余弦定理

1.1.2余弦定理

教学重点余弦定理的发现和证明过程及其基本应用.

教学难点 1.向量知识在证明余弦定理时的应用,与向量知识的联系过程;

2.余弦定理在解三角形时的应用思路;

3.勾股定理在余弦定理的发现和证明过程中的作用．

教具准备幻灯片

三维目标

一、知识与技能

1.掌握余弦定理的两种表示形式及证明余弦定理的向量方法;

2.会利用余弦定理解决两类基本的解三角形问题;

3.能利用计算器进行运算.

二、过程与方法

1.利用向量的数量积推出余弦定理及其推论;

2.通过实践演算掌握运用余弦定理解决两类基本的解三角形问题.

三、情感态度与价值观

1.培养学生在方程思想指导下处理解三角形问题的运算能力；

2.通过三角函数、余弦定理、向量的数量积等知识间的关系，来理解事物之间的普遍联系与辩证统一．

教学过程

导入新课

师上一节,我们一起研究了正弦定理及其应用,在体会向量应用的同时,解决了在三角形已知两角、一边和已知两边与其中一边对角这两类解三角形问题.当时对于已知两边夹角求第三边问题未能解决,下面我们来看幻灯片,如图(1)，在直角三角形中,根据两直角边及直角可表示斜边,即勾股定理,那么对于任意三角形,能否根据已知两边及夹角来表示第三边呢?下面我们根据初中所学的平面几何的有关知识来研究这一问题.

在△ABC中,设BC=A,AC=B,AB=C,试根据B、C、A来表示A.

师由于初中平面几何所接触的是解直角三角形问题，所以应添加辅助线构成直角三角形，在直角三角形内通过边角关系作进一步的转化工作，故作CD垂直于AB于D，那么在Rt△BDC中，边A可利用勾股定理用CD、DB表示,而CD可在Rt△ADC中利用边角关系表示,DB可利用AB-AD转化为AD,进而在Rt△ADC内求解.

解：过C作CD⊥AB,垂足为D,则在Rt△CDB中,根据勾股定理可得

a2=CD2+BD2.

∵在Rt△ADC中,CD2=b2-AD2,

又∵BD2=(c-AD)2=c2-2c·AD+AD2,

∴a2=b2-AD2+c2-2c·AD+AD2=b2+c2-2c·AD.

又∵在Rt△ADC中,AD=b·cO s A,

∴a2=b2+c2-2ab c os A.

类似地可以证明b2=c2+a2-2caco s B.

c2=a2+b2-2ab c os C.

另外,当A为钝角时也可证得上述结论,当A为直角时，a2+b2=c2也符合上述结论,这也正是我

们这一节将要研究的余弦定理,下面我们给出余弦定理的具体内容.(给出幻灯片)

推进新课

1.余弦定理:三角形任何一边的平方等于其他两边平方的和减去这两边与它们夹角的余弦的积的两倍.

在幻灯片中我们可以看到它的两种表示形式: 形式一:

a 2=

b 2+

c 2

-2bcco s A , b 2=c +a 2-2caco s B , c 2=a 2+b 2-2abco s C . 形式二: bc a

c b A 2cos 2

2

2

-+=

,

ca b

a c B 2cos 2

2

2

-+=,

ab

c

b a C 2cos 2

2

2

-+=.

师 在余弦定理中,令C =90°时,这时co s C =0,所以c 2

=a 2

+b 2

,由此可知余弦定理是勾股定理的推

广.另外,对于余弦定理的证明,我们也可以仿照正弦定理的证明方法二采用向量法证明,以进一步体会向量知识的工具性作用. [合作探究]

2.向量法证明余弦定理 (1)证明思路分析

师 联系已经学过的知识和方法，可用什么途径来解决这个问题？

用正弦定理试求，发现因A 、B 均未知，所以较难求边C ．由于余弦定理中涉及到的角是以余弦形式出现,从而可以考虑用向量来研究这个问题．由于涉及边长问题，那么可以与哪些向量知识产生联系呢?

生 向量数量积的定义式a ·b =|a ||b |co sθ,其中θ为A 、B 的夹角.

师 在这一点联系上与向量法证明正弦定理有相似之处,但又有所区别.首先因为无须进行正、余弦形式的转换,也就少去添加辅助向量的麻烦.当然,在各边所在向量的联系上仍然通过向量加法的三角形法则,而在数量积的构造上则以两向量夹角为引导,比如证明形式中含有角C ,则构造CA CB ∙这一数量积以使出现CO s C .同样在证明过程中应注意两向量夹角是以同起点为前提.

(2)向量法证明余弦定理过程:

如图，在△ABC 中,设AB 、BC 、CA 的长分别是c 、a 、b . 由向量加法的三角形法则，可得BC AB AC +=,

∴

,

cos 2)1802)()(2

2

2

2

a B ac c B BC

BC AB AB BC AB BC AB AC AC +-=+-︒+=+∙+=+∙+=∙即B 2=C 2+A 2

-2AC CO s B . 由向量减法的三角形法则，可得AB

AC BC -=,

∴

2

2

2

2

cos 22)()(c A bc b A AB

AB AC AC AB AC AB AC BC BC +-=+-=+∙-=-∙-=∙即a 2=b 2+c 2-2bcco s A .

由向量加法的三角形法则,可得BC AC CB AC AB -=+=,

∴

,

cos 22)()(2

2

2

2

2

a C ba

b C AC

BC

BC AC AC BC AC BC AC AB AB +-=+∙-=+∙-=-∙-=∙即c 2=a 2+b 2-2abco s C .

[方法引导]

(1)上述证明过程中应注意正确运用向量加法(减法)的三角形法则. (2)在证明过程中应强调学生注意的是两向量夹角的确定,AC 与

AB

属于同起点向量,则

夹角为A ;AB 与BC 是首尾相接,则夹角为角B 的补角180°-B ;AC 与BC 是同终点,则夹角仍是角C .

[合作探究]

师 思考：这个式子中有几个量？从方程的角度看已知其中三个量，可以求出第四个量，能否由三边求出一角？ 生（留点时间让学生自己动手推出）从余弦定理，又可得到以下推论： ba

c

a b C ac

b

c a B bc

a

c b A 2cos ,2cos ,2cos 2

222

222

2

2

-+=

-+=

-+=

.

师 思考：勾股定理指出了直角三角形中三边平方之间的关系，余弦定理则指出了一般三角形中三边平方之间的关系，如何看这两个定理之间的关系？ 生（学生思考片刻后会总结出）若△ABC 中，C =90°，则co s C =0，这时c 2=a 2+b 2.由此可知余弦定理是勾股定理的推广，勾股定理是余弦定理的特例．

师 从余弦定理和余弦函数的性质可知，在一个三角形中，如果两边的平方和等于第三边的平方，那么第三边所对的角是直角；如果两边的平方和小于第三边的平方，那么第三边所对