高考数学应用题
2025年高考数学应用题的解题技巧
2025年高考数学应用题的解题技巧高考数学中的应用题一直是许多考生感到头疼的部分。
随着时间的推移，到 2025 年，高考数学应用题的形式和内容可能会有所变化，但解题的核心技巧和思路仍然具有一定的规律性。
首先，我们要明确应用题的特点。
应用题通常是将数学知识与实际生活情境相结合，考查我们运用数学工具解决实际问题的能力。
这就要求我们不仅要熟练掌握数学知识，还要具备将实际问题转化为数学模型的能力。
一、仔细审题是关键拿到一道应用题，不要急于动手解题，而是要静下心来仔细阅读题目。
在审题过程中，要注意以下几点：1、理解题意：弄清楚题目所描述的实际情境，明确问题的背景和要求。
2、抓住关键信息：比如数字、单位、条件关系等，这些往往是解题的关键线索。
3、明确所求：确定题目最终要求我们求出的是什么，是某个具体的数值、变量之间的关系还是某种方案的最优解。
例如，有一道应用题是这样的：“某工厂要生产一批零件，原计划每天生产 100 个，由于技术改进，实际每天生产的零件数比原计划多20%，按照这样的生产效率，生产 5000 个零件需要多少天？”在这道题中，关键信息是原计划每天生产 100 个、实际每天生产的零件数比原计划多 20%以及要生产 5000 个零件，所求的是实际生产 5000 个零件所需的天数。
二、建立数学模型将实际问题转化为数学模型是解题的核心步骤。
这需要我们根据题目中的条件和关系，选择合适的数学知识和方法。
1、常见的数学模型包括方程（组）、不等式、函数等。
2、对于涉及到数量关系的问题，可以考虑建立方程或方程组。
比如，上面提到的生产零件的问题，我们可以设实际生产 5000 个零件需要 x 天，根据每天生产的零件数乘以生产天数等于总零件数，可列出方程：100×（1 ＋ 20%）×x ＝ 5000。
3、如果是涉及到最优解、最值问题，通常可以构建函数模型，通过求函数的最值来解决。
三、选择合适的解题方法在建立了数学模型之后，接下来要选择合适的解题方法。
高三数学题最难的应用题
高三数学题最难的应用题在高三数学学习中，应用题是学生们普遍认为比较困难的一部分。
其中，有一些应用题难度较大，需要学生们在掌握了一定的数学知识基础之后，才能够解答清楚。
下面我们来看看高三数学中最难的应用题之一。
题目描述某地最近连续几个月的气温数据如下：1月-2°C，2月0°C，3月3°C，4月6°C，5月10°C，6月15°C，请根据给定的数据回答以下问题。
问题1.计算这几个月的平均气温。
2.如果下半年气温比上半年高出5°C，求7月的平均气温是多少。
解题思路•针对第一个问题，计算平均气温需要将所有月份的气温相加，然后除以月份的总数即可得到平均气温。
•针对第二个问题，首先计算上半年的平均气温，然后根据上半年平均气温加上5°C，得到下半年的平均气温。
最后计算7月的平均气温。
解题过程1.计算平均气温：由题目可知，1月到6月的气温分别为-2°C，0°C，3°C，6°C，10°C，15°C。
将这几个数相加，得到-2 + 0 + 3 + 6 + 10 + 15 = 32。
然后将32除以6，得到平均气温为32/6 = 5.33°C。
2.计算7月的平均气温：上半年的平均气温为5.33°C，下半年比上半年高出5°C，所以下半年的平均气温为5.33 + 5 = 10.33°C。
因为7月属于下半年，所以7月的平均气温为10.33°C。
结论通过以上计算，我们得出了这个问题的结果。
在解答这些数学题目时，应灵活运用数学知识，理清思路，才能做出准确的答案。
数学的魅力在于其逻辑性和准确性，希望同学们在学习过程中认真思考，勤加练习，提高自己的数学能力。
希望本文提供的解题思路和过程对于解决同类数学应用题有所帮助。
愿大家都能在数学学习中取得好成绩！。
(完整版)高中数学应用题
函数、不等式型1、某商场销售某种商品的经验表明，该商品每日的销售量y （单位：千克）与销售价格x （单位：元/千克）满足关系式210(6)3ay x x =+--，其中3<x<6，a 为常数．已知销售价格为5元/千克时，每日可售出该商品11千克． （Ⅰ）求a 的值；（Ⅱ）若该商品的成品为3元/千克，试确定销售价格x 的值，使商场每日销售该商品所获得的利润最大．解：（Ⅰ）因为x=5时，y=11，所以1011, 2.2aa +== （Ⅱ）由（Ⅰ）可知，该商品每日的销售量2210(6),3y x x =+--所以商场每日销售该商品所获得的利润222()(3)[10(6)]210(3)(6),363f x x x x x x x =-+-=+--<<-. 从而，2'()10[(6)2(3)(6)]30(4)(6)f x x x x x x =-+--=--，于是，当x 变化时，'(),()f x f x 的变化情况如下表：由上表可得，x=4是函数()f x 在区间（3，6）内的极大值点，也是最大值点，所以，当x=4时，函数()f x 取得最大值，且最大值等于42.答：当销售价格为4元/千克时，商场每日销售该商品所获得的利润最大.2、某汽车生产企业上年度生产一品牌汽车的投入成本为10万元/辆，出厂价为13万元/辆，年销售量为5000辆.本年度为适应市场需求，计划提高产品档次，适当增加投入成本，若每辆车投入成本增加的比例为x （0＜x ＜1)，则出厂价相应提高的比例为0.7x ，年销售量也相应增加.已知年利润=（每辆车的出厂价－每辆车的投入成本）×年销售量. （1）若年销售量增加的比例为0.4x ，为使本年度的年利润比上年度有所增加，则投入成本增加的比例x 应在什么范围内？（2）年销售量关于x 的函数为)352(32402++-=x x y ，则当x 为何值时，本年度的年利润最大？最大利润为多少？解：（1）由题意得：本年度每辆车的投入成本为10×（1+x ）； 出厂价为13×（1+0.7x ）；年销售量为5000×（1+0.4x ）， …………2分 因此本年度的利润为[13(10.7)10(1)]5000(10.4)y x x x =⨯+-⨯+⨯⨯+(30.9)5000(10.4)x x =-⨯⨯+即：21800150015000(01),y x x x =-++<< ……………6分 由2180015001500015000x x -++>， 得506x << ……8分 （2）本年度的利润为)55.48.49.0(3240)352(3240)9.03()(232++-⨯=++-⨯⨯-=x x x x x x x f则),3)(59(972)5.46.97.2(3240)(2'--=+-⨯=x x x x x f ……10分由,395,0)('===x x x f 或解得 当)(,0)()95,0('x f x f x >∈时，是增函数；当)(,0)()1,95('x f x f x <∈时，是减函数.∴当95=x 时，20000)95()(=f x f 取极大值万元， ……12分因为()f x 在（0，1）上只有一个极大值，所以它是最大值， ……14分所以当95=x 时，本年度的年利润最大，最大利润为20000万元． ……15分 3、某民营企业生产,A B 两种产品，根据市场调查与预测，A 产品的利润与投资成正比，其关系如图甲，B 产品的利润与投资的算术平方根成正比，其关系如图乙(注：利润与投资单位：万元)．甲 乙（Ⅰ）分别将,A B 两种产品的利润表示为投资x (万元)的函数关系式；（Ⅱ）该企业已筹集到10万元资金，并全部投入,A B 两种产品的生产，问：怎样分配这10万元投资，才能使企业获得最大利润，其最大利润为多少万元?解：（Ⅰ）设投资为x 万元,A 产品的利润为()f x 万元,B 产品的利润为()g x 万元. 由题设x k x g x k x f 21)(,)(==由图知(1)f =41,故1k =41又45,25)4(2=∴=k g从而)0(45)(),0(41)(≥=≥=x x x g x x x f .（Ⅱ）设A 产品投入x 万元,则B 产品投入10-x 万元,设企业利润为y 万元.)100(104541)10()(≤≤-+=-+=x x x x g x f y 令x t -=10，则)100(1665)25(414541022≤≤+--=+-=t t t t y .当75.3,1665,25m ax ===x y t 此时时.答：当A 产品投入3.75万元，B 产品投入6.25万元,企业最大利润为1665万元. 4、如图所示，一科学考察船从港口O 出发，沿北偏东α角的射线OZ 方向航行，而在离港口a 13（a 为正常数）海里的北偏东β角的A 处有一个供给科考船物资的小岛，其中31tan =α，132cos =β．现指挥部需要紧急征调沿海岸线港口O 正东m （a m 37>）海里的B 处的补给船，速往小岛A 装运物资供给科考船，该船沿BA 方向全速追赶科考船，并在C 处相遇．经测算当两船运行的航向与海岸线OB 围成的三角形OBC 的面积最小时，这种补给最适宜．⑴ 求S 关于m 的函数关系式)(m S ； ⑵ 应征调m 为何值处的船只，补给最适宜．【解】 ⑴以O 为原点，OB 所在直线为x 轴，建立平面直角坐标系，则直线OZ 方程为x y 3=． ………………2分 设点()00,y x A ， 则a a a x 313313sin 130=⋅==β，a a a y 213213cos 130=⋅==β，即()a a A 2,3，又()0,m B ，所以直线AB 的方程为()m x ma ay --=32．上面的方程与x y 3=联立得点)736,732(am ama m am C -- ……………5分)37(733||21)(2a m a m am y OB m S C >-=⋅=∴ ………………8分⑵328)3149492(314)37(949)37()(222a a a a a a m a a m a m S =+≥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡+-+-= ……12分 当且仅当)37(949372a m a a m -=-时，即a m 314=时取等号， ……………14分 答：S 关于m 的函数关系式)37(733||21)(2a m a m am y OB m S C >-=⋅=∴⑵ 应征调a m 314=处的船只，补给最适宜． ………………15分5、某生产饮料的企业准备投入适当的广告费，对产品进行促销.在一年内，预计年销量Q （万件）与广告费x （万元）之间的函数关系为)0(113≥++=x x x Q .已知生产此产品的年固定投入为3万元,每生产1万件此产品仍需要再投入32万元,若每件售价为“年平均每件成本的150%”与“年平均每件所占广告费的50%”之和. (1) 试将年利润W 万元表示为年广告费x 万元的函数；(2) 当年广告费投入多少万元时，企业年利润最大，最大年利润为多少？ (1)年生产成本为)332(+Q 万元，年收入为]%50)332%(150[x Q ++万元.所以)332(21x Q W -+==)311332(21x x x -+++⨯=)0()1(235982≥+++-x x x x （7分） (2))1(264)1(100)1(2+-+++-=x x x W =42)13221(50≤+++-x x （12分）当7,13221=+=+x x x 时,等号成立. 所以当年广告费投入7万元时, 年利润最大为42万元.（14分）6、为迎接2010年上海世博会，要设计如图的一张矩形广告，该广告含有大小相等的左中右三个矩形栏目，这三栏的面积之和为260000cm ，四周空白的宽度为10cm ，栏与栏之间的中缝空白的宽度为5cm ，怎样确定广告矩形栏目高与宽的尺寸(单位：cm )，能使整个矩形广告面积最小.解：设矩形栏目的高为acm ，宽为bcm ，则20000ab =，20000b a∴= 广告的高为(20)a cm +，宽为(330)b cm +(其中0,0a b >>) 广告的面积40000(20)(330)30(2)6060030()60600S a b a b a a=++=++=++3060600120006060072600≥⨯=+= 当且仅当40000a a=，即200a =时，取等号,此时100b =. 故当广告矩形栏目的高为200cm ，宽为100cm 时，可使广告的面积最小.7、某地发生特大地震和海啸，使当地的自来水受到了污染，某部门对水质检测后，决定往水中投放一种药剂来净化水质。
高三数学常见应用题解析
高三数学常见应用题解析在高三数学学习过程中，应用题是不可避免的一部分。
这些问题通常涉及到实际生活中的应用场景，要求学生能够将数学知识运用到实际问题中，并解决出正确的答案。
本文将通过解析几个常见的高三数学应用题，帮助同学们更好地理解与应用数学知识。
1. 函数应用题解析题目：某商品进价是售价的1.5倍，商家以进价的80%的价格出售，利润率为多少？解析：首先，我们设商品的进价为x元，则售价为1.5x元。
商家以进价的80%的价格出售，即售价为0.8x元。
利润率定义为利润与成本比值的百分数形式。
利润为售价减去进价，即1.5x - x = 0.5x，成本即进价，即x。
所以利润率为 (0.5x / x) × 100%= 50%。
因此，利润率为50%。
2. 概率应用题解析题目：一只袋中有5个红球、3个黄球和2个蓝球，从袋中随机抽取一个球，求抽取到红球或黄球的概率。
解析：首先，袋中共有10个球，其中红球和黄球共有5 + 3 = 8个。
所以，抽取到红球或黄球的概率为 (8 / 10) × 100% = 80%。
因此，抽取到红球或黄球的概率为80%。
3. 速度与时间应用题解析题目：甲、乙两车同时从A地出发，甲车以恒定速度60km/h从A向B行驶，乙车以恒定速度80km/h从B向A行驶，当甲车行驶到B地时，乙车刚好到达A地。
如果AB之间的距离为360km，那么A地到B地多长时间？解析：设从A地到B地所需要的时间为t小时，则根据速度与时间的关系，甲车行驶的距离为60t km，乙车行驶的距离为80t km。
根据题意，甲车行驶的距离为AB之间的距离，即60t = 360，解得t = 6小时。
所以，从A地到B地需要6小时。
通过以上三个例子的解析，我们可以看到，在高三数学中，应用题的解题思路主要是根据题目中给出的条件，将问题转化为适当的数学模型，并应用相关知识进行求解。
掌握这些解题技巧和方法，可以帮助同学们在解决实际问题时更加得心应手。
高考数学应用题
A 218．(本题满分16分)如图所示：一吊灯的下圆环直径为4m ，圆心为O ，通过细绳悬挂在天花板上，圆环呈水平状态，并且与天花板的距离)(OB 即为2m ，在圆环上设置三个等分点A 1，A 2，A 3。
点C 为OB 上一点（不包含端点O 、B ），同时点C 与点A 1，A 2，A 3，B 均用细绳相连接，且细绳CA 1，CA 2，CA 3的长度相等。
设细绳的总长为y （1）设∠CA 1O = θ (rad )，将y 表示成θ的函数关系式；（2）请你设计θ，当角θ正弦值的大小是多少时，细绳总长y 最小，并指明此时 BC 应为多长。
18. （Ⅰ）解：在Rt △COA 1中，θcos 21=CA ，θtan 2=CO ， ………2分 θθtan 22cos 2331-+⋅=+=CB CA y = 2cos )sin 3(2+-θθ（40πθ<<）……7分（Ⅱ）θθθθθθ222/cos 1sin 32cos )sin )(sin 3(cos 2-=----=y ，令0='y ，则31sin =θ ………………12分 当31sin >θ时，0>'y ；31sin <θ时，0<'y ，∵θsin =y 在]4,0[π上是增函数∴当角θ满足31sin =θ时，y 最小，最小为224+；此时BC 222-=m …16分19．由一个小区历年市场行情调查得知，某一种蔬菜在一年12个月内每月销售量()P t （单位：吨）与上市时间t （单位：月）的关系大致如图（1）所示的折线ABCDE 表示，销售价格()Q t（单位：元／千克）与上市时间t （单位：月）的大致关系如图（2）所示的抛物线段GHR 表示（H 为顶点）．（1）请分别写出()P t ,()Q t 关于t 的函数关系式，并求出在这一年内3到6月份的销售额最大的月份（2）图（1）中由四条线段所在直线．．．．围成的平面区域为M ，动点(,)P x y 在M 内（包括边界），求5z x y =-的最大值；（3） 由（2），将动点(,)P x y 所满足的条件及所求的最大值由加法运算类比到乘法运算（如1233x y ≤-≤类比为2313x y≤≤），试列出(,)P x y 所满足的条件，并求出相应的最大值．（图1） （图2）19.解(Ⅰ)503,136,()1169,7912t t t t P t t t t t -+≤≤⎧⎪-<≤⎪=⎨-+<≤⎪⎪-<≤⎩21()(4)6(012)16Q t t t =--+≤≤．21()()(1)[(4)6]16P t Q t t t ⋅=---+ （36)t <≤ '23(()())[(3)33]16P t Q t t ⋅=---0>在(3,6]t ∈恒成立，所以函数在]6,3(上递增 当t =6时，max [()()]P t Q t =． ∴6月份销售额最大为34500元 ． (Ⅱ) ⎩⎨⎧≤-≤≤+≤71115y x y x ，z =x —5y ．令x —5y=A (x +y )+B(x —y )，则⎩⎨⎧=-=⇒⎩⎨⎧-=-=+3251B A B A B A ， ∴z =x —5y=—2(x +y )+3(x —y )．由10)(222-≤+-≤-y x ,21)(33≤-≤y x ，∴1911z -≤≤,则(z )max =11 ．(Ⅲ)类比到乘法有已知⎪⎩⎪⎨⎧≤≤≤≤71115y x xy ,求5y x z =的最大值．由5y x =(xy )A ·(y x )B⎩⎨⎧=-=⇒⎩⎨⎧-=-=+3251B A B A B A ．∴251)(12112≤≤-xy ,343)(13≤≤xy ∴253431211≤≤z ，则(z )max = 25343 ． 18．（本题满分15分）如图甲，一个正方体魔方由27个单位（长度为1个单位长度）小立方体组成，把魔方中间的一层1111EFGH E FG H -转动α，如图乙，设α的对边长为x ．（1）试用α表示x ；（2）求魔方增加的表面积的最大值．18．命题立意：本题主要考查数学建模和解决实际问题的能力，考查运算求解能力．解：（1）由题意得3sin tan x x x αα++=， 解得()3sin 0 1sin cos x ααααπ=∈++2，，，（6分）（2）魔方增加的表面积为28tan x S α=⋅，由（1）得()272sin cos 0 (1sin cos )S αααααπ=∈2++，，，（10分） 令()(sin cos 1t t αααπ=+=+∈4，， 则()()(2236123613611081(1)t S t t -==-⨯-=-++≤t =απ=4时等号成立），答：当απ=4时，魔方增加的表面积最大为108-（15分）17．（本题满分15分）请你为某养路处设计一个用于储藏食盐的仓库（供融化高速公路上的积雪之用）．它的上部是底面圆半径为5m 的圆锥，下部是底面圆半径为5m 的圆柱，且该仓库的总高度为5m ．经过预算，制造该仓库的圆锥侧面、圆柱侧面用料的单价分别为400元/2m 、100元/2m ，问当圆锥的高度为多少时，该仓（图甲）库的侧面总造价（单位：元）最少17．命题立意：本题主要考查数学建模和解决实际问题的能力，考查运算求解能力．解：（法一）设圆锥母线与底面所成角为θ，且()π0 4θ∈，，（2分） 则该仓库的侧面总造价[]152π55(1tan )1002π54002cos y θθ⎡⎤=⨯⨯-⨯+⨯⨯⨯⨯⎢⎥⎣⎦()2sin 50π3+cos θθ-=，（8分） 由22sin 150π0cos y θθ⎛⎫-'== ⎪⎝⎭得1sin 2θ=，即π6θ=，（13分） 经检验得，当π6θ=时，侧面总造价y 最小，此时圆锥的高度为53m ．（15分）（法二）设圆锥的高为x m ，且()0 5x ∈，，（2分） 则该仓库的侧面总造价[]212π55(1)1002π5254002y x x ⎡⎤=⨯⨯-⨯+⨯⨯⨯+⨯⎢⎥⎣⎦()2150π+10π225x x=+-，（8分） 由()2210π1025x y x '=-=+得53x =，（13分）经检验得，当53x =时，侧面总造价y 最小，此时圆锥的高度为53m ．（15分）3. 在一个六角形体育馆的一角 MAN 内，用长为a 的围栏设置一个运动器材储存区域（如图所示），已知 120A =∠，B 是墙角线AM 上的一点，C 是墙角线AN 上的一点．(1) 若BC =a =20, 求储存区域面积的最大值；(2) 若AB =AC =10,在折线MBCN 内选一点D ，使20=+DC BD ，求四边形储存区域DBAC 的最大面积.解：(1)设,,0,0.AB x AC y x y ==>>由222202cos12022cos120x y xy xy xy =+-≥-，得222202022cos1204sin 60xy ≤=-. 2222112020cos 60201003sin1202sin 60cos 60.224sin 604sin 604tan 603S xy ∴=≤⋅⋅=== 即1003y 四边形DBAC 面积的最大值为，当且仅当x=时取到． (2) 由20=+DC DB ，知点D 在以B ，C 为焦点的椭圆上，∵32523101021=⨯⨯⨯=∆ABC S ，∴要使四边形DBAC 面积最大，只需DBC ∆的面积最大，此时点D 到BC 的距离最大, 即D 必为椭圆短轴顶点．由103BC =，得短半轴长5,BCD b S ∆=面积的最大值为110352532⨯⨯=. 因此，四边形ACDB 面积的最大值为503．3.某直角走廊的示意图如图所示，其两边走廊的宽度均为2m ． (1)过点P 的一条直线与走廊的外侧两边交于,A B 两点，且与走廊的一边的夹角为(0)2πθθ<<，将线段AB 的长度l 表示为θ的函数；(2)一根长度为5m 的铁棒能否水平（铁棒与地面平行）通过该直角走廊请说明理由（铁棒的粗细忽略不计）． 解：(1) 根据图得22(),(0,).sin cos 2l BP AP πθθθθ=+=+∈ (2) 铁棒能水平通过该直角直廊，理由如下： 令()0l θ'=得，4πθ=．当04πθ<<时，()0,()l l θθ'<为减函数； 当42ππθ<<时，()0,()l l θθ'>为增函数； 所以当4πθ=时，()l θ有最小值42，因为425>，所以铁棒能水平通过该直角走廊． 19．（本小题满分16分）如图一块长方形区域ABCD ，AD ＝2（km ），AB ＝1（km ）．在边AD 的中点O 处，有一个可转动的探照灯，其照射角∠EOF 始终为π4，设∠AOE ＝α，探照灯O照射在长方形ABCD 内部区域的面积为S ．（1）当0≤α＜π2时，写出S 关于α的函数表达式；（2）当0≤α≤π4时，求S 的最大值．（3）若探照灯每9分钟旋转“一个来回”（OE 自OA 转到OC ，再回到OA ，称“一个来回”，忽略OE 在OA 及OC 反向旋转时所用时间），且转动的角速度大小一定，设AB 边上有一点G ，且∠AOG ＝π6，求点G在“一个来回”中，被照到的时间． 19．解：（1）过O 作OH ⊥BC ，H 为垂足．①当0≤α≤π4时，E 在边AB 上，F 在线段BH 上（如图①）， 此时，AE ＝tan α，FH ＝πtan()4α-， (2)分∴S ＝S 正方形OABH －S △OAE －S △OHF＝11π1tan tan()224αα---． ………… 4分 ②当π4＜α＜π2时，E 在线段BH 上，F 在线段CH 上（如图②）， 此时，EH ＝1tan α，FH ＝13πtan()4α-， (6)分∴EF ＝113πtan tan()4αα+-．∴S ＝S △OEF ＝1113π2tan tan()4αα⎛⎫⎪+ ⎪ ⎪-⎝⎭．E19D图EO 图综上所述，11ππ1tan tan(),(0),2244111ππ,().3π2tan 42tan()4S αααααα⎧---⎪⎪⎪⎛⎫=⎨ ⎪⎪+<< ⎪⎪ ⎪-⎪⎝⎭⎩≤≤ ………… 8分（2）当0≤α≤π4时，S ＝11π1tan tan()224αα---，即S 122(1tan )21tan αα=-+++． ……………… 10分∵0≤α≤π4，∴0≤tan α≤1．即1≤1＋tan α≤2．∴21tan 1tan αα+++≥∴S ≤2．当tan α1时，S 取得最大值为2． ……………… 12分 （3）在“一个来回”中，OE 共转了2×3π4＝3π2．其中点G 被照到时，共转了2×π6＝π3．……………… 14分则“一个来回”中，点G被照到的时间为π3923π2⨯=（分钟）．……16分17．（本小题满分14分）第十八届省运会将于2014年9月在徐州市举办．为营造优美的环境，举办方决定在某“葫芦”形花坛中建喷泉．如图，该花坛的边界是两个半径为10米的圆弧围成，两圆心1O 、2O 之间的距离为10米．（1）如图甲，在花坛中建矩形喷泉，四个顶点A ，B ，C ，D 均在圆弧上，12O O AB ⊥于点M ．设2AO M，求矩形的宽AB 为多少时，可使喷泉ABCD 的面积最大；（2）如图乙，在花坛中间铺设一条宽为2米的观赏长廊以作休闲之用，则矩形喷泉变为两个全等的等腰三角形，其中NA NB =，24NO =米．若2[,]64AO M ，求喷泉的面积的取值范围．、17．=20cos 10θ+， ，………4分 令f 3，则2'()2cos2cos 4cos cos 2f θθθθθ=+=+-，令'()0f θ=，得cos θ0cos θ=，且03，列表如下：所以当θθ=的面积最大． ………………10分 （2）由（1）易得，喷泉的面积20sin (10cos 4)100sin 280sin S θθθθ=+=+， 由[,]64知，2[,]32，所以函数()100sin 280sin g θθθ=+是单调增函数， 所以40,100S ∈+． ………………………………13分答：（1）矩形的宽AB =ABCD 的面积最大；（2）喷泉的面积的取值范围是40,100+（单位：平方米）． ……14分17. （本小题满分14分）如图，某生态园将一三角形地块ABC 的一角APQ 开辟为水果园，种植桃树，已知角A 为120°，AB ，AC 的长度均大于200米．现在边界AP ，AQ 处建围墙，在PQ 处围竹篱笆．（1）若围墙AP ，AQ 总长为200米，如何围可使三角形地块APQ 的面积最大（第17题图乙）（第17题图甲）QP CBA（第17题）（2）已知AP 段围墙高1米，AQ 段围墙高米，造价均为每平方米100元．若围围墙用了20000元，问如何围可使竹篱笆用料最省 17．解 设AP x =米，AQ y =米． （1）则200x y +=，APQ ∆的面积1sin12024S xy xy =︒=． …………………………………………………………3分∴S 2()42x y +≤= 当且仅当100x y ==时取“=”． …………………………………………………………6分 （注：不写“＝”成立条件扣1分）（2）由题意得100(1 1.5)20000x y ⨯⋅+⋅=，即 1.5200x y +=． …………………8分要使竹篱笆用料最省，只需其长度PQ 最短，所以21.7540040000y y =-+（40003y <<） ………………………………………11分当8007y =时，PQ 有最小值7，此时2007x =． …………………………13分答：（1）当100AP AQ ==米时，三角形地块APQ 的面积最大为平方米； （2）当2007AP =米800,7AQ =米时，可使竹篱笆用料最省．……………………… 14分18．(本小题满分14分)因发生意外交通事故,一辆货车上的某种液体泄漏到一渔塘中.为了治污,根据环保部门的建议,现决定在渔塘中投放一种可与污染液体发生化学反应的药剂.已知每投放(14≤≤a a ,且)∈a R 个单位的药剂,它在水中释放的浓度y (克/升)随着时间x (天)变化的函数关系式近似为()y a f x =⋅,其中161(04)8()15(410)2⎧-≤≤⎪⎪-=⎨⎪-<≤⎪⎩x xf x x x .若多次投放,则某一时刻水中的药剂浓度为每次投放的药剂在相应时刻所释放的浓度之和.根据经验,当水中药剂的浓度不低于4(克/升)时,它才能起到有效治污的作用. （1）若一次投放4个单位的药剂,则有效治污时间可达几天（2）若第一次投放2个单位的药剂,6天后再投放a 个单位的药剂,要使接下来的4天中能够持续有效治污,试求a 的最小值(精确到,参考数据.18．解：（1）因为4a =,所以644(04)8202(410)x y x x x ⎧-≤≤⎪=-⎨⎪-<≤⎩…………………………………………………1分 则当04x ≤≤时,由64448x-≥-,解得0x ≥,所以此时04x ≤≤…………………………………… 3分当410x <≤时,由2024x -≥,解得8x ≤,所以此时48x <≤………………………………………5分综合,得08x ≤≤,若一次投放4个单位的制剂,则有效治污时间可达8天………………………… 6分（2）当610x ≤≤时,1162(5)(1)28(6)y x a x =⨯-+---……………………………………………9分=161014a x a x -+--=16(14)414ax a x-+---,因为14[4,8]x -∈,而14a ≤≤, 所以[4,8],故当且仅当14x -=时,y有最小值为4a - ………………………12分令44a -≥,解得244a -≤≤,所以a 的最小值为24 1.6-≈ ………………14分17．（本小题满分14分）已知 A 、B 两地相距2R ，以AB 为直径作一个半圆，在半圆上取一点C ，连接AC 、BC ，在三角形ABC 内种草坪（如图），M 、N 分别为弧AC 、弧BC 的中点，在三角形AMC 、三角形BNC 上种花，其余是空地．设花坛的面积为1S ，草坪的面积为2S ，取ABC θ∠=．（1） 用θ及R 表示1S 和2S ； （2） 求12S S 的最小值． 17．（1）因为ABC θ∠=，则2sin ,2cos AC R BC R θθ==，则22212sin cos sin 22S AC BC R R θθθ=⋅==．………………………………………3分 设AB 的中点为O ，连MO 、NO ，则,MO AC NO BC ⊥⊥．易得三角形AMC 的面积为2sin (1cos )R θθ-，三角形BNC 的面积为2cos (1sin )R θθ-，∴1S =2sin (1cos )R θθ-+2sin (1cos )R θθ-2(sin cos 2sin cos )R θθθθ=+-．（2）∵2122(sin cos 2sin cos )sin cos 12sin cos 2sin cos S R S R θθθθθθθθθθ+-+==-， 令sin cos (1,2]t θθ+=∈，则22sin cos 1t θθ=-． ∴12211111S t S t t t=-=---．∴12S S 的最小值为21-．17.（本小题满分14分）据环保部门测定，某处的污染指数与附近污染源的强度成正比，与到污染源距离的平方成反比，比例常数为k (0)k >．现已知相距18km 的A ，B 两家化工厂（污染源）的污染强度分别为,a b ，它们连线上任意一点C 处的污染指数y 等于两化工厂对该处的污染指数之和．设AC x =（km ）．（1）试将y 表示为x 的函数；（2）若1a =，且6x =时，y 取得最小值，试求b 的值． 17．解：（1）设点C 受A 污染源污染程度为2kax ，点C 受B 污染源污染程度为2(18)kb x -，其中k为比例系数，且0k >． (4)分从而点C 处受污染程度22(18)ka kby x x =+-． …………………………………………6分 （2）因为1a =，所以，22(18)k kb y x x =+-， ……………………………8分 '3322[](18)b y k x x -=+-，令'0y =，得x =， ……………………………12分又此时6x =，解得8b =，经验证符合题意． 所以，污染源B的污染强度b的值为8． ……………………………14分19.一走廊拐角处的横截面如图所示，已知内壁FG 和外壁BC 都是半径为1m 的四分之一圆弧，AB ，DC 分别与圆弧BC 相切于B ，C 两点，EF ∥AB ，GH ∥CD ，且两组平行墙壁间的走廊宽度都是1m ．（1）若水平放置的木棒MN 的两个端点,M N 分别在外壁CD 和AB 上，且木棒与内壁圆弧相切于点P ．设(rad)CMN θ∠=，试用θ表示木棒MN 的长度()f θ； （2）若一根水平放置的木棒能通过该走廊拐角处，求木棒长度的最大值．19.(1)如图，设圆弧FGT ，且交MN 或其延长线与于S ，并连接PQ W ．在R ∆t NWS 中，因为2=NW ，∠SNW所以2cos θ=NS ． 因为MN 与圆弧FG 切于点P ，所以⊥PQ MN ， 在R ∆t QPS ，因为1=PQ ，θ∠=PQS ， 所以1cos θ=QS ，12cos θ-=-QT QS ， ①若S 在线段TG 上，则=-TS QT QS 在R ∆t STM 中，sin sin θθ-==TS QT QSMS ， 因此=+MN NS MS sin θ-=+QT QSNS ②若S 在线段GT 的延长线上，则=-TS QS QT 在R ∆t STM 中，sin sin θθ-==TS QS QTMS ， 因此=-MN NS MS sin θ-=-QS QT NS sin θ-=+QT QSNS 2(sin cos )1(0)sin cos 2θθθθθ+-π=<<．………………………………………8分（2）设sin cos (12)t t θθ+=<≤，则21sin cos 2t θθ-=，因此242()()1t f g t t θ-==-． 因为2224(1)()(1)t t g t t -+'=--，又12t <≤，所以()0g t '<恒成立， 因此函数242()1t g t t -=-在(1,2]t ∈是减函数，所以min ()(2)422g t g ==-， 即min 422MN =-．答：一根水平放置的木棒若能通过该走廊拐角处，则其长度的最大值为422-． 17．(本小题满分14分)某建筑公司要在一块宽大的矩形地面（如图所示）上进 行开发建设，阴影部分为一公共设施不能建设开发，且要求NMABC DEFG HPS 1m1mT Q W用栏栅隔开（栏栅要求在直线上），公共设施边界为曲线2()1(0)f x ax a =->的一部分，栏栅与矩形区域的边界交于点M 、N ，切曲线于点P ，设(,())P t f t ．（1）将OMN ∆（O 为坐标原点）的面积S 表示成f 的函数S(t)； （2）若12t =，S(t)取得最小值，求此时a 的值及S(t)的最小值． 17．解：（Ⅰ）2y ax '=-，直线MN 的斜率为2at -，∴直线MN 的方程为2(1)2()y at at x t --=--令0,y =得22221121222at at at at x t at at at --++=+== 21(,0)2at M at+∴令0x =,得2222121,(0,1)y at at at N at =-+=+∴+,MON ∴∆的面积222211(1)()(1)224at at S t at at at ++=⋅+=, （Ⅱ）2422222321(1)(31)()44a t at at at S t at at+-+-'==, 因为0,0a t >>,由()0S t '=,得2310,at t -==得当2310,at t ->>即时, ()0S t '>,当2310,0at t -<<<即时, ()0S t '<,()t S t ∴=当有最小值. 已知在12t =处, ()S t 取得最小值,14,23a =∴=，故当41,32a t ==时,2min41(1)1234()()4123432S t S +⋅===⋅⋅ 17．（本小题满分14分）在综合实践活动中，因制作一个工艺品的需要，某小组设计了如图所示的一个门（该图为轴对称图形），其中矩形ABCD 的三边AB 、BC 、CD 由长为6分米的材料弯折而成，BC 边的长为t 2分米（231≤≤t ）；曲线AOD 拟从以下两种曲线中选择一种：曲线1C 是一段余弦曲线（在如图所示的平面直角坐标系中，其解析式为1cos -=x y ），此时记门的最高点O 到BC 边的距离为()t h 1；曲线2C 是一段抛物线，其焦点到准线的距离为89，此时记门的最高点O 到BC 边的距离为)(2t h（1）试分别求函数()t h 1、)(2t h 的表达式（2）要使得点O 到BC 边的距离最大，应选用哪一种曲线此时最大值是多少 解：（1）()⎪⎭⎫ ⎝⎛≤≤--=231cos 41t tt t h()⎪⎭⎫ ⎝⎛≤≤+-=23139422t t t t h (6)分（2）由于10()1sin h t t '=-+≤恒成立， 所以函数1()h t 在31,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减，因此，()()11max 13cos1h t h ==- ………10分 而()2523max2=⎪⎭⎫ ⎝⎛=h th ， ………12分 53cos13cos32π-<-=所以选用2C ………14分 17．（本小题满分15分）某农户准备建一个水平放置的直四棱柱形储水窖（如图），其中直四棱柱的高1AA =10m ，两底面1111,ABCD A B C D 是高为2m ，面积为210m 的等腰梯形，且02ADC πθθ⎛⎫∠=<< ⎪⎝⎭。
高考数学专项复习：应用题
高三数学高考冲刺应用题专项训练1如图，某地要在矩形区域OAB 内建造三角形池塘OEF ，E ，F 分别在AB ，B 边上，OA=5米，O=4米，∠EOF=，设F=，AE=y ．（1）试用解析式将y 表示成的函数；（2）求三角形池塘OEF 面积S 的最小值及此时的值．2如图，景点A 在景点B 的正北方向2千米处，景点C 在景点B的正东方向 （1）游客甲沿CA 从景点C 出发行至与景点B千米的点P 处, 记=PBC α∠，求sin α的值；（2）游客甲沿CA 从景点C 出发前往目的地景点A ，游客乙沿AB 从景点A 出发前往目的地景点B ，甲乙同时出发，甲的速度为1千米/小时，乙的速度为2千米/小时 若甲乙两人之间通过对讲机联系，对讲机在该景区内的最大通话距离为3千米，问有多长时间两人不能通话？（精确到0.1小时，参3.9≈）3如图，某水域的两直线型岸边l 1，l 2 成定角120，在该水域中位于该角角平分线上且与顶点A 相距1公里的D 处有一固定桩．现某渔民准备经过该固定桩安装一直线型隔离网B （B ，分别在l 1和l 2上），围出三角形AB 养殖区，且AB 和A 都不超过5公里．设AB ＝公里，A ＝y 公里． （1）将y 表示成的函数，并求其定义域；（2）该渔民至少可以围出多少平方公里的养殖区？4一个玩具盘由一个直径为2米的半圆O 和一个矩形ABD 构成，AB=1米，如图所示，小球从A 点出发以大小为5v 的速度沿半圆O 轨道滚到某点E 处，经弹射器以6v 的速度沿与点E 切线垂直的方向弹射到落袋区B 内，落点记为F ，设∠AOE=θ弧度，小球从A 到F 所需时间为T ．（1）试将T 表示为θ的函数T （θ），并写出定义域；（2）求时间T 最短时cs θ的值．B（第2题图）(第17A D l lB Cx y 1125某沿海城市的海边有两条相互垂直的直线型公路l1、l2，海岸边界MPN近似地看成一条曲线段．为开发旅游资，需修建一条连接两条公路的直线型观光大道AB，且直线AB与曲线MPN有且仅有一个公共点P（即直线与曲线相切），如图所示．若曲线段MPN是函数图象的一段，点M到l1、l2的距离分别为8千米和1千米，点N到l2的距离为10千米，点P到l2的距离为2千米．以l1、l2分别为、y轴建立如图所示的平面直角坐标系Oy．（1）求曲线段MPN的函数关系式，并指出其定义域；（2）求直线AB 的方程，并求出公路AB的长度（结果精确到1米）．6某自水厂的蓄水池存有400吨水，水厂每小时可向蓄水池中注水60吨，同时蓄水池又向居民小区不间断供水，t小时内供水总量为吨，（0≤t≤24）（1）从供水开始到第几小时时，蓄水池中的存水量最少？最少水量是多少吨？（2）若蓄水池中水量少于80吨时，就会出现供水紧张现象，请问：在一天的24小时内，有几小时出现供水紧张现象．7有一块铁皮零件，其形状是由边长为30c的正方形截去一个三角形ABF所得的五边形ABDE，其中AF=8c，BF=6c，如图所示．现在需要用这块材料截取矩形铁皮DMPN，使得矩形相邻两边分别落在D，DE上，另一顶点P落在边B或BA边上．设DM=c，矩形DMPN的面积为yc2．（1）试求出矩形铁皮DMPN的面积y关于的函数解析式，并写出定义域；（2）试问如何截取（即取何值时），可使得到的矩形DMPN的面积最大？8某学校为了教职工的住房问题，计划征用一块土地盖一幢总建筑面积为A(2)的宿舍楼已知土地的征用费为2388元/2，且每层的建筑面积相同，土地的征用面积为第一层的25倍经工程技术人员核算，第一、二层的建筑费用相同都为445元/2，以后每增高一层，其建筑费用就增加30元/2试设计这幢宿舍楼的楼高层数，使总费用最少，并求出其最少费用（总费用为建筑费用和征地费用之和）9为促进个人住房商品化的进程，我国1999年元月公布了个人住房公积金贷款利率和商业性贷款利率如下：汪先生家要购买一套商品房，计划贷款25万元，其中公积金贷款10万元，分十二年还清；商业贷款15万元，分十五年还清．每种贷款分别按月等额还款，问：(1)汪先生家每月应还款多少元?(2)在第十二年底汪先生家还清了公积金贷款，如果他想把余下的商业贷款也一次性还清；那么他家在这个月的还款总数是多少?(参考数据：1004455144＝18966，1005025144＝20581，1005025180＝24651)。
数学应用题专题训练及解答
一． 选择题：1．某种放射性元素，100年后只剩原来质量的一半，现有这种元素1克，3年后剩下（ ）。
（A ）1005.03 克 （B ）(1－0.5%)3克 （C ）0.925克 （D ）100125.0克2．1980年我国工农业总产值为a 亿元，到2000年工农业总产值实现翻两番的战略目标，年平均增长率至少达到（ ）。
（A ）2014－1 （B ）2012－1 （C ）2114－1 （D ）2112－13．某电脑用户计划使用不超过500元的资金购买单价分别为60元、70元的单片软件和盒装磁盘，根据需要，软件至少买3片，磁盘至少买2盒，则不同的选购方式共有（ ）。
（A ）5种 （B ）6种 （C ）7种 （D ）8种4．已知函数y =2cosx (0≤x ≤2π)的图象和直线y =2围成一个封闭的平面图形，则这个封闭图形的面积是（ ）。
（A ）4 （B ）8 （C ）2π （D ）4π5．若干升水倒入底面半径为2cm 的圆柱形容器中，量得水面的高度为6cm ，若将这些水倒入轴截面是正三角形的倒圆锥形器皿中，则水面的高度是 （ ）。
（A ）63cm （B ）6cm （C ）2318cm （D ）3312cm6．有一块“缺角矩形”地皮ABCD E ，其尺寸如图，欲用此块地建一座地基为长方形的建筑物，以下四个方案中，哪一种地基面积最大（ ）。
（A ） （B ） （C ） （D ）7．由甲城市到乙城市t 分钟的电话费由函数g (t )=1.06×(0.75[t ]+1)给出，其中t >0，[t ]表示大于或等于t 的最小整数，则从甲城市到乙城市5.5分钟的电话费为（ ）。
（A ）5.83元 （B ）5.25元 （C ）5.56元 （D ）5.04元8．某商场卖甲、乙两种价格不同的商品，由于商品甲连续两次提价20%，同时商品乙连续两次季节性降价20%，结果都以每件23.04元售出，若商场同时售出这两种商品各一件，则与价格不升不降的情况比较，商场盈利的情况是（ ）。
高考数学中的常见应用题
高考数学中的常见应用题数学作为一门学科，一直以来都是学生们备受困扰的科目之一。
在高考数学考试中，常常会涉及到一些应用题，让学生们去运用所学知识解决实际问题。
这些应用题旨在考查学生对数学知识的应用能力以及解决问题的能力。
在本文中，我将介绍一些高考数学中常见的应用题，并探讨如何有效的解决这些问题。
首先，常见的应用题之一是关于函数的应用题。
这类题目通常要求学生根据给定的函数关系，解决实际问题。
例如，一道常见的题目是：已知一辆汽车行驶的速度与时间的关系为 v(t) = 3t + 20，其中 v(t) 表示汽车的速度（单位：km/h），t 表示行驶的时间（单位：小时）。
现给定汽车行驶的时间为 5 小时，问这辆汽车行驶了多远？要解决这个问题，我们可以将 t = 5 代入 v(t) 中，得到汽车的速度为 v(5) = 3 × 5 + 20 = 35 km/h。
然后，根据速度等于路程除以时间的定义，我们可以计算出汽车行驶的路程为 35 km/h × 5 h = 175 km。
通过这个例子，我们可以看到，在解决函数应用题时，关键是找到函数关系式，并根据问题的要求进行合理运算。
其次，还有关于几何图形的应用题。
几何图形的应用题常常需要学生们根据所给的图形信息，进行面积、周长等相关计算。
例如，一道常见的题目是：在长方形 ABCD 中，已知 AB = 6 cm，BC = 8 cm，求其周长和面积。
要解决这个问题，我们可以利用长方形的性质，知道长方形的周长等于两倍的长加两倍的宽，即 2(AB + BC) = 2(6 + 8) = 28 cm。
而面积等于长乘以宽，即 AB × BC = 6 × 8 = 48 cm²。
通过这个例子，我们可以看到，在解决几何图形的应用题时，首先要理解所给图形的特性，然后根据特性进行相应的计算。
此外，高考数学中还有许多与实际问题相关的应用题，如投资问题、利润问题、速度问题等。
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由 ,
得 .
即
(2）由 ,知点 在以 ， 为焦点的椭圆上,
∵ ,∴要使四边形DＢAC面积最大，只需 的面积最大,此时点 到 的距离最大,即 必为椭圆短轴顶点．由 ,得短半轴长 面积的最大值为 .
因此,四边形ACDＢ面积的最大值为 ．
3.某直角走廊的示意图如图所示,其两边走廊的宽度均为２m.
17.命题立意：本题主要考查数学建模和解决实际问题的能力,考查运算求解能力.
解：(法一）设圆锥母线与底面所成角为 ，且 ，(2分)
则该仓库的侧面总造价
，（8分）
由 得 ,即 ,（1３分）
经检验得,当 时，侧面总造价 最小，此时圆锥的高度为 m．(15分)
(法二）设圆锥的高为 m，且 ，（２分）
则该仓库的侧面总造价
（2)图(１)中由四条线段所在直线围成的平面区域为 ,动点 在 内（包括边界),求 的最大值;
（３）由（2），将动点 所满足的条件及 Nhomakorabea求的最大值由加法运算类比到乘法运算（如 类比为 ），试列出 所满足的条件，并求出相应的最大值．
（图1)（图2）
1９.解(Ⅰ)
.
(
在 恒成立,所以函数在 上递增
当t＝6时, ＝3４.5. ∴6月份销售额最大为3４500元．
,（8分)
由 得 ,(13分）
经检验得，当 时，侧面总造价 最小,此时圆锥的高度为 ｍ．(1５分）
3． 在一个六角形体育馆的一角ＭAN内，用长为a的围栏设置一个运动器材储存区域(如图所示),已知 ,B是墙角线ＡM上的一点,Ｃ是墙角线AＮ上的一点.
(1)若BC=a＝20,求储存区域面积的最大值;
（2）若AＢ=AC＝１0,在折线 内选一点 ,使 ，求四边形储存区域DBAＣ的最大面积．
（Ⅱ) ,z=x—5ｙ.
令ｘ—５y＝A(ｘ+ｙ)+Ｂ(x—y),则 ,
∴z=x—5y＝—2(x+y)+3(ｘ—y)．由 , ，
∴ ,则(z)max=１１．
(Ⅲ)类比到乘法有已知 ，求 的最大值．由 ＝（ )A·( ）B
.∴ ,
∴ ,则（z)maｘ= .
18．(本题满分１５分）
如图甲,一个正方体魔方由２７个单位（长度为1个单位长度）小立方体组成,把魔方中间的一层 转动 ,如图乙,设 的对边长为 ．
(1)试用 表示 ；
(２）求魔方增加的表面积的最大值．
18.命题立意:本题主要考查数学建模和解决实际问题的能力,考查运算求解能力.
解：(1)由题意得 ,
解得 ,(６分）
（2)魔方增加的表面积为 ,
由(１)得 ,(10分）
令 ,
则 （当且仅当 即 时等号成立),
答：当 时，魔方增加的表面积最大为 ．(15分）
(１）设∠ＣA1O= （ｒad),将ｙ表示成θ的函数关系式;
（2)请你设计 ,当角θ正弦值的大小是多少时，细绳总长y最小,并指明此时ＢC应为多长。
18.(Ⅰ)解:在 △ＣOA1中,
， ，………２分
=
( )……7分
(Ⅱ) ，
令 ,则 ………………1２分
当 时， ； 时, ,
∵ 在 上是增函数
∴当角 满足 时，y最小,最小为 ；此时BC m…16分
17.(本题满分15分)请你为某养路处设计一个用于储藏食盐的仓库(供融化高速公路上的积雪之用）.它的上部是底面圆半径为５m的圆锥，下部是底面圆半径为5ｍ的圆柱，且该仓库的总高度为５m.经过预算,制造该仓库的圆锥侧面、圆柱侧面用料的单价分别为4０0元/ 、10０元/ ，问当圆锥的高度为多少时，该仓库的侧面总造价（单位：元)最少？
当 时, 为增函数；
所以当 时, 有最小值 ，
因为 ,所以铁棒能水平通过该直角走廊．
１9．（本小题满分16分)
如图一块长方形区域ABCD，AD＝2( ）,ＡＢ＝1( ）．在边ＡD的中点O处,有一个可转动的探照灯，其照射角∠EOF始终为 ，设∠AOE=α,探照灯O照射在长方形ＡＢCＤ内部区域的面积为S．
∴S＝Ｓ△OEF＝ ．
综上所述， …………8分
(2）当０≤α≤ 时,Ｓ= ，
即S .………………10分
∵0≤α≤ ，∴0≤ ≤1．即１≤1＋ ≤2.
∴ ≥２ ．
∴Ｓ≤2－ ．
当 = －1时,S取得最大值为2- .………………12分
(3）在“一个来回”中，ＯE共转了２× ＝ .
（1)当０≤α＜ 时,写出S关于α的函数表达式;
(2）当0≤α≤ 时，求Ｓ的最大值.
(３）若探照灯每9分钟旋转“一个来回”(OE自OA转到OC,再回到OA,称“一个来回”，忽略OＥ在OA及ＯC反向旋转时所用时间),且转动的角速度大小一定,设AB边上有一点G,且∠AOG= ,求点G在“一个来回”中，被照到的时间．
高考数学应用题
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１８.(本题满分16分)
如图所示：一吊灯的下圆环直径为4m,圆心为Ｏ,通过细绳悬挂在天花板上，圆环呈水平状态,并且与天花板的距离 为２m，在圆环上设置三个等分点Ａ1,A2，A3。点Ｃ为 上一点(不包含端点Ｏ、B）,同时点Ｃ与点Ａ1,A2,A3,B均用细绳相连接,且细绳CA1，CA2，ＣA3的长度相等。设细绳的总长为
19．解:（1）过O作OH⊥BＣ,Ｈ为垂足．
①当0≤α≤ 时,
E在边AB上，F在线段BH上(如图①）,
此时，AE＝ ，ＦH= ，…2分
∴S=S正方形OABH－Ｓ△OＡE－S△ＯHF
= .…………４分
②当 <α< 时，
E在线段BH上,F在线段CH上(如图②）,
此时，ＥH＝ ，FＨ= ，…6分
∴EF= .
(1）过点 的一条直线与走廊的外侧两边交于 两点，且与走廊的一边的夹角为 ,将线段 的长度 表示为 的函数;
（２)一根长度为５ｍ的铁棒能否水平（铁棒与地面平行)通过该直角走廊？请说明理由（铁棒的粗细忽略不计)．
解：(１）根据图得
(2）铁棒能水平通过该直角直廊，理由如下:
令 得, .
当 时, 为减函数;
１9．由一个小区历年市场行情调查得知,某一种蔬菜在一年12个月内每月销售量 （单位:吨)与上
市时间 （单位：月)的关系大致如图（1）所示的折线 表示,销售价格 (单位:元/千克）
与上市时间 (单位:月）的大致关系如图（2)所示的抛物线段 表示( 为顶点).
（1）请分别写出 , 关于 的函数关系式,并求出在这一年内３到６月份的销售额最大的月份？