抽样技术题目

一、 简单随机抽样

1、在简单随机抽样中，试证明比估计R y 是总体均值Y 的渐近无偏估计，并求其方差。

证明：X R Y = X x

y

X R Y y R =

==∧

∧

()

⎪⎭

⎪⎬⎫

⎪⎩⎪⎨

⎧⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡

⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭

⎫

⎝

⎛-+⎪⎪⎭⎫

⎝

⎛-+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=⎥⎥⎥⎥⎥⎦

⎤⎢⎢⎢⎢⎢

⎣⎡

⎪⎪⎭⎫ ⎝

⎛-+=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=2

2

11X X x o X X x X X x X y E X X X x X y

E X X x y E y E R

由于0−→−-P

X x 即0→-X X

x 所以()()

Y y E X y E X y E R ==⎪⎪⎭

⎫ ⎝⎛= 得证。 由于0−→−

-P

X x 即0→-X

X

x 所以()

()()

2

22

2

1Z R

S n f x R y Var x R y E X x R y E X y Var -=-=-=⎪⎪⎭

⎫ ⎝⎛-= 其中：RX Y Z -=故()

()()(

)[]()

2

222

1

2111X

XY Y N i i i R

S R RS S

n

f

X R Y RX Y N n f y Var +--=-----=∑= 2、对于简单随机抽样，总体均值Y 的回归估计量定义为：()lr y y X x β=+-，如β为常数(记为

β)，证明

证明：

3、在简单随机抽样中，已知变量总体均值Y 的回归估计量定义为)(x X y y lr -+=β，若β为常数（记为0β），且有Y y E lr =)(, 求证：（1）)2(1)(02

202xy x y lr S S S n

f y V ββ-+-=

（2）使)(lr y V 最小的0β为x

y x

xy S S S

S ρ

β==

20；其中y

x xy S S S =

ρ.

证明：（1）[]∑=--+--=N i i

i lr Y X X Y N n f y V 1

2

0)(111)(β （2）求)(lr y V 对0β的偏导数：

将0β的值代入)(lr y V ，验证其最小值存在，此时

4、研究某小区家庭用于文化方面（报刊、电视、网络、书籍等）的支出，N=200，现抽取一个容量为20的样本，调查结果列于下表：

编号 文化支出 编号 文化支出 1 200 11 150 2 150 12 160 3 170 13 180 4 150 14 130 5 160 15 100 6 130 16 180 7 140 17 100 8 100 18 180 9 110 19 170 10

240

20

120

估计该小区平均的文化支出Y ,并给出置信水平95%的置信区间。 解析：由已知得：200=N 20=n

根据表中数据计算得：5.14420120

1

==∑=i i y y 因此该小区平均文化支出Y 的95%置信区间为：])(y [2

y V z α±即是：[ ,]，故估计该小区平

均的文化支出Y =,置信水平95%的置信区间为[ ,]。

5、某地区对本地100家化肥生产企业的尿素产量进行调查，一直去年的总产量为2135吨，抽取10个企业调查今年的产量，得到25=y ，这些企业去年的平均产量为22=x 。试估计今年该地区化肥总产量。

解析：由题可知22x =，

35.211002135

===

N X X ,25y =

则，该地区化肥产量均值Y 的比率估计量为

26

.242425

35.21===∧

x y X

Y

该地区化肥产量总值Y 的比率估计量为 242626.24*100ˆˆ===R Y N Y 所以，今年该地区化肥总产量的估计值为2426吨。

二、 分层随机抽样

6、在分层随机抽样的分别比估计中：（1）试证明Y y E RS =)(；（2）求出其方差。

（1） 证明：根据题意： ∑∑∑======L

h h

h h L h h h h L

h h h h

h RS R E X W X R W E X x y W E y E 1

11)ˆ()ˆ()()(Θ

又h h h X Y R E =

)ˆ(ΘY Y W X Y E X W h L

h h L h h h

h h ===∴∑∑==1

1)(上式 综上可得：Y y E RS =)( （2） 解：由第一问可知)ˆ()ˆ()(1

21

h

h L

h h L h h h h RS X R V W X R W V y V ∑∑==== 而)2(1)()ˆ(222x yx y S R RS S n

f y V X R V +--==)2(1)(22212xh h yxh h yh h h L

h h RS S R S R S n f W y V +--⋅=∴∑= 8、调查某地区居民的奶制品年消费支出，以居民户为抽样单元，根据经济及收入水平将居民户划分为4层，每层按简单随机抽样抽取10户，调查后各层样本户的奶制品年消费支出的中间结果如下表所示：

请估计该地区居民奶制品的年消费总支出及其95%的置信区间。 解析：根据表中的数据可得4

_

^

1

209650()st h h h Y N y ===∑元；

估计量方差^()st V Y 的无偏估计为^

281

()()/ 5.38610L

st h h h h h h v Y N N n s n ==-≈⨯∑，

进而有23207.6()≈≈元。

^

st Y 的95%的置信区间为^0.025st Y z ±0.025z =，经计算可得

因此，可以有95%的把握认为该地区居民奶制品的年消费总支出在164163~255137元之间。 7、试述分别比估计和联合比估计的比较。

答：如果每一层都满足比率估计量有效的条件，则除非hRR ，都有分别比率估计量的方差小于联合比率估计量的方差。但当每层的样本量不太大时，还是采用联合比率估计量更可靠些，因为这时分别比率估计量的偏倚很大，从而使总的均方误差增大。

实际使用时，如果各层的样本量都较大，且有理由认为各层的比率hR 差异较大，则分别比率佑计优于联合比率估计。当各层的样本量不大，或各层比率hR 差异很小，则联合比率估计更好些。

三、 等概率整群抽样和多阶段抽样