1.函数实际应用题答题模板(2020高考冲刺讲解篇)
高考数学冲刺函数考点深度解析
高考数学冲刺函数考点深度解析高考对于每一位学子来说，都是人生中的一次重要挑战。
数学作为其中的关键学科，更是备受关注。
在数学的众多考点中，函数无疑是重中之重。
在高考冲刺阶段，对函数考点进行深度解析，能够帮助同学们更有针对性地进行复习，提高数学成绩。
一、函数的基本概念函数是数学中的一个基本概念，简单来说，就是对于给定的一个非空数集，按照某种特定的规则，使得集合中的每一个数都对应着另一个数。
函数通常用符号 y ＝ f(x) 来表示，其中 x 称为自变量，y 称为因变量。
理解函数的定义，关键在于把握“一对一”或“多对一”的对应关系。
也就是说，对于自变量 x 的每一个取值，都只能有唯一的 y 值与之对应。
但一个 y 值可以对应多个 x 值。
例如，函数 y ＝ x²，当 x ＝ 2 或 x ＝－2 时，y 都等于 4。
这就体现了一个 y 值对应多个 x 值的情况。
二、常见函数类型1、一次函数一次函数的表达式为 y ＝ kx ＋ b（k、b 为常数，k ≠ 0）。
其图像是一条直线。
当 k ＞ 0 时，函数单调递增；当 k ＜ 0 时，函数单调递减。
2、二次函数二次函数的一般式为 y ＝ ax²＋ bx ＋ c（a ≠ 0）。
它的图像是一条抛物线。
当 a ＞ 0 时，抛物线开口向上，函数有最小值；当 a ＜ 0 时，抛物线开口向下，函数有最大值。
二次函数的对称轴为 x ＝ b ／ 2a，顶点坐标为（b ／ 2a，（4ac b²) ／ 4a）。
3、反比例函数反比例函数的表达式为 y ＝ k ／ x（k 为常数，k ≠ 0）。
其图像是以原点为对称中心的两条曲线。
当 k ＞ 0 时，图像分别位于第一、三象限，在每个象限内，y 随 x的增大而减小；当 k ＜ 0 时，图像分别位于第二、四象限，在每个象限内，y 随 x 的增大而增大。
4、指数函数指数函数的表达式为 y ＝ a^x（a ＞ 0 且a ≠ 1）。
(最新实用)2020年高考理科数学之高频考点解密04 函数的应用(解析版)
解密04 函数的应用考点1 函数的零点题组一 函数零点（方程的根）所在区间的判断调研1 设x 0是方程101−x =lg x 的解,且x 0∈(k,k +1)(k ∈Z),则k =__________. 【答案】99【解析】令f (x )=101−x −lg x ,则函数f (x )在定义域(0,+∞)上单调递减,则f(100)=101−100−lg100=−1<0,f(99)=101−99−lg99=2−lg99>0,因为f(99)∙f(100)<0,所以函数f (x )的零点在(99,100)内,即k =99.☆技巧点拨☆确定函数的零点(方程的根)所在的区间时，可以利用零点的存在性定理转化为判断区间两端点对应的函数值是否异号来确定，也可以利用数形结合法，通过画函数图象与x 轴的交点来确定.题组二 函数零点个数的判断调研2 函数()1112x f x x-⎛⎫=- ⎪⎝⎭的零点个数为 A ．0个 B ．1个 C ．2个D ．3个【答案】C【解析】函数()1112x f x x -⎛⎫=- ⎪⎝⎭的零点个数也就是方程1112x x-⎛⎫=⎪⎝⎭的解的个数. 当0x <时，1102x -⎛⎫> ⎪⎝⎭，而10x <不可能有交点.而x 不能为0，当0x >时，对1112x x-⎛⎫=⎪⎝⎭取倒数，12x x -=也就是求函数12x y y x -==与图象的交点个数.当1x =和2x =时，两个函数相等，结合两个函数图象（如下图），可知只能有2个交点.故原函数有2个零点，故选C.☆技巧点拨☆函数零点个数的判断方法（1）解方程法：令f (x )=0，如果能求出解，则有几个解就有几个零点．（2）零点存在性定理法：利用定理不仅要求函数在区间[a ，b ]上是连续不断的曲线，且f (a )·f (b )<0，还必须结合函数的图象与性质(如单调性、奇偶性、周期性、对称性)才能确定函数有多少个零点或零点值所具有的性质．（3）数形结合法：转化为两个函数的图象的交点个数问题，先画出两个函数的图象，看其交点个数，其中交点的横坐标有几个不同的值，就有几个不同的零点.题组三 函数零点的应用问题 调研3 函数()exx f x =，关于x 的方程()()()2110fx m f x m -++-=有4个不相等实根，则实数m 的取值范围是A ．22e e(,1)e e-+B ．22e e +1(,)e e-+∞+ C ．22e e 1(,1)e e-++D ．22e e(,)e e-+∞+ 【答案】C【解析】根据题意画出函数()f x 的图象，如图.令()t f x =，原问题等价于关于t 的方程()2110t m t m -++-=有两个根12,t t ，每个t 值对应两个x 值，故有两种情况：1201(0,)e t t =⎧⎪⎨∈⎪⎩①；121e 1(0,)e t t ⎧>⎪⎪⎨⎪∈⎪⎩②. 当属于情况①时，将0t =代入()2110t m t m -++-=得到1m =，此时方程()2110t m t m -++-=的根是确定的，一个为0，一个为2，不符合题意；当属于情况②时，2221110e e 1, 1.e ee e 10m m m m +⎧-+-<-+⎪⇒<<⎨+⎪->⎩ 【名师点睛】函数零点的求解与判断方法：（1）直接求零点：令f (x )＝0，如果能求出解，则有几个解就有几个零点．（2）零点存在性定理：利用定理不仅要函数在区间[a ，b ]上是连续不断的曲线，且f (a )·f (b )＜0，还必须结合函数的图象与性质(如单调性、奇偶性)才能确定函数有多少个零点．（3）利用图象交点的个数：将函数变形为两个函数的差，画两个函数的图象，看其交点的横坐标有几个不同的值，就有几个不同的零点．☆技巧点拨☆高考对函数零点的考查多以选择题或填空题的形式出现，有时也会出现在解答题中．常与函数的图象及性质相结合，且主要有以下几种常见类型及解题策略． 1．已知函数零点所在区间求参数或参数的取值范围根据函数零点或方程的根求解参数的关键是结合条件给出参数的限制条件，此时应分三步： ①判断函数的单调性；②利用零点存在性定理，得到参数所满足的不等式；③解不等式，即得参数的取值范围．在求解时，注意函数图象的应用． 2．已知函数零点的个数求参数或参数的取值范围一般情况下，常利用数形结合法，把此问题转化为求两函数图象的交点问题． 3．借助函数零点比较大小或直接比较函数零点的大小关系要比较f (a )与f (b )的大小，通常先比较f (a )、f (b )与0的大小．若直接比较函数零点的大小，则可有以下三种常用方法：①求出零点，直接比较大小； ②确定零点所在区间；③同一坐标系内画出函数图象，由零点位置关系确定大小.考点2 函数模型及其应用题组一 二次函数模型的应用调研1 如图所示，用总长为定值l 的篱笆围成长方形的场地，以墙为一边，并用平行于一边的篱笆隔开.（1）设场地面积为y ，垂直于墙的边长为x ，试用解析式将y 表示成x 的函数，并确定这个函数的定义域； （2）怎样围才能使得场地的面积最大？最大面积是多少？【答案】（1）()3y x l x =-，0,3l x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭；（2）6l x =时，2max 12l y =.【解析】（1）设平行于墙的边长为a ，则篱笆总长3l x a =+，即3a l x =-， ∴场地面积()3y x l x =-，0,3l x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭.（2）()222333612l l y x l x x lx x ⎛⎫=-=-+=--+ ⎪⎝⎭，0,3l x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，∴当且仅当6lx =时，2max 12l y =.综上，当场地垂直于墙的边长x 为6l时，最大面积为212l .题组二 指数函数、对数函数模型的应用调研 2 在热学中,物体在常温下的温度变化可以用牛顿冷却定律来描述,如果物体的初始温度是T 0,经过一定时间t 后,温度T 将满足T −T a =(12)t ℎ(T 0−T a ),其中T a 是环境温度,ℎ称为半衰期.现有一杯用195F 热水冲的速溶咖啡,放在75F 的房间内,如果咖啡降到105F 需要20分钟,问降温到95F 需要多少分钟?(F 为华氏温度单位,答案精确到0.1，参考数据:lg2=0.3010,lg3=0.4771）【解析】依题意,可令T 0=195,T =105,T a =75,t =20，代入式子得:105−75=(195−75)(12)20ℎ,解得ℎ=10,又把T =95代入式子得95−75=(195−75)(12)t 10,则(12)t 10=16,∴t =10log 1216=10log 26=10(log 23+1) =10(lg3lg2+1)=0.477110125.90.3010⎛⎫+≈⎪⎝⎭.故降温到95F 约需要25.9分钟.调研3 声强级L (单位:dB )由公式L =10lgI 10−12给出,其中I 为声强(单位:W m 2⁄).(1)一般正常人听觉能忍受的最高声强为1W /m 2,能听到的最低声强为10−12W /m 2,求人听觉的声强级范围; (2)在一演唱会中,某女高音的声强级高出某男低音的声强级20dB ,请问该女高音的声强是该男低音声强的多少倍?【解析】(1)由题知:10−12≤I ≤1,∴1≤I10−12≤1012,∴0≤lg I10−12≤12,0≤L ≤120, ∴人听觉的声强级范围是[0,120]. (2)设该女高音的声强级为L 1,声强为I 1, 该男低音的声强级为L 2,声强为I 2, 由题知:L 1−L 2=20,则10lg I 110−12−10lg I 210−12=20,∴lg I1I2=2, ∴I 1=100I 2.故该女高音的声强是该男低音声强的100倍. 题组三 分段函数模型的应用调研4 某种商品的销售价格会因诸多因素而上下浮动，经过调研得知：2019年9月份第x （130x ≤≤，x *∈N ）天的单件销售价格（单位：元20,115()50,1530x x f x x x +≤<⎧=⎨-≤≤⎩,第x 天的销售量（单位：件）()(g x m x m =-为常数），且第20天该商品的销售收入为600元（销售收入=销售价格⨯销售量）. （1）求m 的值；（2）该月第几天的销售收入最高？最高为多少？【答案】（1）40m =；（2）当第10天时，该商品销售收入最高为900元．【解析】（1）销售价格20,115,()50,1530,x x f x x x +<⎧=⎨-⎩„剟第x 天的销售量（单位：件）()(g x m x m =-为常数），当20x =时，由(20)(20)(5020)(20)600f g m =--=， 解得40m =．（2）当115x <„时，(20)(40)y x x =+-2220800(10)900x x x =-++=--+，故当10x =时，max 900y =，当1530x 剟时，22(50)(40)902000(45)25y x x x x x =--=-+=--，故当15x =时，max 875y =，因为875900<，故当第10天时，该商品销售收入最高为900元．☆技巧点拨☆解函数应用题的一般步骤，可分以下四步进行：（1）认真审题：弄清题意，分清条件和结论，理顺数量关系，初步选择模型； （2）建立模型：将文字语言转化为数学语言，利用数学知识，建立相应的数学模型； （3）求解模型：求解数学模型，得出数学结论；（4）还原解答：将利用数学知识和方法得出的结论，还原到实际问题中.1．（内蒙古自治区赤峰市赤峰二中、呼市二中2019-2020学年高三上学期10月月考数学试题）已知函数()()222,01,0x x a x a x f x a x ⎧+-+>=⎨-≤⎩（0a >，且1a ≠）在R 上单调递增，且关于x 的方程()22f x x =+恰有两个不等的实数解，则a 的取值范围是 A ．()1,2 B ．(]1,2 C ．(]{}1,23U D ．(){}1,23U【答案】A【解析】由1xy a =-在(],0-∞上单调递增，得1a >，又由()f x 在R 上单调递增，则()2022002202a a a ⎧+-⨯+≥⎪⎨-<⎪⎩，解得1a >，如图所示，在同一坐标系中作出函数()f x 和22y x =+的图象，当2a <时，由图象可知，(],0-∞上，()22f x x =+有且仅有一个解，在()0,+∞上()22f x x =+同样有且仅有一个解.当2a ≥时，直线22y x =+与(),0y f x x =>相切时有一个交点，由()22222x a x a x +-+=+（其中0x >），得：()22420x a x a +-+-=，则()()222442420240a a a a ∆=---=-+=， 解得2a =或3a =，此时切点横坐标分别为0,1x x ==-与0x >矛盾， 故2a =或3a =不符合题意, 综上所述，()1,2a ∈.【名师点睛】本题主要考查了函数方程与函数的零点，分类讨论思想，数形结合的思想，属于难题.2．（上海市大同中学2019—2020学年高三上学期10月学情调研数学试题）设函数120()(1)0x x f x f x x -⎧≤=⎨->⎩，方程()f x x a =+有且只有两个不相等实数根，则实数a 的取值范围为 A ．[3,4) B ．[2,4)C ．(1,4)D ．(,4)-∞【答案】A【解析】因为方程()f x x a =+有且只有两个不相等实数根,所以函数()y f x =与函数y x a =+的图象有且只有两个交点, 函数()y f x =的图象如下:由图可知:34a ≤<. 故选A.【名师点睛】本题考查了由方程实根的个数求参数取值范围,解题关键是转化为两个函数图象的交点个数问题解决,属于中档题.3．（河南省洛阳市2019-2020学年高三上学期期中数学试题）已知函数()(]201lg (1,)x x x f x x x ⎧-+∈⎨∈+∞⎩，，，＝，，若()f x a =有三个不等实数根123,,x x x ，则123x x x ++的取值范围是A ．（2，＋∞）B ．[2，＋∞）C ．（2，1+ D ．[2，1+【答案】C【解析】()(]201lg (1,)x x x f x x x ⎧-+∈⎨∈+∞⎩，，，＝，，，()f x a =有三个不等实数根123,,x x x ，设123x x x <<， 画出函数图象得：根据对称性知：121x x =+，2()f x x x =-+的最大值为14.取1lg ,4x x ==，则31x <<综上所述：21312x x x ++<<， 故选C .4．（黑龙江省哈尔滨市第六中学2019-2020学年高三上学期一模数学试题）若1x 是方程e 4x x =的解，2x 是方程ln 4x x =的解，则12x x +等于 A ．4 B ．2C ．eD ．1【答案】A【解析】由题意，1x 是方程e 4x x =的解，2x 是方程ln 4x x =的解， 即12,x x 是函数e xy =和ln y x =与函数4y x=的图象的公共点,A B 的横坐标， 而121244(,),(,)A x B x x x 两点关于直线y x =对称， 又由4y x y x =⎧⎪⎨=⎪⎩，解得2x =，所以124x x +=，故选A ．【名师点睛】本题主要考查了函数与方程的综合问题，其中解答中把方程的解转化为两函数与4y x=的图象公共点的横坐标，再利用对称性求解是解答的关键，着重考查了转化思想，以及推理与运算能力，属于中档试题.5．（内蒙古自治区赤峰市赤峰二中、呼市二中2019-2020学年高三上学期10月月考数学试题）已知函数()23,145,1x x f x x x x ⎧-+<=⎨-+≥⎩，()()()ln g x x a a =+∈R ，若函数()()y f x g x =-恰有4个零点，则实数a 的取值范围是______. 【答案】()34,e【解析】由()()23,121,1x x f x x x ⎧-+<⎪=⎨-+≥⎪⎩，则函数()f x 的简图如图所示：若函数()()y f x g x =-恰有4个零点，则函数()y g x =图象所在的临界位置恰好在虚线所在的函数①②的位置.（1）当函数()y g x =处于①的位置时，点()0,3在函数()y g x =的图象上，有()0ln 3g a ==，得3e a =； （2）当函数()y g x =处于②的位置时，此时函数()y g x =与直线3y x =+相切，设切点P 的坐标为()00,x y ，有()00000113ln x a y x y x a ⎧=⎪+⎪⎪=+⎨⎪=+⎪⎪⎩，解得：00304x y a =-⎧⎪=⎨⎪=⎩，由（1）（2）知实数a 的取值范围是()34,e . 故答案为()34,e.【名师点睛】本题主要考查函数与方程的应用，考查导数的应用，考查数形结合以及一元二次函数，对数函数的性质进行求解，注意临界位置的考查．6．（上海市七宝中学2019-2020学年高三上学期期中数学试题）定义在R 上的奇函数()y f x =，当0x >时，2()lg(33)f x x x =-+，则()f x 在R 上的零点个数为________个.【答案】5【解析】当0x >时，令2()lg(33)0f x x x =-+=，即2lg(33)lg1x x -+=，解得121,2x x == 根据奇函数的对称性可得()()()()11220f f f f =--==--=，故341,2x x =-=-也是函数的零点，又()y f x =的定义域为R ，所以()00f =，故50x =也是函数的零点，共5个零点.故答案为：5.7．（江苏省镇江市2019-2020学年高三上学期期中数学试题）已知函数3,0()1,0x x x f x x a x x ⎧+≤⎪=⎨-->⎪⎩有4个不同的零点，则实数a 的取值范围为_______． 【答案】()2,+∞【解析】令1(),()3,(),()xg x x h x m x x a n x x=-==-=， 当0x ≤时，(),()3xg x x h x =-=恒有1个交点，即()f x 恒有1个零点.如图所示，当0x >时，且()m x x a =-的左半支与1()n x x=相切时，此时只有2个交点，且(2)0m =，解得2a = ，故当2a >时，两个函数才恒有3个交点，即函数()f x 有3个不同的零点. 综上所述，当2a >时，函数()f x 有4个不同的零点. 故答案为()2,+∞.8．（2019年上海市南洋中学高三上学期10月学习能力诊断测数学试题）某企业参加A 项目生产的工人为1000人，平均每人每年创造利润10万元.根据现实的需要，从A 项目中调出x 人参与B 项目的售后服务工作，每人每年可以创造利润310500x a ⎛⎫- ⎪⎝⎭万元（0a >），A 项目余下的工人每人每年创造利润需要提高0.2%x（1）若要保证A 项目余下的工人创造的年总利润不低于原来1000名工人创造的年总利润，则最多调出多少人参加B 项目从事售后服务工作？（2）在（1）的条件下，当从A 项目调出的人数不能超过总人数的40%时，才能使得A 项目中留岗工人创造的年总利润始终不低于调出的工人所创造的年总利润，求实数a 的取值范围. 【答案】（1）500；（2）(0,5.1].【解析】设调出x 人参加B 项目从事售后服务工作.（1）由题意得：10(1000)(10.2%)101000x x -+≥⨯，即25000x x -≤，又0x >，所以0500x <≤．即最多调整500名员工参加B 项目从事售后服务工作． （2）由题知，0400x <≤，参与B 项目的售后服务工作员工创造的年总利润为310()500xa x -万元， 从事A 项目的员工的年总利润为110(1000)(1)500x x -+万元， 则310(500xa -)10(1000)(10.2%)x x x ≤-+， 所以23110002500500x ax x x -≤+--2x ，所以221000500x ax x ≤++，即210001500x a x≤++恒成立， 因为0400x <≤， 所以210002400100011 5.1500500400x x ⨯++≥++=， 所以 5.1a ≤，又0a >，所以0 5.1a <≤， 即a 的取值范围为(0,5.1]．【名师点睛】考查了利用不等式解决实际问题，难点是建立不等式关系，利用函数单调性求出最值． 9．（上海市杨浦区2019-2020学年高三上学期期中质量调研数学试题）《上海市生活垃圾管理条例》于2019年7月1日正式实施，某小区全面实施垃圾分类处理，已知该小区每月垃圾分类处理量不超过300吨，每月垃圾分类处理成本y （元）与每月分类处理量x （吨）之间的函数关系式可近似表示为220040000y x x =-+，而分类处理一吨垃圾小区也可以获得300元的收益.（1）该小区每月分类处理多少吨垃圾，才能使得每吨垃圾分类处理的平均成本最低； （2）要保证该小区每月的垃圾分类处理不亏损，每月的垃圾分类处理量应控制在什么范围？ 【答案】（1）200吨；（2）[100,300].【解析】（1）由题意可知，每吨垃圾分类处理的平均成本为月处理成本除以月处理量， 即(]40000200,0,300y x x x x=+-∈，又40000400x x +≥= ，当且仅当40000x x =，即200x =时取等号， 故200x =时，才能使得每吨垃圾分类处理的平均成本最低；（2）设该小区每月获利为S 元，则该小区每月获利为月分类处理垃圾的利润减去月处理成本，22300300(20040000)50040000S x y x x x x x =-=--+=-+-，令2500400000x x -+-≥，解得100400x ≤≤，又0300x <≤， 即100300x ≤≤，故要保证该小区每月的垃圾分类处理不亏损，每月的垃圾分类处理量应控制在[]100,300.【名师点睛】本题考查了重要不等式的应用及二次不等式的解法，重点考查了阅读理解能力，属中档题.1．（2019年高考浙江）已知,a b ∈R ，函数32,0()11(1),032x x f x x a x ax x <⎧⎪=⎨-++≥⎪⎩．若函数()y f x ax b =--恰有3个零点，则 A ．a <–1，b <0 B ．a <–1，b >0 C ．a >–1，b <0 D ．a >–1，b >0【答案】C【解析】当x ＜0时，y ＝f （x ）﹣ax ﹣b ＝x ﹣ax ﹣b ＝（1﹣a ）x ﹣b ＝0，得x =b1−a ， 则y ＝f （x ）﹣ax ﹣b 最多有一个零点；当x ≥0时，y ＝f （x ）﹣ax ﹣b =13x 3−12（a +1）x 2+ax ﹣ax ﹣b =13x 3−12（a +1）x 2﹣b ，2(1)y x a x =+-'，当a +1≤0，即a ≤﹣1时，y ′≥0，y ＝f （x ）﹣ax ﹣b 在[0，+∞）上单调递增， 则y ＝f （x ）﹣ax ﹣b 最多有一个零点，不合题意；当a +1＞0，即a >﹣1时，令y ′＞0得x ∈(a +1，+∞），此时函数单调递增， 令y ′＜0得x ∈[0，a +1），此时函数单调递减，则函数最多有2个零点.根据题意，函数y ＝f （x ）﹣ax ﹣b 恰有3个零点⇔函数y ＝f （x ）﹣ax ﹣b 在（﹣∞，0）上有一个零点，在[0，+∞）上有2个零点， 如图：∴b1−a ＜0且{−b ＞013(a +1)3−12(a +1)(a +1)2−b ＜0， 解得b ＜0，1﹣a ＞0，b ＞−16（a +1）3， 则a >–1，b <0. 故选C ．【名师点睛】本题考查函数与方程，导数的应用.当x ＜0时，y ＝f （x ）﹣ax ﹣b ＝x ﹣ax ﹣b ＝（1﹣a ）x ﹣b 最多有一个零点；当x ≥0时，y ＝f （x ）﹣ax ﹣b =13x 3−12（a +1）x 2﹣b ，利用导数研究函数的单调性，根据单调性画出函数的草图，从而结合题意可列不等式组求解．2．（2018年高考新课标I 卷理科）已知函数()e 0ln 0x x f x x x ⎧≤=⎨>⎩，，，，()()g x f x x a =++．若g （x ）存在2个零点，则a 的取值范围是 A ．[–1，0） B ．[0，+∞） C ．[–1，+∞）D ．[1，+∞）【答案】C【解析】画出函数()f x 的图象，e xy =在y 轴右侧的图象去掉，再画出直线y x =-，之后上下移动，可以发现当直线过点（0,1）时，直线与函数图象有两个交点，并且向下可以无限移动，都可以保证直线与函数的图象有两个交点，即方程()f x x a =--有两个解，也就是函数()g x 有两个零点，此时满足1a -≤，即1a ≥-，故选C ．【名师点睛】该题考查的是有关已知函数零点个数求有关参数的取值范围问题，在求解的过程中，解题的思路是将函数零点个数问题转化为方程解的个数问题，将式子移项变形，转化为两条曲线交点的问题，画出函数的图象以及相应的直线，在直线移动的过程中，利用数形结合思想，求得相应的结果.即：首先根据g （x ）存在2个零点，得到方程()0f x x a ++=有两个解，将其转化为()f x x a =--有两个解，即直线y x a =--与曲线()y f x =有两个交点，根据题中所给的函数解析式，画出函数()f x 的图象，再画出直线y x =-，并将其上下移动，从图中可以发现，当1a -≤时，满足y x a =--与曲线()y f x =有两个交点，从而求得结果.3．（2017年高考新课标Ⅲ理科）设函数()π(3cos )f x x =+，则下列结论错误的是A ．()f x 的一个周期为2π-B ．()y f x =的图象关于直线8π3x =对称 C ．(π)f x +的一个零点为π6x =D ．()f x 在(π2,π)单调递减【答案】D【解析】函数()f x 的最小正周期为2π2π1T ==，则函数()f x 的周期为()2πT k k =∈Z ，取1k =-，可得函数()f x 的一个周期为2π-，选项A 正确； 函数()f x 图象的对称轴为()ππ3x k k +=∈Z ，即()ππ3x k k =-∈Z ，取3k =，可得y =f (x )的图象关于直线8π3x =对称，选项B 正确； ()πππcos πcos 33f x x x ⎡⎤⎛⎫⎛⎫+=++=-+ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦，函数()f x 的零点满足()πππ32x k k +=+∈Z ，即()ππ6x k k =+∈Z ，取0k =，可得(π)f x +的一个零点为π6x =，选项C 正确； 当π,π2x ⎛⎫∈⎪⎝⎭时，π5π4π,363x ⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭，函数()f x 在该区间内不单调，选项D 错误.故选D ．【名师点睛】（1）求最小正周期时可先把所给三角函数式化为(n )si y A x ωϕ=+或(s )co y A x ωϕ=+的形式，则最小正周期为2πT ω=；奇偶性的判断关键是看解析式是否为sin y A x ω=或cos y A x b ω=+的形式.（2）求()()sin 0()f x A x ωϕω+≠=的对称轴，只需令()ππ2x k k ωϕ+=+∈Z ，求x 即可；求f (x )的对称中心的横坐标，只需令π()x k k ωϕ+=∈Z 即可. 4．（2017年高考新课标Ⅲ理科）已知函数211()2(e e )x x f x x x a --+=-++有唯一零点，则a =A ．12- B ．13C ．12D ．1【答案】C【解析】函数()f x 的零点满足()2112e e x x x x a --+-=-+， 设()11eex x g x --+=+，则()()21111111e 1eeee e x x x x x x g x ---+----'=-=-=，当()0g x '=时，1x =；当1x <时，()0g x '<，函数()g x 单调递减； 当1x >时，()0g x '>，函数()g x 单调递增， 当1x =时，函数()g x 取得最小值，为()12g =.设()22h x x x =-，当1x =时，函数()h x 取得最小值，为1-，若0a ->，函数()h x 与函数()ag x -没有交点；若0a -<，当()()11ag h -=时，函数()h x 和()ag x -有一个交点， 即21a -⨯=-，解得12a =.故选C ．【名师点睛】函数零点的应用主要表现在利用零点求参数范围，若方程可解，通过解方程即可得出参数的范围，若方程不易解或不可解，则将问题转化为构造两个函数，利用两个函数图象的关系求解，这样会使得问题变得直观、简单，这也体现了数形结合思想的应用.5．（2019年高考江苏）设(),()f x g x 是定义在R 上的两个周期函数，()f x 的周期为4，()g x 的周期为2，且()f x 是奇函数.当2(]0,x ∈时，()f x =，(2),01()1,122k x x g x x +<≤⎧⎪=⎨-<≤⎪⎩，其中k >0.若在区间(0，9]上，关于x 的方程()()f x g x =有8个不同的实数根，则k 的取值范围是 ▲ .【答案】13⎡⎢⎣⎭【解析】作出函数()f x ，()g x 的图象，如图：由图可知，函数()f x =的图象与1()(12,34,56,78)2g x x x x x =-<≤<≤<≤<≤的图象仅有2个交点，即在区间(0，9]上，关于x 的方程()()f x g x =有2个不同的实数根，要使关于x 的方程()()f x g x =有8个不同的实数根，则()(0,2]f x x =∈与()(2),(0,1]g x k x x =+∈的图象有2个不同的交点，由(1,0)到直线20kx y k -+=的距离为11=，解得0)k k =>， ∵两点(2,0),(1,1)-连线的斜率13k =，∴134k ≤<，综上可知，满足()()f x g x =在(0,9]上有8个不同的实数根的k 的取值范围为134⎡⎢⎣⎭，.【名师点睛】本题考查分段函数，函数的图象，函数的性质，函数与方程，点到直线的距离，直线的斜率等，考查知识点较多，难度较大.正确作出函数()f x ，()g x 的图象，数形结合求解是解题的关键因素.6．（2018年高考新课标Ⅲ卷理科）函数()πcos 36f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭在[]0π，的零点个数为________． 【答案】3【解析】0πx ≤≤Q ，ππ19π3666x ∴≤+≤，由题可知πππ3π336262x x +=+=，或π5π362x +=，解得π4π,99x =或7π9，故有3个零点.【名师点睛】本题主要考查三角函数的性质和函数的零点，属于基础题.解题时，首先求出π36x +的范围，再由函数值为零，得到π36x +的取值可得零点个数. 7．（2018年高考浙江卷）已知λ∈R ，函数f (x )=24,43,x x x x x λλ-≥⎧⎨-+<⎩，当λ=2时，不等式f (x )<0的解集是___________．若函数f (x )恰有2个零点，则λ的取值范围是___________． 【答案】(1,4) (]()1,34,+∞U 【解析】由题意得240x x ≥⎧⎨-<⎩或22430x x x <⎧⎨-+<⎩，所以24x ≤<或12x <<，即14x <<，故不等式f (x )<0的解集是()1,4,当4λ>时，()40f x x =->，此时()2430,1,3f x x x x =-+==，即在(),λ-∞上有两个零点；当4λ≤时，()40,4f x x x =-==，由()243f x x x =-+在(),λ-∞上只能有一个零点得13λ<≤.综上，λ的取值范围为(]()1,34,+∞U .【名师点睛】根据分段函数，转化为两个不等式组，分别求解，最后求并集.先讨论一次函数零点的取法，再对应确定二次函数零点的取法，即得参数λ的取值范围.已知函数有零点求参数取值范围常用的方法和思路：(1)直接法：直接根据题设条件构建关于参数的不等式，再通过解不等式确定参数范围； (2)分离参数法：先将参数分离，转化成求函数值域问题加以解决；(3)数形结合法：先对解析式变形，在同一平面直角坐标系中，画出函数的图象，然后数形结合求解．8．（2018年高考天津卷理科）已知0a >，函数()222,0,22,0.x ax a x f x x ax a x ⎧++≤⎪=⎨-+->⎪⎩若关于x 的方程()f x ax=恰有2个互异的实数解，则a 的取值范围是______________. 【答案】()48， 【解析】分类讨论：当0x ≤时，方程()f x ax =即22x ax a ax ++=，整理可得：()21x a x =-+，很明显1x =-不是方程的实数解，则21x a x =-+；当0x >时，方程()f x ax =即222x ax a ax -+-=，整理可得：()22x a x =-，很明显2x =不是方程的实数解，则22x a x =-.令()22,01,02x x x g x x x x ⎧-≤⎪⎪+=⎨⎪>⎪-⎩，其中211211x x x x ⎛⎫-=-++- ⎪++⎝⎭，242422x x x x =-++--，则原问题等价于函数()g x 与函数y a =有两个不同的交点，求a 的取值范围.结合对勾函数和函数图象平移的规律绘制函数()g x 的图象，同时绘制函数y a =的图象如图所示，考查临界条件，结合0a >观察可得，实数a 的取值范围是()4,8.【名师点睛】本题的核心是考查函数的零点问题，由题意分类讨论0x ≤和0x >两种情况，然后绘制函数图象，数形结合即可求得最终结果.函数零点的求解与判断方法包括：(1)直接求零点：令f (x )＝0，如果能求出解，则有几个解就有几个零点．(2)零点存在性定理：利用定理不仅要函数在区间[a ，b ]上是连续不断的曲线，且f (a )·f (b )＜0，还必须结合函数的图象与性质(如单调性、奇偶性)才能确定函数有多少个零点．(3)利用图象交点的个数：将函数变形为两个函数的差，画两个函数的图象，看其交点的横坐标有几个不同的值，就有几个不同的零点.。
2020年高考数学之冲破压轴题讲与练 专题01 函数的图象与性质及其应用(解析版)
第一章 函数与导数专题01 函数的图象与性质及其应用【压轴综述】纵观近几年的高考命题，函数图象和性质及其应用问题，常常出现在压轴题的位置，考查的类型主要有： 1.分段函数的图象与性质问题，往往通过分类讨论，将函数在不同定义域内的图象进行刻画或讨论，有时借助导数这一工具进行研究；2.函数的零点问题，根据函数的零点情况，讨论参数的范围是高考的重点和难点．函数零点问题常常涉及零点个数问题、零点所在区间问题及零点相关的代数式取值问题，解决的途径常以数形结合的思想，通过化归与转化灵活转化问题；3.抽象函数问题，由于抽象函数表现形式抽象，对学生思维能力考查的起点较高，使得此类问题成为函数内容的难点之一，解决此类问题时，需要准确掌握函数的性质，熟知我们所学的基本初等函数，将抽象函数问题转化为具体函数问题；4. 函数性质的综合应用问题，函数性质包括奇偶性、单调性、对称性、周期性等，对函数性质的熟练掌握与刻画是解决函数综合题目的必然要求；5.函数与不等式的综合问题，主要有解不等式、及根据不等式确定参数（范围）问题.函数的图象与不等式，往往涉及数形结合思想、转化与化归思想；6.函数中的新定义问题.【压轴典例】例1.【2019年高考全国Ⅱ卷理数】设函数()f x 的定义域为R ，满足(1) 2 ()f x f x +=，且当(0,1]x ∈时，()(1)f x x x =-．若对任意(,]x m ∈-∞，都有8()9f x ≥-，则m 的取值范围是（ ）A ．9,4⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦B ．7,3⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦C ．5,2⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦D ．8,3⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦【答案】B【解析】∵(1) 2 ()f x f x +=，()2(1)f x f x ∴=-． ∵(0,1]x ∈时，1()(1)[,0]4f x x x =-∈-；∴(1,2]x∈时，1(0,1]x-∈，1()2(1)2(1)(2),02f x f x x x⎡⎤=-=--∈-⎢⎥⎣⎦；∴(2,3]x∈时，1(1,2]x-∈，()2(1)4(2)(3)[1,0]f x f x x x=-=--∈-，如图：当(2,3]x∈时，由84(2)(3)9x x--=-解得173x=，283x=，若对任意(,]x m∈-∞，都有8()9f x≥-，则73m≤.则m的取值范围是7,3⎛⎤-∞⎥⎝⎦.故选B.例2.【2016·全国卷Ⅱ】已知函数f(x)(x∈R)满足f(－x)＝2－f(x)，若函数y＝x＋1x与y＝f(x)图象的交点为(x1，y1)，(x2，y2)，…，(x m，y m)，则∑i＝1m(x i＋y i)＝( )A．0 B．mC．2m D．4m【答案】B【解析】法一：利用函数的对称性由f(－x)＝2－f(x)，知f(－x)＋f(x)＝2，所以点(x，f(x))与点(－x，f(－x))连线的中点是(0,1)，故函数f(x)的图象关于点(0,1)成中心对称．(此处也可以这样考虑：由f(－x)＝2－f(x)，知f(－x)＋f(x)－2＝0，即[f(x)－1]＋[f(－x)－1]＝0，令F(x)＝f(x)－1，则F(x)＋F(－x)＝0，即F(x)＝f(x)－1为奇函数，图象关于点(0,0)对称，而F(x)的图象可看成是f(x)的图象向下平移一个单位得到的，故f(x)的图象关于点(0,1)对称)．又y＝x＋1x＝1＋1x的图象也关于点(0,1)对称，所以两者图象的交点也关于点(0,1)对称，所以对于每一组对称点x i ＋x i ′＝0，y i ＋y i ′＝2，所以∑i ＝1m (x i ＋y i )＝∑i ＝1m x i ＋∑i ＝1my i ＝0＋2×m2＝m ，故选B.法二：构造特殊函数由f (－x )＝2－f (x )，知f (－x )＋f (x )－2＝0， 即[f (x )－1]＋[f (－x )－1]＝0. 令F (x )＝f (x )－1，则F (x )为奇函数， 即f (x )－1为奇函数，从而可令f (x )－1＝x ， 即f (x )＝x ＋1，显然该函数满足此条件． 此时y ＝f (x )与y ＝x ＋1x的交点分别为(1,2)和(－1,0)， 所以m ＝2，∑i ＝1m(x i ＋y i )＝1＋2＋(－1)＋0＝2，结合选项可知选B. 答案：B 【思路点拨】(1)由于题目条件中的f (x )没有具体的解析式，仅给出了它满足的性质f (－x )＝2－f (x )，即f (x )(x ∈R)为抽象函数，显然我们不可能求出这些点的坐标，这说明这些交点坐标应满足某种规律，而这种规律必然和这两个函数的性质有关． (2)易知函数y ＝x ＋1x关于点(0,1)成中心对称，自然而然的让我们有这样的想法：函数f (x )(x ∈R)的图象是否也关于点(0,1)成中心对称？基于这个想法及选择题的特点，那么解题方向不外乎两个：一是判断f (x )的对称性，利用两个函数的对称性求解；二是构造一个具体的函数f (x )来求解． 例3. 【安徽省肥东县高级中学2019届8月调研】已知定义在上的函数满足条件：①对任意的，都有；②对任意的且，都有；③函数的图象关于轴对称，则下列结论正确的是 （ ） A ． B ． C ． D ．【答案】C 【解析】 ∵对任意的，都有；∴函数是4为周期的周期函数，∵函数的图象关于轴对称 ∴函数函数）的关于对称，∵且，都．∴此时函数在上为增函数， 则函数在上为减函数， 则，，，则， 即，故选C ． 【规律总结】1.先研究清楚函数的奇偶性、对称性和周期性等性质，这样函数就不再抽象了，而是变得相对具体，我们就可以画出符合性质的草图来解题.2.解决抽象函数问题常用的结论 (1)函数y ＝f(x)关于x ＝2a b对称⇔f(a ＋x)＝f(b －x)⇔f(x)＝f(b ＋a －x)． 特例：函数y ＝f(x)关于x ＝a 对称⇔f(a ＋x)＝f(a －x)⇔f(x)＝f(2a －x)； 函数y ＝f(x)关于x ＝0对称⇔f(x)＝f(－x)(即为偶函数)．(2)函数y ＝f(x)关于点(a ，b)对称⇔f(a ＋x)＋f(a －x)＝2b ⇔f(2a ＋x)＋f(－x)＝2b. 特例：函数y ＝f(x)关于点(a,0)对称⇔f(a ＋x)＋f(a －x)＝0⇔f(2a ＋x)＋f(－x)＝0； 函数y ＝f(x)关于点(0,0)对称⇔f(x)＋f(－x)＝0(即为奇函数)．(3)y ＝f(x ＋a)是偶函数⇔函数y ＝f(x)关于直线x ＝a 对称；y ＝f(x ＋a)是奇函数⇔函数y ＝f(x)关于(a,0)对称．(4)对于函数f(x)定义域内任一自变量的值x ： ①若f(x ＋a)＝－f(x)，则T ＝2a ； ②若f(x ＋a)＝1()f x ，则T ＝2a ； ③若f(x ＋a)＝－1()f x ，则T ＝2a ；(a>0) ④若f(x ＋a)＝f(x ＋b)(a≠b)，则T ＝|a －b|；⑤若f(2a －x)＝f(x)且f(2b －x)＝f(x)(a≠b)，则T ＝2|b －a|.（5）奇偶函数在对称区间上的单调性：奇函数在对称区间上的单调性相同；偶函数在对称区间上的单调性相反．例4.【2018年理数天津卷】已知，函数若关于的方程恰有2个互异的实数解，则的取值范围是______________.【答案】【解析】分类讨论：当时，方程即，整理可得：，很明显不是方程的实数解，则，当时，方程即，整理可得：，很明显不是方程的实数解，则，令，其中，，原问题等价于函数与函数有两个不同的交点，求的取值范围.结合对勾函数和函数图象平移的规律绘制函数的图象，同时绘制函数的图象如图所示，考查临界条件，结合观察可得，实数的取值范围是.【方法总结】本题的核心在考查函数的零点问题，函数零点的求解与判断方法包括： (1)直接求零点：令f (x )＝0，如果能求出解，则有几个解就有几个零点．(2)零点存在性定理：利用定理不仅要函数在区间[a ，b ]上是连续不断的曲线，且f (a )·f (b )＜0，还必须结合函数的图象与性质(如单调性、奇偶性)才能确定函数有多少个零点．(3)利用图象交点的个数：将函数变形为两个函数的差，画两个函数的图象，看其交点的横坐标有几个不同的值，就有几个不同的零点．例5.【2019年高考江苏】设(),()f x g x 是定义在R 上的两个周期函数，()f x 的周期为4，()g x 的周期为2，且()f x 是奇函数.当2(]0,x ∈时，2()1(1)f x x =--，(2),01()1,122k x x g x x +<≤⎧⎪=⎨-<≤⎪⎩，其中k >0.若在区间(0，9]上，关于x 的方程()()f x g x =有8个不同的实数根，则k 的取值范围是 ▲ .【答案】12,34⎡⎫⎪⎢⎪⎣⎭【解析】作出函数()f x ，()g x 的图象，如图：由图可知，函数2()1(1)f x x =--的图象与1()(12,34,56,78)2g x x x x x =-<≤<≤<≤<≤的图象仅有2个交点，即在区间(0，9]上，关于x 的方程()()f x g x =有2个不同的实数根，要使关于x 的方程()()f x g x =有8个不同的实数根，则2()1(1),(0,2]f x x x =--∈与()(2),(0,1]g x k x x =+∈的图象有2个不同的交点，由(1,0)到直线20kx y k -+=的距离为1，可得2|3|11k k =+，解得2(0)4k k =>，∵两点(2,0),(1,1)-连线的斜率13k =， ∴1234k ≤<， 综上可知，满足()()f x g x =在(0,9]上有8个不同的实数根的k 的取值范围为1234⎡⎫⎪⎢⎪⎣⎭，. 例6.【2016年高考四川理数】在平面直角坐标系中，当P (x ，y )不是原点时，定义P 的“伴随点”为'2222(,)y xP x y x y -++；当P 是原点时，定义P 的“伴随点”为它自身，平面曲线C 上所有点的“伴随点”所构成的曲线'C 定义为曲线C 的“伴随曲线”.现有下列命题：①若点A 的“伴随点”是点'A ，则点'A 的“伴随点”是点A ②单位圆的“伴随曲线”是它自身；③若曲线C 关于x 轴对称，则其“伴随曲线”'C 关于y 轴对称； ④一条直线的“伴随曲线”是一条直线.其中的真命题是_____________（写出所有真命题的序列）. 【答案】②③ 【解析】试题分析：对于①，若令(1,1)P ，则其伴随点为11(,)22P '-，而11(,)22P '-的伴随点为(1,1)--，而不是P ，故①错误；对于②，设曲线(,)0f x y =关于x 轴对称，则(,)0f x y -=与方程(,)0f x y =表示同一曲线，其伴随曲线分别为2222(,)0y x f x y x y -=++与2222(,)0y xf x y x y --=++也表示同一曲线，又曲线2222(,)0y x f x y x y -=++与曲线2222(,)0y xf x y x y --=++的图象关于y 轴对称，所以②正确；③设单位圆上任一点的坐标为(cos ,sin )P x x ，其伴随点为(sin ,cos )P x x '-仍在单位圆上，故②正确；对于④，直线y kx b =+上任一点P (,)x y 的伴随点是'P 2222(,)y xx y x y-++，消参后点'P 轨迹是圆，故④错误.所以正确的为序号为②③.【名师点睛】本题考查新定义问题，属于创新题，符合新高考的走向．它考查学生的阅读理解能力，接受新思维的能力，考查学生分析问题与解决问题的能力，新定义的概念实质上只是一个载体，解决新问题时，只要通过这个载体把问题转化为我们已经熟悉的知识即可．本题新概念“伴随”实质是一个变换，一个坐标变换，只要根据这个变换得出新的点的坐标，然后判断，问题就得以解决．例7.【2019年高考浙江】已知a ∈R ，函数3()f x ax x =-，若存在t ∈R ，使得2|(2)()|3f t f t +-≤，则实数a 的最大值是___________. 【答案】43【解析】存在t ∈R ，使得2|(2)()|3f t f t +-≤， 即有332|(2)(2)|3a t t at t +-+-+≤， 化为()22|23642|3a t t ++-≤， 可得()2222364233a t t -≤++-≤， 即()22436433a t t ≤++≤， 由223643(1)11t t t ++=++≥，可得403a <≤. 则实数a 的最大值是43. 【名师点睛】本题考查函数的解析式及二次函数，结合函数的解析式可得33|(2)(2)|a t t at t +-+-+23≤，去绝对值化简，结合二次函数的最值及不等式的性质可求解.【压轴训练】1．【2018·全国卷Ⅰ】设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2－x，x ≤0，1，x >0，则满足f (x ＋1)<f (2x )的x 的取值范围是( )A ．(－∞，－1]B ．(0，＋∞)C ．(－1,0)D ．(－∞，0)【答案】D【解析】法一：分类讨论法①当⎩⎪⎨⎪⎧x ＋1≤0，2x ≤0，即x ≤－1时，f (x ＋1)<f (2x )，即为2－(x ＋1)<2－2x ，即－(x ＋1)<－2x ，解得x <1.因此不等式的解集为(－∞，－1]．②当⎩⎪⎨⎪⎧ x ＋1≤0，2x >0时，不等式组无解．③当⎩⎪⎨⎪⎧ x ＋1>0，2x ≤0，即－1<x ≤0时，f (x ＋1)<f (2x )，即为1<2－2x ，解得x <0.因此不等式的解集为(－1,0)．④当⎩⎪⎨⎪⎧x ＋1>0，2x >0，即x >0时，f (x ＋1)＝1，f (2x )＝1，不合题意．综上，不等式f (x ＋1)<f (2x )的解集为(－∞，0)． 法二：数形结合法∵f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2－x，x ≤0，1，x >0，∴函数f (x )的图象如图所示． 结合图象知，要使f (x ＋1)<f (2x )，则需⎩⎪⎨⎪⎧x ＋1<0，2x <0，2x <x ＋1或⎩⎪⎨⎪⎧x ＋1≥0，2x <0，∴x <0，故选D.2.【2018年全国卷II 理】已知是定义域为的奇函数,满足.若，则（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】C 【解析】 因为是定义域为的奇函数，且， 所以,因此，因为，所以，，从而，选C.3.【2018年理新课标I 卷】已知函数．若g （x ）存在2个零点，则a 的取值范围是A. [–1，0）B. [0，+∞）C. [–1，+∞）D. [1，+∞）【答案】C【解析】分析：首先根据g（x）存在2个零点，得到方程有两个解，将其转化为有两个解，即直线与曲线有两个交点，根据题中所给的函数解析式，画出函数的图像（将去掉），再画出直线，并将其上下移动，从图中可以发现，当时，满足与曲线有两个交点，从而求得结果.详解：画出函数的图像，在y轴右侧的去掉，再画出直线，之后上下移动，可以发现当直线过点A时，直线与函数图像有两个交点，并且向下可以无限移动，都可以保证直线与函数的图像有两个交点，即方程有两个解，也就是函数有两个零点，此时满足，即，故选C.4.【甘肃省兰州市第一中学2019届9月月考】已知函数f(x)是定义在实数集R上的不恒为零的偶函数，且对任意实数x都有，则的值是（）A． 0 B． C． 1 D．【答案】A【解析】若，则，可得，若，，则有，取，则有：∵是偶函数，则，由此得，于是，，故选A.5.若直角坐标系内A、B两点满足：（1）点A、B都在f（x）的图像上；（2）点A、B 关于原点对称，则称点对（A，B ）是函数f（x）的一个“姊妹点对”（点对（A，B）与（B，A）可看作一个“姊妹点对”。
2020年高考“函数与导数”专题解题分析
函数是高中数学的主线，函数思想贯穿于高中数学的各个章节之中.“函数与导数”对于提高学生的数学学科核心素养有着不可替代的作用，能够有效考查学生的数学运算、逻辑推理和数学建模等素养，特别是考查学生数学思维的条理性和发散性，因此一直是高考考查的热点、重点和难点.综观2020年高考数学试题，“函数与导数”部分的考查符合高考数学考试说明的要求，所有试卷均多次对该内容进行考查.针对2020年高考数学试卷中出现的本专题的试题，本文进行解法分析，并对本专题试题的基本类型和特点进行总结，提出了解决本专题数学问题的经验和方法，并给出了本专题的备考建议.一、试题分析2020年高考对“函数与导数”内容的考查，均以函数和导数的基础知识为载体，突出考查学生的基础知识和基本能力，题型涉及选择题、填空题和解答题，主要围绕函数的概念及性质、函数的图象、函数与方程和导数在研究函数中的应用等方面进行考查.同时，注重考查转化与化归、函数与方程、数形结合和分类整合等重要思想方法.1.函数的概念与性质函数的概念和性质是历年高考重点考查的内容，主要考查以下三个方面：函数概念的理解；函数的单调性、奇偶性和周期性实质的把握；运用基本初等函数的性质解决简单的不等式问题.例1（全国Ⅱ卷·理9）设函数f()x=ln||2x+1-ln||2x-1，则f()x（）.（A）是偶函数，且在æèöø12，+∞单调递增（B）是奇函数，且在æèöø-12，12单调递减（C）是偶函数，且在æèöø-∞，-12单调递增（D）是奇函数，且在æèöø-∞，-12单调递减解：由函数f()x=ln||2x+1-ln||2x-1，得函数f()x 的定义域为{}x|||x≠±12，定义域关于坐标原点对称.又因为函数f()-x=ln||-2x+1-ln||-2x-1=ln||2x-1 -ln||2x+1=-f()x，所以f()x为奇函数.当x∈æèöø-12，12时，f()x=ln()2x+1-ln()1-2x.因为y=ln()2x+1在æèöø-12，12上单调递增，y= ln()1-2x在æèöø-12，12上单调递减，所以f()x在æèöø-12，12上单调递增.2020年高考“函数与导数”专题解题分析张文涛摘要：通过对2020年高考中“函数与导数”试题的解题分析，给出典型试题的特点和类型，分析、归纳和总结典型试题的解法，并由此给出备考建议.关键词：高考数学；函数与导数；解法分析收稿日期：2020-08-29作者简介：张文涛（1984—），男，中学一级教师，主要从事高中数学教学工作.··39当x ∈æèöø-∞，-12时，f ()x =ln ()-2x -1-ln ()1-2x =ln 2x +12x -1=ln æèöø1+22x -1.因为u =1+22x -1在æèöø-∞，-12上单调递减，所以根据复合函数的单调性，知f ()x 在æèöø-∞，-12上单调递减.故答案选D.【评析】该题是对函数性质中的奇偶性和单调性的考查.判断函数奇偶性的方法是在定义域关于原点对称的前提下，寻找f ()-x 与f ()x 的关系，从而得出结论；判断函数单调性，除了研究导函数外，还可以根据基本初等函数模型的单调性，通过平移和伸缩变换，以及复合函数“同增异减”得到结论.2.函数的图象函数的图象是高考的常考内容之一，主要考查函数图象的识别和应用.函数图象的识别常用特殊点法、函数性质法和极限思想来解决；函数图象的应用是数形结合思想的体现，通过“以形助数”把问题“可视化”，从而找到解决问题的途径.在高考中，利用图象研究函数的性质和利用图象解不等式都是重要的命题点.例2（浙江卷·4）函数y =x cos x +sin x 在区间[]-π，π上的图象可能是（）.（A）（B）（C）（D ）解：因为函数y =x cos x +sin x 为奇函数，所以图象关于原点对称，排除选项C 和选项D.当x =π时，y =-π<0，排除选项B.故答案选A.【评析】函数图象的识别一般从以下几个方面考虑：通过函数的定义域判断函数图象的左、右位置；通过函数的值域判断函数图象的上、下位置；通过函数的单调性判断函数图象的变化趋势；通过函数的奇偶性判断函数图象的对称性；通过函数的特殊点和极限判断函数图象的“边界”.3.函数与方程函数与方程思想是高中最重要的思想之一，用函数的观点看待方程，就是用动态的观点看方程.把方程看成函数变化过程中的一个特殊状态，方程的根是函数的零点，解方程f ()x =0就是求函数y =f ()x 的零点.例3（全国Ⅰ卷·理12）若2a +log 2a =4b +2log 4b ，则（）.（A ）a >2b （B ）a <2b （C ）a >b 2（D ）a <b 2解：由指数运算和对数运算，得2a +log 2a =4b +2log 4b =22b +log 2b .因为22b +log 2b <22b +log 2b +1=22b +log 22b ，所以2a +log 2a <22b +log 22b .令f ()x =2x +log 2x ，由指数函数和对数函数的单调性，可知f ()x 在()0，+∞内单调递增.由f ()a <f ()2b ，得a <2b .f ()a -f ()b 2=2a +log 2a -()2b 2+log 2b 2=22b+log 2b -()2b 2+log 2b 2=22b -2b 2-log 2b .当b =1时，f ()a -f ()b 2=2>0，此时f ()a >f ()b 2，有a >b 2；当b =2时，f ()a -f ()b 2=-1<0，此时f ()a <f ()b 2，有a <b 2.故答案选B.【评析】该题主要考查函数思想、函数与方程的综合应用，重点考查学生的数学运算能力和转化思想，涉及构造函数和函数的性质及应用.4.函数模型及其应用数学建模是数学学科核心素养之一，是新高考的热点，主要考查学生的数学建模能力，以及分析问题和解决问题的能力.数学建模是对现实问题进行抽象，用数学语言表达问题、用数学方法构建模型解决··40实际问题.高考中常从以下几个方面考查：用函数图象刻画实际问题的变化过程；用已知函数模型解决实际问题；构造函数模型解决实际问题.例4（全国Ⅲ卷·文/理4）Logistic 模型是常用数学模型之一，可应用于流行病学领域.有学者根据公布数据建立了某地区新冠肺炎累计确诊病例数I ()t （t 的单位：天）的Logistic 模型：I ()t =K1+e-0.23()t -53，其中K 为最大确诊病例数.当I ()t *=0.95K 时，标志着已初步遏制疫情，则t *约为（）.（ln 19≈3.）（A ）60（B ）63（C ）66（D ）69解：因为I ()t =K1+e -0.23()t -53，所以I ()t ∗=K1+e-0.23()t ∗-53=0.95K .则e0.23()t ∗-53=19.所以0.23()t ∗-53=ln 19≈3.所以t ∗≈66.故答案选C.【评析】该题考查指数型函数模型的应用、指数与对数的互化，以及学生的数学运算素养.5.导数的运算和几何意义导数的运算和几何意义属于高考重点考查内容之一，主要考查以下几个方面：导数的基本运算、已知切点的切线方程问题、未知切点的切线方程问题，特别需要弄清楚在某一点的切线和过某一点的切线的区别.例5（全国Ⅲ卷·理10）若直线l 与曲线y =x 和圆x 2+y 2=15相切，则l 的方程为（）.（A ）y =2x +1（B ）y =2x +12（C ）y =12x +1（D ）y =12x +12解：设直线l 在曲线y =x 上的切点为()x 0，x 0，则x 0>0.因为函数y =x 的导数为y ′=12x，所以直线l 的斜率k =12x 0.设直线l 的方程为y -x0=)x -x 0，化简，得x -2x 0y +x 0=0.因为直线l 与圆x 2+y 2=15相切，所以x 01+4x 0=15.两边平方，并整理，得5x 20-4x 0-1=0.解得x 0=1，x 0=-15（舍）.则直线l 的方程为x -2y +1=0，即y =12x +12.故答案选D.【评析】该题主要考查导数几何意义的应用，以及直线与圆的位置关系.6.导数与函数的单调性和极值（最值）用导数工具研究函数的单调性和极值（最值）是高考考查的重点，常见考点为：求函数的单调区间和函数的极值（最值）.例6（全国Ⅱ卷·理21）已知函数f ()x =sin 2x sin 2x .（1）讨论f ()x 在()0，π上的单调性；（2）证明：||f ()x ≤.（3）证明：sin 2x sin 22x sin 24x …sin 22nx ≤3n 4n .解：（1）因为f ()x =sin 2x sin 2x =2sin 3x cos x ，所以f ′()x =2sin 2x ()3cos 2x -sin 2x =-8sin 2x sin æèöøx +π3sin æèöøx -π3.当x ∈æèöø0，π3时，f ′()x >0，f ()x 在æèöø0，π3上单调递增；当x ∈æèöøπ3，2π3时，f ′()x <0，f ()x 在æèöøπ3，2π3上单调递减；当x ∈æèöø2π3，π时，f ′()x >0，f ()x 在æèöø2π3，π上单调递增.（2）因为f ()x +π=sin 2()x +πsin []2()x +π=sin 2x sin 2x ，所以f ()x +π=f ()x .所以函数f ()x 是周期为π的函数.结合（1）的结论，计算，得f ()0=f ()π=0，f æèöøπ3=èø2×，··41f æèöø2π3=èø2×æèçø=.由此可得f ()x max，f ()x min =.故||f ()x ≤.（3）由（2）的结论，知sin 2x sin 22x sin 24x …sin 22n x=[]sin 3x sin 32x sin 34x …sin 32nx 23=[]sin x ()sin 2x sin 2x ()sin 22x sin 4x ⋯()sin 22n -1x sin 2nx sin 22nx23≤éëêùûúsin x ···…··sin 22n x 23≤éëêêùûúúèøn 23=æèöø34n.证毕.【评析】导数是研究函数单调性和极值（最值）最有效的工具.该题第（1）小题以导函数的零点为分界，将()0，π分成三个区间，并确定各个区间上导函数的符号，以此确定原函数的单调性；该题第（2）小题的解决要先确定函数的周期性，并结合第（1）小题中的结论确定函数在一个周期内的最大值和最小值，从而证得不等式成立；对于该题第（3）小题，将所给的不等式左侧进行恒等变形，并结合第（1）小题的结论和三角函数的有界性进行放缩，即可证得所求不等式.7.导数在研究不等式中的应用运用导数工具研究不等式是高考的重点和难点，常通过以下两个方面考查：证明不等式；已知不等式恒成立，求参数范围.例7（全国新高考Ⅰ/Ⅱ卷·21）已知函数f ()x =a e x -1-ln x +ln a .（1）当a =e 时，求曲线y =f ()x 在点()1，f ()1处的切线与两坐标轴围成的三角形的面积；（2）若f ()x ≥1，求a 的取值范围.具体解法详见本文第三部分的试题解法赏析.8.导数在研究函数零点中的应用函数零点问题一直是高考考查的热点，主要考点为：求函数零点的个数和已知函数零点个数求参数范围.通常的解决策略为：通过研究函数单调性和极值，并结合零点存在定理判断零点个数.在解决函数零点问题时分离参数法应引起足够重视.例8（全国Ⅲ卷·文20）已知函数f ()x =x 3-kx +k 2.（1）讨论f ()x 的单调性；（2）若f ()x 有三个零点，求k 的取值范围.解：（1）根据题意，得f ′()x =3x 2-k .当k ≤0时，f ′()x ≥0恒成立，f ()x 在()-∞，+∞上单调递增；当k >0时，令f ′()x =0，得x =f ′()x <0，得<x <；令f ′()x >0，得x <x >.所以f ()x 在æèç上单调递减，在æèç-∞，-，öø÷+∞上单调递增.（2）由（1）知，f ()x有三个零点，则ìíîïïïïk >0，f æèç>0，f<0，即ìíîïïïïk >0k 2+230，k 2-230.解得0<k <427.当0<k <427时，k >，且f()k =k 2>0.所以f ()x 在öø÷k 有唯一零点.同理，-k -1<f ()-k -1=-k 3-()k +12<0.所以f ()x在æèç-k -1，-有唯一零点.又因为f ()x 在æèç上有唯一零点，所以f ()x 有三个零点.综上所述，k 的取值范围为æèöø0，427.【评析】该题主要考查利用导数研究函数的单调性及已知零点个数求参数的范围问题，考查学生的逻辑推理和数学运算素养.··42二、典型试题解法分析1.超越不等式求解典型解法分析（数形结合法）在函数与导数试题的解决过程中常用到数形结合的思想.“数（代数）”与“形（几何）”是高中数学的主要研究对象，而这两个研究对象也是紧密联系的.在高考数学解题中，包括“以数助形”和“以形助数”两个方面.我国著名数学家华罗庚以四句诗“数缺形时少直观，形少数时难入微.数形结合百般好，隔离分家万事休”非常贴切地总结了“数形结合、优势互补”的精要.“数形结合”是一种常见且非常重要的数学方法，也是一种重要的数学思想，在解题中有重要的地位.例9（北京卷·6）已知函数f()x=2x-x-1，则不等式f()x＞0的解集是（）.（A）()-1，1（B）()-∞，-1⋃()1，+∞（C）()0，1（D）()-∞，0⋃()1，+∞解：不等式f()x＞0等价于2x-x-1＞0，即2x＞x+1.令y=2x，y=x+1，在同一平面直角坐标系中作出函数y=2x和y=x+1的图象如下图所示.两个函数图象的交点坐标为()0，1，()1，2，不等式2x>x+1的解为x<0或x>1.所以不等式f()x＞0的解集为()-∞，0⋃()1，+∞.故答案选D.【评析】该题主要考查利用函数图象解不等式，核心是利用数形结合思想解决问题.该题的难点是合理构造函数，在同一个平面直角坐标系中作出两个函数的图象，将解不等式问题转化为求两个函数图象的交点问题，最后运用数形结合思想求解.解决此类问题主要是准确分析函数图象的特性，定性分析与定量分析相结合，并借助函数图象，把原问题转化为数量关系明确的问题.2.不等式恒成立问题典型解法分析求不等式恒成立问题中的参数取值范围是高考考查的重点.这类问题的典型解法是：构造函数，分类讨论；分离参数，结合最值；缩小范围，减少讨论；分离函数，数形结合.例10（全国Ⅰ卷·理21）已知函数f()x=e x+ax2-x.（1）当a=1时，讨论f()x的单调性；（2）当x≥0时，f()x≥12x3+1，求a的取值范围.解：（1）当a=1时，f()x=e x+x2-x，所以f′()x=e x+2x-1.记g()x=f′()x=e x+2x-1，则g′()x=e x+2>0.所以g()x在R上单调递增，即f′()x在R上单调递增.又因为f′()0=0，所以当x>0时，f′()x>0.所以f()x的单调增区间为()0，+∞，单调减区间为()-∞，0.（2）当x≥0时，f()x≥12x3+1恒成立.（方法1）构造函数，分类讨论.当x≥0时，f()x≥12x3+1等价于12x3-ax2+x+1e x≤1.设函数g()x=12x3-ax2+x+1e x()x≥0，则g′()x=-x()x-2[]x-()2a+12e x()x≥0.①当2a+1≤0，即a≤-12时，当x∈()0，2时，g′()x>0，g()x在()0，2单调递增，而g()0=1，故当x∈()0，2时，g()x>1，不符合题意.②当0<2a+1<2，即-12<a<12时，当x∈()0，2a+1时，g′()x<0，g()x在()0，2a+1单调递减；当x∈()2a+1，2时，g′()x>0，g()x在()2a+1，2单调递增；当x∈()2，+∞时，g′()x<0，g()x在()2，+∞单··43调递减.因为g()0=1，所以g()x≤1，当且仅当g()2=7-4a e2≤1，即a≥7-e24.所以当7-e24≤a<12时，g()x≤1.③当2a+1≥2，即a≥12时，有g()x≤12x3+x+1 e x.易知12x3+x+1 e x≤1.故当a≥12时，g()x≤1.综上所述，a的取值范围为éëêöø÷7-e24，+∞.（方法2）分离参数，结合最值.①当x=0时，a∈R.②当x>0时，即a≥12x3+x+1-e xx2恒成立.设h()x=12x3+x+1-e xx2()x≥0，则h′()x=()2-xæèöøe x-12x2-x-1x3.设g()x=e x-12x2-x-1()x≥0.当x≥0时，g′()x=e x-x-1，g″()x=e x-1.因为g″()x=e x-1≥0恒成立，所以g′()x在()0，+∞单调递增.所以g′()xmin=g′()0=0.所以g′()x≥0恒成立.所以g()x在()0，+∞单调递增.所以g()xmin=g()0=0.令h′()x=0，可得x=2.当x∈()0，2时，h′()x>0，h()x在()0，2单调递增；当x∈()2，+∞时，h′()x<0，h()x在()2，+∞单调递减.所以h()xmax =h()2=7-e24.所以a≥7-e24.综上所述，a的取值范围为éëêöø÷7-e24，+∞.【评析】该题主要考查恒成立问题中的求参数的取值范围.方法1采用分类讨论思想研究函数最值，然后求解恒成立问题，在解题过程中，借助一些函数特征，缩小参数的取值范围，减少讨论过程.方法2先讨论x=0时的情况，然后分离参数，构造新函数，结合导函数研究所构造的新函数的最值，从而确定实数a的取值范围.不等式恒成立问题的典型解法有最值分析法、分离参数法和分离函数法.方法1使用最值分析法（构造函数、分类讨论），优点是函数结构简单，是解决不等式恒成立问题的通性、通法，缺点是一般需要分类讨论，解题过程层级数较多.函数分类讨论的一般步骤：求出导函数f′()x；讨论方程f′()x=0的根的情况；讨论根之间的大小关系（包含间断点）；讨论根与区间的大小关系.方法2使用分离参数法（分离参数、结合最值），优点在于所得函数不含参数，缺点在于函数结构较复杂，一般是函数的积与商，导函数可能也是超越函数，需要多次求导，也有可能不存在最值，需要求端点极限，会用到洛必达法则.分离函数法较多用于填空题或者选择题.因为问题涉及动态变化，只能找临界状态（常见的是函数图象的切线位置），在解答题中不容易表述.另外，有时很难通过图形从微观层面解释清楚图象的交点和图象的高低，还要涉及函数的凸凹性等对函数图象更精细的刻画.3.函数零点问题典型解法分析函数的零点问题是高考考查的重点和难点，在每年的高考中都会多次出现.对于函数零点问题，最核心的是画出函数图象，这其中往往蕴含着零点存在定理、数形结合思想、函数单调性和参数分离思想.这类问题的典型解法是：利用函数单调性和零点存在定理求解；利用参数分离法求解；利用分离函数法求解.例11（全国Ⅰ卷·文20）已知函数f()x=e x-a()x+2.（1）当a=1时，讨论f()x的单调性；··44（2）若f()x有两个零点，求a的取值范围.解法1：函数单调性和零点存在定理.由题意，知f()x的定义域为(-∞，+∞)，且f′()x= e x-a.（1）当a=1时，f′()x=e x-1.令f′()x=0，解得x=0.当x∈()-∞，0时，f′()x<0；当x∈()0，+∞时，f′()x>0.所以f()x在()-∞，0上单调递减，在()0，+∞上单调递增.（2）当a≤0时，f′()x>0恒成立，f()x在()-∞，+∞上单调递增，不符合题意.当a>0时，令f′()x=0，解得x=ln a.当x∈()-∞，ln a时，f′()x<0；当x∈()ln a，+∞时，f′()x>0.所以f()x在x∈()-∞，ln a上单调递减，在x∈()ln a，+∞上单调递增.所以f()xmin =f()ln a=a-a()ln a+2=-a()1+ln a.要使f()x有两个零点，则必有f()ln a<0，即1+ln a>0，解得a>e-1.因为f()-2=e-2>0，所以f()x在()-∞，ln a上存在唯一零点.由（1）知，当x>2时，e x-x-2>0.所以当x>4且x>2ln()2a时，f()x=e x2·e x2-a()x+2>e ln2aæèöøx2+2-a()x+2=2a>0.故f()x在()ln a，+∞上存在唯一零点.从而f()x在()-∞，+∞上有两个零点.综上所述，若f()x有两个零点，则a的取值范围是æèöø1e，+∞.解法2：分离参数法.（1）同解法1.（2）若f()x有两个零点，即e x-a()x+2=0有两个解，从方程可知，x=-2不成立，即a=e x x+2有两个解.令h()x=e x x+2()x≠-2，则有h′()x=e x()x+2-e x()x+22=e x()x+1()x+22.令h′()x>0，解得x>-1；令h′()x<0，解得x<-2或-2<x<-1.所以函数h()x在()-∞，-2和()-2，-1上单调递减，在()-1，+∞上单调递增，且当x<-2时，h()x<0，而当x→-2+时，h()x→+∞，当x→+∞时，h()x→+∞.所以当a=e x x+2有两个解时，有a>h()-1=1e.所以满足条件的a的取值范围是æèöø1e，+∞.解法3：分离函数法.将问题转化为曲线y=e x和直线y=a()x+2有两个交点，利用恒过点()-2，0的直线与曲线y=e x的切线的斜率，结合图形，容易求得结果.【评析】该题是应用导数研究函数的零点问题.解法1应用导数研究函数的单调性，根据零点个数求参数的取值范围，难点在于用零点存在定理结合函数单调性证明有两个零点.解法2采用分离参数法并利用数形结合，将问题转化为直线y=a和函数y=e x x+2有两个交点的问题，最终回到函数单调性和值域问题.下面从三个方面对函数零点问题的典型解法进行剖析.（1）利用函数单调性和零点存在定理解决函数零点问题的一般步骤为：求出函数y=f()x在区间I上的间断点和导函数f′()x的零点，用以上这些点将区间I分为几个小区间；求出函数y=f()x的单调区间，以及极值点、最值点；分析极值和最值与x轴的相对位置，结合零点定理，得到零点个数.此解法是利用导数得出函数单调性，再配合零点存在定理解决问题.这是一种常用的解法，但其间夹杂分类讨论，虽然对培养学生思维的严密性很有好处，但是在考场上大多数学生往往难以完成.所以通过等价转化设法将原问题转化为可以避免分类讨论的问题就显得尤为重要.（2）利用参数分离法解决函数零点问题.函数y=f()x的零点可以转化为方程f()x=0的解，如果我们能从f()x=0中将参数a分离出来，使f()x=0转化为g()a=h()x的形式，那么函数的零点问题就转化为与··45x 轴平行的直线y =g ()a 和函数y =h ()x 的图象的交点问题.通过讨论函数y =h ()x 的单调性等性质，作出函数y =h ()x 的大致图象，再通过平移直线y =g ()a ，观察直线y =g ()a 与函数y =h ()x 的图象的交点，即可判断函数的零点.此解法的优势在于既可以避免因参数引起的分类讨论，又形象、直观，结论一目了然；劣势是要求学生对极限有初步了解，且能根据图象的性质作出函数图象.（3）利用分离函数法解决函数零点问题.对于很难利用导数工具来分析性质的函数y =f ()x ，我们常会将f ()x =0分解成两个相对简单的函数，即g ()x -h ()x =0，这样函数g ()x ，h ()x 的图象的交点横坐标就是函数f ()x 的零点.因此，我们可以利用数形结合思想作出函数g ()x ，h ()x 的图象，并根据两个函数图象的交点情况求解参数范围.通过函数g ()x 和h ()x 图象的交点求解y =f ()x 的零点，克服了直接求解y =f ()x 的零点带来的困难.此解法使函数零点问题的处理变得简单，但把原函数转化为两个函数之差时，要注意转化后的两个函数的图象应容易画出.在作图时，要利用函数的奇偶性和单调性等性质，标明函数图象上的特殊点（如最高点、最低点及与坐标轴的交点），尽量把图象画准确，避免误判.三、试题解法赏析下面对前文中的例7的解法进行赏析.解：（1）由题意，知f ()x =e x -ln x +1.所以f ′()x =e x-1x.则有k =f ′()1=e -1，f ()1=e +1.因此切点坐标为()1，1+e .所以切线方程为y =()e -1()x -1+e +1，与x 轴交于点A æèöø-2e -1，0，与y 轴交于点B ()0，2.所以围成的三角形面积为S =12·||||||-2e -1·2=2e -1.（2）（方法1）虚设零点，整体代换.由f ()x =a e x -1-ln x +ln a ，知f ′()x =a e x -1-1x，且a >0.设g ()x =f ′()x ，则g′()x =a e x -1+1x2>0.所以g ()x 在()0，+∞上单调递增，即f ′()x 在()0，+∞上单调递增.当a =1时，f ′()1=0，f ()x min =f ()1=1，故f ()x ≥1成立；当a >1时，由1a<1，知e 1a -1<1.所以f ′æèöø1a f ′()1=a æèçöø÷e 1a-1-1()a -1<0.所以存在唯一x 0>0，使得f ′()x 0=a e x 0-1-1x 0=0，且当x ∈()0，x 0时f ′()x <0.当x ∈()x 0，+∞时，f ′()x >0.因此a ex 0-1=1x 0，即ln a +x 0-1=-ln x 0.故f ()x min =f ()x 0=a ex 0-1-ln x 0+ln a=1x 0+ln a +x 0-1+ln a ≥2ln a -1+=2ln a +1>1.当且仅当x 0=1时等号成立.所以f ()x >1恒成立.当0<a <1时，f ()1=a +ln a <a <1，所以f ()1<1，f ()x ≥1不是恒成立.综上所述，实数a 的取值范围是[)1，+∞.（方法2）建构同构式.f ()x =a e x -1-ln x +ln a =e ln a +x -1-ln x +ln a ≥1等价于e ln a +x -1+ln a +x -1≥ln x +x =e ln x +ln x .令g ()x =e x +x ，上述不等式等价于g ()ln a +x -1≥g ()ln x .因为g ()x 为单调增函数，所以不等式等价于ln a +x -1≥ln x ，即ln a ≥ln x -x +1.令h ()x =ln x -x +1，则h ′()x =1x -1=1-x x .在()0，1上h ′()x >0，h ()x 单调递增；··46在()1，+∞上h′()x<0，h()x单调递减.所以h()xmax=h()1=0.解得ln a≥0，即a≥1.故a的取值范围是[)1，+∞.（方法3）先猜后证.由f()x=a e x-1-ln x+ln a，知f′()x=a e x-1-1x，且a>0.设g()x=f′()x，则g′()x=a e x-1+1x2>0.所以g()x在()0，+∞上单调递增，即f′()x在()0，+∞上单调递增.由f()1=a+ln a≥1，得a≥1.当0<a<1时，f()1=a+ln a<1，不符合题意.当a≥1时，由e x-1>0，ln a>0，得f()x≥e x-1-ln x.令g()x=e x-1-ln x()x>0，则g′()x=e x-1-1x.易知g′()x在()0，+∞上单调递增.又因为g′()1=0，当x∈()0，1时，g′()x<0；当x∈()1，+∞时，g′()x>0，所以函数g()x在x∈()0，1上单调递减，在x∈()1，+∞上单调递增.所以g()x≥g()1=1，即f()x≥1.综上所述，a的取值范围是[)1，+∞.（方法4）放缩法.由f()x≥1，得a e x-1-ln x+ln a≥1，即a e x-1-ln x-1≥-ln a.易证e x≥x+1，-ln x-1≥-x，当x=1时等号成立.又因为a>0，所以e x-1≥x，a e x-1≥ax，当x=1时等号成立.因此只需证明ax-x≥-ln a，即证x()a-1≥-ln a.当a≥1时，x()a-1>0>-ln a恒成立；当0<a<1时，x()a-1<0<-ln a，此时x()a-1≥-ln a不成立.故a的取值范围是[)1，+∞.【评析】该题重点考查利用导数证明不等式，解题过程中的构造是关键，考查分类讨论思想和等价转化思想，以及学生的综合分析和求解论证能力.四、备考建议通过对2020年高考数学试卷中函数与导数试题的分析，并根据历年函数与导数试题的特点与要求，提出如下复习建议.1.依据课程标准对本专题的考查要求进行复习《普通高中数学课程标准（2017年版）》提出学科六大核心素养，因此2021年“函数与导数”备考要始终围绕数学学科核心素养，特别是要培养学生的推理论证能力、运算求解能力和抽象概括能力.2.注重基础知识和思想方法的掌握备考过程中要紧抓函数与导数两条主线，构建知识结构基本框架，认真对待函数与导数的基础知识和基本技能，注重函数与方程、转化与化归、分类与整合等数学思想方法的掌握.3.注重积累典型题目的典型解法对在高考备考过程中遇到的典型例题和常考题型，总结和掌握解题的基本方法，并归纳出典型解法，从而确保在解同类题目时能够通过类比和转化，化陌生为熟悉，顺利解决问题.参考文献：［1］周志国.2018年高考“函数与导数”专题解题分析［J］.中国数学教育（高中版），2018（7/8）：26-32.［2］王瑜，林梦雷.2019年高考全国Ⅰ卷“函数与导数”试题分析与备考建议［J］.福建中学数学，2020（4）：8-9.··47。
2020年高考数学(理)高频考点 函数与导数 专题11 函数模型和函数的综合应用(解析版)
函数与导数11 函数 函数模型和函数的综合应用一、具体目标：函数模型及其应用（1）了解指数函数、对数函数、幂函数的增长特征，结合具体实例体会直线上升、指数增长、对数增长等不同函数类型增长的含义.（2）了解函数模型（如指数函数、对数函数、幂函数、分段函数等在社会生活中普遍使用的函数模型）的广泛应用.考点解析：1.掌握 一次函数、二次函数、指数函数、对数函数、幂函数以及其他函数模型；会从实际问题中抽象出函数模型，进而利用函数知识求解.高考对函数应用的考查，常与二次函数、基本不等式及导数等知识交汇，以解答题为主要形式出现．2.高考对一次函数、二次函数模型的考查主要有以下两个命题角度： (1)单一考查一次函数或二次函数模型的建立及最值问题； (2)以分段函数的形式考查一次函数和二次函数．二、知识概述： 1.常见的几种函数模型 (1)一次函数模型：()0≠+=k b kx y.(2)反比例函数模型：()0≠=k xky. (3)二次函数模型：()0,,2≠++=a c b a c bx ax y 为常数，. (4)指数函数模型：()0,1,0≠≠>+⋅=a b b c b a y x .(5)对数函数模型：()0,1,0log ≠≠>+=m a a n x m ya .【考点讲解】2.解决函数模型应用的解答题，还有以下几点容易造成失分，在备考中要高度关注：①读不懂实际背景，不能将实际问题转化为函数模型．②对涉及的相关公式，记忆错误．③在求解的过程中计算错误．另外需要熟练掌握求解方程、不等式、函数最值的方法，才能快速正确地求解3.方法提示：1）指数函数模型，常与增长率相结合进行考查，在实际问题中有人口增长、银行利率、细胞分裂等增长问题可以利用指数函数模型来表示．2）应用指数函数模型时，关键是对模型的判断，先设定模型将有关数据代入验证，确定参数，从而确定函数模型．3）y＝a(1＋x)n通常利用指数运算与对数函数的性质求解．4）对于直线上升、指数增长、对数增长的特点要注意区分：直线上升：匀速增长，其增长量固定不变；指数增长：先慢后快，其增长量成倍增加，常用“指数爆炸”来形容；对数增长：先快后慢，其增长速度缓慢．公司的利润选择直线上升或指数模型增长，而员工奖金选择对数模型增长．5）利用函数模型解决实际问题，通常有以下三种类型：（1）利用给定的函数模型解决实际问题；（2）建立确定性函数模型解决问题；（3）建立拟合函数模型解决实际问题．6）使用函数模型解决实际问题（1）题目特点：叙述中体现两个变量之间的关系（涉及的量也许有多个，但均能够用两个核心变量进行表示）。
2020年高考数学答题模板(最终版)
高考数学解答题常考公式及答题模板（文理通用） 嬴本德题型一：解三角形1、正弦定理：R CcB bA a 2sin sin sin === （R 是ABC ∆外接圆的半径） 变式①：⎪⎩⎪⎨⎧===C R cB R b A R a sin 2sin 2sin 2 变式②：⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧===Rc C R bB R a A 2sin 2sin 2sin 变式③：C B A c b a sin :sin :sin ::=2、余弦定理：⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-+=-+==+=C ab b a c B ac c a b A bc c b a cos 2cos 2cos 2222222222 变式：⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎨⎧-+=-+=-+=ab c b a C ac b c a B bc a c b A 2cos 2cos 2cos 2222222223、面积公式：A bc B ac C ab S ABC sin 21sin 21sin 21===∆ 4、射影定理：⎪⎩⎪⎨⎧+=+=+=A b B a c A c C a b Bc C b a cos cos cos cos cos cos （少用，可以不记哦^o^）5、三角形的内角和等于 180，即π=++C B A6、诱导公式：奇变偶不变，符号看象限利用以上关系和诱导公式可得公式：⎪⎩⎪⎨⎧=+=+=+A C B B C A C B A sin )sin(sin )sin(sin )sin( 和⎪⎩⎪⎨⎧-=+-=+-=+A C B B C A CB A cos )cos(cos )cos(cos )cos(7、平方关系和商的关系：①1cos sin 22=+θθ ②θθθcos sin tan =8、二倍角公式：①θθθcos sin 22sin =②θθθθθ2222sin 211cos 2sin cos 2cos -=-=-= ⇒降幂公式：22cos 1cos 2θθ+=，22cos 1sin 2θθ-= ③θθθ2tan 1tan 22tan -=8、和、差角公式：①⎩⎨⎧-=-+=+βαβαβαβαβαβαsin cos cos sin )sin(sin cos cos sin )sin(②⎩⎨⎧+=--=+βαβαβαβαβαβαsin sin cos cos cos(sin sin cos cos cos(））③⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+-=--+=+βαβαβαβαβαβαtan tan 1tan tan )tan(tan tan 1tan tan )tan( 9、基本不等式：①2ba ab +≤),(+∈R b a ②22⎪⎭⎫ ⎝⎛+≤b a ab ),(+∈R b a ③222b a ab +≤ ),(R b a ∈注意：基本不等式一般在求取值范围或最值问题中用到，比如求ABC ∆面积的最大值时。
2020年高考数学压轴题专题复习： 函数、导数与数列、不等式的综合应用【解析版】
设 f（x）= ln x (x 1) ，则 f '(x) 1 ln x ．
x
x2
令 f '(x) 0 ，得 x=e.列表如下：
x
(1, e)
e
f '(x)
+
0
f（x）
极大值
(e，+∞) –
因为 ln 2 2
ln 8 6
ln 9 6
ln 3 ，所以 3
f
(k )max
f
(3)
ln 3 ． 3
由此猜测：当 时，
.
下Hale Waihona Puke 先用数学归纳法证明：当 时，.
事实上，当 时，由前面的讨论知结论成立.
假设当
时，
成立，则由（2）知，
，从而
，
所以
.
故当 时，
成立.
于是由（2）知，当 时，
，而
，因此
.
综上所述，当 时，
，
，
.
（Ⅱ）存在 ，使数列 是等比数列.
事实上，由（2）知，若对任意的 ，都有
，则
.即数列 是首项为 ，公比为 3 的等比
1) (2)
2n
10
，
所以等差数列an的通项公式为 an 2n 10 ；
（2）由条件 S9 a5 ，得 9a5 a5 ，即 a5 0 ，
因为 a1 0 ，所以 d 0 ，并且有 a5 a1 4d 0 ，所以有 a1 4d ，
由
Sn
an
得 na1
n(n 1) 2
d
a1
(n 1)d
函数、导数与数列、不等式的综合应用
纵观近几年的高考命题，应用导数研究函数的单调性、极（最）值问题，证明不等式、研究函数的零点等， 是高考考查的“高频点”问题，常常出现在“压轴题”的位置.其中，函数、导数与数列、不等式的综合应 用问题的主要命题角度有：函数与不等式的交汇、函数与数列的交汇、导数与数列不等式的交汇等.本专题 就函数、导数与数列、不等式的综合应用问题，进行专题探讨，通过例题说明此类问题解答规律与方法.
2020高考数学必胜秘诀(二)函数
2020高考数学必胜秘诀（二）函数――概念、方法、题型、易误点及应试技巧总结二、函 数1.映射f : A →B 的概念。
在明白得映射概念时要注意：⑴A 中元素必须都有象且唯独；⑵B 中元素不一定都有原象，但原象不一定唯独。
如〔1〕设:f M N →是集合M 到N 的映射，以下讲法正确的选项是 A 、M 中每一个元素在N 中必有象 B 、N 中每一个元素在M 中必有原象 C 、N 中每一个元素在M 中的原象是唯独的 D 、N 是M 中所在元素的象的集合〔答：A 〕；〔2〕点),(b a 在映射f 的作用下的象是),(b a b a +-，那么在f 作用下点)1,3(的原象为点________〔答：〔2，－1〕〕；〔3〕假设}4,3,2,1{=A ，},,{c b a B =，,,a b c R ∈，那么A 到B 的映射有 个，B 到A 的映射有 个，A 到B 的函数有 个〔答：81,64,81〕；〔4〕设集合{1,0,1},{1,2,3,4,5}M N =-=，映射:f M N →满足条件〝对任意的x M ∈，()x f x +是奇数〞，如此的映射f 有____个〔答：12〕；〔5〕设2:x x f →是集合A 到集合B 的映射，假设B={1,2}，那么B A 一定是_____〔答：∅或{1}〕.2.函数f : A →B 是专门的映射。
专门在定义域A 和值域B 差不多上非空数集！据此可知函数图像与x 轴的垂线至多有一个公共点，但与y 轴垂线的公共点可能没有，也可能有任意个。
如〔1〕函数()f x ，x F ∈，那么集合{(,)|(),}{(,)|1}x y y f x x F x y x =∈=中所含元素的个数有 个〔答： 0或1〕；〔2〕假设函数42212+-=x x y 的定义域、值域差不多上闭区间]2,2[b ，那么b ＝ 〔答：2〕 3. 同一函数的概念。
构成函数的三要素是定义域，值域和对应法那么。
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定义域为(0, 2]
【第审（题2规）范问】第２步：审结论，明解题方向
观察所求结论：求该容器的建造费用最小时的 r 建造 费用最小，即y最小
问题转化为：当r 为何值时，y 取得最小值.
【第审（题2规）范问】第３步：建联系，找解题突破口
分析函数特点：含分式函数 可利 用导数研究函数的最值
求导数为零的点
讨论3 20 与区间（0，2]的关系，求极值 2020/6/10 c-2
（如本题应还原建造费用最小 时r 的值.）
第六步：反思回顾.
查看关键点，易错点，如本题函数关系式的求解是否正确；定义域是否正确； 导数的求解及分类是否准确等.
2020/6/10
邹平县黄山中学
可根据体积公式建立关系式
4 r3 r2l 3
80 3
利用 表面积公式，可求球及圆柱的表面积 S球=4 r2,S圆柱=2 rl
【第审（题1规）范问】第２步：审结论，明解题方向
求总造价y，应求出球形部分及圆柱形部分各自的造价
【第审（题1规）范问】第３步：建联系，找解题突破口
故可得建造费用
2020/6由/10l 2r可求r的范围，即定义域
邹平县黄山中学
［教你快速规范审题］
【典例】（2012山东高考 ·满分12分）
【第审（题1规）范问】第３步：建联系，找解题突破口
故可得建造费用
应消 掉l，只保留r
2020/6由/10l2r可求r的范围，即定义域 0 r 2邹平问县黄题山得中学以解决.
［教你快速规范审题流程汇总］
【第审（题1规）范问】第1步：审条件，挖解题信息
［教你准确规范解题］
易忽视将问题“返 本还原”，即没将 函数的最小值还原 为建造费用最小而
草率收兵.
……………… 11分
2020/6/10
……………… 12分
邹平县黄山中学
返回
［教你一个万能模版］
解决函数实际应用问题一般可用以下几步解答：
第一步：审清题意 认真分析题目所给的有关材料，弄清题意，理顺问题中的条件和结论， 找到关键量，进而明确其中的数量关系(等量或大小关系)
邹平县黄山中学
0 r 2 问题得以解决.
应消 掉l，只保留r
［教你快速规范审题］
【典例】（2012山东高考 ·满分12分）
【第审（题2规）范问】第1步：审条件，挖解题信息
观察条件： 建造费用
定义域为(0, 2]
2020/6/10
邹平县黄山中学
［教你快速规范审题］
【典例】（2012山东高考 ·满分12分）
函数实际应用题答题模板
［教你快速规范审题］ ［教你准确规范解题］
［教你一个万能模版］
【典例】（2012山东高考 ·满分12分）
2020/6/10
邹平县黄山中学
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【典例】（2012山东高考 ·满分12分）
【第审（题1规）范问】第1步：审条件，挖解题信息
2020/6/10
可根据体积公式建立关系式
邹平县黄山中学
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解决函数实际应用问题一般可用以下几步解答：
第四步：解决数学问题
利用所学数学知识解决转化后的数学问题（常利用导数、基本不等式解决， 本题是利用导数解决的函数最值），得到相应的数学结论。
第五步：返本还原
把所得到的关于应用问题的数学结论，还原为实际问题本身所具有的意义.
4 r3 r2l 3
80 3
利用 表面积公式，可求球及圆邹柱平县的黄表山面中积学 S球 =4 r2,S圆柱=2 rl
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［教你快速规范审题］
【典例】（2012山东高考 ·满分12分）
【第审（题1规）范问】第２步：审结论，明解题方向
求总造价y，应求出球形部分及圆柱形部 分各自的造价
2020/6/10
函数实际应用 答题模板
2020/6/10
邹平县黄山中学
考情分析
对函数实际应用问题的考查，更多地以社会 实际生活为背景，设问新颖、灵活；题型主要 以解答题为主，难度中等偏高，常与导数、最 值交汇，主要考查建模能力，同时考查分析问 题、解决问题的能力。
2020/6/10
邹平县黄山中学
“大题规范解答———得全分”系列之（一）
分3 2邹0平县2黄和山中0<学3 20 <2
c-2
c-2
两种情况讨，并求得结论.
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［教你准确规范解题］
解：（1）设容器的体积为V，由题意，知
所以
4 r3 r2l 80
3
3
,
易忽视条件 l 2r ,从而误认为
r>0 ,导致定义域错误.
……………… 2分
所以圆柱的侧面积为
2 l
2
r
80 3r 2
第二步：建立文字数量关系式 可先用文字语言描述问题中所涉及的关键量之间的数量关系，这 是问题解决的一把钥匙。
第三步：转化为数学模型 将文字语言所表达的数量关系转化为数学语言，建立相应的数学模型(一 般要列出函数式、三角式、不等式、数列、概率以及利用几何图形等进行 分析)，转化为一个数学问题。
2020/6/10
【第审（题2规）范问】第２步：审结论，明解题方向
观察所求结论：求该容器的建造费用最小时的 r 建造费用最小，即y最小
问题转化为：当r 为何值时，y 取得最小值.
2020/6/10
邹平县黄山中学
［教你快速规范审题］
【典例】（2012山东高考 ·满分12分）
【第审（题2规）范问】第３步：建联系，找解题突破口
分析函数特点：含分式函数 可利 用导数研究函数的最值
求导数为零的点
2讨02论0/63/1020 与区间（0，2]的关系，求极值 c-2
分3 20邹平2县和黄山0<中3学20 <2
c-2
c-2
两种情况讨，并求得结论.
［教你快速规范审题流程汇总］
【第审（题2规）范问】第1步：审条件，挖解题信息
观察条件： 建造费用
4r 3
160 3r
8 r 2
3
两端两个半球的表面积之和为
易忽视定义域
所以建造费用
2020/6/10
邹平县黄山中学
……………… 5分 返回
［教你准确规范解题］
2020/6/10
……… 7分
……………… 9分 易忽视导数为零的点与定义域的关系，即
忽视邹平对县黄c山中的学 取值的讨论而造成解题错误.