向量的内积及其运算

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7.3 向量的内积及其运算
【复习目标】 1.理解向量内积的概念与性质. 2.掌握向量内积的运算律,能用向量的内积解简单平面几
何问题.
【知识回顾】 1.向量内积的概念与性质 (1)两向量的夹角
已知两个非零向量 a 和 b,作������→������=a,������→������=b,则∠AOB 是向量 a 与 b 的夹角,记作<a,b>.规定 0°≤<a,b>≤180°
求出,故 cos<a,b>= ������·������ 也叫做向量的夹角公式.
|������ |������|
【例2】 已知|a|=2,|b|=5,<a,b>=60°,求:
(1)(a+b)(a-b)
(2)(2a+b)(a-2b)
【解】 (1)(a+b)(a-b)=a·a-a·b+b·a-b·b =|a|2-|b|2=22-52=-21
.
13.a·[b(a·c)-c(a·b)]= 0
.
14.已知向量 a 与 b 的夹角为������,且|a|=2,|b|=4,则
������
(a+2b)·(a-b)= -24
.
15.已知|a|=11,|b|=23,|a-b|=30,则|a+b|= 20 .
三、解答题 16.已知|a|=3,|b|=2,<a,b>=120°,求|a+b|.
【同步训练】
一、选择题 1.a与b是表示不同的非零向量,则下列命题为真命题的是
() A.a·b表示一个向量 B.a·b表示一个实数 C.|a·b|=|a|·|b| D.<a,b>越大,a·b也越大
【答案】B
2.已知向量a·b 的夹角为120°,且|a|=2,|b|=5,则(2a-b)·a= () A.3 B.9 C.12 D.13
������
A.2 B.2 ������ C.6 D.12
()
【答案】B
二、填空题
11.若 a·b=-8,|a|=4,|b|=2,则<a,b>= 180° .
12.△ABC 中,若|������→������|=2,|������→������|=3,∠ABC=60° ,则
|������→������|= ������
(2)∵|a|=2,|b|=5,<a,b>=60° ∴a·b=2×5×cos60°=5 (2a+b)(a-2b)=2|a|2-3a·b-2|b|2=2×22-3×5-2×52=-57
【点评】 运用向量内积的性质、运算律及向量内积的定义公 式.
【例3】 已知|a|=6,|b|=8,<a,b>=120°,求|a+b|2
【例题精解】 【例1】 已知a·b=-8,|a||b|=16,求<a,b>.
【解】 ∵cos<a,b>= ������·������ =-������,且 0≤<a,b>≤π,∴<a,b>=������������
|������ |������| ������
������
【点评】 两非零向量的夹角常由向量内积的定义公式变形
【分析】 |a+b|2=(a+b)·(a+b),从而用例2的方法求解. 【解】 |a+b|2=(a+b)·(a+b)=|a|2+2a·b+|b|2 =36+2×6×8×cos120°+64=52
【例 4】 在△ABC 中,已知|������→������|=3,|������→������|=5,∠ABC=60°,求|������→������|.
【解】 |a+b|= ������
17.已知|a|=1,|b|=2,若a-b与a垂直,求a与b的夹角.
【解】
������ ������
18.若a与b均为单位向量,且<a,b>=60°,求证:(2b-a)⊥a.
【证明】 ∵(2b-a)·a=2b·a-|a|2
=2×1×1×������������-12=0
【说明】 ①a 与 b 同向时,<a,b>=0°; ②a 与 b 反向时,<a,b>=180°; ③a⊥b 时,<a,b>=90°
(2)内积的定义
a·b=|a||b|cos<a,b> 【说明】 ①a·b 的结果是一个实数,可以等于正数、负数、零; ②|b|cos<a,b>叫做 b 在 a 方向上正射影的数量.
=9+2×3×5×cos120°+25=19
∴|������→������|=

|������������
+
������→������|������=
������������
【点评】 求未知向量的长可以根据向量的加法转化为已知向
量的和的形式,然后再求向量长的平方,开方即可得.
【例 5】 在△ABC 中,已知|������→������-������→������|=|������→������|,求∠ABC 的大小.
【答案】D
3.若|a|=5,|b|=6,<a,b>=60° ,则 a·b= ( )
A.15 C.15 ������
B.15 ������ D.10
【答案】A
4.若 a·b=5 ������,|a|=4,|b|=2.5,<a,b>= ( ) A.30° B.45° C.60° D.120°
【答案】A
5.△ABC 中,若������→������·������→������<0,则△ABC 是
()
A.钝角三角形
B.直角三角形
C.锐角三角形
D.形状不能确定
【答案】A
6.若a与b均为单位向量,下列命题为真命题的是 ( )
A.a=b
B.a·b=1
C.若a∥b,则a=b D.|a|2=|b|2
【答案】D
【分析】 由∠ABC=<������→������,������→������>可联想到“找向量������→������、������→������的关 系”;已知式是向量的长度关系,可根据公式|a|2=a· a 转化成向量之间的关 系,从而找到解决问题的突破口.
【解】 ∵|������→������-������→������|=|������→������| ∴(������→������-������→������)·(������→������-������→������)=������→������·������→������=(������→������+������→������)·(������→������+������→������) ∴������→������·������→������=0,即������→������⊥������→������,故∠ABC=90° 【点评】 此题也可由向量加、减法,构造平行四边形 ABCD,可得 其对角线相等,从而确定 ABCD 是矩形,∠ABC=90°.
(3)内积的性质
①如果 e 是单位向量,则 a·e=e·a=|a|cos<a,e>; ②a⊥b⇔a·b=0; ③a·a=|a|2或|a|= ������ ·������; ④cos<a,b>= ������·������ ; ⑤|a·b|≤|a||b|.
|������ |������|
2.向量内积的运算律 (1)a·b=b·a;(2)λ(a·b)=(λa)·b=a·(λb);(3)(a+b)·c=a·c+b·c. 【说明】 一般地,(a·b)·c≠a·(b·c).也就是说,向量内积没有“乘 法的结合律”.
A.30°
B.45°
C.60°
() D.90°
【答案】B
9.若向量a⊥b,则一定有 A.|a+b|=|a|+|b| C.|a+b|=|a-b|
() B.|a+b|=|a|-|b| D.|a-b|=|a|+|b|
【答案】C
10.已知|a|=2,|b|=1,a 与 b 之间的夹角为������,则向量|a-4b|=
【分析】
根据������→������=������→������+������→������可得|AC|=|������→������+������→������|=

|������������
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+
������→������|������,
从而可以运用上两例的方法求解.
【解】 ∵|������→������+������→������|2=|������→������|2+2������→������·������→������+|������→������|2
7.在四边形 ABCD 中,������→������=������→������,且������→������·������→������=0,则四边形 ABCD 一定是 ( )
A.正方形
B.菱形
C.矩形
D.平行四边形
【答案】C
8.已知|a|2=1,|b|2=2,(a-b)·a=0,则a与b的夹角为
∴(2b-a)⊥a
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