现代控制理论试卷及答案总结

2012年现代控制理论考试试卷

一、（10分，每小题1分）试判断以下结论的正确性，若结论是正确的，

（ √ ）1. 由一个状态空间模型可以确定惟一一个传递函数。

（ √ ）2. 若系统的传递函数不存在零极点对消，则其任意的一个实现均为最小实现。

（ × ）3. 对一个给定的状态空间模型，若它是状态能控的，则也一定是输出能控的。

（ √ ）4. 对线性定常系统x

Ax =&，其Lyapunov 意义下的渐近稳定性和矩阵A 的特征值都具有负实部是一致的。

（ √ ）5.一个不稳定的系统，若其状态完全能控，则一定可以通过状态反馈使其稳定。

（ × ）6. 对一个系统，只能选取一组状态变量；

（ √ ）7. 系统的状态能控性和能观性是系统的结构特性，与系统的输入和输出无关；

（ × ）8. 若传递函数1()()G s C sI A B -=-存在零极相消，则对应的状态空间模型描述的系统是不能控且不能观的；

（ × ）9. 若一个系统的某个平衡点是李雅普诺夫意义下稳定的，则该系统在任意平衡状态处都是稳定的；

（ × ）10. 状态反馈不改变系统的能控性和能观性。

二、已知下图电路，以电源电压u(t)为输入量，求以电感中的电流和电容中的电压作为状态变量的状态方程，和以电阻R2上的电压为输出量的输出方程。（10分）

解：（1）由电路原理得：

二．（10分）图为R-L-C 电路，设u 为控制量，电感L 上的支路电流和电容C 上的电压2x 为状态变量，电容C 上的电压2x 为输出量，试求：网络的状态方程和输出方程，并绘制状态变量图。

解：此电路没有纯电容回路，也没有纯电感电路，因有两个储能元件，故有独立变量。

以电感L 上的电流和电容两端的电压为状态变量，即令：12,L c i x u x ==，由基尔霍夫电压定律可得电压方程为：

从上述两式可解出1x •

，2x •

，即可得到状态空间表达式如下：

⎥⎦⎤⎢⎣⎡21y y =⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣⎡

++-2112

12110R R R R R R R ⎥⎦⎤⎢⎣⎡21x x +u R R R ⎥

⎥⎦⎤

⎢⎢⎣⎡+21

20

三、（每小题10分共40分）基础题

（1）试求32y y y u u --=+&

&&&&&&的一个对角规范型的最小实现。（10分） 23232

2()(1)(1)11111()21

32(1)(2)2Y s s s s s s s U s s s s s s s s s s +-++-+-====++-+--+----…………4分 不妨令

1()1()2X s U s s =-，2()

1()1

X s U s s -=+…………2分 于是有 又

12()()()

1()()()

X s X s Y s U s U s U s =++，所以12()()()()Y s U s X s X s =++，即有 12y u x x =++…………2分

最终的对角规范型实现为

则系统的一个最小实现为：

[]201, 11011u y ⎡⎤⎡⎤=+=⎢⎥⎢⎥--⎣⎦⎣⎦

&x x x +u …………2分

（2）已知系统[]011, 12232u y ⎡⎤⎡⎤=+=-⎢⎥⎢⎥-⎣⎦⎣⎦

&x x x ，写出其对偶系统，判断该系统的能控性及其对偶系统的能观性。（10分） 解答：

021132u -⎡⎤⎡⎤

=+⎢⎥⎢⎥-⎣⎦⎣⎦&x x …………………………2分 []12y =x

……………………………………2分

（3）设系统为

试求系统输入为单位阶跃信号时的状态响应（10分）。 解

()200

t

t e t e --⎡⎤=⎢

⎥

⎣⎦Φ……………………………..…….……..3分

()()0

()(0)()d τ

t t t t u τ=+⎰x x B ΦΦ……….….……….……..3分

()

()22010

10d τ110

t t t t t e e e e ττ------⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤=+⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎰….……..2分 ()()220d τ

t t t t t e e e e τ

τ------⎡⎤⎡⎤=+⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦

⎰.……….…………………..…..1分 ()()()22211==111122t t t t t e e e e e -----⎡⎤+-⎡⎤

⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥++-⎢⎥⎣⎦⎣⎦………………..1分

（4）已知系统 u x x ⎥⎦

⎤⎢⎣⎡+⎥⎦⎤⎢⎣⎡=110011&试将其化为能控标准型。（10分） 解：1210c u ⎡⎤=⎢⎥

⎣⎦

，1

1

12201c u -⎡⎤=⎢⎥-⎣⎦

.……..2分 [][][]1

1

1

12

21122010101c p u -⎡⎤===-⎢⎥-⎣⎦

.…….1分

[

][]

1111212

2

2

21100p p A ⎡⎤==-=⎢⎥⎣⎦

.……..1分

112

211

12

211,11P P --⎡⎤⎡⎤

==⎢⎥⎢⎥-⎣⎦⎣⎦

.……..2分 能控标准型为u x x

⎥⎦

⎤

⎢⎣⎡+⎥⎦⎤⎢⎣⎡=101010& .……..4分 四、设系统为

试对系统进行能控性及能观测性分解，并求系统的传递函数。（10分） 解：

能控性分解： 能观测性分解： 传递函数为4520

()(2)33

g s s s ⨯=

=++L L L 分 五、试用李雅普诺夫第二法，判断系统0111x x •

⎡⎤

=⎢⎥

--⎣⎦

的稳定性。（10分） 方法一：

解： 21x x =•

原点=0e x 是系统的唯一平衡状态。选取标准二次型函数为李雅普诺夫函数，即

当01=x ，02=x 时， 0)(=•

x v ；当01≠x ，02=x 时，0)(=•

x v ，因此)(x v •

为负半定。根据判断，可知该系统在李雅普诺夫意义下是稳定的。

另选一个李雅普诺夫函数，例如： 为正定，而

为负定的，且当x →∞，有()V x →∞。即该系统在原点处是大范围渐进稳定。 方法二： 解：或设111221

22p p P p p ⎡⎤

=⎢

⎥⎣⎦