第9讲 平行线的判定(培优课程讲义例题练习含答案)
平行线的判定（提高）知识讲解【学习目标】1.熟练掌握平行线的画法；2.掌握平行公理及其推论；3.掌握平行线的判定方法，并能运用“平行线的判定方法”，判定两条直线是否平行. 【要点梳理】要点一、平行线的画法及平行公理1.平行线的画法用直尺和三角板作平行线的步骤：①落：用三角板的一条斜边与已知直线重合.②靠：用直尺紧靠三角板一条直角边.③推：沿着直尺平移三角板,使与已知直线重合的斜边通过已知点.④画：沿着这条斜边画一条直线,所画直线与已知直线平行.2.平行公理及推论平行公理：经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行．推论：如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行．要点诠释：(1)平行公理特别强调“经过直线外一点”，而非直线上的点，要区别于垂线的第一性质．(2)公理中“有”说明存在；“只有”说明唯一．（3）“平行公理的推论”也叫平行线的传递性.要点二、平行线的判定判定方法1：同位角相等，两直线平行.如上图，几何语言：∵∠3＝∠2∴AB∥CD（同位角相等，两直线平行）判定方法2：内错角相等，两直线平行.如上图，几何语言：∵∠1＝∠2∴AB∥CD（内错角相等，两直线平行）判定方法3：同旁内角互补，两直线平行.如上图，几何语言：∵∠4＋∠2＝180°∴AB∥CD（同旁内角互补，两直线平行）要点诠释：平行线的判定是由角相等或互补，得出平行，即由数推形.【典型例题】类型一、平行公理及推论1．在同一平面内，下列说法：（1）过两点有且只有一条直线；（2）两条直线有且只有一个公共点；（3）过一点有且只有一条直线与已知直线垂直；（4）过一点有且只有一条直线与已知直线平行. 其中正确的个数为：( ) .A．1个B．2个C．3个D．4个【答案】B【解析】正确的是：（1）(3).【总结升华】对平面几何中概念的理解，一定要紧扣概念中的关键词语，要做到对它们正确理解，对不同的几何语言的表达要注意区分不同表述之间的联系和区别．举一反三：【变式】下列说法正确的个数是() .（1）直线a、b、c、d，如果a∥b、c∥b、c∥d，则a∥d.（2）两条直线被第三条直线所截，同旁内角的平分线互相垂直.（3）两条直线被第三条直线所截，同位角相等.（4）在同一平面内，如果两直线都垂直于同一条直线，那么这两直线平行．A．1个 B .2个C．3个D．4个【答案】B2.证明：平行于同一直线的两条直线平行．【答案与解析】已知：如图，a//c,b//c．求证：a//b．证明：假设直线a与直线b不平行，则直线a与直线b相交，设交点为A，如图．a//c,b//c，则过直线c外一点A有两条直线a、b与直线c平行，这与平行公理矛盾，所以假设不成立．．a//b【总结升华】本题采用的是“反证法”的证明方法，反证法证题的一般步骤：第一步，反设：作出与求证结论相反的假设；第二步，归谬：将反设作为条件，并由此通过一系列的正确推理导出矛盾；第三步，结论：说明反设不成立，从而肯定原命题成立．类型二、平行线的判定3.（春•荣昌县校级期中）如图，∠ABC=∠ACB，BD平分∠ABC，CE平分∠ACB，∠DBF=∠F．试说明：EC∥DF．【思路点拨】根据BD平分∠ABC，CE平分∠ACB，得出∠DBF=∠ABC，∠ECB=∠ACB，∠DBF=∠ECB，再根据∠DBF=∠F，得出∠ECB=∠F，即可证出EC∥DF．【答案与解析】解：∵BD平分∠ABC，CE平分∠ACB，∴∠DBF=∠ABC，∠ECB=∠ACB，∵∠ABC=∠ACB，∴∠DBF=∠ECB，∵∠DBF=∠F，∴∠ECB=∠F，∴EC∥DF．【总结升华】此题考查了平行线的判定，用到的知识点是同位角相等，两直线平行，关键是证出∠ECB=∠F．举一反三：【变式】一个学员在广场上驾驶汽车，两次拐弯后，行驶的方向与原来的方向相同，这两次拐弯的角度可能是( )A．第一次向左拐30°，第二次向右拐30°B．第一次向右拐50°，第二次向左拐130°C．第一次向右拐50°，第二次向右拐130°D．第一次向左拐50°，第二次向左拐130°【答案】A提示：“方向相同”有两层含义，即路线平行且方向相同，在此基础上准确画出示意图．图B显然不同向，因为路线不平行．图C中，∠1＝180°-130°＝50°，路线平行但不同向．图D中，∠1＝180°-130°＝50°，路线平行但不同向．只有图A路线平行且同向，故应选A．4.如图所示，已知∠B＝25°，∠BCD＝45°，∠CDE＝30°，∠E＝10°．试说明AB∥EF的理由．【思路点拨】利用辅助线把AB、EF联系起来．【答案与解析】解法1：如图所示，在∠BCD的内部作∠BCM＝25°，在∠CDE的内部作∠EDN＝10°．∵∠B＝25°，∠E＝10°(已知)，∴∠B＝∠BCM，∠E＝∠EDN(等量代换)．∴AB∥CM，EF∥DN(内错角相等，两直线平行)．又∵∠BCD＝45°，∠CDE＝30°(已知)，∴∠DCM＝20°，∠CDN＝20°(等式性质)．∴∠DCM＝∠CDN(等量代换)．∴CM∥DN(内错角相等，两直线平行)．∵AB∥CM，EF∥DN(已证)，∴AB∥EF(平行线的传递性)．解法2：如图所示，分别向两方延长线段CD交EF于M点、交AB于N点．∵∠BCD＝45°，∴∠NCB＝135°．∵∠B＝25°，∴∠CNB＝180°-∠NCB-∠B＝20°(三角形的内角和等于180°)．又∵∠CDE＝30°，∴∠EDM＝150°．又∵∠E＝10°，∴∠EMD＝180°-∠EDM-∠E＝20°(三角形的内角和等于180°)．∴∠CNB＝∠EMD(等量代换)．所以AB∥EF(内错角相等，两直线平行)．【总结升华】判定两条直线平行的方法有四种，选择哪种方法要根据问题提供的条件来灵活选取．举一反三：【变式】（秋•巨野县期末）如图，已知∠BED=∠B+∠D，求证：AB∥CD．【答案】证明：延长BE交CD于F．∵∠BED+∠DEF=180°，(平角的定义)∴∠DEF+∠D+∠EFD=180°（三角形的内角和等于180°），∴∠BED=∠D+∠EFD，（等量代换）又∠BED=∠B+∠D，∴∠B=∠EFD（等量代换），∴AB∥CD（内错角相等，两直线平行）．平行线的判定（提高）巩固练习【巩固练习】一、选择题1.下列说法中正确的有() .①一条直线的平行线只有一条．②过一点与已知直线平行的直线只有一条．③因为a∥b，c∥d，所以a∥d．④经过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行．A．1个B．2个C．3个D．4个2．如果两个角的一边在同一直线上，另一边互相平行，则这两个角() .A．相等B．互补C．互余D．相等或互补3．（•黔南州）如图，下列说法错误的是（）A．若a∥b，b∥c，则a∥c B．若∠1=∠2，则a∥cC．若∠3=∠2，则b∥c D．若∠3+∠5=180°，则a∥c4．一辆汽车在广阔的草原上行驶，两次拐弯后，行驶的方向与原来的方向相同，那么这两次拐弯的角度可能是()．A．第一次向右拐40°，第二次向右拐140°．B．第一次向右拐40°，第二次向左拐40°．C．第一次向左拐40°，第二次向右拐140°．D．第一次向右拐140°，第二次向左拐40°．5．如图所示，下列条件中，不能推出AB∥CE成立的条件是() .A．∠A＝∠ACE B．∠B＝∠ACE C．∠B＝∠ECD D．∠B+∠BCE＝180°6.(绍兴)学习了平行线后，小敏想出了过已知直线外一点画这条直线的平行线的新方法，她是通过折一张半透明的纸得到的（如图，(1)—(4)）:从图中可知，小敏画平行线的依据有（）.①两直线平行，同位角相等．②两直线平行，内错角相等．③同位角相等，两直线平行．④内错角相等，两直线平行．A.①②B. ②③C. ③④D. ④①二、填空题7.（春•高密市月考）如图，在下列条件中：①∠DAC=∠ACB；②∠BAC=∠ACD；③∠BAD+∠ADC=180°；④∠BAD+∠ABC=180°．其中能使直线AB∥CD成立的是．（填序号）8．如图，DF平分∠CDE，∠CDF＝55°，∠C＝70°，则________∥________．9．规律探究：同一平面内有直线a1，a2，a3…，a100，若a1⊥a2，a2∥a3，a3⊥a4…，按此规律，a1和a100的位置是________．10．已知两个角的两边分别平行，其中一个角为40°，则另一个角的度数是11．直线l同侧有三点A、B、C，如果A、B两点确定的直线l'与B、C两点确定的直线l''都与l平行，则A、B、C三点，其依据是12.如图，AB⊥EF于点G，CD⊥EF于点H，GP平分∠EGB，HQ平分∠CHF，则图中互相平行的直线有．三、解答题13.（春•兴平市期末）如图，已知∠A=∠F，∠C=∠D，试说明BD∥CE．14．小敏有一块小画板(如图所示)，她想知道它的上下边缘是否平行，而小敏身边只有一个量角器，你能帮助她解决这一问题吗?15．如图，把一张长方形纸条ABCD沿AF折叠，已知∠ADB＝20°，那么∠BAF为多少度时，才能使AB′∥BD?16．如图所示，由∠1＝∠2，BD平分∠ABC，可推出哪两条线段平行，写出推理过程，如果推出另两条线段平行，则应将以上两条件之一作如何改变?【答案与解析】一、选择题1. 【答案】A；【解析】只有④正确，其它均错．2. 【答案】D；3. 【答案】C；【解析】A、若a∥b，b∥c，则a∥c，利用了平行公理，正确；B、若∠1=∠2，则a∥c，利用了内错角相等，两直线平行，正确；C、∠3=∠2，不能判断b∥c，错误；D、若∠3+∠5=180°，则a∥c，利用同旁内角互补，两直线平行，正确；故选C．4. 【答案】B；5. 【答案】B；【解析】∠B和∠ACE不是两条直线被第三条直线所截所得到的角．6. 【答案】C；【解析】解决本题关键是理解折叠的过程，图中的虚线与已知的直线垂直，过点P的折痕与虚线垂直．二、填空题7. 【答案】②③；【解析】①∠DAC=∠ACB利用内错角相等两直线平行得到AD∥BC，错误；②∠BAC=∠ACD 利用内错角相等两直线平行得到AB∥CD，正确；③∠BAD+∠ADC=180°利用同旁内角互补得到AB∥CD，正确；④∠BAD+∠ABC=180°利用同旁内角互补得到AD∥BC，错误；故答案为：②③8. 【答案】BC，DE；【解析】∠CFD＝180°－70°－55°＝55°，而∠FDE＝∠CDF＝55°，所以∠CFD＝∠FDE．9. 【答案】a1∥a100；【解析】为了方便，我们可以记为a1⊥a2∥a3⊥a4∥a5⊥a6∥a7⊥a8∥a9⊥a10…∥a97⊥a98∥a99⊥a100，因为a1⊥a2∥a3，所以a1⊥a3，而a3⊥a4，所以a1∥a4∥a5．同理得a5∥a8∥a9，a9∥a12∥a13，…，接着这样的规律可以得a1∥a97∥a100，所以a1∥a100．10.【答案】40°或140°；11.【答案】共线，平行公理；【解析】此题考查是平行公理，它是论证推理的基础，应熟练应用．12.【答案】AB∥CD，GP∥HQ；【解析】理由：∵AB⊥EF，CD⊥EF．∴∠AGE＝∠CHG＝90°．∴AB∥CD．∵AB⊥EF．∴∠EGB＝∠2＝90°．∴GP平分∠EGB．∴∠1＝12EGB＝45°．∴∠PGH＝∠1+∠2＝135°．同理∠GHQ＝135°，∴∠PGH＝∠GHQ．∴GP∥HQ．三、解答题13. 【解析】解：∵∠A=∠F（已知），∴AC∥DF（内错角相等，两直线平行），∴∠C=∠CEF（两直线平行，内错角相等），∵∠C=∠D（已知），∴∠D=∠CEF（等量代换），∴BD∥CE（同位角相等，两直线平行）．14．【解析】解：如图所示，用量角器在两个边缘之间画一条线段MN，用量角器测得∠1＝50°，∠2＝50°，因为∠1＝∠2，所以由内错角相等，两直线平行，可知画板的上下边缘是平行的．15. 【解析】解：要使AB′∥BD，只要∠B′AD＝∠ADB＝20°，∠B′AB＝∠BAD+∠B′AD＝90°+20°＝110°．∴∠BAF＝12∠B′AB＝12×110°＝55°．16．【解析】解：可推出AD∥BC．∵BD平分∠ABC(已知)．∴∠1＝∠DBC(角平分线定义)．又∵∠1＝∠2(已知)，∴∠2＝∠DBC(等量代换)．∴AD∥BC(内错角相等，两直线平行)．把∠1＝∠2改成∠DBC＝∠BDC．。
平行线的判定练习题(有答案)
平行线的判定练习题(有答案)平行线的判定专项练习60题（有答案)1．已知：如图，BE平分∠ABC，∠1=∠2．求证：BC∥DE．2．如图，已知∠A=∠F，∠C=∠D，试说明BD∥CE．3．如图所示，AB⊥BC，BC⊥CD，BF和CE是射线，并且∠1=∠2，试说明BF∥CE．4．如图，AB⊥BC，∠1+∠2=90°，∠2=∠3，求证：BE∥DF．5．如图，OP平分∠MON，A、B分别在OP、OM上，∠BOA=∠BAO，那么AB平行于ON吗？若平行，请写出证明过程；若不平行，请说明理由．6．已知：如图，∠1=∠2，∠A=∠C．求证：AE∥BC．平行线的判定--- 第 1 页共 1 页7．已知，如图B、D、A在一直线上，且∠D=∠E，∠ABE=∠D+∠E，BC是∠ABE的平分线，求证：DE∥BC．8．如图，已知∠AEC=∠A+∠C，试说明：AB∥CD．9．如图，已知AC∥ED，EB平分∠AED，∠1=∠2，求证：AE∥BD．10．如图，直线AB、CD与直线EF相交于E、F，已知：∠1=105°，∠2=75°，求证：AB∥CD．11．如图，∠D=∠A，∠B=∠FCB，求证：ED∥CF．12．如图，已知AB⊥BC，CD⊥BC，∠1=∠2，求证：EB∥FC．平行线的判定---第 2 页共 2 页13．如图所示所示，已知BE是∠B的平分线，交AC于E，其中∠1=∠2，那么DE∥BC吗？为什么？14．如图，已知∠C=∠D，DB∥EC．AC与DF平行吗？试说明你的理由．15．如图，AC⊥AE，BD⊥BF，∠1=35°，∠2=35°，求证：AE∥BF．16．如图，已知AB∥CD，∠1=∠2，求证：BE∥CF．17．已知∠BAD=∠DCB，∠1=∠3，求证：AD∥BC．18．如图，AD是三角形ABC的角平分线，DE∥CA，并且交AB与点E，∠1=∠2，DF与AB是否平行？为什么？平行线的判定---第 3 页共 3 页19．如图，已知：∠C=∠DAE，∠B=∠D，那么AB平行于DF吗？请说明理由．20．如图，已知点B在AC上，BD⊥BE，∠1+∠C=90°，问射线CF与BD平行吗？说明理由．21．已知∠1的度数是它补角的3倍，∠2等于45°，那么AB∥CD吗？为什么？22．已知：如图，BDE是一条直线，∠ABD=∠CDE，BF平分∠ABD，DG平分∠CDE，求证：BF∥DG．23．如图，四边形ABCD中，∠A=∠C=90°，BF、DE分别平分∠ABC、∠ADC．判断DE、BF是否平行，并说明理由．24．如图，若∠CAB=∠CED+∠CDE，求证：AB∥CD．25．如图，CD⊥AB，GF⊥AB，∠1=∠2．试说明DE∥BC．平行线的判定---第 4 页共 4 页26．如图所示，∠CAD=∠ACB，∠D=90°，EF⊥CD．试说明：∠AEF=∠B．27．已知：如图所示，C，P，D三点在同一条直线上，∠BAP+∠APD=180°，∠E=∠F，求证：∠1=∠2．28．如图，∠D=∠1，∠E=∠2，DC⊥EC．求证：AD∥BE．29．如图，在四边形ABCD中，∠A=∠C，BE平分∠ABC，DF平分∠ADC，试说明BE∥DF．30．已知：如图，∠1=∠2，∠A=∠F，则∠C与∠D相等吗？试说明理由．31．如图，在四边形ABCD中，∠A=∠C=90°，∠1=∠2，∠3=∠4，求证：BE∥DF．平行线的判定---第 5 页共 5 页平行线测姓名：一、选择题1．下列命题中，不正确的是____ [ ]A．两条直线被第三条直线所截，如果同位角相等，那么这两条直线平行B．两条直线被第三条直线所截，如果同旁内角互补，那么这两条直线平行C．两条直线被第三条直线所截，那么这两条直线平行D．如果两条直线都和第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行2．如图，可以得到DE∥BC的条件是______ [ ]（2题）（5题）（3题）(7题) （8题）A．∠ACB=∠BAC B．∠ABC+∠BAE=180° C．∠ACB+∠BAD=180°D．∠ACB=∠BAD3．如图，直线a、b被直线c所截，现给出下列四个条件: (1)∠1=∠2(2)∠3=∠6(3)∠4+∠7=180° (4)∠5+∠8=180°，其中能判定a∥b的条件是_________[ ]A．(1)(3) B．(2)(4)C．(1)(3)(4) D．(1)(2)(3)(4)4．一辆汽车在笔直的公路上行驶，两次拐弯后，行驶的方向与原来的方向相同，这两次拐弯的角度可能是________[ ]A．第一次向右拐40°，第二次向左拐40° B．第一次向右拐50°，第二次向左拐130°C．第一次向右拐50°，第二次向右拐130° D．第一次向左拐50°，第二次向左拐130°5．如图，如果∠1=∠2，那么下面结论正确的是_________．[ ]A．AD∥BC B．AB∥CD C．∠3=∠4 D．∠A=∠C6．同一平面内有四条直线a、b、c、d，若a∥b，a⊥c，b⊥d，则直线c、d的位置关系为（）A．互相垂直 B．互相平行 C．相交 D．无法确定7．如图，在平行四边形ABCD中，下列各式不一定正确的是（）A．∠1+∠2=180° B．∠2+∠3=180° C．∠3+∠4=180° D．∠2+∠4=180°8．如图，AD∥BC，∠B=30°，DB平分∠ADE，则∠DEC的度数为（）A．30° B．60° C．90° D．120°二、填空题 9．如图，由下列条件可判定哪两条直线平行，并说明根据．(1)∠1=∠2，．(2)∠A=∠3，．(3)∠ABC+∠C=180°．10．如果两条直线被第三条直线所截，一组同旁内角的度数之比为3∶2，差为36°，那么这两条直线的位置关系是________．11．同垂直于一条直线的两条直线_______．同一平面内，不重合的两直线的位置关系是。
平行线的判定习题(含答案)
2019年4月16日初中数学作业学校:___________：___________班级：___________考号：___________一、单选题1．如右图所示，在下列条件中，不能判断l1∥l2的是（）A．∠1=∠3 B．∠2=∠3 C．∠4+∠5=180°D．∠2+∠4=180°【答案】B【解析】【分析】直接利用平行线的判定方法分别分析得出答案．【详解】解：A、∠1=∠3根据错角相等，两直线平行能判定l1∥l2，故此选项不符合题意；B. ∠2=∠3无法判定l1∥l2，故此选项符合题意；C. ∠4+∠5=180°, ∠2=∠5，所以∠4+∠2=180°, 根据同旁角互补，两直线平行能判定l1∥l2，故此选项不符合题意；D. ∠2+∠4=180°，能判定l1∥l2，故此选项不符合题意；故选：B.【点睛】本题考查平行线的判定，正确掌握判定方法是解题关键．2．如图，直线a，b被直线c所截，下列条件能判断a//b的是( ).A．∠1=∠2 B．∠1=∠4 C．∠3+∠4=180°D．∠2+∠4=180°【答案】B【解析】【分析】根据平行线的判定定理,同位角相等,两直线平行即可解题.【详解】解：A. ∠1=∠2是对顶角,无法判断,B. ∠1=∠4,根据同位角相等,两直线平行即可判定a//b,正确,C. ∠3+∠4=180°,邻补角互补无法判断平行,D. ∠2+∠4=180°,错角不是互补的,错误,故选B.【点睛】本题考查了平行线的判定,属于简单题,熟悉平行线的判定定理是解题关键.3．如图，下列条件：①∠B+∠BFE=180°；②∠1=∠2；③∠3=∠4；④∠B=∠5．能判定AB∥EF的有( )A．1个B．2个C．3个D．4个【答案】C【解析】【分析】根据平行线的判定定理对各小题进行逐一判断即可．【详解】解：①∵∠B+∠BFE=180°，∴AB∥EF，故本小题正确；②∵∠1=∠2，∴DE∥BC，故本小题错误；③∵∠3=∠4，∴AB∥EF，故本小题正确；④∵∠B=∠5，∴AB∥EF，故本小题正确．故选：C．【点睛】本题考查的是平行线的判定，熟知平行线的判定定理是解答此题的关键．4．如图，下列条件中，不能判断直线的是（）A．B．C．D．【答案】B【解析】【分析】根据同位角相等，两直线平行；错角相等，两直线平行；同旁角互补，两直线平行对各选项进行判断．【详解】当∠1=∠3时，a∥b；当∠4=∠5时，a∥b；当∠2+∠4=180°时，a∥b．故选：B．【点睛】本题考查了平行线的判定：同位角相等，两直线平行；错角相等，两直线平行；同旁角互补，两直线平行．5．如图，点E在AD延长线上，下列条件中不能判定BC∥AD的是（）A．B．C．D．【答案】A【解析】【分析】分别利用同旁角互补两直线平行，错角相等两直线平行进行判断，即可得出答案．解：A、∵∠1=∠2，∴AB∥CD，本选项符合题意；B、∵∠C=∠CDE，∴BC∥AD，本选项不合题意；C、∵∠3=∠4，∴BC∥AD，本选项不合题意；D、∵∠C+∠ADC=180°，∴AD∥BC，本选项不符合题意．故选：A．【点睛】此题考查了平行线的判定，平行线的判定方法有：同位角相等两直线平行；错角相等两直线平行；同旁角互补两直线平行，熟练掌握平行线的判定是解本题的关键．6．如图，下列条件中能得到AB∥CD的是( )A．B．C．D．【答案】C【解析】【分析】根据平行线的判定定理对各选项进行逐一判断即可．【详解】A、因为∠1=∠2，不能得出AB∥CD，错误；B、∵∠2=∠3，∴AD∥BC，错误；C、∵∠1=∠4，∴AB∥CD，正确；D、因为∠3=∠4，不能得出AB∥CD，错误；故选C．本题考查的是平行线的判定，熟知平行线的判定定理是解答此题的关键．7．下列说法错误的是()A．在同一平面，不相交的两条线段必然平行B．在同一平面，不相交的两条直线必然平行C．在同一平面，不平行的两条线段延长后必然相交D．在同一平面，两条直线没有公共点，那么两条直线平行【答案】A【解析】【分析】根据两条直线的位置关系直接可以找出错误的选项.【详解】在同一平面，不相交的两条直线必然平行; 在同一平面，不平行的两条线段延长后必然相交; 在同一平面，两条直线没有公共点，那么两条直线平行；只有A选项中，在同一平面，不相交的两条线段不一定平行，故A错误.故选A.【点睛】此题重点考察学生对两直线的位置关系的理解，掌握两直线的位置关系是解题的关键. 8．同一平面的两条线段，下列说确的是()A．一定平行B．一定相交C．可以既不平行又不相交D．不平行就相交【答案】C【解析】【分析】根据线段有固定长度这一特点来解题即可.【详解】同一平面的两条线段，可以出现相交，平行，也可以出现既不平行也不相交的状态.故选C【点睛】此题重点考察学生对两条线段位置关系的理解，抓住线段有固定长度是解题的关键.9．在同一平面，两条不重合直线的位置关系可能是()A．垂直或平行B．垂直或相交C．平行或相交D．平行、垂直或相交【答案】C【解析】【分析】根据前提条件结合直线的位置关系直接可以得到答案.【详解】在同一平面，两条不重合的直线的位置关系只有两种：平行或相交.故选C【点睛】此题重点考察学生对两直线位置关系的理解，掌握两直线的位置关系是解题的关键. 10．如图，已知点E在BC的延长线上，则下列条件中不能判断AB∥CD的是（）A．∠B＝∠DCE B．∠BAD+∠D＝180°C．∠1＝∠4 D．∠2＝∠3【答案】D【解析】【分析】根据平行线的判定定理即可直接作出判断．【详解】A、根据同位角相等，两直线平行即可证得，故选项错误；B、根据同旁角互补，两直线平行，即可证得，故选项错误；C、根据错角相等，两直线平行即可证得，故选项错误；D、∠2和∠3是AD和BC被AC所截形成的角，因而不能证明AB∥CD，故选项正确．故选：D．【点睛】本题考查了平行线的判定定理，正确识别“三线八角”中的同位角、错角、同旁角是正确答题的关键，不能遇到相等或互补关系的角就误认为具有平行关系，只有同位角相等、错角相等、同旁角互补，才能推出两被截直线平行．11．如图，下列判定两直线平行错误的是（）A．若∠D=∠3，则BE∥DF B．若∠B=∠2，则AB∥CDC．若∠1+∠D=，则BE∥DF D．若∠1+∠B=，则AB∥CD【答案】A【解析】【分析】根据平行线的判定逐一判断即可.【详解】A. ∠D和∠3是一组同旁角，根据“同旁角互补，两直线平行”，可得本选项错误；B. ∠B和∠2是一组同位角角，根据“同位角相等，两直线平行”，可得本选项正确；C. 因为∠1 = ∠3，若∠1+∠D=，则∠3+∠D=，根据“同旁角互补，两直线平行”，可得本选项正确；D. ∠1和∠B，是一组同旁角，根据“同旁角互补，两直线平行”，可得本选项正确.故选：A.【点睛】本题考查平行线的判定方法；熟练掌握平行线的判定方法，并能进行推理论证是解题关键．12．如图，已知CD、BF相交于点O，∠D=，下面判定两直线平行正确的是（）A．当∠C=时，AB∥CD B．当∠A=时，AC∥DEC．当∠E=时，CD∥EF D．当∠BOC=时，BF∥DE【答案】D【解析】【分析】选项A中，∠C和∠D是直线AC、DE被DC所截形成的错角，错角相等，判定两直线平行；选项B中，不符合三线八角构不成平行；选项C中，∠E和∠D是直线DC、EF被DE所截形成的同旁角，因为同旁角不互补，所以两直线不平行；选项D中，∠BOC的对顶角和∠D是直线BF、DE被DC所截形成的同旁角，同旁角互补，判定两直线平行【详解】解：A、错误，因为∠C=∠D，所以AC∥DE；B、错误，不符合三线八角构不成平行；C、错误，因为∠C+∠D≠180°，所以CD不平行于EF；D、正确，因为∠DOF=∠BOC=140°，所以∠DOF+∠D=180°，所以BF∥DE．故选：D．【点睛】本题考查平行线的判定，解题关键是在复杂的图形中具有相等关系的两角首先要判断它们是否是同位角或错角，被判断平行的两直线是否由“三线八角”而产生的被截直线．13．如图，下列条件中，能判断FB∥CE的是（）A．∠F+∠C=B．∠ABF=∠C C．∠F=∠C D．∠A=∠D【答案】B【解析】【分析】分析四个选项，看哪个选项的条件满足平行线的判定定理，由此即可得出结论．【详解】解：A、∠F+∠C=180°，不能得出FB∥CE，A不可以；B、∠ABF=∠C，同位角相等，两直线平行，B可以；C、∠F=∠C，不能得出FB∥CE，C不可以；D、∠A=∠D，错角相等，两直线平行，但得出的是DF∥AC，D不可以．故选：B．【点睛】本题考查平行线的判定定理，解题的关键是牢记平行线的判定定理．本题属于基础题，难度不大，解决该题型题目时，寻找相等或互补的角去证明直线平行．14．如图，一根直尺EF压在三角板的角∠BAC上，欲使CB∥EF，则应使∠ENB的度数为（）A．B．C．D．【答案】C【解析】【分析】根据平行线的判定方法即可解答.【详解】解:因为三角板含有30°的角,所以∠B=60°,当∠ENB+∠B=180°时,根据“同旁角互补,两直线平行”,可使CB∥EF，此时∠ENB=180°-∠B=180°-60°=.故选:C.【点睛】本题考查平行线的判定方法，解题关键是熟练掌握判定方法，根据题目要求选择简单方法.15．如图，直线a与直线b被直线c所截，b⊥c，垂足为A，∠1＝69°，若使直线b与直线a平行，则可将直线b绕着点A顺时针旋转()A．69°B．49°C．31°D．21°【答案】D【解析】【分析】先根据b⊥c得出∠2的度数，再由平行线的判定定理即可得出结论．【详解】∵b⊥c，∴∠2=90°．∵∠1=69°，a∥b，∴直线b绕着点A顺时针旋转的度数=90°﹣69°=21°，故选D.【点睛】本题考查了垂直的定义，平行线的判定，熟练掌握和正确运用相关知识是解题的关键. 16．如图是小敏作“过已知直线外一点画这条直线的平行线”，从图中可知，小敏画平行线的依据是( )①两直线平行，同位角相等②两直线平行，错角相等③同位角相等，两直线平行④错角相等，两直线平行A．①② B．②③ C．③④ D．①④【答案】C【解析】【分析】①②为平行线的性质，③④为平行线的判定定理.【详解】解：根据平行线的判定与性质可知，①②为平行线的性质，③④为平行线的判定定理，∴小敏是依据③④画平行线的.本题主要考查平行线的判定与性质，解此题的关键在于熟记平行线的判定定理与性质的区别.17．如图，下列结论：若，则∥；若，则∥;若∠ADC=∠5，则AD//BC；若∠DAB+∠ABC=180°，则AD//BC，其中正确的个数是（）A．1个B．2个C．3个D．4个【答案】C【解析】【分析】根据错角相等，两直线平行可以对①②③进行判断，根据同旁角互补，两直线平行可以对④进行判断，由此即可得答案.【详解】①若∠1=∠3，则AB∥CD，正确；②若∠2=∠4，则AD∥BC，故②错误；③若∠ADC=∠5，则AD//BC，正确；④若∠DAB+∠ABC=180°，则AD//BC，正确，故选C.【点睛】本题考查了平行线的判定，熟练掌握平行线的判定定理是解题的关键.18．如图，下列推理正确的是（）A．∵∠1＝∠2，∴AD∥BC B．∵∠3＝∠4，∴AB∥CDC．∵∠3＝∠5，∴AB∥DC D．∵∠3＝∠5，∴AD∥BC【答案】C利用平行线的判定方法判断即可得到结果．【详解】∵∠3=∠5，∴AB∥DC（同位角相等，两直线平行）．故选C．【点睛】此题考查了平行线的判定，熟练掌握平行线的判定方法是解本题的关键．二、解答题19．如图，，，说明：.【答案】见解析.【解析】【分析】先由同位角相等，得出两直线平行，再根据两直线平行，得出错角相等，最后根据同位角相等，得出两直线平行即可．【详解】∵（已知）∴（同位角相等，两直线平行）又∵（两直线平行，错角相等）∴（等量代换）∴（同位角相等，两直线平行）【点睛】本题主要考查了平行线的判定与性质，解题时注意：两直线平行，错角相等；同位角相等，两直线平行．20．如图，已知∠ABC=180°-∠A，BD⊥CD于D，EF⊥CD于E．(1)求证：AD∥BC；(2)若∠ADB=36°，求∠EFC的度数．【答案】(1)证明见解析；(2)36°.【解析】【分析】(1)求出∠ABC+∠A=180°，根据平行线的判定推出即可；(2)根据平行线的性质求出∠DBC，根据垂直推出BD∥EF，根据平行线的性质即可求出∠EFC．【详解】(1)证明：∵∠ABC=180°-∠A，∴∠ABC+∠A=180°，∴AD∥BC；(2)∵AD∥BC，∠ADB=36°，∴∠DBC=∠ADB=36°，∵BD⊥CD，EF⊥CD，∴BD∥EF，∴∠DBC=∠EFC=36°【点睛】本题考查了平行线的性质和判定的应用，注意：①两直线平行，同位角相等，②两直线平行，错角相等，③两直线平行，同旁角互补，反之亦然．21．平面上有6条直线，共有12个不同的交点，画出它们可能的位置关系(画三种图形)．【答案】详见解析.【解析】【分析】从平行线的角度考虑，先考虑只有二条直线平行，再考虑三条平行，作出草图即可看出．【详解】如下图．【点睛】本题考查平行线与相交线的综合运用．没有明确平面上六条不重合直线的位置关系，需要运用分类讨论思想．22．如图，根据要求填空．(1)过A作AE∥BC，交______于点E；(2)过B作BF∥AD，交______于点F；(3)过C作CG∥AD，交__________于点G；(4)过D作DH∥BC，交BA的__________于点H.【答案】(1)DC；(2)DC；(3)AB；(4)延长线.【解析】【分析】根据要求，直接进行作图就可以解决．【详解】（1）过A作AE∥BC，交DC于点E；（2）过B作BF∥AD，交DC于点F；（3）过C作CG∥AD，交AB的延长线于点G；（4）过D作DH∥BC，交BA的延长线于点H．【点睛】本题主要考查平行线的作法以及几何语言的准确性．23．探索与发现：(1)若直线a1⊥a2，a2∥a3，则直线a1与a3的位置关系是__________，请说明理由．(2)若直线a1⊥a2，a2∥a3，a3⊥a4，则直线a1与a4的位置关系是________．(直接填结论，不需要证明)(3)现在有2 011条直线a1，a2，a3，…，a2 011，且有a1⊥a2，a2∥a3，a3⊥a4，a4∥a5…，请你探索直线a1与a2 011的位置关系．【答案】（1）a1⊥a3，理由详见解析；（2）a1∥a4；（3）a1⊥a2 011.【解析】【分析】（1）根据两直线平行，同位角相等得出相等的角，再根据垂直的定义解答；（2）根据（1）中结论即可判定垂直；（3）根据规律发现，与脚码是偶数的直线互相平行，与脚码是奇数的直线互相垂直，根据此规律即可判断．【详解】（1）a1⊥a3．理由如下：如图1，∵a1⊥a2，∴∠1=90°，∵a2∥a3，∴∠2=∠1=90°，∴a1⊥a3；（2）同（1）的解法，如图2，直线a1与a4的位置关系是：a1∥a4；（3）直线a1与a3的位置关系是：a1⊥a2⊥a3，直线a1与a4的位置关系是：a1∥a4∥a5，以四次为一个循环，⊥，⊥，∥，∥以此类推，a1∥a2009，a1⊥a2010，所以直线a1与a2011的位置关系是：a1⊥a2011．【点睛】本题考查了平行公理的推导，作出图形更有利于规律的发现以及规律的推导．三、填空题24．已知，如图，要使得AB∥CD，你认为应该添加的一个条件是________【答案】∠ECD=∠A（答案不唯一）．【解析】【分析】根据平行线的判定定理，即可直接写出条件．【详解】添加的条件是：∠ECD=∠A（答案不唯一）．故答案为：∠ECD=∠A．【点睛】本题考查了平行线的判定定理，解答此类要判定两直线平行的题，可围绕截线找同位角、错角和同旁角．本题是一道探索性条件开放性题目，能有效地培养学生“执果索因”的思维方式与能力．25．在同一平面，三条不同的直线a、b、c，若a⊥c，b⊥c，则______．【答案】a∥b【解析】【分析】根据平行线的判定解答即可．【详解】在同一平面，三条不同的直线a、b、c，若a⊥c，b⊥c，则a∥b．故答案为：a∥b．【点睛】本题考查了平行线的判定与性质，在同一平面，垂直于同一直线的两直线平行的性质，是基础题，熟记平行线的判定是解题的关键．126．设a、b、c为平面上三条不同直线，(1)若a∥b，b∥c，则a与c的位置关系是________；(2)若a⊥b，b⊥c，则a与c的位置关系是________．【答案】a∥c；a∥c.【解析】【分析】（1）根据两条直线的位置关系直接写出答案.（2）根据垂线的性质去解答即可.【详解】设a、b、c为平面上三条不同直线，(1)若a∥b，b∥c，则a与c的位置关是a∥c，（2）若a⊥b，b⊥c，则a与c的位置关系是a∥c.故答案为(1). a∥c (2). a∥c【点睛】此题重点考察学生对两直线的位置关系和垂线性质的理解，掌握两直线的位置和垂线的性质是解题的关键.27．如图，某工件要求AB∥ED，质检员小量得∠ABC＝146°，∠BCD＝60°，∠EDC＝154°，则此工件________．(填“合格”或“不合格”)【答案】合格【解析】【分析】作CF∥AB，由平行线的性质得出∠ABC+∠1=180°，求出∠1，得出∠2，由∠2+∠EDC=180°，得出CF∥ED，证出AB∥ED，即可得出结论．【详解】作CF∥AB，如图所示：则∠ABC+∠1=180°，∴∠1=180°-146°=34°，∴∠2=∠BCD-∠1=60°-34°=26°，∵∠2+∠EDC=26°+154°=180°，∴CF∥ED，∴AB∥ED；故答案为：合格．【点睛】本题考查了平行线的性质与判定；熟练掌握平行线的判定与性质，并能进行推理论证是解决问题的关键28．如图，EN⊥CD，点M在AB上，∠MEN＝156°，当∠BME＝________°时，AB∥CD.【答案】66.【解析】【分析】过点E作EF∥AB，由平行线的性质可得∠BME=MEF，利用平行线的判定定理和性质定理可得∠NEF=90°，易得∠BME．【详解】过点E作EF∥AB，∴∠BME=MEF，∵AB∥CD，∴EF∥CD，∵EN⊥CD，∴EN⊥EF，∴∠NEF=90°，∵∠MEN=156°，∴∠MEF+90°=156°，∴∠MEF=∠BME=156°-90°=66°．故答案为：66．【点睛】本题主要考查了平行线的判定定理及性质定理，综合运用定理是解答此题的关键．29．如图，已知CD⊥DA，DA⊥AB，∠1=∠2. 试说明DF∥AE. 请你完成下列填空，把解答过程补充完整.解：∵CD⊥DA，DA⊥AB，∴∠CDA=90°，∠DAB=90°( ).∴∠CDA=∠DAB(等量代换).又∠1=∠2，从而∠CDA-∠1=∠DAB-________(等式的性质).即∠3=_______.∴DF∥AE( ).【答案】垂直的定义；∠2；∠4；错角相等，两直线平行【解析】【分析】（1）根据垂直的定义填空；（2）根据等式的性质进行填空；（3）根据图象中角的位置关系进行解答；（4）根据平行线的判定定理进行解答即可.【详解】解：∵CD⊥DA，DA⊥AB，∴∠CDA=90°，∠DAB=90°(垂直的定义)，∴∠CDA=∠DAB(等量代换)，又∠1=∠2，从而∠CDA-∠1=∠DAB-∠2 (等式的性质).即∠3=∠4，∴DF∥AE（错角相等，两直线平行）.故答案为：垂直的定义；∠2；∠4；错角相等，两直线平行.【点睛】本题主要考查了平行线的判定定理等知识点，解此题的关键在于熟记书本中基本的知识点.30．如图，当∠1=∠__时，AB∥DC．【答案】4【解析】【分析】当∠1=∠4 时，根据错角相等，两直线平行可以判定AB∥DC．【详解】∵∠1=∠4，∴AB∥DC（错角相等，两直线平行）．【点睛】此题主要考查了平行线的判定，错角相等，两直线平行．。
平行线的性质与判定 解答题培优专练(原卷)
平行线的性质与判定解答题培优专练1．（2022春·浙江温州·七年级校考期中）如图1，直线AB∥CD，△ABE的顶点E在AB与CD 之间.(1)若∠ABE=150°，∠BAE=20°．△当△CDE=2△EDM时，求△BED的度数.△如图2，作出△CDE的角平分线DF，当DF平行于△ABE中的一边时，求△BED的度数.(2)如图3，△CDE的角平分线DF交EB的延长线于点H，连结BF，当△ABH=2△HBF，1 2∠BED+13∠F=40°时，求△CDE的度数.2．（2022春·浙江金华·七年级校联考期中）如图，直线PQ∥MN，一副直角三角板△ABC、△DEF 中，△ACB=△EDF=90°，△ABC=△BAC=45°，△DFE=30°，△DEF=60°．(1)若△DEF如图1摆放，当ED平分△PEF时，则△DFM=．(2)若图2中△ABC固定，将△DEF沿着AC方向平移，边DF与直线PQ相交于点G，作△FGQ 和△GF A的角平分线GH、FH相交于点H（如图3），求△GHF的度数．(3)若图2中△DEF固定，（如图4）将△ABC绕点A顺时针旋转，1分钟转半圈，旋转至AC 与直线AN首次重合的过程中，当线段BC与△DEF的一条边平行时，请直接写出旋转的时间．（单位必须化成秒）3．（2022春·浙江金华·七年级校联考阶段练习）如图1，已知MN∥PQ,，B在MN上，C在PQ上，A在B的左侧，D在C的右侧，DE平分△ADC，BE平分△ABC，直线DE，BE交于点E，△CBN＝120°．(1)若△ADQ＝100°，求△BED的度数；(2)在图1中过点D作△ADQ的角平分线与直线BE相交于点F，如图2，试探究△DEB与△DFE 的关系；(3)若改变线段AD的位置，使得点D在点C的左侧，其他条件不变，若△ADQ＝n°，过点D 作△PDA的角平分线与直线BE相交于点G，求△BED+△DGE的和是多少度？（用含n的代数式表示）4．（2022春·浙江湖州·七年级统考期末）长江汛期即将来临，为了便于夜间查看江水及两岸河堤的情况，防汛指挥部在一危险地带两岸各安置了一探照灯（如图1），假定这一带长江两岸河堤是平行的，即PQ∥MN，连结AB，且∠ABN=45°．灯A射线自AQ顺时针旋转至AP便立即回转，灯B射线自BM顺时针旋转至BN便立即回转，两灯不停交叉照射巡视．若灯A转动的速度是1度/秒，灯B转动的速度是3度/秒．(1)若两灯同时转动，在灯B射线第一次转到BN之前，两灯射出的光线交于点C．△如图1，当两灯光线同时转动50秒时，求∠ABC的度数．△如图2，过C作CD⊥BC交PQ于点D，则在转动过程中，求∠ABC与∠ACD的比值，并说明理由．(2)若灯A射线先转动30秒，灯B射线才开始转动，在灯A射线第一次转到AP之前，B灯转动几秒，两灯的光线互相平行？5．（2021春·浙江衢州·七年级校考期中）如图1，将一副直角三角板放在同一条直线AB上，它们的一边分别与直线AB重合，其中△ONM=30°，△OCD=45°，将图1中的三角板OMN 绕点O按每秒15°的速度沿逆时针方向旋转α°．（0°＜α°＜180°）．(1)当△AOM＝105°时，求旋转角的度数．(2)当两块三角板中至少有一组边互相平行时，求旋转的时间．(3)将图1中的三角板OMN绕点O按逆时针方向旋转得到图2，MN与CD相交于点E，若△CEN=β°时，试探究α与β的数量关系，并直接写出结论．6．（2022春·浙江金华·七年级统考期末）如图，已知AB∥CD，直线MN交AB于点M，交CD于点N．点E是线段MN上一点，P，Q分别在射线MA，NC上，连接PE，QE，PF平分△MPE，QF平分△CQE．（1）如图1，若PE△QE，△EQN＝64°，则△MPE＝°，△PFQ＝°．（2）如图2，求△PEQ与△PFQ之间的数量关系，并说明理由．（3）如图3，当PE△QE时，若△APE＝150°，△MND＝110°，过点P作PH△QF交QF的延长线于点H．将直线MN绕点N顺时针旋转，速度为每秒5°，直线MN旋转后的对应直线为M′N，同时△FPH绕点P逆时针旋转，速度为每秒10°，△FPH旋转后的对应三角形为△F′PH′，当直线MN首次落到CD上时，整个运动停止．在此运动过程中，经过t秒后，直线M′N恰好平行于△F′PH′的一条边，请直接写出所有满足条件的t的值．7．（2022春·浙江嘉兴·七年级校考期中）如图1，点O为直线AB上一点，过点O作射线OC，使△AOC＝60°．将一把直角三角尺的直角顶点放在点O处，一边OM在射线OB上，另一边ON在直线AB的下方，其中△OMN＝30°．(1)将图1中的三角尺绕点O顺时针旋转至图2，使一边OM在△BOC的内部，且恰好平分△BOC，求△CON的度数；(2)将图1中的三角尺绕点O按每秒6°的速度绕点O沿顺时针方向旋转一周，OC也以每秒1°的速度绕点O顺时针方向旋转，当三角尺停止运动时，OC也停止运动．△在旋转的过程中，问运动几秒时，边MN恰好与射线OC平行；△将图1中的三角尺绕点O顺时针旋转至图3，使ON在△AOC的内部，请探究△AOM与△NOC 之间的数量关系（直接写出结果）．8．（2022春·浙江台州·七年级校联考阶段练习）如图1，已知两条直线AB，CD被直线EF所截，分别交于点E，点F，EM平分△AEF交CD于点M，且△FEM＝△FME．(1)判断直线AB与直线CD是否平行，并说明理由；(2)如图2，点G是射线MD上一动点（不与点M，F重合），EH平分△FEG交CD于点H，过点H作HN△EM于点N，设△EHN＝α，△EGF＝β．△当点G在点F的右侧时，若β＝56°，求α的度数；△当点G在运动过程中，α和β之间有怎样的数量关系？请写出你的猜想，并加以证明．9．（2021春·浙江绍兴·七年级校考阶段练习）已知直线l1∥l2，直线l3，l4分别与l1，l2交于点B，F和A，E，点P是直线l3上一动点（不与点B，F重合），设△BAP＝△1，△PEF＝△2，△APE＝△3．(1)如上图，当点P在B，F两点之间运动时，试确定△1，△2，△3之间的关系，并给出证明；(2)当点P在B，F两点外侧运动时，试探究△1，△2，△3之间的关系，画出图形，给出结论，不必证明．10．（2022春·浙江衢州·七年级统考期末）已知△ABC与△ADE共顶点A，∠BAC=∠DAE=90∘，顶点B和C在直线l1上（点B在点C的左侧），顶点D和E在直线l2上（点D在点E的左侧），且直线l1∥l2．(1)如图1，顶点A在l1与l2之间，判断△BAD与∠ABC+∠ADE是否相等，并说明理由．(2)如图2，顶点A在l1与l2之间，△ABC的外角平分线与△AED的角平分线交于点F，若∠BAD=70∘，求△BFE的度数．(3)若顶点A在直线l2的下方，且顶点B、A、D不在一条直线上，△ABC的外角平分线与△AED 的角平分线交于点F，记∠BAD=α，∠BFE=β，请探究α与β的数量关系，并直接写出结论．11．（2022春·浙江金华·七年级统考期末）如图，AB、CD被AC所截，AB∥CD，△CAB＝108°，点P为直线AB上一动点（不与点A重合），连CP，作△ACP和△DCP的平分线分别交直线AB于点E、F．(1)当点P在点A的右侧时△若△ACP＝36°，则此时CP是否平分△ECF，请说明理由．△求△ECF的度数．(2)在点P运动过程中，直接写出△APC与△AFC之间的数量关系．12．（2022春·浙江湖州·七年级统考期末）如图1，已知直线AB∥CD，∠CMN=60∘，射线ME 从MD出发，绕点M以每秒a度的速度按逆时针方向旋转，到达MC后立即以相同的速度返回，到达MD后继续改变方向，继续按上述方式旋转；射线NF从NA出发，绕点N以每秒b度的速度按逆时针方向旋转，到达NB后停止运动，此时ME也同时停止运动．其中a，b满足方程组{4a+b=173a−2b=10．(1)求a，b的值；(2)若NF先运动30秒，然后ME一起运动，设ME运动的时间为t，当运动过程中ME∥NF时，求t的值；(3)如图2，若ME与NF同时开始转动，在ME第一次到达MC之前，ME与NF交于点P，过点P 作PQ⊥ME于点P，交直线AB于点Q，则在运动过程中，若设∠NME的度数为m，请求出∠NPQ 的度数（结果用含m的代数式表示）．13．（2022春·浙江绍兴·七年级统考期末）已知AB△CD，(1)如图1，若△ABE＝160°，△CDE＝120°，求△BED的度数；(2)如图2，若BF平分△ABE，DF平分△CDE，则△BFD与△BED有怎样的数量关系，并说明理由；(3)如图3，若BF平分△ABE，DF平分△CDE，则△BFD与△BED有怎样的数量关系，并说明理由．14．（2022春·浙江宁波·七年级校考期中）如图，直线PQ∥MN，一副三角尺（∠ABC=∠CDE= 90°，∠ACB=30°，∠BAC=60°，∠DCE=∠DEC=45°）按如图△放置，其中点E在直线PQ 上，点B，C均在直线MN上，且CE平分∠ACN．(1)求∠DEQ的度数．(2)如图△，若将三角形ABC绕点B以每秒2度的速度按逆时针方向旋转（A，C的对应点分别为F，G），设旋转时间为t(s)(0≤t≤90)．△在旋转过程中，当BG∥CD时，求t的值．△若在三角形ABC绕点B旋转的同时，三角形CDE绕点E以每秒1度的速度按顺时针方向旋转（C，D的对应点为H，K），请直接写出当BG∥HK时t的值．15．（2022春·浙江金华·七年级校考期中）（1）如图1，点E在BC上，△A＝△D，△ACB＝△CED．请说明AB∥CD的理由．（2）如图2，AB∥CD，BG平分△ABE，与△EDF的平分线交于H点，若△DEB比△DHB大60°．求△DEB的度数．（3）保持（2）中所求的△DEB的度数不变，如图3，AB∥CD，BM平分△EBK，DN平分△CDE，作BP∥DN，则△PBM的度数是否改变？若不变，请直接写出△PBM的度数；若改变，请说明理由．16．（2022春·浙江湖州·七年级校联考阶段练习）（1）【问题】如图1，若AB∥CD，∠BEP=25°，∠PFC=150°，求∠EPF的度数；（提示：过点P作PQ∥AB）（2）【问题迁移】如图2，AB∥CD，点P在AB的上方，∠PEA，∠PFC，∠EPF之间有何数量关系？请说明理由；（3）【联想拓展】如图3所示，在（2）的条件下，已知∠EPF=α，∠PEA的平分线和∠PFC的平分线交于点G，用含有α的式子表示∠G的度数．17．（2022春·浙江宁波·七年级校联考期末）如图△，AB，BC被直线AC所截，点D是线段AC 上的点，过点D作DE∥AB，连接AE，∠B=∠E=60°.(1)请说明AE∥BC；(2)将线段AE沿着直线．．AC平移得到线段PQ，连接DQ．△.如图△，当DE⊥DQ时，则∠Q的度数=_____________；△.在整个运动中，当∠Q=2∠EDQ时，∠Q=_____________．18．（2022春·浙江宁波·七年级校考期中）如图，直线CD//EF，点A、B分别在直线CD、EF上（自左向右分别为点C、A、D和点E、B、F），△ABF=60°，射线AM自射线AB的位置开始，绕点A以每秒1°的速度沿逆时针方向旋转，同时，射线BN自射线BE开始以每秒5°的速度绕点B沿顺时针方向旋转，当射线BN旋转到BF的位置时，两者均停止运动，设旋转时间为x秒．(1)如图1，直接写出下列答案：△△BAD的度数是；△当旋转时间x= 秒时，射线BN过点A．(2)如图2，若AM∥BN，求此时对应的旋转时间x的值．(3)若两条射线AM和BN所在直线交于点P，△如图3，若点P在CD与EF之间，且△APB=126°，求旋转时间x的值；△若旋转时间x<24，求△APB的度数（用含x的代数式表示）．19．（山西省忻州市代县2021-2022学年七年级下学期期末数学试题）如图1，AB∥CD，点E 为直线AB，CD外一点．(1)若AE⊥AB，∠C=65°，求出△E的度数．(2)如图2，点F在BA的延长线上，连接BE，EF，若CE⊥CD，EF平分∠AEC，∠B=∠AEB，求∠BEF的度数：(3)如图3，在（2）的条件下，过点F作∠BFG=∠BFE，交EC的延长线于点G，延长EF 交CD于点H，过点F作FI∥BE交CD于点I．当FH平分∠IFG时，请直接写出∠CHF的度数．20．（山东省日照市岚山区2021-2022学年七年级下学期期末考试数学试题）（1）阅读下面材料：已知：如图1，AB∥CD，E为AB，CD之间一点，连接AE，CE，得到∠AEC．求证：∠AEC+∠A+∠C=360°．解答过程如下，并请你在括号内填写推理的依据：过点E作EF∥AB，则有∠AEF+∠A=180°（______）．△AB∥CD，△EF∥CD（______）．△∠FEC+∠C=180°（______）．△∠AEF+∠A+∠FEC+∠C=360°,又△∠AEC=∠AEF+∠FEC△∠AEC+∠A+∠C=360°．假若将具有图1特征的图形称为“平行凸折线”，“平行凸折线”的性质可以表述如下：若AB∥CD，E为AB，CD之间一点，则有∠AEC+∠A+∠C=360°（2）已知：直线m∥n，点A，B在直线m上，点C，D在直线n上，连接AD，BC，BE平分∠ABC，DE平分∠ADC，且BE，DE所在的直线交于点E．△如图2，当点D在点C的左侧时，若∠ADC=80°，∠BED=160°，请你结合（1）中“平行凸折线”的性质，求∠ABC的度数；△如图3，当点D在点C的右侧时，设∠ABC=α，∠ADC=β，请直接写出∠BED的度数（用含有α，β的式子表示）．21．（江苏省江阴市周庄中学2021-2022学年七年级下学期3月限时作业数学试题）（1）光线从空气中射入水中会产生折射现象，同时光线从水中射入空气中也会产生折射现象，如图1，光线a从空气中射入水中，再从水中射入空气中，形成光线b，根据光学知识有△1=△2，△3=△4，请判断光线a与光线b是否平行，并说明理由．（2）光线照射到镜面会产生反射现象，由光学知识，入射光线与镜面的夹角与反射光线与镜面的夹角相等，如图2有一口井，已知入射光线a与水平线OC的夹角为42°，问如何放置平面镜MN，可使反射光线b正好垂直照射到井底？（即求MN与水平线的夹角）（3）如图3，直线EF上有两点A、C，分别引两条射线AB、CD．△BAF=110°，△DCF=60°，射线AB、CD分别绕A点，C点以1度/秒和3度/秒的速度同时顺时针转动，设时间为t，在射线CD转动一周的时间内，是否存在某时刻，使得CD与AB平行？若存在，求出所有满足条件的时间t．22．（2021春·浙江·七年级阶段练习）如图1，已知AB△CD，△B＝30°，△D＝120°；(1)若△E＝60°，则△F＝；(2)请探索△E与△F之间满足的数量关系？说明理由；(3)如图2，已知EP平分△BEF，FG平分△EFD，反向延长FG交EP于点P，求△P的度数．23．（2022春·浙江台州·七年级台州市书生中学校考期中）“一带一路”让中国和世界更紧密，“中欧铁路”为了安全起见在某段铁路两旁安置了两座可旋转探照灯，便于夜间查看道路安全情况，如图，灯A射线AM′自AM顺时针旋转至AN便立即回转，灯B射线BQ′自BQ顺时针旋转至BP便立即回转，两灯不停交叉照射巡视．若灯A转动的速度是a°/秒，灯B转动的速度是b°/秒，且a、b满足√5−a+|b−a+3|=0，假定主道路的两边是平行的，即PQ△MN．(1)求a、b的值；(2)若灯B的射线BQ′先转动30秒，灯A的射线AM′才开始转动，在射线BO′到达BP之前，射线AM′转动几秒，两灯的光束互相平行？(3)若灯A、B的射线AM′，BQ′同时转动t秒，在射线BQ′到达BP之前，记射线AM′与BQ′交于点H，若两束光束垂直，求t的值．24．（2021春·浙江·七年级专题练习）问题情境在综合与实践课上，老师让同学们以“两条平行线AB，CD和一块含60°角的直角三角尺EFG （△EFG＝90°，△EGF＝60°）”为主题开展数学活动．操作发现(1)如图（1），小明把三角尺的60°角的顶点G放在CD上，若△2＝2△1，求△1的度数；(2)如图（2），小颖把三角尺的两个锐角的顶点E、G分别放在AB和CD上，请你探索并说明△AEF与△FGC之间的数量关系；结论应用(3)如图（3），小亮把三角尺的直角顶点F放在CD上，30°角的顶点E落在AB上．若∠AEG=α，则△CFG等于______（用含α的式子表示）．25．（2021春·浙江衢州·七年级浙江省衢州市衢江区实验中学校考开学考试）将一副三角板中的两个直角顶点C叠放在一起（如图△），其中△A＝30°，△B＝60°，△D＝△E＝45°．(1)猜想△BCD与△ACE的数量关系，并说明理由；(2)若△BCD＝4△ACE，求△BCD的度数；(3)若按住三角板ABC不动，绕顶点C转动三角DCE，试探究△BCD等于多少度时CE△AB，并简要说明理由．26．（2022春·浙江金华·七年级义乌市绣湖中学教育集团校联考阶段练习）如图，直线MN//PQ，将一副三角板中的两块直角三角板如图1放置，△ACB＝△EDF＝90°，△ABC＝△BAC＝45°，△DFE＝30°，△DEF＝60°，此时点A与点E重合．(1)对于图1，固定△ABC的位置不变，将△DEF绕点E按顺时针方向进行旋转，旋转至DE与BC首次平行，如图2所示，求此时△F AC的度数．(2)对于图1，固定△ABC的位置不变，将△DEF沿AC方向平移至点F正好落在直线MN上，再将△DEF绕点F按顺时针方向进行旋转，如图3所示．△若边EF与边BC交于点G，试判断△BGF﹣△EFN的值是否为定值，若是定值，则求出该定值，若不是定值，请说明理由；△对于图3，固定△ABC的位置不变，将△DEF绕点F顺时针方向以每秒10°的速度进行旋转，当EF与直线MN首次重合时停止运动当经过t秒时，线段DE与△ABC的一条边平行，求满足条件的t的值．27．（2020春·浙江杭州·七年级统考期末）问题情境：如图1，已知AB△CD，∠APC=108°．求∠PAB+∠PCD的度数．经过思考，小敏的思路是：如图2，过P作PE△AB，根据平行线有关性质，可得∠PAB+∠PCD=360°−∠APC=252°．问题迁移：如图3，AD△BC，点P在射线OM上运动，∠ADP=∠α，∠BCP=∠β．(1)当点P在A、B两点之间运动时，∠CPD、∠α、∠β之间有何数量关系？请说明理由．(2)如果点P在A、B两点外侧运动时（点P与点A、B、O三点不重合），请你直接写出∠CPD、∠α、∠β之间的数量关系．(3)问题拓展：如图4，MA1△NA n，A1−B1−A2−⋯−B n−1−A n是一条折线段，依据此图所含信息，把你所发现的结论，用简洁的数学式子表达为．28．（2020春·浙江宁波·七年级统考期中）已知AM∥CN，点B为平面内一点，AB⊥BC于B．(1)如图，直接写出∠A和∠C之间的数量关系．(2)如图，过点B作BD⊥AM于点D，求证：∠ABD=∠C．(3)如图，在（2）问的条件下，点E，F在DM上，连接BE，BF，CF，BF那平分∠DBC，BE平分∠ABD，若∠FCB+∠NCF=180°，∠BFC=3∠DBE，求∠EBC的度数．29．（2021春·浙江金华·七年级统考期末）如图1，在△ABC中，△B＝65°，△BAC＝75°，D 为AC边上一点，分别过点A、D作BC、AB的平行线交于点E．（1）求△E的度数．（2）点P为直线AC上的一个动点，过点P作PF△AE，且PF＝AE，连DF．△如图2，当点P在点C的右侧，且△PFD＝25°时，判断DE与DF的位置关系，并说明理由．△在整个运动中，是否存在点P，使得△PFD＝2△EDF？若存在，请求出△PFD的度数，若不存在，请说明理由．30．（2021春·浙江宁波·七年级统考期末）如图，直线CD//EF，点A，B分别在直线CD，EF上（自左向右分别为点C，A，D和点E，B，F），∠ABF=60°．射线AM自射线AB的位置开始，绕点A以每秒1°的速度沿逆时针方向旋转，同时，射线BN自射线BE开始以每秒5°的速度绕点B沿顺时针方向旋转，当射线BN旋转到BF的位置时，两者均停止运动，设旋转时间为x秒．（1）如图1，直接写出下列答案：△∠BAD的度数是______．△当旋转时间x=______秒时，射线BN过点A．（2）如图2，若AM//BN，求此时对应的旋转时间x的值．（3）若两条射线AM和BN所在直线交于点P．△如图3，若点P在CD与EF之间，且∠APB=126°，求旋转时间x的值．△若旋转时间x<24，求∠APB的度数（直接写出用含x的代数式表示的结果）．。
第9讲 平行线的判定(基础课程讲义例题练习含答案)
平行线的判定（基础）知识讲解【学习目标】1.熟练掌握平行线的画法；2.掌握平行公理及其推论；3.掌握平行线的判定方法，并能运用“平行线的判定方法”，判定两条直线是否平行. 【要点梳理】要点一、平行线的画法及平行公理1.平行线的画法用直尺和三角板作平行线的步骤：①落：用三角板的一条斜边与已知直线重合.②靠：用直尺紧靠三角板一条直角边.③推：沿着直尺平移三角板,使与已知直线重合的斜边通过已知点.④画：沿着这条斜边画一条直线,所画直线与已知直线平行.2.平行公理及推论平行公理：经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行．推论：如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行．要点诠释：(1)平行公理特别强调“经过直线外一点”，而非直线上的点，要区别于垂线的第一性质．(2)公理中“有”说明存在；“只有”说明唯一．（3）“平行公理的推论”也叫平行线的传递性.要点二、平行线的判定判定方法1：同位角相等，两直线平行.如上图，几何语言：∵∠3＝∠2∴AB∥CD（同位角相等，两直线平行）判定方法2：内错角相等，两直线平行.如上图，几何语言：∵∠1＝∠2∴AB∥CD（内错角相等，两直线平行）判定方法3：同旁内角互补，两直线平行.如上图，几何语言：∵∠4＋∠2＝180°∴AB∥CD（同旁内角互补，两直线平行）要点诠释：平行线的判定是由角相等或互补，得出平行，即由数推形.【典型例题】类型一、平行公理及推论1．下列说法中正确的有()①一条直线的平行线只有一条；②过一点与已知直线平行的直线只有一条；③因为a∥b，c∥d，所以a∥d；④经过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行．A．1个 B 2个C．3个D．4个【答案】A【解析】一条直线的平行线有无数条，故①错；②中的点在直线外还是在直线上位置不明确，所以②错，③中b与c的位置关系不明确，所以③也是错误的；根据平行公理可知④正确，故选A．【总结升华】本题主要考察的是“平行公理及推论”的内容，要正确理解必须要抓住关键字词及其重要特征，在理解的基础上记忆，在比较中理解．举一反三：【变式】直线a∥b，b∥c，则直线a与c的位置关系是.【答案】平行类型二、平行线的判定2.（秋•龙岗区期末）已知：如图，∠C=∠1，∠2和∠D互余，BE⊥FD于点G．求证：AB∥CD．21GF B【思路点拨】首先由BE⊥FD，得∠1和∠D互余，再由已知，∠C=∠1，∠2和∠D互余，所以得∠C=∠2，从而证得AB∥CD．【答案与解析】证明：∵BE⊥FD，∴∠EGD=90°，∴∠1+∠D=90°，又∠2和∠D互余，即∠2+∠D=90°，∴∠1=∠2，又已知∠C=∠1，∴∠C=∠2，∴AB∥CD．【总结升华】此题考查的知识点是平行线的判定，关键是由BE⊥FD及三角形内角和定理得出∠1和∠D互余．举一反三：【变式1】（•郑州一模）如图，能判定EC∥AB的条件是（）A．∠B=∠ACE B．∠A=∠ECD C．∠B=∠ACB D．∠A=∠ACE【答案】D.提示：A、两个角不是同位角、也不是内错角，故选项错误；B、两个角不是同位角、也不是内错角，故选项错误；C、不是EC和AB形成的同位角、也不是内错角，故选项错误；D、正确．【变式2】已知，如图，BE平分∠ABC，CF平分∠BCD，∠1＝∠2，求证：AB//CD．【答案】∵∠1＝∠2∴ 2∠1＝2∠2 ，即∠ABC＝∠BCD∴ AB//CD （内错角相等，两直线平行）3.如图所示，由(1)∠1＝∠3，(2)∠BAD＝∠DCB，可以判定哪两条直线平行．【思路点拨】试着将复杂的图形分解成“基本图形”．【答案与解析】解：(1)由∠1＝∠3，可判定AD∥BC（内错角相等，两直线平行）；(2)由∠BAD＝∠DCB，∠1＝∠3得：∠2＝∠BAD-∠1＝∠DCB-∠3＝∠4（等式性质），即∠2＝∠4可以判定AB∥CD（内错角相等，两直线平行）．综上，由（1）（2）可判定：AD∥BC，AB∥CD.【总结升华】本题探索结论的过程采用了“由因索果”的方法．即在条件下探索由这些条件可推导出哪些结论，再由这些结论推导出新的结论，直到得出结果．4.在同一平面内，如果两条直线都垂直于同一条直线，那么这两条直线平行吗？为什么？【答案与解析】解：这两条直线平行.理由如下：如图：∵ b⊥a, c⊥a∴∠1＝∠2＝90°∴b∥c (同位角相等，两直线平行) ．【总结升华】本题的结论可以作为两直线平行的判定方法.举一反三：【变式】已知，如图，EF⊥EG，GM⊥EG，∠1＝∠2，AB与CD平行吗？请说明理由．【答案】解：AB∥CD．理由如下：如图：∵EF⊥EG，GM⊥EG (已知)，∴∠FEQ＝∠MGE＝90°(垂直的定义)．又∵∠1＝∠2(已知)，∴∠FEQ -∠1＝∠MGE -∠2 (等式性质)，即∠3＝∠4．∴AB∥CD (同位角相等，两直线平行)．平行线的判定（基础）巩固练习【巩固练习】一、选择题1.下列关于作图的语句正确的是（）.A．画直线AB=10厘米.B．画射线OB=10厘米.C．已知A，B，C三点，过这三点画一条直线.D．过直线AB外一点画一条直线和直线AB平行.2．下列判断正确的个数是().①过一点有且只有一条直线与已知直线平行；②两条不相交的直线叫做平行线；③在同一平面内不相交的两条射线是平行线．A．0个B．1个C．2个D．3个3．若直线a∥b，b∥c，则a∥c的依据是().A．平行的性质B．等量代换C．平行于同一直线的两条直线平行D．以上都不对4．下列说法中不正确的是().A．同位角相等，两直线平行.B．内错角相等，两直线平行.C．同旁内角相等，两直线平行.D．在同一平面内，垂直于同一条直线的两直线平行.5．如图所示，给出了过直线l外一点P作已知直线l的平行线的方法，其依据是().A．同位角相等，两直线平行B．内错角相等，两直线平行C．同旁内角互补，两直线平行D．以上都不对6．（•福州）下列图形中，由∠1=∠2能得到AB∥CD的是（）A．B．C．D二、填空题7.两条射线或线段平行，是指 .8．如图所示，直线a，b被c所截，∠1＝30°，∠2:∠3＝1:5，则直线a与b的位置关系是________．9．（春•伊宁市校级月考）如图，（1）要证AD∥BC，只需∠B=，根据是；（2）要证AB∥CD，只需∠3=，根据是．10．如图，已知若∠1+∠2=180°，则∠3+∠4= ，AB CD．11．小军在一张纸上画一条直线，再画这条直线的平行线，然后依次画前一条直线的平行线，当他画到第十条直线时，第十条直线与第一条直线的位置关系是________．12.已知直线a、b都过点M，且直线a∥l，b∥l，那么直线a、b是同一条直线，根据是________．三、解答题13.（春•南平期末）已知：如图AB⊥BC，BC⊥CD且∠1=∠2，试说明：BE∥CF．解：∵AB⊥BC，BC⊥CD（已知）∴= =90°（）∵∠1=∠2（已知）∴= （等式性质）∴BE∥CF（）14．（黄石)已知如图，∠ABC＝∠ADC，BF、DE分别是∠ABC、∠ADC的角平分线，∠1＝∠2，那么CD与AB平行吗?写出推理过程．15．如图所示，∠1＝60°，∠2＝60°，∠3＝100°，要使AB∥EF，∠4应为多少度，说明理由．【答案与解析】一、选择题1.【答案】D；2.【答案】A；【解析】①该点若在已知直线上，画不出与已知直线平行的直线；②平行线的定义必须强调在同一平面内，如图①中的AB与CC′不相交，但也不平行．③如图②中，射线AB与射线CD既不相交，也不平行．3．【答案】C；【解析】这是平行线的传递性，其实质是平行公理的推论．4. 【答案】C；【解析】同旁内角互补，两直线平行.5. 【答案】A；【解析】这种作法的依据是：同位角相等，两直线平行．6. 【答案】B；【解析】如图所示：∵∠1=∠2（已知），∴AB∥CD（内错角相等，两直线平行），故选B二、填空题7. 【答案】射线或线段所在的直线平行；8．【答案】平行；【解析】由已知可得：∠2＝30°，所以∠1＝∠2，可得：a∥b.9．【答案】∠1，同位角相等，两直线平行；∠2，内错角相等，两直线平行．10.【答案】180°，∥；【解析】∠1＝∠3，∠2＝4，可得：∠3+∠4＝∠1+∠2＝180°.11.【答案】平行；【解析】平行公理的推论12.【答案】过直线外一点有且只有一条直线与这条直线平行；【解析】这是平行公理的具体内容.三、解答题13.【解析】解：∵AB⊥BC，BC⊥CD（已知），∴∠ABC=∠BCD=90°（垂直的定义），∵∠1=∠2（已知），∴∠3=∠4（等式性质），∴BE∥CF（内错角相等，两直线平行）．故答案为：∠ABC；∠BCD；90°；∠3；∠4；内错角相等，两直线平行．14．【解析】解：CD∥AB．理由如下：∵BF、DE分别是∠ABC、∠ADC的角平分线，∴∠3＝12∠ADC，∠2＝12∠ABC．∵∠ABC＝∠ADC，∴∠3＝∠2．又∵∠1＝∠2，∴∠3＝∠1．∴CD∥AB(内错角相等，两直线平行)．15. 【解析】解：∠4＝100°．理由如下：∵∠1＝60°，∠2＝60°，∴∠1＝∠2．∴AB∥CD．又∵∠3＝∠4＝100°，∴CD∥EF．∴AB∥EF．。
平行线的判定定理习题答案.doc
平行线的判定定理习题精选1 .平行线的判定定理一：_________________________2.平行线的判定定理二： ________________________3.填空。
如图，VAC1AB, BD1AB （已知）.\ZCAB = ZVZCAE=ZDBF （已知）AZBAE=ZA ZCAB=90° , Z =90°4.己知，如图Zl + Z2=180° ,填空。
VZl + Z2=180°又Z2=Z3 （/•Zl + Z3=180°5.如图,填空。
A DB10.如图，已知：ZAOE+ZBEF=180° , ZAOE+ZCDE= 180° ,求证：CD 〃BE 。
(1) ZA 与 互补，贝(2) ZA 与 互补，贝6.下列命题中，不正确的是（A .如果两条直线都和第三条宜线平行，那么两条直线也互相平行B. 两条直线被第三条直线所截，如果同位角相等，那么两直线平C. 两条直线被第三条直线所截，如果内错角互补，那么两直线必平D. 两条直线被第三条直线所截，如果两直线不平行，那么内错伯必不相如图，直线a 、b 被直线c 所截，给出下列条件，①Z1 = Z2,②匕3=匕6,③Z4+Z7=180° + Z8=180°其中能判断a//b 的是（7. A. ①③ B.②④AB 〃8.已知: 如图, Z1 = ZA, Z2= ZC,求证: 9. 如图, 已知: Zl + Z2=180°11.如图，已知:13.已知：如图,14.已知：如图: 求证：GH〃MN。
ZA=Z1, ZC=Z2o 求证：求证：AB〃CD。
AB±BC, Zl + Z2=90° , Z2=Z3o 求证：BE〃DF。
ZAHF+ZFMD=180°, GH 平分ZAHM, MN 平分ZDMHo12.如图，巳知: Zl = ZC+ZEo 求证：ACz/BDoD答案1.内错角相等，两宜线平行2.同旁内角互补，两直线平行3.略4.略5.（1） ZD CD 同旁内角互补两直线平行（2） ZB BC 同旁内角互补，两直线平行6. C7. D8.VZ1 = ZA, Z2=ZC, XZ1 = Z2 （对顶角相等）,AZA=ZC （等量代换）,AAB/7CD （内错角相等，两直线平行）。
平行线的判定及性质 例题及练习
平行线的判定及性质一、【基础知识精讲】1、平行线的判定（1）平行公理：经过直线外一点，有且只有一条直线与已知直线平行. （2）平行公理的推论：平行于同一条直线的两条直线. （3）在同一平面内，垂直于同一条直线的两条直线. （4）同位角相等，两直线平行. （5）内错角相等，两直线平行.（6）同旁内角互补，两直线平行.3、平行线的性质（1）两直线平行，同位角相等. （2）两直线平行，内错角相等.（3）两直线平行，同旁内角互补.二、【例题精讲】专题一：余角、补角、对顶角与三线八角例题1：∠A的余角与∠A的补角互为补角，那么2∠A是（）A．直角 B.锐角 C.钝角 D.以上三种都有可能【活学活用1】如图2-79中，下列判断正确的是（）A.4对同位角，2对内错角，4对同旁内角B.4对同位角，2对内错角，2对同旁内角C.6对同位角，4对内错角，4对同旁内角D.6对同位角，4对内错角，2对同旁内角【活学活用2】如图2-82，下列说法中错误的是( )A.∠3和∠5是同位角B.∠4和∠5是同旁内角C.∠2和∠4是对顶角D.∠1和∠2是同位角【活学活用3】如图,直线AB与CD交于点O,OE⊥AB于O,图中∠1与∠2的关系是（）A.对顶角B.互余C.互补D相等例题2：如果两个角的两边分别平行，而其中一个角比另一个角的4倍少30°，那么这两个角分别是_______.【活学活用4】如图，∠AOC +∠DOE +∠BOF = .专题二：平行线的判定例题3：如图，已知∠EFB+∠ADC=180°，且∠1=∠2，试说明DG ∥AB.1 2A BCDF E G【活学活用】1、长方体的每一对棱相互平行，那么这样的平行棱共有 ( )A ．9对B ．16对 C.18对 D ．以上答案都不对2、已知:如图2-96,DE ⊥AO 于E,BO ⊥AO,FC ⊥AB 于C ，∠1=∠2,求证：DO ⊥AB.3、如图2-97,已知：∠1=∠2=，∠3=∠4，∠5=∠6.求证:AD ∥BC.4、如图2—101，若要能使AB ∥ED ，∠B 、∠C 、∠D 应满足什么条件?ABCDOE F5、同一平面内有四条直线a 、b 、c 、d ，若a ∥b ，a ⊥c ，b ⊥d ，则c 、d 的位置关系为（ ） A.互相垂直 B ．互相平行 C.相交 D ．没有确定关系专题三：平行线的性质1、如图，110,ABC ACB BO ∠+∠=、CO 分别平分ABC ∠和,ACB EF ∠过点O 与BC 平行，则BOC ∠= . 2、如图，AB //CD ，BC //DE ，则∠B+∠D = .3、如图，直线AB 与CD 相交于点O ，OB 平分∠DOE .若60DOE ∠=，则∠AOC 的度数是 .4、 如图，175,2120,375∠=∠=∠=，则4∠= .13 425、如图，//AB CD ，直线EF 分别交AB 、CD 于E 、F ，ED 平分BEF ∠，若172∠=，则2∠= .【例题讲解】例1：如图，已知：AD ∥BC, ∠AEF=∠B,求证：AD ∥EF 。
平行线的判定练习题(有答案)
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平行线的判定练习题(有答案)篇一：(913)平行线的判定专项练习60题(有答案)ok平行线的判定专项练习60题（有答案)1．已知：如图，BE平分∠ABC，∠1=∠2．求证：BC∥DE．2．如图，已知∠A=∠F，∠C=∠D，试说明BD∥CE．3．如图所示，AB⊥BC，BC⊥CD，BF和CE是射线，并且∠1=∠2，试说明BF∥CE．4．如图，AB⊥BC，∠1+∠2=90°，∠2=∠3，求证：BE∥DF．5．如图，OP平分∠MON，A、B分别在OP、OM上，∠BOA=∠BAO，那么AB平行于ON吗？若平行，请写出证明过程；若不平行，请说明理由．6．已知：如图，∠1=∠2，∠A=∠C．求证：AE∥BC．平行线的判定---第1页共1页7．已知，如图B、D、A在一直线上，且∠D=∠E，∠ABE=∠D+∠E，BC是∠ABE的平分线，求证：DE∥BC．8．如图，已知∠AEC=∠A+∠C，试说明：AB∥CD．9．如图，已知AC∥ED，EB平分∠AED，∠1=∠2，求证：AE∥BD．10．如图，直线AB、CD与直线EF相交于E、F，已知：∠1=105°，∠2=75°，求证：AB∥CD．11．如图，∠D=∠A，∠B=∠FCB，求证：ED∥CF．12．如图，已知AB⊥BC，CD⊥BC，∠1=∠2，求证：EB∥FC．平行线的判定---第2页共2页13．如图所示所示，已知BE是∠B的平分线，交AC于E，其中∠1=∠2，那么DE∥BC吗？为什么？14．如图，已知∠C=∠D，DB∥EC．AC与DF平行吗？试说明你的理由．15．如图，AC⊥AE，BD⊥BF，∠1=35°，∠2=35°，求证：AE∥BF．16．如图，已知AB∥CD，∠1=∠2，求证：BE∥CF．17．已知∠BAD=∠DCB，∠1=∠3，求证：AD∥BC．18．如图，AD是三角形ABC的角平分线，DE∥CA，并且交AB 与点E，∠1=∠2，DF与AB是否平行？为什么？平行线的判定---第3页共3页19．如图，已知：∠C=∠DAE，∠B=∠D，那么AB平行于DF 吗？请说明理由．20．如图，已知点B在AC上，BD⊥BE，∠1+∠C=90°，问射线CF与BD平行吗？说明理由．21．已知∠1的度数是它补角的3倍，∠2等于45°，那么AB∥CD吗？为什么？22．已知：如图，BDE是一条直线，∠ABD=∠CDE，BF平分∠ABD，DG平分∠CDE，求证：BF∥DG．23．如图，四边形ABCD中，∠A=∠C=90°，BF、DE分别平分∠ABC、∠ADC．判断DE、BF是否平行，并说明理由．24．如图，若∠CAB=∠CED+∠CDE，求证：AB∥CD．25．如图，CD⊥AB，GF⊥AB，∠1=∠2．试说明DE∥BC．平行线的判定---第4页共4页26．如图所示，∠CAD=∠ACB，∠D=90°，EF⊥CD．试说明：∠AEF=∠B．27．已知：如图所示，C，P，D三点在同一条直线上，∠BAP+∠APD=180°，∠E=∠F，求证：∠1=∠2．28．如图，∠D=∠1，∠E=∠2，DC⊥EC．求证：AD∥BE．29．如图，在四边形ABCD中，∠A=∠C，BE平分∠ABC，DF平分∠ADC，试说明BE∥DF．30．已知：如图，∠1=∠2，∠A=∠F，则∠C与∠D相等吗？试说明理由．31．如图，在四边形ABCD中，∠A=∠C=90°，∠1=∠2，∠3=∠4，求证：BE∥DF．平行线的判定---第5页共5页篇二：七年级平行线的判定与性质练习题带答案平行线测试题姓名：一、选择题1．下列命题中，不正确的是____[]A．两条直线被第三条直线所截，如果同位角相等，那么这两条直线平行B．两条直线被第三条直线所截，如果同旁内角互补，那么这两条直线平行C．两条直线被第三条直线所截，那么这两条直线平行D．如果两条直线都和第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行2．如图，可以得到DE∥BC的条件是______[]（2题）（5题）（3题）(7题)（8题）A．∠ACB=∠BACB．∠ABC+∠BAE=180°C．∠ACB+∠BAD=180°D．∠ACB=∠BAD3．如图，直线a、b被直线c所截，现给出下列四个条件:(1)∠1=∠2(2)∠3=∠6(3)∠4+∠7=180°(4)∠5+∠8=180°，其中能判定a∥b的条件是_________[]A．(1)(3)B．(2)(4)C．(1)(3)(4)D．(1)(2)(3)(4) 4．一辆汽车在笔直的公路上行驶，两次拐弯后，行驶的方向与原来的方向相同，这两次拐弯的角度可能是________[]A．第一次向右拐40°，第二次向左拐40°B．第一次向右拐50°，第二次向左拐130°C．第一次向右拐50°，第二次向右拐130°D．第一次向左拐50°，第二次向左拐130°5．如图，如果∠1=∠2，那么下面结论正确的是_________．[] A．AD∥BCB．AB∥CDC．∠3=∠4D．∠A=∠C6．同一平面内有四条直线a、b、c、d，若a∥b，a⊥c，b⊥d，则直线c、d的位置关系为（）A．互相垂直B．互相平行C．相交D．无法确定7．如图，在平行四边形ABCD中，下列各式不一定正确的是（）A．∠1+∠2=180°B．∠2+∠3=180°C．∠3+∠4=180°D．∠2+∠4=180°8．如图，AD∥BC，∠B=30°，DB平分∠ADE，则∠DEC的度数为（）A．30°B．60°C．90°D．120°二、填空题9．如图，由下列条件可判定哪两条直线平行，并说明根据．(1)∠1=∠2，．(2)∠A=∠3，．(3)∠ABC+∠C=180°．10．如果两条直线被第三条直线所截，一组同旁内角的度数之比为3∶2，差为36°，那么这两条直线的位置关系是________．11．同垂直于一条直线的两条直线_______．同一平面内，不重合的两直线的位置关系是。
平行线的判定(含答案)
1.2平行线的判定(1)【要点预习】1.平行线的判定 1.两条直线被第三条直线所截 ,如果相等 , 那么这两条直线平行.简单地说 ,相等 ,两直线平行 .2.平行线的判定 1 的特殊情形：在同一平面内 ,于同一条直线的两条直线互相平行 .【课前热身】1.两条平行线被第三条直线所截,共有对同位角 .答案：42.街道两侧路灯的柱子的位置关系是.答案：平行3. 如图1，直线 AB 、 CD被直线EF 所截，如果∠1＝∠ 2，则.理由是（） .答案：AB∥ CD 同位角相等 , 两直线平行图 14.在同一平面内 ,若a b, a c ,则 a 与 c 的位置关系是.答案：a∥ c【讲练互动】【例 1】如图2,直线AB,CD 被直线 EF, GH 所截 ,下列结论： (1)若∠ 1=∠2, 则 AB ∥CD ；(2)若∠ 1=∠ 2, 则 EF∥ GH；(3)若∠ 1=∠3, 则 AB ∥CD ；(4) 若∠ 1=∠ 3, 则 EF ∥GH. 其中正确的是（）A. (1)(3)B. (1)(4)C. (2)(3)D. (2)(4)图 2【解析】∠1 与∠ 2 是直线 EF, GH 被 AB 所截得到的同位角；∠1与∠3是 AB,CD 被 EF 所截形成的同位角 .【答案】 C【变式训练】A D1. 如图 3 所示 ,如果∠ D=∠ EFC, 那么（）E FA.AD ∥ BCB.EF ∥ BCC.AB ∥DCD.AD ∥ EF B C图 3【答案】 D【例 2】如图4，直线a, b被直线c所截,且∠2+∠3＝180o，则a∥b吗?请说明理由.【分析】只要说明同位角∠1=∠ 3 即可 .【解】∵∠ 2+∠ 3=180o, ∠ 1+∠2=180o, ∴∠ 1=∠3, ∴ a∥ b.【绿色通道】利用转化思想是解决平行线问题主要方法.图 4【变式训练】2. 如图 5, 已知直线 EF 和 AB, CD 分别相交于 K, H, 且 EG E⊥AB, ∠ CHF=60o, ∠ E=30o, 试说明 AB ∥ CD.KA BG 【解】∵ EG⊥ AB, ∴∠ EGK =90o. ∵∠ E=30o, ∴∠ EKG =60o.H DC∵∠ CHF =60o, ∠ CHF =∠EHD , ∴∠ EHD =60o.F图 5∴∠ EKG=∠ EHD , ∴ AB∥ CD .【例 3】如图6,在海上有两个观测所 A 和 B,且观测所 B 在 A 的正东方向 .若在 A 观测所测得船 M 的航行方向是北偏东 50o,在 B 观测所得船 N 的航行方向也是北偏东 50o,问船 M 的航向 AM 与船 N 的航向 BN 是否平行 .请说明理由 .C 【解】AM 与 BN 平行.∵∠ MAC=∠ NBC=50o, ∴ AM ∥BN .图6【变式训练】3.一辆货车在仓库装满货物准备运往超市，驶出仓库门口后开始向东行驶，途中向右拐了 50o 角，接着向前行驶，走了一段路程后，又向左拐了50o 角，如图所示 . 此时汽车和原来的行驶方向相同吗？你的根据是什么？【解】相同 . 理由如下：∵∠ AOB=∠ A/O/B/=50o, ∴OA∥ O/A/ ,即汽车和原来的行驶方向相同 .图 7【同步测控】基础自测1.如图 8,若∠ ADE= ∠ ABC, 则（）A.DE ∥ BFB.DC ∥ BFC.DE∥ BCD.DC ∥BC2.8,ACD= F,A. DE BFB. DC BFC. DE BCD. DC BCFE A A ED图 8DB CB C图 9图 10图 113.9EBACA.CABEB.AEBDC. CABCD.AABE4.101=52oC=AB CD.5.l 1 l2 l3 l2l1l 3..6.11AD∥BC7.1212=180ol1 l 2..l3 23=1l 1 12=180o3l2 1=2图 12 l1 l 2.8.13,ABC AC D. D DE BC,AB E;DF AB,BCF.AB C图 139.14ABC DEC BP ABC EF DEC.图 1410.15, ABC , D, E AC, BC . C=30o, CDE=115o, B=35o, DEAB ? .图 151112 1 50o2A. 50°B. 130 °C. 50° 130°D.12.,,,A. C.40o,40o,140o140oB. D.40o,40o,40o40°13.16, A, B, C, D,E,F.A=50o,E=70o,FBD=30o,CE DF,F=.图 16图 17图 1814.17,AB BC,1=126o,2=, l1 l2.15.18,ABCAEDAC.(1)BC 40o AE BC.(2)BC xoxDAEAE, BC16.如图 19,已知∠ 1=∠ 2, DE ⊥ AB, CF ⊥AB. 判断 FG 与 BC 是否平行 ,并请说明你的理由 .图 19创新应用17.甲、乙两车分别从 A 、B 两个车站出发 .甲车朝北偏东 60o 方向直线行驶 ,乙车朝南偏西 60o 方向行驶 .这两车的路线互相平行吗 ?请画出行驶路线示意图 ,并说明理由 .北CB132A4D参考答案1.8,ADE= ABC,A.DE BFB.DC BFC.DE BCD.DC BCCFE A A ED图 8D B CB C图 9图 10图 112.8,ACD= F,A. DE BFB. DC BFC. DE BCD. DC BCB3.9EBACA.CABEB.AEBDC. CABCD.AABED4.101=52oC=AB CD.525.l 1 l2 l3 l2l1l 3..,.6.11AD∥BCFAD= FBC , ADB = DBC7.1212=180ol1 l 2..l323=1l 112=180o3l2 21=图 12 l1 l 2.180o3,8.13,ABCAC D. DDE BC, ABE; DF AB, BCF..AAE DB CBF C图 139.14ABC DEC BP ABC EF DEC.ABC DEC AB DE.BPABC EFDECCBP= 1ABC,CEF =1DEC , 22CBP= CEF ,BP EF.图1410.15,ABC,D, E AC, BC.C=30o,CDE=115o,B=35o,DE AB?..C=30o,CDE=115o,DEC=35o.B=35o,B= DEC ,DE AB.图 15 1112 1 50o2A. 50°B. 130 °C. 50° 130°D.D12.,,,A.40o,140oB.40o,40oC.40o,140oD.40o,40°B13.16, A, B, C, D, E, F.A=50o, E=70o,FBD=30o,CE DF,F=.90图16图17图18图1914.如图 17, 已知 AB ⊥BC, ∠ 1=126o, 当∠ 2=度时, l1∥ l2.答案：3615.如图 18,在△ ABC 中， AE 是外角∠ DAC 的平分线 .(1) 已知∠ B＝∠ C＝ 40o， AE 、 BC 是否平行？请说明理由.(2)已知∠ B＝∠ C＝ xo，试用 x 的代数式表示∠ DAE 的度数，并说明 AE, BC 是否平行？解：(1) ∵∠ B=∠ C=40o, ∴∠ DAC=80o. ∵ AE 平分∠ DAC , ∴∠ DAE =40o.∴∠ DAE=∠ B, ∴ AE∥ BC.(2) ∵∠ B=∠ C= x o, ∴∠ DAC =2 x o. ∵ AE 平分∠ DAC , ∴∠ DAE = x o.∴∠ DAE=∠ B, ∴ AE∥ BC.16.如图 19,已知∠ 1=∠ 2, DE⊥ AB, CF ⊥AB. 判断 FG 与 BC 是否平行 ,并请说明你的理由.解：平行 . 理由如下：∵ DE⊥ AB, ∴∠ DEB =90o, ∴∠ B=90o-∠ 1.∵ CF⊥ AB, ∴∠ CFB =90o, ∴∠ AFG =90o-∠ 2.又∵∠ 1=∠ 2, ∴∠ B=∠AFG , ∴FG ∥ BC.创新应用17.甲、乙两车分别从 A 、B 两个车站出发 .甲车朝北偏东60o 方向直线行驶 ,乙车朝南偏西 60o 方向行驶 .这两车的路线互相平行吗 ?请画出行驶路线示意图,并说明理由 .解：如图 , ∠ 1=∠ 2=60o.北∵∠ 2+∠ 3=90o, ∠ 3+∠ 4=90o,C∴∠ 4=∠ 2=60o=∠ 1, ∴ AC∥ BD .B1 3 2A4D花全开，意味着就要开始凋谢；月全圆，就代表着要开始残缺。
平行线的判定训练题(附答案)
平行线的判定训练题(附答案)
平行线的判定训练题(附答案) 以下是查字典数学网为您推荐的平行线的判定训练题(附答案)，希望本篇文章对您学习有所帮助。
平行线的判定训练题(附答案)
一、选择题:(每小题3分 ,共15分)
1.如图1所示,下列条件中,能判断AB∥CD的是( )
A.BAD=BCD
B.2;
C.4
D.BAC=ACD
(1) (2) (3)
2.如图2所示,如果EFC,那么 ( )
A.AD∥BC
B.EF∥BC
C.AB∥DC
D.AD∥ EF
3.如图3所示,能判断AB∥CE的条件是( )
A.ACE
B.ECD
C.BCA
D.ACE
4.下列说法错误的是( )
A.同位角不一定相等
B.内错角都相等
C.同旁内角可能相等
D.同旁内角互补,两直线平行
5.不相邻的两个直角,如果它们有一边在同一直线上,那么另一边相互( )
A.平行
B.垂直
C.平行或垂直
D.平行或垂直或相交
二、填空题:(每小题3分,共9分)
1.在同一平面内,直线a,b相交于P,若a∥c,则b与c的位置关系是______.
2.在同一平面内,若直线 a,b,c满足ab,ac,则b与c的位置
三、1.解:∵AC平分DAB,
CAB,
又∵2,
CAB=2,
AB∥CD.
3. 解:∵EGAB ,E=30,
AKF=EKG=60CHF,
AB∥CD.
四、解:平行.
∵2,
a∥b,
又∵4=180,
b∥ c,
a∥c.
五、6,2= 3=4=3=4=3+5=1806=180
六、A.。
(新人教版)数学七年级下册：5.2.2《平行线的判定》例题及练习(含答案)
平行线的判定一、学习目标会用平行线的判定定理判定两直线平行。
1、会用同位角相等，或内错角相等，或同旁内角互补判定两条直线平行。
2、能利用平行线判定的三个方法，进行较简单的综合运用和推理。
二、要点指津我们已经学习了四种证明两条直线平行的方法。
同位角相等，两直线平行，内错角相等，两直线平行，同旁内角互补，两直线平行，如果两条直线都和第三条直线平行，那么这两条直线也平行。
这四种方法是解题中常用的，要根据题目的不同条件，灵活选择方法。
三、例题分析[例1]如图，直线a、b被直线c所截，∠1=∠2，判断a、b的位置关系，如何证明？解题思路：∠1和∠2不是同位角、不是内错角、不是同旁内角。
应借助对顶角，转化成如上两种角的关系，来证明a∥b。
解：∵∠1=∠2（已知），∠1=∠3（对顶角相等）∴∠2=∠3∴a∥b（同位角相等，两直线平行）[例2]我们不能直接利用定义来判断两直线是否平行，因此，我们寻找另外一些判断方法。
看模型，将木条a，c固定在一起，转动b木条，可以看到当b转动到不同的位置时，∠2的大小也随之变化，换句话说，当∠2从小变大时，直线b使从原来在右边与直线a相交，变到在左边与a相交，在这个过程中，存在一个与a不相交，即与a平行的位置,那么∠2多大时，a//b呢？如图所示提示：从上节画平行线的过程可以看出，画平行线的过程，实际上是过P点画∠DHG=∠BGF 的过程，而∠DHG和∠BGF正是直线AB，CD被EF截得的同位角，这就是说，如果同位角相等，那么两直线平行。
参考答案：公理：两条直线被第三条直线所截，如果同位角相等，那么两直线平行。
简单说成：同位角相等，两直线平行。
说明：上述情境中的∠2的大小应与a与c所夹的角相等时，a//b。
即同位角相等，两直线平行。
[例3]两条直线被第三条直线所截，同时得到同位角，内错角，同旁内角。
我们已经知道，由同位角相等，可以判定两条直线平行，那么能不能利用内错角或同旁内角判定两条直线平行呢？提示：直线a,b被C所截，∠1与∠2是同位角，∠2与∠3是内错角，∠1与∠3是对顶角，如果∠3=∠2，由∠3=∠1可得到∠1=∠2，于是a//b。