[精品]2019届中考数学系统复习 第六单元 圆 第25讲 与圆有关的计算(8年真题训练)练习

第25讲 与圆有关的计算命题点1 扇形弧长、面积的计算1．(2013·河北T14·3分)如图，AB 是⊙O 的直径，弦CD ⊥AB ，∠C ＝30°，CD ＝2 3.则S 阴影＝(D)A ．πB ．2π C.23 3 D.23π2．(2014·河北T19·3分)如图，将长为8 cm 的铁丝首尾相接围成半径为2 cm 的扇形．则S 扇形＝4cm 2.命题点2 正多边形与圆3．(2014·河北T15·3分)如图，边长为a 的正六边形内有两个三角形(数据如图)，则S 阴影S 空白＝(C)A ．3B ．4C ．5D ．6重难点1 弧长的计算如图，△ABC 是正三角形，曲线CDEFG…叫做“正三角形的渐开线”，曲线的各部分为圆弧．(1)图中已经有4段圆弧，请接着画出第5段圆弧GH ；(2)设△ABC 的边长为a ，则第1段弧的长是2πa 3；第5段弧的长是10πa3；前5段弧长的和(即曲线CDEFGH 的长)是10πa ；(3)类似地有“正方形的渐开线”“正五边形的渐开线”…，边长为a 的正方形的渐开线的前5段弧长的和是15πa2； (4)猜想：①边长为a 的正n 边形的前5段弧长的和是30πan ；②边长为a 的正n 边形的前m 段弧长的和是m （m ＋1）πan．【思路点拨】 (1)以点B 为圆心，BG 长为半径画弧即可；(2)利用弧长公式计算．但要先确定弧所对的圆心角都是120度，半径却在不断地增大，第1段弧的半径是a ，第2段弧的半径是2a ，第3段弧的半径是3a ，依此下去第5段弧的半径是5a ，总和就是把五段弧长加起来；(3)先利用正方形的性质求出正方形的外角度数，结合每段弧所在圆的半径变化规律，利用弧长公式计算每段弧长，最后求和；(4)可以利用前面的探究方法，结合正n 边形的性质解决．【变式训练1】 (2018·淄博)如图，⊙O 的直径AB ＝6.若∠BAC＝50°，则劣弧AC 的长为(D )A ．2πB .8π3 C .3π4 D .4π3【变式训练2】 (2018·廊坊模拟)如图，在边长为6的菱形ABCD 中，分别以各顶点为圆心，以边长的一半为半径，在菱形内作四条圆弧，则图中阴影部分的周长是6π．(结果保留π)方法指导1．求弧长，要先确定两个要素，一是弧所在圆的半径，二是弧所在扇形的圆心角，再代入弧长公式计算即可． 2．同一正多边形的渐开线每部分弧所对的圆心角不变，半径后一段比相邻的前一段增加一个正多边形的边长． 模型建立边长为a 的正n 边形的渐开线第m 段弧长为2π×ma n .重难点2 扇形面积的有关计算如图1，直径AB 为6的半圆，绕点A 逆时针旋转60°，此时点B 到达点B′，求圆中阴影部分的面积．图1 图2 图3【变式1】 (2018·大庆)如图2，在Rt △ABC 中，∠ACB＝90°，AC ＝BC ＝2，将Rt △ABC 绕点A 逆时针旋转30°后得到Rt △ADE，点B 经过的路径为弧BD ，则图中阴影部分的面积为23π．【变式2】 如图3，在Rt △ABC 中，∠ACB＝90°，AC ＝1，∠ABC＝30°，将Rt △ABC 绕A 点逆时针旋转30°后得到Rt △ADE，点B 经过的路径为弧BD ，则图中阴影部分的面积是13π．【变式3】 如图4，在△ABC 中，AB ＝6，将△ABC 绕点B 顺时针旋转60°后得到△DBE，点A 经过的路径为弧AD ，则图中阴影部分的面积是6π．图4 图5【变式4】 如图5，在Rt △ABC 中，∠ACB＝90°，BC ＝1，将Rt △ABC 绕点C 顺时针旋转60°，此时点B 恰好在DE 上，其中点A 经过的路径为弧AD ，则图中阴影部分的面积是π2－4(注：所有小题结果保留π)【思路点拨】 阴影部分的面积可以看作以旋转点为圆心，旋转角为圆心角，AB 为半径的扇形面积；只有变式4阴影部分的面积是S 扇形ACD －S △BCE .【自主解答】 解：∵AB＝AB′＝6，∠BAB′＝60°，∴S 阴影＝S 扇形B′AB ＋S 半圆O′－S 半圆O ＝S 扇形B′AB ＝60360×π×62＝6π.方法指导在圆中求阴影部分面积大致有以下方法：(1)弓形或弓形的一部分可转化成扇形减去三角形的面积； (2)新月形可以用扇形减去一个弓形的面积； (3)可以利用等积变换求阴影部分的面积；(4)可以利用轴对称、中心对称求阴影部分的面积；(5)旋转形成阴影部分的面积，往往可以转化成求一个扇形的面积．重难点3 正多边形和圆(2017·河北模拟)如图是由有两个公共顶点的正六边形与正方形组成的一个图形．若阴影部分的周长为10，则这个图形的外轮廓线的周长为(A )A ．18B ．183C ．22D ．22 3【思路点拨】 从图形上能看出，正方形的边长等于正六边形边长的2倍．提示：设正六边形的边长为a ，则正方形的边长为2a ，由题意，得5a ＝10，解得a ＝2.则外轮廓线的周长为3a ＋2a×3＝9a ＝18.【变式训练3】 (2017·河北模拟)如图，正六边形与正方形有重合的中心O.若∠BOC 是正n 边形的一个外角，则n 的值为(C )A ．8B ．10C ．12D ．16【变式训练4】 (2018·石家庄二模)正六边形ABCDEF 与正三角形△ACG 按如图所示位置摆放，在六边形AGCDEF 中，S 阴影S 空白的值是(D )A .25B .15C .16D .17方法指导1．熟悉常见正多边形边长与对角线的数量关系．2．正n 边形的中心角与每一个外角相等，都等于360°n(n≥3)．3．研究面积相关问题时可采用割补与拼接等方法，研究周长可采用化曲为直等方法．注：正多边形与圆中，正多边形通常是指正方形，正五边形，正六边形，正八边形等常见的正多边形．1．(2018·盘锦)如图，一段公路的转弯处是一段圆弧(AB ︵)，则AB ︵的展直长度为(B )A ．3π mB ．6π mC ．9π mD ．12π m2．(2018·成都)如图，在▱ABCD 中，∠B＝60°，⊙C 的半径为3，则图中阴影部分的面积是(C )A ．πB ．2πC ．3πD ．6π3．(2018·德州)如图，从一块直径为2 m 的圆形铁皮上剪出一个圆心角为90°的扇形，则此扇形的面积为(A )A .π2 m 2B .32π m 2 C ．π m 2 D ．2π m 24．(2018·河北模拟)如图，分别把正六边形边AB ，EF ，CD 向两个方向延长，相交于点M ，N ，Q ，则阴影部分与空白部分的面积比为(A )A .12B .13C .25D .145．(2018·河北模拟)如图，六边形ABCDEF 和六边形MNPQGH 都是正六边形．若AB ＝10，则MN 的值可能是(D )A .532B ．5C ．5 2D ．5 3 6．(2018·株洲)如图，正五边形ABCDE 和正三角形AMN 都是⊙O 的内接多边形，则∠BOM＝48°．7．(2018·石家庄藁城区模拟)如图，M ，N 分别是正五边形ABCDE 的边AB ，AE 的中点，四边形MNHG 是位于该正五边形内的正方形，则∠BMH 的度数是99°．8．(2018·盐城)如图，图1是由若干个相同的图形(图2)组成的美丽图案的一部分，图2中图形的相关数据：半径OA ＝2 cm ，∠AOB＝120°.则图2的图形周长为8π3cm (结果保留π)．9．(2018·河南)如图，在△ABC 中，∠ACB＝90°，AC ＝BC ＝2，将△ABC 绕AC 的中点D 逆时针旋转90°得到△A′B′C′，其中点B 的运动路径为BB′︵，则图中阴影部分的面积为54π－32．10．(2018·邢台宁晋县模拟)如图，半圆O 的直径AB ＝4，P ，Q 是半圆O 上的点，弦PQ 的长为2，则AP ︵与QB ︵的长度之和为(B )A .23π B .43π C .53π D ．π提示：连接OP ，OQ ，易知△OPQ 为等边三角形，lAP ︵＋lQB ︵＝120180×π×2＝43π.11．(2018·威海)如图，在正方形ABCD 中，AB ＝12，点E 为BC 的中点，以CD 为直径作半圆CFD ，点F 为半圆的中点，连接AF ，EF ，则图中阴影部分的面积是(C )A ．18＋36πB ．24＋18πC ．18＋18πD ．12＋18π提示：作FH⊥BC 交BC 延长线于点H ，连接AE ，S 阴影＝S 正方形ABCD ＋S 半圆－S △ABE －S △AEF ＝12×12＋12×π×62－12×12×6－12×65×65＝18＋18π.12．(2018·河北模拟)如图，点P 是⊙O 外一点，PA 切⊙O 于点A ，AB 是⊙O 的直径，连接OP ，过点B 作BC∥OP 交⊙O 于点C ，连接AC 交OP 于点D.(1)求证：PC 是⊙O 的切线；(2)若PD ＝163 cm ，AC ＝8 cm ，则图中阴影部分的面积为25π－482 cm 2；(3)在(2)的条件下，若点E 是AB ︵的中点，连接CE ，求CE 的长．解：(1)证明：连接OC ， ∵PA 切⊙O 于点A ， ∴∠PAO＝90°. ∵OP∥BC，∴∠AOP＝∠OBC，∠COP＝∠OCB. ∵OC＝OB ，∴∠OBC ＝∠OCB. ∴∠AOP＝∠COP.在△PAO 和△PCO 中，⎩⎪⎨⎪⎧OA ＝OC ，∠AOP＝∠COP，OP ＝OP ，∴△PAO≌△PCO(SAS )．∴∠PAO＝∠PCO＝90°. 又∵OC 是⊙O 的半径， ∴PC 是⊙O 的切线．(3)连接AE ，BE ，过点B 作BM⊥CE 于点M ， ∴∠CMB＝∠EM B ＝90°，∠AEB＝90°. 又∵点E 是AB ︵的中点，∴AE ︵＝BE ︵.∴∠ECB＝∠ACE＝12∠ACB＝45°.又∵∠CMB＝90°，∴∠CBM＝45°.∴BM＝CM.在Rt △BCM 中，由勾股定理，得CM 2＋BM 2＝BC 2，即CM 2＋BM 2＝36， ∴CM＝BM ＝3 2 cm .又∵∠ABE＝∠ACE＝45°，∴在Rt △AEB 中，BE ＝AB·cos ∠ABE＝5 2 cm . 在Rt △BEM 中，由勾股定理，得EM ＝BE 2－BM 2＝（52）2－（32）2＝42(cm )， ∴CE＝CM ＋EM ＝7 2 cm ， 即CE 的长为7 2 cm .13．(2018·宜宾)刘徽是中国古代卓越的数学家之一，他在《九章算术》中提出了“割圆术”，即用内接或外切正多边形逐步逼近圆来近似计算圆的面积，设圆O 的半径为1.若用圆O 的外切正六边形的面积来近似估计圆O 的面积，则S(结果保留根号)。