《弧长和扇形面积》解析

24.4 弧长和扇形面积（肖莲琴）

第一课时

一、教学目标

（一）学习目标

1．理解弧长与圆周长的关系，能用比例的方法推导弧长公式；

2．认识扇形，类比推导弧长公式的方法推导扇形面积公式；

3．能运用弧长计算公式和扇形面积计算公式解决问题．

（二）学习重点

弧长计算公式和扇形面积计算公式.

（三）学习难点

会运用弧长计算公式和扇形面积计算公式解决问题.

二、教学设计

（一）课前设计

1．预习任务

阅读教材P111～112，再填空：

（1）半径为R 的圆的周长为R π2 ，面积为2R π.

（2）由于在半径为R 的圆中，360°圆心角所对的弧长（即圆的周长）为R π2，所以1°的圆心角所对的弧长是3602R π，化简为：180

R π．于是，n °的圆心角所对的弧长为180R n π． （3）由组成圆心角的两条 半径 和圆心角所对的 弧 围成的图形叫做扇形．由于在半径为R 的圆中，360°圆心角所对的扇形面积（即圆的面积）为2R π，所以1°的圆心角所对的弧长是3602R π．于是，n °的圆心角所对的弧长为360

2

R π． 2．预习自测

（1）半径为10 cm 的圆中，60°的圆心角所对的弧长是________.

【知识点】弧长的计算公式

【思路点拨】已知半径、圆心角，可以直接套用弧长计算公式求得弧长.

【解题过程】解：∵半径R ＝10cm ，圆心角n ＝60° ∴由弧长计算公式：180R n π＝ππ3

101801060=⨯⨯

【答案】π3

10cm （2）下列图片中，阴影部分为扇形的是__________（填图形编号）

① ② ③ ④ ⑤

【知识点】扇形的概念 【思路点拨】扇形是由圆心角的两条半径和圆心角所对的弧围成的，一定有一条边是弧线，顶点一定在圆心处，不会在圆周上．

【解题过程】根据扇形的定义：扇形是由圆心角的两条半径和圆心角所对的弧围成的图形，因此只有③、⑤是扇形，其余都不是．

【答案】③、⑤

（3）已知扇形的圆心角为120°，半径为6，则扇形的面积是_______. 【知识点】扇形的面积计算公式

【思路点拨】已知半径、圆心角，可以直接套用扇形面积计算公式求得扇形面积．

【解题过程】解：∵半径R ＝6，圆心角n ＝120°

∴由扇形面积计算公式：3602R n π＝ππ12360

61202

=⨯⨯． 【答案】π12

（4）已知一扇形的面积为π8，且该扇形的半径为4，则该扇形对应圆心角的度数是________. 【知识点】扇形的面积计算公式的逆用

【思路点拨】已知扇形面积、圆心角，可以逆用扇形面积计算公式求得扇形圆心角的度数，实际上扇形面积、圆心角度数、半径三者中可以“知二求一”．

【解题过程】解：∵半径R ＝4，扇形面积＝π8

∴由扇形面积计算公式：3602R n π＝ππ8360

42

=⨯⨯n 解得：180=n

∴圆心角度数为180°

【答案】180°

（二）课堂设计

1．知识回顾

师问：生活里有好多物品或者建筑都呈现出流畅的圆弧形，小学已经学过了有关圆的周长和面积公式，你还记得吗？

生答：圆的周长公式：R π2或d π（R 表示圆的半径，d 表示圆的直径）

生答：圆的面积计算公式：2R π

师问：弧是圆周的一部分，扇形是圆的一部分，那么弧长与扇形面积应怎样计算？它们与圆的周长、圆的面积之间有怎样的关系呢？

【设计意图】本节课探究的弧长是圆周的一部分、扇形面积是圆面积的一部分，都离不开小学里学生已经掌握了圆的周长、面积的计算公式，因此本节课从回顾两个基本公式入手．

2．问题探究

探究一 弧长的计算公式（★）

●活动① 动画展示，探究新知

师问：如图所示，在半径为R 的⊙O 上，有两动点A 、B ，当A 、B 两点在圆上运动时，想一想弧AB 的长度与什么因素有关？

生答：与∠AOB 的大小有关

师问：当∠AOB ＝360°时，弧AB 的长表示什么意思？

生答：⊙O 的周长，即l ＝R π2

师问：当∠AOB ＝1°时呢？弧AB 的长与整个圆的周长是什么关系？

生答：当∠AOB ＝1°时，弧AB 的长是整个圆的周长的

3601，即l ＝R π23601⨯ 师问：当∠AOB ＝2°时呢？

生答：当∠AOB ＝2°时，弧AB 的长是整个圆的周长的

3602，即l ＝R π23602⨯ 师问：当∠AOB ＝n °时呢？

生答：当∠AOB ＝n °时，弧AB 的长是整个圆的周长的

360n ，即l ＝R n π2360⨯＝180R n π 师：非常好，弧AB 的长l ＝R n π2360⨯＝180

R n π，这就是弧长的计算公式，其中n 表示弧AB 所对的圆心角的度数，R 表示弧AB 所在圆的半径．根据弧长的计算公式，我们可知，只要

知道n 和R 就可以求弧长．

特别的，几个特殊圆心角所对的弧长是我们经常用到的，比如：

①当n ＝30°时，弧长l ＝

R π236030⨯＝6

R π ②当n ＝45°时，弧长l ＝R π236045⨯＝4

R π ③当n ＝60°时，弧长l ＝R π236060⨯＝3

R π ④当n ＝90°时，弧长l ＝R π236090⨯＝2

R π ⑤当n ＝120°时，弧长l ＝R π2360120⨯＝3

2R π ⑥当n ＝180°时，弧长l ＝R π2360180⨯＝R π 【设计意图】推导弧长的计算公式，采用了从特殊到一般的思想，能更加深刻地使学生理解到弧长是圆周长的一部分，弧长的大小取决于圆心角占360°的比例．

●活动② 例题演练，巩固新知

师问：（出示一组运用弧长计算公式的基本题型）

（1）半径为3cm ，圆心角为30°的弧长为__________

（2）半径为6cm ，圆心角为120°的弧长为__________

（3）半径为4cm ，长度为π2的弧所对的圆心角是________°

（4）圆心角为150°，长度为π5的弧所在圆的半径是_________

（学生独立完成）

生答：（1）cm 2π

（2）cm π4 （3）90 （4）6

师：通过上面的4个问题，我们不难发现弧长、圆心角度数、半径三者中可以“知二求一” ．

【设计意图】推导出弧长计算公式后，马上对其进行简单的应用，既能加深学生对公式的理解，帮助学生熟练掌握公式，同时，也对公式进行逆向应用，进一步拓展公式的使用范围． 探究二 扇形面积的计算公式（★）

●活动① 引入概念

师问：观察下面阴影部分图形，它像我们生活中的什么图案呢？