江苏省苏南四市(苏州、无锡、常州、镇江)2010届高三一模数学试卷

2010年苏、锡、常、镇四市高三教学情况调查（一）

数学Ⅰ试题

命题单位：常州市教育教研室 2010．3

参考公式：

样本数据12x x ,，…，n x 的方差2

2

1

1()

n

i i s x x n

==

-∑

，其中x =

1

1n

i

i x n

=∑

．

一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分．请把答案填写在答题卡相应位．．．．．．

置上．．

． 1． 函数()2sin(3π1)f x x =-(x ∈R)的最小正周期为 ▲ ．2． 若2(1i)1+i a b +=-（a b ∈R ,，i 是虚数单位），则i a b += ▲ ．

3． 某地区在连续7天中，新增某种流感的数据分别为4，2，1，0，0，0，0，则这组数据

的方差2s = ▲ ．

4． 已知两个单位向量1e ,2e 的夹角为120

，若向量122=+a e e ，14=b e ，则⋅a b = ▲ ． 5． 已知集合π

,0,1,2,3,4,5,62n A x x n ⎧

⎫

==

=⎨⎬⎩⎭

，若从A 中任取一个元素x ，则恰有cos 0x =的

概率为 ▲ ．

6． 在平面直角坐标系xOy 中，已知双曲线C ：

22

2

1x y a

-=（0a >）的一条渐近线与直线l ：

210x y -+=垂直，则实数=a ▲ ．

7． 设,a b 为不重合的两条直线，,αβ为不重合的两个平面，给出下列命题： （1）若a ∥α且b ∥α，则a ∥b ；（2）若a α⊥且b α⊥，则a ∥b ； （3）若a ∥α且a ∥β，则α∥β；（4）若a α⊥且a β⊥，则α∥β．

上面命题中，所有真命题．．．的序号是 ▲ ． 8． 若等差数列{}n a 的公差为d ，前n 项的和为n S ，则数列{

}n S n

为等差数列，

公差为2

d ．类

似地，若各项均为正数的等比数列{}n b 的公比为q ，前n 项的积为n T

，则数列为等比数列，公比为 ▲ ．

9． 已知集合{}20A x x x x =-∈,R ≤，设函数2x f x a -=+()（x A ∈）的值域为B ，若B A ⊆，

则实数a 的取值范围是 ▲ ． 10．已

知

{}

n a 是等差

数

列

，

设

12||||||n n T a a a =+++ ()n *

∈N ．某学生设计了一

个求n T 的部分算法流程图（如图），图中空白处理框中是用n 的表达式对n T 赋值，则空白处理框中应填入：n T ← ▲ ．

11．已知函数2()log f x x =，正实数m ，n 满足m n <，且

()()f m f n =，若()f x 在区间2

[,]m n 上的最大值为2，

则n m += ▲ ． 12．若不等式

2

2

108

4

3

≥

k

x

y

xy +

对于任意正实数x ，y 总成立的

必要不充分条件是[),k m ∈+∞，则正整数m 只能取 ▲ ．

13．在平面直角坐标系xOy 中，设直线l ：10kx y -+=与圆C ：224x y +=相交于A 、B 两

点，以OA 、OB 为邻边作平行四边形OAMB ，若点M 在圆C 上，则实数k = ▲ ． 14

．若函数()=+f x x t *∈N ）的最大值是正整数M ，则M = ▲ ． 二、解答题：本大题共6小题，共计90分．请在答题卡指定区域．．．．．．．

内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．(本小题满分14分)

在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知4cos 5

A =，5b c =．

（1）求sin C 的值； （2）求sin(2)A C +的值； （3）若△ABC 的面积3sin sin 2

S B C

=，求a 的值．

（第10题图）

16．(本小题满分14分)

如图，在四棱锥P ABC D -中，AB ∥D C ，2D C AB =，

AP AD =，PB

⊥A C ，BD ⊥A C ，E 为PD 的中点．

求证：（1）AE ∥平面PBC ；

（2）PD ⊥平面AC E ．

17．（本小题满分14分）

如图，在平面直角坐标系xOy 中，椭圆C ：

222

2

1x y a

b

+

=（0a b >>）的左焦点为F ，右顶点为A ，

动点M 为右准线上一点（异于右准线与x 轴的交点），设线段FM 交椭圆C 于点P ，已知椭圆C 的离心率为

23

，点M 的横坐标为9

2

．

（1）求椭圆C 的标准方程；

（2）设直线P A 的斜率为1k ，直线MA 的斜率为2k ，求12k k ⋅的取值范围．

18．(本小题满分16分)

如图，ABCD 是正方形空地，边长为30m ，电源在点P 处，点P 到边AD ，AB 距离分别为9m ，3m ．某广告公司计划在此空地上竖一块长方形液晶广告屏幕M N E F ，:16:9M N N E =．线段MN 必须过点P ，端点M ，N 分别在边AD ，AB 上，设AN =x （m ），液晶广告屏幕MNEF 的面积为S (m 2

)． (1) 用x 的代数式表示AM ；

（2）求S 关于x 的函数关系式及该函数的定义域； （3）当x 取何值时，液晶广告屏幕MNEF 的面积S 最小？

（第17题图）

D

C

B

A E P （第16题图）

A

（第18题图）