4-1刚体的定轴转动-力矩-转动惯量-转动定律
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一,刚体的定轴转动(运动)二,力矩,刚体定轴转动的转动定律,转动惯量
二、刚体定轴转动的转动定律
～利用力矩定义＋牛顿第二定律，研究刚体作定 轴转动的动力学规律。 设：oz为定轴， 为 P 刚体中任一质点 i ，其 质量为 ∆ m i。质点 iv ur 受外力 F i ，内力 F i ′ 的作用，均在与 O z 轴 相垂直的同一平面内。 ①牛顿第二定律： ur r v F i + Fi ′ = ∆ m i a i 建立自然坐标：切向、法向；
三、转动惯量 J 1.转动惯量的物理意义： 当以相同的力矩分别作用于两个绕定轴转动的不同 刚体时，它们所获得的角加速度一般是不一样的，转 动惯量大的刚体所获得的角加速度小，即角速度改变 得慢，也就是保持原有转动状态的惯性大；反之，转 动惯量小的刚体所获得的角加速度大，即角速度改变 得快，也就是保持原有转动状态的惯性小。因此，转 动惯量是描述刚体在转动中的惯性大小的物理量。 2.与转动惯量有关的因素：①刚体的质量；②转轴的 位置；③刚体的形状。 实质与转动惯量有关的只有前两个因素。形状即质量 分布，与转轴的位置结合决定转轴到每个质元的矢径。
R 3
例3、求长为L、质量为m的均匀细棒对图中不同轴的 转动惯量。 B 解：取如图坐标，dm=λdx A
J
A
=
∫
∫
L
0
x 2 λ dx = mL 2 / 3
A
x λ dx = mL
2 2
JC =
L 2 L − 2
L C L/2 L/2
X B X
/ 12
例4. 求质量 m ,半径 R 的球壳对直径的转动惯量 解：取离轴线距离相等的点的 集合为积分元
F i t ri + F i t′ ri = ∆ m i ri 2 α
外力矩 内力矩
③对所有质元的同样的式子求和：
定轴转动刚体的转动定律度力矩角动量转动惯量
Iz Ix Iy
z
定理证明：
对于质量平面分布的刚体， 绕 x 轴的转动惯量为：
o
yy
Ix y2dm
x
dm
绕 y 轴的转动惯量为：
I y x2dm
x
绕 z 轴的转动惯量为：
19
z
Iz z2dm (x 2 y2 )dm
y2dm x 2dm I x I y 证毕
o
yy
x z dm
0
M
绕圆环质心轴的转动惯量为
dm
oR
I MR2
例2：在无质轻杆的 b 处 3b 处各系质量为 2m 和 m 的 质点，可绕 o 轴转动，求：质点系的转动惯量I。
解：由转动惯量的定义
I
2
mi ri 2
2mb 2
m
(3b)2
11mb 2
i 1
9
例3： 如图所示，一质量为m、长为l的均质空心圆柱
体（即圆筒圆筒）其内、外半径分别为R1和R2。试求
的质元受阻力矩大，
细杆的质量密度 m
l
质元质量 dm dx
o
xl dm m dx
x
质元受阻力矩：
dM 阻 dmgx
细杆受的阻力矩
m l
M阻
dM
阻
0l
gxdx
1 2
gl 2
1 2
mgl
4
二、定轴转动刚体的角动量
1 .质点对点的角动量
L
r
P
r
mv
作圆周运动的质点的角动量L＝rmv;
l
x2dm
L
x2dx
1 L3
0
1 mL2
0
3
A
4-1刚体转动定律
2l
.
42
由角加速度的定义
dωdωdθ ω d ω
dt dθ dt d θ ωdω3gsinθdθ
2l
m,l FN
θ mg
O
代入初始条件积分得 ω 3g(1cosθ) l
.
43
练习：一个飞轮质量m=60kg，半径R=0.25m，
以0=1000r/min的转速转动。现要制动飞轮， 要求在t=5.0s内使它均匀减速而最后停下来。 求
m,l
θ mg
O
稳定平衡状态，当其受到微小扰动时，细
杆将在重力作用下由静止开始绕铰链O 转
动．试计算细杆转动到与竖直线成 角时
的角加速度和角速度．
.
41
解 细杆受重力和 铰链对细杆的约束力FN
作用，由转动定律得
M1mgslinJ
2
m,l FN
θ mg
O
式中 J 1 ml 2 3
得 3g sin
.
39
受力分析：
m：m g Tma (1) M,R
M： T R J
(2)
T
物体从静止下落时满足
ha2t/2
aR
(3)
(4) T
h
J mR 2(g2t2h) 2h .
mg
40
书例3 一长为 l 、质量
为 m 匀质细杆竖直放置， 其下端与一固定铰链O相 接，并可绕其转动．由于 此竖直放置的细杆处于非
.
49
此课件下载可自行编辑修改，此课件供参考！ 部分内容来源于网络，如有侵权请与我联系删除！
2） 任一质点运动 ,, 均相同，
但 v 不同。
.
6
3、一般运动 + 质心的平动 绕质心的转动
.
42
由角加速度的定义
dωdωdθ ω d ω
dt dθ dt d θ ωdω3gsinθdθ
2l
m,l FN
θ mg
O
代入初始条件积分得 ω 3g(1cosθ) l
.
43
练习：一个飞轮质量m=60kg，半径R=0.25m，
以0=1000r/min的转速转动。现要制动飞轮， 要求在t=5.0s内使它均匀减速而最后停下来。 求
m,l
θ mg
O
稳定平衡状态，当其受到微小扰动时，细
杆将在重力作用下由静止开始绕铰链O 转
动．试计算细杆转动到与竖直线成 角时
的角加速度和角速度．
.
41
解 细杆受重力和 铰链对细杆的约束力FN
作用，由转动定律得
M1mgslinJ
2
m,l FN
θ mg
O
式中 J 1 ml 2 3
得 3g sin
.
39
受力分析：
m：m g Tma (1) M,R
M： T R J
(2)
T
物体从静止下落时满足
ha2t/2
aR
(3)
(4) T
h
J mR 2(g2t2h) 2h .
mg
40
书例3 一长为 l 、质量
为 m 匀质细杆竖直放置， 其下端与一固定铰链O相 接，并可绕其转动．由于 此竖直放置的细杆处于非
.
49
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2） 任一质点运动 ,, 均相同，
但 v 不同。
.
6
3、一般运动 + 质心的平动 绕质心的转动
刚体力学
例、在光滑的水平桌面上有一小孔0，一细绳穿过小孔， 其一端系一小球放在桌面上，另一端用手拉绳， 开始时小球绕孔运动，速率为 v1 ，半径为 r1 ，当半径变 为 r2 时 r2 f拉 求小球的速率 v2 解：小球受力：
f拉
L2 = L1
因f 拉为有心力
r r L2 = L1
r1 mv 1 = r2 mv 2 r1 v 2 = v1 显然 v 2 v1 r2
' 2
m
.
R
m1 Mf
' T1
m2
m
如图
T2'
T2
对m2： m 2 g - T2 = m 2 a
- m1 g = m1a
' 1
T1
m1 g
T 对m： R - T R - M f = J
m2 g
1 2 ' ' a = R , J = mR , T1 = T1 , T2 = T2 2
联立求得： = a
r M
M = rF sin = Fd
o
r r
r M
r F
r F应理解为在垂直于转轴的平面内。 r o 若不在,则将 F 分解为平行 于转轴的分量和垂直于转轴 的分量.只有垂直于转轴的力 的分量才对转轴有力矩.
r 20 F 的方向与转轴平行.
r F
r r
合外力矩 M = r1 F1 sin 1 - r2 F2 sin 2 r3 F3 sin 3
r Fi = m
r dv c
dt
注意各量的 物理意义
质心运动定理说明：不管物体的质量如何分布、外力作用 在什么地方，质心的运动就象物体的全部质量都集中于此， 而且所有的外力都作用于其上的一个质点的运动一样。 （例:炮弹在飞行轨道上爆炸 ……见教材p98--例3)
第四章 刚体的转动讲解
Δθ=ωt
4）角位置
＝0＋ t
2．匀变速转动(t=0，ω=ω0，θ=θ0)
1）角加速度 ＝const
2）角速度 ＝0 t
3）角位移 4）角位置
＝
0
t
1 2
＝ 0＋ 0
t
t2
1 2
t
2
四、角量与线量的关系
半径R，角位移
弧长 s R
线速度v: v lim
法向加速度：
an
t 0
v2
R
lim s
R
t t0 t
(R)2 R 2
R
R
切向加速度：
a
dv dt
d dt
(R)
R
d
dt
R
结论：刚体作定轴转动时，在某一时刻刚体上所有
各点的角位移、角速度和角加速度都是相同的；
而各点的线位移、线速度和线加速度均与r成正比。
M i
M F1r1 sin1 F2 r2 sin 2 F3r3 sin 3
单位： N.m
注意：力矩的单位和功的单位不是一回事，力矩的 单位不能写成焦耳。
与转动垂直但通过转轴的力对转动不产生力矩； 与转轴平行的力对转轴不产生力矩； 刚体内各质点间内力对转轴不产生力矩。 对于刚体的定轴转动，不同的力作用于刚体上的
轴的力矩。用M表示。
用矢量表示 M r F
或：
M＝Fr sin
若力F不在垂直与转轴的平面内，则可把该力分解为两个
力，一个与转轴平行的分力，一个在垂直与转轴平面 内的分力，只有后者才对刚体的转动状态有影响。
物理课件2.91刚体的定轴转动力矩转动定律转动惯量
物理ppt课件2.91 刚体的定轴转动力 矩转动定律转动惯 量
目录
• 刚体的定轴转动 • 力矩 • 转动定律 • 转动惯量
01
刚体的定轴转动
刚体的定义
刚体
在任何力的作用下，其形状和大 小都不会发生变化的物体。刚体 是一个理想化的物理模型，用于 简化对物理现象的研究。
刚体的特点
刚体在力的作用下，只发生平动 或定轴转动，不会发生形变。在 刚体的定轴转动中，其上任意两 点之间的距离保持不变。
刚体的定轴转动
定轴转动
刚体绕某一固定轴作转动。
定轴转动的特点
刚体在定轴转动中，其上任意一点都绕同一固定轴作圆周运动，且各点的角速 度相同。
刚体的定轴转动定律
刚体的定轴转动定律
转动惯量
刚体绕固定轴转动的角动量守恒。即 刚体在不受外力矩作用时，其角动量 保持不变。
描述刚体转动惯性的物理量，等于刚 体质量与质心到转轴距离平方的乘积 。
转动惯量
描述刚体绕定轴转动的惯性大小的物理量。
转动惯量的定义公式
I = Σ (m * r^2)，其中I是转动惯量，m是质量， r是质点到转轴。
转动惯量的计算
对于细杆，若其质量分布均匀，则其 转动惯量等于质量与质心到转轴距离 平方的乘积。
对于质量分布不均匀的刚体，需要将 刚体分割成若干微元，然后对每个微 元应用转动惯量的定义公式进行计算 。
对于质量分布均匀的圆盘，其转动惯 量等于圆盘质量与半径平方的乘积。
转动惯量的应用
在动力学问题中，转动惯量是描 述刚体转动状态的重要物理量， 可以用于计算刚体的角速度、角
加速度等物理量。
在振动问题中，转动惯量可以影 响刚体的振动频率和振幅。
在陀螺仪和电机控制等领域，转 动惯量也是重要的参数之一。
目录
• 刚体的定轴转动 • 力矩 • 转动定律 • 转动惯量
01
刚体的定轴转动
刚体的定义
刚体
在任何力的作用下，其形状和大 小都不会发生变化的物体。刚体 是一个理想化的物理模型，用于 简化对物理现象的研究。
刚体的特点
刚体在力的作用下，只发生平动 或定轴转动，不会发生形变。在 刚体的定轴转动中，其上任意两 点之间的距离保持不变。
刚体的定轴转动
定轴转动
刚体绕某一固定轴作转动。
定轴转动的特点
刚体在定轴转动中，其上任意一点都绕同一固定轴作圆周运动，且各点的角速 度相同。
刚体的定轴转动定律
刚体的定轴转动定律
转动惯量
刚体绕固定轴转动的角动量守恒。即 刚体在不受外力矩作用时，其角动量 保持不变。
描述刚体转动惯性的物理量，等于刚 体质量与质心到转轴距离平方的乘积 。
转动惯量
描述刚体绕定轴转动的惯性大小的物理量。
转动惯量的定义公式
I = Σ (m * r^2)，其中I是转动惯量，m是质量， r是质点到转轴。
转动惯量的计算
对于细杆，若其质量分布均匀，则其 转动惯量等于质量与质心到转轴距离 平方的乘积。
对于质量分布不均匀的刚体，需要将 刚体分割成若干微元，然后对每个微 元应用转动惯量的定义公式进行计算 。
对于质量分布均匀的圆盘，其转动惯 量等于圆盘质量与半径平方的乘积。
转动惯量的应用
在动力学问题中，转动惯量是描 述刚体转动状态的重要物理量， 可以用于计算刚体的角速度、角
加速度等物理量。
在振动问题中，转动惯量可以影 响刚体的振动频率和振幅。
在陀螺仪和电机控制等领域，转 动惯量也是重要的参数之一。
第四章 刚体的转动
1 1 2 2 E k＝ E ki mi ri ＝ 2 2
m r
2 i i
2
用转动惯量表示
1 2 E k＝ J 2
四、刚体绕定轴转动的动能定理 设在合外力矩M的作用下，刚体绕定轴转过的角 位移为dθ，合外力矩对刚体所作的元功为 d dW =M dθ,由转动定律 M J J dt 得 d d
M＝r F r Fi r Fi M i
M F1 r1 sin 1 F2 r2 sin 2 F3 r3 sin 3
单位： N.m 注意：力矩的单位和功的单位不是一回事，力矩的 单位不能写成焦耳。 与转动垂直但通过转轴的力对转动不产生力矩； 与转轴平行的力对转轴不产生力矩； 刚体内各质点间内力对转轴不产生力矩。 对于刚体的定轴转动，不同的力作用于刚体上的 不同位置（或不同作用方向）可以产生相同的效 果。
§4－2 力矩
转动定律
转动惯量
一、力矩 从转轴与截面的交点到力的作用线的垂直距离叫做力对 转轴的力臂。力的大小和力臂的乘积，就叫做力对转 轴的力矩。用M表示。 用矢量表示 M rF 或：
M＝Fr sin
若力F不在垂直与转轴的平面内，则可把该力分解为两个 力，一个与转轴平行的分力，一个在垂直与转轴平面 内的分力，只有后者才对刚体的转动状态有影响。 合力矩对于每个分力的力矩之和。
第四章 刚体的转动
§4－1 刚体的定轴转动 一、刚体
定义:在外力作用下形状和大小保持不变的物体称为刚体。 说明: 刚体和质点一样是一个理想化的力学模型； 刚体内任何两点之间的距离在运动过程中保持不变； 刚体可以看成一个包含由大量质点、而各个质点间距 离保持不变的质点系。
m r
2 i i
2
用转动惯量表示
1 2 E k＝ J 2
四、刚体绕定轴转动的动能定理 设在合外力矩M的作用下，刚体绕定轴转过的角 位移为dθ，合外力矩对刚体所作的元功为 d dW =M dθ,由转动定律 M J J dt 得 d d
M＝r F r Fi r Fi M i
M F1 r1 sin 1 F2 r2 sin 2 F3 r3 sin 3
单位： N.m 注意：力矩的单位和功的单位不是一回事，力矩的 单位不能写成焦耳。 与转动垂直但通过转轴的力对转动不产生力矩； 与转轴平行的力对转轴不产生力矩； 刚体内各质点间内力对转轴不产生力矩。 对于刚体的定轴转动，不同的力作用于刚体上的 不同位置（或不同作用方向）可以产生相同的效 果。
§4－2 力矩
转动定律
转动惯量
一、力矩 从转轴与截面的交点到力的作用线的垂直距离叫做力对 转轴的力臂。力的大小和力臂的乘积，就叫做力对转 轴的力矩。用M表示。 用矢量表示 M rF 或：
M＝Fr sin
若力F不在垂直与转轴的平面内，则可把该力分解为两个 力，一个与转轴平行的分力，一个在垂直与转轴平面 内的分力，只有后者才对刚体的转动状态有影响。 合力矩对于每个分力的力矩之和。
第四章 刚体的转动
§4－1 刚体的定轴转动 一、刚体
定义:在外力作用下形状和大小保持不变的物体称为刚体。 说明: 刚体和质点一样是一个理想化的力学模型； 刚体内任何两点之间的距离在运动过程中保持不变； 刚体可以看成一个包含由大量质点、而各个质点间距 离保持不变的质点系。
定轴转动和转动定律[优质ppt]
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l /2 x2 m d x
l / 2 l m x3 l/2
l 3 l / 2
J 1 ml2 12
例题：转动惯量的计算
例2：求匀质杆绕一端的垂直轴的转动惯量
J r 2 d m l x2 m d x 1 ml2
0l
3
例3：求匀质细圆环绕过圆心的垂直轴的转动惯量
J r2 d m R2 d m R2 d m mR2
2
3
M
1 mgl cos θ 2
例题：转动惯量的计算
例4：求匀质圆盘绕过圆心的垂直轴的转动惯量
将圆盘分成许多同心圆环
细圆环的转动惯量 d J r 2 d m
m
d J r2 2 r d r,
m
R2
J
dJ
R
2
r3
d
r
1
R4
0
2
J 1 mR2 2
r dr R
几种形状规则密度均匀刚体的转动惯量
正负由转轴正向和右手法则确定
• 若力不在转动平面内 —— 只算垂直分量
• 几个力同时作用时 — 各力矩的代数和
M M1 M2 M3 Mi
F sin
F cos
line of action
课堂练习：请说明下图中力对 z 轴的力矩
d
M F1r1 F2r2 F3r3 M Fd Fd 0 M F(r1 r2 )
3、平行轴定理
Z ZC d
m
C
J
JC
J JC md2
• 通过质心的轴线的转动惯量最小
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mvx 0 m v2 x 2 0 m v1 y m v2 y 2 2 1 gt 2 h v1 y t 2
y h v2 y t ' 1 gt ' 2
2
x s v2 xt '
习题 3-15
o
y
(mg N ) dt d[ (l y )v]
y v
F 对转轴 Z 的力矩 MrF
M
M
z
说明：
O
r
d
F
*
P
（1）当外力平行于转轴或力的 作用线通过转轴时，力对转 轴的力矩为 零； （2）对定轴转动来说，只有参 考平面内的力对转动轴有力矩;
z
k
O
Fz
F
F
r
二. 刚体转动定律
1. 力矩（Torque ）
高速旋转圆柱形转子可绕垂直其横截面通过 中心的轴转动．开始时，它的角速度 ω 0 0 ， 经300s 后，其转速达到 18000 r· -1 ．转 min 子的角加速度与时间成正比．问在这段时间内， 转子转过多少转？
150
t
2
N 3 10
4
二. 刚体转动定律
1. 力矩（Torque， moment of force ）
2
y
由于 a a 'a R
a sin aR cos a' a cos aR sin
y
FN
G
Hale Waihona Puke xxm'
N'
G'
a R a a' 2 2 2 g sin m' (2mm' m ) sin a 2 m' m sin
O
l 2
r
dr
ml
2
O
l 2
r
dr
1 3 ml
2
O´
J 1 12
O´
J
l
d
C
m
O
J O J C md
2
——平行轴定理
例4 一质量为 m 、半径为 R 的均匀圆盘，求通过盘 中心 O 并与盘面垂直的轴的转动惯量 .
m
R
J mR
2
RR
O
r
dr
m
R1 R2
J 1 2 m( R1 R2 )
习题 3 - 9
O
由质点动量定理
Fdt p2 p1
F
原 长 平衡 位置
(mg F ) t 0 mv
F mg mv t
y
G
v
2 gh
习题 3-12
y
v2 v1
h=19.6m
o
100m
x
2 h 1 gt 2 s vxt
爆炸前后系统动量守恒定律
3. 刚体的定轴转动
（1）状态参量 角坐标 θ
角速度 ω=d /dt
角位移 d
z
(t )
x
参考轴
刚体的角速度方向与其 转动方向遵循右手定则！ 参考平面 角加速度
=d /dt
一.刚体的运动（ Motion of Rigid Body ）
3.刚体的定轴转动
（2）匀加速转动的运动方程 （Rotation with constant angular acceleration）
3.刚体的定轴转动
（3）角量和线量的关系（Relationship between angular quantity and linear quantity）
ds rd v ret
2 a ret r en
a
an r
at
et v
例1：
质点匀变速直线运动 刚体绕定轴作匀变速转动
v v 0 at
0 t
1 2
x x0 v 0t
v
2 2 0
at
2
0 0t t
1 2
2 2
2
v 2a( x x0 )
0 2 ( 0 )
一.刚体的运动（ Motion of Rigid Body ）
2 2
J
1 2
mR
2
例5 一质量为 m 、半径为 R 的均匀球壳，求当以一 直径为转轴的转动惯量 .
2 3
J
mR
2
R
O
以球壳为质量元，可以很快得到均匀球体（m R）的转动惯量为 2 2 J mR 5
应用刚体转动定律的基本方法和步骤： 隔离物体法 分析力，确定 外力，力矩
列出转动定律和 牛顿定律方程
（3）刚体内各质点间的作用力对转轴的合内力矩为
零;
in in M Mi 0
i
M ij
O
M
d
ji
i F ji ri F ij
rj
j
（4）合外力矩等于各个分力矩的矢量和。 ex M M M1 M 2 M 3
例2：有一大型水坝高110 m、长1000 m , 水 深100m，水面与大坝表面垂直，如图所示. 求作用在大坝上的力，以及这个力对通过大坝 基点 Q 且与 x 轴平行的力矩 .
NO.4-1
第四章 刚体的转动
你能回答下列现象吗?
（1）向前拉绳子，滚轮一定向前滚动吗？ （2）转动的车轮为何不会掉下？ （3）花样滑冰运动员的转速为何会变化？ （4）直升飞机为何要有旋转的尾翼？ （5）走钢丝的杂技演员为何手中要拿一根长杆？
质点模型
质点系模型
刚体模型
从三个方面讨论：
（1）运动学（状态量）； （2）动力学（转动定律）; （3）角动量和能量（角动量守恒定律、 机械能守恒定律）
A
FT 1
FT 2
mA
C
mA mB mA mB mc
1 2
mC
g
2mB gy mA mB 1 mc 2
mA 1 mc mB 2
mA mB mc
1 2
g
v
mB B
例7 一长为 l 质量为 m 匀质细杆，可绕其一端的光 滑水平固定轴转动 . 将杆从水平位置静止释放，求 细杆转动 角时的角加速度和角速度 .
内容目录
1. 2. 3. 4. 5. 刚体 刚体定轴转动的状态量 力矩 刚体的转动定律 转动惯量
一.刚体的运动（ Motion of Rigid Body ）
1. 刚体（Rigid Body）
受力时大小和形状保持不变的物体；
质量连续分布的质量元，受力时各质元之间的 相对位置不变。
2. 刚体的运动（Motion of Rigid Body）
列出线量和角量 之间的关系式
求解联 立方程
例6
质量为 mA 的物体 A 静止在光滑水平面上，和一 质量不计的绳索相连接，绳索跨过一半径为 R、质 量为 mC 的圆柱形滑轮 C，并系在另一质量为 mB 的物体 B 上. 滑轮与绳索间没有滑动， 且滑轮与轴 承间的摩擦力可略去不计. 问：（1） 两物体的线 加速度为多少？ 水平和竖直两段绳索的张力各为 多少？（2） 物体 B 从静止落下距离 y 时，其速 率是多少?
2
ex F dt dp
y
2g
N 3yg
质点系的动量定理
3g cos 2l
3g sin l
思考：此时棒受到轴的约束力的大小和方向.
1 5 F mg cos et mg sin en 4 2
Ex8.
关于力矩有以下几种说法：
（1）对某个定轴转动刚体而言，内力矩不会 改变刚体的角加速度； （2）一对作用力和反作用力对同一轴的力矩 之和必为零； （3）质量相等，形状和大小不同的两个刚体，在 相同力矩的作用下，它们的运动状态一定相同。
C
今日作业
4－10, 11，14，18
习题 2-26
对于m’
N sin m' a'
m
m'
对于m
mg sin ma' cos maR
N ma' sin mg cos
m
N
Fi
a'
mg sin cos m' m sin
2
N
mm' g cos m' m sin
平动（translation） 转动（rotation） 定轴转动（fixed axis rotation ） 定点转动（fixed point rotation） 滚动（roll）
平面平行运动（planar translation）
一.刚体的运动（ Motion of Rigid Body ）
对上述说法，下列判断正确的是
（A）只有（2）正确 （B）（1）、 （2）正确 （C）（2）、 （3）正确 （D）（1）、 （2）、（3）都正确
（
）
B
Ex9. 均匀细棒OA可绕通过其一段O而与棒垂直 的水平固定光滑轴转动，如图所示。今使棒从 水平位置由静止开始自由下落，在棒摆到竖直 位置的过程中，下述说法正确的是 （ ） （A）角速度从小到大，角加速度不变 （B）角速度从大到小，角加速度从小到大 （C）角速度从小到大，角加速度从大到小 （D）角速度不变，角加速度为零 O A
y
y
x
r
O
F p0 Lh 1 2
F
dA
h
dy
y h v2 y t ' 1 gt ' 2
2
x s v2 xt '
习题 3-15
o
y
(mg N ) dt d[ (l y )v]
y v
F 对转轴 Z 的力矩 MrF
M
M
z
说明：
O
r
d
F
*
P
（1）当外力平行于转轴或力的 作用线通过转轴时，力对转 轴的力矩为 零； （2）对定轴转动来说，只有参 考平面内的力对转动轴有力矩;
z
k
O
Fz
F
F
r
二. 刚体转动定律
1. 力矩（Torque ）
高速旋转圆柱形转子可绕垂直其横截面通过 中心的轴转动．开始时，它的角速度 ω 0 0 ， 经300s 后，其转速达到 18000 r· -1 ．转 min 子的角加速度与时间成正比．问在这段时间内， 转子转过多少转？
150
t
2
N 3 10
4
二. 刚体转动定律
1. 力矩（Torque， moment of force ）
2
y
由于 a a 'a R
a sin aR cos a' a cos aR sin
y
FN
G
Hale Waihona Puke xxm'
N'
G'
a R a a' 2 2 2 g sin m' (2mm' m ) sin a 2 m' m sin
O
l 2
r
dr
ml
2
O
l 2
r
dr
1 3 ml
2
O´
J 1 12
O´
J
l
d
C
m
O
J O J C md
2
——平行轴定理
例4 一质量为 m 、半径为 R 的均匀圆盘，求通过盘 中心 O 并与盘面垂直的轴的转动惯量 .
m
R
J mR
2
RR
O
r
dr
m
R1 R2
J 1 2 m( R1 R2 )
习题 3 - 9
O
由质点动量定理
Fdt p2 p1
F
原 长 平衡 位置
(mg F ) t 0 mv
F mg mv t
y
G
v
2 gh
习题 3-12
y
v2 v1
h=19.6m
o
100m
x
2 h 1 gt 2 s vxt
爆炸前后系统动量守恒定律
3. 刚体的定轴转动
（1）状态参量 角坐标 θ
角速度 ω=d /dt
角位移 d
z
(t )
x
参考轴
刚体的角速度方向与其 转动方向遵循右手定则！ 参考平面 角加速度
=d /dt
一.刚体的运动（ Motion of Rigid Body ）
3.刚体的定轴转动
（2）匀加速转动的运动方程 （Rotation with constant angular acceleration）
3.刚体的定轴转动
（3）角量和线量的关系（Relationship between angular quantity and linear quantity）
ds rd v ret
2 a ret r en
a
an r
at
et v
例1：
质点匀变速直线运动 刚体绕定轴作匀变速转动
v v 0 at
0 t
1 2
x x0 v 0t
v
2 2 0
at
2
0 0t t
1 2
2 2
2
v 2a( x x0 )
0 2 ( 0 )
一.刚体的运动（ Motion of Rigid Body ）
2 2
J
1 2
mR
2
例5 一质量为 m 、半径为 R 的均匀球壳，求当以一 直径为转轴的转动惯量 .
2 3
J
mR
2
R
O
以球壳为质量元，可以很快得到均匀球体（m R）的转动惯量为 2 2 J mR 5
应用刚体转动定律的基本方法和步骤： 隔离物体法 分析力，确定 外力，力矩
列出转动定律和 牛顿定律方程
（3）刚体内各质点间的作用力对转轴的合内力矩为
零;
in in M Mi 0
i
M ij
O
M
d
ji
i F ji ri F ij
rj
j
（4）合外力矩等于各个分力矩的矢量和。 ex M M M1 M 2 M 3
例2：有一大型水坝高110 m、长1000 m , 水 深100m，水面与大坝表面垂直，如图所示. 求作用在大坝上的力，以及这个力对通过大坝 基点 Q 且与 x 轴平行的力矩 .
NO.4-1
第四章 刚体的转动
你能回答下列现象吗?
（1）向前拉绳子，滚轮一定向前滚动吗？ （2）转动的车轮为何不会掉下？ （3）花样滑冰运动员的转速为何会变化？ （4）直升飞机为何要有旋转的尾翼？ （5）走钢丝的杂技演员为何手中要拿一根长杆？
质点模型
质点系模型
刚体模型
从三个方面讨论：
（1）运动学（状态量）； （2）动力学（转动定律）; （3）角动量和能量（角动量守恒定律、 机械能守恒定律）
A
FT 1
FT 2
mA
C
mA mB mA mB mc
1 2
mC
g
2mB gy mA mB 1 mc 2
mA 1 mc mB 2
mA mB mc
1 2
g
v
mB B
例7 一长为 l 质量为 m 匀质细杆，可绕其一端的光 滑水平固定轴转动 . 将杆从水平位置静止释放，求 细杆转动 角时的角加速度和角速度 .
内容目录
1. 2. 3. 4. 5. 刚体 刚体定轴转动的状态量 力矩 刚体的转动定律 转动惯量
一.刚体的运动（ Motion of Rigid Body ）
1. 刚体（Rigid Body）
受力时大小和形状保持不变的物体；
质量连续分布的质量元，受力时各质元之间的 相对位置不变。
2. 刚体的运动（Motion of Rigid Body）
列出线量和角量 之间的关系式
求解联 立方程
例6
质量为 mA 的物体 A 静止在光滑水平面上，和一 质量不计的绳索相连接，绳索跨过一半径为 R、质 量为 mC 的圆柱形滑轮 C，并系在另一质量为 mB 的物体 B 上. 滑轮与绳索间没有滑动， 且滑轮与轴 承间的摩擦力可略去不计. 问：（1） 两物体的线 加速度为多少？ 水平和竖直两段绳索的张力各为 多少？（2） 物体 B 从静止落下距离 y 时，其速 率是多少?
2
ex F dt dp
y
2g
N 3yg
质点系的动量定理
3g cos 2l
3g sin l
思考：此时棒受到轴的约束力的大小和方向.
1 5 F mg cos et mg sin en 4 2
Ex8.
关于力矩有以下几种说法：
（1）对某个定轴转动刚体而言，内力矩不会 改变刚体的角加速度； （2）一对作用力和反作用力对同一轴的力矩 之和必为零； （3）质量相等，形状和大小不同的两个刚体，在 相同力矩的作用下，它们的运动状态一定相同。
C
今日作业
4－10, 11，14，18
习题 2-26
对于m’
N sin m' a'
m
m'
对于m
mg sin ma' cos maR
N ma' sin mg cos
m
N
Fi
a'
mg sin cos m' m sin
2
N
mm' g cos m' m sin
平动（translation） 转动（rotation） 定轴转动（fixed axis rotation ） 定点转动（fixed point rotation） 滚动（roll）
平面平行运动（planar translation）
一.刚体的运动（ Motion of Rigid Body ）
对上述说法，下列判断正确的是
（A）只有（2）正确 （B）（1）、 （2）正确 （C）（2）、 （3）正确 （D）（1）、 （2）、（3）都正确
（
）
B
Ex9. 均匀细棒OA可绕通过其一段O而与棒垂直 的水平固定光滑轴转动，如图所示。今使棒从 水平位置由静止开始自由下落，在棒摆到竖直 位置的过程中，下述说法正确的是 （ ） （A）角速度从小到大，角加速度不变 （B）角速度从大到小，角加速度从小到大 （C）角速度从小到大，角加速度从大到小 （D）角速度不变，角加速度为零 O A
y
y
x
r
O
F p0 Lh 1 2
F
dA
h
dy