江苏省苏州市高考数学 必过关题7 平面向量

2015届苏州市高三数学过关题7——平面向量一、填空题【考点一】平面向量的概念及线性运算1．在平面直角坐标系xoy 中，点( 1.2) B A --、(2,3),C(-2,-1)．则以线段AB 、AC 为邻边的平行四边形两条对角线的长分别为 ． 【答案】42、210．[解析] 由题设知(3,5),(1,1)AB AC ==-u u u r u u u r ，则(2,6),(4,4)AB AC AB AC +=-=u u u r u u u r u u u r u u u r，∴．||210,||42AB AC AB AC +=-= u u u r u u u r u u u r u u u r∴所求的两条对角线的长分别为42、210．2．[2012年第4版·必修4教材第72页第10题]设点P 、Q 是线段AB 的三等分点，若b OB a OA ==,，OP = ，OQ = （用b a ,表示）． 【答案】221,333OP OB BA a b =+=+u u u r u u u r u u u r r r[解析]因为,b a BA -=所以221,333OP OB BA a b =+=+u u u r u u u r u u u r r r112333OQ OB BA a b =+=+u u u r u u u r u u u r r r ．3．在平行四边形ABCD 中，AC 为一条对角线，(2,4),(1,3),AB AC ==u u u v u u u v则AD =u u u r ．【答案】()1,1--.[解析](1,3)(2,4)(1,1)AD AC AB =-=-=--u u u r u u u r u u u r.4．[2012年第4版·必修4教材第78页例4]已知),,(),,(222111y x P y x P P 是直线21P P 上一点，且)1(21-≠=λλPP P P ，则点P 的坐标为 ． 【答案】)1,1(2121λλλλ++++y y x x[解析]设),(y x P ，则).,(),,(222111y y x x PP y y x x P P --=--=由21PP P λ=得),(),(2211y y x x y y x x --=--λ得到⎩⎨⎧-=--=-)(),(2121y y y y x x x x λλ因为,1-≠λ所以⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧++=++=λλλλ112121y y y x x x 因此，P 点坐标为)1,1(2121λλλλ++++y y x x ．5．ABC ∆中设,,AB a AC b ==u u u r r u u u r rAP 的中点为Q ，BQ 的中点为R ，CR 的中点恰为P ，则AP u u u r= ．（用,a b r r 表示） 【答案】2477AP a b =+u u u r r r[解析]()1122AP AC CP AC CR AC BR BC =+=+=+-u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r()()1142AC AQ AB AC AB =+---u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r 111248AC AB AP =++u u ur u u u r u u u r ,所以2477AP a b =+u u u r r r【考点二】平面向量的数量积6．若12,e e u r u u r 是夹角为3π的单位向量，且122a e e =+r u r u u r ，1232,b e e =-+r u r u u r 则a b ⋅=r r ．【答案】72-[解析] ()1212127(2)324.2a b e e e e e e ⋅=+⋅-+=-+⋅=-r r u r u u r u r u u r u r u u r 考查向量的概念，向量的加减数乘运算，向量的数量积.7．[2009·重庆卷]已知向量(1,1),(2,)a b x ==r r若a b +r r 与42b a -r r 平行，则实数x 的值是．【答案】2x =[解析]解法1 因为(1,1),(2,)a b x ==，所以(3,1),42(6,42),a b x b a x +=+-=- 由于a b +与42b a -平行，得6(1)3(42)0x x +--=，解得2x =．解法2 因为a b +与42b a -平行，则存在常数λ，使(42)a b b a λ+=-，即(21)(41)a b λλ+=-，根据向量共线的条件知，向量a 与b 共线，故2x =8．[2012年第4版·必修4教材第87页例4]在⊿ABC 中，设),,1(),3,2(k AC AB ==且⊿ABC是直角三角形，则k 的值为 ． 【答案】;32-或;311或2133± [解析]若∠A =90°，则AB AC ⊥u u u r u u u r，于是0312=⨯+⨯k ，解得;32-=k 若∠B =90°，则AB BC ⊥u u u r u u u r ，又()13BC AC AB ,k ,=-=--u u u r u u u r u u u r故得0)3(3)1(2=-⨯+-⨯k 解得;311=k 若∠C =90°，则AC BC ⊥u u u r u u u r，故0)3()1(1=-+-⨯k k解得2133±=k ； 所求k 的值为;32-或;311或2133±.9．已知向量(1,2)=a ，(2,3)=-b ．若向量c 满足()//+c a b ，()⊥+c a b ，则c = ．【答案】 77(,)93--[解析] 不妨设(,)C m n =u r ，则()1,2,(3,1)a c m n a b +=+++=-r r r r ，对于()//c a b +r r r ，则有3(1)2(2)m n -+=+；又()c a b ⊥+r r r，则有30m n -=，则有77,93m n =-=-，所以c =77(,)93--10. [2009·辽宁卷理]平面向量a 与b 的夹角为060，(2,0)a =，1b = 则2a b += ．【答案】 23[解析] 由已知|a|＝2,|a ＋2b|2＝a 2＋4a ·b ＋4b 2＝4＋4×2×1×cos60°＋4＝12 ∴2a b +=2311．[2014·江苏卷] 如图在平行四边形ABCD 中，已知8,5AB AD ==，3,2CP PD AP BP =⋅=u u u v u u u v u u u v u u u v ，则AB AD ⋅u u u v u u u v 的值是 ． 【答案】22.AP AD DP ABP BC CP B=+==+=u u u r u u u r u u u r u u u u r u u u r u u u r u u [解析]由题意所以221313()()44216AP BP AD AB AD AB AD AD AB AB ⋅=+⋅-=-⋅-u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r即1322564216AD AB =-⋅-⨯u u ur u u u r ,解得22AD AB ⋅=u u u r u u u r12．[2012年第4版·必修4教材第89页15题]设()()321a x,,b ,,==-r r若a 与b 的夹角为钝角，则x 的取值范围为 ． 【答案】23<x [解析]2cos ||||95a ba b x θ⋅==+⨯r rr r 因为θ为钝角，所以0cos <θ则032<-xABDP第11题所以23<x ． 【考点三】平面向量的基本定理13．设E D ,分别是ABC ∆的边BC AB ,上的点,AB AD 21=,BC BE 32=,若12DE AB AC λλ=+u u u r u u u r u u u r(21,λλ为实数)，则21λλ+的值为 .【答案】12 [解析]1212()2323DE AB BC AB AC AB =+=+-u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r 12DE AB AC λλ=+u u u r u u u r u u u r所以1212λλ+=．14．如图,在△ABC 中,AN =31NC ,P 是BN 上的一点,若AP =m AB +112AC ,则实数m 的值为 ．[解析]【答案】311 [解析]123,.41144AP AC NP mAB AC NP mAB AC =+=+=-u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r()3144NB NC CB AC AB AC AB AC =+=+-=-u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r,设,NP NB λ=u u u r u u u r 则14AB AC λλ-=u u u r u u u r 344mAB AC -u u u r u u u r ，3.11m λ==15．如图,在正方形ABCD 中,已知2=AB ,M 为BC 的中点,若N 为正方形内（含边界）任意一点,则AM AN ⋅u u u u r u u u r的最大值是 ．【答案】6[解析]以AB 所在的直线为x 轴,AD 所在的直线为y 轴,建立直角坐标系,设N （x ，y ）则(,)AN x y =u u u r ,(2,1)AM =u u u u r ,则2AM AN x y ⋅=+u u u u r u u u r因为0202x y ≤≤⎧⎨≤≤⎩,由线性规划的知识可得26AM AN x y ⋅=+≤u u u u r u u u r ．【考点四】平面向量的应用第14题BDCNMA第15题16．在△ABC 中,AB ＝2,AC ＝3,AB u u u r ·BC uuur ＝1,则BC ＝ ．【答案】 3.[解析]由AB →·BC →＝1可得2||BC cos (180°－B )＝1,即2|BC |cosB ＝－1,又由三角形的余弦定理可得32＝||BC 2＋22－2×2||BC cosB ，把2||BC cosB ＝－1代入,解得9＝||BC 2＋4＋2,即||BC ＝3.17．在△ABC 中,若AB =1,AC =3,||||AB AC BC +=u u u r u u u r u u u r ,则||BABC BC ⋅u u u r u u u r u u u r =________． 【答案】12. [解析]本题主要考查向量与解三角形的有关知识.满足||||AB AC BC +=u u u r u u u r u u u r的A ,B ,C 构成直角三角形的三个顶点,且∠A 为直角,于是BA BC ⋅u u u r u u u r =2BA u u u r =1 . 所以||BABC BC ⋅u u u r u u u ru u u r =1218．[2006·江苏卷]已知两点M （－2，0）、N （2，0），点P 为坐标平面内的动点，满足|MN ||MP |MN NP 0⋅+⋅=u u u u r u u u r u u u u r u u u r，则动点P （x ，y ）的轨迹方程为________.【答案】x y 82-=[解析]设P （x ，y ），0,0x y >>，M （－2，0）、N （2，0），MN 4=u u u u r，则MP (2,), NP (2,)x y x y =+=-u u u r u u u u r，由|MN ||MP |MN NP 0⋅+⋅=u u u u r u u u r u u u u r u u u r ，则224(2)4(2)0x y x ++-=，化简整理得x y 82-=19．在面积为2的ABC ∆中,E ,F 分别是AB ,AC 的中点,点P 在直线EF 上,则2+⋅的最小值是 ．【答案】3[解析]解法一：问题可转化为已知PBC ∆的面积为1,求2BC PB PC +⋅的最小值. 设PBC ∆中点,,P B C 所对的边分别为,,p b c ， 由题设知sin 2bc P =，∴22222cos (2cos )cos 2(2cos )2cos sin PC PB BC bc P b c bc P b c bc P P bc bc P P⋅+=++-=+--≥-=u u u r u u u r u u u r 从而进一步转化为2cos sin PP-的最小值.（可数形结合，可用引入辅助角化一个三角函数的形式，可用万能公式转化后换元等，下略）解法二：建立坐标系，立即得目标函数.由题设知，PBC ∆的面积为1,以B 为原点,BC 所在直线为x 轴,过点B 与直线BC 垂直的直线为y 轴建立平面直角坐标系,设2(,0),(,)(0)C a P t a a>,则22(,),(,),PB t PC a t a a=--=--u u u r u u u r∴222222443()()024a a PC PB BC t a t a t a a ⋅+=--++=-++≥+u u u r u u u r u u u r ,当且仅当,2at a ==,∴2+⋅的最小值是20．对任意两个非零的平面向量αu r 和βu r ,定义αβαβββ⋅=⋅u r u ru r u r u r u r o .若平面向量,a b r r 满足0a b ≥>r r ,a r 与b r 的夹角θ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π4,且a b r r o 和b a r r o 都在集合|2n n Z ⎧⎫∈⎨⎬⎩⎭中,则a b r r o ＝ ．【答案】32.[解析]根据新定义得：a ∘b ＝a ·b b ·b ＝|a ||b |cos θ|b ||b |＝|a |cos θ|b |≥cosθ>22,b ∘a ＝b ·a a ·a ＝|a ||b |cos θ|a ||a |＝|b |cos θ|a |≤cosθ<1，且a ∘b 和b ∘a 都在集合|2n n Z ⎧⎫∈⎨⎬⎩⎭中,所以b ∘a ＝|b |cos θ|a |＝12,|b ||a |＝12cos θ，所以a ∘b ＝|a |cos θ|b |＝2cos 2θ<2,所以1<a ∘b <2,所以a ∘b ＝32.二、解答题21．[2012年第4版·必修4教材第97页第12题]已知)1,(),3,7(),5,3(),1,(-b D C B a A 是菱形的四个顶点，求实数b a ,的值． 【答案】9,55,1====b a b a 或[解析]（1）若BC 为菱形的边，且AD BC =，即)2,()2,4(--=-a b 则,4=-a b 且AB 的模等于BC 的模，即41616)3(2+=++a 所以9,55,1====b a b a 或（2）若BC 为菱形的边，且DA BC =即)2,()2,4(b a -=-不成立（3）若BC 为菱形的对角线，则0=⋅BC AD ，即1,04_)(4-=-=-a b a b 且CD AB =，即)4,7()4,3(--=-b a ，显然不成立． 综上可知，9,55,1====b a b a 或．22．在平行四边形OABC 中，已知过点C 的直线与线段,OA OB 分别相交于点,M N ，若sin ,OM OA θ=⋅u u u u r u u u r cos ON OB θ=⋅u u u r u u u r 其中，(0,)2πθ∈（1）求sin2θ的值；（2）记OMN ∆的面积为1S ，平行四边形OABC 的面积为S ，试求1S S之值. 【答案】（1）222-；（2）1212S S -= [解析]（1）由题意得OC AB OB OA ==-u u u r u u u r u u u r u u u r所以(1sin )MC OB OA θ=-+⋅u u u u r u u u r u u u r，又cos sin MN OB OA θθ=⋅-⋅u u u u r u u u r u u u r又因为,,M N C 三点共线，得cos sin 11sin θθθ=+，则sin cos sin cos θθθθ-=⋅（1） （1）式两边平方，得2212sin cos sin cos θθθ-⋅=⋅，即2sin 24sin240θθ+-= 解得：sin 2222-22-2()θ=或舍去（2）由题意得，11||||sin 2S OM ON AOB =⋅∠u u u ur u u u r =121sin 222AOB S S θ∆⋅=即1212S S -=.23．在ABC ∆中,已知3AB AC BA BC ⋅=⋅u u u r u u u r u u u r u u u r．（1）求证：tan 3tan B A =；（2）若5cos 5C =，求A 的值． 【答案】4A π=[解析]（1）证：设ABC ∆三边分别为c b a ,,，则B ca A cb cos 3cos =，B A A B cos sin 3cos sin =∴，∴tan 3tan B A =；（2）法一：由5cos C =，2tan =C ，2tan )tan(-=-=+∴C B A ，2tan tan 1tan tan -=-+∴B A B A ，又tan 3tan B A =，2tan 31tan 42-=-∴AA，1tan =∴A ， 由tan 3tan B A =＞０知)2,0(π∈A ，=∴A 4π． 法二：由（1）B a A b cos 3cos =得22222b c a =+，由5cos C =，得ab c b a 52222=-+，从而ab b a 52322+=，a b a b 52322+=，解得53=a b ，53sin sin =∴A B ，59cos 1cos 122=--∴A B ，结合B a A b cos 3cos =与53=a b 知A a bB cos 3cos =， 22cos =∴A ，又由（1）知)2,0(,π∈B A ，=∴A 4π．24．在平面直角坐标系x O y 中,点A (－1,－2)、B (2,3)、C(－2,－1) ． （1）求以线段AB 、A C 为邻边的平行四边形两条对角线的长；（2）设实数t 满足()AB tOC OC -⋅u u u r u u u r u u u r=0,求t 的值．【答案】（1）所求的两条对角线的长分别为42210（2）115t =-[解析]（1）（方法一）由题设知(3,5),(1,1)AB AC ==-u u u r u u u r ,则(2,6),(4,4).AB AC AB AC +=-=u u u r u u u r u u u r u u u r 所以||210,||4 2.AB AC AB AC +=-=u u u r u u u r u u u r u u u r故所求的两条对角线的长分别为42、210．（方法二）设该平行四边形的第四个顶点为D,两条对角线的交点为E,则E 为B 、C 的中点,E(0,1)，又E(0,1)为A 、D 的中点，所以D(1,4)故所求的两条对角线的长分别为B C=42、A D=210；（2）由题设知：OC u u u r =(－2,－1)，(32,5)AB tOC t t -=++u u u r u u u r．由(()AB tOC OC -⋅u u u r u u u r u u u r =0,得：(32,5)(2,1)0t t ++⋅--=,从而511,t =-所以115t =-．或者 2· AB OC tOC =u u u r u u u r u u u r ,(3,5),AB =u u ur 2115||AB OC t OC ⋅==-u u u r u u u r u u u r ．25．如图ABC ∆中,2,3,3,AB BC CA PQ ===是以A 为圆心,以1为半径的圆的一条直径．问：BC u u u r与PQ u u u r 的夹角θ为何值时,BP CQ ⋅u u u r u u u r 有最大值和最小值． 【答案】0θ=时BP CQ ⋅u u u r u u u r 有最大值0；πθ=时BP CQ ⋅u u u r u u u r有最小值-6 [解析]11,22BP AP AB PQ AB CQ AQ AC PQ AC =-=--=-=-u u u ru u u ru u u ru u ur u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r ，()211112242BP CQ PQ AB PQ AC PQ AB AC PQ AC AB⎛⎫⎛⎫⋅=---=-+⋅+- ⎪⎪⎝⎭⎝⎭u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u ur u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r 211(2)cos 42r bc A PQ BC =-++⋅u u u r u u u r 222211()2cos 22r b c a r a θ=-++-+⋅⋅ 22221cos ()2ar b c a r θ=++--，当cos 1θ=，即0θ=时， ()2222max11()(239)131022BP CQb c a r ar ⋅=+--+=+--+⨯=u u u r u u u r； 当cos 1θ=-，即πθ=时， ()2222min11()(239)131622BP CQb c a r ar ⋅=+---=+---⨯=-u u u r u u u r．26．如图，在边长为1的正三角形ABC 中，,E F 分别是边,AB AC 上的点，若 ,AE mAB AF nAC ==u u u r u u u r u u u r u u u r，,(0,1)m n ∈．设EF 的中点为M ，BC 的中点为N ．（1）,,A M N 三点共线，求证:m n =；（2）若1m n +=，求||MN u u u u r 的最小值．BQACP第25题AEFM【答案】3. [解析]（1）由,,A M N 三点共线，得//AM AN u u u u r u u u r， 设AM AN λ=u u u u r u u u r （λ∈R ），即11()()22AE AF AB AC λ+=+u u u r u u u r u u u r u u u r ，所以()mAB nAC AB AC λ+=+u u u r u u u r u u u r u u u r，所以m n =．（2）因为MN AN AM =-u u u u r u u u r u u u u r ＝11()()22AB AC AE AF +-+u u u r u u u r u u u r u u u r 11(1)(1)22m AB n AC =-+-u u u r u u u r ，又1m n +=，所以11(1)22MN m AB mAC =-+u u u u r u u u r u u u r，所以22222111||(1)(1)442MN m AB m AC m mAB AC =-++-⋅u u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r＝222111113(1)(1)()4444216m m m m m -++-=-+， 故当12m =时，min 3||MN =u u u u r ．三．课本改编题：1. 原题[2012年第4版·必修4教材第73页习题2.2第15题] 已知,OA OB u u u r u u u r 不共线，设OP OA bOB α=+u u u r u u u r u u u r,,a b 均为实数，且满足1a b +=，求证：,,A B P 三点共线．变式1：已知OA =u u u r a + 2b ，OB =u u u r 2a + 4b ，OC =u u u r3a + 6b (其中a 、b 是两个任意非零向量) ，证明：A 、B 、C 三点共线．证明：∵AB OB OA =-=u u u r u u u r u u u r a + 2b ，AC OC OA =-=u u u r u u u r u u u r2a + 4b ，∴ 2AC AB =u u u r u u u r所以，A 、B 、C 三点共线．变式2：已知点A 、B 、C 在同一直线上，并且OA =u u u r a + b ，(2)OB m =-u u u ra + 2b ， (1)OC n =+u u u ra + 3b (其中a 、b 是两个任意非零向量) ，试求m 、n 之间的关系．【答案】260m n --=[解析](3)AB OB OA m =-=-u u u r u u u r u u u ra +b ，AC OC OA n =-=u u u r u u u r u u u r a + 2b 由A 、B 、C 三点在同一直线上可设AB k AC =u u u r u u u r，则 (3)21m kn k -=⎧⎨=⎩ 所以 1(3)2m n -= 即 260m n --=为所求．2.原题[2012年第4版·必修4教材第91页复习题第10题]已知：,OA BC OB AC ⊥⊥u u u r u u u r u u u r u u u r.求证：OC AB ⊥u u u r u u u r变式1：如图，矩形ABCD 内接于半径为r 的圆O ，点P 是圆周上任意一点，求证：222228PA PB PC PD r +++= 证明：OP OA OP OA PA ⋅-+=2222 ，OP OB OP OB PB ⋅-+=22222，OP OC OP OC PC ⋅-+=22222 ，OP OD OP OD PD ⋅-+=22222， 以上各式相加可证．变式2：已知△ABC 中，c AB b CA a BC ===,,，若a c c b b a ⋅=⋅=⋅，求证：△ABC 为正三角形.证明：a c c b ⋅=⋅Θ， ∴0)(=-a b c ， 又∵0=++c b a ， )(b a c +-=， 故0))((=-+-a b b a ， 知a =b ， 同理可知b=c ， 故a =b=c ， 得证．变式3：已知平行四边形ABCD 的两条对角线AC 与BD 交于E ，O 是任意一点，求证OE OD OC OB OA 4=+++.证明∵E 是对角线AC 与BD 的交点，∴DE ED BE CE EC AE -==-==,. 在△OAC 中，OE AE OA =+，.同理有OE DE OD OE CE OC OE BE OB =+=+=+,,四式相加可得：OE OD OC OB OA 4=+++.变式4：四边形ABCD 的边AD 和BC 的中点分别为E 、F ， 求证：)(21DC AB EF +=证法一 ∵E 、F 分别为DA 、BC 的中点.∴BF FC EA DE==,又∵DE CD FC EF +++=0①AE BA FB EF +++=0② ①+②，得2)()()(AE DE BA CD FB FC EF ++++++=0 ∴2AB DC BA CD EF +=-+-=)(∴)(21DC AB EF += 证法二 连结EC ，EB∵EC FC EF =+，①EB FB EF =+② ①+②,得2EF +0=EB EC +，∴)(21EB EC EF +=又∵DC ED EC +=③ AB EA EB +=④③+④,得)(21AB EA DC ED EF +++=又∵EA ED +=0， ∴)(21DC AB EF +=.3.原题[原题[2007南通高三押题]如图,设P ,Q 为△ABC 内的两点,且2155AP AB AC =+u u u r u u u r u u u r,AQ u u u r ＝23AB u u u r ＋14AC u u ur ,则△ABP 的面积与△ABQ 的面积之比为 ． 【答案】45. C N MQPBA716244EDO CBADA[解析] 设25AM AB =u u u u r u u u r ,15AN AC =u u u r u u u r,则AP AM AN =+u u u r u u u u r u u u r ,由平行四边形法则,知NP ∥AB ,所以ABP ABC S AN S AC∆∆=u u u ru u ur ＝15,同理可得14ABQ ABC S S ∆∆=,故45ABP ABQ S S ∆∆=． 变题1．已知点O 在ABC ∆内部，且有02=++OC OB OA ． 求AOC ∆与AOB ∆的面积比． 【答案】1:2[解析]如图D 是AB 的中点，由平行四边形法则得：OE OD OB OA ==+2，由题意知OC OB OA 2-=+，所以O 是CD 的中点，即OC=OD ，由平面几何知识得OAB ABC S S ∆∆=2，AOC ADC ABC S S S ∆∆∆==42，因此AOC ∆与AOB ∆的面积比为1:2变题2．已知点O 在ABC ∆内部，且有042=++OC OB OA ，求OAB ∆与OBC ∆的面积比．【答案】4:1[解析]如图O 是三角形ADE 的重心，取B 为OD 的中点，C 为OE 的四等分点，这样才有042=++OC OB OA 成立，不妨设三角形ADE 的面积为24，由重心的性质知8===∆∆∆EOA DOE AOD S S S 所以4,1,2===∆∆∆OAB BOC AOC S S S ，所以OAB ∆与OBC ∆的面积比4:1通过上述三道习题的展示，我们不难发现面积比与系数有很大的联系，于是大胆的拓展 面积比就是对应的系数比，下面用重心的向量式来证明：已知点O 在ABC ∆内部，且有0321=++OC OB OA λλλ不妨设321,,λλλ均大于1 则321::::λλλ=∆∆∆OAB OAC OBC S S S证明：如图：设O 是DEF ∆的重心，那么0=++OF OE OD （重心的向量式） 不妨设321,,λλλ===，由三角形的面积公式得AOB OB OA S OAB ∠=∆21，AOB OE OD S ODE ∠=∆21因此211λλ=∆∆ODE OAB S S ，同理321λλ=∆∆OEF OBC S S ，131λλ=∆∆OFD OCA S S ， 又因为OFD OEF ODE S S S ∆∆∆== 所以321211332::1:1:1::λλλλλλλλλ==∆∆∆OAB OAC OBC S S S。