷考试时间100分）一、单项选择题（每题3分，共24分）1、已知平面π：042=-+-z y x 与直线111231:-+=+=-z y x L 的位置关系是（ ） （A ）垂直 （B ）平行但直线不在平面上（C ）不平行也不垂直 （D ）直线在平面上 2、=-+→→1123lim0xy xy y x （ ）（A ）不存在 （B ）3 （C ）6 （D ）∞3、函数),(y x f z =的两个二阶混合偏导数y x z ∂∂∂2及xy z∂∂∂2在区域D 内连续是这两个二阶混合偏导数在D 内相等的（ ）条件.（A ）必要条件 （B ）充分条件（C ）充分必要条件 （D ）非充分且非必要条件 4、设⎰⎰≤+=ay x d 224πσ，这里0 a ，则a =（ ）（A ）4 （B ）2 （C ）1 （D ）0 5、已知()()2y x ydydx ay x +++为某函数的全微分，则=a （ ）（A ）-1 （B ）0 （C ）2 （D ）16、曲线积分=++⎰L z y x ds222（ ），其中.110:222⎩⎨⎧==++z z y x L（A ）5π（B ）52π （C ）53π （D ）54π7、数项级数∑∞=1n na发散，则级数∑∞=1n nka（k 为常数）（ ）（A ）发散 （B ）可能收敛也可能发散（C ）收敛 （D ）无界 8、微分方程y y x '=''的通解是（ ）（A ）21C x C y += （B ）C x y +=2（C ）221C x C y += （D ）C x y +=221 二、填空题（每空4分，共20分）1、设xyez sin =，则=dz 。
2、交换积分次序：⎰⎰-222xy dy e dx = 。
高数二试题及答案解析
高数二试题及答案解析一、单项选择题（每题4分，共20分）1. 极限的定义中，当x趋近于a时，f(x)趋近于A，那么f(x)与A的差的绝对值小于任意正数ε，即：A. |f(x) - A| < εB. |f(x) - A| ≥ εC. |f(x) - A| = εD. |f(x) - A| = 0答案：A2. 函数f(x) = x^2在x=0处的导数为：A. 0B. 1C. 2D. -1答案：B3. 以下哪个函数是偶函数？A. f(x) = x^3B. f(x) = x^2C. f(x) = xD. f(x) = |x|答案：B4. 函数f(x) = sin(x)的不定积分是：A. cos(x) + CB. sin(x) + CC. -cos(x) + CD. -sin(x) + C答案：C5. 以下哪个级数是收敛的？A. 1 + 1/2 + 1/4 + 1/8 + ...B. 1 - 1/2 + 1/4 - 1/8 + ...C. 1 + 1/2 + 1/3 + 1/4 + ...D. 1/2 + 1/4 + 1/8 + 1/16 + ...答案：B二、填空题（每题4分，共20分）6. 函数f(x) = 2x - 3在x=2处的值为________。
答案：17. 函数f(x) = e^x的二阶导数为________。
答案：e^x8. 函数f(x) = ln(x)的不定积分为________。
答案：x*ln(x) - x + C9. 函数f(x) = x^2 + 3x + 2的极小值点为________。
答案：-3/210. 函数f(x) = x^3 - 3x的拐点为________。
答案：0三、计算题（每题10分，共30分）11. 计算极限：lim (x→0) [sin(x)/x]。
解析：这是一个著名的极限，其值为1。
可以通过洛必达法则或者三角函数的极限性质来求解。
答案：112. 计算定积分：∫[0, π/2] (2x + 1) dx。
高等数学Ⅱ复习题部分答案
一、单项选择题（共 86 题， 86 分）1、A、 0B、 1C、 2D、 3E、 42、A、 1B、 0C、 2D、 3E、 43、A、 0B、 2C、 3D、 1E、 44、A、 0B、 1C、 2D、 eE、 35、A、 0B、 1C、 2D、 3E、 4 6、A、 1B、 0C、 2D、 3E、 4 7、A、 ln3B、 ln2C、 0D、 1E、 2 8、A、 1B、 0C、 2D、 3E、 4 9、A、 1-exB、 eC、 ex+eD、 0E、 110、A、连续但偏导不存在B、偏导存在但不连续C、连续且偏导存在D、既不连续偏导也不存在11、A、 0B、 1C、 2D、 3E、 412、A、 1B、 0C、 2D、 3E、 413、A、 1B、 2C、 3D、 4E、 014、A、 0B、 1C、 2D、 3E、 e15、A、 0B、 2C、 3D、 4E、 116、A、 eB、 1C、 2D、 4E、 317、A、 ln3B、 ln2C、 1D、 2E、 318、A、 1B、 0C、 2D、 3E、 419、A、 1-exB、 ex+eC、 eD、 0E、 120、A、连续但偏导不存在B、偏导存在但不连续C、既不连续偏导也不存在D、连续且偏导存在21、以下对于多元函数连续、偏导及可微说法正确的选项是（）A、若可微，则偏导存在B、若连续，则偏导存在C、若偏导存在，则连续D、若偏导存在，则可微22、A、B、C、D、23、A、 dx+2dy+dzB、 dx+dy+dzC、 2dx+dy+dzD、 2dx+2dy+dz24、A、 1B、 -1C、 0D、 225、A、B、C、D、26、设 u=cos(xy), 则 du=( ).A、 -cos(xy)(ydx+xdy)B、 -sin(xy)(ydx+xdy)C、 cos(xy)(ydx+xdy)D、 sin(xy)(ydx+xdy)27、A、 2B、 4C、 -2D、 128、A、 2B、 0C、 1D、 329、A、 3B、 2C、 1D、 030、A、B、C、 yD、31、A、B、C、D、32、A、 2x+2y-z=0B、 2x+2y-z-1=0C、 2x+2y-z-2=0D、 2x+y-z-2=033、A、必需条件但非充足条件B、充足条件但非必需条件C、既非必需条件也非充足条件D、充要条件34、A、 4B、 8C、 6D、 1035、A、 x+y-8z=116B、 x-y-8z=120C、 x-y+8z=110D、 x+y+8z=14036、A、 2B、 1C、 3D、 437、A、 4,0B、 1,2C、 0,4D、 2,138、A、 -2B、 2C、 -4D、 439、A、 (1,1)B、 (1,2)C、 (1,-1)D、 (2,1)40、A、 1B、 2C、 0D、 341、A、 3B、 6C、 9D、 042、A、 1+sin1B、 1-cos1C、 1-sin1D、 043、A、 4B、 5C、 -4D、 -544、A、 2B、 3C、 1D、 445、A、 3SB、 2SC、 SD、 4S46、A、 2B、 3C、 1D、 047、A、 2B、 1C、 0D、 448、A、 1B、 0C、 2D、 -149、A、大于0B、等于0C、没法确立50、A、B、C、 0D、 151、A、 1B、 2C、 3D、 052、A、 aB、 abcC、 bD、 053、A、 22 πB、 21 πC、 20 πD、 25 π54、A、 2 πB、 4 πC、 0D、 8 π55、B、π/2C、 0D、 256、A、 13/9B、 14/9C、 1D、 057、A、 0B、C、 2D、 158、A、 2 πB、 4 πC、πD、 3 π59、A、 2B、 1C、 0D、 360、A、B、C、D、61、A、 4B、 16C、 8D、 1062、A、 3B、 1C、 0D、 463、A、I=JB、I<JC、I>JD、没法判断I,J大小64、A、4πB、0C、2D、2π65、B、4πC、2D、2π66、A、-2B、4C、-4D、267、A、πB、2πC、π/2D、4π68、A、10B、8C、-8D、-1069、A、1B、2C、470、A、dxB、dx+dyC、-dyD、dy71、A、（0,0）不是函数的极小值点B、（0,0）是函数的极大值点C、(0,0)是函数的极小值点D、（0,0）不是函数的极值点72、A、{4,4,8}B、{2,4,4}C、{4,4,12}D、{2,2,4}73、A、B、C、D、74、A、B、2C、/2D、175、A、B、C、D、76、A、连续B、极限不存在C、极限存在但不连续D、没有定义77、A、 0B、1C、 2D、 378、A、1B、2C、-2D、079、A、1B、-1C、2D、 380、A、48πB、16πC、24πD、π81、A、B、C、D、82、A、0B、1C、2D、383、A、B、C、D、84、A、e+1B、e-1C、-e-1D、e85、设 C 为一条平面闭曲线，方向为逆时针，则下边可表示所围地区 D 面积的是( )A、B、C、D、86、A、B、C、D、二、判断题（共 18 题， 18 分）1、√2、×3、√4、5、能否正确？√6、质心与形心两个观点没有任何差别.7、8、9、偏导存在且连续能够推出函数可微√10、计算空间体的体积只有二重积分和三重积分两种方法，其余种类的积分不可以办理体积的问题 .×11、二元函数在某点极值存在，且该点处偏导存在，则偏导数必定为零.12、二元函数在开地区内部假如只有一个极值点，则该极值点为最值点.13、二元函数在某点极限存在当且仅当沿任何方向随意路径趋近于该点处极限均存在且相等.14、偏导存在能推出连续，连续不可以推出偏导存在×15、二重积分的几何意义是曲顶柱体体积的代数和. √16、质心与形心两个观点是有所不一样的. √17、方导游数是一个数，梯度是一个向量√18、×19、函数 f(x,y,z)在有界闭区Ω 上连续时，f(x,y,z)在Ω 三重积分必存在。
2023成人高考专升本高等数学(二)考试真题含答案
2023成人高考专升本高等数学(二)考试真题含答案2023年成人高考专升本高等数学(二)考试真题含答案(回忆版)高等数学二的内容包括哪些?高等数学二教材内容共有十一章，主要内容为函数与极限、导数与微分、中值定理与导数的应用、不定积分、定积分、定积分的应用、微分方程、空间解析几何与向量代数、多元函数微分学、多元函数积分学、级数。
书后有自测题、习题参考答案、自测题参考答案与提示、积分表。
《高等数学(第二版)》是由马少、张好治、李福乐主编，科学出版社于2019年出版的中国科学院规划教材、大学数学系列教材。
该教材可供于高等院校生物类、经贸类和管理类各专业的本、专科学生和高职院校的学生使用，也可供其他相关专业的学生参考。
成考高等数学一和二区别有哪些学习内容不同：《高数一》主要学数学分析，内容主要为微积分(含多元微分、重积分及常微分方程)和无穷级数等。
)，《高数二》主要学概率统计、线性代数等内容。
对知识的掌握程度要求不同：《高数》(一)和《高数》(二)的区别主要是对知识的掌握程度要求不同。
《高数》(一)要求掌握求反函数的导数，掌握求由参数方程所确定的函数的求导方法，会求简单函数的n阶导数，要掌握三角换元、正弦变换、正切变换和正割变换。
《高数(二)只要求掌握正弦变换、正切变换等。
考核内容不同：高等数学(一)考核内容中有二重积分，而高等数学(二)对二重积分并不做考核要求。
高等数学(一)有无穷级数、常微分方程，高等数学(二)均不做要求。
成人高考数学题型高起点数学(文/理)：分为Ⅰ卷(选择题共85分)和Ⅱ卷(非选择题65分)。
Ⅰ卷选择题：1-17小题，每小题5分，共85分。
Ⅱ卷填空题：18-21小题，每小题4分，共16分;解答题：22-25小题，各小题分值不等，共49分。
专升本高等数学(一/二)：选择题 1-10小题，每小题4分，共40分;填空题 11-20小题，每小题4分，共40分;解答题 21-28小题，共70分。
10月全国高等数学(二)自考试题及答案解析
1全国2019年10月高等教育自学考试高等数学（二）试题课程代码：00021第一部分 选择题（共40分）一、单项选择题(本大题共20小题，每小题2分，共40分)在每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的，请将其代码填写在题后的括号内。
错选、多选或未选均无分。
1．若必有A T =A ，矩阵A 为（ ）A.正交矩阵B.对称矩阵C.可逆矩阵D.三角形2．若A ，B 均为n 阶方阵，且AB=0，则（ ）A.A=0或B=0B.A+B=0C.|A|=0或|B|=0D.|A|+|B|=03．设A 为m ⨯n 矩阵，秩为r ，C 为n 阶可逆矩阵，矩阵B=AC ，秩(B)=r 1，则（） A.r 1>r 2 B.r<r 1C.r=r 1D.r 1与C 有关4．)1,1,1(),0,1,1(),3,1,2(),3,2,1(4321=α-=α=α=α，则（ ）A.1α线性相关B.21,αα线性相关C.线性相关321,,αααD.线性相关421,,ααα5．n 个未知量的齐次线性方程组的方程个数m>n ，则对该方程组正确的（ ）A.有唯一解B.有无穷多解C.无解D.有解6．若矩阵A 与B 是合同的，则它们也是（ ）A.相似B.相等C.等价D.满秩7．实二次型f(x 1，…，x n )=x T Ax 为正定的充要条件是（ ）A.f 的秩为nB.f 的正惯性指数为nC.f 的正惯性指数等于f 的秩D.f 的负惯性指数为n8．实二次型f(x 1,x 2,x 3)的秩为3，符号差为-1，则f 的标准形可能为（ ）A.332221y y y -+-B.332221y y 2y +-2 C.332221y y 2y -+ D.21y -9．当根据样本观察值画出的频率直方图为一矩形（即各“条形”高相同）时，则（ ）A.这组数据的极差为零B.这组数据的平均偏差为零C.这组数据的方差为零D.这组数据的极差、方差都不一定为零10．将一枚均匀硬币反复抛掷10次，已知前三次抛掷中恰出现了一次正面，则第二次出现正面的概率为（ ） A.31 B.21 C.41D.103 11．设随机变量ηζ和的密度函数分别为⎩⎨⎧≤≤=ζ其它,01x 0,x 3)x (p 2 ⎩⎨⎧≤>=-η0y ,00y ,e 3)y (p y 3，若ηζ和不相关，E(ζη)=（ ） A. 41 B.21 C.43 D.1 12．设离散型随机变量ζ的分布列为（ ）A.32B.31C.0D.32- 13．设随机变量ζ的密度函数p(x)=⎩⎨⎧π∈其他,0],0[x ,ASinx ，则常数A=（ ） A.41 B.21 C.1D.214．设随机变量ζ的概率密度为p(x)=⎪⎩⎪⎨⎧<<-其他,a x a ,a 21，其中a>0，要使P{ζ>1}=31，则a=（ ）3A.1B.2C.3D.415．设ζ的分布函数为F(x)=A++∞<<∞-πx x arctan 1，则常数A=（ ） A.21B.1C.2D.π 16．设总体X~N(2,σμ)，X 1，X 2是总容量为2的样本，2,σμ为未知参数，下列样本函数不是统计量的是（ ）A.X 1+X 2B.22221X X 4X ++C.2221X X +D.μ+1X17．设θˆ是未知参数θ的一个估计量，若E(θˆ)=θ，则θˆ是θ的（ ） A.极大似然估计B.矩估计C.无偏估计D.有偏估计18．设总体X 为参数为λ的动态分布，今测得X 的样本观测值为0.1,0.2,0.3,0.4，则参数λ的矩估计值λˆ为（ ） A.0.2B.0.25C.1D.419．作假设检验时，在以下哪种情形下，采用Z -检验法（ ）A.对单个正态总体，已知总体方差，检验假设00:H μ=μB.对单个正态总体，未知总体方差，检验假设00:H μ=μC.对单个正态总体，已知总体均值，检验假设2020:H σ=σD.对两个正态总体，检验假设22210:H σ=σ20．一元线性回归分析中F=)2n /(Q U -的值较小，则说明x 与y 之间（ ） A.有显著的线性相关关系B.没有显著的线性相关关系4C.不相关D.线性相关关系不可判定第二部分 非选择题（共60分）二、简答题（本大题共4小题，每小题4分，共16分）21．设33A ⨯的行列式|A|=2，试问能确定出|A -1|AA *的具体结果吗？为什么？若能得出结果，结果是什么？22．)4,2,0,3(=β能否由)1,1,1,0(),3,1,7,2(),2,0,4,1(321--=α=α=α线性表示？为什么？23．全年级120名学生中有男生（以A 表示）100人，来自北京的（以B 表示）40人，这40人中有男生30人，试写出P(A)、P(B)、P(B|A )，和P(B |A )24．设随机变量N ~ζ(5,5)，η在[0，π]上均匀分布，相关系数21=ρζη，求（1）)2(E η-ζ；（2）)2(D η-ζ三、计算题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）25．A=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----111222111能否相似于对角阵？为什么？26．加工某一零件共需经过四道工序，设第一、二、三、四道工序的次品率分别是2%，3%，5%，3%，假定各道工序是互不影响的，求加工出来的零件的次品率。
高等数学2习题教材答案
高等数学2习题教材答案第一章：极限与连续1. 习题1.1（1）设函数 f(x) = 2x + 3，求 f(x) 的极限值。
解：要求 f(x) 的极限值，即求极限lim(x→∞) f(x)。
由极限的定义可得：lim(x→∞) f(x) = lim(x→∞) (2x + 3) = ∞因此，f(x) 的极限值为正无穷。
（2）确定以下函数的间断点，并判断其类型：a) f(x) = (x - 2) / (x^2 - 4)解：首先求解分母为零的情况，即 x^2 - 4 = 0，解得 x = 2 或 x = -2。
当 x = 2 或 x = -2 时，分母为零，因此两个点都是间断点。
当 x < -2，x 在 -2 左边时，f(x) 的分子和分母都为负数，所以 f(x) 是负数。
当 -2 < x < 2 时，分子为负数，分母为正数，所以 f(x) 是负数。
当 x > 2，x 在 2右边时，分子和分母都为正数，所以 f(x) 是正数。
因此，x = 2 为跳跃间断点，x = -2 为可去间断点。
b) f(x) = (x^2 - x - 6) / (x - 3)解：首先求解分母为零的情况，即 x - 3 = 0，解得 x = 3。
当 x = 3 时，分母为零，因此该点是间断点。
当 x < 3 时，f(x) 的分子为正，分母为负，所以 f(x) 是负数。
当 x > 3 时，f(x) 的分子和分母都为正数，所以 f(x) 是正数。
因此，x = 3 为跳跃间断点。
习题1.2求以下函数的极限：（1）lim(x→1) (x^2 - 1) / (x - 1)解：由于分子和分母都包含 (x - 1) 因子，可以进行因式分解：(x^2 - 1) / (x - 1) = [(x + 1)(x - 1)] / (x - 1)然后可以约分 (x - 1)：= x + 1因此，lim(x→1) (x^2 - 1) / (x - 1) = lim(x→1) (x + 1) = 2（2）lim(x→∞) (3x^2 - 2x + 1) / (4x^2 + x - 2)解：由于 x 的次数越来越大，可以忽略掉次高项和常数项，得到：lim(x→∞) (3x^2 - 2x + 1) / (4x^2 + x - 2) ≈ lim(x→∞) (3x^2 / 4x^2) = 3/4第二章：一元函数微分学1. 习题2.1求以下函数的导数：（1）f(x) = 3x^4 - 2x^3 + 4x^2 - 5x + 1解：对于 x 的 n 次幂，导数是 n 乘以 x 的 n-1 次幂。
2021全国(新高考2卷)数学：答案详细解析(二0二一年)
数学（新高考Ⅱ卷）答案详解（精编版）适用地区：海南､辽宁､重庆。
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.（复数）复数213ii--在复平面内对应的点所在的象限为A.第一象限 B.第二象限C.第三象限D.第四象限【答案】A【解析】∵()()()()213255111313131022i i i i i i i i -+-+===+--+，∴在复平面内对应的点所在的象限为第一象限.2.（集合）设集合{1,2,3,4,5,6},{1,3,6},{2,3,4}U A B ===，则()U A B =ðA .{3}B.{1,6}C.{5,6}D.{1,3}【答案】B【解析】因为{}1,5,6U B =ð，所以有(){}1,6U A B = ð.3.（解析几何）抛物线22(0)y px p =>的焦点到直线1y x =+的距离为，则p =A.1B.2C. D.4【答案】B【解析】抛物线的焦点为,02p ⎛⎫⎪⎝⎭，其到直线1y x =+（即10x y -+=）的距离为d ==解得2p =.4.（三角函数）北斗三号全球卫星导航系统是我国航天事业的重要成果．在卫星导航系统中，地球静止同步卫星的轨道位于地球赤道所在平面，轨道高度为36000km （轨道高度是指卫星到地球表面的距离）．将地球看作是一个球心为O ，半径r 为6400km 的球，其上点A 的纬度是指OA 与赤道平面所成角的度数．地球表面上能直接观测到一颗地球静止同步轨道卫星点的纬度最大值为α，记卫星信号覆盖地球表面的表面积为22(1cos )S r πα=-（单位：km 2），则S 占地球表面积的百分比约为A .26%B.34%C.42%D.50%【答案】C【解析】设轨道高度为h ，由图A4可知，地球表面上能直接观测到一颗地球静止同步轨道卫星点的纬度最大值α的余弦cos r r hα=+，图A4地球表面积为24πr ，由题意可得，S 占地球表面积的百分比约为()()22212π(1cos )1cos 360000.4242%4π4π2222640036000rS r h r h r r r h αα---+=====≈=+⨯+.5.（立体几何）正四棱台的上､下底面的边长分别为2，4，侧棱长为2，则其体积为A.20+B. C.563D.2823【答案】D【解析】由棱台的体积公式可知，本题关键是求得棱台的高.由图A5可知，1111A O AB ==，AO AB ==，∴()221111O O AA AO A O =--=∵棱台上底面面积21114S A B ==，下底面面积216S AB ==，∴棱台的体积为((11141633V h S S =++=++=图A56.（概率统计）某物理量的测量结果服从正态分布()210,N σ，下列结论中不正确的是A.σ越小，该物理量在一次测量中在(9.9,10.1)的概率越大B.σ越小，该物理量在一次测量中大于10的概率为0.5C.σ越小，该物理量在一次测量中小于9.99与大于10.01的概率相等D.σ越小，该物理量在一次测量中落在(9.9,10.2)与落在(10,10.3)的概率相等【答案】D【解析】由正态分布密度曲线的特征逐项判断即可.A 、2σ为数据的方差，所以σ越小，数据在10μ=附近越集中，所以测量结果落在(9.9,10.1)内的概率越大，故A 正确；B 、由正态分布密度曲线的对称性可知，该物理量一次测量大于10的概率为0.5，故B 正确；C 、由正态分布密度曲线的对称性可知，该物理量一次测量结果大于10.01的概率与小于9.99的概率相等，故C 正确；D 、因为该物理量一次测量结果落在(9.9,10.0)的概率与落在(10.2,10.3)的概率不同，所以一次测量结果落在(9.9,10.2)的概率与落在(10,10.3)的概率不同，故D 错误.7.（函数）已知5log 2a =，8log 3b =，12c =，则下列判断正确的是A.c b a << B.b a c<< C.a c b<< D.a b c<<【答案】C【解析】125551log 2log log 52a c =<===，故a c <，128881log 3log log 82b c =>===，故b c >，故a c b <<.8.（函数）已知函数()f x 的定义域为R ，()2f x +为偶函数，()21f x +为奇函数，则A.102f ⎛⎫-= ⎪⎝⎭B.()10f -=C.()20f =D.()40f =【答案】B【解析】∵()21f x +为奇函数，∴()()02121f x f x +-++=，取0x =则有()21=0f ，即()10f =，又∵()2f x +为偶函数，∴()()22f x f x =+-+，∴()()()()24222f x f x f x f x =+=---=-⎡⎤⎡⎤⎣⎣⎦+⎦()1231213322x x f x f f ⎡⎤⎡⎤⎛⎫⎛⎫=+=+=--+⎡⎤ ⎪ ⎪⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎝⎭⎝⎭⎣-⎦⎣-⎦-()()132f x f x =-+=-⎡⎤⎣⎦--，∴()()20f x f x -+=，取1x =，有()()011f f +-=，∴()()011f f -=-=.二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．9.（概率统计）下列统计量中，能度量样本12,,,n x x x 的离散程度的是A.样本12,,,n x x x 的标准差B.样本12,,,n x x x 的中位数C.样本12,,,n x x x 的极差D.样本12,,,n x x x 的平均数【答案】AC【解析】由标准差的定义可知，标准差考查的是数据的离散程度；由中位数的定义可知，中位数考查的是数据的集中趋势；由极差的定义可知，极差考查的是数据的离散程度；由平均数的定义可知，平均数考查的是数据的集中趋势；故选AC.10.（立体几何）如图，在正方体中，O 为底面的中心，P 为所在棱的中点，M ，N 为正方体的顶点．则满足MN OP 的是A. B.C. D.【答案】BC【解析】A 、如图A10(1)所示，连接AC ，则MN ∥AC ，故∠POC （或其补角）为异面直线OP 、MN 所成的角，很显然，∠POC ≠90°，故A 不符合题意；图A10B 、如图A10(2)所示，取NT 的中点为Q ，连接PQ ，OQ ，很容易证明OQ NTMS ⊥面，故OQ NM ⊥；在正方形NTMS 中，很容易证明PQ NM ⊥；∴NM OPQ ⊥面，∴NM OP ⊥，故B 正确.（因为是选择题，证明过程写的比较简单，但逻辑关系一定要正确）C 、如图A10(3)所示，连接BD ，则BD ∥MN ，由选项B 的判断可得BD OP ⊥，故MN OP ⊥，故C 正确.图A10D 、如图A10(4)所示，延长QS 至点T ，使QS ＝2ST ，连接NT 、MT ，很容易证明NT ∥OP ，故∠MNT （或其补角）为异面直线OP 、MN 所成的角，设SM ＝2a ，在△MNT 中，2225MT NT a ==，228MN a =，因222MT NT MN ≠+，故∠MNT ≠90°，故D 不符合题意.故选BC.11.（解析几何）已知直线2:0l ax by r +-=与圆222:C x y r +=，点(,)A a b ，则下列说法正确的是A.若点A 在圆C 上，则直线l 与圆C 相切B.若点A 在圆C 内，则直线l 与圆C 相离C.若点A 在圆C 外，则直线l 与圆C 相离D.若点A 在直线l 上，则直线l 与圆C 相切【答案】ABD【解析】圆222:C x y r +=的圆心为(0,0)C ，其到直线l的距离为2d ==12.设正整数010112222k k k k n a a a a --=⋅+⋅++⋅+⋅ ，其中{}0,1i a ∈，记()01k n a a a ω=+++ ．则A.()()2n n ωω=B.()()231n n ωω+=+C.()()8543n n ωω+=+D.()21n nω-=【答案】ACD【解析】利用()n ω的定义判断.A 、()01k n a a a ω=+++ ，02101112022222k k k k n a a a a +-=⋅+⋅+⋅++⋅+⋅ ，所以()()0120k n a a a n ωω=++++= ，A 选项正确；B 、()010112323222223k k k k n n a a a a --+=⋅+=⋅⋅+⋅++⋅+⋅+ ()0211101212222k k k k a a a a -=⋅++⋅+⋅++⋅+⋅ ，所以()()232n n ωω+=+，B 选项错误；C 、因()33010118525222225k k k k n n a a a a --+=⋅+=⋅⋅+⋅++⋅+⋅+ ()01242301131202122222k k k k a a a a ++-=⋅+⋅+⋅+⋅+⋅++⋅+⋅ ，所以()()852n n ωω+=+；()22010114323222223k k k k n n a a a a --+=⋅+=⋅⋅+⋅++⋅+⋅+ ()01321201112122222k k k k a a a a ++-=⋅+⋅+⋅+⋅++⋅+⋅ ，所以()()432n n ωω+=+；因此()()8543n n ωω+=+，C 选项正确；D 、02121121212nn --=⋅+⋅++⋅ ，故()21nn ω-=，D 选项正确.故选ACD.三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13.（解析几何）已知双曲线()222210,0x y a b a b-=>>的离心率为2，则该双曲线的渐近线方程为_____.【答案】y =【解析】双曲线的离心率为2，∴2c a =，即2c a =，∴b =，∴by x a=±=.14.（函数）写出一个同时具有下列性质①②③的函数():f x _______．①()()()1212f x x f x f x =；②当(0,)x ∈+∞时，()0f x '>；③()'f x 是奇函数．【答案】2()f x x =（答案不唯一）【解析】取2()f x x =，则()22212121212()()()f x x x x x x f x f x ===，满足①，()2f x x '=，0x >时有()0f x '>，满足②，()2f x x '=为奇函数，满足③.（答案不唯一，由函数的性质和导函数知识可知，()2*()nf x xx N =∈均满足）15.（平面向量）已知向量0a b c ++= ，1a = ，2b c == ，a b b c c a ⋅+⋅+⋅=_______．【答案】92-16.（函数）已知函数12()1,0,0xf x e x x <=>-，函数()f x 的图象在点()()11,A x f x 和点()22,B x f x 的两条切线互相垂直，且分别交y 轴于M ，N 两点，则||||AM BN 取值范围是_______．【答案】()0,1四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤．17.（数列）（10分）记n S 是公差不为0的等差数列{}n a 的前n 项和，若35244a S a a S ==，．（1）求数列{}n a 的通项公式n a ；（2）求使n n S a >成立的n 的最小值．【答案】（1）26n a n =-；（2）7【解析】在ABC ∆中，角A 、B 、C 所对的边长分别为a 、b 、c ，1b a =+，2c a =+.（1）若2sin 3sin C A =，求ABC ∆的面积；（2）是否存在正整数a ，使得ABC ∆为钝角三角形?若存在，求出a 的值；若不存在，说明理由．【答案】（1）4；（2）存在正整数a ，2a =【解析】在四棱锥Q ABCD -中，底面ABCD 是正方形，若23AD QD QA QC ====，．（1）证明：平面QAD ⊥平面ABCD ；（2）求二面角B QD A --的平面角的余弦值．【答案】（1）证明见解析；（2）23.【解析】（1）如图A19(1)，取AD 的中点为O ，连接QO 、CO ，图A19(1)∵OA OD QA QD ==，，∴QO AD ⊥，在Rt △QAO 中，112AO AD QA ===，2QO =，在Rt △DCO 中，1122DO AD CD ===，，∴CO =，∵3QC =，∴222QC QO CO =+，故△QCO 为直角三角形，且QO OC ⊥，∵AD OC O = ，∴QO ⊥平面ABCD ；∵QO ⊂平面QAD ，∴平面QAD ⊥平面ABCD .（2）如图A19(2)，在平面ABCD内，过O 作//OT CD ，交BC 于T ，则OT AD ⊥，结合（1）中的QO ⊥平面ABCD ，可建如图A19(2)所示的空间坐标系：图A19(2)则(0,0,2)Q ，(0,1,0)D ，(2,1,0)B -，(0,1,0)A -，故(2,1,2)QB =-- ，(0,1,2)DQ =-，设平面QBD 的法向量为(,,)n x y z =，20.（解析几何）（12分）已知椭圆C 的方程为22221(0)x y a b a b +=>>，右焦点为F ，且离心率为63．（1）求椭圆C 的方程；（2）设M ，N 是椭圆C 上的两点，直线MN 与曲线222(0)x y b x +=>相切．证明：M ，N ，F 三点共线的充要条件是||MN =．【答案】（1）2213x y +=；（2）证明见解析.【解析】21.（概率统计）（12分）一种微生物群体可以经过自身繁殖不断生存下来，设一个这种微生物为第0代，经过一次繁殖后为第1代，再经过一次繁殖后为第2代……，该微生物每代繁殖的个数是相互独立的且有相同的分布列，设X 表示1个微生物个体繁殖下一代的个数，()(0,1,2,3)i P X i p i ===．（1）已知01230.4,0.3,0.2,0.1p p p p ====，求()E X ；（2）设p 表示该种微生物经过多代繁殖后临近灭绝的概率，p 是关于x 的方程：230123p p x p x p x x +++=的一个最小正实根，求证：当()1E X ≤时，1p =，当()1E X >时，1p <；（3）根据你的理解说明（2）问结论的实际含义．【答案】（1）1；（2）见解析；（3）见解析.【解析】（1）()00.410.320.230.11E X =⨯+⨯+⨯+⨯=；（2）设()232301230123()1f x p p x p x p x p p x p x p x x -=++++++=-，则0(1)f =，则()12321()23f x p p x p x '=++-，故()f x '有两个不同零点1x 、2x ，且1201x x <<≤，且12(,)(,)x x x ∈-∞+∞ 时，()0f x '>；12()x x x ∈，时，()0f x '<；故()f x 在12(,)(,)x x -∞+∞，上为增函数，在12()x x ，上为减函数.1）若21x =，当212(0)()x x x x ∈⊂，，时，因()f x 为减函数，故2()()(1)0f x f x f >==，当2(,)x x ∈+∞时，因()f x 为增函数，故有2()()(1)0f x f x f >==，故1为230123p p x p x p x x +++=的一个最小正实根；2）若21x >，因为(1)0f =且()f x 在2(0)x ，上为减函数，故1为230123p p x p x p x x +++=的一个最小正实根；综上，()1E X ≤时，则1p =.②若()1E X >，即123()231E X p p p =++>，故1230123p p p ++->，此时10(0)1p f '-=<，123(1)1203f p p p '=-+>+，故()f x '有两个不同零点3x 、4x ，且3401x x <<<，且34(,)(,)x x x ∈-∞+∞ 时，()0f x '>；34()x x x ∈，时，()0f x '<；故()f x 在34(,)(,)x x -∞+∞，上为增函数，在34()x x ，上为减函数.因41x <，0(1)f =，所以4()0f x <，又00(0)f p =>，故()f x 在4(0)x ，存在一个零点p ，且1p <.所以p 为230123p p x p x p x x +++=的一个最小正实根，此时1p <，故当()1E X >时，1p <.（3）意义：每一个该种微生物繁殖后代的平均数不超过1，则若干代必然灭绝；若繁殖后代的平均数超过1，则若干代后被灭绝的概率小于1.22.（函数）（12分）已知函数2()(1)x f x x e ax b =--+．（1）讨论()f x 的单调性；（2）从下面两个条件中选一个，证明：()f x 有一个零点①21,222e a b a <≤>；②10,22a b a <<≤．【答案】（1）见解析；（2）见解析.【解析】（1）由函数的解析式可得：()2(2)xxf x xe ax x e a '=-=-，①若0a ≤，有20xea ->恒成立，故当(,0)x ∈-∞，则()0f x '<，()f x 单调递减；当(0,)x ∈+∞，则()0f x '>，()f x 单调递增；②若102a <<，当(,In(2))x a ∈-∞，则20xe a -<且0x <，则()0f x '>，()f x 单调递增；当(In(2),0)x a ∈，则20xe a ->且0x <，则()0f x '<，()f x 单调递减；当(0,)x ∈+∞，则20xe a ->且0x >，则()0f x '>，()f x 单调递增；③若12a =，有()(1)0xf x x e '=-≥恒成立，故()f x 在R 上单调递增；④若12a >，当(,0)x ∈-∞，则20xea -<且0x <，则()0f x '>，()f x 单调递增；当(0,In(2))x a ∈，则20xe a -<且0x >，则()0f x '<，()f x 单调递减；当(In(2),)x a ∈+∞，则20xe a ->且0x >，则()0f x '>，()f x 单调递增.（2）选择条件①：数学（新高考Ⅱ卷）一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。
（完整版）高等数学II练习册-第10章答案
（完整版）⾼等数学II练习册-第10章答案习题10-1 ⼆重积分的概念与性质1.根据⼆重积分的性质，⽐较下列积分的⼤⼩：（1）2()D x y d σ+??与3()Dx y d σ+??，其中积分区域D 是圆周22(2)(1)2x y -+-=所围成；（2）ln()Dx y d σ+??与2[ln()]Dx y d σ+??，其中D 是三⾓形闭区域，三顶点分别为(1,0)，(1,1)，(2,0)；2.利⽤⼆重积分的性质估计下列积分的值：（1）22sin sin DI x yd σ=，其中{(,)|0,0}D x y x y ππ=≤≤≤≤；（2）22(49)DI x y d σ=++??，其中22{(,)|4}D x y x y =+≤.（3）.DI =，其中{(,)|01,02}D x y x y =≤≤≤≤解 (),f x y =Q 2，在D 上(),f x y 的最⼤值()14M x y ===，最⼩值()11,25m x y ====故0.40.5I ≤≤习题10-2 ⼆重积分的计算法1.计算下列⼆重积分：（1）22()Dx y d σ+??，其中{(,)|||1,||1}D x y x y =≤≤；（2）cos()Dx x y d σ+??，其中D 是顶点分别为(0,0)，(,0)π和(,)ππ的三⾓形闭区域。
2.画出积分区域，并计算下列⼆重积分：（1）x y De d σ+??，其中{(,)|||1}D x y x y =+≤（2）22()Dxy x d σ+-??，其中D 是由直线2y =，y x =及2y x =所围成的闭区域。
3.化⼆重积分(,)DI f x y d σ=为⼆次积分（分别列出对两个变量先后次序不同的两个⼆次积分），其中积分区域D 是：（1）由直线y x =及抛物线24y x =所围成的闭区域；（2）由直线y x =，2x =及双曲线1(0)y x x=>所围成的闭区域。
2010年高考全国数学卷(全国Ⅱ.理)(含详解答案)
2010年普通高等学校招生全国统一考试（全国卷II ）数学(理科）【教师简评】按照“保持整体稳定，推动改革创新，立足基础考查，突出能力立意”命题指导思想，本套试卷的总体印象是:题目以常规题为主，难度较前两年困难，得高分需要扎扎实实的数学功底.1.纵观试题，小题起步较低，难度缓缓上升，除了选择题11、12、16题有一定的难度之外，其他题目难度都比较平和.2.解答题中三角函数题较去年容易，立体几何难度和去年持平，数列题的难度较去年有所提升，由去年常见的递推数列题型转变为今年的数列求极限、数列不等式的证明，不易拿满分，概率题由去年背景是“人员调配”问题，转变为今年的与物理相关的电路问题，更体现了学科之间的联系.两道压轴题以解析几何和导数知识命制，和去年比较更有利于分步得分.3.要求考生有比较强的计算能力，例如立体几何问题，题目不难，但需要一定的计算技巧和能力.不管题目难度如何变化，“夯实双基(基础知识、基本方法)”，对大多数考生来说，是以不变应万变的硬道理.（1）复数231i i -⎛⎫= ⎪+⎝⎭（A ）34i -- （B ）34i -+ （C ）34i - （D ）34i + 【答案】A【命题意图】本试题主要考查复数的运算.【解析】231i i -⎛⎫= ⎪+⎝⎭22(3)(1)(12)342i i i i --⎡⎤=-=--⎢⎥⎣⎦. （2）.函数1ln(1)(1)2x y x +-=>的反函数是（A ） 211(0)x y e x +=-> （B ）211(0)x y e x +=+> （C ）211(R)x y e x +=-∈ （D ）211(R)x y e x +=+∈【答案】D【命题意图】本试题主要考察反函数的求法及指数函数与对数函数的互化。
【解析】由原函数解得，即，又；∴在反函数中，故选D.（3）.若变量,x y 满足约束条件1,,325x y x x y -⎧⎪⎨⎪+⎩≥≥≤，则2z x y =+的最大值为（A ）1 （B ）2 （C ）3 （D ）4 【答案】C【命题意图】本试题主要考查简单的线性规划问题.【解析】可行域是由A(1,1),B(1,4),C(1,1)---构成的三角形，可知目标函数过C 时最大，最大值为3，故选C.（4）.如果等差数列{}n a 中，34512a a a ++=，那么127...a a a +++= （A ）14 （B ）21 （C ）28 （D ）35 【答案】C【命题意图】本试题主要考查等差数列的基本公式和性质. 【解析】173454412747()312,4,7282a a a a a a a a a a a +++===∴+++=== （5）不等式2601x x x ---＞的解集为 （A ）{}2,3x x x -＜或＞ （B ）{}213x x x -＜，或＜＜（C ） {}213x x x -＜＜，或＞ （D ）{}2113x x x -＜＜，或＜＜【答案】C【命题意图】本试题主要考察分式不等式与高次不等式的解法.【解析】利用数轴穿根法解得-2＜x ＜1或x ＞3，故选C（6）将标号为1，2，3，4，5，6的6张卡片放入3个不同的信封中．若每个信封放2张，其中标号为1，2的卡片放入同一信封，则不同的方法共有（A ）12种 （B ）18种 （C ）36种 （D ）54种【答案】B【命题意图】本试题主要考察排列组合知识，考察考生分析问题的能力.【解析】标号1,2的卡片放入同一封信有种方法；其他四封信放入两个信封，每个信封两个有种方法，共有种，故选B.（7）为了得到函数sin(2)3y x π=-的图像，只需把函数sin(2)6y x π=+的图像（A ）向左平移4π个长度单位 （B ）向右平移4π个长度单位 （C ）向左平移2π个长度单位 （D ）向右平移2π个长度单位【答案】B【命题意图】本试题主要考查三角函数图像的平移.【解析】s i n (2)6y x π=+=sin 2()12x π+，sin(2)3y x π=-=sin 2()6x π=-，所以将s i n (2)6y x π=+的图像向右平移4π个长度单位得到sin(2)3y x π=-的图像，故选B.（8）ABC V 中，点D 在AB 上，CD 平方ACB ∠．若C B a =u u r ，CA b =uu r，1a =，2b =，则CD =u u u r（A ）1233a b +（B ）2133a b + （C ）3455a b + （D ）4355a b + 【答案】B【命题意图】本试题主要考查向量的基本运算，考查角平分线定理. 【解析】因为CD 平分ACB ∠，由角平分线定理得AD CA2=DBCB 1=，所以D 为AB 的三等分点，且22AD AB (CB CA)33==- ，所以2121CD CA+AD CB CA a b 3333==+=+，故选B.（9）已知正四棱锥S ABCD -中，SA =，那么当该棱锥的体积最大时，它的高为（A ）1 （B （C ）2 （D ）3【答案】C【命题意图】本试题主要考察椎体的体积，考察告辞函数的最值问题.【解析】设底面边长为a ，则高所以体积，设，则，当y 取最值时，，解得a=0或a=4时，体积最大，此时，故选C.（10）若曲线12y x -=在点12,a a -⎛⎫ ⎪⎝⎭处的切线与两个坐标围成的三角形的面积为18，则a =（A ）64 （B ）32 （C ）16 （D ）8【答案】A【命题意图】本试题主要考查求导法则、导数的几何意义、切线的求法和三角形的面积公式，考查考生的计算能力..【解析】332211',22y x k a --=-∴=-，切线方程是13221()2y a a x a ---=--，令0x =，1232y a -=，令0y =，3x a =，∴三角形的面积是121331822s a a -=⋅⋅=，解得64a =.故选A.（11）与正方体1111ABCD A BC D -的三条棱AB 、1CC 、11A D 所在直线的距离相等的点 （A ）有且只有1个 （B ）有且只有2个 （C ）有且只有3个 （D ）有无数个【答案】D【解析】直线上取一点，分别作垂直于于则分别作，垂足分别为M ，N ，Q ，连PM ，PN ，PQ ，由三垂线定理可得，PN ⊥PM ⊥；PQ ⊥AB ，由于正方体中各个表面、对等角全等，所以，∴PM=PN=PQ ，即P 到三条棱AB 、CC 1、A 1D 1.所在直线的距离相等所以有无穷多点满足条件，故选D.（12）已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=＞＞F 且斜率为(0)k k ＞的直线与C 相交于A B 、两点．若3AF FB =，则k =（A ）1 （B （C （D ）2【答案】B【命题意图】本试题主要考察椭圆的性质与第二定义.【解析】设直线l 为椭圆的有准线，e 为离心率，过A ，B 分别作AA 1，BB 1垂直于l ，A 1，B 为垂足，过B 作BE 垂直于AA 1与E ，由第二定义得，，由，得，∴即k=，故选B.第Ⅱ卷注意事项：1．用0.5毫米的黑色字迹签字笔在答题卡上作答。
高等数学第二版上册课后答案
高等数学第二版上册课后答案【篇一：《高等数学》详细上册答案(一--七)】lass=txt>《高等数学》上册（一----七）第一单元、函数极限连续使用教材：同济大学数学系编；《高等数学》；高等教育出版社；第六版；同济大学数学系编；《高等数学习题全解指南》；高等教育出版社；第六版；核心掌握知识点：1. 函数的概念及表示方法；2. 函数的有界性、单调性、周期性和奇偶性；3. 复合函数、分段函数、反函数及隐函数的概念；4. 基本初等函数的性质及其图形；5. 极限及左右极限的概念，极限存在与左右极限之间的关系；6. 极限的性质及四则运算法则；7. 极限存在的两个准则，会利用其求极限；两个重要极限求极限的方法；8. 无穷小量、无穷大量的概念，无穷小量的比较方法，利用等价无穷小求极限； 9. 函数连续性的概念，左、右连续的概念，判断函数间断点的类型；10. 连续函数的性质和初等函数的连续性，闭区间上连续函数的性质（有界性、最大值和最小值定理、介值定理），会用这些性质.学习任务巩固练习阶段：（本阶段是复习能力提升的关键阶段，高钻学员一定要有认真吃透本章节内所有习题）第二单、元函数微分学计划对应教材：高等数学上册同济大学数学系编高等教育出版社第六版本单元中我们应当学习——1. 导数和微分的概念、关系，导数的几何意义、物理意义，会求平面曲线的切线方程和法线方程，函数的可导性与连续性之间的关系；2. 导数和微分的四则运算法则，复合函数的求导法则，基本初等函数的导数公式，一阶微分形式的不变性；3. 高阶导数的概念，会求简单函数的高阶导数；4. 会求以下函数的导数：分段函数、隐函数、由参数方程所确定的函数、反函数；5. 罗尔(rolle)定理、拉格朗日(lagrange)中值定理、泰勒(taylor)定理、柯西(cauchy)中值定理，会用这四个定理证明；6. 会用洛必达法则求未定式的极限；7. 函数极值的概念，用导数判断函数的单调性，用导数求函数的极值，会求函数的最大值和最小值；8. 会用导数判断函数图形的凹凸性，会求函数图形的拐点，会求函数的水平、铅直和斜渐近线；9. 曲率、曲率圆与曲率半径的概念，会计算曲率和曲率半径．【篇二：高数第二册习题及答案】class=txt>系班姓名学号第一节对弧长的曲线积分一．选择题1．设l是连接a(?1,0)，b(0,1)，c(1,0)的折线，则?l(x?y)ds? [ b]（a）0 （b）2 （c）22 （d）2x2y2d ] ?l43（a）s（b）6s（c）12s（d）24s二．填空题1．设平面曲线l为下半圆周y???x2，则曲线积分?l(x2?y2)ds?2．设l是由点o(0,0)经过点a(1,0) 到点b(0,1)的折线，则曲线积分三．计算题 1．?l(x?y)ds? 1?22??l(x2?y2)nds，其中l为圆周x?acost，y?asint（0?t?2?）.解：原式??2?a2?a2n?1?2?dt?2??a 2．2n?1??l，其中l为圆周x2?y2?a2，直线y?x及x轴在第一象限内所围成的扇形的整个边界.解：设圆周与x轴和直线y?x的交点分别为a和b，于是原式???oa????abbo?在直线oa上y?0,ds?dx得?oa??exdx0aa?e?1在圆周ab上令x?acos?,y?asin?,0????4得?ab??4ea?a?ea??4在直线bo上y?x,ds?2dx得?bo?adx?e?1所以原式?(2?3．a?)ea?2 4?ly2ds，其中l为摆线的一拱x?a(t?sint)，y?a(1?cost)（0?t?2?）. 2解：原式?2a??(1?cost)3???(1?cost)dt52256a3?15或原式?a2?2?03(1?cost)????2?02?(1?cost)dt (1?cost)dt5252333?2?t(2sin)2dt222?ttttdt??16a3?(1?2cos2?cos4)dcos022425?8a?2?sin5256a3?15高等数学练习题第十章曲线积分与曲面积分系班姓名学号第二节对坐标的曲线积分一．选择题1．设l以(1,1)，(?1,1)，(?1,?1)，(1,?1)为顶点的正方形周边，为逆时针方向，则?lx2dy?y2dx?[ d ]（a）1（b）2（c）4（d）0 2．设l是抛物线y?x2(?1?x?1),x增加的方向为正向，则（a）0,?lxds和?xdy?ydx?[ a ]l2525（b）0,0 （c）,（d）,0 3838二．填空题1．设设l是由原点o沿y?x2到点a(1,1)，则曲线积分?l(x?y)dy? 16232．设l是由点a(1,?1)到b(1,1)的线段，则三．计算题?l(x2?2xy)dx?(y2?2xy)dy= 1．设l为取正向圆周x2?y2?a2，求曲线积分??l(2xy?2y)dx?(x2?4x)dy.解：将圆周写成参数形式x?acos?,y?asin?,(0???2?)，于是原式??{(2a2cos?sin??2asin?)?(?asin?)?(a2cos2??4acos?)?acos? }d?2???2?{(?2a3cos?sin2??2a2sin2?)?(a3cos3??4a2cos2?)}d???2a2?22．设l是由原点o沿y?x到点a(1,1)，再由点a沿直线y?x到原点的闭曲线，求??larctanydy?dx x解：i1??arctan?dx ?oax?(2xarctanx?1)dx1?[x2arctanx?x?arctanx?x]10?i2???2?2yarctan?dx ?aox?1(arctan1?1)dx?1?? 4所以原式?i1?i2? ? 3．计算?24?2?1??1?4??l(x?y)dx?(y?x)dy，其中l是：2（1）抛物线y?x上从点（1，1）到点（4，2）的一段弧；（2）从点（1，1）到点（4，2）的直线段；（3）先沿直线从点（1，1）到点（1，2），然后再沿直线到点（4，2）的折线. 解：（1）原式? ? ??2121{(y2?y)?2y?(y?y2)}dy(2y3?y2?y)dy343（2）过（1，1），（4，2）的直线方程为x?3y?2,dx?3dy 所以原式? ??21{3(4y?2)?(2?2y)}dy?21(10y?4)dy?11（3）过（1，1），（1，2）的直线方程为x?1,dx?0,1?y?2所以 i1??21(y?1)dy?1 2（3）过（1，2），（4，2）的直线方程为y?2,dy?0,1?x?4所以 i2??41(x?2)dx?272于是原式?i1?i2?14 4．求?l(y2?z2)dx?2yzdyxdz?2,其中l为曲线x?t,y?t2,z?t3(0?t?1)按参数增加的方向进行.解：由题意，原式? ? ?高等数学练习题第十章曲线积分与曲面积分系班姓名学号第三节格林公式及其应用一．选择题 1．设曲线积分?{(t01014?t6)?4t6?3t4}dt?(3t6?2t4)dt1 35?l(x4?4xyp)dx?(6xp?1y2?5y4)dy与路径无关，则p? [ c]（a）1 （b）2 （c）3（d）4 2．已知(x?ay)dx?ydy为某函数的全微分，则a?[ d] 2(x?y)（a）?1 （b）0（c）1 （d）212xx223．设l为从a(1,)沿曲线2y?x到点b(2,2)的弧段，则曲线积分?dx?2dy= [ d]ly2y（a）?3 （b）3（c）3（d）0 2【篇三：高等数学(上)第二章练习题】txt>一. 填空题1．设f(x)在x?x0处可导，且x0?0，则limx?x?02．设f(x)在x处可导，则limf2(x?h)?f2(x?2h) h?02h?______________3．设f(x)???axx?0ex?1x?0在x?0处可导，则常数a?______?4．已知f?(x)?sinxx?5．曲线y?x?lnxx上横坐标为x?1的点的切线方程是 6．设y?xxsinx ，则y??7．设y?e?2x，则dyx??x0?0.1?8．若f(x)为可导的偶函数，且f?(x0)?5，则f?(?x0)?二. 单项选择题9．函数f(x)在x?x0处可微是f(x)在x?x0处连续的【】a．必要非充分条件b．充分非必要条件c．充分必要条件 d．无关条件10. 设limf(x)?f(a)x?a(x?a)2?l，其中l为有限值，则在f(x)在x?a处【】a．可导且f?(a)?0 b．可导且f?(a)?0c．不一定可导d．一定不可导11．若f(x)?max(2x,x2)，x?(0,4)，且f?(a)不存在，a?(0,4)，则必有【a．a?1 b.a?2 c．a?3 d． a?1212．函数f(x)?x在x?0处【】a．不连续b．连续但不可导c．可导且导数为零 d．可导但导数不为零?2213．设f(x)???3xx?1，则f(x)在x?1处【】??x2x?1a．左、右导数都存在b．左导数存在但右导数不存在c．右导数存在但左导数不存在 d．左、右导数都不存在14．设f(x)?3x3?x2|x|，使f(n)(0)存在的最高阶数n为【】a．0 b. 1 c．2 d． 315．设f(u)可导，而y?f(ex)ef(x)，则y??【】a．ef(x)[f?(x)f(ex)?exf?(ex)]b． ef(x)[f?(x)f(ex)?f?(ex)]c．ef(x)f?(ex)?ef?(x)f(ex) d． exef(x)f?(ex)?ef?(x)f(ex)16．函数f(x)?(x2?x?2)|x3?x|不可导点的个数是【】a．3 b. 2 c．1 d． 0】17．设f(x)可导，f(x)?f(x)(1?|sinx|)，要使f(x)在x?0处可导，则必有【】a．f(0)?0b．f?(0)?0c．f(0)?f?(0)?0 d．f(0)?f?(0)?018．已知直线y?x与y?logax相切，则a?【】a．e b． e c．ee d．e19．已知f(x)?x(1?x)(2?x)?(100?x)，且f?(a)?2?(98)!，则a?【】 a．0 b．1 c．2 d．3 ?1?1e1，则当?x?0时，在x?x0处dy是【】 3a．比?x高阶的无穷小b．比?x低阶的无穷小c．与?x等价的无穷小d．与?x同阶但非等价的无穷小221．质点作曲线运动，其位置与时间t的关系为x?t?t?2，y?3t2?2t?1，则当t?1时，质点的速度大小等于【】 20．已知f?(x0)?a．3 b．4 c．7 d．5三. 解答下列各题22．设f(x)?(x?a)?(x)，?(x)在x?a连续，求f?(a)23．y?esin24．y?2(1?2x) ，求dy x2arcsin，求y?? 2d2y325．若f(u)二阶可导，y?f(x)，求2 dx?1??，求y?(1) ?x??x?ln(1?t2)dyd2y27．若? ，求与2 dxdx?y?t?arctant28．y?(x2?1)e?x，求y(24)29．y?arctanx，求y(n)(0) 26．设y??1?1x?x2?xx?0?30．已知f(x)??ax3?bx2?cx?d0?x?1_在(??,??)内连续且可导，?2x?xx?1?求a，b，c，d的值xy31．求曲线e?2x?y?3上纵坐标为y?0的点处的切线方程?x?t(1?t)?032．求曲线?y 上对应t?0处的法线方程 ?te?y?1?0233．过原点o向抛物线y?x?1作切线，求切线方程?34．顶角为60底圆半径为a的圆锥形漏斗盛满了水，下接底圆半径为b（b?a）的圆柱形水桶，当漏斗水面下降的速度与水桶中水面上升的速度相等时，漏斗中水面的高度是多少？35．已知f(x)是周期为5的连续函数，它在x?0的某个邻域内满足关系式f(1?sinx)?3f(1?sinx)?8x??(x)，其中，?(x)是当x?0时比x高阶的无穷小，且f(x)在x?1处可导，求曲线y?f(x)在点(6,f(6))处的切线方程习题答案及提示5. y?x x 6．x[(1?lnx)sinx?cosx]7. ?0.2 8. ?5 一． 1．?(x0) 2. 3f(x)f?(x) 3. 1 4二. 9. b 10. a 11. b 12. c 13. b 14. c 15. a16. b 17. a 18. c 19. c 20. d 21. d三. 22. 提示：用导数定义 f?(a)??(a) 23.dy??2esin2(1?2x)sin(2?4x)dxd2y343 24. y??? 25. 2?6xf?(x)?9xf(x) dxdytd2y1? ，2?(t?t?1) 26. y?(1)?1?2ln2 27. dx2dx428. y(24)?e?x[x2?48x?551]12x??y??29．由y?(x)? 1?x2(1?x2)2由(1?x2)y?(x)?1 两边求n阶导数，_利用莱布尼兹公式，代入x?0，得递推公式，y(n?1)(0)??n(n?1)y(n?1)(0)__利用y?(0)?1和y??(0)?0 ?(?1)k(2k)!n?2k?1 k?0,1,2,? y(0)??0n?2k?2?30. 提示：讨论分段点x?0与x?1处连续性与可导性a?2， b??3， c?1 ， d?031. x?y?1?032. ex?y?1?0(n)33.y??2x35. 提示：关系式两边取x?0的极限，得f(1)?0limx?0f(1?sinx)?3f(1?sinx)?8x?(x)sinx??lim???8 ?x?0sinxxx? ?sinx而 f(1?sinx)?3f(1?sinx)f(1?t)?3f(1?t)?limx?0t?0sinxtf(1?t)?f(1)f(1?t)?f(1)???lim??3?4f?(1)?t?0t?t??得f?(1)?2，由周期性f(6)?f(1)?0f(x)?f(6)f?(6)?lim 令x?5?t 由周期性得 x?6x?6f(t)?f(1)?lim?2 t?1t?1切线方程y?2(x?6) lim。
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习题10-1
1. 解：(),D
P p x y d σ=⎰⎰。
2. 解：(),D
Q x y d μσ=⎰⎰。
3. （1）解：
首先将已知平面的方程表示为二元函数形式：4123x y z ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭。
其次，将该立体向xy 坐标面投影，其投影区域为三角形区域:02,0312x D x y ⎛
⎫≤≤≤≤- ⎪⎝⎭。
最后，用二重积分表示四个平面所围立体体积：4123D
x y V d σ⎛⎫=
-- ⎪⎝⎭⎰⎰。
（2）解： 已知曲顶柱体的顶曲面为椭圆抛物面222z x y =+（开口向上）；将所围立体向xy 坐标面投影，投影区域为抛物线2
y x =与直线4y =所围的有界闭区域2:22,4D x x y -≤≤≤≤。
最后，用二重积分表示四个曲面所围立体体积：()222D
V x y d σ=+⎰⎰。
（3）解：
已知曲顶柱体的顶曲面为椭圆抛物面()2224z x y =-+（开口向下）
；将所围立体向xy 坐标面投影，投影区域为xy 坐标面上的椭圆形区域22:42D x y +≤；再用不等式组
表示:22
D x y -≤≤≤≤最后，用二重积分表示两个曲面所围立体体积：()2224D V x
y d σ=--⎰⎰。
（4）解：
已知曲顶柱体的顶曲面为上半曲面z =，侧面是圆柱面221x y +=，底
是xy 坐标面上的圆形区域22:1D x y +≤；再用不等式组表
示
:11,D x y -≤≤≤≤
D
V σ=。
4. （1）解：
D
d σπ=⎰⎰（单位圆的面积）
； （2）解：
323
D R σπ=（球心在坐标原点，半径为R 的上半球体体积）。
5. （1）解：
由题设()(),,f x y f x y -=-，此时，称二元函数(),f x y 是变量x 的奇函数；我们不妨假设D 为Y -区域，又由已知D 关于y 轴对称，那么，可由不等式组表示D ，()():,D c y d y x y ψψ≤≤-≤≤。
按先对x 后对y 积分的公式（2）计算二重积分()()()(),,0d y c y D f x y d dy f x y dx ψψσ-==⎰⎰⎰⎰（复习上学期内容：奇函数在对称区间上的积分为0）。
（2）解：
由题设()(),,f x y f x y -=，此时，称二元函数(),f x y 是变量x 的偶函数；我们不妨假设D 为Y -区域，又由已知D 关于y 轴对称，那么，可由不等式组表示D ，()():,D c y d y x y ψψ≤≤-≤≤。
由y 轴分割D ，所得右半区域为：
()1:,0D c y d x y ψ≤≤≤≤
按先对x 后对y 积分的公式（2）计算二重积分()()()(),,d y c y D f x y d dy f x y dx ψψσ-==⎰⎰⎰⎰ ()()02,d y c dy f x y dx ψ⎡⎤=⎢⎥⎣
⎦⎰⎰（复习：偶函数在对称区间上的积分为0到()y ψ的积分的2倍） ()()()()()11012,2,,,2d y c D D D dy f x y dx f x y d f x y d f x y d ψσσσ==⇒=⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰。