【统计学 精】第七章_相关与回归分析09
第七章相关分析和回归分析
第七章相关分析和回归分析相关分析和回归分析是统计学中常用的数据分析方法。
相关分析主要用于探索两个或多个变量之间的关系，回归分析则可以用来建立一个或多个自变量和因变量之间的数学模型。
在实际应用中，相关分析和回归分析常常被用来研究和预测变量之间的关系，为科学研究和决策提供数据支持。
首先，相关分析旨在评估两个或多个变量之间的线性关系。
它使用统计指标，如相关系数，来衡量变量之间的关联程度。
相关系数的取值范围从-1到1，0表示无关，正值表示正向关系，负值表示负向关系。
相关分析可以帮助我们了解变量之间的关系强度和方向，进而指导我们进行进一步的解释和预测。
举个例子，假设我们想研究体重和身高之间的关系。
我们可以收集一组样本数据，其中包含人们的身高和体重数据。
通过进行相关分析，我们可以计算出身高和体重之间的相关系数。
如果相关系数接近1，我们可以得出结论说身高和体重之间存在较强的正向关系，即身高越高，体重越重。
如果相关系数接近0，则两个变量之间没有明显的关系。
然而，相关分析并不能确定起因关系。
它只能告诉我们变量之间的关联程度，但不能确定其中一个变量是否导致了另一个变量的变化。
为了进一步研究因果关系，我们可以使用回归分析。
回归分析旨在建立一个或多个自变量与因变量之间的关系模型。
它通过拟合数据并计算出最佳拟合线来描述自变量和因变量之间的关系。
回归模型的核心是回归方程，它可以用来预测因变量在不同自变量变化时的取值。
举个例子，我们可以使用回归分析来建立一个体重和身高之间的关系模型。
我们可以选择身高作为自变量，体重作为因变量。
通过回归分析，我们可以得到一个回归方程，例如体重=2*身高+10。
这个回归方程告诉我们，身高每增加1个单位，体重可以预计增加2个单位。
我们可以使用这个回归方程来预测一些身高下的体重。
总结起来，相关分析和回归分析是统计学中常用的数据分析方法。
相关分析可以帮助我们了解变量之间的关联程度，而回归分析可以用于建立自变量和因变量之间的关系模型。
统计学相关分析和回归分析ppt课件
计算积距相关系数， 连续性变量才可采用
图8－1 Bivariate Correlations 对话框
。
计算Kendall秩相关
系数，适合于定序变
量或不满足正态分布
假设的等间隔数据。 计算Spearman秩相
关系数，适合于定序
见图 8－2
变量或不满足正态分
关布。不还假清是设楚负的变相等量关间之时隔间选数是择据正此相项 。
没有关系
9
8.2.2 相关系数 利用相关系数进行变量间线性关系的分析通常需
要完成以下两个步骤：
第一，计算样本相关系数r；
相关系数r的取值在-1～+1之间 r>0表示两变量存在正的线性相关关系；r<0表示两变
量存在负的线性相关关系 r＝1表示两变量存在完全正相关；r＝-1表示两变量存
在完全负相关；r＝0表示两变量不相关 |r|>0.8表示两变量有较强的线性关系； |r|<0.3表示
。 （4）在Test of Significance框中选择输出相关系数检验的双
边（Two-Tailed）概率p值或单边（One-Tailed）概率 p值。 （5）选中Flag significance correlation选项表示分析结果 中除显示统计检验的概率p值外，还输出星号标记，以标明 变量间的相关性是否显著；不选中则不输出星号标记。 （6）在Option按钮中的Statistics选项中，选中Crossproduct deviations and covariances表示输出两变量的 离差平方和协方差。
例如，在研究商品的需求量和价格、消费者收入之间 的线性关系时，需求量和价格之间的相关关系实际还包含 了消费者收入对价格和商品需求量的影响。在这种情况下 ，单纯利用相关系数来评价变量间的相关性显然是不准确 的，而需要在剔除其他相关因素影响的条件下计算变量间 的相关。偏相关的意义就在于此。
统计学第七章 相关与回归分析
（四）按变量之间的相关程度分为完全相关、不完全相 关和不相关。
二、相关关系的测定
（一）定性分析，相关表，相关图 判断现象间有无相关关系是一个定性认 识问题，单纯依靠数学方法是无法解决的。 因此，进行相关分析必须以定性分析为前 提，这就要求研究人员首先必须根据有关 经济理论，专业知识，实际经验和分析研 究能力等。对被研究现象在性质上作出定 性判断。 相关表是将相关变量的观察资料，按照 其对应关系和一定顺序排列而成的表格。
Se
y
2
a y b xy n2
(7－ 12)
这个公式可以直接利用前面计算回归系 数和相关系数的现成资料。以表7－1的资 料计算如下：
Se y 2 a y b xy n2 56615-30.3 731-28.36 1213 10 2 65.02 8 2.85 (万件）
2
或
y- y R＝ 1－ 2 y y
ˆ 式中，y 为y的多元线性趋势值或回归估计值。
若变量间呈曲线（非直线）相关，则应
计算相关指数来测定变量间相关的密切程度。
ˆ y y y y
2 2
Ryx
( 7－7）
R
ˆ y y
由表7－4资料计算相关系数如下：
r
n xy x y n x x
2 2
n y y
2 2
2
10 1213－15.1 731
2
10 26.25－15.1 10 56615－731 1091.9 1091.9 38.49 31789 6.2 178.3 1091.9 0.988 1105.5
统计学相关分析与回归分析
Adjusted R S0q.u9a3r9e2399
标准误差 41.078969
观测值
17
方差分析
回归分析 残差 总计
df
SS
MS
F Significance F
2 420740.67 210370.34 124.66526 1.201E-09
14 23624.744 1687.4817
16 444365.42
36.42
13
629
6.675
36.58
14
602.7
5.543
37.14
15
656.7
6.933
41.3
16
778.5
7.638
45.62
17
877.6
7.752
47.38
第七合章计回归分析
9054 101.268
471.1
例：某地区玻璃销 售量与汽车产量、 建筑业产值资料如 左，试建立回归模
型。
3
337.5
6.666
14.5
4
404.5
5.338
15.75
5
402.1
4.321
16.78
6
452
6.117
17.44
7
431.7
5.559
19.77
8
582.3
7.92
23.76
9
596.6
5.816
31.61
10
620.8
6.113
32.17
11
513.6
4.258
35.09
12
606.9
5.591
第七章 回归分析
统计学课件第七章 相关与回归.ppt
30 家同类企业的有关资料
单位成本 y
产量 x（件）
合计
(元/件)
20 30 40 50 80
18
4 ————4
16
4 3 1 1 —9
15
1 2 3 3 1 10
14
—— 1 2 4 7
合计
9 5 5 6 5 30
（二）相关图：以横轴代表X，纵轴代表Y，绘制散点图。
不足之处：难以量化，反映相关程度不精确。
xy n
xy f f
11
相关系数的取值范围： 1r1
当r=0时，表明两个变量之间完全不相关，即不存在线性相 关关系；
当r= 1时，相关关系转为函数关系，称为完全相关；
当[-1<r<1]时,表明两个变量之间不完全相关; 当[-1<r<0]时,表明两个变量之间是负相关; 当[0<r<1]时,表明两个变量之间是正相关. r 越接近于1(+1或-1)，表明相关关系越强， r 越接近于0，表 明相关关系越弱。
5
第七章 相关与回归分析
STAT
（三）按相关的形式可分为 1、**线性相关（直线相关）：一个变量对另一个变量的影响 表现为直线的形式。进一步可区分为正相关与负相关。 2、非线性相关（曲线相关）：一个变量对另一个变量的影响 表现为曲线的形式。非线性相关一般不区分方向。 （四）按影响因素的多少可区分为 1、**单（简单）相关：两个变量之间的相关关系； 2、复（多元）相关：三个或三个以上的变量之间的相关关系。 [例]：体重与身高、食欲、睡眠时间之间的关系 3、偏相关：在三个或三个以上的变量中，假定其他变量不变 只测定其中两个变量的相关关系。
(x x)2 (y y)2
统计学 第 七 章 相关与回归分析
（一）回归分析与相关分析的关系
回归分析与相关分析是研究现象 之间相互关系的两种基本方法。
区别：
1、相关分析研究两个变量之间相关的 方向和相关的密切程度。但是相关分析不 能指出两变量相互关系的具体形式，也无 法从一个变量的变化来推测另一个变量的 变化关系。
2、按研究变量多少分为单相关和 复相关
单相关即一元相关，亦称简单相 关，是指一个因变量与一个自变量 之间的依存关系。复相关又称多元 相关，是指一个因变量与两个或两 个以上自变量之间的复杂依存关系。
3、按相关形式分为线性相关和非 线性相关
从相关图上观察：观察的样本点的 分布近似表现为直线形式，即观察点近 似地分布于一直线的两边，则称此种相 关为直线相关或线性相关。如果这些样 本点近似地表现为一条曲线，则称这种 相关为曲线相关或非线性相关(curved relationship).
不确定性的统计关系 —相关关系
Y= f（X）+ε (ε为随机变量)
在这种关系中，变量之间的关系值 是随机的，当一个（或几个）变量的值 确定以后，另一变量的值虽然与它（们） 有关，但却不能完全确定。然而，它们
之间又遵循一定的统计规律。
相关关系的例子
▪ 商品的消费量(y)与居民收入(x)
之间的关系
▪ 商品销售额(y)与广告费支出(x)
▲相关系数只反映变量间的线性相关程度，不 能说明非线性相关关系。
▲相关系数不能确定变量的因果关系，也不能 说明相关关系具体接近于哪条直线。
例题1: 经验表明：商场利润额与 其销售额之间存在相关关系。下表为 某市12家百货公司的销售额与利润额 统计表，试计算其相关系数。
第七章相关与回归分析习题答案.doc
334229.09425053.730.7863334229.0922.0889V425053.73=0.003204 245.4120第七章相关与回归分析习题答案一、填空题1.完全相关、不完全相关、不相关2. —iWrWl3.函数、|r| = l4.无线性相关、完全正相关、完全负相关5.密切程度6.正相关、负相关7.直线相关、曲线相关8.回归系数9.随机的、给定的10.最小二乘法，残差平方和二、 单项选择题I. B 2. B 3. A 4. A 5. B 6. C 7. D 8. B9. A 10. CII. C 12. B 13. D 14. B 15. C三、 多项选择题1. BCD2. ACD3. ABD4. ABCD5. ACE四、 计算题1解：B\=V - p 2x = 549.8 - 0.7863 * 647.88 = 40.37202 _ [£ （匕顼（X,侦）]2 '"£（x,-x ）2£（y,-y ）20.999834425053.73*262855.25 ；2=（1-产切 _y ）2 =43.6340= 2.0889 n — 2（3） H°:”2=0，H I ：”2 邳腐 _ 0.7863~S~ ~ 0.003204〃2券（〃-2）=诲（10） = 2.228t 值远大于临界值2.228,故拒绝零假设，说明月在5%的显著性水平下通过了显著性 检验。
（4） Y f =40.3720 + 0.7863*800 = 669.41 （万元）0.0273 S' =S l + 厂 Xf =2.0089」1 + 土 +华°「647・88）2 = 2 1429 所以，Yf 的置信度为 7V n Z （X,-X ）2 V 12 425053.73 95 %的预测区间为：Y f ±t a/2（n-2）S ef = 669.41 ±2.228* 1.0667 = 669.41 ±2.3767 所以，区间预测为： 664.64 < Y f <674.182解：A _ £（匕一双％一灭）—N £X ,E —£x,£匕） 乃一 Z （x,一文尸一 （£x ）9*803.02-13.54*472 八= ------------------------------------ =0.02739*28158-472*472& = Y-$2X =13.54/9-0.0273 * 472/9 = 0.0727（2）决定系数： , [y （y-F ）（x-%）]2 r 2 =¥，_ 盘——；=0.9723Z （x,-x ）Na-V ）-残差平方和^<=（l-r 2）^（y-y ）2 =0.0722 （3）身高与体重的相关系数： r =序=J0.9723 = 0.9861H O ：A = A = O ,H 1：A W 2不同时为零厂。
第七相关与回归分析优秀课件
析
表示为 y = p x (p 为单价)
第
一
圆的面积(S)与半径之间的关系可表示为S = R2
节
相
关 企业的原材料消耗额(y)与产量(x1) 、单位产量消耗(x2) 、
基
原材料价格(x3)之间的关系可表示为y = x1 x2 x3
本
概
念
第
七 章
变量间的关系
相 关
（相关关系）
与 回 归 分 析 第 一 节
若是根据样本数据计算的，则称为样本相关 系数，记为 r
第
七 章
相关关系的测度
相
（相关系数）
关
与 样本相关系数的计算公式:
回
归
分 析
r (x x)(y y)
第
(x x)2 (y y)2
一
节
相 或化简为: r
n xy x y
关 基
n x2 x2 n y2 y2
本
概
念
第 七
相关关系的测度
析
t 0.9987 13 2 64.9809
第
1 0.99872
一
节 2.根据显著性水平＝0.05，查t分布表得t(n-2)=2.201
相
关 基 本
由于t=64.9809>t(13-2)=2.201，拒绝H0，人均消费金
额与人均国民收入之间的相关关系显著
念
完全负线性相关
负线性相关
非线性相关
不相关
第
七 章
变量间的关系
相 关
（相关关系）
与
回
归
分
析
第 一 节 相 关 基 本 概 念
第 七
变量间的关系
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（2）设有两个变量 x 和 y ，
变量 y 随变量 x 一起变化， y
并完全依赖于 x ，当变量
x 取某个数值时， y 依确
定的关系取相应的值，则 称 y 是 x 的函数，记为 y = f (x)，其中 x 称为自变量， y 称为因变量
（3）各观测点落在一条线上
x
变量间的关系 （函数关系）
函数关系的例子
▪ 某种商品的销售额(y)与销售量(x)之间的关 系可表示为 y = p x (p 为单价)
▪ 圆的面积(S)与半径之间的关系可表示为S =
r2
▪ 企业的原材料消耗额(y)与产量(x1) 、单位产 量消耗(x2) 、原材料价格(x3)之间的关系可 表示为y = x1 x2 x3
2.相关关系
当一个或几个相互联系的变量取一定数值时，与之相对应的 另一变量的值虽然不确定，但它仍按某种规律在一定的范 围内变化。
温度(x3)之间的关系 ▪ 收入水平(y)与受教育程度(x)之间的关系 ▪ 父亲身高(y)与子女身高(x)之间的关系
• 客观现象的函数关系可以用数学分析的方法去研究，而研究客 观现象的相关关系必须借助于统计学中的相关与回归分析方法。
二、相关关系的种类
• 按相关的程度可分为完全相关、不完全相关和不相关。一般的相 关现象是不完全相关。
（二）相关分析与回归分析的区别
• 2.相关分析不能指出变量间相互关系的具体形式；而回归分析能 确切的指出变量之间相互关系的具体形式，它可根据回归模型从 已知量估计和预测未知量。
• 3.相关分析所涉及的变量一般都是随机变量，而回归分析中因变 量是随机的，自变量则作为研究时给定的非随机变量。
相关分析和回归分析的联系
消费 物价 收入
（三一、）相概关念分：析与回归分析
就是用一个指标来表明现象间相互
1.相关分析
依存关系的密切程度。广义的相关 分析包括相关关系的分析（狭义的 相关分析）和回归分析。
2.回归分析
是指对具有相关关系的现象，根据 其相关关系的具体形态，选择一个 合适的数学模型（称为回归方程式 ），用来近似地表达变量间的平均 变化关系的一种统计分析方法。
完成量（小时） 20 30 20 20 40 30 40 80 80 50 40 30 20 80 50 单位成本（元/小时）18 16 16 15 16 15 15 14 14 15 15 16 18 14 14
(二)相关分析与回归分析的区别
1.
相关分析可以不必确定变量中哪个是
自变量，哪个是因变量，其所涉及的变量都是随
机变量。
而在回归分析中，必须事先确定具有相关关 系的变量中哪个为自变量，哪个为因变量。而且 只能从自变量去推测因变量，而不能从因变量去 推断自变量。
一般地说，回归分析中因变量是随机的，而把自 变量作为研究时给定的非随机变量。
便可得到简单的相关表。
表 7-2 消费 支 出 15 可支配 收入 18
居民消费和收入的相关表 单位：百元 20 30 40 42 53 60 65 70 78 25 45 60 62 75 88 92 99 98
例：为了研究分析某种劳务产品完成量与其单位产品 成本之间的关系，调查30个同类服务公司得到的原始 数据如表。
§7－1 相关与回归分析的基本概念
•一、 函数关系与相关关系 •二、相关关系的种类 •三、相关分析与回归分析 •四、相关表和相关图
一、函数关系与相关关系
1.函数关系
当一个或几个变量取一定的值时，另 一个变量有确定值与之相对应，我们 称这种关系为确定性的函数关系。
（函数关系）
（1）是一一对应的确定关系
• 按相关的方向可分为：正相关和负相关。 • 按相关的形式可分为：线性相关和非线性相关。 • 按变量多少可分为：单相关、复相关和偏相关。
二、相关关系的种类
(1)
(2)
(3)
(4)
图中（1）、（2）为线性相关，（3）、（4）为非线性相关。
4.按相关关系涉及的变量多少划分分为单相关、复相关和偏相关。
四、相关关系的判断
是依据研究者的理论知识和实践经 定性分析 验，对客观现象之间是否存在相关
关系，以及何种关系作出判断。
定量分析
在定性分析的基础上，通过编制相 关表、绘制相关图、计算相关系数
等方法，来判断现象之间相关的方 向、形态及密切程度。
(一)相关表
• 相关表是一种反映变量之间相关关系的统计表。将某一变量按其取 值的大小排列，然后再将与其相关的另一变量的对应值平行排列，
第七章 相关与回归分析
知识点
1.掌握有关相关与回归分析的基本概念； 2.掌握相关系数的计算与检验的方法，理解标准的一元线性回归
模型，能够对模型进行估计和检验并利用模型进行预测； • 3.简单理解标准的多元线性回归分析； • 4.简单了解常用的非线性相关与回归分析。
第七章 相关与回归分析
§7－1 相关与回归分析的基本概念 §7－2 简单线性相关与回归分析 §7－3 多元线性相关与回归分析 §7－4 非线性相关与回归分析
• 两个变量之间的相关，称为单相关。
• 当所研究的是一个变量对两个或两个以上其他变量 的相关关系时，称为复相关。例如，某种商品的需 求与其价格水平以及收入水平之间的相关关系便是 一种复相关。
• 在某一现象与多种现象相关的场合，假定其他变量 不变，专门考察其中两个变量的相关关系称为偏相 关。例如，在假定人们的收入水平不变的条件下， 某种商品的需求与其价格水平的关系就是一种偏相 关。
• 相关分析和回归分析有着密切的联系，它们有共同的 研究对象，常常必须互相补充。相关分析需要依靠回 归分析来表明现象数量相关的具体形式，而回归分析 则需要依靠相关分析来表明现象数量变化的密切程度。 只有当变量之间存在着高度相关时，进行回归分析才 有意义。
简单说：1、相关分析是回归分析的基础和前提； 2、回归分析是相关分析的深入和继续。
现象之间客观存在的不严格、不确定的数量存关系。
变量间的关系 （相关关系）
（1）变量间关系不能用函数关 系精确表达；
（2）一个变量的取值不能由另
一个变量唯一确定；
y
（3）当变量 x 取某个值时，变 量 y 的取值可能有几个；
（4）各观测点分布在直线周围。
x
（相关关系）
相关关系的例子
▪ 商品的消费量(y)与居民收入(x)之间的关系 ▪ 商品的消费量(y)与物价(x)之间的关系 ▪ 商品销售额(y)与广告费支出(x)之间的关系 ▪ 粮食亩产量(y)与施肥量(x1) 、降雨量(x2) 、