台北市立建国中学第四十二期通信解题解答与评析

台北市立建國中學第四十二期通信解題解答與評析
四邊形ABCD 中，50ABD ∠= 、20DBC ∠= 、10DAC ∠= 、40CAB ∠= ，試求ACD ∠=？
A
B
C
D
【解答】
E A
B
（如上圖）
(1)在ABD ∆中：
104050DAB DBA ∠=+==∠
所以ABD ∆是等腰三角形，即DA DB = (2)在ABC ∆中：
18018040(5020)70ACB CAB CBA ABC ∠=-∠-∠=--+==∠ 所以ABC ∆是等腰三角形，即AC AB = (3)以AB 向D 點同側作正三角形ABE (4)在,ADE ADC ∆∆中：
AE EB AB AC ===
60104010DAE EAB DAC CAB DAC ∠=∠-∠-∠=--==∠
4201
又AD AD =
所以ADE ADC ∆≅∆（SAS 全等性質）
(5),EA EB DA DB ==，所以直線ED 是AB 的中垂線，即ED 是AEB ∠的角平分線
【評析】
本題徵答數為18人。

從題意可找出關鍵在於線段AC 與BD 相互「垂直」。

1.以AC 與BD 當乘折線，藉「對稱」性質來作適當的輔助線，作法不唯一，有五位同學採用，其中計有四種不同的證明。

7分：北市 建國中學 楊涵傑、基隆 銘傳國中 邱暐凱、基隆 銘傳國中 徐郁晴
基隆 銘傳國中 陳鼎元等四位答題證明過程完整。

5分：北縣 永和國中 葉健偉的作圖過程與原因敘述不完整，較為可惜。

2.藉「三角函數」計算出角度。

計有三種不同方法完成。

7分：彰化 精誠中學 王建詒。

5分：台北 敦化國中 時丕勳（計算過程有小錯誤，較可惜，建議在過程中註明原因為佳） 彰化 陽明中學 楊鎮孙（使用三角函數計算時，原因不詳，建議可以再詳細些） 本題較易犯錯的想法，有8位同學將此四邊形ABCD ，誤認為「圓內接四邊形」，實在可惜。

建議要進行檢驗，以避免產生不必要的錯誤。

一個面積為1003
的封閉區域A
，裡面放了
2005個面積為1
的小紙片， 試證：存在兩紙片，其重疊部分的面積不小於1
2005。

面積為1的小紙片 面積為1003的封閉區域A
【解答】
4202
(1)假設不存在兩個紙片重疊
1
2005
以上。

依序討論2005塊重疊情形。

(2)第一塊與第二塊重疊不到
1
2005
，故覆蓋面積減少的量不多於
1
2005
(3)第三塊再放進來時與前兩塊各重疊不到
1
2005
，故覆蓋面積再減少的量不多於
2
2005
(注
意：若有三塊重疊的部分，所減少的量會更少) (4)……
(5)第2005塊再放進來時與前2004塊各重疊不到
1
2005
，故覆蓋面積再減少的量不多於
2004 2005
(6)所以總覆蓋面積超過
122004
2005()1003
200520052005
-+++=
矛盾
故存在兩個紙片重疊面積不少於
1 2005。

【評析】
解題重點：(1)假設結論不成立，推得矛盾，以得原結論成立(反證法)
(2)注意三塊以上重疊的部分之說明
本題參加作答的學生有7人，平均得分為4.43，注意多塊重疊是重要的細節，其中台北市金華國中辜柏耘，以不等式的方法證明，是唯一可以算有注意到的同學，另外彰化縣精誠國中王建詒，彰化縣陽明國中楊鎮孙的解答亦饒富參考價值。

表(一) 表(二)
表(甲) 表(乙)
上列各表都是英文字母盤，每一次操作可以使某一行或某一列的字母同時改變，改變的規則是將每個英文字母都變成下一個字母，即A變成B，B變成C，…，最後的字母Z變成4203
A ，試回答下列各題
(1) 試問可否經過若干次操作，使得表(一)變成表(二)？ (2) 試問可否經過若干次操作，使得表(甲)變成表(乙)？ 【解答】 (1) 可以 (2) 不可以 理由如下:
為了方便,可將英文字母盤中的英文字母用0,1,2,…,25這26個數字代替(即A 是0, B 是1, C 是2, …, Z 是25)
設第 i 列操作了 i a 次(橫條為列) , 設第 j 行操作了 j b 次(直條為行) 則(1)即為
表(一) 表(二)
表(一) 表(二)
可列成以下之方程組 111122
21322412267
2026226137263
a b k a b k a b k a b k ++=+⎧⎪++=⎪⎨++=+⎪⎪++=+⎩ 取
12
12521161
a a
b b =⎧⎪=⎪⎨=⎪⎪=⎩ 即可滿足 而(2)
表(甲)
表(乙)
即為
表(甲) 表(乙)
考慮左上角的四個字母經轉換為數陣
a b
c d
⎛⎫
⎪
⎝⎭
, 設()()
k a d b c
=+-+
每次操作, 數陣
a b
c d
⎛⎫
⎪
⎝⎭
變成
11
a b
c d
++
⎛⎫
⎪
⎝⎭
,
11
a b
c d
⎛⎫
⎪
++
⎝⎭
,
1
1
a b
c d
+
⎛⎫
⎪
+
⎝⎭
或
1
1
a b
c d
+
⎛⎫
⎪
+
⎝⎭
不論何種情況, k值皆不變. 現在我們分別計算表(甲)和表(乙)的左上角的22
⨯表的k值.
表(甲) 的k值為(247)(419)8
+-+=; 表(乙) 的k值為(2221)(414)25
+-+=,它們的k值不同,所以表(甲)不能變成表(乙).
【評析】
本題徵答數為5人. 解題關鍵在抓住和差的不變性. 得到滿分7分的有北市建國中學楊涵傑,北市敦化國中時丕勳, 彰化精誠中學王建詒, 北縣永和國中夏誌陽.
下列是一個數字謎
一年一小變
三年一中變
2 0 1 0 年
+ 台北一大變
榕榕榕榕榕
已知:台=2 , 北=0 , 其餘每個文字各代表一個數碼,不同的文字代表不同的數碼。

請你說出最後的(五位數)和"榕榕榕榕榕"=?
【解答】
本次我們將台北縣江翠國中八年級16般班黃冠豪同學的解給各位。

由題意知「台」＝，「北」＝。

因為「榕」是一位數，所以「一」＋「三」＋2＋2 < 10，「一」＋「三」< 6。

由第三列可知3⨯「一」＋1 的尾數大於（4＋「一」），「一」只可能是2或5。

但，經驗算5不合，所以「一」＝2。

因2＋2＋2＋1 < 10，且「年」＋「年」＝「榕」，故「榕」為偶數，2＋2＋2＋1＋1＝8⇒「榕」＝8，8－2－2－2＝2但「一」已為2，「三」不可為2 ，所以「三」＝1。

且「年」＋「年」> 10 ⇒「年」＝9。

將剩下的數代入3⨯「變」＋「年」＝8(mod 10)合於這個條件的有三組(變,年)＝(4,6)(5,3)(6,0)經驗算僅有(5,3)。

下列就是本題的解：
4204
＋2 9 2 4 5
1 9
2 6 5
2 0 2 0
3 2 0 1 7 5 8 8 8 8 8
【評析】
這是一個數字謎題目，共有23位同學參加解答，其中有16為同學完全答對，一位同學被扣1分。

6位同學只有答案而無解題過程，只給兩分。

另有3為同學可能因為誤解了題目，而錯解。

題中提到「『其餘』各文字…」，所以，所謂各文字就不應包含「台」及「北」，也因此「一」可以是2，並未違反題意。

這三位同學特意地避開「一」＝2，反而沒能解出本題，但由他們的解題過程中，可以明顯的看得出，這個題目是難不倒他們的，殊為可惜。

下列是這題各同學的得分：
七分：
北縣永和國中夏誌陽北縣江翠國中黃冠豪北縣永和國中葉健偉
北市景興國中張哲孙北市景興國中卓士軒基市銘傳國中聶健孙
基市銘傳國中王琳基市銘傳國中王浚安基市銘傳國中何柏佑
基市銘傳國中王重皓基市銘傳國中鍾承恩基市銘傳國中陳瑞國
北市建國高中楊昶傑
六分：
基市銘傳國中張軒銘
二分：
基市銘傳國中郭書燁基市銘傳國中駱晏而基市銘傳國中涂閔耀
基市銘傳國中陳子賢基市銘傳國中林方安彰縣精誠國中王建詒
在下列某些數字之間填入＋、－、×、÷、()，使等式成立。

例如: 「1 2 3 4 5 6 =43」「12÷3＋45－6＝43」
(1)「999999999 =2006」
(2)「999999999 =2007」
每一小題請各給兩個答案
【解答】
[( 9＋9＋9 ) ×9 －9－9] ×9－9 －9 ＝2007
999 ÷9 ×( 9 ＋9 ) ＋9 ＋9 －9 ＝2007
99 ×(99 ÷9 ＋9) ＋9＋9 ＋9＝2007
999÷9×(9＋9)＋9－9÷9＝2006
999＋999＋9－9×9＝2006
4205
【評析】
本題共計48位同學參與徵答，其中得到7分的共有45位。

而答錯的同學皆是計算不夠細心所致。

這題主要目的是要同學由觀察的過程當中，找出規律來，其實答案會有許多種，有興趣之同學可再接再厲。