指数函数对数函数应用题
中职物理指数函数与对数函数测试题

中职物理指数函数与对数函数测试题一、选择题1.指数函数与对数函数是下列哪一组函数关系?()A.反功能关系B.反比例关系C.正比例关系D.互为逆运算关系2.根据以下函数对应关系,选择出指数函数的图象,可以是直线方程的是()A.$y=2^x$B.$y=\log_2 x$C.$y=2x$D.$y=\frac{1}{2^x}$3.下列函数中,属于对数函数的是()A.$y=x^2$B.$y=\frac{1}{x}$C.$y=\log_2 x$D.$y=3x+2$4.下列哪组函数中,属于指数函数的一对反函数?()A.$y=10^x$和$y=\log_{10} x$B.$y=e^x$和$y=\ln x$C.$y=2^x$和$y=\log_2 x$D.$y=\frac{1}{2^x}$和$y=\log_{\frac{1}{2}} x$二、解答题1.写出指数函数与对数函数的定义,并说明它们的特点。
2.利用对数函数的特性,求解以下方程:$$2^x=8$$3.已知指数函数$y=2^x$,试回答以下问题:(1)$x=0$时,$y=\square$(2)当$x$取什么值时,$y=8$?三、计算题1.计算以下函数的值:(1)$y=2^3$(2)$y=\log_2 16$2.已知指数函数$y=2^x$和对数函数$y=\log_2 x$,求解以下方程:(1)$2^x=\frac{1}{4}$(2)$x=\log_2 64$四、应用题1.小明在银行存了6000元,按年利率4.2%计算,如果按复利方式,求5年后他的本息和。
2.某商品的初始价格为500元,假设每年下降10%,求经过多少年后商品的价格将降到400元以下?五、拓展题1.用函数的定义求解以下方程:$$2^{2x}=\frac{1}{16}$$2.设$y=f(x)$为指数函数,且$f(2)=4$,$f(3)=8$,求$f(4)$。
3.用指数函数的性质计算以下函数的极限:$$\lim_{x\to+\infty}\frac{e^x}{x^2+3}$$4.用对数函数的性质计算以下函数的极限:$$\lim_{x\to0}\frac{\ln(2+x)}{x}$$5.简单介绍一下指数函数与对数函数在生活中的应用。
指数函数对数函数计算题集及答案

指数函数对数函数计算题1(一)1、计算:lg 5·lg 8000+06.0lg 61lg )2(lg 23++.2、解方程:lg 2(x +10)-lg(x +10)3=4.3、解方程:23log 1log 66-=x .4、解方程:9-x -2×31-x =27.5、解方程:x )81(=128.6、解方程:5x+1=123-x .7、计算:10log 5log )5(lg )2(lg 2233++·.10log 188、计算:(1)lg 25+lg2·lg50; (2)(log 43+log 83)(log 32+log 92).9、求函数121log 8.0--=x x y 的定义域.10、已知log 1227=a,求log 616.11、已知f(x)=1322+-x xa ,g(x)=522-+x x a (a >0且a ≠1),确定x 的取值范围,使得f(x)>g(x).12、已知函数f(x)=321121x x ⎪⎭⎫ ⎝⎛+-. (1)求函数的定义域;(2)讨论f(x)的奇偶性;(3)求证f(x)>0.13、求关于x 的方程a x +1=-x 2+2x +2a(a >0且a ≠1)的实数解的个数.14、求log 927的值.15、设3a =4b =36,求a 2+b1的值.16、解对数方程:log 2(x -1)+log 2x=117、解指数方程:4x +4-x -2x+2-2-x+2+6=018、解指数方程:24x+1-17×4x +8=019、解指数方程:22)223()223(=-++-x x ±220、解指数方程:01433214111=+⨯------x x21、解指数方程:042342222=-⨯--+-+x x x x22、解对数方程:log2(x-1)=log2(2x+1)23、解对数方程:log2(x2-5x-2)=224、解对数方程:log16x+log4x+log2x=725、解对数方程:log2[1+log3(1+4log3x)]=126、解指数方程:6x-3×2x-2×3x+6=027、解对数方程:lg(2x-1)2-lg(x-3)2=228、解对数方程:lg(y-1)-lgy=lg(2y-2)-lg(y+2)29、解对数方程:lg(x2+1)-2lg(x+3)+lg2=030、解对数方程:lg2x+3lgx-4=0指数函数对数函数计算题1 〈答案〉 1、12、解:原方程为lg 2(x +10)-3lg(x +10)-4=0,∴[lg(x +10)-4][lg(x +10)+1]=0.由lg(x +10)=4,得x +10=10000,∴x=9990.由lg(x +10)=-1,得x +10=0.1,∴x=-9.9.检验知: x=9990和-9.9都是原方程的解.3、 解:原方程为36log log 626=x ,∴x 2=2,解得x=2或x=-2. 经检验,x=2是原方程的解, x=-2不合题意,舍去.4、解:原方程为2)3(x --6×3-x -27=0,∴(3-x +3)(3-x -9)=0. ∵3-x +3≠0,∴由3-x -9=0得3-x =32.故x=-2是原方程的解.5、解:原方程为x 32-=27,∴-3x=7,故x=-37为原方程的解.6、解:方程两边取常用对数,得:(x +1)lg5=(x 2-1)lg3,(x +1)[lg5-(x -1)lg3]=0. ∴x +1=0或lg5-(x -1)lg3=0.故原方程的解为x 1=-1或x 2=1+5log 3.7、18、(1)1;(2)459、函数的定义域应满足:⎪⎩⎪⎨⎧>≥-≠-,0,01log ,0128.0x x x 即⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧>≥≠,0,1log ,218.0x x x解得0<x ≤54且x ≠21,即函数的定义域为{x|0<x ≤54且x ≠21}.10、由已知,得a=log 1227=12log 27log 33=2log 2133+,∴log 32=aa 23- 于是log 616=6log 16log 33=2log 12log 433+=aa +-3)3(4.11、若a >1,则x <2或x >3;若0<a <1,则2<x <312、(1)(-∞,0)∪(0,+∞);(2)是偶函数;(3)略.13、2个14、设log 927=x,根据对数的定义有9x =27,即32x =33,∴2x=3,x=23,即log 927=23.15、对已知条件取以6为底的对数,得a 2=log 63, b1=log 62, 于是a 2+b1=log 63+log 62=log 66=1.16、x=217、x=018、x=-21或x=2319、x=±120、x=3721、x=2322、x ∈φ23、x=-1或x=624、x=1625、 x=326、x=127、 x=829或x=123128、y=229、x=-1或x=730、x=10或x=10-4指数函数对数函数计算题21、解对数方程:65lg 21lg 32=+++x x2、解对数方程:2log 4x+2log x 4=53、解对数方程:3log x 3+3log 27x=44、解对数方程:log 7(log 3x)=-15、解指数方程:4x +4-x -2x -2-x =06、解指数方程:9x +6x -3x+2-9×2x =07、解指数方程:2x+2-2-x +3=08、解指数方程:2x+1-3×2-x +5=09、解指数方程:5x-1+5x-2+5x-3=15510、解指数方程:26x+3×43x+6=(8x )x11、解指数方程:4x -3·2x+3-432=0.12、解对数方程:lg(6·5x +25·20x )=x+lg2513、解对数方程:log (x-1)(2x 2-5x -3)=214、解对数方程:(0.4)1lg 2-x =(6.25)2-lgx15、解对数方程:x x 323log log52⋅=40016、解对数方程:log 2(9-2x )=3-x17、解对数方程:101gx+1=471+gx x18、解对数方程:log 2(2x -1)·log 2(2x+1-2)=219、解关于x 的方程.3)lg()](lg[22=--a x a x a20、计算:(1)log 622+log 63·log 62+log 63;(2)lg25+32lg8+lg5·lg20+lg 22.21、计算:(1)29)12(lg log 3-+5225)25.0(lg log -;(2)[(1-log 63)2+log 62·log 618]·log 46.22、已知:log 23=a,3b =7.求:log 4256.23、已知:log 89=a,log 25=b,求:lg2,lg3,lg5.24、已知:log 189=a,18b =5,求:log 3645.25、已知:12a =27,求:log 616.26、计算:(1)3log 422+; (2)b a a log 31.27、计算:(1)3lg 100; (2)8log 427log 31125525+.28、计算:.18log 7log 37log 214log 3333-+-29、若函数f(x)的定义域是[0,1],分别求函数f(1-2x)和f(x +a)(a >0)的定义域.30、若函数f(x +1)的定义域是[-2,3),求函数f(x1+2)的定义域.指数函数对数函数计算题2〈答案〉 1、x=10或x=105122、x=2或x=163、x=3或x=274、 x=735、x=06、x=27、x=-28、x=-19、x=410、x=-1或x=511、x=2+2log 2312、x=log 253或x=log 25213、x=414、x=10或x=10315、x=916、x=0或x=317、x=10-4或x=1018、x=log 245或x=log 2319、a <0且a ≠-1时,x=0;a >0且a ≠21,x=3a;a=0或a=-1或a=21时,无解20、(1)1 (2)321、(1)3 (2)122、13+++ab a ab23、lg2=b +11 lg3=)1(23b a + lg5=bb +124、log 3645=ab a -+225、log 616=aa +-341226、 (1)48 (2)3b27、(1)3 (2)230428、29、{x|0≤x ≤21},{x|-a ≤x ≤1-a}.30、{x|x <-31或x >21}指数函数对数函数计算题31、求函数f(x)=lg(1+x)+lg(1-x)(-21<x <0)的反函数.2、已知实数x,y 满足(log 4y)2=x 21log , 求 yx u =的最大值及其相应的x,y 的值.3、若抛物线y=x 2log 2a +2xlog a 2+8位于x 轴的上方,求实数a 的取值范围.4、已知函数f(x)=(log a b)x 2+2(log b a)x +8的图象在x 轴的上方,求a,b 的取值范围.5、已知f(x)=log a |log a x|(0<a <1).解不等式f(x)>0.判断f(x)在(1,+∞)上的单调性,并证明之.6、计算:2log 9log 412log 221log 5533525.0log 3)3(--++-.7、解方程)13lg()13lg()1lg(2++-=-x .8、解方程:2lg +x x =1000.9、解方程:6(4x -9x )-5×6x =0.10、解方程:1lg )7(lg 4110++=x x x.11、解方程:log x+2(4x +5)-01)54(log 22=-++x x .12、已知12x =3,12y =2,求y x x +--1218的值.13、已知2lg 2y x -=lgx +lgy,求yx 的值.14、已知log a (x 2+1)+log a (y 2+4)=log a 8+log a x +log a y(a >0,a ≠1),求log 8(xy)的值.15、已知正实数x,y,z 满足3x =4y =6z ,(1)求证:yx z 2111=-;(2)比较3x,4y,6z 的大小.16、求7lg20·7.0lg 21⎪⎭⎫ ⎝⎛的值.17、已知函数f(x)=1+log x 3,g(x)=2log x 2(x >0,且x ≠1),比较f(x)与g(x)的大小.18、已知函数f(x)=1log -x a (a >0且a ≠1),(1)求f(x)的定义域;(2)当a >1时,求证f(x)在[a,+∞)上是增函数.19、根据条件,求实数a 的取值范围:(1)log 1+a (1-a)<1;(2)|lg(1-a)|>|lg(1+a)|.20、解方程:9x +4x =25·6x .21、解方程:92x-1=4x22、解方程:x⎪⎭⎫ ⎝⎛271=91-x .23、解方程:9x -2·3x+1-27=0.24、已知函数f(x)=bx b x a-+log (a >0,b >0且a ≠1). (1)求f(x) 的定义域;(2)讨论f(x)的奇偶性;(3)讨论f(x)的单调性;(4)求f(x)的反函数f -1(x).25、已知函数f(x)=)2(log 221x x -.(1)求它的单调区间;(2)求f(x)为增函数时的反函数.26、已知函数f(x)=21-x a满足f(lga)=10,求实数a 的值.27、解关于x 的方程:lg(ax-1)-lg(x-3)=128、解方程:log 0.5x 2-25.03log x x=4log 35.x o .29、解方程:5)(1log 5=-x x .30、解方程:3·16x +36x =2·81x .指数函数对数函数计算题3 〈答案〉 1、f -1(x)=-x 101-(lg 43<x <0)2、 考虑y x4log =21-log 42y -log 4y,当x=21,y=41时,u max =2.3、由⎩⎨⎧<⋅-=∆>,08log 4)2log 2(,0log 222a a a 可得2<a<+∞4、a >1,b >a 或0<a <1,0<b <a .5、(1)a <x <a 1且x ≠1;(2)f(x)在(1,+∞)上是减函数.6、4217、)]13)(13lg[()1lg(2+-=-x ,x -1>0,∴x >1(x -1)2=3-1,∴x=1+28、解:原方程为(lgx +2)lgx=3,∴lg 2x +2lgx -3=0,设y=lgx,则有y 2+2y -3=0,∴y 1=1,y 2=-3.由lgx=1,得x=10,由lgx=-3,得x=10001. 经检验,x=10和x=10001都是原方程的解.9、x=-110、x=10或x=0.000111、x=112、3413、3+2214、利用运算法则,得(xy -2)2+(2x -y)2=0∴log s (xy)=3115、(1)略;(2)3x <4y <6z16、令所求式为t,两边取对数,得原式=1417、当0<x <1或x >34时,f(x)>g(x);当1<x <34时,f(x)<g(x);当x=34时,f(x)=g(x).18、(1)当0<a <1时,0<x ≤a;当a >1时,x ≥a.(2)设a ≤x 1≤x 2,则f(x 1)-f(x 2)=1log 1log 21---x x a a =1log 1log log 2121-+-x x x x a a a<0.19、(1)-1<a <0或0<a <1;(2)0<a <120、方程即为2·32x -5·3x ·2x +2·22x =0,即022352322=+⎪⎭⎫ ⎝⎛⋅-⎪⎭⎫ ⎝⎛xx . 令y=x⎪⎭⎫ ⎝⎛23,方程又化为2y 2-5y +2=0, 解得y 1=2,y 2=21,于是便可得x 1=2log 23,x 2=-223log .21、 由题意可得x229⎪⎭⎫ ⎝⎛=9,∴2x=9log 29,故x=219log 29.22、方程即为3-3x =32-2x ,∴-3x=2-2x,故x=-2.23、令y=3x >0,则原方程可化为y 2-6y -27=0,由此得y=9(另一解y=-3舍去).从而由3x =9解得x=2.24、(1)(-∞,-b)∪(b,+∞);(2)奇函数;(3)当0<a <1时,f(x)在(-∞,-b)和(b,+∞)上是增函数;当a >1时,f(x)在(-∞,-b)和(b,+∞)上是减函数;(4)略。
指数函数与对数函数的应用题

指数函数与对数函数的应用题指数函数与对数函数是高中数学中的重要内容,它们在实际问题中有着广泛的应用。
本文将通过几个应用题的分析来探讨指数函数与对数函数的实际运用。
应用题一:物质的放射性衰变物质的放射性衰变是指由于放射性核的不稳定性,使核发生自发性变化的过程。
假设某种物质的衰变速率符合指数函数规律,即每个单位时间内剩余的物质量与当前的物质量成比例关系,如何求解衰变物质的半衰期?解析:设物质的初始质量为P0,经过时间t后的质量为P(t),假设衰变常数为k。
由指数函数的性质可得:P(t) = P0 * e^(kt)当t = T (半衰期) 时,物质的质量减少了一半,即:P0 / 2 = P0 * e^(kT)化简后可得:e^(kT) = 1/2由此可以得到半衰期T的解。
应用题二:质量-时间关系某物质在一定条件下的质量随时间的变化满足指数函数的规律。
已知该物质在开始时间时的质量为M0,经过3小时后,质量降低为M0的1/4,求解质量随时间变化的指数函数关系。
解析:设物质的质量随时间t的变化满足指数函数:M(t) = M0 * e^(kt)已知M(3) = M0 * (1/4),带入上述指数函数公式得:M0 * e^(3k) = M0 * (1/4)化简可得:e^(3k) = 1/4由此可以求得k的解,进而得到质量随时间变化的指数函数关系。
应用题三:货币贬值问题某国货币贬值的速度与该国的物价水平及其他因素有关。
假设某国的年物价水平p以指数函数形式增长,即p = p0 * e^(kt),其中p0是初始物价水平,k是贬值系数。
求解该国货币的贬值率。
解析:货币贬值率是指货币购买力下降的速度,可以用物价水平的增长率来近似表示。
设t时刻物价水平为p(t),t+1时刻物价水平为p(t+1),则贬值率为:贬值率 = (p(t+1) - p(t)) / p(t)将p(t) = p0 * e^(kt),p(t+1) = p0 * e^((k+k')t+1)带入上述公式,化简可得贬值率的解。
指数函数对数函数专练习题含答案-V1

指数函数对数函数专练习题含答案-V1
本篇文章将针对指数函数和对数函数的专练习题含答案做重新整理,主要分为以下几个部分:
一、指数函数部分练习题
1、简单的指数函数练习题
如:化简y=2^x+2^x
解答:y=2^x+2^x=2*2^x=2^(x+1)
2、指数函数的性质
如:已知y=2^x,求y在x=3处的切线方程
解答:y'=ln2*2^x,当x=3时,y'=ln2*2^3=8ln2
切线方程:y-2^3=8ln2(x-3),即y=8ln2x-16ln2
3、指数函数与对数函数的综合练习
如:已知y=log2x,求y=2^x的解
解答:当y=log2x时,x=2^y
将x=2^y带入y=2^x,得到:y=2^(2^y)
令f(x)=2^x-x,则f'(x)=ln2*2^x-1>0,所以f(x)单增
故f(x)=0的解唯一,即y=2^x的解唯一,即y=log2(2^y)
二、对数函数练习题
1、简单的对数函数练习题
如:化简y=log(a^2b^3/(ab)^2)
解答:y=log(a^2b^3)-log(a^2b^2)=logb
2、对数函数的性质
如:已知y=logax,z=logbx,求y和z的关系式
解答:由对数函数的换底公式,可得y=logbx/logba,z=logbx
式中,x>0,且a、b均大于0且不等于1
3、对数函数与指数函数的综合练习
如:已知y=log2x,求y=2^x的解
解答:将x=2^y带入y=log2x,得到y=y*log2(2),
即y=0或y=1,因此,x=1或x=2
以上是指数函数和对数函数中的一些练习题,希望对大家的学习有所帮助。
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指数函数及其性质1.指数函数概念一般地,函数叫做指数函数,其中是自变量,函数的定义域为.2.指数函数函数性质:函数名称定义图象定义域值域过定点奇偶性单调性函数值的变化情况变化对图象的影响指数函数函数且叫做指数函数图象过定点,即当时,.非奇非偶在上是增函数在上是减函数在第一象限内,从逆时针方向看图象,逐渐增大;在第二象限内,从逆时针方向看图象,逐渐减小 .对数函数及其性质1.对数函数定义一般地,函数叫做对数函数,其中是自变量,函数的定义域.2.对数函数性质:函数名称定义函数对数函数且叫做对数函数图象定义域值域过定点奇偶性图象过定点,即当非奇非偶时,.单调性在上是增函数在上是减函数函数值的变化情况变化对图象的影响在第一象限内,从顺时针方向看图象,看图象,逐渐减小 .逐渐增大;在第四象限内,从顺时针方向指数函数习题一、选择题aa ≤ b,则函数 f ( x ) =1?2x 的图象大致为 ()1.定义运算 a ?b =>b a b2.函数 f ( x ) = x 2-bx + c 满足 f (1 + x ) =f (1 - x ) 且 f (0) =3,则 f ( b x ) 与 f ( c x ) 的大小关系是()xxA . f ( b ) ≤ f ( c ) x xB . f ( b ) ≥ f ( c )xxC . f ( b )> f ( c )D .大小关系随 x 的不同而不同3.函数 y = |2 x - 1| 在区间A . ( - 1,+∞ )C . ( - 1,1)( k - 1, k + 1) 内不单调,则 k 的取值范围是 ()B . ( -∞, 1)D . (0,2)4.设函数 f ( x ) =ln [( x -1)(2 -x)] 的定义域是 ,函数 ( ) = lg(x - 2x -1) 的定义域是 ,Ag xaB若 ?,则正数a 的取值范围 ()ABA . a >3B . a ≥ 3C . a > 5D . a ≥ 5.已知函数 f (x = 3- a x -3, x ≤ 7,若数列 { a n 满足 a n = f (n )(n ∈ * ,且 {a n }是递5 ) a x - 6, x >7. } N) 增数列,则实数a 的取值范围是 ()A . [ 9, 3)B . ( 9, 3) 44C . (2,3)D . (1,3)2x16.已知 a >0 且 a ≠ 1,f ( x ) = x - a ,当 x ∈ ( - 1,1) 时,均有 f ( x )< 2,则实数 a 的取值范围 是( )1 1 A . (0 , 2] ∪ [2 ,+∞ ) B . [ 4, 1) ∪ (1,4]11C . [ 2, 1) ∪ (1,2]D . (0 , 4) ∪ [4 ,+∞ )二、填空题xa7.函数 y = a ( a >0,且 a ≠ 1) 在 [1,2] 上的最大值比最小值大 2,则 a 的值是 ________.8.若曲线 | y | = 2 x + 1 与直线 y =b 没有公共点,则b 的取值范围是 ________.| x|的定义域为9. (2011 ·滨州模拟 ) 定义:区间 [x 1,x 2 ]( x 1<x 2) 的长度为 x 2- x 1. 已知函数 y = 2 [a , b] ,值域为 [1,2] ,则区间 [a , b] 的长度的最大值与最小值的差为 ________.三、解答题10.求函数y=2x2 3x 4 的定义域、值域和单调区间.11.(2011 ·银川模拟 ) 若函数y=a2x+ 2a x-1( a>0 且a≠ 1) 在x∈ [- 1,1]上的最大值为14,求a 的值.12.已知函数f (x) = 3x,(a+ 2) = 18, (x) =λ·3ax-4x的定义域为 [0,1] .f g(1)求 a 的值;(2) 若函数g( x) 在区间 [0,1] 上是单调递减函数,求实数λ的取值范围.1. 解析:由? = a a≤ b x2x x≤0,b a>b x>0 .1答案: A2. 解析:∵f (1 +x) =f (1 -x) ,∴f ( x) 的对称轴为直线x=1,由此得 b=2.又 f (0)=3,∴c=3.∴f ( x)在(-∞,1)上递减,在(1,+∞)上递增.x≥2x≥ 1,∴ (3 x) ≥(2 x) .若 x≥0,则3f f若 x<0,则3x<2x<1,∴f (3x)> f (2x).∴f (3x)≥ f (2x).答案: A3.解析:由于函数 y=|2x-1|在(-∞,0)内单调递减,在(0,+∞)内单调递增,而函数在区间 ( k- 1,k+ 1) 内不单调,所以有答案: Ck-1<0<k+1,解得-1<k<1.4.解析:由题意得: A=(1,2)x x>1x x>1在(1,2)上恒成立,即,a- 2且 a>2,由 A? B知 a- 2x x上恒成立,令x x xln a-2xln2>0 ,所以函数a-2 - 1>0 在 (1,2)u( x)=a- 2- 1,则u′( x) =au ( x ) 在 (1,2) 上单调递增,则 u ( x )> u (1) = a - 3,即 a ≥ 3.答案: B*f ( n ) 为增函数,5. 解析: 数列 { a } 满足 a = f ( n )( n ∈ N ) ,则函数nna >18- 6- ) × 7- 3,所以 3- a >0注意 a>(3,解得 2<a <3.aa8-6> 3- a × 7-3答案: C1 2x1 21 x x21的图象,6. 解析: f ( x )<? x -a < ? x - <a ,考查函数 y = a与 y =x - 2222当 a >1 时,必有 a-1≥1,即 1<a ≤ 2,21 1当 0<a <1 时,必有 a ≥ ,即 ≤a <1,2 2 1 综上, 2≤ a <1 或 1<a ≤ 2. 答案: C7. 解析: 当 a >1 时, y x在 [1,2] 上单调递增,故 2a3x= a a - a = ,得 a = . 当 0<a <1 时, y = a2 22a在 [1,2] 上单调递减,故 a -a = 2,得 a = 2. 故 a =2或 2.1131 3答案: 2或28. 解析: 分别作出两个函数的图象,通过图象的交点个数来判断参数的取值范围.x+1 与直线 y = b 的图象如图所示,由图象可得:如果x+ 1 与直线 y = b曲线 | y | = 2 | y | = 2没有公共点,则 b 应满足的条件是 b ∈ [- 1,1] .答案: [- 1,1]9. 解析: 如图满足条件的区间 [a , b] ,当 a =- 1, b = 0 或 a = 0, b = 1 时区间长度最小,最小值为 1,当 a =- 1,b = 1 时区间长度最大,最大值为2,故其差为 1.答案: 110. 解: 要使函数有意义,则只需- x 2-3x + 4≥ 0,即 x 2+ 3x -4≤ 0,解得- 4≤ x ≤ 1.∴函数的定义域为 { x | -4≤ x ≤ 1} .223225 令 t =- x - 3x + 4,则 t =- x - 3x + 4=- ( x + ) +4,2253∴当-4≤ x ≤ 1 时, t max = 4 ,此时 x =- 2, t min = 0,此时 x =- 4 或 x =1.∴0≤t ≤ 25 . ∴0≤ -x 2- 3x + 4≤ 5 .4 2∴函数 y = ( 1)x 23 x4的值域为 [ 2 , 1] .8223 225由 t =- x - 3x + 4=- ( x + )+4( - 4≤ x ≤ 1) 可知,23当- 4≤ x ≤- 2时, t 是增函数,3当- 2≤ x ≤1 时, t 是减函数.根据复合函数的单调性知:y = ( 1 )x 23 x 4在 [ - 4,- 3 3] 上是减函数,在 [ - ,1] 上是增函数.22 233∴函数的单调增区间是 [ - 2, 1] ,单调减区间是 [ - 4,- 2] . 11. 解: 令x22tt >0y= t+ 2t1= ( t+ 1)2,其对称轴为t =- 1.该二次函数a = ,∴ ,则--在[ - 1,+ ∞ ) 上是增函数.x12①若 a >1,∵x ∈ [ - 1,1] ,∴t = a ∈ [ a , a ] ,故当 t = a ,即 x =1 时, y max =a + 2a - 1=14,解得 a = 3( a =- 5 舍去 ) .②若 0<a <1,∵x ∈ [ - 1,1] ,∴ = x∈1 1=-时,a [ a , ] ,故当 t = ,即 1t a ax12y max = (a + 1) - 2= 14.11∴a =3或- 5( 舍去 ) .1综上可得 a = 3 或 3.12. 解: 法一: (1) 由已知得 a2 aa =log 32.3 += 18? 3 = 2?(2) 此时 g ( x ) = λ·2x - 4 x ,设 0≤ x 1<x 2≤ 1,因为 g ( x ) 在区间 [0,1] 上是单调减函数,所以 g ( x ) - g ( x ) = (2 x - 2x )( λ- 2x - 2x )>0 恒成立,即 λ<2x + 2x 恒成立.1 2 1 2 2 1 2 1由于 2x 2+ 2x 1>2 + 2 = 2,所以实数 λ的取值范围是λ≤ 2.法二: (1) 同法一.(2) 此时 g ( x ) = λ·2x - 4x ,因为 g ( x ) 在区间 [0,1] 上是单调减函数,所以有 g ′( x ) = λln2 ·2x - ln4 ·4x = ln2 [- 2 ·(2x )2+ λ·2x] ≤0 成立.x2 设 2 = u ∈ [1,2] ,上式成立等价于-2u+ λu ≤0 恒成立.因为 u ∈ [1,2] ,只需 λ≤2u 恒成立,所以实数 λ的取值范围是λ≤ 2.对数与对数函数同步练习一、选择题1、已知 3a2 ,那么 log3 8 2log 3 6 用 a 表示是()A 、 a 2B 、 5a2C 、 3a (1 a)2D 、 3a a 22、 2log a (M 2N ) log a Mlog a N ,则M的值为()A 、1NB 、4C 、1D 、 4 或 1413 、 已 知 x 2 y 2 1, x0, y 0 , 且 log a (1 x) m,log a n,则 log a y 等 于1 x()A 、 m nB 、 m nC 、 1m nD 、 1m n224、如果方程 lg 2 x (lg5lg 7)lgx lg5 glg 7 0 的两根是 ,,则 g的值是()A 、 lg5 glg 7B 、 lg35C 、 35D 、13515、已知 log 7[log 3 (log 2 x)] 0,那么 x2等于( )A 、1B 、13 C 、1D 、1322 2336、函数 ylg2 1 的图像关于()1 xA 、 x 轴对称B 、 y 轴对称C 、原点对称D 、直线 yx 对称7、函数 ylog (2 x 1) 3x2 的定义域是()A 、 2,1 U 1,B 、 1,1 U 1,32C 、 2,D 、 1,328、函数 ylog 1 (x 2 6x17) 的值域是()2A 、 RB 、 8,C 、, 3D 、 3,9、若 log m 9 log n 9 0 ,那么 m, n 满足的条件是( )A 、 m n 1B 、 n m 1C 、 0 n m 1D 、 0 m n 110、 log a 2 1,则 a 的取值范围是()3A 、 0, 2U 1,B 、 2,C 、 2,1D 、 0, 2U 2,3333 311、下列函数中,在 0,2 上为增函数的是()A 、 ylog 1 ( x1)B 、 y log 2 x 2 12C 、 ylog 2 1D 、 ylog 1 ( x 2 4x 5)x212、已知 g( x) log a x+1 ( a 0且a 1) 在 10, 上有 g( x)0 ,则 f ( x)a x 1 是( )A 、在 ,0上是增加的 B 、在 ,0 上是减少的C 、在, 1 上是增加的D 、在,0 上是减少的二、填空题13、若 log a 2 m,log a 3 n, a 2 m n 。
指数函数与对数函数专项训练(解析版)

指数函数与对数函数专项训练一、单选题1.(23-24高一下·云南玉溪·期末)函数()()2lg 35f x x x =-的定义域为()A .()0,∞+B .50,3⎛⎫⎪C .()5,0,3∞∞⎛⎫-⋃+ ⎪D .5,3⎛⎫+∞ ⎪【答案】C【详解】由题意知,2350x x ->,即(35)0x x ->,所以0x <或53x >.故选:C.2.(23-24高一上·云南昭通·期末)函数()327x f x x =+-的零点所在的区间是()A .()0,1B .31,2⎛⎫ ⎪⎝⎭C .3,22⎛⎫⎪D .()2,3【答案】B【详解】∵3x y =和27y x =-均在R 上单调递增,∴()327x f x x =+-在R 上单调递增;又()12f =-,327402f ⎛⎫=-> ⎪⎝⎭,∴()f x 在31,2⎛⎫ ⎪⎝⎭上有唯一的零点,故选:B.3.(23-24高一上·云南昆明·期末)滇池是云南省面积最大的高原淡水湖,一段时间曾由于人类活动的加剧,滇池水质恶化,藻类水华事件频发.在适当的条件下,藻类的生长会进入指数增长阶段.滇池外海北部某年从1月到7月的水华面积占比符合指数增长,其模型为23 1.65x y -=⨯.经研究“以鱼控藻”模式能有效控制藻类水华.如果3月开始向滇池投放一定量的鱼群后,鱼群消耗水华面积占比呈现一次函数 5.213.5y x =-,将两函数模型放在同期进行比较,如图所示.下列说法正确的是(参考数据:671.6520.2,1.6533.3≈≈)()A .水华面积占比每月增长率为1.65B .如果不采取有效措施,到8月水华的面积占比就会达到60%左右C .“以鱼控藻”模式并没有对水华面积占比减少起到作用D .7月后滇池藻类水华会因“以鱼控藻”模式得到彻底治理【答案】B【详解】对于A ,由于模型23 1.65x y -=⨯呈指数增长,故A 错误;对于B ,当8x =时,8220.63 1.605326.y -⨯==⨯≈,故B 正确;对于C ,因为鱼群消耗水华面积占比呈现一次函数 5.213.5y x =-,所以“以鱼控藻”模式对水华面积占比减少起到作用,故C 错误;对于D ,由两函数模型放在同期进行比较的图象可知,7月后滇池藻类水华并不会因“以鱼控藻”模式得到彻底治理,故D 错误.故选:B.4.(23-24高一上·云南昭通·期末)()()1log 14a f x x =-+(0a >且1a ≠)的图象恒过定点M ,幂函数()g x 过点M ,则12g ⎛⎫⎪⎝⎭为()A .1B .2C .3D .4【答案】D【详解】()()1log 14a f x x =-+,令11x -=,得2x =,()124f =,则()()1log 14a f x x =-+(0a >且1a ≠)恒过定点12,4M ⎛⎫⎪⎝⎭,设()g x x α=,则124α=,即2α=-,即()2g x x -=,∴142g ⎛⎫= ⎪⎝⎭,故选:D.5.(23-24高一下·云南楚雄·期末)已知0.320.3lo g 3,2,lo g 2a b c -===,则()A .c b a <<B .<<b c aC .<<c a bD .a b c<<【答案】A【详解】因为2log y x =在(0,)+∞上单调递增,且234<<,所以222log 2log 3log 4<<,所以21log 32<<,即12a <<,因为2x y =在R 上递增,且0.30-<,所以0.300221-<<=,即01b <<,因为0.3log y x =在(0,)+∞上单调递减,且12<,所以0.30.3log 1log 2>,所以0.3log 20<,即0c <,所以c b a <<.故选:A6.(23-24高一上·云南·期末)若()21()ln 1||f x x x =+-,设()0.3(3),(ln2),2a f b f c f =-==,则a ,b ,c 的大小关系为()A .c a b >>B .b c a >>C .a b c >>D .a c b>>【答案】D【详解】由题意知()(),00,x ∈-∞⋃+∞,由()()()21ln 1f x x f x x⎡⎤-=-+-=⎣⎦-,所以()f x 为偶函数,图象关于y 轴对称,当0x >时,由复合函数的单调性法则知()f x 随x 的增大而增大,即()0,x ∈+∞,()21()ln 1||f x x x =+-单调递增,因为()()33a f f =-=,()0.3(ln2),2b f c f ==,且00.3112222=<<=,0ln2lne 1<<=,所以0.3ln 223<<,所以()()()0.3ln223f f f <<-,即b c a <<,也就是a c b >>.故选:D7.(23-24高一下·云南·期末)设222,0()log ,0x x f x x x ⎧+≤⎪=⎨>⎪⎩,若关于x 的方程2[()](2)()20f x a f x a -++=恰有5个不同实数解,则实数a 的取值范围是()A .[]1,2B .(2,3]C .()2,+∞D .()3,+∞【答案】B【详解】方程2[()](2)()20f x a f x a -++=化为[()2][()]0f x f x a --=,解得()2f x =或()f x a =,函数()f x 在(,0]-∞上单调递增,函数值的集合为(2,3],在(0,1]上单调递减,函数值的集合为[0,)+∞,在[1,)+∞上单调递增,函数值的集合为[0,)+∞,在同一坐标系内作出直线2,y y a ==与函数()y f x =的图象,显然直线2y =与函数()y f x =的图象有两个交点,由关于x 的方程2[()](2)()20f x a f x a -++=恰有5个不同实数解,则直线y a =与函数()y f x =的图象有3个交点,此时23a <≤,所以实数a 的取值范围是(2,3].故选:B8.(23-24高一下·云南昆明·期末)若()12:lo g 11,:39a p a q --<<,则p 是q 的()条件A .充分不必要B .必要不充分C .充要D .既不充分也不必要【答案】A【详解】对于()22:log 11log 2p a -<=,则012a <-<,解得13a <<;对于1:39a q -<,则12a -<,解得3a <;因为{}|13a a <<是{}|3a a <的真子集,所以p 是q 的充分不必要条件.故选:A.二、多选题9.(23-24高一上·云南迪庆·期末)已知函数()()2ln 2f x x x =-,则下列结论正确的是()A .函数()f x 的单调递增区间是[)1,+∞B .函数()f x 的值域是RC .函数()f x 的图象关于1x =对称D .不等式()ln 3f x <的解集是()1,3-【答案】BC【详解】对于A ,当1x =时,2210x x -=-<,此时()()2ln 2f x x x =-无意义,故A 错误;对于B ,由于()22y g x x x ==-的值域为[)1,-+∞,满足()[)0,1,+∞⊆-+∞,所以函数()f x 的值域是R ,故B 正确;对于C ,由题意()()()22ln 2ln 11f x x x x ⎡⎤=-=--⎣⎦,且定义域为()(),02,-∞+∞ ,它满足()()()21ln 11f x x f x+=-=-,即函数()f x 的图象关于1x =对称,故C 正确;对于D ,由于()f x 的定义域为()(),02,-∞+∞ ,故D 错误.故选:BC.10.(23-24高一上·云南昆明·期末)已知函数2212,0()2|log ,0x x x f x x x ⎧--≤⎪=⎨⎪⎩,若1234x x x x <<<,且()()()()1234fx fx fx fx ===,则下列结论中正确的是()A .122x x +=-B .1204x x <<C .()41,4x ∈D .342x x +的取值范围是332,4⎡⎫⎪⎢⎣⎭【答案】BC【详解】作出函数2212,0()2|log ,0x x x f x x x ⎧--≤⎪=⎨⎪⎩的图像如图.对于选项A,根据二次函数的对称性知,12()224x x +=⨯=--,故A 项错误;对于选项B ,因120x x <<,由上述分析知124x x +=-,则21212120()()()42x x x x x x --<=-⋅-≤=,因12x x ≠,故有1204x x <<,即B 项正确;对于选项C ,如图,因0x ≤时,2211()2(2)2222f x x x x =--=-++≤,0x >时,2()|log |f x x =,依题意须使20|log |2x <<,由2|log |0x >得1x ≠,由2|log |2x <解得:144x <<,故有3411,144x x <<<<,即C项正确;对于选项D ,由图知2324log log x x -=,可得341x x =,故431x x =,则343322x x x x ++=,3114x <<,不妨设21,(,1)4y x x x =+∈,显然函数2y x x =+在(1,14)上单调递减,故23334x x <+<,即342x x +的取值范围是(333,4),故D 项错误.故选:BC.11.(23-24高一上·云南昆明·期末)关于函数()ln f x x x =+,以下结论正确的是()A .方程()0f x =有唯一的实数解c ,且(0,1)c ∈B .对,0,()()()x y f xy f x f y ∀>=+恒成立C .对()1212,0x x x x ∀>≠,都有()()1212f x f x x x ->-D .对12,0x x ∀>,均有()()121222f x f x x x f ++⎛⎫≤⎪【答案】AC【详解】A 选项,由于1y x =在R 上单调递增,2ln y x =在()0,∞+上单调递增,故()ln f x x x =+在定义域()0,∞+上单调递增,又()11ln 30,11033f f ⎛⎫=-<=> ⎪⎝⎭,故由零点存在性定理可得,方程()0f x =有唯一的实数解c ,且(0,1)c ∈,A 正确;B 选项,()ln f xy xy xy =+,()()ln ln ln f x f y x x y y x y xy +=+++=++,显然,0x y ∀>,由于xy 与x y +不一定相等,故()()f x f y +与()f xy 不一定相等,B 错误;C 选项,由A 选项可知,()ln f x x x =+在定义域()0,∞+上单调递增,对()1212,0x x x x ∀>≠,都有()()12120f x f x x x ->-,C 正确;D 选项,12,0x x ∀>,均有121212ln 222x xx x x x f +++⎛⎫=+ ⎪⎝⎭,()()12112212121212ln ln ln ln 22222f x f x x x x x x x x x x x x x ++++++==+=+,由于12122x x x x +≥,当且仅当12x x =时,等号成立,故1212ln ln 2x x x x +≥,即()()121222f x f x x x f ++⎛⎫≥ ⎪⎝⎭,D 错误.故选:AC 三、填空题12.(23-24高一上·云南昆明·期末)()()2,(1)29,1x a x f x x ax a x ⎧>⎪=⎨-++-≤⎪⎩是R 上的单调递增函数,则实数a 的取值范围为.【答案】[]2,5【详解】因为在R 递增,则112129a a a a a⎧⎪⎪≥⎨⎪-++-≤⎪⎩>,解得:25a ≤≤,故答案为:[]2,513.(23-24高一下·云南昆明·期末)设函数()ln(1)f x x =+,2()g x x a =-+,若曲线()y f x =与曲线()y g x =有两个交点,则实数a 的取值范围是.【答案】(0,)+∞【详解】当0x ≥时,()ln(1),f x x =+当0x <时()ln(1),f x x =-+函数图象示意图为则2()g x x a =-+与()ln (1)f x x =+有两个零点知a 的取值范围是(0,)+∞.故答案为:(0,).+∞14.(23-24高一下·云南玉溪·期末)苏格兰数学家纳皮尔(J.Napier ,1550-1617)在研究天文学的过程中,经过对运算体系的多年研究后发明的对数,为当时的天文学家处理“大数”的计算大大缩短了时间.即就是任何一个正实数N 可以表示成10(110,)n N a a n =⨯≤<∈Z ,则lg lg (0lg 1)N n a a =+≤<,这样我们可以知道N 的位数为1n +.已知正整数M ,若10M 是10位数,则M 的值为.(参考数据:0.9 1.1107.94,1012.56≈≈)【答案】8或9【详解】依题意可得910101010M ≤<,两边取常用对数可得91010lg10lg lg10M ≤<,即910lg 10M ≤<,所以0.9lg 1M ≤<,即0.91010M ≤<,又M 为正整数,所以8M =或9M =.故答案为:8或9四、解答题15.(23-24高一上·云南昆明·期末)设函数()log (3)(,10a f x x a =-+>且1)a ≠.(1)若(12)3f =,解不等式()0f x >;(2)若()f x 在[4,5]上的最大值与最小值之差为1,求a 的值.【答案】(1)10(,)3+∞(2)2a =或12a =【详解】(1)由(12)3f =可得log (123)13a -+=,解得3a =,即3()log (3)1,(3)f x x x =-+>,则()0f x >,即3log (3)10x -+>,即310,1333x x x >⎧⎪∴>⎨->⎪⎩,故不等式()0f x >的解集为10(,)3+∞;(2)由于()f x 在[4,5]上的最大值与最小值之差为1,故log 11(log 21)1a a +-+=,即log 21,2a a =∴=或12a =,即a 的值为2a =或12a =.16.(23-24高一上·云南昭通·期末)化简求值:(1)()13103420.027π4160.49--++;(2)ln22311lg125lg40.1e log 9log 1632-+++⨯.【答案】(1)8(2)9【详解】(1)()13103420.027π4160.49--++()()()1313423420.3120.7⎡⎤⎡⎤⎡⎤=-++⎣⎦⎣⎦⎣⎦0.3180.78=-++=;(2)ln22311lg125lg4lg 0.1e log 9log 1632-++++⨯3211112lg34lg2lg5lg23222lg2lg3=+-++⨯lg 5lg28=++9=.17.(23-24高一上·云南·期末)已知定义域为R 的函数()11333xx m f x +-⋅=+是奇函数.(1)求m 的值并利用定义证明函数()f x 的单调性;(2)若对于任意t ∈R ,不等式()()22620f t t f t k -+-<恒成立,求实数k 的取值范围.【答案】(1)1m =,证明见解析(2)3k <-【详解】(1)因为()f x 是奇函数,函数的定义域为R ,所以(0)0f =,所以1033m-=+,所以1m =,经检验满足()()f x f x -=-易知()11312133331x x x f x +-⎛⎫==-+ ⎪++⎝⎭设12x x <,则2112122(33)()()3(31)(31)x x x x f x f x --=++因为3x y =在实数集上是增函数,故12()()0f x f x ->.所以()f x 在R 上是单调减函数(2)由(1)知()f x 在(,)-∞+∞上为减函数.又因为()f x 是奇函数,所以()()22620f t t f t k -+-<等价于()()2262f t t f k t-<-,因为()f x 为减函数,由上式可得:2262t t k t ->-.即对一切t R ∈有:2360t t k -->,从而判别式361203k k ∆=+<⇒<-.所以k 的取值范围是3k <-.18.(23-24高一下·云南昆明·期末)已知函数1()xx f x a a ⎛⎫=- ⎪⎝⎭ (0a >且1a ≠).(1)讨论()f x 的单调性(不需证明);(2)若2a =,(ⅰ)解不等式3()2≤f x x;(ⅱ)若21()(22))2(x g f x t x x f +=-+在区间[]1,1-上的最小值为74-,求t 的值.【答案】(1)答案见解析(2)(ⅰ)(](],10,1-∞-⋃;(ⅱ)2t =-或2t =【详解】(1)若1a >,则1()()x xf x a a=-在R 上单调递增;若01a <<,则1()()x xf x a a=-在R 上单调递减.(2)(ⅰ)3()2≤f x x ,即132()022xx x --≤,设13()2()22xx g x x=--,则(1)0g =,()()g x g x -=-,所以()g x 为奇函数,当0x >时,()g x 单调递增,由()(1)g x g ≤,解得01x <≤,根据奇函数的性质,当0x <时,()(1)g x g ≤的解为1x ≤-,综上所述,3()2≤f x x的解集为(](],10,1-∞-⋃.(ⅱ)2122()2(2)2()222(22)x x x x x g x f x tf x t +--=-+=++-,令22x x m --=,因为[]1,1x ∈-,则33,22m ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦,所以2()()22g x h m m tm ==++,其图象为开口向上,对称轴为m t=-的抛物线,①当32t -≤-,即32t ≥时,min 39177()()3232444h m h t t =-=-+=-=-,解得2t =.②当3322t -<-<,即3322t -<<时,222min 7()()2224h m h t t t t =-=-+=-+=-,解得1152t =,2152t =-矛盾.③当32t -≥,即32t ≤-时,min 39177()()3232444h m h t t ==++=+=-,解得2t =-.综上所述,2t =-或2t =.19.(23-24高一上·云南昆明·期末)函数()e (0)x f x mx m =-<.(1)求(1)f -和(0)f 的值,判断()f x 的单调性并用定义加以证明;(2)设0x 是函数()f x 的一个零点,当1em <-时,()02f x k >,求整数k 的最大值.【答案】(1)1(1)e f m --=+,(0)1f =,()f x 在定义域R 上单调递增,证明见解析,(2)整数k 的最大值为1-【详解】(1)1(1)e f m --=+,(0)1f =,判断()f x 在定义域R 上单调递增,证明如下:在R 上任取1x ,2x ,且12x x <,则1212121212()()e (e )(e e )()x x x x f x f x mx mx m x x -=---=---,因为12x x <,0m <,所以12e e x x <,120x x -<,0m ->,所以12e e 0x x -<,12()0m x x --<,所以1212(e e )()0x x m x x ---<,即12())0(f x f x -<,所以12()()f x f x <,所以()f x 在定义域R 上单调递增.(2)由题意得0()0f x =,即00e 0x mx -=,1em <-,则10e m +<,即0(1)0()f f x -<=,由()f x 是R 上的增函数,所以01x -<,又0(0)10()f f x =>=,所以010x -<<,0200(2)e 2x f x mx =-002e 2e x x =-,令01e (ext =∈,1),则22()2(1)1g t t t t =-=--,所以()g t 在1(e ,1)上单调递减,所以()()11g t g >=-,即0(2)1f x >-,当1em <-时,0(2)f x k >,所以1k ≤-,所以整数k 的最大值为1-.。
指数函数与对数函数专项练习(含答案)

指数函数与对数函数专项练习1 设232555322555a b c ===(),(),(),则a ,b ,c 的大小关系是[ ] (A )a >c >b (B )a >b >c (C )c >a >b (D )b >c >a2 函数y=ax2+ bx 与y= ||log b ax(ab ≠0,| a |≠| b |)在同一直角坐标系中的图像可能是[ ]3.设525bm ==,且112a b +=,则m =[ ](A (B )10 (C )20 (D )100 4.设a=3log 2,b=In2,c=125-,则[ ]A. a<b<cB. b<c<aC. c<a<b D . c<b<a 5 .已知函数()|lg |f x x =.若a b ≠且,()()f a f b =,则a b +的取值范围是[ ] (A)(1,)+∞ (B)[1,)+∞ (C) (2,)+∞ (D) [2,)+∞ 6.函数()()2log 31x f x =+的值域为[ ]A.()0,+∞ B. )0,+∞⎡⎣ C. ()1,+∞ D. )1,+∞⎡⎣7.下列四类函数中,个有性质“对任意的x>0,y>0,函数f(x)满足f (x +y )=f (x )f (y )”的是 [ ](A )幂函数 (B )对数函数 (C )指数函数 (D )余弦函数 8. 函数y=log2x 的图象大致是[ ]PS(A) (B) (C) (D)8.设554a log 4b log c log ===25,(3),,则[ ] (A)a<c<b (B) b<c<a (C) a<b<c (D) b<a<c 9.已知函数 1()log (1),f x x =+若()1,f α= α=[ ](A)0(B)1(C)2(D)310.函数y =的值域是[ ](A )[0,+∞) (B) [0,4] (C) [0,4) (D) (0,4) 11.若372log πlog 6log 0.8a b c ===,,,则( )A .a b c >>B .b a c >>C .c a b >>D .b c a >>12.下面不等式成立的是( )A .322log 2log 3log 5<<B .3log 5log 2log 223<<C .5log 2log 3log 232<<D .2log 5log 3log 322<<13.若01x y <<<,则( )A .33y x <B .log 3log 3x y <C .44log log x y <D .11()()44x y<14.已知01a <<,log log a a x =,1log 52a y =,log log a a z =,则( )A .x y z >>B .z y x >>C .y x z >>D .z x y >>15.若13(1)ln 2ln ln x e a x b x c x -∈===,,,,,则( ) A .a <b <cB .c <a <bC . b <a <cD . b <c <a16.已知函数()log (21)(01)x a f x b a a =+->≠,的图象如图所示,则a b ,满足的关系是( ) A .101a b -<<< B .101b a-<<<C .101ba -<<<-D .1101ab --<<<18. 已知函数)1(122>-+=a a a y x x 在区间[-1,1]上的最大值是14,求a 的值.19.已知m x f x +-=132)(是奇函数,求常数m 的值;20.已知函数f(x)=11+-x x a a (a>0且a ≠1).(1)求f(x)的定义域;(2)讨论f(x)的奇偶性;(3)讨论f(x)的单调性.指数函数与对数函数专项练习参考答案1)A【解析】25y x =在0x >时是增函数,所以a c >,2()5xy =在0x >时是减函数,所以c b >。
(精选试题附答案)高中数学第四章指数函数与对数函数真题

(名师选题)(精选试题附答案)高中数学第四章指数函数与对数函数真题单选题1、设a=log2π,b=log6π,则()A.a−b<0<ab B.ab<0<a−bC.0<ab<a−b D.0<a−b<ab答案:D分析:根据对数函数的性质可得a−b>0,ab>0,1b −1a<1,由此可判断得选项.解:因为a=log2π>log22=1,0=log61<b=log6π<log66=1,所以a>1,0<b<1,所以a−b>0,ab>0,故排除A、B选项;又1b −1a=a−bab=logπ6−logπ2=logπ3<logππ<1,且ab>0,所以0<a−b<ab,故选:D.2、若函数f(x)=x3+x2−2x−2的一个正零点附近的函数值用二分法计算,其参考数据如下:那么方程x3+x2−2x−2=0的一个近似根(精确度0.1)为().A.1.2B.1.4C.1.3D.1.5答案:B分析:根据二分法求零点的步骤以及精确度可求得结果.解:因为f(1)<0,f(1.5)>0,所以f(1)f(1.5)<0,所以函数在(1,1.5)内有零点,因为1.5−1=0.5>0.1,所以不满足精确度0.1;因为f(1.25)<0,所以f(1.25)f(1.5)<0,所以函数在(1.25,1.5)内有零点,因为1.5−1.25=0.25>0.1,所以不满足精确度0.1;因为f(1.375)<0,所以f(1.375)f(1.5)<0,所以函数在(1.375,1.5)内有零点,因为1.5−1.375=0.125>0.1,所以不满足精确度0.1;因为f(1.4375)>0,所以f(1.4375)f(1.375)<0,所以函数在(1.375,1.4375)内有零点,因为1.4375−1.375=0.0625<0.1,所以满足精确度0.1;所以方程x 3+x 2−2x −2=0的一个近似根(精确度0.05)是区间(1.375,1.4375)内的任意一个值(包括端点值),根据四个选项可知选B . 故选:B3、已知55<84,134<85.设a =log 53,b =log 85,c =log 138,则( ) A .a <b <c B .b <a <c C .b <c <a D .c <a <b 答案:A分析:由题意可得a 、b 、c ∈(0,1),利用作商法以及基本不等式可得出a 、b 的大小关系,由b =log 85,得8b =5,结合55<84可得出b <45,由c =log 138,得13c =8,结合134<85,可得出c >45,综合可得出a 、b 、c 的大小关系.由题意可知a 、b 、c ∈(0,1),a b =log 53log 85=lg3lg5⋅lg8lg5<1(lg5)2⋅(lg3+lg82)2=(lg3+lg82lg5)2=(lg24lg25)2<1,∴a <b ;由b =log 85,得8b =5,由55<84,得85b <84,∴5b <4,可得b <45; 由c =log 138,得13c =8,由134<85,得134<135c ,∴5c >4,可得c >45.综上所述,a <b <c . 故选:A.小提示:本题考查对数式的大小比较,涉及基本不等式、对数式与指数式的互化以及指数函数单调性的应用,考查推理能力,属于中等题.4、已知函数f (x )={a +a x ,x ≥03+(a −1)x,x <0(a >0 且a ≠1),则“a ≥3”是“f (x )在R 上单调递增”的( )A .充分不必要条件B .必要不充分条件C .充要条件D .既不充分也不必要条件答案:A分析:先由f(x)在R 上单调递增求得a 的取值范围,再利用充分条件,必要条件的定义即得. 若f(x)在R 上单调递增, 则{a >1a −1>0a +1≥3 , 所以a ≥2,由“a ≥3”可推出“a ≥2”,但由“a ≥2”推不出 “a ≥3”, 所以“a ≥3”是“f(x)在R 上单调递增”的充分不必要条件. 故选:A.5、已知9m =10,a =10m −11,b =8m −9,则( ) A .a >0>b B .a >b >0C .b >a >0D .b >0>a 答案:A分析:法一:根据指对互化以及对数函数的单调性即可知m =log 910>1,再利用基本不等式,换底公式可得m >lg11,log 89>m ,然后由指数函数的单调性即可解出. [方法一]:(指对数函数性质) 由9m =10可得m =log 910=lg10lg9>1,而lg9lg11<(lg9+lg112)2=(lg992)2<1=(lg10)2,所以lg10lg9>lg11lg10,即m >lg11,所以a =10m −11>10lg11−11=0.又lg8lg10<(lg8+lg102)2=(lg802)2<(lg9)2,所以lg9lg8>lg10lg9,即log 89>m ,所以b =8m −9<8log 89−9=0.综上,a >0>b . [方法二]:【最优解】(构造函数) 由9m =10,可得m =log 910∈(1,1.5).根据a,b 的形式构造函数f(x)=x m −x −1(x >1) ,则f ′(x)=mx m−1−1, 令f ′(x)=0,解得x 0=m11−m,由m =log 910∈(1,1.5) 知x 0∈(0,1) .f(x)在(1,+∞)上单调递增,所以f(10)>f(8),即a>b,又因为f(9)=9log910−10=0,所以a>0>b .故选:A.【整体点评】法一:通过基本不等式和换底公式以及对数函数的单调性比较,方法直接常用,属于通性通法;法二:利用a,b的形式构造函数f(x)=x m−x−1(x>1),根据函数的单调性得出大小关系,简单明了,是该题的最优解.6、已知函数f(x)={2,x>mx2+4x+2,x≤m,若方程f(x)−x=0恰有三个根,那么实数m的取值范围是()A.[−1,2)B.[−1,2]C.[2,+∞)D.(−∞,−1]答案:A分析:由题意得,函数y=f(x)与函数y=x有三个不同的交点,结合图象可得出结果.解:由题意可得,直线y=x与函数f(x)=2(x>m)至多有一个交点,而直线y=x与函数f(x)=x2+4x+2(x≤m)至多两个交点,函数y=f(x)与函数y=x有三个不同的交点,则只需要满足直线y=x与函数f(x)=2(x>m)有一个交点直线y=x与函数f(x)=x2+4x+2(x≤m)有两个交点即可,如图所示,y=x与函数f(x)=x2+4x+2的图象交点为A(−2,−2),B(−1,−1),故有m≥−1.而当m≥2时,直线y=x和射线y=2(x>m)无交点,故实数m的取值范围是[−1,2).故选:A.7、已知x ,y ,z 都是大于1的正数,m >0,log x m =24,log y m =40,log xyz m =12,则log z m 的值为( ) A .160B .60C .2003D .320答案:B分析:根据换底公式将log x m =24,log y m =40,log xyz m =12,化为log m x =124,log m y =140,log m xyz =112,再根据同底数的对数的加减法运算即可得解. 解:因为log x m =24,log y m =40,log xyz m =12, 所以log m x =124,log m y =140,log m xyz =112,即log m x +log m y +log m z =112,∴log m x =112−log m y −log m z =112−124−140=160, ∴log z m =60. 故选:B .8、下列函数中是增函数的为( )A .f (x )=−xB .f (x )=(23)xC .f (x )=x 2D .f (x )=√x 3答案:D分析:根据基本初等函数的性质逐项判断后可得正确的选项. 对于A ,f (x )=−x 为R 上的减函数,不合题意,舍. 对于B ,f (x )=(23)x为R 上的减函数,不合题意,舍. 对于C ,f (x )=x 2在(−∞,0)为减函数,不合题意,舍.对于D,f(x)=√x3为R上的增函数,符合题意,故选:D.9、已知函数f(x)={a x,x<0(a−3)x+4a,x≥0满足对任意x1≠x2,都有(x1-x2)[f(x1)-f(x2)]<0成立,则a的取值范围为()A.(0,14]B.(0,1)C.[14,1)D.(0,3)答案:A分析:根据给定不等式可得函数f(x)为减函数,再利用分段函数单调性列出限制条件求解即得.因对任意x1≠x2,都有(x1-x2)[f(x1)-f(x2)]<0成立,不妨令x1<x2,则f(x1)>f(x2),于是可得f(x)为R上的减函数,则函数y=a x在(−∞,0)上是减函数,有0<a<1,函数y=(a−3)x+4a在[0,+∞)上是减函数,有a−3<0,即a<3,并且满足:a0≥f(0),即4a≤1,解和a≤14,综上得0<a≤14,所以a的取值范围为(0,14].故选:A10、如图所示,函数y=|2x−2|的图像是()A.B.C.D.答案:B分析:将原函数变形为分段函数,根据x=1及x≠1时的函数值即可得解.∵y=|2x−2|={2x−2,x≥12−2x,x<1,∴x=1时,y=0,x≠1时,y>0. 故选:B.填空题11、化简:(1+1232)(1+1216)(1+128)(1+124)(1+122)(1+12)=________.答案:2−1263分析:分析式子可以发现,若在结尾乘以一个(1−12),则可以从后到前逐步使用平方差公式进行计算,为保证恒等计算,在原式末尾乘以(1−12)×2即可﹒原式=(1+1232)(1+1216)(1+128)(1+124)(1+122)(1+12)×(1−12)×2=(1+1232)(1+1216)(1+128)(1+124)(1+122)×(1−122)×2 =(1+1232)(1+1216)(1+128)(1+124)×(1−124)×2=(1+1232)(1+1216)(1+128)×(1−128)×2=(1+1232)(1+1216)×(1−1216)×2=(1+1232)×(1−1232)×2=(1−1264)×2=2−1263所以答案是:2−1263﹒12、不等式log4x≤12的解集为___________.答案:(0,2]分析:根据对数函数的单调性解不等式即可. 由题设,可得:log 4x ≤log 4412,则0<x ≤412=2, ∴不等式解集为(0,2]. 所以答案是:(0,2].13、在用二分法求函数f (x )的零点近似值时,若第一次所取区间为[−2,6],则第三次所取区间可能是______.(写出一个符合条件的区间即可) 答案:[−2,0]或[0,2]或[2,4]或[4,6](写一个即可). 分析:根据二分法的概念,可求得结果.第一次所取区间为[−2,6],则第二次所取区间可能是[−2,2],[2,6];第三次所取区间可能是[−2,0],[0,2],[2,4],[4,6].所以答案是:[−2,0]或[0,2]或[2,4]或[4,6](写一个即可).14、设函数f(x)={2x +1,x ≤0|lgx |,x >0,若关于x 的方程f 2(x )−af (x )+2=0恰有6个不同的实数解,则实数a 的取值范围为______. 答案:(2√2,3)分析:作出函数f(x)的图象,令f(x)=t ,结合图象可得,方程t 2−at +2=0在(1,2]内有两个不同的实数根,然后利用二次函数的性质即得;作出函数f(x)={2x +1,x ≤0|lgx |,x >0的大致图象,令f (x )=t ,因为f 2(x )−af (x )+2=0恰有6个不同的实数解, 所以g (t )=t 2−at +2=0在区间(1,2]上有2个不同的实数解,∴{Δ=a 2−8>01<a2<2g (1)=3−a >0g (2)=6−2a ≥0 , 解得2√2<a <3,∴实数a 的取值范围为(2√2,3). 所以答案是:(2√2,3).15、函数y =log a (kx −5)+b (a >0且a ≠1)恒过定点(2,2),则k +b =______. 答案:5分析:根据对数函数的图象与性质,列出方程组,即可求解. 由题意,函数y =log a (kx −5)+b 恒过定点(2,2),可得{2k −5=1b =2 ,解得k =3,b =2,所以k +b =3+2=5.所以答案是:5. 解答题16、(1)计算:(1100)−12−√(1−√2)2−8×(√5−√3)0+816;(2)已知x +x −1=4,求x 12+x −12. 答案:(1)3;(2)x 12+x −12=√6.分析:(1)根据指数幂的运算法则进行计算,求得答案; (2)先判断出x >0,然后将x 12+x −12平方后结合条件求得答案. (1)原式=[(100)−1]−12−(√2−1)−8+(23)16,=10012−√2+1−8+212=10+1−8=3.(2)由于x +x−1=4>0,所以x >0,(x 12+x −12)2=x +x −1+2=6,所以x 12+x −12=√6.17、(1)证明对数换底公式:log b N =log a N log a b(其中a >0且a ≠1,b >0且b ≠1,N >0)(2)已知log 32=m ,试用m 表示log 3218. 答案:(1)证明见解析;(2)log 3218=2+m 5m.分析:(1)将对数式转化为指数式,然后两边取对数,利用对数函数的应算法则,即可证明. (2)利用换底公式将等号左边化为以3为底的对数,然后根据对数运算法则化简即得. (1)设log b N =x ,写成指数式b x =N . 两边取以a 为底的对数,得xlog a b =log a N .因为b >0,b ≠1,log a b ≠0,因此上式两边可除以log a b ,得x =log a N log a b.所以,log b N =log a N log a b.(2)log 3218=log 318log 332=log 332+log 32log 325=2+log 325log 32=2+m 5m.小提示:本题考查换底公式的证明和应用,属基础题,关键是将对数式转化为指数式,然后两边取对数,利用对数函数的应算法则,即可证明. 18、已知函数f (x )=a x −1a x +1(a >0,且a ≠1). (1)若f (2)=35,求f (x )解析式; (2)讨论f (x )奇偶性.答案:(1)f (x )=2x −12x +1;(2)奇函数.分析:(1)根据f (2)=35,求函数的解析式;(2)化简f (−x ),再判断函数的奇偶性. 解:(1)∵f (x )=a x −1a x +1,f (2)=35.即a 2−1a 2+1=35,∴a =2.即f (x )=2x −12x +1.(2)因为f (x )的定义域为R ,且f (−x )=a −x −1a −x +1=1−a x1+a x =−f (x ),所以f (x )是奇函数.19、如图,某中学准备在校园里利用院墙的一段,再砌三面墙,围成一个矩形花园ABCD ,已知院墙MN 长为25米,篱笆长50米(篱笆全部用完),设篱笆的一面AB 的长为x 米.(1)当AB 的长为多少米时,矩形花园的面积为300平方米?(2)若围成的矩形ABCD 的面积为 S 平方米,当 x 为何值时, S 有最大值,最大值是多少?答案:(1)15米;(2)当 x 为12.5米时, S 有最大值,最大值是312.5平方米.分析:(1)设篱笆的一面AB 的长为 x 米,则BC =(50−2x)m ,根据“矩形花园的面积为300平方米”列一元二次方程,求解即可;(2)根据题意,可得S =x(50−2x),根据二次函数最值的求法求解即可.(1)设篱笆的一面AB 的长为 x 米,则BC =(50−2x)m ,由题意得,x(50−2x)=300,解得x 1=15,x 2=10,∵50−2x ≤25,∴x ≥12.5,∴x=15,所以,AB的长为15米时,矩形花园的面积为300平方米;(2)由题意得,S=x(50−2x)=−2x2+50x=−2(x−12.5)2+312.5,12.5≤x<25∴x=12.5时,S取得最大值,此时,S=312.5,所以,当x为12.5米时,S有最大值,最大值是312.5平方米.。
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与指数函数、对数函数相关的应用题较多,如人口的增长(1981年、1996年高考题)、环保等社会热点问题,国民生产总值的增长、成本的增长或降低、平均增长率等经济生活问题,放射性物质的蜕变、温度等物理学科问题等.
一、人口问题
例1、某城市现有人口总数为100万人,如果年自然增长率为1.2%,试解答下面的问题:
⑴写出该城市人口数y(万人)与年份x(年)的函数关系式;
⑵计算10年以后该城市人口总数(精确到0.1万人);
⑶计算大约多少年以后该城市人口将达到120万人(精确到1年).
二、增长率问题
例2、按复利计算利息的一种储蓄,本金为a元,每期利率为r,设本利和为y,存期为x,写出本利和y 随存期x 变化的函数关系式.如果存入本金1000元,每期利率为2.25%,试计算5期后本利和是多少?(注:“复利”,即把前一期的利息和本金加在一起算作本金,再计算下一期利息.)
例3、某乡镇现在人均一年占有粮食360千克,如果乡镇人口平均每年增长1.2%,粮食总产量平均每年增长4%,那么x年后若人均一年占有y千克粮食,求出函数y关于x的解析式.
三、环保问题
例4、一片森林面积为a ,计划每年砍伐一批木材,每年砍伐的百分比相等,则砍伐到面积一半时,所用时间是T 年,为保护生态环境,森林面积至少要保留原面积的1
4
,已知到今
年为止,森林剩余面积为原来的
2
. ⑴到今年为止,该森林已砍伐了多少年? ⑵今后最多还能砍伐多少年?
四、物理问题
例5、牛顿冷却定律描述一个物体在常温环境下的温度变化:如果物体的初始温度是T 0,则
经过一定时间h 后的温度T 将满足T -T a =2
1
(T 0-T a ),其中T a 是环境温度,使上式成立所需要的时间h 称为半衰期.在这样的情况下,t 时间后的温度T 将满足T -T a =h
t )2
1((T 0
-T a ).
现有一杯ο195F 用热水冲的速溶咖啡,放置在ο75F 的房间中,如果咖啡降温到ο
105F 需20分钟,问欲降到ο
95F 需多少时间?
例6、设在海拔x m 处的大气压强是y Pa ,y 与x 之间的函数关系式是kx
ce y =,其中c,k 为常量.已知某地某天在海平面的大气压为 1.01×105Pa ,1000m 高空的大气压为0.90×105Pa ,求600m 高空的大气压强(结果保留3个有效数字).
1.分析:本题是一关于人口的典型问题,计划生育是我国的基本国策,通过本题可以让学生了解控制人口的现实意义.
解:⑴1年后该城市人口总数为:100100 1.2%100(1 1.2%)y =+⨯=⨯+ 2年后该城市人口总数为:
100(1 1.2%)100(1 1.2%) 1.2%y =⨯++⨯+⨯2
100(1 1.2%)=⨯+ 3年后该城市人口总数为:
22100(1 1.2%)100(1 1.2%) 1.2%y =⨯++⨯+⨯3100(1 1.2%)=⨯+
……
x 年后该城市人口总数为x
y %)2.11(100+⨯=; ⑵10年后该城市人口总数为: 10
10100(1 1.2%)100 1.012112.7()y =⨯+=⨯=万人
⑶设x 年后该城市人口将达到120万人,即 ,120%)2.11(100=+⨯x
20.1log 100
120
log 012.1012
.1==x )(15年≈ 引申:如果20年后该城市人口总数不超过120万人年自然增长率应该控制在多少? 设年自然增长率为x ,依题意有:20
)1(100x +⨯≤120,
由此有20
)1(x +≤1.20,可算得:x ≤0.9%,即年自然增长率应控制在0.9%以内.
评注:此问题反映了控制人口的现实意义.一般认为,世界人口超过地球极限人口一半时,世界人口便进入了缓慢的增长期.地球的极限人口大约为100亿,1987年7月11日世界人口达到50亿,为了引起国际社会对人口问题更深切的关注,联合国人口基金决定从1988年起把每年的7月11日定为“世界人口日”.人口问题已成为人类实现社会和经济持续发展所面临的最严峻的挑战,因而人口问题也是近年高考的热点问题之一,此问题常以指数函数、等比数列形式来考查.
2分析:了解复利概念之后,利率就是本金的增长率,即复利问题可同指数函数相联系. 解:1期后的本利之和为:)1(1r a r a a y +=⨯+= 2期后的本利之和为:2
2)1(r a y += …… ∴x 期后的本利之和为:x r a y )1(+=
将 a = 1000元,r = 2.25%,x = 5 代入上式: 5
5
0225.11000%)25.21(1000⨯=+⨯=y 可算得:y = 1117.68(元)
评注:增长率问题是当前的经济生活中的热点问题,年利率就是一种增长率.本题主要是理解、推导、掌握复利公式.
分析:此问题的关键是恰当引入变量,正确理解数量关系,准确转换为数学表达式.
3解:设该乡镇现在人口量为M ,则该乡镇现在一年的粮食总产量为360M ,经过1年后,该乡镇粮食总产量为360M (1+4%),人口量为M (1+1.2%),
则人均占有粮食为:0000360(14)(1 1.2)
M M ++,
经过2年后,人均占有粮食为:2
20000360(14)(1 1.2)
M M ++ …
经过x 年后,人均占有粮食为:0000360(14)(1 1.2)x x
M M ++,
即所求函数为:(1.04)360(1.012)
x
x
y =. 评注:本题为指数函数在实际生活中的应用,现实生活中,有许多问题都可以归结为指数函数问题加以解决,解题时的关键是由题意建立函数模型.
4分析:本题为对数在实际生活的应用问题,可由题意建立函数关系,利用对数求解即可. 解:设每年降低的百分比为x (01)x <<,
⑴由1(1)2T
a x a ⋅-=
,两边同取常用对数得,1lg(1)lg 2
T x -=, 又设经过M
年剩余面积为原来的2
,则(1)2M
a x ⋅-
=lg(1)lg 2M x ⇒-=,
∴1
22T M ==,∴2T M =,即到今年为止已砍伐了2T 年.
⑵设从今年开始以后再砍伐N 年,在N
年后剩余面积为:
(1)2
N a x -,
依题意,1(1)24N a x -≥,由⑴知,1(1)2T
x -=,∴111()2T x -=
,∴11()224N
T ≥ 即,3211()()22N T ≥,∴32N T ≤,32N T ≤,故今后至多还能砍伐3
2
T 年.
评注:本题为环保这一社会热点问题同指、对函数结合的典例.在今天社会各方面都十分关注环保的大背景下,无疑环保问题仍是高考命题的热点问题,此类问题多以二次函数、数列的形式考查.
5分析:本题为利用数学知识解决物理问题的一典例,在解题时需读懂题意,分清量与量间的关系,从而正确建立函数关系.
解:由题意,温度T 是时间t 的指数函数型关系,即:
T =h t )21((T 0-T a )+T a ,将有关数据代入,得T =75+(195-75)×h t
)21
(=75+120×
h t )21(. 再将t =20,T =105代入得105=75+120×h
20)2
1(,解得h =10. ∴T =75+120×10
)2
1(t ,欲使T =95,代入上式解得t =26(分).
评注:本题是一道跨学科应用题,要解决它需要有较好的阅读能力.本题中给出了函数模型,可利用待定系数法确定系数,得出解析式,从而解决问题.
6分析:解决此题,应排除题中专业术语的干扰,抽象概括出数量关系,准确地转化成数学表达式.
解:将,1001.1,05
⨯==y x 5
1090.0,1000⨯==y x 分别代入函数式kx
ce y =,得
⎪⎩⎪⎨⎧=⨯=⨯k
k ce
ce 100050
.51090.01001.1解之得541.01101.1510c k -⎧=⨯⎪
⎨=-⨯⎪⎩ ∴函数式x
e y 4
1015.151001.1-⨯-⨯⨯=将x =600
代入上述函数式得:
600
1015.15
41001.1⨯⨯--⨯⨯=e
y 由计算器算得)(10943.05
Pa y ⨯=
答:在600m 高空的大气压约为0.943×105Pa
评注:此题为利用数学模型解决物理问题.一般情况下,解决此类问题解题步骤:由已知条件确定函数式;求对应的函数值;借助计算器进行比较复杂的运算.。